Cote n° 42 · pages 1–6 · Lecture modernisée · Réseaux d'anneaux locaux : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–2

Le réseau d'un préschéma, et l'énoncé (pages 1 et 2)

Soit \(X\) un espace topologique. Pour \(x, y \in X\) on écrit \(y \rightsquigarrow x\), et l'on dit que \(y\) est une spécialisation de \(x\), ou que \(x\) est une générisation de \(y\), lorsque \(y \in \overline{\{x\}}\). C'est une relation de préordre, et un ordre dès que \(X\) est \(T_0\).

Définition. Un réseau d'anneaux locaux est la donnée d'un ensemble ordonné \(X\) et, pour chaque \(x \in X\), d'un anneau local \(O_x\), munis pour chaque couple \(y \rightsquigarrow x\) d'un homomorphisme \(O_y \to O_x\), fonctoriel, tel que \[ (O_y)_{\mathfrak p_{yx}} \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; O_x, \] où \(\mathfrak p_{yx} \subset O_y\) est l'image réciproque de l'idéal maximal de \(O_x\).¹ Autrement dit : chaque anneau plus générique est un localisé de chaque anneau plus spécial, en le premier idéal qu'il désigne.

Un homomorphisme de réseaux \(X \to Y\) est une application croissante \(f : X \to Y\) accompagnée, pour chaque \(x\), d'un homomorphisme local \(O_{f(x)} \to O_x\), le tout compatible aux applications de générisation.²

La condition de localisation a une conséquence que Grothendieck note en marge de la page 1 : pour \(x\) fixé, les générisations de \(x\) correspondent bijectivement aux idéaux premiers de \(O_x\). C'est la raison d'être de la définition — le réseau retient assez de l'espace pour que le spectre de chaque anneau local se lise dans l'ordre lui-même.

Tout préschéma donne un réseau : ses points, leur ordre de spécialisation, ses anneaux locaux. Cela définit un foncteur \[ p \,:\, \mathbf{Sch} \longrightarrow \mathbf{Res}. \]

Théorème (page 2). Soit \(S\) un préschéma localement noethérien. La restriction de \(p\) aux \(S\)-préschémas localement de type fini est pleinement fidèle à valeurs dans les réseaux sur \(p(S)\) : \[ \mathrm{Hom}_S(X, Y) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Hom}_{p(S)}\bigl(p(X), p(Y)\bigr). \]

C'est ce que le dossier entier démontre.³ La page 2 en contient aussi une première démonstration, tentée directement sur les réseaux et barrée de deux grandes croix : elle passait par un dévissage des points de \(X\) par spécialisation et un ensemble fini de recouvrements, puis par la construction d'un homomorphisme d'un voisinage de \(x\) dans un voisinage de \(f(x)\). Elle est abandonnée en cours de route, et la démonstration reprend à neuf page 3, à l'étage des faisceaux.

Une convention, fixée ici pour tout ce qui suit. Le manuscrit ordonne \(X\) deux fois, dans deux sens opposés : la page 1 pose \(x \leq y\) lorsque \(y\) est une générisation de \(x\), la page 3 pose \(y \leq x\) dans le même cas. Les deux nomment la même relation ; seule la flèche du symbole \(\leq\) change de sens.⁴

3–3

Une section globale est une famille cohérente de germes (page 3)

Soit \(X\) un espace topologique et \(F\) un faisceau d'ensembles sur \(X\). Pour \(y \rightsquigarrow x\), tout ouvert contenant \(y\) contient \(x\), de sorte qu'il y a une application canonique entre fibres \[ \rho_{yx} \,:\, F_y \longrightarrow F_x, \] du point spécial vers le point générique. Appelons famille cohérente une famille \((\xi_x)_{x \in X}\) avec \(\xi_x \in F_x\) telle que \(\rho_{yx}(\xi_y) = \xi_x\) chaque fois que \(y \rightsquigarrow x\). Les familles cohérentes forment la limite \(\varprojlim_{x} F_x\) du diagramme des fibres indexé par l'ordre de spécialisation, et il y a une application canonique \(\Gamma(X, F) \to \varprojlim_x F_x\), qui envoie une section sur la famille de ses germes.

Proposition. Soit \(X\) un espace localement noethérien et sobre — toute partie fermée irréductible a exactement un point générique. Soit \(F\) un faisceau sur \(X\) vérifiant : \begin{quote} \((\mathrm{H})\) : pour tout \(x \in X\), il existe un ouvert non vide \(U\) de \(\overline{\{x\}}\) tel que \(\rho_{yx} : F_y \to F_x\) soit injective pour tout \(y \in U\).

Alors \(\Gamma(X, F) \to \varprojlim_x F_x\) est bijective. \end{quote}

L'injectivité ne demande rien : une section dont tous les germes sont égaux à ceux d'une autre leur est égale, par l'axiome de séparation des faisceaux. Tout le contenu est dans la surjectivité, et il tient dans le lemme suivant.⁵

Lemme 1. Soit \((\xi_x)\) une famille cohérente et \(s \in F(U)\) une section sur un ouvert \(U\). Alors \(E = \{\, x \in U \;:\; s_x = \xi_x \,\}\) est ouvert.

La démonstration se fait en deux temps, et c'est leur conjonction qui est l'idée du dossier.

\(E\) est stable par générisation. Soit \(x \in E\) et soit \(x'\) une générisation de \(x\) dans \(U\). Alors \(x \rightsquigarrow x'\), l'application \(\rho_{x x'} : F_x \to F_{x'}\) est définie, et elle envoie \(s_x\) sur \(s_{x'}\) et \(\xi_x\) sur \(\xi_{x'}\). De \(s_x = \xi_x\) suit donc \(s_{x'} = \xi_{x'}\), c'est-à-dire \(x' \in E\).

\(E\) est constructible. On peut supposer \(X\) noethérien, la question étant locale. Soit \(Z \subseteq U\) une partie fermée irréductible, de point générique \(z\). Ou bien \(z \notin E\), et alors \(E \cap Z = \varnothing\) : car tout point de \(Z\) a \(z\) pour générisation, et \(E\) étant stable par générisation, un point de \(E \cap Z\) forcerait \(z \in E\). Ou bien \(z \in E\), et alors \((\mathrm{H})\) fournit un ouvert non vide \(V\) de \(\overline{\{z\}} = Z\) sur lequel \(\rho_{yz} : F_y \to F_z\) est injective ; pour \(y \in V\) on a \(\rho_{yz}(s_y) = s_z = \xi_z = \rho_{yz}(\xi_y)\), d'où \(s_y = \xi_y\) par injectivité, donc \(V \subseteq E \cap Z\).⁶ Le critère de constructibilité dans un espace noethérien est satisfait dans les deux cas.

Une partie constructible et stable par générisation d'un espace noethérien est ouverte.⁷ Donc \(E\) est ouvert, et le lemme 1 est acquis.

La proposition suit. Soit \((\xi_x)\) une famille cohérente et \(x_0 \in X\). Le germe \(\xi_{x_0}\) provient d'une section \(s\) sur un ouvert \(U \ni x_0\) ; par le lemme 1, \(E = \{x \in U : s_x = \xi_x\}\) est ouvert et contient \(x_0\). La famille est donc réalisée par une section au voisinage de chaque point, et deux telles sections ont, sur leur intersection, les mêmes germes en tout point : elles y coïncident. Elles se recollent en une section globale dont la famille de germes est \((\xi_x)\).

4–5

Pourquoi le faisceau structural vérifie \((\mathrm{H})\) (pages 4 et 5)

L'application à retenir est celle du faisceau structural, et elle exige un fait d'algèbre commutative que le dossier isole proprement.

Lemme 2. Soient \(A\) un anneau noethérien et \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(A\). Alors : \begin{enumerate} \item il existe \(f \in A - \mathfrak p\) tel que \(A_f \to A_{\mathfrak p}\) soit injectif ; \item si de plus \(A \to A_{\mathfrak p}\) est déjà injectif, alors \(A_{\mathfrak q} \to A_{\mathfrak p}\) est injectif pour tout idéal premier \(\mathfrak q \supseteq \mathfrak p\). \end{enumerate}

Démonstration de (1). Soit \(J = \ker(A \to A_{\mathfrak p})\), c'est-à-dire l'ensemble des \(a \in A\) annulés par au moins un élément de \(A - \mathfrak p\).⁸ L'anneau étant noethérien, \(J = (x_1, \dots, x_n)\), et chaque \(x_i\) est annulé par un \(s_i \in A - \mathfrak p\). Posons \(f = s_1 \cdots s_n\) : il est hors de \(\mathfrak p\), qui est premier, et \(fJ = 0\). Soit alors \(x/f^n\) dans le noyau de \(A_f \to A_{\mathfrak p}\) : il existe \(s \in A - \mathfrak p\) avec \(sx = 0\), donc \(x \in J\), donc \(fx = 0\), donc \(x/f^n = 0\) dans \(A_f\).

Démonstration de (2). Comme \(\mathfrak p \subseteq \mathfrak q\), tout élément de \(A - \mathfrak q\) est hors de \(\mathfrak p\), et \(A_{\mathfrak q} \to A_{\mathfrak p}\) a un sens. Soit \(x/s\) (\(x \in A\), \(s \in A - \mathfrak q\)) dans son noyau : l'image de \(x\) dans \(A_{\mathfrak p}\) est nulle, donc \(x = 0\) par l'injectivité supposée de \(A \to A_{\mathfrak p}\), donc \(x/s = 0\).⁹

Corollaire 1. Soit \(X\) un préschéma localement noethérien. Alors \[ \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \varprojlim_{x \in X} \mathcal{O}_{X,x}, \] c'est-à-dire : une fonction globale sur \(X\) est exactement la donnée d'une famille \((\xi_x) \in \prod_x \mathcal{O}_{X,x}\) telle que \(\xi_x\) soit l'image de \(\xi_y\) par la générisation chaque fois que \(y \rightsquigarrow x\).

Il suffit de vérifier \((\mathrm{H})\) pour \(\mathcal{O}_X\), et c'est exactement le lemme 2. La question étant locale, prenons \(X = \operatorname{Spec} A\) avec \(A\) noethérien, et \(x = \mathfrak p\). Alors \(\overline{\{x\}} = V(\mathfrak p)\), et le lemme 2 (1) donne \(f \notin \mathfrak p\) tel que \(A_f \to A_{\mathfrak p}\) soit injectif ; le lemme 2 (2), appliqué à \(A_f\), donne l'injectivité de \(A_{\mathfrak q} \to A_{\mathfrak p}\) pour tout \(\mathfrak q \in D(f) \cap V(\mathfrak p)\). Or \(D(f) \cap V(\mathfrak p)\) est un ouvert non vide de \(\overline{\{x\}}\) — il contient \(\mathfrak p\) lui-même. C'est \((\mathrm{H})\).

5–6

Des morphismes, et non plus des fonctions (pages 5 et 6)

Le pas suivant remplace le faisceau structural par un faisceau de morphismes, et c'est lui qui donne le théorème.

Soient \(S\) un préschéma localement noethérien, \(X\) un \(S\)-préschéma localement noethérien et \(Y\) un \(S\)-préschéma. On pose \[ F(U) \;=\; \mathrm{Hom}_S(U, Y) \qquad (U \subseteq X \text{ ouvert}), \] qui est un faisceau puisque les morphismes se recollent, et dont les sections globales sont \(\mathrm{Hom}_S(X, Y)\) par construction.

Lemme 3. Supposons \(Y\) séparé sur \(S\). Alors \(F\) vérifie \((\mathrm{H})\). Plus précisément, si \(X = \operatorname{Spec} A\) et si \(A \to A_{\mathfrak p}\) est injectif, alors \(F_{\mathfrak q} \to F_{\mathfrak p}\) est injective pour tout \(\mathfrak q \supseteq \mathfrak p\).

Démonstration. Soient deux germes en \(\mathfrak q\), représentés par \(f, g : U \to Y\) avec \(U \ni \mathfrak q\) ouvert, de mêmes germes en \(\mathfrak p\).¹⁰ Quitte à rétrécir \(U\) en un ouvert principal, on peut supposer \(U = \operatorname{Spec} A\) avec \(A \to A_{\mathfrak p}\) injectif. Il existe un ouvert \(W \ni \mathfrak p\) sur lequel \(f\) et \(g\) coïncident. L'égalisateur \(E\) de \(f\) et \(g\) est le produit fibré de \(U \to Y \times_S Y\) le long de la diagonale : c'est une immersion fermée précisément parce que \(Y\) est séparé sur \(S\). Or \(\operatorname{Spec} A_{\mathfrak p} \to \operatorname{Spec} A\) se factorise par \(W\), donc par \(E\) ; et cette flèche est schématiquement dominante, puisque \(A \to A_{\mathfrak p}\) est injectif. Un sous-schéma fermé par lequel se factorise un morphisme schématiquement dominant est le schéma tout entier : \(E = U\), donc \(f = g\). \(\square\)

Corollaire 2. Sous les mêmes hypothèses, la donnée d'un \(S\)-morphisme \(X \to Y\) équivaut à celle d'une famille cohérente de germes \(f_x \in F_x\), \(x \in X\).

C'est la proposition appliquée à \(F\). Une forme équivalente, que la page 6 donne séparément : si \(f, g : \operatorname{Spec} A \to Y\) sont deux \(S\)-morphismes dont les composés avec \(\operatorname{Spec} A_{\mathfrak p} \to \operatorname{Spec} A\) coïncident, et si \(A \to A_{\mathfrak p}\) est injectif, alors \(f = g\).

Corollaire 3. Soient \(S\) localement noethérien, \(X\) et \(Y\) des \(S\)-préschémas localement de type fini, \(Y\) séparé sur \(S\). Alors \[ \mathrm{Hom}_S(X, Y) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Hom}_{p(S)}\bigl(p(X), p(Y)\bigr), \] ce qui est le théorème de la page 2.

L'injectivité est le corollaire 2. Pour la surjectivité, un homomorphisme de réseaux \(p(X) \to p(Y)\) fournit, en chaque \(x\), un point \(\varphi(x) \in Y\) et un homomorphisme local \(\mathcal{O}_{Y, \varphi(x)} \to \mathcal{O}_{X,x}\), c'est-à-dire un \(S\)-morphisme \(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,x} \to Y\). Pour en faire un germe — un morphisme défini sur tout un voisinage de \(x\) — on utilise que \[ \varinjlim_{U \ni x} \mathrm{Hom}_S(U, Y) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Hom}_S\bigl(\operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,x},\, Y\bigr), \] ce qui vaut dès que \(Y\) est localement de présentation finie sur \(S\) — c'est-à-dire ici, \(S\) étant localement noethérien, localement de type fini.¹¹ Les germes ainsi obtenus forment une famille cohérente, et le corollaire 2 les recolle.

La séparation, que la page ne dit pas. Aucun des énoncés du manuscrit ne suppose \(Y\) séparé sur \(S\), et le lemme 3 est faux sans cette hypothèse. Prenons \(S = \operatorname{Spec} k\), \(X = \mathbb{A}^1_k = \operatorname{Spec} k[T]\), et pour \(Y\) la droite affine à origine dédoublée. Les deux inclusions \(j_1, j_2 : \mathbb{A}^1 \to Y\) coïncident hors de l'origine. Au point générique \(\mathfrak p = (0)\) elles ont donc le même germe ; à l'origine \(\mathfrak q = (T)\) elles ont des germes distincts, puisqu'elles y envoient le point sur deux points différents de \(Y\) et diffèrent donc sur tout voisinage. L'application \(F_{\mathfrak q} \to F_{\mathfrak p}\) n'est pas injective, alors même que \(X\) est intègre et que \(k[T] \to k(T)\) est injectif : la mise en défaut vient tout entière de \(Y\).¹²

6–6

La condition ne peut pas être supprimée (page 6)

Le dossier se termine par la vérification que \((\mathrm{H})\) n'est pas une commodité de démonstration. Sans elle, la proposition tombe — et elle tombe du côté de la surjectivité, c'est-à-dire là où était tout le contenu.

Soit \(X = \operatorname{Spec} k[T] = \mathbb{A}^1_k\), avec \(k\) algébriquement clos, de sorte que les points fermés sont les \(a \in k\) et qu'il y a un unique point générique \(\eta\). Pour chaque point fermé \(a\) soit \(E_a\) un ensemble pointé non trivial, et soit \[ F \;=\; \bigoplus_{a} \, i_{a *} E_a \] la somme directe des faisceaux gratte-ciel correspondants.¹³

Les fibres sont \(F_a = E_a\) en un point fermé et \(F_\eta = 0\) au point générique. La condition de cohérence est donc vide : toute famille \((\xi_a) \in \prod_a E_a\) est cohérente. Mais les sections globales d'une somme directe de gratte-ciel sont les familles à support fini — sur \(\mathbb{A}^1\) tout ouvert non vide est cofini, et une famille localement finie y est finie. Prenant \(\xi_a\) égal à l'élément distingué de \(E_a\) pour tout \(a\) sauf un, où on le prend nul, on obtient une famille cohérente à support infini : elle ne provient d'aucune section globale.

L'hypothèse \((\mathrm{H})\) est bien en défaut : elle demanderait, pour \(x = \eta\), un ouvert non vide \(U\) de \(\overline{\{\eta\}} = X\) sur lequel \(F_a \to F_\eta = 0\) soit injective, ce qui forcerait \(E_a = 0\).

C'est là que le dossier s'arrête. L'exemple ne dit pas seulement que la démonstration avait besoin de \((\mathrm{H})\) : il dit que le passage du local au global, pour un faisceau quelconque sur un schéma, n'est pas donné par l'ordre de spécialisation seul. Ce que le corollaire 1 établit pour \(\mathcal{O}_X\), et le corollaire 3 pour les morphismes, tient à une propriété de finitude de l'algèbre commutative — un seul \(f\) à inverser — et non à la forme de l'ordre.