Cote n° 41 · pages 1–13 · Lecture modernisée · Construction de morphismes étales (Chap. V) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier est une seule section de rédaction, sous un titre de sa main, et il avance en quatre temps.

1. 1.La notion et la question (page 3). Une section est monogène si elle choisit continûment le point générique d'une composante géométriquement irréductible de chaque fibre ; ces sections forment un foncteur de la base ; est-il représentable, et par quoi ?
2. 2.Réduction et construction (pages 4 à 7). Le problème est local sur la base, se ramène à une base locale complète, et s'y construit quand la fibre fermée est irréductible. Un Lemme résume ce qui a été obtenu.
3. 3.Le théorème (pages 8 à 10). Existence d'un \(M\) étale séparé sous deux conditions de spécialisation, puis d'un \(M\) propre sous une troisième, avec deux remarques.
4. 4.Reprise (pages 11 à 13). Retour au cas des fibres irréductibles, où la continuité de la section générique équivaut à l'ouverture du morphisme ; définitions arrêtées de « universellement monogène » et de « monogène » ; la question de représentabilité reposée ; un essai de lemme de spécialisation, barré.

Conventions. \(f : X \to Y\) est de type fini. On note \(X_y\) la fibre en \(y \in Y\), \(X_{\bar{y}}\) une fibre géométrique, c'est-à-dire \(X \otimes_{Y} \Omega\) pour une extension algébriquement close \(\Omega\) de \(\kappa(y)\), et \(\mathrm{Irr}(Z)\) l'ensemble des composantes irréductibles d'un espace \(Z\). On garde sa notation \(E_{X/Y}(y)\) pour l'ensemble des composantes de la fibre \(X_y\) qu'il qualifie de « relativement irréductibles », et l'on écrit ici géométriquement irréductibles.¹ « Monogène » est son mot, et on le garde.

Deux définitions de « monogène ». La page 3 appelle monogène une application \(\varphi : Y \to X\) telle qu'il existe un ouvert \(U\) de \(X\), universellement ouvert sur \(Y\), avec \(\varphi(y)\) point générique de \(U \cap X_y\) pour tout \(y\). La page 11 passe par un intermédiaire : \(U \to Y\) est universellement monogène (fibres géométriquement irréductibles, morphisme universellement ouvert), et \(\varphi\) est monogène si elle est la section des points génériques d'un tel \(U\). Les deux disent la même chose, et c'est la seconde qu'on adopte.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : la démonstration du théorème de la page 8 ; la plupart des hypothèses du Lemme de la page 7 ; les conditions a), b), c) de la page 10 ; la représentabilité que la page 12 redemande avec trois points d'interrogation ; les deux conclusions de la page 13, qu'il fait suivre de « Vérifier ! ».

1–1

Le titre (page 1)

Le premier feuillet ne porte que l'en-tête d'une rédaction : « Chap. VI », une ligne sur un paragraphe consacré à la descente et à ses applications, deux mots biffés — « Construction », « Étude » —, et le titre, souligné sur deux lignes : Morphismes étales associés à l'étude des composantes irréductibles d'un morphisme ouvert.²

3–3

Sections monogènes et le foncteur qu'elles forment (page 3)

Soit \(f : X \to Y\) de type fini. On dit que \(X\) est monogène sur \(Y\) si ses fibres sont géométriquement irréductibles et si \(f\) est ouvert ; qu'une application \(\varphi : Y \to X\) est monogène s'il existe un ouvert \(U\) de \(X\), universellement ouvert sur \(Y\), tel que pour tout \(y\), \(U \cap X_y\) soit non vide et géométriquement irréductible, de point générique \(\varphi(y)\).³

Stabilité par changement de base. Si \(\varphi\) est monogène, et \(Y' \to Y\) un morphisme quelconque, posons \(X' = X \times_Y Y'\) et \(U' = U \times_Y Y'\). Alors \(U'\) est ouvert dans \(X'\) et encore universellement ouvert sur \(Y'\) ; la fibre de \(U'\) en \(y'\) au-dessus de \(y\) est \(U_y \otimes_{\kappa(y)} \kappa(y')\), irréductible parce que \(U_y\) est géométriquement irréductible. On définit \(\varphi'(y')\) comme son point générique, et \(\varphi'\) est monogène.⁴ Ainsi \[ F(Y') = \{\text{sections monogènes de } X' / Y'\} \] est un foncteur contravariant en \(Y'\).

La question. \(F\) est-il représentable ? Si oui, remarque-t-il, le représentant \(M\) est vraisemblablement étale de type fini sur \(Y\), mais pas nécessairement séparé.

Le critère. Soit \(M\) étale de type fini sur \(Y\), et \(\varphi_M\) une application monogène pour \(X \times_Y M / M\). Supposons que pour tout \(y \in Y\) et toute extension algébriquement close \(\Omega\) de \(\kappa(y)\), l'application qui à un point \(m \in M(\Omega)\) associe la composante de \(X \otimes_Y \Omega\) de point générique \(\varphi_M(m)\), \[ M(\Omega) \longrightarrow \mathrm{Irr}(X \otimes_Y \Omega), \] soit bijective. Alors \((M, \varphi_M)\) représente \(F\). La page ne le démontre pas ; la page 4 dit à quoi la démonstration se ramène.⁵

4–4

Réduction au cas d'une base locale complète (page 4)

Ce qu'il faut prouver. Soit \(\psi : Y \to M\) une application (d'ensembles) telle que \(\psi(y)\) soit rationnel sur \(\kappa(y)\) pour tout \(y\), et que l'application \(\varphi : Y \to X\) qui à \(y\) associe le point générique de la composante géométriquement irréductible de \(X_y\) indexée par \(\psi(y)\) soit monogène. Alors \(\psi(Y)\) est ouvert dans \(M\), et \(\psi\) provient d'une section de \(M\) sur \(Y\).⁶

Conséquence : le problème est local. Si le problème des modules a une solution au-dessus du schéma local \(\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{Y,y})\), il en a une au-dessus d'un voisinage ouvert de \(y\).⁷ On se ramène ainsi, pour l'existence, au cas \(Y = \mathrm{Spec}(A)\) avec \(A\) local.

Passage au complété. Par descente des morphismes étales, on se ramène ensuite au cas où \(A\) est complet, et l'on peut supposer que la fibre fermée se décompose en composantes géométriquement irréductibles.⁸

5–6

La construction quand la fibre fermée est irréductible (pages 5 et 6)

Hypothèses : \(f : X \to Y = \mathrm{Spec}(A)\) universellement ouvert, de type fini, \(A\) local noethérien complet, \(y\) le point fermé, et \(X_y\) irréductible.⁹

Premier temps : exclure la ramification. Soit \(x\) un point de la fibre fermée. La page commence par supposer que \(x\) est dans l'adhérence de deux composantes distinctes d'une fibre, et construit, pour réfuter cette éventualité, un trait \(Y' = \mathrm{Spec}(W)\) au-dessus de \(Y\), \(W\) anneau de valuation discrète, en normalisant \(A\) dans une extension finie \(K'\) du corps des fractions \(K\) : l'anneau \(A'\) obtenu est fini sur \(A\) et local, parce que \(A\) est local complet, donc hensélien.¹⁰ Le cas est déclaré « absurde ».

Second temps : la section. Pour chaque \(y \in Y\) il y a donc une unique composante \(\xi \in E_{X/Y}(y)\) dont l'adhérence contient \(x\), et elle est géométriquement irréductible. On pose \(\varphi(y) = \) son point générique. Les deux conditions d'une application monogène sont satisfaites, et il existe un ouvert \(U\) de \(X\) contenant \(\varphi(Y)\) dont les fibres sur \(Y\) sont géométriquement irréductibles.

Reste la continuité (page 6), que la page ramène à l'ouverture de \(X \to Y\), et c'est exactement ce que la Prop. 1 de la page 11 établira : pour la section des points génériques d'un morphisme à fibres irréductibles, continuité et ouverture sont une seule et même chose.¹¹

7–7

Le Lemme de la page 7

La page récapitule sous forme de lemme ce qui vient d'être fait. Soit \(X\) de type fini sur \(Y = \mathrm{Spec}(A)\), avec \(A\) local complet et \(X\) universellement ouvert sur \(Y\), et supposons que les composantes de la fibre fermée soient géométriquement irréductibles. Il existe alors un \(Y\)-schéma \(M\) qui représente les composantes géométriquement irréductibles des fibres de \(X/Y\) ; au-dessus de l'ouvert \(Y' = Y - \{y\}\) il est séparé et fini.¹²

La page ajoute un critère de séparation, sous un titre souligné que la transcription lit « Le Moyen » sans l'assurer : si, après tout changement de base local \(A \to A_1\), aucune composante d'une fibre de \(X \times_Y Y_1\) ne se spécialise en deux composantes distinctes, alors \(M/Y\) est séparé.¹³

8–9

Le théorème (pages 8 et 9)

L'énoncé du feuillet. Soit \(f : X \to Y\) de type fini. On suppose que pour tout point générique \(x\) d'une composante d'une fibre \(X_y\), il existe un voisinage de \(x\) qui soit universellement ouvert et quasi-fini sur \(Y[t_1, \ldots, t_{n-1}]\) — condition vérifiée, dit-il, si \(X\) est plat sur \(Y\) au voisinage de \(x\).¹⁴ Pour qu'il existe un \(M\) étale et séparé sur \(Y\) indexant les composantes géométriquement irréductibles des fibres de \(X/Y\), il faut et il suffit que, pour tout trait \(Y' = \mathrm{Spec}(W) \to Y\), de point générique \(y'\) et de point fermé \(\bar{y}'\), en posant \(X' = X \times_Y Y'\) :

1. (ii)aucune composante de la fibre générique \(X'_{y'}\) ne se spécialise en deux composantes irréductibles distinctes de la fibre spéciale ;
2. (iii)deux composantes irréductibles distinctes ne se rencontrent pas dans une même spécialisation.

La démonstration n'est pas sur les feuillets, et la première condition du théorème, qui précède (ii), est illisible.¹⁵

Pourquoi ces conditions : les trois critères valuatifs. Le théorème a la forme qu'il a parce qu'un schéma étale au-dessus d'un trait se lit sur ses points. Supposons \(W\) strictement hensélien et \(M\) étale de type fini sur \(Y' = \mathrm{Spec}(W)\) ; ce qui suit est notre analyse, non celle du feuillet.

• Toute étale. Si \(m\) est un point de la fibre spéciale de \(M\), l'anneau local \(\mathcal{O}_{M,m}\) est une \(W\)-algèbre locale étale de même corps résiduel, donc égale à \(W\) : un seul point générique de \(M\) se spécialise en \(m\). Dans le langage des composantes, une composante de la fibre spéciale provient d'une seule composante générique — deux composantes génériques ne viennent pas se fondre en une.
• Séparation. Par le critère valuatif, \(M\) est séparé si et seulement si un point générique se spécialise en au plus un point spécial : une composante générique ne se casse pas en deux. C'est la condition (ii).
• Propreté. Par le critère valuatif d'existence, \(M\) (séparé, de type fini) est propre si et seulement si tout point générique se spécialise en au moins un point spécial : aucune composante générique ne disparaît. Un schéma étale, séparé et propre étant fini, \(M\) est alors un revêtement étale fini de \(Y\).

Le N.B. et le corollaire (page 9). Sous les conditions du théorème, l'ensemble des composantes de la fibre spéciale s'injecte dans celui des composantes de la fibre générique — à chaque point spécial de \(M\), le Lemme de Hensel attache une unique section de \(M\) sur le trait, et le point générique de cette section —, mais l'injection n'est pas nécessairement surjective.¹⁶ D'où le complément : pour que \(M\) soit en outre fini sur \(Y\), il faut et il suffit que

1. (iii)pour tout point générique \(\xi'\) d'une composante de la fibre générique, il existe un point générique \(x'\) d'une composante de la fibre spéciale tel que \(x' \in \overline{\{\xi'\}}\).

C'est exactement le critère d'existence ci-dessus.¹⁷

10–10

Deux remarques (page 10)

1. 1)La première condition du théorème, seule, est nécessaire et suffisante pour l'existence d'un \(M\) étale non nécessairement séparé. C'est l'analogue, dans l'analyse de la page précédente, du premier des trois critères : ce qu'il faut pour que \(M\) soit étale, avant toute question de séparation ou de propreté.¹⁸
2. 2)La condition (iii) est satisfaite si \(f\) est séparable ; et si \(f\) est propre, \(M\) est propre sur \(Y\).¹⁹

11–11

Fibres irréductibles : continuité et ouverture (page 11)

Proposition 1. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini dont les fibres sont irréductibles et non vides, et soit \(\varphi(y)\) le point générique de \(X_y\). On considère les conditions :

1. (i)\(\varphi : Y \to X\) est continue ;
2. (ii)\(f\) est ouvert ;
3. (iii)\(y \in \overline{\{y'\}} \Longrightarrow \varphi(y) \in \overline{\{\varphi(y')\}}\) ;
4. (iii bis)pour tous \(y \in \overline{\{y'\}}\) et \(x\) au-dessus de \(y\), il existe \(x'\) au-dessus de \(y'\) tel que \(x \in \overline{\{x'\}}\).

Alors (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) sans autre hypothèse, et (ii) \(\Rightarrow\) (iii) \(\Leftrightarrow\) (iii bis) ; si \(f\) est localement de présentation finie — par exemple \(Y\) localement noethérien —, les quatre conditions sont équivalentes.

Démonstration. Pour \(U\) ouvert dans \(X\), le point générique de la fibre irréductible \(X_y\) est dans \(U\) si et seulement si \(U\) rencontre \(X_y\) ; donc \[ \varphi^{-1}(U) = f(U), \] et \(\varphi\) est continue si et seulement si \(f\) est ouvert. Une application continue respecte la spécialisation, d'où (i) \(\Rightarrow\) (iii). Si (iii) vaut, et \(x\) est au-dessus de \(y \in \overline{\{y'\}}\), on a \(x \in \overline{\{\varphi(y)\}} \subset \overline{\{\varphi(y')\}}\), et \(x' = \varphi(y')\) convient : c'est (iii bis). Inversement (iii bis) appliquée à \(x = \varphi(y)\) donne \(\varphi(y) \in \overline{\{x'\}}\) avec \(x' \in X_{y'}\), donc \(x' \in \overline{\{\varphi(y')\}}\), d'où (iii). Enfin (iii bis) dit que les générisations se relèvent le long de \(f\), et pour un morphisme localement de présentation finie cela entraîne que \(f\) est ouvert.²⁰

Définition 2. \(f\) est universellement monogène s'il est universellement ouvert et à fibres géométriquement irréductibles — de sorte que la Proposition 1 s'applique après tout changement de base.²¹

Définition 3. Une application \(\varphi : Y \to X\) est monogène s'il existe un ouvert \(U\) de \(X\), universellement monogène sur \(Y\), dont \(\varphi\) est la section des points génériques.

12–12

La question reposée (page 12)

La propriété monogène est locale sur \(Y\) : elle dit que \(\varphi(y)\) est le point générique d'une composante de \(X_y\), et qu'au voisinage il existe un ouvert \(U\) universellement ouvert dont les fibres sont géométriquement irréductibles.²²

Notant \(I(X/S)\) l'ensemble des sections monogènes de \(X\) sur \(S\), le foncteur \(S' \mapsto I(X \times_S S' / S')\) est contravariant de façon évidente. « Est-il représentable ??? » La question de la page 3 revient donc, cette fois sur une base notée \(S\), et le dossier ne la tranche pas.²³

La page se ferme sur un cube de changements de base, au crayon : \(X \to S\), son changement de base \(X_M \to M\) par \(M \to S\), et la face obtenue au-dessus d'un point géométrique \(S' = \mathrm{Spec}(\Omega)\), avec \(X'_{m'} \to m'\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[dd] & & X_M \arrow[ll] \arrow[dd] & \\
& X' \arrow[ul] \arrow[dd] & & X'_{m'} \arrow[ll] \arrow[ul] \arrow[dd] \\
S & & M \arrow[ll] & \\
& S' = \mathrm{Spec}(\Omega) \arrow[ul] & & m' \arrow[ll] \arrow[ul]
\end{tikzcd}

C'est la situation du critère de la page 3 : le point \(m'\) de \(M\) au-dessus du point géométrique \(S'\) doit indexer une composante de \(X'\).²⁴

13–13

Un lemme barré, et la spécialisation des composantes (page 13)

Le lemme barré. Soit \(f : X \to Y\) plat de type fini, \(Y\) local noethérien, \(y\) un point de \(Y\). Il existerait un ouvert \(U\) tel que, pour tout \(y'\) et tout point générique \(x'\) d'une composante de \(X_{y'} \cap U\), un point générique \(x\) d'une composante de \(X_y\) soit spécialisation de \(x'\). Il est annulé par deux grandes diagonales, et il ne tient pas tel quel.²⁵

Le changement de base et les spécialisations. Deux diagrammes cartésiens, \(X' = X \times_Y Y'\) au-dessus de \(Y' \to Y\), puis \(X'' = X \times_Y Y''\) au-dessus de \(Y'' \to Y' \to Y\), portent chacun leurs points : \(x \leftarrow \xi\) au-dessus de \(y \leftarrow \eta\), \(x' \leftarrow \xi'\) au-dessus de \(y' \leftarrow \eta'\).

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X \arrow[d, "f"] & X' = X \times_Y Y' \arrow[l] \arrow[d, "f'"] & X'' = X \times_Y Y'' \arrow[l] \arrow[d] \\
Y & Y' \arrow[l] & Y'' \arrow[l]
\end{tikzcd}

Hypothèses : \(x \in E_{X/Y}(y)\), \(\xi \in E_{X/Y}(\eta)\), \(x \in \overline{\{\xi\}}\) ; \(y'\) au-dessus de \(y\), \(\eta'\) au-dessus de \(\eta\), \(y' \in \overline{\{\eta'\}}\). Conclusions espérées :

1. a)pour tout \(x' \in E_{X'/Y'}(y')\) au-dessus de \(x\), il existe \(\xi' \in E_{X'/Y'}(\eta')\) au-dessus de \(\xi\) avec \(x' \in \overline{\{\xi'\}}\) ;
2. b)pour tout \(\xi' \in E_{X'/Y'}(\eta')\) au-dessus de \(\xi\), il existe \(x' \in E_{X'/Y'}(y')\) au-dessus de \(x\) avec \(x' \in \overline{\{\xi'\}}\).

Ce sont les deux sens — montée et descente — de la compatibilité entre la spécialisation des composantes et le changement de base, dont la définition de \(M\) comme foncteur a besoin. Il écrit « Vérifier ! », et ne vérifie pas.²⁶