Fonds Grothendieck, cote n° 40, pages 21–27

~~A est local.~~ Montrons d'abord que les u^i (0 \leq i \leq p-1) sont libres sur A. Soit \sum_0^{p-1} \lambda_i u^i = 0 une relation non triviale entre les u^i (\lambda_i \in A), et soit \lambda_\alpha le premier coefficient non nul (0 \leq \alpha \leq p-1). Appliquons D^\alpha, il vient \alpha!\,\lambda_\alpha = 0, d'où \lambda_\alpha = 0, absurde.tout ce début de page est encadré et barré de trois longues diagonales ; « A est local » est en outre biffé à part

Soit u^p = a, et soit C' = A[U]/(U^p - a). Soit D' une dérivation dans C' définie par DU = 1, alors muni de D, C' devient un espace homogène principal sous B [cf ci-dessous] ! Or l'homomorphisme C' \to C défini par U \mapsto u, est donc un B-homomorphisme. Il en résulte que C' \to C est un isomorphisme« une dérivation » est ajouté au-dessus de la ligne ; « C' \to C est » est écrit au-dessus d'un mot biffé

[de façon générale, si E, E' sont deux espaces fibrés principaux sous G, et si on a un G-homom. E \to E', alors ~~dans~~ c'est un isomorphisme, pourvu que G \times E \to G \times E' dans la catégorie \mathcal{C}, le diagramme monomis

\begin{tikzcd} G \times E \arrow[r] \arrow[d, "\wr"'] & G \times E' \arrow[d, "\wr"] \\ E \times E \arrow[r, "\sim"] & E' \times E' \end{tikzcd}

(comme flèches : opération loi). Or ~~et d'autre part E \times E \to E' \times E' est un~~la mise en page du crochet est confuse : « pourvu que », « le diagramme » et le mot souligné lu « monomis » sont enfermés dans un cadre qui renvoie au carré, la parenthèse de droite est cernée d'un trait, et la dernière ligne est biffée ; l'ordre de lecture proposé est incertain c'est le cas ici en prenant pour \mathcal{C} la catégorie des anneaux finis sur A — [pourvu que A soit noethérien ? —]

On a ainsi prouvé le

Théorème. H^1(A, B) s'identifie ~~à A~~ au groupe additif A/A^p (où A^p est l'ens. des x^p, avec x \in A). Si a \in A, il lui correspond la classe de la A-algèbre C_a = A[U]/(U^p - a), munie de la A-dérivation D_a définie par D_a U = 1, et C_a \simeq C_b si et seulement si a \equiv b \ (A^p). Soit C un B-espace homogène principal, alors il existe dans C un u tel que Du = 1, et ~~a \in~~ on a u^p = a \in A, C \simeq C_a en tant que ~~fibré~~ B-fibré ; u est bien déterminé mod addition d'un élément de A.un exposant est biffé sur le A de « a \in A »

On n'a pas prouvé que la loi additive naturelle de H^1(A; B) correspond à celle de A/A^p, mais paraît être pas facile.

Corollaire. Soit C une A-algèbre commutative. Pour ~~qu'il~~ qu'il existe sur C une structure de fibré homogène principal sous B, il faut et il suffit que C ait une p-base sur A réduite à un élément, i.e. un u \in C tel que les u^i (0 \leq i \leq p-1) forment une base de C sur A. La donnée d'une telle structure de B-fibré homogène principal sur C« qu'il » est récrit au-dessus du mot biffé ; « homogène » est ajouté deux fois au-dessus de la ligne, avec un renvoi

équivaut à la donnée d'une classe de tels u mod addition d'un élément de A, i.e. à la donnée d'un élément de C/A tel que, si u en est un représentant, (u^i) forme une p-base de C sur A ; choisi u, la B-structure correspondante est définie par la A-dérivation D de C telle que Du = 1, et inversement, donnée D, u est déterminé (mod A) par la condition Du = 1.

Enfin, la donnée d'une ~~restriction des scalaires~~ sous-A-hyperalgèbre \mathcal{U}' de la C-hyperalgèbre formée des \mathrm{Hom}_A(C, C), telle que {}_A C devienne homogène principal sous \mathcal{U}' et que \mathcal{U}' \simeq B — équivaut à la donnée d'une ~~\in p-base de u~~ classe de p-bases (u) réduites à un élément u, multiplicativement , la donnée par u les éléments v = au + b, avec a \in A^* (unités de A) et b \in A ; i.e. l'une des ces données est en correspondance biunivoque avec les éléments de l'espace projectif \mathbf{P}_A(C/A) = (C/A)/A^* associé au A-module C/A.« sous-A-hyperalgèbre », « classe de » et « projectif » sont écrits au-dessus de la ligne, les deux premiers sur des mots biffés ; le \mathcal{U}' qui suit « sous-A-hyperalgèbre » est porté dans la marge de gauche

Autre façon d'obtenir ces résultats, et des résultats globaux.

Soit X un ~~schéma~~ préschéma sur \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} (p un nb premier).« préschéma » est écrit au-dessus du mot biffé On a sur X une suite exacte de faisceaux de groupes commutatifs 0 \longrightarrow \mathcal{B}_X \longrightarrow G_{a,X} \xrightarrow{\ \Phi\ } G_{a,X} \longrightarrow 0 \qquad \Phi = \text{Frobenius} G_{a,X} correspond à l'hyperalgèbre \underline{O}[T] munie de \Delta T = T \otimes 1 + 1 \otimes T . L'homom. de Frobenius sur ~~cette~~ l'hyperalgèbre est donné par \underline{O}[T] \xleftarrow{\ \varphi\ } \underline{O}[T] \Phi(T) = T^p [on vérifie de suite que c'est compatible avec \Delta]. Son « noyau » est le sous-schéma de G_{a,X} « image inverse » par \Phi de la section unité de G_{a,X}, i.e. correspond au quotient \underline{O}[T]/\Phi(\mathrm{Ker}\,\varepsilon) où \varepsilon est l'augmentation dans \underline{O}[T], donc ce noyau est bien \underline{O}[T]/T^p\underline{O}[T] (car \mathrm{Ker}\,\varepsilon est engendré par T^p). Je dis que G \Phi \colon G_{a,X} \to G_{a,X} est surjectif« engendré par T^p » est lu tel quel ; c'est T qui engendre \mathrm{Ker}\,\varepsilon, et T^p = \Phi(T) qui engendre \Phi(\mathrm{Ker}\,\varepsilon)

en un sens technique suffisant : tout X-morphisme G_{a,X} \to Y (où Y est un préschéma sur X) qui est un G_{a,X}-hom. (quand G_{a,X} opère sur le premier facteur grâce à \Phi, et sur Y trivialement) est une section de Y, i.e. se factorise en G_{a,X} \xrightarrow{\ \mathrm{proj}\ } X \longrightarrow Y . Cela se voit p.ex. sur les ~~faisceaux~~ d'hyperalgèbres \Phi, en montrant que admettant est injectif [du moins si Y est affine ; , dans ce cas].?un gros point d'interrogation dans la marge de gauche, en regard du crochet ; le mot illisible après « faisceaux » est écrit au-dessus de ce mot biffé

On en conclut la suite exacte de cohomologie, qui s'écrit: justifier ? dans la marge de gauche, écrit de biais, avec une flèche vers le texte ; le passage est marqué d'un trait vertical ~~0 \to A[T]/T^p \to~~ 0 \to H^0(X, \mathcal{B}_X) \to A \xrightarrow{\ F\ } A \longrightarrow H^1(X, \mathcal{B}_X) \to H^1(X, \underline{O}_X) \xrightarrow{\ F\ } H^1(X, \underline{O}_X) le premier départ de la suite, biffé, est au-dessus de la ligne définitive ; la première étiquette F récrit une étiquette biffée [où \Phi provient de Frobenius , est pour A : H^1(X, \underline{O}_X)] d'où H^1(X, \mathcal{B}_X) comme extension du sous-groupe ~~H^1(X, \underline{O}_X)~~ par A/A^p. Si p.ex. X est une variété complète sur un corps algébriquement clos, on obtient que

H^1(X, \mathcal{B}_X) est le sous-espace vectoriel de l'espace de dim. finie H^1(X, \underline{O}_X), annulé par le Frobenius.

Remarque. Soit A = k[[X]], où k est un corps algébriquement clos. Les revêtements ~~ramifiés~~ de A obtenus par extraction d'une racine p-ième de A sont isomorphes [à condition de changer l'uniformisante, au besoin] à A[X^{n/p}] \simeq A[T]/(T^p - X^n), où {} \leq n \leq p-1 [pour n = 0, on obtiendrait \simeq A[T]/T^pA[T]]. Si n = 1, c'est un anneau local régulier. Sinon, il ne l'est pas, comme on voit facilement. Par exemple, si p = 3, A et si on prend n = 2, on obtient A[T]/(T^3 - X^2) = A[X^{2/3}], qui est isomorphe au sous-anneau de k[[Y]] = k[[X^{1/3}]] formé des séries formelles dont le coefficient de Y est nul. Pourtant, point vue des \mathcal{B}-~~fibrés~~ revêtements,« revêtements » est écrit au-dessus du mot biffé ; plus haut, le mot illisible après « Les revêtements » est écrit au-dessus d'un mot biffé

le revêtement envisagé est la somme de deux revêtements réguliers, correspondants resp. à l'adjonction d'une racine p-ième de X, et de -X + X^2 ; mais le produit fibré de ces deux anneaux C_1, C_2 sur A est déjà un anneau non régulier [car isomorphe à C_1[T]/(T^p), qui a des éléments nilpotents]« C_1, C_2 » est ajouté au-dessus de la ligne