Cote n° 40 · batch 2 · pages 21–27 · Transcription · Calculs [affines sur des] fibrés principaux affines : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration

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\(A\) est local. Montrons d'abord que les \(u^i\) (\(0 \leq i \leq p-1\)) sont libres sur \(A\). Soit […] […] \(\sum_0^{p-1} \lambda_i u^i = 0\) une relation non triviale entre les \(u^i\) (\(\lambda_i \in A\)), et soit \(\lambda_\alpha\) le premier coefficient non nul (\(0 \leq \alpha \leq p-1\)). Appliquons \(D^\alpha\), il vient […] \(\alpha!\,\lambda_\alpha = 0\), d'où \(\lambda_\alpha = 0\), absurde.tout ce début de page est encadré et barré de trois longues diagonales ; « \(A\) est local » est en outre biffé à part

Soit \(u^p = a\), et soit \(C' = A[U]/(U^p - a)\). […] […] […] […] Soit \(D'\) [une dérivation] dans \(C'\) définie par \(DU = 1\), alors muni de \(D\), \(C'\) devient un espace homogène principal sous \(B\) [cf ci-dessous] ! Or l'homomorphisme \(C' \to C\) défini par \(U \mapsto u\), est donc un \(B\)-homomorphisme. Il en résulte que […] \(C' \to C\) est un isomorphisme« une dérivation » est ajouté au-dessus de la ligne ; « \(C' \to C\) est » est écrit au-dessus d'un mot biffé

[de façon générale, si \(E, E'\) sont deux espaces fibrés principaux sous \(G\), et si […] on a un \(G\)-homom. \(E \to E'\), alors […] […] […] dans c'est un isomorphisme, pourvu que \(G \times E \to G \times E'\) dans la catégorie \(\mathcal{C}\), […] le diagramme monomis […]

\begin{tikzcd}
G \times E \arrow[r] \arrow[d, "\wr"'] & G \times E' \arrow[d, "\wr"] \\
E \times E \arrow[r, "\sim"] & E' \times E'
\end{tikzcd}

(comme […] flèches : opération […] […] loi[…]). Or et d'autre part \(E \times E \to E' \times E'\) est unla mise en page du crochet est confuse : « pourvu que », « le diagramme » et le mot souligné lu « monomis » sont enfermés dans un cadre qui renvoie au carré, la parenthèse de droite est cernée d'un trait, et la dernière ligne est biffée ; l'ordre de lecture proposé est incertain c'est le cas ici en prenant pour \(\mathcal{C}\) la catégorie des anneaux finis sur \(A\) — [pourvu que \(A\) soit noethérien ? —]

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On a ainsi prouvé le

Théorème. \(H^1(A, B)\) s'identifie à \(A\) au groupe additif \(A/A^p\) (où \(A^p\) est l'ens. des \(x^p\), avec \(x \in A\)). Si […] \(a \in A\), il lui correspond la classe de la \(A\)-algèbre \(C_a = A[U]/(U^p - a)\), munie de la \(A\)-dérivation \(D_a\) définie par \(D_a U = 1\), et \(C_a \simeq C_b\) si et seulement si \(a \equiv b \ (A^p)\). Soit \(C\) un \(B\)-espace homogène principal, alors il existe dans \(C\) un […] \(u\) tel que \(Du = 1\), et […] \(a \in\) […] on a \(u^p = a \in A\), \(C \simeq C_a\) en tant que fibré \(B\)-fibré ; \(u\) est bien déterminé mod addition d'un élément de \(A\).un exposant est biffé sur le \(A\) de « \(a \in A\) »

On n'a pas prouvé que la loi additive naturelle de \(H^1(A; B)\) correspond à celle de \(A/A^p\), mais […] […] paraît être pas facile.

Corollaire. Soit \(C\) une \(A\)-algèbre commutative. Pour qu'il […] qu'il existe sur \(C\) une structure de fibré [homogène] principal sous \(B\), il faut et il suffit que \(C\) ait une \(p\)-base sur \(A\) réduite à un élément, i.e. un \(u \in C\) tel que les \(u^i\) (\(0 \leq i \leq p-1\)) forment une base de \(C\) sur \(A\). La donnée d'une telle structure de \(B\)-fibré [homogène] principal sur \(C\)« qu'il » est récrit au-dessus du mot biffé ; « homogène » est ajouté deux fois au-dessus de la ligne, avec un renvoi

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équivaut à la donnée d'une classe de tels \(u\) mod addition d'un élément de \(A\), i.e. à la donnée d'un élément de \(C/A\) tel que, si \(u\) en est un représentant, \((u^i)\) forme une \(p\)-base de \(C\) sur \(A\) ; choisi \(u\), la \(B\)-structure correspondante est définie par la \(A\)-dérivation \(D\) de \(C\) telle que \(Du = 1\), et inversement, donnée \(D\), \(u\) est déterminé (mod \(A\)) par la condition \(Du = 1\).

Enfin, la donnée d'une restriction des scalaires sous-\(A\)-hyperalgèbre \(\mathcal{U}'\) de la \(C\)-hyperalgèbre formée des \(\mathrm{Hom}_A(C, C)\), telle que […]\({}_A\) \(C\) devienne […] homogène principal sous \(\mathcal{U}'\) et que \(\mathcal{U}' \simeq B\) — équivaut à la donnée d'une […] \(\in\) \(p\)-base de \(u\) classe de \(p\)-bases \((u)\) réduites à un élément \(u\), […] multiplicativement […], la […] donnée par \(u\) […] les éléments \(v = au + b\), avec \(a \in A^*\) (unités de \(A\)) et \(b \in A\) ; i.e. l'une des ces données est en correspondance biunivoque avec les éléments de l'espace [projectif] \(\mathbf{P}_A(C/A) = (C/A)/A^*\) associé au \(A\)-module \(C/A\).« sous-\(A\)-hyperalgèbre », « classe de » et « projectif » sont écrits au-dessus de la ligne, les deux premiers sur des mots biffés ; le \(\mathcal{U}'\) qui suit « sous-\(A\)-hyperalgèbre » est porté dans la marge de gauche

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Autre façon d'obtenir ces résultats, et des résultats globaux.

Soit \(X\) un schéma préschéma sur \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) (\(p\) un nb premier).« préschéma » est écrit au-dessus du mot biffé On a sur \(X\) une suite exacte de faisceaux de groupes commutatifs \[ 0 \longrightarrow \mathcal{B}_X \longrightarrow G_{a,X} \xrightarrow{\ \Phi\ } G_{a,X} \longrightarrow 0 \qquad \Phi = \text{Frobenius} \] \(G_{a,X}\) correspond à l'hyperalgèbre \(\underline{O}[T]\) munie de \[ \Delta T = T \otimes 1 + 1 \otimes T . \] L'homom. de Frobenius sur cette l'hyperalgèbre est donné par \[ \underline{O}[T] \xleftarrow{\ \varphi\ } \underline{O}[T] \] […] \[ \Phi(T) = T^p \] [on vérifie de suite que c'est compatible avec \(\Delta\)]. Son « noyau » est le sous-schéma de \(G_{a,X}\) « image inverse » par \(\Phi\) de la section unité de \(G_{a,X}\), […] i.e. correspond au quotient \(\underline{O}[T]/\Phi(\mathrm{Ker}\,\varepsilon)\) où \(\varepsilon\) est l'augmentation dans \(\underline{O}[T]\), donc ce noyau est bien \(\underline{O}[T]/T^p\underline{O}[T]\) (car \(\mathrm{Ker}\,\varepsilon\) est engendré par \(T^p\)). Je dis […] que \(G\) \(\Phi \colon G_{a,X} \to G_{a,X}\) est surjectif« engendré par \(T^p\) » est lu tel quel ; c'est \(T\) qui engendre \(\mathrm{Ker}\,\varepsilon\), et \(T^p = \Phi(T)\) qui engendre \(\Phi(\mathrm{Ker}\,\varepsilon)\)

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en un sens technique suffisant : tout \(X\)-morphisme \(G_{a,X} \to Y\) (où \(Y\) est un préschéma sur \(X\)) qui est un \(G_{a,X}\)-hom. (quand \(G_{a,X}\) opère sur le premier facteur grâce à \(\Phi\), et sur \(Y\) trivialement) est une section de \(Y\), i.e. se factorise en \[ G_{a,X} \xrightarrow{\ \mathrm{proj}\ } X \longrightarrow Y . \] Cela se voit p.ex. sur les faisceaux […] d'hyperalgèbres \(\Phi\), en montrant que admettant […] […] est injectif [du moins si \(Y\) est affine ; […] […], […] […] dans ce cas].?un gros point d'interrogation dans la marge de gauche, en regard du crochet ; le mot illisible après « faisceaux » est écrit au-dessus de ce mot biffé

On en conclut […] la […] suite exacte de cohomologie, qui s'écrit: justifier ? […]dans la marge de gauche, écrit de biais, avec une flèche vers le texte ; le passage est marqué d'un trait vertical \(0 \to A[T]/T^p \to\) \[ 0 \to H^0(X, \mathcal{B}_X) \to A \xrightarrow{\ F\ } A \longrightarrow H^1(X, \mathcal{B}_X) \to H^1(X, \underline{O}_X) \xrightarrow{\ F\ } H^1(X, \underline{O}_X) \] le premier départ de la suite, biffé, est au-dessus de la ligne définitive ; la première étiquette \(F\) récrit une étiquette biffée [où \(\Phi\) provient de Frobenius […], est […] […] pour \(A\) : \(H^1(X, \underline{O}_X)\)] d'où \(H^1(X, \mathcal{B}_X)\) comme extension […] […] du sous-groupe […] […] \(H^1(X, \underline{O}_X)\) […] par \(A/A^p\). Si p.ex. \(X\) est une variété complète sur un corps algébriquement clos, on obtient que

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\(H^1(X, \mathcal{B}_X)\) est le sous-espace vectoriel de l'espace de dim. finie \(H^1(X, \underline{O}_X)\), annulé par le Frobenius.

Remarque. Soit \(A = k[[X]]\), où \(k\) est un corps algébriquement clos. Les revêtements […] […] ramifiés de \(A\) obtenus par extraction d'une racine \(p\)-ième de \(A\) sont […] isomorphes [à condition de changer l'uniformisante, au besoin] à \[ A[X^{n/p}] \simeq A[T]/(T^p - X^n), \] où […]\({} \leq n \leq p-1\) […] [pour \(n = 0\), on obtiendrait \(\simeq A[T]/T^pA[T]\)]. Si \(n = 1\), c'est un anneau local régulier. Sinon, il ne l'est pas, comme on voit facilement. Par exemple, si \(p = 3\), […] \(A\) […] et si on prend \(n = 2\), on obtient \[ A[T]/(T^3 - X^2) = A[X^{2/3}], \] qui est isomorphe au sous-anneau de […] \(k[[Y]] = k[[X^{1/3}]]\) formé des séries formelles dont le coefficient de \(Y\) est nul. Pourtant, […] point […] vue des \(\mathcal{B}\)-fibrés revêtements,« revêtements » est écrit au-dessus du mot biffé ; plus haut, le mot illisible après « Les revêtements » est écrit au-dessus d'un mot biffé

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le revêtement envisagé est la somme de deux revêtements réguliers, correspondants resp. à l'adjonction d'une racine \(p\)-ième de \(X\), et de \(-X + X^2\) ; mais le produit fibré de ces deux anneaux \(C_1, C_2\) sur \(A\) est déjà un anneau non régulier [car isomorphe à \(C_1[T]/(T^p)\), qui a des éléments nilpotents]« \(C_1, C_2\) » est ajouté au-dessus de la ligne