Cote n° 40 · pages 1–27 · Lecture modernisée · Calculs [affines sur des] fibrés principaux affines : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier a une seule ligne, sans reprise ni mouture.

• Pages 1 et 2 — les schémas en groupes affines comme algèbres de Hopf commutatives ; le dual \(\mathcal{U}\) quand l'algèbre est libre de rang fini.
• Pages 2 à 4 — les actions, sous forme de coaction, puis sous forme de module sur \(\mathcal{U}\).
• Pages 4 à 10 — les espaces principaux homogènes : la condition d'isomorphisme, le quotient par le groupe, et deux critères équivalents pour \(B\) et \(C\) libres de type fini.
• Pages 11 à 15 — reprise catégorique et démonstration de l'équivalence des deux critères, dont une direction reste inachevée sur la page.
• Pages 16 à 18 — l'exemple de \(\alpha_p\) : actions par dérivations, et la « Proposition ».
• Pages 18 à 23 — la classification : \(H^1(A,\alpha_p) = A/A^p\), le « Théorème » et son « Corollaire ».
• Pages 24 à 27 — la suite exacte de Frobenius, la version globale, et la « Remarque » sur \(k[[X]]\).

Conventions valables pour tout le dossier. \(A\) est un anneau commutatif, les algèbres sont commutatives et unitaires sauf mention contraire, et les produits tensoriels sont pris sur \(A\). Le groupe est \(G = \operatorname{Spec} B\), l'espace sur lequel il agit est \(E = \operatorname{Spec} C\). On note \(\Delta_B\) la comultiplication de \(B\) (la page écrit \(p_B\)), \(\varepsilon\) sa coünité, \(J = \operatorname{Ker}\varepsilon\), \(S\) son antipode (la page écrit \(x \mapsto \check{x}\)), et \(m_C \colon C \otimes C \to C\) la multiplication de \(C\).¹ On note \(p_1, p_2 \colon C \to C \otimes C\) les homomorphismes \(x \mapsto x \otimes 1\) et \(x \mapsto 1 \otimes x\), duaux des deux projections \(E \times E \to E\), comme le fait la page. Les invariants de \(C\) sont notés \(C^G\).² À partir de la page 16 le groupe est \(\alpha_p\), que la page appelle \(B\), et son faisceau sur un préschéma \(X\) est \(\alpha_{p,X}\).

1–2

Groupes affines et algèbres de Hopf (pages 1 et 2)

Un groupe dans la catégorie opposée à celle des \(A\)-algèbres — c'est-à-dire un schéma en groupes affine \(G = \operatorname{Spec} B\) sur \(A\) — est une \(A\)-algèbre \(B\) munie d'un homomorphisme d'algèbres coassociatif \(\Delta_B \colon B \to B \otimes B\), d'une coünité \(\varepsilon \colon B \to A\) et d'une antipode \(S \colon B \to B\) : une algèbre de Hopf commutative. La coünité est caractérisée par \[ \Delta_B x - (x \otimes 1 + 1 \otimes x) \in J \otimes J \qquad (x \in J), \] et elle est unique si elle existe.³ L'antipode est l'homomorphisme d'algèbres tel que, si \(\Delta_B x = \sum y_i \otimes z_i\), \[ \sum S(y_i)\, z_i = \sum y_i\, S(z_i) = \varepsilon(x)\cdot 1 . \] Elle est unique, c'est une involution (parce que \(B\) est commutative), et l'on a \(\varepsilon \circ S = \varepsilon\) et \(\Delta_B (S x) = \sum S(z_i) \otimes S(y_i)\).

Supposons \(B\) libre de rang fini sur \(A\)⁴ et soit \(\mathcal{U} = \operatorname{Hom}_A(B, A)\) son dual. Toute la structure passe au dual en se retournant : la multiplication de \(B\) devient une comultiplication \(\Delta_{\mathcal{U}}\), cocommutative et coassociative, avec la coünité \(\eta(u) = u(1_B)\) ; la comultiplication de \(B\) devient une multiplication associative et unitaire, en général non commutative ; les deux sont compatibles (\(\Delta_{\mathcal{U}}\) est un homomorphisme d'algèbres) ; l'antipode devient un antiautomorphisme involutif \(S_{\mathcal{U}}\), déterminé de façon unique par l'identité \(\sum y_i\, S_{\mathcal{U}}(z_i) = \sum S_{\mathcal{U}}(y_i)\, z_i = \eta(x)\cdot 1\) pour \(\Delta_{\mathcal{U}} x = \sum y_i \otimes z_i\). Bref, \(\mathcal{U}\) est une algèbre de Hopf cocommutative, l'« hyperalgèbre » du groupe.⁵

2–4

Actions : coactions et modules-algèbres (pages 2 à 4)

Faire agir \(G\) à gauche sur \(E = \operatorname{Spec} C\), c'est se donner un homomorphisme d'algèbres unitaires \[ q_C \colon C \longrightarrow B \otimes C \] qui satisfait à deux conditions : l'associativité, \((\mathrm{id}_B \otimes q_C)\, q_C = (\Delta_B \otimes \mathrm{id}_C)\, q_C\), et l'unité, \((\varepsilon \otimes \mathrm{id}_C)\, q_C = \mathrm{id}_C\), qui s'écrit aussi \(q_C(y) \in 1 \otimes y + J \otimes C\). C'est ce qu'on appelle aujourd'hui une algèbre-comodule sur \(B\).

\begin{tikzcd}[column sep=huge, row sep=large]
B \otimes B \otimes C & B \otimes C \arrow[l, "\mathrm{id}_B \otimes q_C"'] \\
B \otimes C \arrow[u, "\Delta_B \otimes \mathrm{id}_C"] & C \arrow[l, "q_C"] \arrow[u, "q_C"']
\end{tikzcd}

Si \(B\) est libre de rang fini, \(B \otimes C' \simeq \operatorname{Hom}_A(\mathcal{U}, C')\) pour tout \(A\)-module \(C'\), de sorte qu'une application \(A\)-linéaire \(C \to B \otimes C'\) est la même chose qu'une application \(A\)-linéaire \(\mathcal{U} \to \operatorname{Hom}_A(C, C')\). Pour \(C' = C\), la coaction devient ainsi une action de \(\mathcal{U}\) sur \(C\), que l'on note \(u \cdot x = (u \otimes \mathrm{id}_C)\, q_C(x)\). Les axiomes d'associativité et d'unité disent que \(C\) est un \(\mathcal{U}\)-module unitaire⁶ ; et que \(q_C\) soit un homomorphisme d'algèbres unitaires se traduit par \[ u \cdot 1_C = \eta(u)\, 1_C, \qquad u \cdot (xy) = \sum (v_i \cdot x)(w_i \cdot y) \quad\text{si } \Delta_{\mathcal{U}} u = \sum v_i \otimes w_i . \] C'est la notion de \(\mathcal{U}\)-module-algèbre.⁷ Si \(u\) est un élément « primitif » (\(\Delta_{\mathcal{U}} u = u \otimes 1 + 1 \otimes u\)), la seconde condition dit simplement que \(u\) agit par une dérivation : c'est ce qui servira à partir de la page 16.

4–8

Espaces principaux homogènes et quotient (pages 4 à 8)

La condition

Que \(E\) soit un espace principal homogène sous \(G\) — que l'action soit « libre et transitive » — s'exprime en demandant que le morphisme \(G \times E \to E \times E\), \((g, y) \mapsto (g y, y)\), soit un isomorphisme. Sur les algèbres, c'est l'homomorphisme \[ \varphi = (q_C, p_2) \colon C \otimes C \longrightarrow B \otimes C, \qquad \varphi(x \otimes y) = q_C(x)\,(1 \otimes y), \] c'est-à-dire le composé \((\mathrm{id}_B \otimes m_C) \circ (q_C \otimes \mathrm{id}_C)\). Il revient au même de demander qu'il existe un homomorphisme d'algèbres unitaires \(g_C \colon B \to C \otimes C\) — le morphisme \(E \times E \to G\) qui envoie \((x, y)\) sur l'unique \(g\) tel que \(x = g y\) — rendant commutatifs les deux triangles \[ (g_C, p_2) \circ q_C = p_1, \qquad \varphi \circ g_C = p_1, \] où \((g_C, p_2) \colon B \otimes C \to C \otimes C\) est \(b \otimes y \mapsto g_C(b)\,(1 \otimes y)\) et où \(p_1\) désigne, dans le second, l'homomorphisme \(b \mapsto b \otimes 1\) de \(B\) dans \(B \otimes C\). En effet \((g_C, p_2)\) est alors l'inverse de \(\varphi\).⁸

Cette condition seule ne fait pas de \(E\) un torseur au sens d'aujourd'hui : elle est satisfaite, par exemple, par l'objet vide (\(C = 0\)). On dit qu'un tel \(E\) est formellement principal homogène, ou un pseudo-torseur.⁹

Le quotient par le groupe

Soit \(h \colon \mathcal{D} \to C\) un homomorphisme d'algèbres tel que \(q_C \circ h = (x \mapsto 1 \otimes x) \circ h\), autrement dit un morphisme \(E \to \operatorname{Spec}\mathcal{D}\) constant sur les orbites. Cela signifie exactement que \(h\) prend ses valeurs dans la sous-algèbre des invariants \[ C^G = \{\, x \in C \;:\; q_C(x) = 1 \otimes x \,\}. \] Donc le quotient de \(E\) par \(G\) dans la catégorie des schémas affines existe, et c'est \(\operatorname{Spec} C^G\) : c'est l'égalisateur des deux homomorphismes \(C \rightrightarrows B \otimes C\).¹⁰ La question que pose la page 6 — un tel \(h\) se factorise-t-il par \(A\) ? — revient donc à savoir si \(C^G = A\).

Mais ce quotient « dans la catégorie » peut être très différent du quotient géométrique. Soit \(k\) algébriquement clos, \(E\) le groupe linéaire, \(G\) un sous-groupe de Borel agissant par translations. Le quotient \(E/G\) existe dans la catégorie des schémas : c'est la variété des drapeaux, qui est complète. Ses seules fonctions globales sont les constantes ; donc \(C^G = k\), et le quotient dans la catégorie des variétés affines est réduit à un point.¹¹

Les invariants d'un pseudo-torseur

Si \(E\) est un pseudo-torseur et \(x \in C^G\), le premier triangle appliqué à \(x\) donne \[ x \otimes 1 = 1 \otimes x \quad\text{dans } C \otimes C . \] Si de plus \(A \cdot 1_C\) est un facteur direct du \(A\)-module \(C\), avec \(\lambda \mapsto \lambda 1_C\) injectif, cette égalité force \(x \in A \cdot 1_C\) : écrivant \(C = A \cdot 1 \oplus N\) et \(x = \lambda + n\), la composante de \(x \otimes 1 - 1 \otimes x\) dans \(N \otimes A\) est \(n \otimes 1\), d'où \(n = 0\). Donc \(C^G = A\). L'hypothèse est satisfaite dès que \(C\) est un \(A\)-module libre ayant une base contenant \(1_C\), et en particulier dès que \(C\) est libre de type fini et non nul.¹²

Sans hypothèse de cette sorte, c'est faux, et la page 8 le montre : si \(J\) est un idéal de \(A\) et \(C = B / JB\), avec la coaction obtenue en réduisant \(\Delta_B\) modulo \(J\), les axiomes restent vérifiés, \(E\) est même un pseudo-torseur, et pourtant \(C^G = A/J\).¹³

9–10

Deux critères quand \(B\) et \(C\) sont libres de type fini (pages 9 et 10)

Supposons \(B\) et \(C\) libres de type fini, \(C \neq 0\). Le paragraphe précédent montre alors que la condition sur les invariants est conséquence de celle de pseudo-torseur. Le critère s'écrit de deux façons.

Par \(\varphi\). Via \(B \otimes C \simeq \operatorname{Hom}_A(\mathcal{U}, C)\), l'homomorphisme \(\varphi\) devient \[ \varphi \colon C \otimes C \longrightarrow \operatorname{Hom}_A(\mathcal{U}, C), \qquad \varphi(x \otimes y)(u) = (u \cdot x)\, y , \] le second membre étant muni de la convolution \(v * w = m_C \circ (v \otimes w) \circ \Delta_{\mathcal{U}}\), pour laquelle \(\varphi\) est un homomorphisme d'algèbres. \(E\) est un pseudo-torseur si et seulement si \(\varphi\) est bijectif.

Par les opérateurs. Soit \[ \psi \colon C \otimes \mathcal{U} \longrightarrow \operatorname{End}_A(C), \qquad \psi(x \otimes u)(y) = x\,(u \cdot y). \] \(\varphi\) est un isomorphisme si et seulement si \(\psi\) en est un : autrement dit, \(E\) est un pseudo-torseur si et seulement si les opérateurs de \(\mathcal{U}\), pris avec des coefficients dans \(C\), fournissent exactement tous les endomorphismes \(A\)-linéaires de \(C\).¹⁴

Enfin, la condition sur les invariants s'écrit en termes de \(\mathcal{U}\) : \(x \in C^G\) si et seulement si \(u \cdot x = \eta(u)\, x\) pour tout \(u \in \mathcal{U}\).

11–15

Reprise catégorique ; l'équivalence des deux critères (pages 11 à 15)

Le cadre

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie avec objet final \(e\) et produits, \(G\) un groupe de \(\mathcal{C}\), \(E\) un objet sur lequel \(G\) opère par \(q_E \colon G \times E \to E\). On dit que \(E\) est formellement principal homogène si \((q_E, p_2) \colon G \times E \to E \times E\) est un isomorphisme ; il revient au même qu'il existe \(g_E \colon E \times E \to G\) — « \(x = g(x, y)\, y\) », dit la marge — tel que \[ q_E \circ (g_E, p_2) = p_1 \ \text{sur } E \times E, \qquad g_E \circ (q_E, p_2) = p_1 \ \text{sur } G \times E . \] Pour \(\mathcal{C}\) opposée à la catégorie des \(A\)-algèbres, on retrouve exactement les deux triangles des pages 4 et 5.

Le critère \(\psi\) est le transposé du critère \(\varphi\)

On n'a plus besoin ici que \(B\) soit libre. Posons \[ \psi \colon \operatorname{Hom}_A(B, C) \longrightarrow \operatorname{End}_A(C), \qquad \psi(v) = m_C \circ (v \otimes \mathrm{id}_C) \circ q_C . \] Quand \(B\) est libre de type fini, \(\operatorname{Hom}_A(B, C) \simeq C \otimes \mathcal{U}\) et l'on retrouve le \(\psi\) de la page 9.

Si \(\varphi\) est un isomorphisme, \(\psi\) en est un, d'inverse \[ \psi'(w) = m_C \circ (w \otimes \mathrm{id}_C) \circ g_C . \] La page le vérifie par deux colonnes de diagrammes (page 13), qui réécrivent \(\psi\psi'(w)\) et \(\psi'\psi(v)\) en échangeant l'ordre des étapes jusqu'à reconnaître \(w\) et \(v\).¹⁵ Il y a une raison plus courte, qui explique aussi la réciproque. Munissons \(B \otimes C\) et \(C \otimes C\) de leur structure de \(C\)-module par le facteur de droite ; \(\varphi\) est alors \(C\)-linéaire. Une application \(A\)-linéaire \(v \colon B \to C\) est la même chose qu'une application \(C\)-linéaire \(\tilde v \colon B \otimes C \to C\), et de même \(\operatorname{End}_A(C) \simeq \operatorname{Hom}_C(C \otimes C, C)\), \(w \mapsto (x \otimes y \mapsto w(x)\,y)\). Dans ces identifications, \[ \psi(v) = \tilde v \circ \varphi \ \text{restreint à } C \otimes 1 : \qquad \psi = \operatorname{Hom}_C(\varphi, C). \] Le critère \(\psi\) est donc le transposé, en tant que \(C\)-module, du critère \(\varphi\).¹⁶ Il en résulte aussitôt que \(\psi\) est bijectif si \(\varphi\) l'est.

La réciproque

Réciproquement, si \(C\) est un \(A\)-module projectif de type fini (par exemple libre de type fini) et \(B\) libre de type fini, et si \(\psi\) est un isomorphisme, alors \(\varphi\) en est un. En effet \(B \otimes C\) et \(C \otimes C\) sont alors des \(C\)-modules projectifs de type fini, pour lesquels un homomorphisme est bijectif dès que son transposé l'est.

La page suit un autre chemin, qu'elle ne mène pas à son terme. Elle part de l'inverse \(\psi'\) de \(\psi\), le regarde comme une application \(\psi'_1 \colon B \to \operatorname{Hom}(\operatorname{End}_A(C), C)\), et cherche à en tirer \(g_C\) en composant avec une application naturelle \[ \rho \colon \operatorname{Hom}(\operatorname{End}_A(C), C) \simeq C \otimes C^{\vee} \otimes C \xrightarrow{\ \mathrm{id} \otimes \varepsilon_C \otimes \mathrm{id}\ } C \otimes C, \] où \(\varepsilon_C \colon C^{\vee} \to A\) est l'évaluation en \(1_C\). Il resterait à vérifier que \(g_C = \rho \circ \psi'_1\) satisfait aux deux triangles ; la page s'arrête sur « Pour ceci, —- », avec « ??? » en marge, et le reste de la page 15 est blanc.¹⁷

16–18

L'exemple de \(\alpha_p\) (pages 16 à 18)

Le groupe et son hyperalgèbre

Soit \(A\) de caractéristique \(p\) et \[ \mathcal{U} = A[X]/(X^p), \qquad \Delta X = X \otimes 1 + 1 \otimes X, \quad \varepsilon(X) = 0, \quad S(X) = -X . \] La comultiplication est bien définie parce que, en caractéristique \(p\), \(\Delta(X^p) = X^p \otimes 1 + 1 \otimes X^p\) appartient à l'idéal engendré par \(X^p \otimes 1\) et \(1 \otimes X^p\). C'est l'algèbre de Hopf du schéma en groupes \(\alpha_p\) des \(x\) tels que \(x^p = 0\) — le noyau du Frobenius du groupe additif, comme le diront les pages 24 et suivantes. Elle est isomorphe à sa duale : la base duale de \((X^i)_{0 \le i < p}\) est formée des \(Y^i / i!\), où \(Y\) est primitif et \(Y^p = 0\).¹⁸ On peut donc regarder \(\mathcal{U}\) indifféremment comme l'algèbre du groupe ou comme son hyperalgèbre, et la page passe de l'un à l'autre : elle appelle \(B\) le groupe dont \(\mathcal{U}\) est le dual.

Actions par dérivations

Faire opérer \(\mathcal{U}\) sur une \(A\)-algèbre commutative \(C\), c'est se donner l'image \(D\) de \(X\), un endomorphisme \(A\)-linéaire de \(C\), soumis à deux conditions : \(D^p = 0\), pour que \(A[X]/(X^p)\) agisse ; et \(D(xy) = x\,Dy + y\,Dx\), parce que \(X\) est primitif. Une action de \(\alpha_p\) sur \(\operatorname{Spec} C\) est donc la même chose qu'une \(A\)-dérivation de \(C\) de puissance \(p\)-ième nulle.¹⁹

Supposons \(C\) libre de type fini et non nul. Comme \(C \otimes C \simeq B \otimes C\), son rang est nécessairement \(p\).²⁰ Par le critère de la page 9, \(\operatorname{Spec} C\) est alors principal homogène si et seulement si \[ 1, D, D^2, \ldots, D^{p-1} \ \text{forment une base du $C$-module}\ \operatorname{End}_A(C), \] où \(C\) agit sur \(\operatorname{End}_A(C)\) par \((\lambda w)(y) = \lambda\, w(y)\).

La « Proposition »

Supposons que \(C\) admette une \(p\)-base sur \(A\) réduite à un élément \(u\) : \(C \simeq A[u]/(u^p - a)\) avec \(a \in A\). Toute valeur de \(Du\) définit une \(A\)-dérivation, puisque \(D(u^p - a) = p\, u^{p-1} Du = 0\) ; prenons \(Du = 1\), de sorte que \(D(u^n) = n\, u^{n-1}\) et \(D^p = 0\). Identifions \(\operatorname{End}_A(C)\) à \(C^p\) par \(w \mapsto (w(u^j))_{0 \le j \le p-1}\) — c'est un isomorphisme de \(C\)-modules. Les \(D^i\) deviennent les lignes de la matrice triangulaire \[ \bigl(D^i(u^j)\bigr)_{0 \le i, j \le p-1} = \begin{pmatrix} 1 & u & u^2 & \cdots & u^{p-1} \\ 0 & 1 & 2u & \cdots & (p-1)\, u^{p-2} \\ 0 & 0 & 2! & \cdots & (p-1)(p-2)\, u^{p-3} \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & (p-1)! \end{pmatrix}, \] de déterminant \(0!\,1!\,2!\cdots(p-1)!\), image d'un élément non nul de \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), donc inversible. D'où :

Proposition (page 18). Soit \(C\) une \(A\)-algèbre admettant une \(p\)-base réduite à un élément \(u\), c'est-à-dire \(C = A[u]/(u^p - a)\). Muni de la dérivation \(D\) telle que \(Du = 1\), \(\operatorname{Spec} C\) est un torseur sous \(\alpha_p\).

C'est bien un torseur et non seulement un pseudo-torseur, puisque \(C\) est libre et non nul, donc fidèlement plat.²¹

18–18

Deux « Questions »

La page 18 pose deux questions qu'elle ne reprend pas. La première : pour \(C\) comme ci-dessus, déterminer toutes les façons d'obtenir la \(C\)-algèbre \(\operatorname{End}_A(C)\) comme \(C \otimes \mathcal{U}\) à partir d'une sous-\(A\)-hyperalgèbre \(\mathcal{U}\) libre de rang \(p\). La seconde : déterminer celles de ces \(\mathcal{U}\) qui sont l'algèbre enveloppante d'une \(p\)-algèbre de Lie libre de rang un, de puissance \(p\)-ième nulle.²² Les pages 22 et 23 répondent en partie à la première, pour \(\mathcal{U} \simeq \alpha_p\).

19–23

La classification : \(H^1(A, \alpha_p) = A/A^p\) (pages 19 à 23)

Les invariants d'un torseur sous \(\alpha_p\)

Soit \(C\) une \(A\)-algèbre libre de rang \(p\), munie d'une \(A\)-dérivation \(D\) telle que \(D^p = 0\) et que \(1, D, \ldots, D^{p-1}\) forment une base de \(\operatorname{End}_A(C)\) sur \(C\). Alors \(\operatorname{Ker} D = A\).

Cela repose sur un lemme d'orthogonalité. Pour un sous-\(A\)-module \(M\) de \(C\), notons \(M^{\circ} \subset \operatorname{End}_A(C)\) l'ensemble des endomorphismes nuls sur \(M\), et pour \(L \subset \operatorname{End}_A(C)\) notons \(L^{\circ} \subset C\) l'ensemble des éléments annulés par \(L\).

Lemme (page 19). Si \(M\) est libre de rang \(m\) et facteur direct dans \(C\), alors \(M^{\circ}\) est un sous-\(C\)-module libre de rang \(p - m\) et facteur direct de \(\operatorname{End}_A(C)\), et \(M = (M^{\circ})^{\circ}\). Si \(L \subset M^{\circ}\) est un sous-\(C\)-module libre de rang \(p - m\) et facteur direct, alors \(L = M^{\circ}\), et donc \(M = L^{\circ}\).

Si \(C = M \oplus N\), on a \(M^{\circ} \simeq \operatorname{Hom}_A(N, C)\), libre de rang \(p - m\) sur \(C\) ; un \(x \notin M\) a une composante non nulle dans \(N\), que la projection sur \(N\) ne tue pas ; et \(L\), facteur direct de \(M^{\circ}\) de même rang, lui est égal. On applique le lemme à \(M = A \cdot 1_C\) et à \(L\) engendré par \(D, D^2, \ldots, D^{p-1}\), qui sont nuls sur \(A\) et font partie d'une base : il vient \(A = L^{\circ} = \{x : D^i x = 0,\ 1 \le i \le p-1\} = \operatorname{Ker} D\).²³

Une conséquence au passage : pour tout \(x \in C\), \(x^p \in A\), puisque \(D(x^p) = p\,x^{p-1}\,Dx = 0\).

L'élément \(u\)

Corollaire (page 20). Il existe \(u \in C\) tel que \(Du = 1\), et \(u\) est unique à l'addition près d'un élément de \(A\).

L'unicité vient de \(\operatorname{Ker} D = A\). Pour l'existence, la question est locale sur \(\operatorname{Spec} A\) : l'ensemble des \(u\) tels que \(Du = 1\), s'il n'est pas vide, est un espace principal homogène sous le groupe additif \(A\), et un torseur sous le faisceau structural d'un schéma affine est trivial (\(H^1(\operatorname{Spec} A, \mathcal{O}) = 0\)) ; on peut donc supposer \(A\) local, d'idéal maximal \(\mathfrak{m}\) et de corps résiduel \(k\). Les hypothèses passent à \(\bar C = C / \mathfrak{m} C\) et à la dérivation réduite \(\bar D\), et l'énoncé sur les invariants donne \(\operatorname{Ker}\bar D = k\). Un endomorphisme nilpotent d'un \(k\)-espace de dimension \(p\) dont le noyau est une droite a un seul bloc de Jordan, donc \(\bar D^{p-1} \neq 0\). Choisissons \(x \in C\) avec \(\bar D^{p-1} \bar x \neq 0\) : alors \(D^{p-1} x\) est dans \(\operatorname{Ker} D = A\) et a une image non nulle dans \(k\) ; c'est une unité \(c\) de \(A\), et \(u = c^{-1} D^{p-2} x\) convient.²⁴

20–21

Tout torseur est \(A[U]/(U^p - a)\)

Si \(Du = 1\), les \(u^i\) (\(0 \le i \le p-1\)) forment une base de \(C\) sur \(A\). Posons \(a = u^p\), qui est dans \(A\), et \(C_a = A[U]/(U^p - a)\) avec la dérivation \(D_a U = 1\). Par la Proposition, \(C_a\) est un torseur. L'homomorphisme \(C_a \to C\), \(U \mapsto u\), commute aux dérivations, donc est un morphisme de torseurs sous \(\alpha_p\) ; et un morphisme entre deux torseurs sous un même groupe est un isomorphisme.²⁵

Le début de la page 21 contient une autre démonstration, barrée, de l'indépendance linéaire des \(u^i\) : d'une relation \(\sum \lambda_i u^i = 0\), on tire une contradiction en appliquant une puissance de \(D\). Il faut l'appliquer au dernier coefficient non nul \(\lambda_\beta\) : \(D^\beta\) donne alors \(\beta!\,\lambda_\beta = 0\), donc \(\lambda_\beta = 0\).²⁶

22–23

Le « Théorème » et le « Corollaire »

Théorème (page 22). L'ensemble \(H^1(A, \alpha_p)\) des classes de torseurs sous \(\alpha_p\) s'identifie au groupe additif \(A/A^p\), où \(A^p = \{x^p : x \in A\}\). À \(a \in A\) correspond la classe de \(C_a = A[U]/(U^p - a)\), munie de la dérivation \(D_a U = 1\) ; et \(C_a \simeq C_b\) si et seulement si \(a \equiv b \pmod{A^p}\). Tout torseur \(C\) est isomorphe à un \(C_a\), avec \(a = u^p\) pour un \(u\) tel que \(Du = 1\), lui-même déterminé à l'addition près d'un élément de \(A\).

Le dernier point est la section précédente. Pour le critère d'isomorphie : un isomorphisme équivariant \(C_a \to C_b\) envoie \(U\) sur un élément \(v\) tel que \(D_b v = 1\), donc \(v = U + c\) avec \(c \in A\), et \(a = v^p = b + c^p\). Comme \(A\) est de caractéristique \(p\), \(A^p\) est un sous-anneau et le quotient \(A/A^p\) un groupe.²⁷

La page ajoute : « On n'a pas prouvé que la loi additive naturelle de \(H^1(A; B)\) correspond à celle de \(A/A^p\) ». Elle y correspond. La bijection est le cobord \(\delta \colon A \to H^1(A, \alpha_p)\) de la suite exacte de Frobenius des pages 24 et 25 — \(\delta(a)\) est le torseur des racines \(p\)-ièmes de \(a\), c'est-à-dire \(\operatorname{Spec} C_a\) — et un cobord est un homomorphisme de groupes.²⁸

Corollaire (pages 22 et 23). Une \(A\)-algèbre commutative \(C\) admet une structure de torseur sous \(\alpha_p\) si et seulement si elle admet une \(p\)-base réduite à un élément, c'est-à-dire un \(u\) tel que les \(u^i\) (\(0 \le i \le p-1\)) forment une base de \(C\) sur \(A\) et que \(u^p \in A\).²⁹ Une telle structure équivaut à la donnée d'une classe de tels \(u\) modulo \(A\), ou encore de la dérivation \(D\) telle que \(Du = 1\).

Enfin, la page décrit les sous-\(A\)-hyperalgèbres \(\mathcal{U}' \subset \operatorname{End}_A(C)\), isomorphes à \(A[X]/(X^p)\), qui font de \(C\) un torseur. Une telle \(\mathcal{U}'\) est \(A[D]\), et elle détermine \(D\) au produit près par une unité de \(A\), puisque les éléments primitifs de \(A[X]/(X^p)\) sont les \(cX\) et que ses automorphismes sont les \(X \mapsto cX\) avec \(c \in A^*\). Remplacer \(D\) par \(c^{-1} D\) remplace \(u\) par \(cu\) ; la donnée de \(\mathcal{U}'\) équivaut donc à celle d'une classe de \(p\)-bases modulo \(u \mapsto au + b\), avec \(a \in A^*\) et \(b \in A\), c'est-à-dire d'un point de \((C/A)/A^*\).³⁰ En réponse partielle à la première « Question » de la page 18 : pour \(C\) radiciel de degré \(p\) sur un corps, les façons de présenter \(\operatorname{End}_k(C)\) comme \(C \otimes \mathcal{U}'\) avec \(\mathcal{U}' \simeq A[X]/(X^p)\) forment un espace projectif.

24–26

Le point de vue global : la suite de Frobenius (pages 24 à 26)

Sous le titre « Autre façon d'obtenir ces résultats, et des résultats globaux », la page reprend tout en une suite exacte. Soit \(X\) un préschéma sur \(\mathbb{F}_p\) — un schéma, dirait-on aujourd'hui. Le groupe additif \(\mathbb{G}_{a,X}\) a pour algèbre de Hopf \(\mathcal{O}_X[T]\), avec \(T\) primitif ; le Frobenius \(\Phi\), donné par \(T \mapsto T^p\), est un endomorphisme du groupe, et son noyau — l'image inverse de la section unité, d'algèbre \(\mathcal{O}_X[T]/(T^p)\) — est \(\alpha_{p,X}\).³¹ D'où la suite exacte \[ 0 \longrightarrow \alpha_{p,X} \longrightarrow \mathbb{G}_{a,X} \xrightarrow{\ \Phi\ } \mathbb{G}_{a,X} \longrightarrow 0 . \] Qu'elle soit exacte à droite est le point délicat. La page affirme que \(\Phi\) est surjectif « en un sens technique suffisant » : tout morphisme \(\mathbb{G}_{a,X} \to Y\) invariant sous l'action de \(\mathbb{G}_{a,X}\) par \(\Phi\) se factorise par \(X\) — autrement dit \(\Phi\) est un épimorphisme effectif.³² La suite longue de cohomologie, où \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\), s'écrit \[ 0 \to H^0(X, \alpha_p) \to A \xrightarrow{\ F\ } A \to H^1(X, \alpha_p) \to H^1(X, \mathcal{O}_X) \xrightarrow{\ F\ } H^1(X, \mathcal{O}_X), \] en utilisant que la cohomologie plate de \(\mathbb{G}_a\) est la cohomologie ordinaire de \(\mathcal{O}_X\).³³ Donc \(H^1(X, \alpha_p)\) est une extension \[ 0 \to A/A^p \to H^1(X, \alpha_p) \to \operatorname{Ker}\bigl(F \mid H^1(X, \mathcal{O}_X)\bigr) \to 0 . \] Pour \(X\) affine, \(H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0\) et l'on retrouve le Théorème de la page 22. Pour \(X\) une variété complète sur un corps algébriquement clos \(k\), \(A = k\) est parfait, \(A/A^p = 0\), et \[ H^1(X, \alpha_p) = \operatorname{Ker}\bigl(F \mid H^1(X, \mathcal{O}_X)\bigr), \] le sous-espace du \(k\)-espace de dimension finie \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) tué par le Frobenius.³⁴

26–27

Une remarque sur les revêtements de \(k[[X]]\) (pages 26 et 27)

Soit \(A = k[[X]]\), \(k\) algébriquement clos. Un torseur non trivial sous \(\alpha_p\) est \(A[T]/(T^p - f)\) avec \(f \notin A^p\), et l'on peut retrancher de \(f\) toute puissance \(p\)-ième, c'est-à-dire ses termes d'exposant divisible par \(p\). Soit \(n\) le plus petit exposant non divisible par \(p\) qui reste : en changeant d'uniformisante (\(Y = X\,\epsilon^{1/n}\) pour une unité \(\epsilon\) convenable), l'anneau devient \[ A[X^{n/p}] \simeq A[T]/(T^p - X^n), \qquad n \ge 1,\ p \nmid n ; \] pour \(f \in A^p\) on obtient l'anneau \(A[T]/(T^p)\).³⁵ Si \(n = 1\) c'est un anneau local régulier ; sinon il ne l'est pas. Pour \(p = 3\) et \(n = 2\), on obtient \(A[X^{2/3}]\), le sous-anneau de \(k[[Y]] = k[[X^{1/3}]]\) formé des séries sans terme en \(Y\) — le cusp.

Or, pour la loi de groupe de \(H^1(A, \alpha_p) = A/A^p\), ce torseur non régulier est la somme de deux torseurs réguliers : ceux des racines \(p\)-ièmes de \(X\) et de \(-X + X^2\), puisque \(X + (-X + X^2) = X^2\).³⁶ La régularité ne passe donc pas à la somme. Elle ne passe même pas au produit fibré : si \(C_1\) et \(C_2\) sont ces deux anneaux, \(C_1 \otimes_A C_2 \simeq C_1[T]/(T^p)\) a des nilpotents. En effet, dans \(C_1\), on a \(X = s^p\) et \(-X + X^2 = (-s + s^2)^p\), de sorte que l'équation de \(C_2\) devient une puissance \(p\)-ième parfaite.³⁷