Fonds Grothendieck, cote n° 4, pages 1–11

8.4.4

notes manuscrites, à l'encre, sur un feuillet seul. C'est la « feuille jointe (marquée 8.4.4) » à laquelle renvoie sa note marginale de la page 5, et le « en vertu de 8.4.4 » de la page 4 ; elle est donnée ici à sa place dans le dossier, avant le tapuscrit

8.4.4. NB

a) F opérant sur H^{i}(X) \otimes_{W} k pour i > n est nilpotent, donc aussi opérant sur \mathrm{Tors}^{i}(X) \otimes_{W} k ou sur \mathrm{Tor}^{W}_{1}(H^{i}(X), k) \simeq {}_{p}\mathrm{Tors}^{i}(X)la lecture « Tor » et l'indice W sont incertains : un premier signe est repris à la main. On a H^{n}(X, \underline{O}_{X})_{\mathrm{ss}} \simeq (H^{n}(X) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} d'où (*) \qquad 0 \to (\mathrm{Tors}^{n}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} \to H^{n}(X, \underline{O}_{X})_{\mathrm{ss}} \to (H^{n}_{\mathrm{lib}}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} \to 0 les exposants et l'ordre des termes de (*) sont lus tels qu'ils se présentent, sur une première tentative effacée à gauche ; ils ne sont pas assurés

b) V opérant sur H^{i}(X) \otimes_{W} k pour i < n est nilpotent, et aussi opérant sur \mathrm{Tors}^{i}(X) \otimes_{W} k et {}_{p}\mathrm{Tors}^{i}(X) pour i \leq n« i \leq n » est souligné deux fois. On a (**) \qquad 0 \to (H^{n}_{\mathrm{lib}}(X) \otimes k)^{\mathrm{ss}} \to H^{0}(X, \Omega^{n}_{X})^{\mathrm{ss}} \to {}_{p}\mathrm{Tors}^{n+1}(X)^{\mathrm{ss}} \to 0

Sans doute (*) et (**) sont transposés l'un de l'autre .

Notation : l'indice \mathrm{ss} indique qu'on prend la partie semi-simple pour F, l'exposant \mathrm{ss} pour V.

8. Une estimation (heuristique) du nombre des valeurs propres de frobenius dans la cohomologie évanescente qui sont des unités p-adiques

titre tapé en tête de la page 2, souligné à la main d'un bout à l'autre. Les pages 2 à 11 sont des copies de ce tapuscrit, qu'il a reprises au crayon et à l'encre

8.1. Soit X un schéma lisse et propre sur le corps parfait k de car. p > 0inséré à la main, et soit W l'anneau des vecteurs de Witt sur k. Si on dispose d'une bonne théorie de la cohomologie cristalline H(X) (au sens des catégories dérivées), on devra avoir la relation suivante avec la cohomologie de De Rham (8.1.1) \qquad H_{\mathrm{DR}}(X) = H(X) \otimes^{L}_{W} k (isomorphisme dans la catégorie dérivée des k-modules). On en déduit une formule des coéfficients universels : suites exactes (8.1.2) \qquad 0 \to H^{i}(X) \otimes_{W} k \to H^{i}_{\mathrm{DR}}(X) \to \mathrm{Tor}^{W}_{1}(H^{i+1}(X), k) \to 0 . Ce sont des suites exactes fonctorielles en X, tout comme l'isomorphisme (8.1.1). ~~Sauf erreur,~~ ceci marche dès maintenant pour p \neq 2, grâce à Berthelot.le « L » de (8.1.1) est porté à la main au-dessus du produit tensoriel

On conclut, grâce à 8.4.3, 0 \to (H^{i}(X) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \to H^{i}(X, \underline{O}_{X})_{\mathrm{ss}} \to ({}_{p}\mathrm{Tors}^{i+1}(X))_{\mathrm{ss}} \to 0 (nul si i > n) (nul si i \geq n) et 0 \to (H^{i}(X) \otimes_{W} k)^{\mathrm{ss}} \to H^{i-n}(X, \Omega^{n}_{X})^{\mathrm{ss}} \to ({}_{p}\mathrm{Tors}^{i-n+1}(X))^{\mathrm{ss}} \to 0, où l'indice \mathrm{ss} signifie la partie semi-simple pour F_{X} = F_{X}^{*}\sigma, et où l'exposant \mathrm{ss} V_{X} = \sigma^{-1} F_{X*}la première suite est écrite en interligne après « Berthelot », la suite de la note monte dans la marge gauche, qu'il faut tourner. Les exposants i - n et i - n + 1 de la seconde suite sont incertains ; « (nul si i > n) » est écrit sous le terme médian de la première, « (nul si i \geq n) » au-dessus de son dernier terme

Si maintenant Y est une section hyperplane de ~~degré assez élevé de~~ X (supposée maintenant \subset \mathbf{P}^{r}_{k}), on trouve une suite exacte analogue pour Y, et un homomorphisme u = (u_{0}, u_{1}, u_{2}) de la première dans la seconde. Le diagramme du serpent nous donne alors une suite exacte (8.1.3) \qquad \bigl(0 \to \mathrm{Ker}\, u_{0} \to \mathrm{Ker}\, u_{1} \to \mathrm{Ker}\, u_{2} \to\bigr)\; E(Y) \otimes_{W} k \to \underbrace{E_{\mathrm{DR}}(Y)}_{=\,\mathrm{Coker}\, u_{1}} \to \mathrm{Coker}\, u_{2} \to 0 , où on a posé E(Y) = \mathrm{Coker}\bigl(H^{n-1}(X) \xrightarrow{u_{0}} H^{n-1}(Y)\bigr), \qquad E_{\mathrm{DR}}(Y) = \mathrm{Coker}\bigl(H^{n-1}_{\mathrm{DR}}(X) \xrightarrow{u_{1}} H^{n-1}_{\mathrm{DR}}(Y)\bigr), X étant supposée connexe de dimension n, enfin u_{2} désigne l'application (8.1.4) \qquad u_{2} : \mathrm{Tor}^{W}_{1}(H^{n}(X), k) \to \mathrm{Tor}^{W}_{1}(H^{n}(Y), k). le triplet u = (u_{0}, u_{1}, u_{2}), les trois premiers termes de (8.1.3) mis entre parenthèses, « = \mathrm{Coker}\, u_{1} » et les étiquettes des flèches sont de sa main

8.2. Noter que \mathrm{Tor}^{W}_{1}(-, k) est isomorphe à \mathrm{Hom}_{W}(k, -) (éléments de - annulés par pW), et que \mathrm{Tors}^{n}(Y) (= sous-module de torsion de H^{n}(Y)) est dual (si on admet la dualité de Poincaré habituelle pour la cohomologie cristalline, y compris les formules pour la torsion) de \mathrm{Tors}^{n-1}(Y), etle numéro 8.2 est porté à la main ; tout le paragraphe, jusqu'à la fin de son premier alinéa en haut de la page 3, est barré de longues diagonales ; il est donné en clair, la rature étant notée ici une fois

il est malcommode d'utiliser ici la dualité de Poincarénote écrite de biais dans l'angle inférieur gauche, en regard du paragraphe 8.2 barré

par suite le deuxième membre de (8.1.4) est canoniquement dual à \mathrm{Tors}^{n-1}(Y) \otimes_{W} k. De même le premier membre est canoniquement dual de \mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes_{W} k, et enfin l'homomorphisme u_{2} est transposé de l'homomorphisme (8.2.1) \qquad u'_{2} : \mathrm{Tors}^{n-1}(Y) \otimes_{W} k \to \mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes_{W} k induit par l'homomorphisme de Gysin H^{n-1}(Y) \to H^{n+1}(X). Par suite, les termes \mathrm{Ker}\, u_{2} et \mathrm{Coker}\, u_{2} dans (8.1.3) peuvent s'interpréter respectivement comme les duals de \mathrm{Coker}\, u'_{2} et \mathrm{Ker}\, u'_{2}.

8.3. Considérons l'homomorphisme induit par l'inclusion Y \to X, u_{0} : H^{n-1}(X) \to H^{n-1}(Y). ~~Sauf erreur,~~ dans la situation analogue ~~sur le corps des complexes,~~ en cohomologie \ell-adique (\ell \neq p), ~~les assertions~~ le théorème de Lefschetz ~~dans son livre « L'Analysis Situs … »~~ faible (pour les coefficients \mathbf{Z}/\ell^{n}\mathbf{Z}) impliquent que le conoyau E(Y) est sans torsion, ce qui implique en particulier que u_{0} induit un isomorphisme (8.3.1) \qquad \mathrm{Tors}^{n-1}(X) \simeq \mathrm{Tors}^{n-1}(Y). les corrections de ce passage sont à la main ; la parenthèse sur les coefficients est d'une lecture incertaine, et le « impliquent » tapé n'a pas été accordé

Nous admettrons que ces relations restent valables dans le cas de la cohomologie cristalline. Alors l'homomorphisme (8.2.1) s'interprète comme l'homomorphisme (8.3.2) \qquad u''_{2} : \mathrm{Tors}^{n-1}(X) \otimes_{W} k \to \mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes_{W} k induit par l'homomorphisme H^{n-1}(X) \to H^{n+1}(X), cup-produit par la classe de polarisation de X \subset \mathbf{P}^{r}_{k}. La chose importante pour nous est que ce morphisme (donc son Ker) ne dépend plus du choix de Y, donc ~~aussi du~~ le dernier terme de (8.1.3) (qui est le dual de ce Ker) ne dépend plus de Y.au-dessus de « aussi du », biffé, une insertion à la main elle-même en partie biffée, qui ne se lit pas

la suite de 8.3, tapée sans reprise, observe que E(Y) étant sans torsion, il a même rang que E(Y) \otimes_{W} k, de sorte que les valeurs propres d'un endomorphisme de E(Y) — un frobenius — se réduisent mod p en celles de l'endomorphisme induit ; et, « petit luxe supplémentaire », que le premier terme de (8.1.3) est nul

(8.3.3) \qquad \mathrm{Ker}\, u_{0} = 0 .

8.4. le tapuscrit introduit les applications semi-linéaires Frob opérant fonctoriellement sur les termes de (8.1.3), vectoriels de dimension finie sur k à endomorphisme p-linéaire, et pour un tel V la partie « semi-simple » V_{\mathrm{ss}}, plus grand sous-espace stable sur lequel F_{V} est surjectif (k parfait) ; il revient au même de dire que F est surjectif sur ce sous-espace et nilpotent sur le quotient — ce mot souligné à la main. La formation de V_{\mathrm{ss}} est un foncteur exact en V Ainsi, la suite exacte (8.1.3) nous donne, compte tenu de (8.3.3), la suite exacte d'espaces vectoriels à opérateurs p-linéaires semi-simples : (8.4.1) \qquad 0 \to (\mathrm{Ker}\, u_{1})_{\mathrm{ss}} \to (\mathrm{Ker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} \to (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \to E_{\mathrm{DR}}(Y)_{\mathrm{ss}} \to (\mathrm{Coker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} \to 0 . (\mathrm{Ker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} = ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} ; (\mathrm{Coker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} = 0 (en vertu de 8.4.4)la première égalité est écrite au-dessus du terme, avec une flèche ; la seconde est encerclée dans la marge droite, le « 0 » relié au terme par un signe d'égalité vertical

8.4.2.numéro porté à la main D'après la théorie de structure des vectoriels à opération p-linéaire semi-simple, ceux-ci peuvent s'interpréter aussi comme des Modules libres de type fini sur le faisceau d'anneaux étale constant \underline{\mathbf{F}}_{p} (corps premier à p éléments), ou encore (une fois choisie une clôture séparable) comme des représentations de G = \mathrm{Gal}(\overline{k}/k) sur des vectoriels de dimension finie sur \mathbf{F}_{p}. le tapuscrit ajoute qu'il y a dans cette catégorie une autodualité, qui s'interprète indifféremment dans l'un ou l'autre langage

alors les termes (\mathrm{Coker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} et (\mathrm{Ker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} s'interprètent comme les duals de (\mathrm{Ker}\, u''_{2})_{\mathrm{ss}} et de (\mathrm{Coker}\, u''_{2})_{\mathrm{ss}}, et (\mathrm{Coker}\, u_{1})_{\mathrm{ss}}, (\mathrm{Ker}\, u_{1})_{\mathrm{ss}} ont aussi une interprétation simple, grâce au lemme qui suit

Lemme 8.4.3. Soit X un schéma propre sur un corps k, de car. p > 0. Alors pour tout i \in \mathbf{Z}, l'homomorphisme d'augmentation H^{i}_{\mathrm{DR}}(X) \to H^{i}(X, \underline{O}_{X}) induit un isomorphisme sur les parties semi-simples (pour l'opération p-linéaire de Frobenius).le numéro tapé « 8.4.2 » est corrigé en « 8.4.3 »

Ceci résulte aussitôt de la suite spectrale de Hodge E_{1}^{a,b} = H^{b}(X, \underline{\Omega}^{a}_{X/k}) \Longrightarrow H^{\bullet}_{\mathrm{DR}}(X), compte tenu que Frob opère p-linéairement sur cette suite spectrale et qu'il est nul sur E_{1}^{a,b} pour a \neq 0. Alors les (E_{1}^{0,b})_{\mathrm{ss}} = H^{b}(X, \underline{O}_{X})_{\mathrm{ss}} sont des cycles universels pour les d_{r}, et on gagne …

Cor. 8.4.4 ter (utilisé dans 8.1.) les résultats de la feuille jointe (marquée 8.4.4).écrit en montant dans la marge gauche, en regard d'une grande accolade qui embrasse le lemme et sa démonstration. La feuille jointe est la page 1

Mettant ensemble les renseignements obtenus, et en même temps, pour des raisons de commodité, transformant par dualité de Poincaré l'homomorphisme u''_{2} de (8.3.2), de sorte qu'on trouve (oubli dans 8.3 !) (8.4.2) u_{2} est can. isomorphe à on trouve :le passage biffé est encadré et barré de traits obliques

« Théorème » 8.5. En admettant les ingrédients précédents pour la cohomologie cristalline (formule des coefficients universels, dualité de Poincaré, théorème de Lefschetz ~~« faible », y compris pour les groupes de torsion~~ sans négliger la torsion), on obtient une suite exacte, relative à une variété lisse projective connexe X \subset \mathbf{P}^{r}_{k} de dimension n sur un corps parfait de car. p > 0, et une section hyperplane (ou par une hypersurface de degré d \geq 1, cela s'y ramène …) Y lisse de dimension n - 1 :« sans négliger la torsion » et « de degré d \geq 1 » sont à la main ; au pied de la page, une première frappe de la suite (8.5.1) est barrée et griffonnée

(8.5.1) \qquad 0 \to \mathrm{Ker}\, v \xrightarrow{w} ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} \to (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \xrightarrow{\varphi} \underbrace{E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}}_{\simeq\, \mathrm{Coker}\, v} \to 0 , la suite est entièrement reprise à la main : le second terme tapé est noirci et remplacé par ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} encadré, les étiquettes w et \varphi sont ajoutées, et la fin de la ligne tapée, après E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}, est noircie jusqu'au 0

où on désigne par v l'homomorphisme de restriction (8.5.2) \qquad v : H^{n-1}(X, \underline{O}_{X})_{\mathrm{ss}} \to H^{n-1}(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} , (en particulier \mathrm{Coker}\, v est la « cohomologie évanescente cohérente » E(Y, \underline{O}_{Y})), et par w l'homomorphisme (8.5.3) \qquad w : (\mathrm{Tors}^{n-1}(X) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \xrightarrow{u_{d\xi}} (\mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} induit par l'homomorphisme H^{n-1}(X) \to H^{n+1}(X), défini par le cup-produit avec la classe de polarisation d\xi sur X.le passage de « et par w » à « polarisation » est encadré et barré de traits obliques, et donné en clair ; l'étiquette u_{d\xi} de la flèche est d'une lecture incertaine

Katz fait observer sur lanote au crayon très pâle dans la marge droite, en regard de (8.5.3). Dans la marge gauche, un griffonnage appuyé et encerclé ne se lit pas

Enfin, pour utiliser cette suite exacte (8.5.1), on tiendra compte du fait que (8.5.4) \qquad E(Y) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \mathrm{Coker}\bigl(H^{n-1}(X) \to H^{n-1}(Y)\bigr) est un W-module libre sans torsion ; en particulier, si k est un corps fini, le rang de (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} est égal au nombre des valeurs propres de Frobenius géométrique relatif à k opérant sur E^{n-1}(Y)le E est frappé sur un H (la cohomologie cristalline évanescente de Y ; ou ce qui revient au même, la cohomologie \ell-adique pour n'importe quel \ell \neq p — sous réserve de l'algébricité de l'opération \Lambda sur les cohomologies cristallines et \ell-adiques) qui sont des unités p-adiques ; les valeurs propres en question, réduites mod p, sont égales aux valeurs propres du frobenius p-linéaire (relatif au corps de base fini k) opérant sur le terme E(Y) \otimes_{W} k de (8.5.1), ou si on préfère, en termes de l'interprétation 8.4.2, aux valeurs propres de l'inverse du générateur de frobenius de G = \mathrm{Gal}(\overline{k}/k) opérant sur le vectoriel de dimension finie sur \mathbf{F}_{p} correspondant.

Notons d'autre part l'égalité suivante déduite de (8.5.1) : (8.5.5) \qquad \dim (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} = \dim E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} + \bigl(\dim ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} - \dim \mathrm{Ker}\, v\bigr) , où le terme entre parenthèses du deuxième membre est \geq 0, de sorte qu'onaprès E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}, un terme tapé est noirci ; « \mathrm{Coker}\, w » est biffé et remplacé à la main

a aussi l'inégalité suivante (résultant déjà de la suite exacte des trois derniers termes de (8.5.1)) : (8.5.6) \qquad \dim (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \geq \dim E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} = \dim E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} - t^{n-1}(X, p), où t^{i}(X, p) désigne le nombre de p-coéfficients de torsion de X (défini via la cohomologie cristalline de X en dimension i).le terme tapé « - \dim \mathrm{Ker}\, w » est noirci, et les deux lignes suivantes, de « = » à « dimension i », sont encadrées et barrées ; le « p- » de « p-coéfficients » avait été ajouté à la main avant la rature

Remarques 8.5.7. Je pense que l'homomorphisme v de (8.5.2) est injectif (ce qui simplifie en conséquence (8.5.1) et (8.5.5), puisque on aurait \mathrm{Ker}\, v = 0) ; c'est vrai en tous cas si n = 2, ou si Y est une section par une hypersurface de degré d assez grand pour qu'on ait H^{n-1}(X, \underline{O}_{X}(-d)) = 0 .

D'autre part, on peut si on veut dans 8.5.5 bloquer ensemble les deux termes \dim \mathrm{Coker}\, w - \dim \mathrm{Ker}\, w, pour trouver la différence des rangs des deux membres de (8.5.3).alinéa encadré et barré de boucles, donné en clair

8.5.8. Lorsque l'on applique (8.5.5) en prenant pour Y une section de X avec une hypersurface de degré d « assez générale » (de telle façon que le rang semi-simple de E(Y, \underline{O}_{Y}) ait la valeur maxima), alors on trouve qu'au terme - \dim \mathrm{Ker}\, v près (sans doute toujours nul, cf. 8.5.7) le deuxième membre est indépendant du choix particulier de Y. Cette remarque s'applique en particulier (8.5.7) si d est assez grand. On en conclut que si k est fini, on peut trouver un ouvert U_{d} de l'espace projectif des hypersurfaces de degré d, tel que pour un point variable de U_{d} à coéfficients dans une extension finie k' de k, le nombre de valeurs propres de Frobenius opérant sur la cohomologie évanescente de Y_{\overline{k}} et qui sont des unités p-adiques soit constant. Nous désirons mon-

trer que pour d assez grand, ce nombre est non nul (ce qui impliquera alors — et est sans doute équivalent — que le motif E(Y) pour tous ces Y est de niveau maximum n - 1, ou encore que le motif E(Y) pour Y générique est de niveau n - 1). Sous la forme de (8.5.6), on voit que ceci est assuré dès que l'on sait que \dim E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} > 0 \qquad \text{pour} \quad d \to +\infty , où le dim est pris bien entendu avec sa valeur générique.le « > 0 » est à la main, sur un terme tapé noirci On sait seulement (cf. n° 7) que \dim E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} \to pour d grand, et que \varphi \neq 0 pour d grand (donc E(Y) de niveau n - 1) dès que l'on sait que \dim ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} < p deux lignes et demie à la main, serrées sous la ligne tapée et biffées, données en clair ; la lecture en est incertaine d'un bout à l'autre

or cela est établi au n° 7dans la marge gauche, écrit de biais, avec une flèche vers la phrase biffée

8.5.9. Le corps de base k étant à nouveau quelconque (même pas nécessairement parfait), désignons, pour un degré d donné, par U_{d} l'ouvert de l'espace projectif des hypersurfaces de degré d dans \mathbf{P}^{r}_{k}, formé des hypersurfaces dont l'intersection avec X est lisse de dimension n - 1, et telles que E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} soit de rang maximum. Alors les suites exactes (8.5.1), pour les Y provenant de points de U_{d}, proviennent d'une suite exacte de Modules localement libres sur U_{d} à opération p-linéaire semi-simple, ou de façon équivalente (cf 8.4.2) à une suite exacte de systèmes locaux de vectoriels sur \mathbf{F}_{p} sur U_{d} pour la topologie étale, ou enfin, une fois choisi un point géométrique de U_{d} (par exemple via une clôture séparable du point générique) une suite exacte de représentations de G = \pi_{1}(U_{d}) dans des vectoriels de dimension finie sur \mathbf{F}_{p}. On trouve un homomorphisme \varphi du système local défini par les E(Y) \otimes_{W} k' ~~dans~~ sur celui défini par les E(Y, \underline{O}_{Y}), dont le noyau ~~et le conoyau sont des~~ est un système local constant (i.e. provenant du corps de base k). Lorsque k est fini, on peut supposer, quitte à passer à une extension finie de k, que les valeurs propres du frobenius relatif à k opérant sur ce dernier sont toutes égales à 1 (il suffit que les valeurs propres de frobenius relatif à k opérant sur H^{n}(X, \underline{O}_{X})_{\mathrm{ss}} ~~et sur les deux membres de (8.5.3)~~ soientl'exposant de H^{n} est repris à la main sur un premier chiffre noirci ; n

toutes égales à 1). On trouve alors une description complète de la variation des valeurs propres mod p de frobenius opérant sur E(Y), pour Y variable avec un point de U_{d}, en termes essentiellement de la seule représentation de G dans un vectoriel de dimension finie sur \mathbf{F}_{p}, correspondant aux E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} (donc essentiellement aux « matrices de Hasse-Witt des Y en dimension critique), — et bien entendu de la distribution des éléments de frobenius dans G en termes d'un point variable de U_{d}.

8.5.10. L'homomorphisme fondamental \varphi de (8.5.1) est ~~surjectif (resp.~~ injectif donc bijectif (si et seulement si w dans 8.5.1 est ~~injectif (resp. si w est~~ surjectif, et, si ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} = 0, le seulement si étant vrai sous la réserve \mathrm{Ker}\, v = 0 de 8.5.7) ; il suffit en particulier pour ceci que X n'ait pas de p-torsion en dimension n ~~(resp. en dimension n + 1~~ (ou ce qui revient au même par dualité, en dimension n + 1)les « resp. » sont biffés à la main tout au long de l'alinéa, ramenant l'énoncé au seul cas injectif ; l'insertion « et, … si ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} = 0 » est écrite en interligne, et l'exposant de la dernière parenthèse est repris sur un chiffre noirci. Lorsque X se relève (avec sa polarisation) en caractéristique nulle, cette condition suffisante doit aussi pouvoir s'exprimer (une fois qu'on disposera de fondements satisfaisants pour la cohomologie cristalline) par la condition analogue sur la torsion de la cohomologie p-adique de la variété relevée (sur un corps algébriquement clos, ou si on veut, sur le corps des complexes …) : on réécrit (8.5.3) en termes de p-torsion de cette variété tensorisée par \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} (mais en supprimant les indices ss, qui n'ont plus de sens), et on demande que w_{p} ainsi défini soit surjectif resp. injectif …les accords au singulier (« cette condition suffisante doit », « la condition analogue ») sont faits à la main

Je pense que même si n = \dim X = 2, il peut arriver que \varphi ne soit pas surjectif, et qu'on ne peut pas dans l'inégalité (8.5.6) supprimer le terme correctif - \dim \mathrm{Ker}\, w ou t^{n-1}(X, p). En effet, si X est unede « on réécrit » au bas de la page, et le haut de la page 10 jusqu'à la condition c), tout est barré de grands zigzags ; le passage est donné en clair

Noter d'autre part qu'on a équivalence entre les conditions suivantes :

a)L'homomorphisme \varphi est surjectif (resp. injectif) pour tout d et tout point s \in U_{d} (définissant un Y correspondant). b)Même condition, mais avec un d fixé multiple de p, et tel que l'on ait \mathrm{Ker}\, v = 0 (condition sans doute automatiquement vérifiée (8.5.7)). c)(\mathrm{Tors}^{n-1}(X) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} = 0 (resp. (\mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} = 0).

8.5.11.numéro porté à la main Il serait intéressant de donner des exemples où ~~ces conditions ne sont pas satisfaites. Notez que la condition non respée est toujours satisfaite si n = 2 (X une surface) ? Dans le cas général,~~ \varphi n'est pas bijectif on a l'inégalité \begin{aligned} (8.5.11.1) \qquad \dim_{k} H^{n-1}(X, \underline{O})_{\mathrm{ss}} &= \dim_{\mathbf{F}_{p}} H^{n-1}(\overline{X}, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \\ &\geq \dim\bigl((H^{n-1}(X)/\mathrm{Tors}^{n-1}(X)) \otimes k\bigr)_{\mathrm{ss}} \end{aligned} (grâce à 8.1.2 et 8.4.3 ; en fait cela marche en toute dimension i, pas seulement i = n - 1), et dire que \varphi est bijectif signifie que l'inégalité précédente est une égalité. L'exemple de Serre au symposium de Mexico fournit un X (quotient d'une intersection complète par un groupe G = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} opérant sans points fixes) pour lequel on a H^{1}(X) = 0, mais H^{1}(X, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \neq \mathbf{Z}/{}p\mathbf{Z}le bord du feuillet coupe la fin de la formule. Quitte à couper avec des hyperplans, on trouve le même exemple avec \dim X = 2. Pour cet exemple, d'après 8.1.2, on aura ({}_{p}\mathrm{Tors}^{2}(X))_{\mathrm{ss}} \simeq H^{1}(X, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \otimes k = \mathrm{Ker}\, \varphi (quel que soit d et la section Y de X de degré d, permettant de définir \varphi), qui est non nul, donc \varphi n'est pas injectif.l'indice p de {}_{p}\mathrm{Tors}, l'exposant 2 repris sur un autre chiffre et « \mathrm{Ker}\, \varphi » sont à la main ; au-dessus, il écrit « H^{1}(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} » avec un signe d'égalité vertical dont le terme d'attache n'est pas assuré

Si maintenant Z est un schéma lisse projectif sur k de dimension n - 2 (n donné \geq 4), à cohomologie cristalline sans torsion et (H^{n-4}(Z) \otimes k)_{\mathrm{ss}} \neq 0 (par exemple \mathbf{P}^{n-2}_{k} si n pair …), alors, posant X' = X \times Z, on voit (sous réserve de la formule de Kunneth en cohomologie cristalline) que (\mathrm{Tors}^{n-1}(X') \otimes k)_{\mathrm{ss}} est non nul, ce qui fournit des exemples où \varphi n'est pas surjectif, pour tout n \geq 4. Il y a sans doute aussi des exemples avec n = 3, en cherchant bien …le paragraphe est encadré et barré de diagonales, et donné en clair ; le « 4 » y est repris à la main sur un « 3 »

8.6. La suite exacte (8.5.9) de systèmes locaux sur U_{d} correspondant aux suites exactes (8.5.1) met en évidence que le système local correspondant aux (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} ~~et aux E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} ont~~ a, en plus d'un sous-système ~~resp. d'un système quotient~~ du premier de nature essentiellement triviale (car provenant du corps de base, donc constant du point de vue géométrique) un composant ~~commun \mathrm{Coim}\, \varphi = \mathrm{Im}\, \varphi~~ E(Y, \underline{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}, dont on s'attend qu'il donne lieu à une représentation tout à fait non triviale de G (NB si on n'aime pas les groupes fondamentaux généraux et les systèmes locaux, on peut tout interpréter en termes de la suite exacte 8.5.1 correspondant au point générique s de l'espace des hypersurfaces de degré d dans \mathbf{P}^{r}_{k}, et remplacer G par le groupe \mathrm{Gal}(\overline{k(s)}/k(s)), — mais on perd alors les frobenius …). On aimerait pouvoir préciser ce point. Par exemple, (si n \geq 2, cette représentation est-elle irréductible, ou même l'image du groupe fondamental G dans \mathrm{Aut}(V) (V étant le vectoriel de dimension finie sur \mathbf{F}_{p} où s'effectue la représentation envisagée de G) est-elle égale à \mathrm{Aut}(V) tout entier ?) ~~Si oui,~~ alors dès que l'on a \dim V \geq 2 (ce qui est sans doute vérifié dès que d est assez grand, \dim V tendant vers \infty avec d, cf. 8.5.8), tout élément de \mathbf{F}_{p} est trace d'un élément de G opérant sur V.les insertions sont au crayon ; « irréductible » est souligné

(Ce n'est pas lorsque X = \mathbf{P}^{r-1}_{k}, cas qu'on peut traiter trivialement.) Lorsque la condition longue note au crayon en interligne au-dessus de « entier ? », qui déborde vers la droite ; en dessous, une reprise en plus petit ne se lit pas

De ceci, de la « formule de Woodshole » et du théorème de Čebotareff, on déduirait alors, si le corps k est fini, qu'on peut, pour n'importe quel ouvert non vide U de l'espace des hypersurfaces de degré d dans \mathbf{P}^{r}_{k} (d étant choisi comme dessus) trouver un point s de U à coéfficients dans une extension finie k' de k, définissant une section Y telle que \mathrm{card}\, Y(k') soit congru mod p à un élément de \mathbf{F}_{p} donné à l'avance. Au moment d'écrire ces lignes, et malgré l'assistance de gens compétents comme Katz, il ne semble pas qu'un résultat de cette nature soit prouvé, même si X = \mathbf{P}^{2} (i.e. pour des courbes planes Y de grand degré). Ce résultat serait déjà bien intéressant, car il impliquerait déjà une réponse affirmative à la conjecture du n° 6 sur le niveau de la cohomologie évanescente (dont il est question aussi dans 8.5.8).« de la formule de Woodshole » est tapé en interligne, suivi de mots biffés à la main. Au-dessus de X = \mathbf{P}^{2} il écrit ce qui semble être « 2 = r », et les deux dernières lignes et demie, « Ce résultat … 8.5.8) », sont encadrées et barrées de diagonales