Cote n° 4 · pages 1–11 · Lecture modernisée · Torsion en cohomologie cristalline : notes manuscrites (s.d.), copies de tapuscrit annoté (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1958]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier tient en deux pièces : les pages 2 à 11, copies d'un tapuscrit qui est le §8 d'un texte plus long — il renvoie à des n° 6 et 7 qui ne sont pas ici —, repris au crayon et à l'encre ; et la page 1, une feuille manuscrite marquée « 8.4.4 », qui est la « feuille jointe » à laquelle renvoie la marge de la page 5. On lit le tapuscrit dans l'ordre, et la page 1 à la place que la révision lui donne, après le lemme 8.4.3.¹

1. 1.Le cadre (page 2) : coefficients universels entre cohomologie cristalline et cohomologie de De Rham ; la suite du serpent pour la restriction de \(X\) à \(Y\).
2. 2.Une voie abandonnée (pages 2 et 3) : le n° 8.2, barré, qui calculait les termes de torsion par dualité de Poincaré.
3. 3.Lefschetz (pages 3 et 4) : la cohomologie évanescente est sans torsion.
4. 4.Parties semi-simples (pages 4 et 5) : le foncteur exact \(V \mapsto V_{\mathrm{ss}}\), et le lemme 8.4.3.
5. 5.La feuille 8.4.4 (page 1, et la marge de la page 2) : nilpotence de \(F\) sur la torsion au-dessus de la dimension.
6. 6.Le « théorème » 8.5 (pages 5 à 7) : la suite exacte (8.5.1) et l'inégalité (8.5.6).
7. 7.Remarques (pages 7 à 10) : injectivité de \(v\), variation avec \(Y\), critère de bijectivité de \(\varphi\), l'exemple de Serre.
8. 8.Monodromie (page 11) : la question finale.

Il y a donc deux couches, et elles ne disent pas la même chose. Le tapuscrit calcule la torsion par dualité, et en tire des conditions sur \(\mathrm{Tors}^{n-1}\) et \(\mathrm{Tors}^{n+1}\) ; la révision calcule directement, trouve que \(\varphi\) est toujours surjectif, et barre ce qui disait le contraire. La lecture suit la révision, et dit en note ce que le tapuscrit avait.

Conventions, valables pour tout le dossier. \(k\) est un corps parfait de caractéristique \(p > 0\), \(W = W(k)\) l'anneau des vecteurs de Witt, \(\sigma\) son Frobenius. \(X \subset \mathbf{P}^{r}_{k}\) est lisse, projective, connexe, de dimension \(n\) ; \(H^{i}(X)\) désigne sa cohomologie cristalline, un \(W\)-module de type fini, muni d'un Frobenius \(F\) \(\sigma\)-linéaire ; \(\mathrm{Tors}^{i}(X)\) est son sous-module de torsion, \(H^{i}_{\mathrm{lib}}(X) = H^{i}(X)/\mathrm{Tors}^{i}(X)\), et \({}_{p}\mathrm{Tors}^{i}(X) = \{x \in H^{i}(X) : px = 0\} = \mathrm{Tor}^{W}_{1}(H^{i}(X), k)\). \(Y\) est une section lisse de \(X\) par une hypersurface de degré \(d \geq 1\). Pour un \(k\)-vectoriel de dimension finie muni d'un endomorphisme \(p\)-linéaire \(F\), l'indice \(\mathrm{ss}\) désigne la partie semi-simple pour \(F\) ; l'exposant \(\mathrm{ss}\), celle pour l'opérateur transposé \(V\), \(p^{-1}\)-linéaire. Ces deux conventions sont celles de la page 1.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : l'injectivité de \(v\) en général (8.5.7) ; la non-nullité générique de \(E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}\) pour \(d\) grand (8.5.8, renvoyée au n° 7) ; la « conjecture du n° 6 » sur le niveau de la cohomologie évanescente ; la réponse à la question de monodromie de 8.6, et la congruence sur \(\mathrm{card}\, Y(k')\) qui en découlerait. Le théorème de Lefschetz faible, torsion comprise, est admis en cohomologie cristalline d'un bout à l'autre.

2–2

Le cadre : coefficients universels et suite du serpent (page 2)

8.1. La cohomologie cristalline et la cohomologie de De Rham sont liées par l'isomorphisme, dans la catégorie dérivée des \(k\)-modules, \[ (8.1.1) \qquad R\Gamma_{\mathrm{DR}}(X/k) \simeq R\Gamma_{\mathrm{cris}}(X/W) \otimes^{L}_{W} k , \] d'où, pour tout \(i\), une suite exacte fonctorielle en \(X\) : \[ (8.1.2) \qquad 0 \to H^{i}(X) \otimes_{W} k \to H^{i}_{\mathrm{DR}}(X) \to {}_{p}\mathrm{Tors}^{i+1}(X) \to 0 . \] ² Le Frobenius de \(H^{i}(X)\) induit sur \(H^{i}(X) \otimes_{W} k\) un endomorphisme \(p\)-linéaire, et sur \(H^{i}_{\mathrm{DR}}(X)\) c'est l'endomorphisme \(F_{X}^{*}\) induit par le Frobenius absolu de \(X\) ; (8.1.2) leur est compatible.

La restriction à \(Y\). Pour \(i = n - 1\), la restriction de \(X\) à \(Y\) envoie la suite (8.1.2) de \(X\) dans celle de \(Y\), par un triple \(u = (u_{0} \otimes k, u_{1}, u_{2})\), où \(u_{0} : H^{n-1}(X) \to H^{n-1}(Y)\), \(u_{1} : H^{n-1}_{\mathrm{DR}}(X) \to H^{n-1}_{\mathrm{DR}}(Y)\), et \[ (8.1.4) \qquad u_{2} : {}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X) \to {}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(Y) . \] Posons \[ E(Y) = \mathrm{Coker}\bigl(H^{n-1}(X) \xrightarrow{u_{0}} H^{n-1}(Y)\bigr), \qquad E_{\mathrm{DR}}(Y) = \mathrm{Coker}\, u_{1} , \] la cohomologie évanescente, cristalline et de De Rham. Le produit tensoriel étant exact à droite, \(\mathrm{Coker}(u_{0} \otimes k) = E(Y) \otimes_{W} k\), et le lemme du serpent donne la suite exacte \[ (8.1.3) \qquad 0 \to \mathrm{Ker}(u_{0} \otimes k) \to \mathrm{Ker}\, u_{1} \to \mathrm{Ker}\, u_{2} \to E(Y) \otimes_{W} k \to E_{\mathrm{DR}}(Y) \to \mathrm{Coker}\, u_{2} \to 0 . \] ³

2–3

La voie de la dualité, abandonnée (pages 2 et 3)

Le n° 8.2 du tapuscrit, entièrement barré, interprétait les termes extrêmes par dualité de Poincaré. Comme \(\mathrm{Tor}^{W}_{1}(-, k) \simeq \mathrm{Hom}_{W}(k, -)\), et que la dualité entre torsions échange \(\mathrm{Tors}^{i}\) et \(\mathrm{Tors}^{2m+1-i}\) sur une variété de dimension \(m\), le but de \(u_{2}\) est dual de \(\mathrm{Tors}^{n-1}(Y) \otimes k\), sa source de \(\mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes k\), et \(u_{2}\) est le transposé de l'application de Gysin \[ (8.2.1) \qquad u'_{2} : \mathrm{Tors}^{n-1}(Y) \otimes_{W} k \to \mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes_{W} k ; \] \(\mathrm{Ker}\, u_{2}\) et \(\mathrm{Coker}\, u_{2}\) sont alors les duaux de \(\mathrm{Coker}\, u'_{2}\) et \(\mathrm{Ker}\, u'_{2}\).⁴

3–4

Lefschetz : la cohomologie évanescente est sans torsion (pages 3 et 4)

8.3. En cohomologie \(\ell\)-adique (\(\ell \neq p\)), le théorème de Lefschetz faible à coefficients \(\mathbf{Z}/\ell^{\nu}\mathbf{Z}\) dit que \(u_{0}\) est injectif et que son conoyau \(E(Y)\) est sans torsion.⁵ On admet qu'il en va de même en cohomologie cristalline.⁶ Il en résulte :

1. (i)\(u_{0}\) induit un isomorphisme \(\mathrm{Tors}^{n-1}(X) \simeq \mathrm{Tors}^{n-1}(Y)\) (8.3.1), puisque la torsion de \(H^{n-1}(Y)\) s'envoie sur zéro dans \(E(Y)\) ;
2. (ii)\(E(Y)\) est un \(W\)-module libre, de sorte que \(\mathrm{Tor}^{W}_{1}(E(Y), k) = 0\) et que, \(u_{0}\) étant injectif, \[ (8.3.3) \qquad \mathrm{Ker}(u_{0} \otimes k) = 0 ; \]
3. (iii)les valeurs propres d'un endomorphisme de \(E(Y)\) — un Frobenius — se réduisent modulo \(p\) en celles de l'endomorphisme induit sur \(E(Y) \otimes k\).

⁷

4–5

Parties semi-simples, et le lemme 8.4.3 (pages 4 et 5)

8.4. Soit \(V\) un \(k\)-vectoriel de dimension finie muni d'un endomorphisme \(p\)-linéaire \(F\). Comme \(k\) est parfait, les images \(F^{m}(V)\) sont des sous-espaces, et l'on a la décomposition \[ V = V_{\mathrm{ss}} \oplus V_{\mathrm{nil}}, \qquad V_{\mathrm{ss}} = \bigcap_{m} F^{m}(V), \quad V_{\mathrm{nil}} = \bigcup_{m} \mathrm{Ker}\, F^{m} , \] où \(F\) est bijectif sur \(V_{\mathrm{ss}}\) et nilpotent sur \(V_{\mathrm{nil}}\). \(V_{\mathrm{ss}}\) est le plus grand sous-espace stable sur lequel \(F\) est surjectif ; le foncteur \(V \mapsto V_{\mathrm{ss}}\) est exact.⁸ Le même énoncé vaut, avec \(\bigcap F^{m}(T)\), pour un \(W\)-module de longueur finie \(T\) muni d'un endomorphisme \(\sigma\)-linéaire ; on s'en servira pour la torsion.

Appliqué à (8.1.3), compte tenu de (8.3.3), le foncteur donne la suite exacte \[ (8.4.1) \qquad 0 \to (\mathrm{Ker}\, u_{1})_{\mathrm{ss}} \to (\mathrm{Ker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} \to (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \to E_{\mathrm{DR}}(Y)_{\mathrm{ss}} \to (\mathrm{Coker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} \to 0 . \]

8.4.2. Un vectoriel à opérateur \(p\)-linéaire bijectif est la même chose qu'une représentation continue de \(G = \mathrm{Gal}(\overline{k}/k)\) sur un \(\mathbf{F}_{p}\)-vectoriel de dimension finie : à \(V\) on associe \((V \otimes_{k} \overline{k})^{F = 1}\), de même dimension, et l'on retrouve \(V\) par extension des scalaires. En famille, sur une base \(S\), les Modules localement libres à Frobenius bijectif correspondent de même aux systèmes locaux étales de \(\mathbf{F}_{p}\)-vectoriels.⁹

Lemme 8.4.3. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\). Pour tout \(i\), l'application d'augmentation \(H^{i}_{\mathrm{DR}}(X) \to H^{i}(X, \mathcal{O}_{X})\) induit un isomorphisme sur les parties semi-simples pour le Frobenius.¹⁰

Démonstration. L'augmentation provient du quotient \(\Omega^{\bullet}_{X/k} \to \mathcal{O}_{X}\) du complexe de De Rham par son sous-complexe \(\sigma_{\geq 1}\Omega^{\bullet}\). Comme \(F_{X}^{*}(dx) = d(x^{p}) = 0\), le Frobenius est nul sur ce sous-complexe, donc sur sa cohomologie, dont la partie semi-simple est nulle ; l'exactitude du foncteur, appliquée à la suite longue, conclut.¹¹

En combinant le lemme avec (8.1.2), qui reste exacte sur les parties semi-simples, on obtient pour tout \(i\) \[ 0 \to (H^{i}(X) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \to H^{i}(X, \mathcal{O}_{X})_{\mathrm{ss}} \to ({}_{p}\mathrm{Tors}^{i+1}(X))_{\mathrm{ss}} \to 0 . \] C'est la suite que la marge de la page 2 écrit « grâce à 8.4.3 » ; la feuille 8.4.4 en tire ce dont le théorème a besoin.

1–2

La feuille 8.4.4 : nilpotence au-dessus de la dimension (page 1)

8.4.4. (a) Pour \(i > n\), \(F\) est nilpotent sur \(H^{i}(X) \otimes_{W} k\), sur \(\mathrm{Tors}^{i}(X) \otimes_{W} k\) et sur \({}_{p}\mathrm{Tors}^{i}(X)\).

En effet \(H^{i}(X, \mathcal{O}_{X}) = 0\) pour \(i > n\), donc, par la suite précédente, \((H^{i}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} = 0\). Comme \(H^{i}_{\mathrm{lib}}\) est libre, \(\mathrm{Tors}^{i} \otimes k \subset H^{i} \otimes k\), et \(F\) y est nilpotent. Enfin, si \(F^{m}(T) \subset pT\) pour \(T = \mathrm{Tors}^{i}(X)\), alors, \(F\) étant \(\sigma\)-linéaire, \(F^{jm}(T) \subset p^{j}T\), donc \(F\) est nilpotent sur \(T\), et a fortiori sur \({}_{p}T\).¹²

Il en résulte, avec la suite précédente pour \(i = n\), que \(H^{n}(X, \mathcal{O}_{X})_{\mathrm{ss}} \simeq (H^{n}(X) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}}\), d'où \[ (*) \qquad 0 \to (\mathrm{Tors}^{n}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} \to H^{n}(X, \mathcal{O}_{X})_{\mathrm{ss}} \to (H^{n}_{\mathrm{lib}}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} \to 0 . \] ¹³

(b) Dualement, pour l'opérateur \(V\) transposé de \(F\) par la dualité de Poincaré en cohomologie de De Rham — sur \(H^{\bullet}(X, \Omega^{n}_{X})\), c'est l'opérateur de Cartier —, \(V\) est nilpotent sur \(H^{i}(X) \otimes k\) pour \(i < n\), et sur \(\mathrm{Tors}^{i}(X) \otimes k\) et \({}_{p}\mathrm{Tors}^{i}(X)\) pour \(i \leq n\) ; et l'on a la suite transposée de \((*)\) : \[ (**) \qquad 0 \to (H^{n}_{\mathrm{lib}}(X) \otimes k)^{\mathrm{ss}} \to H^{0}(X, \Omega^{n}_{X})^{\mathrm{ss}} \to ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n+1}(X))^{\mathrm{ss}} \to 0 . \] ¹⁴ Plus généralement, pour tout \(i\), la marge de la page 2 écrit \[ 0 \to (H^{i}(X) \otimes_{W} k)^{\mathrm{ss}} \to H^{i-n}(X, \Omega^{n}_{X})^{\mathrm{ss}} \to ({}_{p}\mathrm{Tors}^{i+1}(X))^{\mathrm{ss}} \to 0 , \] qui est (8.1.2) prise en parties \(V\)-semi-simples, compte tenu de ce que \(H^{i-n}(X, \Omega^{n}_{X})^{\mathrm{ss}} \simeq H^{i}_{\mathrm{DR}}(X)^{\mathrm{ss}}\), transposé du lemme 8.4.3.¹⁵

Notation : l'indice \(\mathrm{ss}\) pour la partie semi-simple relativement à \(F\), l'exposant \(\mathrm{ss}\) relativement à \(V\).

Application aux termes de (8.4.1). La variété \(Y\) est de dimension \(n - 1 < n\) ; (a) appliqué à \(Y\) rend \(F\) nilpotent sur \({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(Y)\). Donc \[ (\mathrm{Ker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} = ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}}, \qquad (\mathrm{Coker}\, u_{2})_{\mathrm{ss}} = 0 . \] C'est ce qu'écrit la marge de la page 4, « en vertu de 8.4.4 ».¹⁶ Et par le lemme 8.4.3, \((\mathrm{Ker}\, u_{1})_{\mathrm{ss}}\) et \(E_{\mathrm{DR}}(Y)_{\mathrm{ss}}\) sont le noyau et le conoyau de \[ (8.5.2) \qquad v : H^{n-1}(X, \mathcal{O}_{X})_{\mathrm{ss}} \to H^{n-1}(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} . \]

5–7

Le « théorème » 8.5 (pages 5 à 7)

Posons \(E(Y, \mathcal{O}_{Y}) = \mathrm{Coker}\bigl(H^{n-1}(X, \mathcal{O}_{X}) \to H^{n-1}(Y, \mathcal{O}_{Y})\bigr)\), la cohomologie évanescente cohérente ; par exactitude, \(E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} = \mathrm{Coker}\, v\).

« Théorème » 8.5. Admettons, pour la cohomologie cristalline, la formule des coefficients universels et le théorème de Lefschetz faible torsion comprise. Soit \(X \subset \mathbf{P}^{r}_{k}\) lisse projective connexe de dimension \(n\) sur un corps parfait de caractéristique \(p > 0\), et \(Y\) une section de \(X\) par une hypersurface de degré \(d \geq 1\), lisse de dimension \(n - 1\). On a une suite exacte \[ (8.5.1) \qquad 0 \to \mathrm{Ker}\, v \xrightarrow{w} ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} \to (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \xrightarrow{\varphi} E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} \to 0 , \] où \(w\) est la restriction à \(\mathrm{Ker}\, v \subset H^{n-1}_{\mathrm{DR}}(X)_{\mathrm{ss}}\) de la surjection \(H^{n-1}_{\mathrm{DR}}(X)_{\mathrm{ss}} \to ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}}\) de (8.1.2).

C'est (8.4.1), réécrite avec les quatre identifications qui précèdent. ¹⁷

Interprétation. \(E(Y)\) étant libre, si \(k\) est fini, le rang de \((E(Y) \otimes k)_{\mathrm{ss}}\) est le nombre — avec multiplicités — des valeurs propres du Frobenius relatif à \(k\) opérant sur la cohomologie cristalline évanescente de \(Y\) qui sont des unités \(p\)-adiques ; réduites modulo \(p\), elles sont les valeurs propres du Frobenius linéarisé sur \((E(Y) \otimes k)_{\mathrm{ss}}\), ou, dans le langage de 8.4.2, de l'inverse du Frobenius arithmétique de \(G\) sur le \(\mathbf{F}_{p}\)-vectoriel correspondant.¹⁸

Comme \(w\) est injectif, on a \[ (8.5.5) \qquad \dim (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} = \dim E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} + \bigl(\dim ({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} - \dim \mathrm{Ker}\, v\bigr) , \] la parenthèse étant \(\geq 0\), et a fortiori, par la surjectivité de \(\varphi\), \[ (8.5.6) \qquad \dim (E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}} \geq \dim E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}} : \] le nombre de valeurs propres de Frobenius sur la cohomologie évanescente qui sont des unités \(p\)-adiques est au moins le rang semi-simple de la cohomologie évanescente cohérente, c'est-à-dire le rang stable de la matrice de Hasse-Witt de \(Y\) en dimension critique, prise modulo celle de \(X\).¹⁹

7–9

Injectivité de \(v\), et variation avec \(Y\) (pages 7 à 9)

8.5.7. Le texte pense que \(v\) est toujours injectif, ce qui simplifierait (8.5.1) et (8.5.5) ; c'est vrai en tout cas

1. (i)si \(d\) est assez grand pour que \(H^{n-1}(X, \mathcal{O}_{X}(-d)) = 0\) : la suite \(0 \to \mathcal{O}_{X}(-d) \to \mathcal{O}_{X} \to \mathcal{O}_{Y} \to 0\) rend alors \(H^{n-1}(X, \mathcal{O}_{X}) \to H^{n-1}(Y, \mathcal{O}_{Y})\) injectif, et a fortiori \(v\) ; pour \(n \geq 2\), cette annulation a lieu pour \(d \gg 0\) par dualité de Serre ;
2. (ii)si \(n = 2\).²⁰

²¹

8.5.8. Prenons pour \(Y\) une section par une hypersurface de degré \(d\) « assez générale », c'est-à-dire telle que le rang de \(E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}\) soit maximal — condition ouverte, ce rang étant celui d'une puissance itérée de la matrice de Hasse-Witt. Alors, au terme \(- \dim \mathrm{Ker}\, v\) près, nul pour \(d\) grand par 8.5.7, le second membre de (8.5.5) ne dépend pas de \(Y\). Si \(k\) est fini, il y a donc un ouvert \(U_{d}\) de l'espace projectif des hypersurfaces de degré \(d\) sur lequel le nombre de valeurs propres unités de Frobenius sur la cohomologie évanescente de \(Y_{\overline{k}}\) est constant, pour les points de \(U_{d}\) à valeurs dans les extensions finies de \(k\).

Le texte veut montrer que ce nombre est non nul pour \(d\) grand. Cela impliquerait — et serait sans doute équivalent à — que le motif évanescent \(E(Y)\) est de niveau maximal \(n - 1\), pour tous ces \(Y\), ou pour \(Y\) générique. Par (8.5.6), il suffit de savoir que la valeur générique de \(\dim E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}\) est \(> 0\) pour \(d \to \infty\).²²

8.5.9. Soit \(k\) à nouveau quelconque, et \(U_{d}\) l'ouvert des hypersurfaces de degré \(d\) dont l'intersection \(Y\) avec \(X\) est lisse de dimension \(n - 1\) et pour lesquelles \(E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}\) est de rang maximal. Les suites (8.5.1), pour \(Y\) parcourant \(U_{d}\), proviennent d'une suite exacte de Modules localement libres sur \(U_{d}\) à Frobenius bijectif, c'est-à-dire (8.4.2) d'une suite exacte de systèmes locaux étales de \(\mathbf{F}_{p}\)-vectoriels sur \(U_{d}\), ou de représentations de \(\pi_{1}(U_{d})\). Le noyau de \(\varphi\), image de \(({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}}\), est un système local constant, venu du corps de base.²³

Si \(k\) est fini, quitte à l'étendre, le Frobenius relatif à \(k\) a toutes ses valeurs propres égales à \(1\) sur ce noyau ;²⁴ la variation des valeurs propres modulo \(p\) du Frobenius sur \(E(Y)\), quand \(Y\) parcourt \(U_{d}\), est alors décrite par la seule représentation de \(G = \pi_{1}(U_{d})\) sur le \(\mathbf{F}_{p}\)-vectoriel des \(E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}\) — c'est-à-dire par les matrices de Hasse-Witt des \(Y\) en dimension critique —, et par la répartition des éléments de Frobenius dans \(G\).

9–10

Quand \(\varphi\) est-il bijectif ? L'exemple de Serre (pages 9 et 10)

8.5.10. Par l'exactitude de (8.5.1), \(\varphi\) est injectif, donc bijectif, si et seulement si \(w\) est surjectif. Si \(\mathrm{Ker}\, v = 0\), cela revient à \(({}_{p}\mathrm{Tors}^{n}(X))_{\mathrm{ss}} = 0\) ; en tout cas, il suffit que \(X\) n'ait pas de \(p\)-torsion cristalline en degré \(n\), ou, ce qui revient au même par dualité, en degré \(n + 1\).²⁵

Lorsque \(X\) se relève, avec sa polarisation, en caractéristique nulle, cette condition devrait pouvoir s'exprimer par la condition analogue sur la torsion de la cohomologie \(p\)-adique de la variété relevée.²⁶

Ce qui est barré, et pourquoi. Le tapuscrit poursuivait : même pour \(n = 2\), \(\varphi\) peut ne pas être surjectif ; puis il donnait (page 10) l'équivalence de trois conditions — \(\varphi\) surjectif (resp. injectif) pour tout \(d\) et tout point de \(U_{d}\) ; la même chose pour un seul \(d\) multiple de \(p\) avec \(\mathrm{Ker}\, v = 0\) ; et \((\mathrm{Tors}^{n-1}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} = 0\) (resp. \((\mathrm{Tors}^{n+1}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} = 0\)). Tout cela est barré, et à juste titre : par 8.4.4, \(\varphi\) est toujours surjectif.²⁷

8.5.11. Exemples où \(\varphi\) n'est pas bijectif. Par (8.1.2) et le lemme 8.4.3, pour tout \(i\), \[ \begin{aligned} (8.5.11.1) \qquad \dim_{k} H^{i}(X, \mathcal{O}_{X})_{\mathrm{ss}} &= \dim_{\mathbf{F}_{p}} H^{i}(\overline{X}, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \\ &= \dim (H^{i}_{\mathrm{lib}}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} + \dim (\mathrm{Tors}^{i}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} \\ &\qquad + \dim ({}_{p}\mathrm{Tors}^{i+1}(X))_{\mathrm{ss}} \\ &\geq \dim (H^{i}_{\mathrm{lib}}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} , \end{aligned} \] la première égalité par la suite d'Artin-Schreier sur \(\overline{X}\). Pour \(i = n - 1\) et \(\mathrm{Ker}\, v = 0\), l'égalité a lieu si et seulement si \(\varphi\) est bijectif et \((\mathrm{Tors}^{n-1}(X) \otimes k)_{\mathrm{ss}} = 0\).²⁸

L'exemple de Serre. Serre, au symposium de Mexico, donne une variété \(X\) quotient d'une intersection complète par un groupe \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\) opérant sans point fixe, pour laquelle \(H^{1}(X) = 0\) en cohomologie cristalline, mais \(H^{1}(\overline{X}, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \simeq \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} \neq 0\).²⁹ En coupant par des hyperplans, on a le même exemple avec \(\dim X = 2\). Alors, par (8.1.2) pour \(i = 1\), \(H^{1}_{\mathrm{DR}}(X) \simeq {}_{p}\mathrm{Tors}^{2}(X)\), et \[ \dim ({}_{p}\mathrm{Tors}^{2}(X))_{\mathrm{ss}} = \dim_{\mathbf{F}_{p}} H^{1}(\overline{X}, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) = 1 ; \] comme \(\mathrm{Ker}\, v = 0\) pour \(n = 2\) (8.5.7), \(w = 0\) et \(\mathrm{Ker}\, \varphi \simeq ({}_{p}\mathrm{Tors}^{2}(X))_{\mathrm{ss}} \neq 0\), quels que soient \(d\) et \(Y\) : \(\varphi\) n'est pas injectif.³⁰

Un exemple barré. Le tapuscrit construisait ensuite, avec \(X' = X \times Z\) (\(Z\) lisse projective de dimension \(n - 2\), sans torsion, \((H^{n-4}(Z) \otimes k)_{\mathrm{ss}} \neq 0\), et la formule de Künneth), des exemples où \((\mathrm{Tors}^{n-1}(X') \otimes k)_{\mathrm{ss}} \neq 0\), censés donner \(\varphi\) non surjectif pour tout \(n \geq 4\). Le paragraphe est barré : \(\varphi\) est toujours surjectif. Le calcul de torsion, lui, garde un sens par (8.5.11.1) : il donne des exemples où l'inégalité est stricte pour une autre raison que la non-bijectivité de \(\varphi\).³¹

11–11

La question de monodromie (page 11)

8.6. La suite exacte de systèmes locaux sur \(U_{d}\) issue de 8.5.9 montre que le système local des \((E(Y) \otimes_{W} k)_{\mathrm{ss}}\) a un sous-système de nature triviale — constant, venu du corps de base — et pour quotient celui des \(E(Y, \mathcal{O}_{Y})_{\mathrm{ss}}\), dont on s'attend qu'il donne une représentation tout à fait non triviale de \(G = \pi_{1}(U_{d})\) sur un \(\mathbf{F}_{p}\)-vectoriel \(V\).³²

Questions. Pour \(n \geq 2\), cette représentation est-elle irréductible ? L'image de \(G\) dans \(\mathrm{Aut}(V)\) est-elle même \(\mathrm{GL}(V)\) tout entier ? Dans ce dernier cas, dès que \(\dim V \geq 2\) — ce qui doit avoir lieu pour \(d\) grand, \(\dim V\) tendant vers l'infini avec \(d\) (8.5.8) —, tout élément de \(\mathbf{F}_{p}\) est la trace d'un élément de \(G\) opérant sur \(V\), car l'application trace \(\mathrm{GL}_{m}(\mathbf{F}_{p}) \to \mathbf{F}_{p}\) est surjective pour \(m \geq 2\).³³

Conséquence espérée. Si \(k\) est fini, la formule des traces modulo \(p\) (« formule de Woods Hole ») exprime \(\mathrm{card}\, Y(k')\) modulo \(p\) comme somme alternée des traces du Frobenius sur les \(H^{i}(Y, \mathcal{O}_{Y})\), donc sur leurs parties semi-simples ; la seule contribution qui varie avec \(Y\) est la trace sur \(V\). Avec le théorème de densité de Čebotarev, on en déduirait que, pour tout ouvert non vide \(U\) de l'espace des hypersurfaces de degré \(d\) (\(d\) comme ci-dessus), on peut trouver un point \(s\) de \(U\) à valeurs dans une extension finie \(k'\) de \(k\) dont la section \(Y\) a un nombre de points \(\mathrm{card}\, Y(k')\) congru modulo \(p\) à un élément de \(\mathbf{F}_{p}\) donné à l'avance.³⁴

Le texte note qu'au moment d'écrire, et malgré l'aide de Katz, aucun résultat de cette nature ne semblait prouvé, même pour \(X = \mathbf{P}^{2}\), c'est-à-dire pour les courbes planes \(Y\) de grand degré.³⁵