Fonds Grothendieck, cote n° 39, pages 1–19

Sous-anneaux cosimpliciaux de k[[t_1, \ldots, t_n]], k corps

ce titre est de l'édition : aucune page du dossier ne porte de titre avant la page 18. Les pages 1, 8 et 17 sont des feuillets intercalaires vierges

k un ~~corps~~ corps

S_n(k) = k[[t_1, \ldots, t_n]] (n \geq 0 ; S_0(k) = k) forment, pour n variable, un anneau cosimplicial

A_n \subset S_n(k) sous-anneau cosimplicial t.q.

(b)\forall n \geq 0, A_n est un sous-anneau unifère de S_n (a)on a a_1)A_n est stable par \mathfrak{S}_n opérant sur S_n a_2)si f(t_1, \ldots, t_n) \in A_n, alors \underbrace{f(t_1, \ldots, t_n)} \in A_{n+1} t_{n+1} variable qui ne figure pas a_3)si f(t_1, \ldots, t_n) \in A_n, alors f(t_1, t_2, \ldots, \underbrace{t_{n-1}, t_{n-1}}_{\text{répété}}) \in A_{n-1}

une flèche ramène (b) sous (a) : l'ordre voulu est a), b)

Le plus petit A_* = (A_n)_{n \in \mathbf{N}} vérifiant a) b) famille est donné par ~~A_* = \ill{}~~ A_n = \mathrm{Im}(\mathbf{Z} \to S_n) dans l'~~objet~~ anneau cosimplicial constant de valeur \mathrm{Im}(\mathbf{Z} \to k) (qui est \mathbf{Z} ou un \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}, p nombre premier = \mathrm{car}.\, k)« anneau » est écrit au-dessus de « objet » biffé

On suppose de plus que

c)si f \in A_n et f \notin \mathrm{rad}\, S_n, i.e. f inv. dans S_n, alors \frac{1}{f} \in S_nlire sans doute \frac{1}{f} \in A_n \Updownarrow c')A_n est un anneau local, et l'inclusion A_n \to S_n est un hom. local

Le plus petit A_* satisfaisant a) b) c) est formé des A_n = \mathrm{Im}(P \to S_n) où P est le sous-corps premier de k (\mathbf{Q} en car. 0, \mathbf{F}_p en car. p > 0).

d)t_1 \in A_1 \subset S[[t_1]]

Le plus petit A_* satisfaisant a) b) d) c) est formé des A_n = P[t_1, \ldots, t_n] le plus petit A satisfaisant a) b) c) d) est formé des A_n = P[t_1, \ldots, t_n]_{\mathfrak{m}_n}, \qquad \mathfrak{m}_n = \sum t_i\, P[t_1, \ldots, t_n].

Un hom. S_n \to S_m (ou \mathrm{Spf}(S_m) \to \mathrm{Spf}(S_n))sous les deux \mathrm{Spf} il écrit X_m et X_n : X_n = \mathrm{Spf}(S_n) ; son X bouclé se lit d'abord comme un \mathcal{D} donné par f_1, \ldots, f_n \in S_m est dit un A-hom. si f_1, \ldots, f_n \in A_m. Il résulte de b) et d) que l'identité X_n \to X_n, plus généralement les applications et X_n \to X_m sont des A-hom. (t_i \in A_n pour 1 \leq i \leq n). L'analogue de b)

est la condition

e)Le composé de deux (A_*-)morphismes X_m \to X_n \to X_p est un A_*-morphisme.

Moyennant a) à e), i.e. \mathrm{Hom}_A(X_m, X_n) \simeq \mathrm{Hom}_{A_0\text{-alg}}(A_n, A_m)

NB Moyennant b) et e), la condition a) équivaut au ~~fait~~ que \begin{cases} \text{a}_1)\ 1 \in A_0 \\ \text{a}_2)\ \text{le morphisme « différence » } X_1 \times X_1 \to X_1 \text{ est } A_*\text{-morph.} \\ \text{a}_3)\ \text{le morphisme « produit » } X_1 \times X_1 \to X_1 \text{ est } A_*\text{-morph.} \end{cases}

NB Les A_n = k[t_1, \ldots, t_n] ou A_n = k[t_1, \ldots, t_n]_{\mathfrak{m}_n} satisfont e)

L'analogue de c) est la condition

f)Si u : X_n \to X_n est un A-morphisme et un isomorphisme, ~~alors~~ i.e. le déterminant de la matrice jacobienne de u est inversible, alors u^{-1} est un A-morphisme.

Cette condition implique ~~(et équivalente~~ ~~à ??~~

f')Les A_n sont des anneaux henséliens

f') implique-t-il f) (moyennant a) à e)) ? il suffit par récurrence

[En fait, si f) est satisfait pour un n, (f') est satisfait pour n - 1, i.e. A_{n-1} est hensélien] D'ailleurs, si ~~X_n \simeq X_n~~ u est donné par f_1, \ldots, f_n \in B_n, alors u^{-1} est donné par g_1, \ldots, g_n appartenant à la clôture hensélienne de (k[f_1, \ldots, f_n]_{\mathfrak{n}}, où \mathfrak{n} = (k[f_1, \ldots, f_n]le passage « D'ailleurs … » est barré de longs traits obliques

NB Le plus petit A_* satisfaisant a) à d) et f') est formé des A_n = P\{t_1, \ldots, t_n\} \qquad \bigl(\text{clôture hensélienne de } P[t_1, \ldots, t_n]_{\mathfrak{m}_n}\bigr) et il satisfait e) et f).

~~changement de variables for~~

Moyennant a) b) c) d) e) ~~on peut~~ définir la catégorie des A-schémas formels, et des Modules dessus (faisceaux ), et le calcul différentiel fini dessus (opérateurs différentiels, parties principales, etc. …)

(6 des propriétés) produits fibrés transversaux

Nous supposons maintenant k de car. 0, de sorte qu'on a la notion d'exponentielle d'un champ de vecteurs formel \xi sur X un schéma formel lisse X, (t, x) \mapsto (\exp t\xi) . x \;:\; \underline{X_1} \times X \to X sous X_1, en petit : « le temps »

Indiquer d'équations différentielles

g)Si X est un A-schéma formel (lisse) et \xi un A-champ de vecteurs, alors le morphisme X_1 \times X \to X est un A-morphisme.

(Bien entendu, il suffit de le faire dans le cas des X de la forme X_n…).

Ceci indique (vu l'intervention de la variable temps, devenant variable explicite), :

g')~~Idem~~ Analogue à g), mais avec un « champ de vecteurs variable avec le temps » \xi(t) (\underline{X_1 \times X \to \mathbf{T}(X)} au-dessus de X via \mathrm{pr}_2, ~~formelle~~ ), on résolvant l'équation différentielle formelle \frac{d}{dt}\, x(t) = \xi(t, x) La solution x = \varphi(t, x_0) correspondant : un \varphi : X_1 \times X \to X qui est un A-morphisme.

Conséquence. Soit k_0 = A_0, c'est un sous-corps de k. Soit \mathcal{L}(k_0) la catégorie des alg. de Lie de dim. finie sur k_0. Par Hausdorff, on a un foncteur \mathcal{L}(k_0) \xrightarrow{\text{Hausdorff}} \mathrm{G\text{-}f}(k_0) \xrightarrow{\text{ext.\ de la base}} \mathrm{G\text{-}f}(k) où « \mathrm{G\text{-}f} » désigne la catégorie des groupes formels. Ceci dit, ce foncteur se factorise par les A-groupes (formels) sur k. De façon plus précise, soit \overline{W}(\mathfrak{g}_0) le complété à l'origine (de \mathfrak{g}_0 \otimes_{k_0} k) du k_0-espace vectoriel ~~\mathfrak{g}_0~~. C'est un A-schéma formel.

Les formules de Hausdorff, où \mathfrak{g}_0 est une alg. de Lie, définissent une loi de groupe \overline{W}(\mathfrak{g}_0) \times \overline{W}(\mathfrak{g}_0) \to \overline{W}(\mathfrak{g}_0) Cette dernière est une A-loi ; ~~, il suffit de des du système de Pfaff~~ ~~1°) A- associé est donné par une~~ A-loi et si \mathfrak{g}_0 \to \mathfrak{h}_0 est un hom. d'algèbres de Lie sur k_0, l'hom. de groupes formels \overline{W}(\mathfrak{g}_0) \to \overline{W}(\mathfrak{h}_0) est un A-hom. Utilisant le th. d'Ado, on est ramené à prouver que si \mathfrak{g}_0 \subset \mathfrak{gl}(n, k_0), alors le s/groupe formel de \mathrm{GL}(n, k_0) qu'il définit est un sous-A-schéma formel….

Cor A_1 \subset S_1(k) stable par primitivation canonique (i.e. celle qui s'annule à l'origine), contient \log(1 + t_1), \exp t_1, \cos t_1, \sin t_1, \mathrm{tg}\, t_1 ….

Soit X schéma formel lisse de dim. n = p + q. On sait ce que c'est qu'un feuilletage (de dim. p) de X : i.e. variété formelle quotient B de X, avec X \to B submersif, \dim B = q = n - p. À un tel feuilletage correspond un sous-module \mathfrak{P} \subset \Theta(X) [champs de vecteurs le long de la fibre] qui est un « système de Pfaff » de dim. p complètement intégrable, et inversement. Si X a une A-structure, on dit qu'un feuilletage est un A-feuilletage si \exists (loc.) B une A-structure (d'ailleurs unique, grâce à f)) telle que X \to B soit un A-morphisme. Cela implique que le sous-module \mathfrak{P} \subset \Theta(X) (ou sous-fibré de \mathbf{T}(X)) soit un A-sous-fibré — i.e. provient d'un A-syst. de Pfaff compl. intégrable. On souhaite qu'ait lieu une réciproque, savoir

NB h) implique g), qui équivaut à h) pour p = 1

h)Si \mathfrak{P}_A est un A-syst. de Pfaff compl. intégrable sur le A-schéma formel X, alors il donne lieu à un A-feuilletage. ~~réalisé~~ . [En d'autres termes, si i : Y \to X est un A-morphisme donné tel que le composé \mathbf{T}(Y)_0 \xrightarrow{\mathbf{T}(i)_0} \mathbf{T}(X)_0 \to \mathbf{T}(X)_0 / \mathfrak{P}(0) soit un isom., alors l'unique morphisme \pi : X \to Y tel que \pi \circ i = \mathrm{id}_Y et que \varphi soit compatible avec \mathfrak{P}, est un A-morphisme….

[\Leftarrow h') la fibre de 0 dans un tel feuilletage est une sous-A-variété formelle….]

toute la page est barrée de longs traits obliques ; c'est une reprise de la fin de la page 6, transcrite ici parce qu'elle se lit

Cor A_1 est stable par primitivation canonique (i.e. prise d'augmentation nulle) contient \log(1 + t_1) (primitive de \frac{1}{1 + t_1}) donc \exp t_1 (série inverse), les fonctions \cos t_1, \sin t_1, \mathrm{tg}\, t_1 sont \in A_1 ….

~~Lemme~~ ~~1) Soit~~ Soit X un A-schéma formel (lisse) de dim. n = p + q, \mathfrak{P} un « système de Pfaff de degré p complètement intégrable sur X », ~~dans un A-~~ Soit Y, schémas formels (de dim. p resp. q), des A-morphismes, p : X \to Y et i : Z \to X (tels que \mathbf{T}(p)(0) soit un isom. \mathfrak{P}(0) \to \mathbf{T}(Y)_0 et que le composé \mathbf{T}(Z)_0 \xrightarrow{\mathbf{T}(i)_0} \mathbf{T}(X)_0 \to \mathbf{T}(X)_0 / \mathfrak{P}(0) soit un isom. On sait qu'il existe alors un isomorphisme formel (pas néc. A-isom.) unique X \xrightarrow[\simeq]{\varphi} Y \times Z tel que \mathrm{pr}_1 \circ \varphi = p, \varphi \circ i = (z \mapsto (0, z))) la parenthèse qui commence à « Soit Y » est encadrée d'un trait et biffée

Soit Z un A-schéma formel (lisse) de dim. q, i : Z \to X un A-morphisme tel que le composé \mathbf{T}(Z)_0 \xrightarrow{\mathbf{T}(i)_0} \mathbf{T}(X)_0 \to \mathbf{T}(X)_0 / \mathfrak{P}(0) soit un isom. On sait qu'il existe alors un unique morphisme formel X \xrightarrow{\pi} Z tel que \pi \circ i = \mathrm{id}, et que « \pi soit ~~constant sur les~~ compatible avec le feuilletage défini par \mathfrak{P} ». Conditions équivalentes

(i)\pi est un A-morphisme (ii)\exists A-isom. X \simeq B \times Y, tel que le feuilletage formel de X défini par \mathfrak{P} soit le feuilletage défini par la projection \mathrm{pr}_1 : X \to B. On dit

Reprise : k anneau commutatif, schémas A_*-formels

ce titre est de l'édition

nouvelle rédaction, reprenant la page 2 avec k un anneau commutatif quelconque

k anneau commutatif

S_n = k[[t_1, \ldots, t_n]] (n \geq 0)

X_n = \mathrm{Spf}(S_n)

X_* = (X_n)_{n \geq 0} schéma formel simplicial augmenté

S_* = (S_n)_{n \geq 0} anneau top. cosimplicial coaugmenté

On suppose donné, pour tout n \geq 0, un sous-ensemble A_n \subset S_n On pose A_* = (A_n)_{n \geq 0}. Un morphisme X_m \xrightarrow{p} X_n, associé à un hom. de k-algèbres topologiques S_n \xrightarrow{p^*} S_m, est dit un A_*-morphisme si p^*(t_i) = f_i \in S_m \text{ est } \in A_m \text{ pour tout } 1 \leq i \leq n . Donc cela signifie que les \mathrm{pr}_i \circ p (1 \leq i \leq n) sont des A_*-morph. On suppose :

NB les f_i les \varepsilon(f_i) arbitraires

(a)Identités Les opérations simpliciales entre les X_n sont des A_*-morphismes (\Leftrightarrow \forall n \geq 0 et 1 \leq i \leq n, t_i \in A_n ; \Leftrightarrow les morphismes identiques des X_n sont \in A_n) (b)Composition Le composé de deux A_*-morphismes est un A_*-morphisme [\Leftrightarrow si p : X_m \to X_n est un A_*-morphisme, alors p^*(A_n) \subset A_m \Leftrightarrow si f_1, \ldots, f_n \in A_m, et \varepsilon(f_1), \ldots, \varepsilon(f_n) nilpotents avec \varepsilon l'augmentation, alors pour tout \varphi \in A_n, on a \varphi(f_1, \ldots, f_n) \in A_m] NB Ce serait vrai (sans supposer \varepsilon(\varphi) nilpotent) dans ~~si a \in A_0~~, sachant que \mathrm{Im}(A_0 \to S_n) \subset A_n (c)~~1 \in A_0, et~~ Le morphisme « différence » X_2 = X_1 \times_k X_1 \to X_1 ((x, y) \mapsto x - y) et « produit » [(x, y) \mapsto xy] sont des A_*-morphismes [\Leftrightarrow t_1 - t_2 et t_1 t_2 sont \in A_2] et 1 \in A_0 \Leftrightarrow les A_n sont A- des sous-anneaux unitaires des S_n ~~stables par produits, et par différences, 1 \in S_0~~ condition anodine

l'énoncé (c) est encadré et traversé de traits obliques, sans que rien le remplace ; la page 10 le suppose acquis

NB Le plus petit A_* a) b) c) impliquent que A_* est un sous-anneau cosimplicial de S_*. Le plus petit A_* satisfaisant a) b) c) est formé des A_n = \mathrm{Im}\bigl(\mathbf{Z}[t_1, \ldots, t_n] \to k[[t_1, \ldots, t_n]]\bigr) \simeq \Lambda[t_1, \ldots, t_n] où \Lambda = \mathrm{Im}(\mathbf{Z} \to k) \begin{cases} \simeq \mathbf{Z} & \text{ou} \\ \simeq \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} & \text{pour } n \in \mathbf{N}^* \text{ convenable.} \end{cases}

Avec les conditions a) b) c) on construit la catégorie \mathrm{Sfl}_{A_*} des A_*-schémas formels lisses. Dans cette catégorie, il y a des produits finis (X_n \simeq (X_1)^n), et des produits fibrés, dans le cas « transversal ».

Le foncteur « anneau des A_* » commute aux limites \leftarrow

On obtient un foncteur \mathbb{V}_{A_*} de la cat. des k_0-modules libres de t.f. ~~est~~ (où k_0 = A_0 \subset S_0 = k) ( ?) vers les A_*-schémas formels, par M_0 \mapsto \mathrm{Spf}\, \widehat{\mathrm{Sym}}{}^*_k(M_0 \otimes k) (i.e. M_k = M_0 \otimes_{k_0} k). C'est un foncteur pleinement fidèle qui transforme les objets groupes de \mathrm{Lib}(k_0) en les groupes A_*-formels.

~~schémas A_* plus gén.~~ la note encadrée en biais au milieu de la marge gauche est rayée de traits verticaux ; seuls quelques mots se lisent

Plus gén., si \mathrm{Lin}(k_0) est la catégorie des k_0-schémas augmentés ( des \mathrm{Spf}\, \widehat{\mathrm{Sym}}{}^*_k(M_0), ), il y a un foncteur X \to \widehat{X}^{(A_*)} de \mathrm{Lin}(k_0) vers les A_*-schémas formels, commutant aux produits finis, donc transformant objets groupes en objets groupes …

\mathcal{O}_{A_*}(X) \subset \mathcal{O}(X), où \mathcal{O}_{A_*}(X) = \mathrm{Hom}_{A_*}(X, X_1) et \mathcal{O}(X) = \mathrm{Hom}_{k\text{-formel}}(X, X_1)les deux égalités sont écrites par des « = » verticaux sous chaque membre ; A_*-formel lisse ; Modules A_*-formels sur les schémas A_*-formels ; Le fibré vectoriel A_*-formel \mathbb{V}_{A_*}(M) := W_{A_*}(M) cette dernière note court verticalement le long de la marge gauche, dans le bas de la page

Les conditions a) b) c) sont les conditions ~~algébriques~~ élémentaires. On veut de plus

avec d) condition de coefficientabilité

d)(Condition hensélienne) Si u : X_n \to X_n est un A_*-morphisme qui est un isomorphisme formel (i.e. si f_1, \ldots, f_n \in A_n sont tels que \varepsilon(f_1), \ldots, \varepsilon(f_n) soient nilpotents dans k et \varepsilon\Bigl(\det\Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial t_j}\Bigr)\Bigr) = \det\Bigl(\varepsilon\Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial t_j}\Bigr)\Bigr) = \det\Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial t_j}(0)\Bigr) est un élément inv. de k) alors u^{-1} est aussi un A_*-morphisme (\Leftrightarrow le foncteur des A_*-schémas A_*-formels vers les schémas formels sur k est conservatif).

Cor. 1 Si f \in A_n et f inversible dans S_n, i.e. \varepsilon(f) = f(0) inversible dans k, alors f^{-1} \in A_n ; \Leftrightarrow si f \in A_n, \varepsilon(f) = 0, alors (1 + f)^{-1} \in A_n [\Leftrightarrow si f \in A_n et \varepsilon(f) = 1, alors f^{-1} \in A_n] \Leftrightarrow A_n \cap \mathfrak{m}_n \subset \mathrm{rad}\, A_n, où \mathfrak{m}_n = (t_1, \ldots, t_n) S_n ]

moyennant condition d) (coefficientabilité)

En effet, considérons la ~~multi~~ l'automorphisme u : (x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \ldots, x_n, f(x_1, \ldots, x_n) . x_{n+1}) de X_{n+1}, il est un isom. formel d'inverse (x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \ldots, x_n, f(x_1, \ldots, x_n)^{-1} x_{n+1}), donc comme u est un A-morphisme, par d) il en est de même de u^{-1}, donc g(t_1, \ldots, t_{n+1}) = f(t_1, \ldots, t_n)^{-1} t_{n+1} \in A_{n+1}, ~~i.e. X_{n+1} \to X_1~~ donc g(t_1, \ldots, t_n, 1) \in A_n i.e. f^{-1} \in A_n, cqfd.

de la condition de coefficientabilité \uparrow : inconvénient, 1 n'est pas nilpotent ! Il faut exiger une propriété de divisibilité : t_{n+1} f \in A_{n+1} \Rightarrow f \in A_n la note encadrée en bas de la marge gauche, reliée par une flèche au passage « donc g(t_1, \ldots, t_n, 1) \in A_n », relève que 1 n'est pas nilpotent, de sorte que la substitution t_{n+1} = 1 n'est pas permise par b)

Cor. 2 Soit P(Z) = Z^N + f_1 Z^{N-1} + \cdots + f_N, \in A_n[Z] polynôme unitaire, soit \zeta \in k_0 tel que P^\varepsilon(\zeta) = \zeta^N + a_1 \zeta^{N-1} + \cdots + a_N = 0 , \quad \text{où } a_i = \varepsilon(f_i) = f_i(0) \in k_0 ,

et (P^\varepsilon)'(\zeta) = N \zeta^{N-1} + (N-1) a_1 \zeta^{N-2} + \cdots + a_{N-1}, soit \in k^* (donc en fait \in k_0^*), de sorte qu'il existe un unique F \in S_n telle que P(F) = 0 et \varepsilon(F) = \zeta. Sous ces conditions, on a F \in A_n. [En d'autres termes, (A_n, \mathfrak{p}_n = \mathfrak{m}_n \cap A_n) est (non seulement zariskien, selon le cor. 1, mais même) hensélien]

Z par Z - \zeta_0, sps \zeta_0 = 0 donc f_N = \varepsilon(f_N) = 0. En effet, on regarde X_{n+1} \to X_{n+1} donné par (x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}^{N+1} + f_1(x_1, \ldots, x_n) x_{n+1} \ldots). L'hyp. sur passage encadré d'un trait en escalier et biffé

Plus généralement

Cor. 3 Soit P \in A_{n+1}[t_1, \ldots, t_n, Z], P = f_0 + f_1 Z + f_2 Z^2 + \cdots [les f_i \in S_n(t_1, \ldots, t_n)] supposons \varepsilon(f_0) = 0 i.e. \varepsilon(P) = 0, et \varepsilon(f_1) \in k^* i.e. \varepsilon\bigl(\frac{\partial P}{\partial Z}\bigr) \in k^*, de sorte qu'il existe une unique F \in S_n telle que P(t_1, \ldots, t_n, F(t_1, \ldots, t_n)) = 0 et \varepsilon(F) = 0. Alors F \in A_n.

a) b) c) d) impliquent-ils que S_n est fid. plat sur A_n (si k fini sur k_0) ?

Soit en effet u : X_{n+1} \to X_{n+1}, donné par (x_1, \ldots, x_n, \zeta) \mapsto (x_1, \ldots, x_n, P(x_1, \ldots, x_n, \zeta)), alors l'hyp. dit que u est compatible avec les projections, et que u est un isomorphisme formel. Comme l'hyp. P \in A_{n+1} implique u un A_*-morphisme, u^{-1} est un A_*-morphisme, et par suite u^{-1} est un A_*-morphisme. Donc u^{-1}(x_1, \ldots, x_n, \zeta) = (x_1, \ldots, x_n, \varphi(x_1, \ldots, x_n, \zeta)) avec \varphi \in A_{n+1}, (t_1, \ldots, t_n, t_{n+1}), donc F = \varphi(t_1, \ldots, t_n, 0) \in A_n(t_1, \ldots, t_n).

d) (Coefficients différentiables) les A_n sont stables par les dérivations différentielles standard D_{p_j} = D(p_1, \ldots, p_n) \bigl(= \frac{1}{p_1! \cdots p_n!} \frac{\partial^{|p|}}{\partial x_1^{p_1} \cdots \partial x_n^{p_n}}\bigr) cet énoncé, en bas de page, est barré de traits obliques

Soient X un schéma A_*-formel et Y un sous-schéma formel (lisse) de X. ~~On dit~~ On dit que Y est un ~~sous~~ A_*-schéma A_*-formel s'il existe sur Y une A_*-structure telle que l'inclusion canonique soit un A_*-morphisme. Cette A_*-structure est alors unique. En effet, il est immédiat qu'on peut (sans hyp. sur Y) trouver un A_*-morphisme X \to Y' (Y' un schéma A_*-formel) tel que le morphisme induit Y \to Y' soit un isomorphisme formel. ~~Considérons~~ Considérons l'isomorphisme inverse, et le composé Y' \to Y \to X. Utilisant (d), on voit que Y est un sous-schéma A_*-formel ssi Y' \to X est un A_*-morphisme, et alors la A_*-structure de Y est celle déduite.

Exemples La diagonale de X \times X est un sous-A_*-schéma formel. Plus gén. celle de X \times_Y X si X \to Y est un A_*-morphisme submersif ~~( formel )~~.

Un morphisme formel X \to Y entre schémas A_*-formels est un A_*-morphisme ssi son graphe est un sous-schéma A_*-formel de X \times Y

Soit \mathcal{X} un schéma sur \mathcal{O}_{A_*}(X) (X un A_*-schéma formel) muni d'une section s_0 sur \mathcal{O}_{A_*}(X), supposons que \mathcal{X} soit lisse sur \mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{A_*}(X) aux points de cette section. Considérons le complété formel \widehat{\mathcal{X}} de \mathcal{X} \otimes_{\mathcal{O}_{A_*}(X)} \mathcal{O}(X) le long de la section s déduite de s_0. Alors une construction utilisant e) permet d'y mettre une A_*-structure, telle que X \to \widehat{\mathcal{X}} \to X soient des A_*-morphismes. \widehat{\mathcal{X}} dépend A_*-fonctoriellement des triples (X, \mathcal{X}, s_0), sa formation est compatible avec les images inverses par X' \to X …) la phrase « telle que X \to \widehat{\mathcal{X}} \to X soient des A_*-morphismes » est ajoutée dans l'interligne

d)(Conditions différentielles) Tout A_n est stable par les op. différentiels élémentaires D_p [\Leftrightarrow si f(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m) \in A_{n+m} est mis sous la forme \sum_{p \in \mathbf{N}^m} f_p(x)\, y^p, alors les f_p sont \in A_n]

la lettre de cet énoncé se lit « d) », qui est déjà celle de la condition hensélienne (page 11) ; la page 13 invoque « (d) » puis « e) », et la page 15 enchaîne sur « f) (Condition intégrale) » : c'est vraisemblablement l'énoncé e) de la série

les conjugués les coefficients ?

Ceci implique que les algèbres \mathcal{P}^n_{X/k} sur \mathcal{O}(X) (X un schéma A_*-formel) ont ~~une~~ des A_*-structures canoniques et fonctorielles, de même \mathcal{P}^n_{X/Y} si X \to Y est un A_*-morphisme submersif, de même si X \supset Y est un couple de schémas A_*-formels, \mathcal{O}(Y) = \mathcal{O}(X)/\mathcal{J}, les invariants normaux \mathcal{O}_X/\mathcal{J}^n ont des A_*-structures canoniques, fonctorielles, compatibles avec images inverses transversales. Les op. diff. universel et relatif \mathcal{O}(X) \to \mathcal{P}^n_{X/k} etc. ~~A_*-morphismes~~, appliquent \mathcal{O}_{A_*}(X) dans (\mathcal{P}^n_{X/k})_{A_*} …

Si les \mathrm{Diff}^n(X/k) (duaux des \mathcal{P}^n_{X/k}) ont des A_*-structures canoniques, leur composition ~~est~~ laisse stables les parties \mathrm{Diff}^n(X_{A_*}/k) des A_*-op. diff., et ces derniers stabilisent les A_* \mathcal{O}_{A_*}(X) … Item pour les op. diff. relatifs, pour X \to Y A_*-morphisme submersif.

Cor A_n \subset k_0[[t_1, \ldots, t_n]]. D'où un foncteur allant des schémas A_*-formels vers les schémas formels sur k_0 … ~~Soit X \to Y un morphisme submersif de schémas formels, X~~

Soit p : X \to Y un morphisme submersif de schémas formels (lisses), supposons X muni d'une A_*-structure. On dit que Y admet une A_*-structure quotient de celle de X (moyennant p) s'il admet une A_*-structure telle que p devienne un A_*-morphisme. Celle-ci est alors unique : en effet, il existe (sans condition sur Y) un sous-schéma A_*-formel Y' de X, tel que le morphisme formel induit Y' \to Y soit un isomorphisme. Considérons le composé X \xrightarrow{p} Y \xrightarrow{\sim} Y', on voit alors grâce à e) que la A_*-structure quotient existe ssi X \to Y' est un A_*-morphisme, et la A_*-structure sur Y est celle déduite de celle de Y'. « Considérons » est ajouté dans l'interligne, et le composé est écrit X \to Y' avec p, Y et une flèche portés au-dessus ; un mot après Y' est biffé

Soit X \xrightarrow{p} Y un morphisme formel submersif. Alors R = X \mathbin{\widehat{\times}_Y} X \subset X \mathbin{\widehat{\times}} X est un sous-schéma formel lisse, et c'est une relation d'équivalence [stable par symétrie, contenant la diagonale, transitif…]. ~~Inversement~~ Plus précisément, X étant donné, il y a corr. biunivoque entre ces quotients formels Y, et les R rel. d'équiv. formelles. Si X est muni d'une A_*-structure, alors si Y admet une A_*-structure quotient, on voit que R est un sous-schéma A_*-formel de X \mathbin{\widehat{\times}} X i.e. il a une A_*-structure induite.

f)(Condition intégrale) La réciproque est vraie, i.e. si R est une relation d'équival. formelle dans X, qui soit une A_*-sous-structure de X \mathbin{\widehat{\times}} X, alors

le quotient formel Y = X/R admet une A_*-structure quotient.

[Heuristiquement, étant donné un A_*-feuilletage de X, la variété formelle des feuilles admet une A_*-structure quotient. En car. 0, il est « bien connu » que les A_*-feuilletages correspondent aux « systèmes de Pfaff complètement intégrables » sur X, et la « condition intégrale » signifie que l'intégration de ce système (effectuée, disons, par le morphisme formel plus haut X \to Y') se fait par un A_*-morphisme…] la page s'arrête ici ; la moitié inférieure du feuillet est blanche

Théorème de préparation « formel »

ce titre est de lui : « Th. de préparation "formel" », souligné, ouvre la page 18

Th. de préparation « formel » Soit A un anneau linéairement topologique, séparé et complet, Z une indéterminée, F(Z) = \sum_{i \geq 0} a_i Z^i \in A[[Z]], N \in \mathbf{N} tel que

(i)a_i est top. nilpotent pour 0 \leq i \leq N-1 (ii)a_N est inversible

Alors F est un élément régulier de A[[Z]] et A[[Z]]/F a comme base (Z^i)_{0 \leq i \leq N-1}, en d'autres termes tout élément G de A[[Z]] s'écrit de façon unique sous la forme G = QF + \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i \qquad Q \in A[[Z]],\ b_i \in A l'énoncé et sa conclusion sont marqués chacun d'un trait vertical dans la marge gauche

Démonstration Comme A est séparé et complet pour sa top. linéaire, on est ramené au cas où A est discret, alors (i) signifie que les a_i (0 \leq i \leq N-1) sont nilpotents. Soit \mathfrak{m} l'idéal qu'ils engendrent, A_0 = A/\mathfrak{m}, et désignons par \dot{a}_i, \dot{F} etc. les réductions mod \mathfrak{m}. Donc \dot{a}_i = 0 \quad \text{pour } 0 \leq i \leq N-1 i.e. \dot{F} = \dot{a}_N Z^N + \cdots = \dot{a}_N Z^N (1 + \cdots) donc, comme \dot{a}_N est inversible par (ii), on voit que \dot{F} est de la forme \dot{F} = \dot{u} Z^N. les indices de \dot{a}_N et les exposants de Z^N sont surchargés : un « N+1 » semble corrigé en « N »

Donc A_0[[Z]]/\dot{F} \simeq A_0[[Z]]/Z^N ~~\simeq A_0[Z]/Z^N~~ a comme base les Z^i (0 \leq i \leq N-1).

~~i.e. (i) les Z^i (0 \leq i \leq N-1) engendrent~~ ~~A[[Z]]/F A[[Z]].~~ ~~En effet, ils engendrent mod \mathfrak{m},~~ ~~on gagne donc par Nakayama.~~ ~~(ii) F est régulier. En effet,~~ ~~associé~~ ~~\mathrm{Gr}^*(A)^N~~ ~~Soit Q \in A[[Z]]/\mathfrak{m}~~ ~~F divise~~ ~~quand, correspond : l'op. de~~ ~~F, qui est injective OK.~~ tout le bas de la page, à partir de « (i) les Z^i », est enfermé dans un cadre, traversé de lignes horizontales et barré de grandes diagonales croisées ; seuls des fragments se lisent

~~(iii) Étude du cas où a_i = 0 pour i \geq N+1, a_N = 1,~~ ~~i.e. dans ce cas~~ ~~F = Z^N + a_{N-1} Z^{N-1}~~ ~~+ \cdots + a_0,~~ ~~les a_i (0 \leq i \leq N-1) nilpotents.~~ ~~A[Z]/F A[Z] \to A[[Z]]/F A[[Z]],~~ ~~base (Z^i)_{0 \leq i \leq N-1} sur A,~~ ~~est donc surjectif~~ ~~(car les Z^i (0 \leq i \leq N-1) engendrent~~ ~~A[[Z]]/F A[[Z]] comme A-module) par (i).~~ ~~Pour qu'il soit bijectif il~~ faut et il suffit ~~que (F A[[Z]]) \cap A[Z] = F A[Z]~~ ~~(il revient au même de dire que les~~ ~~Z^i (0 \leq i \leq N-1) forment une base~~ ~~de A[[Z]]/F A[[Z]]).~~ ~~Soit donc a_0 + a_1 Z + \cdots + a_{N-1} Z^{N-1}~~ ~~qui soit multiple de F dans A[[Z]] i.e.~~ le haut de la page, jusqu'à « multiple de F dans A[[Z]] », est barré de deux longues obliques

Considérons l'application \begin{array}{rccc} \varphi : & A^N + A[[Z]] & \longrightarrow & A[[Z]] \\ & \bigl((b_i)_{0 \leq i \leq N-1}, Q\bigr) & \longmapsto & \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i + QF \end{array} l'application déduite par passage aux gradués associés pour la filtration \mathfrak{m}-adique (finie) est (\mathrm{Gr}\, A)^N \times (\mathrm{Gr}\, A)[[Z]] \to (\mathrm{Gr}\, A)[[Z]] donnée par un degré n par \bigl((b_i), Q\bigr) \longmapsto \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i + Q \dot{F} et comme \dot{F} = \dot{a}_N \alpha Z^N (\alpha \in A_0^*)la parenthèse, surchargée, porte après \alpha un signe et un « a_{N+1} » ou « a_N » corrigé ; ce que vaut \alpha ne se lit pas, ceci est manifestement bijectif, donc \varphi aussi, cqfd.