Cote n° 39, pages 1–19

Cote n° 39 · batch 1 · pages 1–19 · Transcription · Fonctions et structures « élémentaires » [Schémas formels, théorème de préparation] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1960-1970]
Édition de démonstration

Sous-anneaux cosimpliciaux de \(k[[t_1, \ldots, t_n]]\), \(k\) corps

ce titre est de l'édition : aucune page du dossier ne porte de titre avant la page 18. Les pages 1, 8 et 17 sont des feuillets intercalaires vierges

\(k\) un corps […] […] corps

\(S_n(k) = k[[t_1, \ldots, t_n]]\) (\(n \geq 0\) ; \(S_0(k) = k\)) forment, pour \(n\) variable, un anneau cosimplicial

\(A_n \subset S_n(k)\) sous-anneau cosimplicial t.q.

(b)\(\forall n \geq 0\), \(A_n\) est un sous-anneau unifère de \(S_n\)
(a)on a
a\(_1\))\(A_n\) est stable par \(\mathfrak{S}_n\) opérant sur \(S_n\)
a\(_2\))si \(f(t_1, \ldots, t_n) \in A_n\), alors \(\underbrace{f(t_1, \ldots, t_n)}\) \(\in A_{n+1}\) \(t_{n+1}\) variable qui ne figure pas
a\(_3\))si \(f(t_1, \ldots, t_n) \in A_n\), alors \(f(t_1, t_2, \ldots, \underbrace{t_{n-1}, t_{n-1}}_{\text{répété}}) \in A_{n-1}\)

une flèche ramène (b) sous (a) : l'ordre voulu est a), b)

Le plus petit \(A_* = (A_n)_{n \in \mathbf{N}}\) vérifiant a) b) famille est donné par \(A_* = \ill{}\) \[ A_n = \mathrm{Im}(\mathbf{Z} \to S_n) \] dans l'objet [anneau] cosimplicial constant de valeur \(\mathrm{Im}(\mathbf{Z} \to k)\) (qui est \(\mathbf{Z}\) ou un \(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}\), […] \(p\) nombre premier \(= \mathrm{car}.\, k\))« anneau » est écrit au-dessus de « objet » biffé

On suppose de plus que

c)si \(f \in A_n\) et \(f \notin \mathrm{rad}\, S_n\), i.e. \(f\) inv. dans \(S_n\), alors \(\frac{1}{f} \in S_n\)lire sans doute \(\frac{1}{f} \in A_n\)
\(\Updownarrow\)
c\('\))\(A_n\) est un anneau local, et l'inclusion \(A_n \to S_n\) est un hom. local

Le plus petit \(A_*\) satisfaisant a) b) c) est formé des \[ A_n = \mathrm{Im}(P \to S_n) \] où \(P\) est le sous-corps premier de \(k\) (\(\mathbf{Q}\) en car. \(0\), \(\mathbf{F}_p\) en car. \(p > 0\)).

d)\(t_1 \in A_1 \subset S[[t_1]]\)

Le plus petit \(A_*\) satisfaisant a) b) d) c) est formé des \[ A_n = P[t_1, \ldots, t_n] \] […] le plus petit \(A\) satisfaisant a) b) c) d) est formé des \[ A_n = P[t_1, \ldots, t_n]_{\mathfrak{m}_n}, \qquad \mathfrak{m}_n = \sum t_i\, P[t_1, \ldots, t_n]. \]

e) […]

Un hom. \(S_n \to S_m\) (ou \(\mathrm{Spf}(S_m) \to \mathrm{Spf}(S_n)\))sous les deux \(\mathrm{Spf}\) il écrit \(X_m\) et \(X_n\) : \(X_n = \mathrm{Spf}(S_n)\) ; son \(X\) bouclé se lit d'abord comme un \(\mathcal{D}\) donné par \(f_1, \ldots, f_n \in S_m\) est dit un \(A\)-hom. si \(f_1, \ldots, f_n \in A_m\). Il résulte de b) et d) que l'identité \(X_n \to X_n\), plus généralement les applications et […] \(X_n \to X_m\) […] sont des \(A\)-hom. (\(t_i \in A_n\) pour \(1 \leq i \leq n\)). L'analogue de b)

est la condition

e)Le composé de deux (\(A_*\)-)morphismes \(X_m \to X_n \to X_p\) est un \(A_*\)-morphisme.

Moyennant a) à e), i.e. \(\mathrm{Hom}_A(X_m, X_n) \simeq \mathrm{Hom}_{A_0\text{-alg}}(A_n, A_m)\)

NB Moyennant b) et e), la condition a) équivaut au fait que \[ \begin{cases} \text{a}_1)\ 1 \in A_0 \\ \text{a}_2)\ \text{le morphisme « différence » } X_1 \times X_1 \to X_1 \text{ est } A_*\text{-morph.} \\ \text{a}_3)\ \text{le morphisme « produit » } X_1 \times X_1 \to X_1 \text{ est } A_*\text{-morph.} \end{cases} \]

NB Les \(A_n = k[t_1, \ldots, t_n]\) ou \(A_n = k[t_1, \ldots, t_n]_{\mathfrak{m}_n}\) satisfont e)

L'analogue de c) est la condition

f)Si \(u : X_n \to X_n\) est un \(A\)-morphisme et un isomorphisme, alors i.e. le déterminant […] de la matrice jacobienne de \(u\) est inversible, alors \(u^{-1}\) est un \(A\)-morphisme.

Cette condition implique (et […] équivalente à ??

f\('\))Les \(A_n\) sont des anneaux henséliens

f\('\)) implique-t-il f) (moyennant a) à e)) ? il suffit par récurrence

[En fait, si f) est satisfait pour un \(n\), (f\('\)) est satisfait pour \(n - 1\), i.e. \(A_{n-1}\) est hensélien] D'ailleurs, si \(X_n \simeq X_n\) \(u\) est donné par \(f_1, \ldots, f_n \in B_n\), alors \(u^{-1}\) est donné par \(g_1, \ldots, g_n\) appartenant à la clôture hensélienne de \((k[f_1, \ldots, f_n]_{\mathfrak{n}}\), où \(\mathfrak{n} = (k[f_1, \ldots, f_n]\)le passage « D'ailleurs … » est barré de longs traits obliques

NB Le plus petit \(A_*\) satisfaisant a) à d) et f\('\)) est formé des \[ A_n = P\{t_1, \ldots, t_n\} \qquad \bigl(\text{clôture hensélienne de } P[t_1, \ldots, t_n]_{\mathfrak{m}_n}\bigr) \] et il satisfait e) et f).

[…] changement de variables for[…]

Moyennant a) b) c) d) e) on peut définir la catégorie des \(A\)-schémas formels, et des Modules dessus (faisceaux […]), et le calcul différentiel fini dessus (opérateurs différentiels, parties principales, etc. …)

[…] (6 des propriétés) […] produits fibrés transversaux […]

Nous supposons maintenant \(k\) de car. \(0\), de sorte qu'on a la notion d'exponentielle d'un champ de vecteurs formel \(\xi\) sur \(X\) un schéma formel lisse \(X\), \[ (t, x) \mapsto (\exp t\xi) . x \;:\; \underline{X_1} \times X \to X \] sous \(X_1\), en petit : « le temps »

Indiquer […] d'équations différentielles […]

g)Si \(X\) est un \(A\)-schéma formel (lisse) et \(\xi\) un \(A\)-champ de vecteurs, alors le morphisme \(X_1 \times X \to X\) est un \(A\)-morphisme.

(Bien entendu, il suffit de le faire [dans le cas] des \(X\) de la forme \(X_n\)…).

Ceci indique (vu l'intervention de la variable temps, devenant variable explicite), […] :

g\('\))Idem Analogue à g), mais avec un « champ de vecteurs variable avec le temps » \(\xi(t)\) (\(\underline{X_1 \times X \to \mathbf{T}(X)}\) au-dessus de \(X\) via \(\mathrm{pr}_2\), formelle […]), on résolvant l'équation différentielle formelle \[ \frac{d}{dt}\, x(t) = \xi(t, x) \] La solution \(x = \varphi(t, x_0)\) correspond[ant] : un \(\varphi : X_1 \times X \to X\) qui est un \(A\)-morphisme.

Conséquence. Soit \(k_0 = A_0\), c'est un sous-corps de \(k\). Soit \(\mathcal{L}(k_0)\) la catégorie des alg. de Lie de dim. finie sur \(k_0\). Par Hausdorff, on a un foncteur \[ \mathcal{L}(k_0) \xrightarrow{\text{Hausdorff}} \mathrm{G\text{-}f}(k_0) \xrightarrow{\text{ext.\ de la base}} \mathrm{G\text{-}f}(k) \] où « \(\mathrm{G\text{-}f}\) » désigne la catégorie des groupes formels. Ceci dit, ce foncteur se factorise par les \(A\)-groupes (formels) sur \(k\). De façon plus précise, soit \(\overline{W}(\mathfrak{g}_0)\) le complété à l'origine (de \(\mathfrak{g}_0 \otimes_{k_0} k\)) […] du \(k_0\)-espace vectoriel \(\mathfrak{g}_0\). C'est un \(A\)-schéma formel.

Les formules de Hausdorff, où \(\mathfrak{g}_0\) est une alg. de Lie, définissent une loi de groupe \[ \overline{W}(\mathfrak{g}_0) \times \overline{W}(\mathfrak{g}_0) \to \overline{W}(\mathfrak{g}_0) \] Cette dernière est une \(A\)-loi ; […], il suffit de […] des […] du système de Pfaff 1°) […] \(A\)-[…] associé est donné par une \(A\)-loi et si \(\mathfrak{g}_0 \to \mathfrak{h}_0\) est un hom. d'algèbres de Lie sur \(k_0\), l'hom. de groupes formels \(\overline{W}(\mathfrak{g}_0) \to \overline{W}(\mathfrak{h}_0)\) est un \(A\)-hom. Utilisant le th. d'Ado, on est ramené à prouver que si \(\mathfrak{g}_0 \subset \mathfrak{gl}(n, k_0)\), alors le s/groupe formel de \(\mathrm{GL}(n, k_0)\) qu'il définit est un sous-\(A\)-schéma formel….

Cor \(A_1 \subset S_1(k)\) stable par primitivation canonique (i.e. celle qui s'annule à l'origine), contient \(\log(1 + t_1)\), \(\exp t_1\), \(\cos t_1\), \(\sin t_1\), \(\mathrm{tg}\, t_1\) ….

Soit \(X\) schéma formel lisse de dim. \(n = p + q\). On sait ce que c'est qu'un feuilletage (de dim. \(p\)) de \(X\) : i.e. variété formelle quotient \(B\) de \(X\), avec \(X \to B\) submersif, \(\dim B = q = n - p\). À un tel feuilletage correspond un sous-module \[ \mathfrak{P} \subset \Theta(X) \] [champs de vecteurs le long de la fibre] qui est un « système de Pfaff » de dim. \(p\) complètement intégrable, et inversement. Si \(X\) a une \(A\)-structure, on dit qu'un feuilletage est un \(A\)-feuilletage si \(\exists\) (loc.) \(B\) une \(A\)-structure (d'ailleurs unique, grâce à f)) telle que \(X \to B\) soit un \(A\)-morphisme. Cela implique que le sous-module \(\mathfrak{P} \subset \Theta(X)\) (ou sous-fibré de \(\mathbf{T}(X)\)) soit un \(A\)-sous-fibré — i.e. provient d'un \(A\)-syst. de Pfaff compl. intégrable. On souhaite qu'ait lieu une réciproque, savoir

NB h) implique g), qui équivaut à h) pour \(p = 1\)

h)Si \(\mathfrak{P}_A\) est un \(A\)-syst. de Pfaff compl. intégrable sur le \(A\)-schéma formel \(X\), alors il donne lieu à un \(A\)-feuilletage. […] réalisé […]. [En d'autres termes, si \(i : Y \to X\) est un \(A\)-morphisme donné tel que le composé \[ \mathbf{T}(Y)_0 \xrightarrow{\mathbf{T}(i)_0} \mathbf{T}(X)_0 \to \mathbf{T}(X)_0 / \mathfrak{P}(0) \] soit un isom., alors l'unique morphisme \[ \pi : X \to Y \] tel que \(\pi \circ i = \mathrm{id}_Y\) et que \(\varphi\) soit compatible avec \(\mathfrak{P}\), est un \(A\)-morphisme….

[\(\Leftarrow\) h\('\)) la fibre de \(0\) dans un tel feuilletage est une sous-\(A\)-variété formelle….]

toute la page est barrée de longs traits obliques ; c'est une reprise de la fin de la page 6, transcrite ici parce qu'elle se lit

Cor \(A_1\) est stable par primitivation canonique (i.e. prise d'augmentation nulle) contient \(\log(1 + t_1)\) (primitive de \(\frac{1}{1 + t_1}\)) donc \(\exp t_1\) (série inverse), les fonctions \(\cos t_1\), \(\sin t_1\), \(\mathrm{tg}\, t_1\) sont \(\in A_1\) ….

Lemme 1) Soit Soit \(X\) un \(A\)-schéma formel (lisse) [de dim. \(n = p + q\)], \(\mathfrak{P}\) un « système de Pfaff de degré \(p\) complètement intégrable sur \(X\) », […] dans un \(A\)-[…] Soit \(Y\), […] schémas formels (de dim. \(p\) resp. \(q\)), des \(A\)-morphismes, \(p : X \to Y\) et \(i : Z \to X\) (tels que \(\mathbf{T}(p)(0)\) soit un isom. \(\mathfrak{P}(0) \to \mathbf{T}(Y)_0\) et que le composé \(\mathbf{T}(Z)_0 \xrightarrow{\mathbf{T}(i)_0} \mathbf{T}(X)_0 \to \mathbf{T}(X)_0 / \mathfrak{P}(0)\) soit un isom. On sait qu'il existe alors un isomorphisme formel (pas néc. \(A\)-isom.) unique \(X \xrightarrow[\simeq]{\varphi} Y \times Z\) tel que \(\mathrm{pr}_1 \circ \varphi = p\), \(\varphi \circ i = (z \mapsto (0, z))\)) la parenthèse qui commence à « Soit \(Y\) » est encadrée d'un trait et biffée

Soit \(Z\) [un \(A\)-]schéma formel (lisse) de dim. \(q\), \(i : Z \to X\) un \(A\)-morphisme tel que le composé \[ \mathbf{T}(Z)_0 \xrightarrow{\mathbf{T}(i)_0} \mathbf{T}(X)_0 \to \mathbf{T}(X)_0 / \mathfrak{P}(0) \] soit un isom. On sait qu'il existe alors un unique morphisme formel \[ X \xrightarrow{\pi} Z \] tel que \(\pi \circ i = \mathrm{id}\), et que « \(\pi\) soit constant sur les compatible avec le feuilletage défini par \(\mathfrak{P}\) ». Conditions équivalentes

(i)\(\pi\) est un \(A\)-morphisme
(ii)\(\exists\) \(A\)-isom. \(X \simeq B \times Y\), tel que le feuilletage formel de \(X\) défini par \(\mathfrak{P}\) soit le feuilletage défini par la projection \(\mathrm{pr}_1 : X \to B\). On dit

Reprise : \(k\) anneau commutatif, schémas \(A_*\)-formels

ce titre est de l'édition

nouvelle rédaction, reprenant la page 2 avec \(k\) un anneau commutatif quelconque

\(k\) anneau commutatif

\(S_n = k[[t_1, \ldots, t_n]]\) (\(n \geq 0\))

\(X_n = \mathrm{Spf}(S_n)\)

\(X_* = (X_n)_{n \geq 0}\) schéma formel simplicial augmenté

\(S_* = (S_n)_{n \geq 0}\) anneau top. cosimplicial coaugmenté

On suppose donné, pour tout \(n \geq 0\), un sous-ensemble \[ A_n \subset S_n \] On pose \(A_* = (A_n)_{n \geq 0}\). Un morphisme \(X_m \xrightarrow{p} X_n\), associé à un hom. de \(k\)-algèbres topologiques \(S_n \xrightarrow{p^*} S_m\), est dit un \(A_*\)-morphisme si \[ p^*(t_i) = f_i \in S_m \text{ est } \in A_m \text{ pour tout } 1 \leq i \leq n . \] Donc cela signifie que les \(\mathrm{pr}_i \circ p\) (\(1 \leq i \leq n\)) sont des \(A_*\)-morph. On suppose :

NB les \(f_i\) […] les \(\varepsilon(f_i)\) arbitraires

(a)Identités Les opérations simpliciales entre les \(X_n\) sont des \(A_*\)-morphismes (\(\Leftrightarrow\) \(\forall n \geq 0\) et \(1 \leq i \leq n\), \(t_i \in A_n\) ; \(\Leftrightarrow\) les morphismes identiques des \(X_n\) sont \(\in A_n\))
(b)Composition Le composé de deux \(A_*\)-morphismes est un \(A_*\)-morphisme [\(\Leftrightarrow\) si \(p : X_m \to X_n\) est un \(A_*\)-morphisme, alors \(p^*(A_n) \subset A_m\) \(\Leftrightarrow\) si \(f_1, \ldots, f_n \in A_m\), et \(\varepsilon(f_1), \ldots, \varepsilon(f_n)\) nilpotents [avec \(\varepsilon\) l'augmentation], alors pour tout \(\varphi \in A_n\), on a \(\varphi(f_1, \ldots, f_n) \in A_m\)] NB […] Ce serait vrai (sans supposer \(\varepsilon(\varphi)\) nilpotent) dans […] si \(a \in A_0\), sachant que \(\mathrm{Im}(A_0 \to S_n) \subset A_n\)
(c)\(1 \in A_0\), et Le morphisme « différence » \(X_2 = X_1 \times_k X_1 \to X_1\) (\((x, y) \mapsto x - y\)) et « produit » [\((x, y) \mapsto xy\)] sont des \(A_*\)-morphismes [\(\Leftrightarrow\) \(t_1 - t_2\) et \(t_1 t_2\) sont \(\in A_2\)] [et \(1 \in A_0\)] \(\Leftrightarrow\) les \(A_n\) sont \(A\)-[…] des sous-anneaux unitaires des \(S_n\) […] stables par produits, et par différences, […] […] \(1 \in S_0\) condition anodine

l'énoncé (c) est encadré et traversé de traits obliques, sans que rien le remplace ; la page 10 le suppose acquis

NB Le plus petit \(A_*\) a) b) c) impliquent que \(A_*\) est un sous-anneau cosimplicial de \(S_*\). Le plus petit \(A_*\) satisfaisant a) b) c) est formé des \[ A_n = \mathrm{Im}\bigl(\mathbf{Z}[t_1, \ldots, t_n] \to k[[t_1, \ldots, t_n]]\bigr) \simeq \Lambda[t_1, \ldots, t_n] \] où \[ \Lambda = \mathrm{Im}(\mathbf{Z} \to k) \begin{cases} \simeq \mathbf{Z} & \text{ou} \\ \simeq \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} & \text{pour } n \in \mathbf{N}^* \text{ convenable.} \end{cases} \]

Avec les conditions a) b) c) on construit la catégorie \(\mathrm{Sfl}_{A_*}\) des \(A_*\)-schémas formels lisses. Dans cette catégorie, il y a des produits finis (\(X_n \simeq (X_1)^n\)), et des produits fibrés, dans le cas « transversal ».

Le foncteur « anneau des \(A_*\) » commute aux limites \(\leftarrow\)

On obtient un foncteur \(\mathbb{V}_{A_*}\) de la cat. des \(k_0\)-modules libres de t.f. est (où \(k_0 = A_0 \subset S_0 = k\)) ([…] ?) vers les \(A_*\)-schémas formels, par \(M_0 \mapsto \mathrm{Spf}\, \widehat{\mathrm{Sym}}{}^*_k(M_0 \otimes k)\) (i.e. \(M_k = M_0 \otimes_{k_0} k\)). C'est un foncteur pleinement fidèle […] qui transforme les objets groupes de \(\mathrm{Lib}(k_0)\) en les groupes \(A_*\)-formels.

[…] […] […] schémas \(A_*\) […] […] plus gén. […] la note encadrée en biais au milieu de la marge gauche est rayée de traits verticaux ; seuls quelques mots se lisent

Plus gén., si \(\mathrm{Lin}(k_0)\) est la catégorie des \(k_0\)-schémas augmentés ([…] des \(\mathrm{Spf}\, \widehat{\mathrm{Sym}}{}^*_k(M_0)\), […]), il y a un foncteur \(X \to \widehat{X}^{(A_*)}\) de \(\mathrm{Lin}(k_0)\) vers les \(A_*\)-schémas formels, commutant aux produits finis, donc transformant objets groupes en objets groupes …

\(\mathcal{O}_{A_*}(X) \subset \mathcal{O}(X)\), où \(\mathcal{O}_{A_*}(X) = \mathrm{Hom}_{A_*}(X, X_1)\) et \(\mathcal{O}(X) = \mathrm{Hom}_{k\text{-formel}}(X, X_1)\)les deux égalités sont écrites par des « \(=\) » verticaux sous chaque membre ; […] \(A_*\)-formel lisse […] ; Modules \(A_*\)-formels sur les schémas \(A_*\)-formels ; Le […] fibré vectoriel \(A_*\)-formel \(\mathbb{V}_{A_*}(M) := W_{A_*}(M)\) cette dernière note court verticalement le long de la marge gauche, dans le bas de la page

Les conditions a) b) c) sont les conditions algébriques élémentaires. On veut de plus

avec d) condition de coefficientabilité

d)(Condition hensélienne) Si \(u : X_n \to X_n\) est un \(A_*\)-morphisme qui est un isomorphisme formel (i.e. si \(f_1, \ldots, f_n \in A_n\) sont tels que \(\varepsilon(f_1), \ldots, \varepsilon(f_n)\) soient nilpotents dans \(k\) et \[ \varepsilon\Bigl(\det\Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial t_j}\Bigr)\Bigr) = \det\Bigl(\varepsilon\Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial t_j}\Bigr)\Bigr) = \det\Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial t_j}(0)\Bigr) \] est un élément inv. de \(k\)) alors \(u^{-1}\) est aussi un \(A_*\)-morphisme (\(\Leftrightarrow\) le foncteur des \(A_*\)-schémas \(A_*\)-formels vers les schémas formels sur \(k\) est conservatif).

Cor. 1 Si \(f \in A_n\) et \(f\) inversible dans \(S_n\), i.e. \(\varepsilon(f) = f(0)\) inversible dans \(k\), alors \(f^{-1} \in A_n\) ; \(\Leftrightarrow\) […] […] […] si \(f \in A_n\), \(\varepsilon(f) = 0\), alors \((1 + f)^{-1} \in A_n\) [\(\Leftrightarrow\) si \(f \in A_n\) et \(\varepsilon(f) = 1\), alors \(f^{-1} \in A_n\)] \(\Leftrightarrow\) \(A_n \cap \mathfrak{m}_n \subset \mathrm{rad}\, A_n\), où […] \(\mathfrak{m}_n = (t_1, \ldots, t_n) S_n\) […]]

moyennant condition d) (coefficientabilité)

En effet, considérons la multi[…] [l']automorphisme \[ u : (x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \ldots, x_n, f(x_1, \ldots, x_n) . x_{n+1}) \] de \(X_{n+1}\), il est un isom. formel d'inverse \[ (x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \ldots, x_n, f(x_1, \ldots, x_n)^{-1} x_{n+1}), \] donc comme […] \(u\) est un \(A\)-morphisme, par d) il en est de même de \(u^{-1}\), donc \(g(t_1, \ldots, t_{n+1}) = f(t_1, \ldots, t_n)^{-1} t_{n+1} \in A_{n+1}\), i.e. \(X_{n+1} \to X_1\) […] donc \(g(t_1, \ldots, t_n, 1) \in A_n\) i.e. \(f^{-1} \in A_n\), cqfd.

[…] de la condition de coefficientabilité \(\uparrow\) : inconvénient, \(1\) n'est pas nilpotent ! Il faut exiger une propriété de divisibilité : \(t_{n+1} f \in A_{n+1} \Rightarrow f \in A_n\) la note encadrée en bas de la marge gauche, reliée par une flèche au passage « donc \(g(t_1, \ldots, t_n, 1) \in A_n\) », relève que \(1\) n'est pas nilpotent, de sorte que la substitution \(t_{n+1} = 1\) n'est pas permise par b)

Cor. 2 Soit \(P(Z) = Z^N + f_1 Z^{N-1} + \cdots + f_N\), \(\in A_n[Z]\) polynôme unitaire, soit \(\zeta \in k_0\) tel que \[ P^\varepsilon(\zeta) = \zeta^N + a_1 \zeta^{N-1} + \cdots + a_N = 0 , \quad \text{où } a_i = \varepsilon(f_i) = f_i(0) \in k_0 , \]

et \((P^\varepsilon)'(\zeta) = N \zeta^{N-1} + (N-1) a_1 \zeta^{N-2} + \cdots + a_{N-1}\), soit \(\in k^*\) (donc en fait \(\in k_0^*\)), de sorte qu'il existe un unique \(F \in S_n\) telle que \(P(F) = 0\) et \(\varepsilon(F) = \zeta\). Sous ces conditions, on a \(F \in A_n\). [En d'autres termes, \((A_n, \mathfrak{p}_n = \mathfrak{m}_n \cap A_n)\) est (non seulement zariskien, selon le cor. 1, mais même) hensélien]

[…] […] \(Z\) par \(Z - \zeta_0\), sps \(\zeta_0 = 0\) donc \(f_N = \varepsilon(f_N) = 0\). En effet, on regarde […] \(X_{n+1} \to X_{n+1}\) donné par \((x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}) \mapsto (x_1, \ldots, x_n, x_{n+1}^{N+1} + f_1(x_1, \ldots, x_n) x_{n+1} \ldots)\). L'hyp. sur passage encadré d'un trait en escalier et biffé

Plus généralement

Cor. 3 Soit \(P \in A_{n+1}[t_1, \ldots, t_n, Z]\), \(P = f_0 + f_1 Z + f_2 Z^2 + \cdots\) [les \(f_i \in S_n(t_1, \ldots, t_n)\)] supposons \(\varepsilon(f_0) = 0\) i.e. \(\varepsilon(P) = 0\), et \(\varepsilon(f_1) \in k^*\) i.e. \(\varepsilon\bigl(\frac{\partial P}{\partial Z}\bigr) \in k^*\), de sorte qu'il existe une unique \(F \in S_n\) telle que \(P(t_1, \ldots, t_n, F(t_1, \ldots, t_n)) = 0\) et \(\varepsilon(F) = 0\). Alors \(F \in A_n\).

a) b) c) d) impliquent-ils que \(S_n\) est fid. plat […] sur \(A_n\) (si \(k\) […] fini sur \(k_0\)) ?

Soit en effet \(u : X_{n+1} \to X_{n+1}\), donné par \((x_1, \ldots, x_n, \zeta) \mapsto (x_1, \ldots, x_n, P(x_1, \ldots, x_n, \zeta))\), alors l'hyp. dit que \(u\) est compatible avec les projections, et que \(u\) est un isomorphisme formel. Comme l'hyp. \(P \in A_{n+1}\) implique \(u\) un \(A_*\)-morphisme, \(u^{-1}\) est un \(A_*\)-morphisme, et par suite \(u^{-1}\) est un \(A_*\)-morphisme. Donc \(u^{-1}(x_1, \ldots, x_n, \zeta) = (x_1, \ldots, x_n, \varphi(x_1, \ldots, x_n, \zeta))\) avec \(\varphi \in A_{n+1}\), \((t_1, \ldots, t_n, t_{n+1})\), donc \(F = \varphi(t_1, \ldots, t_n, 0) \in A_n(t_1, \ldots, t_n)\).

d) (Coefficients différentiables) les \(A_n\) sont stables par les dérivations différentielles standard \(D_{p_j} = D(p_1, \ldots, p_n)\) \(\bigl(= \frac{1}{p_1! \cdots p_n!} \frac{\partial^{|p|}}{\partial x_1^{p_1} \cdots \partial x_n^{p_n}}\bigr)\) cet énoncé, en bas de page, est barré de traits obliques

Soient \(X\) un schéma \(A_*\)-formel et \(Y\) un sous-schéma formel (lisse) de \(X\). On dit On dit que \(Y\) est un sous \(A_*\)-schéma \(A_*\)-formel s'il existe sur \(Y\) une \(A_*\)-structure telle que l'inclusion canonique soit un \(A_*\)-morphisme. Cette \(A_*\)-structure est alors unique. En effet, il est immédiat qu'on peut (sans hyp. sur \(Y\)) trouver un \(A_*\)-morphisme \(X \to Y'\) (\(Y'\) un schéma \(A_*\)-formel) tel que le morphisme induit \(Y \to Y'\) soit un isomorphisme formel. Considérons Considérons l'isomorphisme inverse, et le composé \(Y' \to Y \to X\). Utilisant (d), on voit que […] \(Y\) est un sous-schéma \(A_*\)-formel ssi \(Y' \to X\) est un \(A_*\)-morphisme, et alors la \(A_*\)-structure de \(Y\) est celle déduite.

Exemples La diagonale de \(X \times X\) est un sous-\(A_*\)-schéma formel. Plus gén. celle de \(X \times_Y X\) si \(X \to Y\) est un \(A_*\)-morphisme submersif ([…] formel […]).

Un morphisme formel \(X \to Y\) entre schémas \(A_*\)-formels est un \(A_*\)-morphisme ssi son graphe est un sous-schéma \(A_*\)-formel de \(X \times Y\)

Soit \(\mathcal{X}\) un schéma sur \(\mathcal{O}_{A_*}(X)\) (\(X\) un \(A_*\)-schéma formel) muni d'une section \(s_0\) sur \(\mathcal{O}_{A_*}(X)\), supposons que \(\mathcal{X}\) soit lisse sur \(\mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_{A_*}(X)\) aux points de cette section. Considérons le complété formel \(\widehat{\mathcal{X}}\) de \(\mathcal{X} \otimes_{\mathcal{O}_{A_*}(X)} \mathcal{O}(X)\) le long de la section \(s\) déduite de \(s_0\). Alors une construction utilisant e) permet d'y mettre une \(A_*\)-structure, telle que \(X \to \widehat{\mathcal{X}} \to X\) soient des \(A_*\)-morphismes. […] \(\widehat{\mathcal{X}}\) dépend \(A_*\)-fonctoriellement des triples \((X, \mathcal{X}, s_0)\), sa formation est compatible avec les images inverses par \(X' \to X\) …) la phrase « telle que \(X \to \widehat{\mathcal{X}} \to X\) soient des \(A_*\)-morphismes » est ajoutée dans l'interligne

d)(Conditions différentielles) Tout \(A_n\) est stable par les op. différentiels élémentaires \(D_p\) [\(\Leftrightarrow\) si \(f(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m) \in A_{n+m}\) est mis sous la forme \(\sum_{p \in \mathbf{N}^m} f_p(x)\, y^p\), alors les \(f_p\) sont \(\in A_n\)]

la lettre de cet énoncé se lit « d) », qui est déjà celle de la condition hensélienne (page 11) ; la page 13 invoque « (d) » puis « e) », et la page 15 enchaîne sur « f) (Condition intégrale) » : c'est vraisemblablement l'énoncé e) de la série

les conjugués […] les coefficients […] ?

Ceci implique que les algèbres \(\mathcal{P}^n_{X/k}\) sur \(\mathcal{O}(X)\) (\(X\) un schéma \(A_*\)-formel) ont une des \(A_*\)-structures canoniques et fonctorielles, de même \(\mathcal{P}^n_{X/Y}\) si \(X \to Y\) est un \(A_*\)-morphisme submersif, de même […] si \(X \supset Y\) est un couple de schémas \(A_*\)-formels, \(\mathcal{O}(Y) = \mathcal{O}(X)/\mathcal{J}\), les invariants normaux \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}^n\) ont des \(A_*\)-structures canoniques, fonctorielles, compatibles avec images inverses transversales. Les op. diff. universel et relatif \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{P}^n_{X/k}\) etc. […] \(A_*\)-morphismes, appliquent \(\mathcal{O}_{A_*}(X)\) dans \((\mathcal{P}^n_{X/k})_{A_*}\) …

Si les \(\mathrm{Diff}^n(X/k)\) (duaux des \(\mathcal{P}^n_{X/k}\)) ont […] des \(A_*\)-structures canoniques, leur composition est laisse stables les parties \(\mathrm{Diff}^n(X_{A_*}/k)\) des \(A_*\)-op. diff., et ces derniers stabilisent les \(A_*\) […] \(\mathcal{O}_{A_*}(X)\) … Item pour les op. diff. relatifs, pour \(X \to Y\) \(A_*\)-morphisme […] submersif.

Cor \(A_n \subset k_0[[t_1, \ldots, t_n]]\). […] D'où un foncteur allant […] des schémas \(A_*\)-formels vers les schémas formels sur \(k_0\) … Soit \(X \to Y\) un morphisme submersif de schémas formels, […] \(X\)

Soit \(p : X \to Y\) un morphisme submersif de schémas formels (lisses), supposons \(X\) muni d'une \(A_*\)-structure. On dit que \(Y\) admet une \(A_*\)-structure quotient de celle de \(X\) (moyennant \(p\)) s'il admet une \(A_*\)-structure telle que \(p\) devienne un \(A_*\)-morphisme. Celle-ci est alors unique : en effet, il existe (sans condition sur \(Y\)) un […] sous-schéma \(A_*\)-formel \(Y'\) de \(X\), tel que le morphisme formel induit \(Y' \to Y\) soit un isomorphisme. Considérons le composé \(X \xrightarrow{p} Y \xrightarrow{\sim} Y'\), on voit alors grâce à e) que la \(A_*\)-structure quotient existe ssi \(X \to Y'\) est un \(A_*\)-morphisme, et la \(A_*\)-structure sur \(Y\) est celle déduite de celle de \(Y'\). « Considérons » est ajouté dans l'interligne, et le composé est écrit \(X \to Y'\) avec \(p\), \(Y\) et une flèche portés au-dessus ; un mot après \(Y'\) est biffé

[…] Soit \(X \xrightarrow{p} Y\) un morphisme formel submersif. Alors \(R = X \mathbin{\widehat{\times}_Y} X \subset X \mathbin{\widehat{\times}} X\) est un sous-schéma formel lisse, et c'est une relation d'équivalence [stable par symétrie, contenant la diagonale, transitif…]. Inversement Plus précisément, \(X\) étant donné, il y a corr. biunivoque entre ces quotients formels \(Y\), et les \(R\) rel. d'équiv. formelles. Si \(X\) est muni d'une \(A_*\)-structure, alors si \(Y\) admet une \(A_*\)-structure quotient, on voit que \(R\) est un sous-schéma \(A_*\)-formel de \(X \mathbin{\widehat{\times}} X\) i.e. il a une \(A_*\)-structure induite.

f)(Condition intégrale) La réciproque est vraie, i.e. si \(R\) est une relation d'équival. formelle dans \(X\), qui soit une \(A_*\)-sous-structure de \(X \mathbin{\widehat{\times}} X\), alors

le quotient formel \(Y = X/R\) admet une \(A_*\)-structure quotient.

[Heuristiquement, étant donné un \(A_*\)-feuilletage de \(X\), la variété formelle des feuilles admet une \(A_*\)-structure quotient. En car. \(0\), il est « bien connu » que les \(A_*\)-feuilletages correspondent aux « systèmes de Pfaff complètement intégrables » sur \(X\), et la « condition intégrale » signifie que l'intégration de ce système (effectuée, disons, par le morphisme formel plus haut \(X \to Y'\)) se fait par un \(A_*\)-morphisme…] la page s'arrête ici ; la moitié inférieure du feuillet est blanche

Théorème de préparation « formel »

ce titre est de lui : « Th. de préparation "formel" », souligné, ouvre la page 18

Th. de préparation « formel » Soit \(A\) un anneau linéairement topologique, séparé et complet, \(Z\) une indéterminée, \(F(Z) = \sum_{i \geq 0} a_i Z^i \in A[[Z]]\), \(N \in \mathbf{N}\) tel que

(i)\(a_i\) est top. nilpotent pour \(0 \leq i \leq N-1\)
(ii)\(a_N\) est inversible

Alors \(F\) est un élément régulier de \(A[[Z]]\) et \(A[[Z]]/F\) a comme base \((Z^i)_{0 \leq i \leq N-1}\), en d'autres termes tout élément \(G\) de \(A[[Z]]\) s'écrit de façon unique sous la forme \[ G = QF + \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i \qquad Q \in A[[Z]],\ b_i \in A \] l'énoncé et sa conclusion sont marqués chacun d'un trait vertical dans la marge gauche

Démonstration Comme \(A\) est séparé et complet pour sa top. linéaire, on est ramené au cas où \(A\) est discret, alors (i) signifie que les \(a_i\) (\(0 \leq i \leq N-1\)) sont nilpotents. Soit \(\mathfrak{m}\) l'idéal qu'ils engendrent, \(A_0 = A/\mathfrak{m}\), et désignons par \(\dot{a}_i\), \(\dot{F}\) etc. les réductions mod \(\mathfrak{m}\). […] Donc \[ \dot{a}_i = 0 \quad \text{pour } 0 \leq i \leq N-1 \] i.e. \[ \dot{F} = \dot{a}_N Z^N + \cdots = \dot{a}_N Z^N (1 + \cdots) \] donc, comme \(\dot{a}_N\) est inversible par (ii), on voit que \(\dot{F}\) est de la forme \(\dot{F} = \dot{u} Z^N\). les indices de \(\dot{a}_N\) et les exposants de \(Z^N\) sont surchargés : un « \(N+1\) » semble corrigé en « \(N\) »

[…] Donc \[ A_0[[Z]]/\dot{F} \simeq A_0[[Z]]/Z^N \] \(\simeq A_0[Z]/Z^N\) a comme base les \(Z^i\) (\(0 \leq i \leq N-1\)).

i.e. (i) les \(Z^i\) (\(0 \leq i \leq N-1\)) engendrent \(A[[Z]]/F A[[Z]]\). En effet, ils engendrent mod \(\mathfrak{m}\), on gagne donc par Nakayama. […] (ii) \(F\) est régulier. En effet, […] associé […] \(\mathrm{Gr}^*(A)^N\) […] Soit \(Q \in A[[Z]]/\mathfrak{m}\) […] \(F\) divise […] quand, correspond : l'op. de […] \(F\), qui est injective OK. tout le bas de la page, à partir de « (i) les \(Z^i\) », est enfermé dans un cadre, traversé de lignes horizontales et barré de grandes diagonales croisées ; seuls des fragments se lisent

(iii) Étude du cas où \(a_i = 0\) pour \(i \geq N+1\), \(a_N = 1\), i.e. dans ce cas \(F = Z^N + a_{N-1} Z^{N-1}\) \(+ \cdots + a_0\), les \(a_i\) (\(0 \leq i \leq N-1\)) nilpotents. \(A[Z]/F A[Z] \to A[[Z]]/F A[[Z]]\), base \((Z^i)_{0 \leq i \leq N-1}\) sur \(A\), est donc surjectif (car les \(Z^i\) (\(0 \leq i \leq N-1\)) engendrent \(A[[Z]]/F A[[Z]]\) comme \(A\)-module) par (i). Pour qu'il soit bijectif il faut et il suffit que \((F A[[Z]]) \cap A[Z] = F A[Z]\) (il revient au même de dire que les […] \(Z^i\) (\(0 \leq i \leq N-1\)) forment une base de \(A[[Z]]/F A[[Z]]\)). Soit donc \(a_0 + a_1 Z + \cdots + a_{N-1} Z^{N-1}\) qui soit multiple de \(F\) dans \(A[[Z]]\) i.e. le haut de la page, jusqu'à « multiple de \(F\) dans \(A[[Z]]\) », est barré de deux longues obliques

Considérons l'application \[ \begin{array}{rccc} \varphi : & A^N + A[[Z]] & \longrightarrow & A[[Z]] \\ & \bigl((b_i)_{0 \leq i \leq N-1}, Q\bigr) & \longmapsto & \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i + QF \end{array} \] l'application déduite par passage aux gradués associés pour la filtration \(\mathfrak{m}\)-adique (finie) est \[ (\mathrm{Gr}\, A)^N \times (\mathrm{Gr}\, A)[[Z]] \to (\mathrm{Gr}\, A)[[Z]] \] donnée par un degré \(n\) par \[ \bigl((b_i), Q\bigr) \longmapsto \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i + Q \dot{F} \] et comme \(\dot{F} = \dot{a}_N \alpha Z^N\) (\(\alpha\) […] \(\in A_0^*\))la parenthèse, surchargée, porte après \(\alpha\) un signe et un « \(a_{N+1}\) » ou « \(a_N\) » corrigé ; ce que vaut \(\alpha\) ne se lit pas, ceci est manifestement bijectif, donc \(\varphi\) aussi, cqfd.