Cote n° 39 · pages 1–19 · Lecture modernisée · Fonctions et structures « élémentaires » [Schémas formels, théorème de préparation] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1960-1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–19

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier ne porte aucun titre de sa main avant la page 18 ; les pages 1, 8 et 17 sont des feuillets intercalaires vierges, qui séparent trois ensembles.

• Pages 2 à 7 : première rédaction, sur un corps \(k\). Les conditions algébriques et leurs plus petits modèles (pages 2 et 3) ; la condition d'inversion et l'hensélianité (page 3) ; en caractéristique nulle, exponentielles, équations différentielles et groupes formels (pages 4 et 5) ; primitives, fonctions usuelles et feuilletages (page 6), dont la page 7 est une reprise barrée.
• Pages 9 à 16 : seconde rédaction, sur un anneau commutatif \(k\). Les conditions élémentaires (pages 9 et 10) ; la condition hensélienne et ses trois corollaires (pages 11 et 12) ; sous-schémas formels (page 13) ; la condition sur les coefficients et le calcul différentiel (page 14) ; quotients et condition intégrale (pages 15 et 16).
• Pages 18 et 19 : le théorème de préparation formel, énoncé et démontré.

La seconde rédaction n'est pas une copie de la première : elle change de base, et surtout elle remet les axiomes en ordre. On les garde distincts ci-dessous, et l'on désigne les conditions par des noms plutôt que par les lettres de la page, qui se chevauchent¹ . La correspondance est la suivante.

• \((\mathrm{I})\) coordonnées : \(t_i \in A_n\) pour \(1 \leq i \leq n\) — page 2, d) avec a) ; page 9, a).
• \((\mathrm{S})\) substitution (clôture par composition) — page 3, e) ; page 9, b).
• \((\mathrm{R})\) anneau : \(A_n\) sous-anneau unitaire de \(S_n\) — page 2, b) ; page 9, c).
• \((\mathrm{L})\) localité — page 2, c) ; dans la seconde rédaction, conséquence de \((\mathrm{H})\) (page 11, Cor. 1), avec la condition sur les coefficients.
• \((\mathrm{H})\) inversion, ou condition hensélienne — page 3, f) ; page 11, d).
• \((\mathrm{D})\) coefficients — page 14, « d) ».
• \((\mathrm{E})\) équations différentielles, en caractéristique nulle — page 4, g) et g\('\)).
• \((\mathrm{F})\) feuilletages — page 6, h) ; et sa forme \((\mathrm{Q})\) quotients, ou condition intégrale — page 15, f).

Conventions. \(k\) est l'anneau de base ; \(S_n = k[[t_1, \ldots, t_n]]\), \(\mathfrak{m}_n = (t_1, \ldots, t_n)\), \(\varepsilon : S_n \to k\) l'augmentation \(f \mapsto f(0)\), et \(X_n = \mathrm{Spf}\, S_n\), le germe formel de l'espace affine de dimension \(n\) à l'origine. Une classe est une famille \(A = (A_n)_{n \geq 0}\) de parties \(A_n \subset S_n\)² . Un morphisme de \(k\)-schémas formels \(X_m \to X_n\) est un homomorphisme continu \(S_n \to S_m\), c'est-à-dire un \(n\)-uplet \((f_1, \ldots, f_n)\) d'éléments de \(S_m\) dont les valeurs \(f_i(0)\) sont nilpotentes dans \(k\) ; sur un corps, nulles³ . C'est un \(A\)-morphisme si les \(f_i\) sont dans \(A_m\).

Le point de vue. Les objets \(X_n\) et les \(A\)-morphismes forment, sous les conditions ci-dessous, une catégorie à produits finis (\(X_m \times X_n = X_{m+n}\)) dont les automorphismes sont les « changements de coordonnées admissibles » : ce que Grothendieck appelle un \(A\)-schéma formel est un germe formel lisse muni d'une classe de systèmes de coordonnées définis à un tel changement près — une structure de pseudogroupe, au sens d'Ehresmann, dans le cadre formel⁴ .

Ce que le dossier annonce sans l'établir. Que la condition d'hensélianité entraîne celle d'inversion (page 3) ; que \(S_n\) soit fidèlement plat sur \(A_n\) (page 12) ; que la loi de Hausdorff soit une \(A\)-loi (page 5) ; la correspondance entre quotients formels et relations d'équivalence formelles (page 15). Et surtout le lien entre le théorème de préparation des pages 18 et 19 et les classes \(A\) : les feuillets ne le font pas.

2–3

Première rédaction : les conditions algébriques sur un corps (pages 2 et 3)

Soit \(k\) un corps. Les anneaux \(S_n\) sont reliés entre eux par les substitutions de variables : toute application \(\sigma : \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, m\}\) définit \(S_n \to S_m\), \(t_i \mapsto t_{\sigma(i)}\). Les \(S_n\) forment ainsi un foncteur de la catégorie des ensembles finis (toutes applications, ensemble vide compris) vers les anneaux⁵ . On se donne \(A_n \subset S_n\), et l'on demande :

• la stabilité : \(A = (A_n)\) est un sous-foncteur — \(A_n\) est stable par \(\mathfrak{S}_n\), \(f(t_1, \ldots, t_n) \in A_n\) entraîne \(f \in A_{n+1}\) (une variable \(t_{n+1}\) qui ne figure pas), et \(f(t_1, \ldots, t_{n-1}, t_{n-1}) \in A_{n-1}\) (deux variables identifiées) ;
• \((\mathrm{R})\) : chaque \(A_n\) est un sous-anneau unitaire de \(S_n\) ;
• \((\mathrm{L})\) : si \(f \in A_n\) et \(f(0) \neq 0\), alors \(f^{-1} \in A_n\) ⁶ ; de façon équivalente, \(A_n\) est un anneau local et l'inclusion \(A_n \to S_n\) est un homomorphisme local ;
• \((\mathrm{I})\) : \(t_1 \in A_1\) (et donc, par stabilité, \(t_i \in A_n\)).

L'équivalence dans \((\mathrm{L})\) est immédiate : si tout élément de \(A_n\) hors de \(\mathfrak{m}_n\) est inversible dans \(A_n\), alors \(A_n \cap \mathfrak{m}_n\) est un idéal dont le complémentaire est formé d'unités, donc l'unique idéal maximal ; réciproquement, si \(A_n\) est local et l'inclusion locale, un élément hors de \(\mathfrak{m}_n\) n'est pas dans l'idéal maximal de \(A_n\).

Les plus petits modèles. Notons \(\Lambda\) l'image de \(\mathbf{Z}\) dans \(k\) (\(\mathbf{Z}\) ou \(\mathbf{F}_p\)) et \(P\) le sous-corps premier de \(k\) (\(\mathbf{Q}\) ou \(\mathbf{F}_p\)).

• Stabilité et \((\mathrm{R})\) : \(A_n = \Lambda\), les constantes.
• Stabilité, \((\mathrm{R})\), \((\mathrm{L})\) : \(A_n = P\).
• Stabilité, \((\mathrm{R})\), \((\mathrm{I})\) : \(A_n = \Lambda[t_1, \ldots, t_n]\) ⁷ .
• Les quatre : \(A_n = P[t_1, \ldots, t_n]_{\mathfrak{p}_n}\), localisé en \(\mathfrak{p}_n = (t_1, \ldots, t_n)\) — les fractions rationnelles à coefficients dans \(P\) définies à l'origine.

La composition. La condition suivante porte sur les morphismes :

• \((\mathrm{S})\) : le composé de deux \(A\)-morphismes \(X_m \to X_n \to X_p\) est un \(A\)-morphisme.

Moyennant \((\mathrm{S})\), on a \(\mathrm{Hom}_A(X_m, X_n) \simeq \mathrm{Hom}(A_n, A_m)\), les homomorphismes locaux de \(A_0\)-algèbres⁸ . Les deux familles \(P[t]\) et \(P[t]_{\mathfrak{p}}\) la vérifient : substituer des polynômes, ou des fractions régulières nulles à l'origine, dans une fraction régulière à l'origine en donne une.

Grothendieck observe alors qu'une partie des axiomes peut être remplacée par une condition sur trois morphismes seulement⁹ . Si les coordonnées sont dans \(A\) et que \(A\) est stable par substitution au sens fort — \(\varphi \in A_n\) et \(f_1, \ldots, f_n \in A_m\) nuls à l'origine entraînent \(\varphi(f_1, \ldots, f_n) \in A_m\) —, la stabilité est automatique (les substitutions de variables sont des substitutions par des coordonnées), et \((\mathrm{R})\) équivaut à \[ 1 \in A_0, \qquad t_1 - t_2 \in A_2, \qquad t_1 t_2 \in A_2, \] c'est-à-dire : la différence et le produit \(X_1 \times X_1 \to X_1\) sont des \(A\)-morphismes. Autrement dit, \(X_1\) est un objet anneau de la catégorie des \(A\)-morphismes.

3–3

Inversion et hensélianité (page 3)

La condition qui donne son contenu à la théorie est la suivante.

• \((\mathrm{H})\) : si \(u : X_n \to X_n\) est un \(A\)-morphisme et un isomorphisme — c'est-à-dire si le jacobien \(\det(\partial u_i/\partial t_j)(0)\) est non nul —, alors \(u^{-1}\) est un \(A\)-morphisme.

C'est l'analogue, pour les morphismes, de la condition \((\mathrm{L})\) pour les fonctions : \((\mathrm{L})\) inverse une fonction, \((\mathrm{H})\) inverse un changement de coordonnées. Elle entraîne :

• \((\mathrm{H}')\) : les anneaux locaux \(A_n\) sont henséliens.

Plus précisément, \((\mathrm{H})\) en dimension \(n\) entraîne que \(A_{n-1}\) est hensélien, par l'argument que la seconde rédaction détaille (page 12, corollaire 3) : une équation \(F(t, Z) = 0\) à racine simple se résout en inversant le changement de coordonnées \((t, z) \mapsto (t, F(t, z))\). La réciproque — \((\mathrm{H}')\) entraîne-t-il \((\mathrm{H})\) ? — est posée en marge et n'est pas tranchée par les feuillets¹⁰ . Un passage barré esquissait une description de \(u^{-1}\) par une clôture hensélienne.

Le plus petit modèle hensélien. La plus petite famille satisfaisant stabilité, \((\mathrm{R})\), \((\mathrm{L})\), \((\mathrm{I})\) et \((\mathrm{H}')\) est \[ A_n = P\{t_1, \ldots, t_n\}, \] l'hensélisé de \(P[t_1, \ldots, t_n]_{\mathfrak{p}_n}\), et elle satisfait \((\mathrm{S})\) et \((\mathrm{H})\). L'hensélisé se plonge dans \(S_n\) : c'est l'anneau des séries formelles à coefficients dans \(P\) qui sont algébriques sur \(P[t_1, \ldots, t_n]\), et la minimalité découle de sa propriété universelle (un homomorphisme local vers un anneau hensélien se prolonge de façon unique à l'hensélisé)¹¹ .

Moyennant ces conditions, conclut la page, on peut définir la catégorie des \(A\)-schémas formels, les Modules sur eux, et le calcul différentiel (opérateurs différentiels, parties principales)¹² .

4–5

En caractéristique nulle : exponentielles et groupes formels (pages 4 et 5)

On suppose désormais \(k\) de caractéristique nulle. Un champ de vecteurs formel \(\xi\) sur un schéma formel lisse \(X\) a alors une exponentielle, \[ X_1 \times X \longrightarrow X, \qquad (t, x) \longmapsto \exp(t\xi) \cdot x = \sum_{r \geq 0} \frac{t^r}{r!}\, \xi^r(x), \] où \(t\) est le « temps », une variable formelle. On demande :

• \((\mathrm{E})\) : si \(X\) est un \(A\)-schéma formel et \(\xi\) un \(A\)-champ de vecteurs, le flot \(X_1 \times X \to X\) est un \(A\)-morphisme ; et plus généralement, pour un champ dépendant du temps \(\xi : X_1 \times X \to \mathbf{T}(X)\), la solution \(x = \varphi(t, x_0)\) de l'équation différentielle formelle \[ \frac{dx}{dt} = \xi(t, x), \qquad x(0) = x_0, \] est un \(A\)-morphisme \(X_1 \times X \to X\).

Il suffit de le demander pour \(X = X_n\). La seconde forme, remarque la page, fait du temps une variable explicite ; c'est elle qui sert.

Groupes de Lie formels. Soit \(k_0 = A_0\) ; par \((\mathrm{L})\), c'est un sous-corps de \(k\). Pour une algèbre de Lie \(\mathfrak{g}_0\) de dimension finie sur \(k_0\), la formule de Baker–Campbell–Hausdorff définit une loi de groupe formel sur le complété à l'origine \(\widehat{W}(\mathfrak{g}_0)\) de l'espace vectoriel \(\mathfrak{g}_0 \otimes_{k_0} k\) — un \(A\)-schéma formel, une base de \(\mathfrak{g}_0\) fournissant des coordonnées. On obtient un foncteur \[ \mathcal{L}(k_0) \longrightarrow \{\text{groupes formels sur } k_0\} \longrightarrow \{\text{groupes formels sur } k\}, \] la seconde flèche étant l'extension des scalaires. Grothendieck annonce que ce foncteur se factorise par les \(A\)-groupes formels : la loi de Hausdorff est une \(A\)-loi, et un homomorphisme \(\mathfrak{g}_0 \to \mathfrak{h}_0\) donne un \(A\)-homomorphisme. Par le théorème d'Ado, il ramène l'énoncé au cas d'une sous-algèbre \(\mathfrak{g}_0 \subset \mathfrak{gl}(n, k_0)\) : il suffirait de savoir que le sous-groupe formel de \(\mathrm{GL}_n\) qu'elle définit est un sous-\(A\)-schéma formel.

La page s'arrête là, sur des points de suspension, et le cas linéaire n'est pas fait¹³ . Nous le laissons pour ce qu'il est : un énoncé annoncé.

6–7

Primitives, fonctions usuelles, feuilletages (pages 6 et 7)

Corollaire. \(A_1\) est stable par primitivation nulle à l'origine, et contient \(\log(1 + t)\), \(\exp t\), \(\cos t\), \(\sin t\), \(\tan t\).

La primitive \(\int_0^t f\) d'un \(f \in A_1\) est la solution, pour \(x_0 = 0\), de l'équation \(dx/dt = f(t)\) sur \(X_1\), dont le second membre est dans \(A_2\) ; elle est dans \(A_1\) par \((\mathrm{E})\). Ensuite¹⁴ :

• \(\frac{1}{1+t} \in A_1\) par \((\mathrm{L})\), donc \(\log(1+t) \in A_1\) ; sa série réciproque \(e^t - 1\) est dans \(A_1\) par \((\mathrm{H})\), donc \(e^t\) aussi ;
• de même \(\arctan t = \int_0^t \frac{ds}{1+s^2} \in A_1\), et sa série réciproque \(\tan t\) est dans \(A_1\) ;
• \(\cos t = (1 + \tan^2 t)^{-1/2}\) est la racine de \(Z^2 (1 + \tan^2 t) = 1\) qui vaut \(1\) en \(0\), racine simple : elle est dans \(A_1\) par hensélianité ; et \(\sin t = \tan t \cdot \cos t\).

Feuilletages. Soit \(X\) un schéma formel lisse de dimension \(n = p + q\). Un feuilletage de dimension \(p\) de \(X\) est la donnée d'un quotient formel lisse \(X \to B\), submersif, avec \(\dim B = q\). Il lui correspond le sous-module \(\mathfrak{P} \subset \Theta(X)\) des champs de vecteurs tangents aux fibres, qui est un sous-fibré de rang \(p\) involutif, et en caractéristique nulle, par le théorème de Frobenius formel, tout sous-fibré involutif s'obtient ainsi¹⁵ .

Si \(X\) est un \(A\)-schéma formel, un feuilletage est un \(A\)-feuilletage s'il existe sur \(B\) une \(A\)-structure faisant de \(X \to B\) un \(A\)-morphisme ; elle est alors unique, par \((\mathrm{H})\). Le sous-fibré \(\mathfrak{P}\) d'un \(A\)-feuilletage est engendré par des \(A\)-champs. On demande la réciproque :

• \((\mathrm{F})\) : un sous-fibré involutif engendré par des \(A\)-champs définit un \(A\)-feuilletage. De façon équivalente : si \(i : Y \to X\) est un \(A\)-morphisme transverse à \(\mathfrak{P}\) en \(0\) — le composé \(\mathbf{T}_0(Y) \to \mathbf{T}_0(X) \to \mathbf{T}_0(X)/\mathfrak{P}(0)\) est un isomorphisme —, l'unique rétraction \(\pi : X \to Y\) constante sur les feuilles est un \(A\)-morphisme.

Il en résulte que la feuille passant par \(0\) est un sous-\(A\)-schéma formel. \((\mathrm{F})\) entraîne \((\mathrm{E})\), et pour \(p = 1\) lui est équivalente¹⁶ .

La page 7 reprend la fin de la page 6 et a été barrée tout entière. Elle y formule l'équivalence de deux conditions pour une rétraction \(\pi\) comme ci-dessus : \(\pi\) est un \(A\)-morphisme ; il existe un \(A\)-isomorphisme \(X \simeq B \times Y\) qui transforme le feuilletage en celui de la première projection. Une parenthèse, encadrée et biffée, construisait d'abord un isomorphisme formel \(X \simeq Y \times Z\) à partir de deux transversales.

9–10

Seconde rédaction : les conditions élémentaires sur un anneau (pages 9 et 10)

La seconde rédaction reprend tout sur un anneau commutatif \(k\) quelconque. Les \(X_n\) forment un schéma formel simplicial augmenté, les \(S_n\) un anneau topologique cosimplicial coaugmenté, et l'on pose les trois conditions élémentaires :

• \((\mathrm{I})\) identités : les opérations simpliciales entre les \(X_n\) sont des \(A\)-morphismes ; de façon équivalente, \(t_i \in A_n\) pour \(1 \leq i \leq n\), ou encore les identités des \(X_n\) sont des \(A\)-morphismes ;
• \((\mathrm{S})\) composition : si \(\varphi \in A_n\) et si \(f_1, \ldots, f_n \in A_m\) ont des valeurs \(f_i(0)\) nilpotentes, alors \(\varphi(f_1, \ldots, f_n) \in A_m\) ;
• \((\mathrm{R})\) anneau : \(1 \in A_0\), et la différence et le produit \(X_1 \times X_1 \to X_1\) sont des \(A\)-morphismes ; c'est dire \(t_1 - t_2,\ t_1 t_2 \in A_2\), ou encore que les \(A_n\) sont des sous-anneaux unitaires des \(S_n\).

La page donne \((\mathrm{S})\) sous la forme « le composé de deux \(A\)-morphismes est un \(A\)-morphisme », qu'elle déclare équivalente à la forme ci-dessus. Les deux ne coïncident que si les constantes suivent : la clôture par composition ne porte que sur des fonctions nulles à l'origine, et pour l'étendre à un \(\varphi\) quelconque il faut que \(\varphi(0)\) soit dans \(A_m\), ce qui est vrai dès que \(\mathrm{Im}(A_0 \to S_m) \subset A_m\)¹⁷ . Nous prenons \((\mathrm{S})\) sous la forme forte.

Ces trois conditions font de \(A\) un sous-anneau cosimplicial de \(S\), stable par toutes les substitutions de variables. La plus petite classe est \[ A_n = \mathrm{Im}\bigl(\mathbf{Z}[t_1, \ldots, t_n] \to k[[t_1, \ldots, t_n]]\bigr) = \Lambda[t_1, \ldots, t_n], \] où \(\Lambda\) est l'image de \(\mathbf{Z}\) dans \(k\), isomorphe à \(\mathbf{Z}\) ou à \(\mathbf{Z}/c\mathbf{Z}\), \(c\) la caractéristique de \(k\).

La catégorie des \(A\)-schémas formels. Les \(X_n\) et les \(A\)-morphismes forment une catégorie \(\mathrm{Sfl}_A\), avec produits finis \(X_n \simeq X_1^n\). La page y annonce aussi des produits fibrés dans le cas transversal¹⁸ .

Soit \(k_0 = A_0\). On a un foncteur \(\mathbb{V}_A\) de la catégorie des \(k_0\)-modules libres de type fini vers les \(A\)-schémas formels, \(M_0 \mapsto \mathrm{Spf}\, \widehat{\mathrm{Sym}}_k(M_0 \otimes_{k_0} k)\), qui est contravariant¹⁹ , fidèle, et qui transforme les objets en groupe en \(A\)-groupes formels²⁰ . Plus généralement, le complété à l'origine d'un \(k_0\)-schéma lisse pointé porte une \(A\)-structure, et ce foncteur commute aux produits finis, donc envoie groupes sur groupes²¹ .

La marge de la page 10 note l'anneau \(\mathcal{O}_A(X) \subset \mathcal{O}(X)\) des \(A\)-fonctions sur \(X\), et l'identifie à \(\mathrm{Hom}_A(X, X_1)\) au sein de \(\mathrm{Hom}(X, X_1)\). Il faut distinguer : \(\mathrm{Hom}(X, X_1)\) n'est que l'idéal des fonctions nilpotentes à l'origine, et c'est \(\mathrm{Hom}_A(X, X_1) = \mathcal{O}_A(X) \cap \mathrm{Hom}(X, X_1)\) qui est vrai ; \(\mathcal{O}_A(X)\) lui-même est l'anneau qui vaut \(A_n\) en coordonnées. La même marge mentionne les Modules \(A\)-formels et les fibrés vectoriels \(A\)-formels, et affirme que le foncteur « anneau des \(A\)-fonctions » commute aux limites projectives, sans préciser lesquelles.

11–12

La condition hensélienne et ses corollaires (pages 11 et 12)

• \((\mathrm{H})\) condition hensélienne : si \(u : X_n \to X_n\) est un \(A\)-morphisme qui est un isomorphisme formel — si \(\det\bigl(\frac{\partial f_i}{\partial t_j}(0)\bigr)\) est inversible dans \(k\) —, alors \(u^{-1}\) est un \(A\)-morphisme. Autrement dit, le foncteur d'oubli des \(A\)-schémas formels vers les schémas formels sur \(k\) est conservatif.

Sur un anneau, un endomorphisme \((f_1, \ldots, f_n)\) de \(X_n\) dont les \(f_i(0)\) sont nilpotents et dont le jacobien à l'origine est inversible est bien un automorphisme : on écrit \(f = c + h\) avec \(c = f(0)\) nilpotent et \(h(0) = 0\) ; \(h\) est inversible par le théorème d'inversion formel, et \(h^{-1}(x - c)\) converge.

Corollaire 1. Si \(f \in A_n\) et si \(f(0)\) est inversible dans \(k\), alors \(f^{-1} \in A_n\). En particulier \(A_n \cap \mathfrak{m}_n\) est contenu dans le radical de Jacobson de \(A_n\) (prendre \(f = 1 + ag\), \(g \in A_n \cap \mathfrak{m}_n\)).

La démonstration de la page considère l'automorphisme \(u(x, s) = (x, f(x)\, s)\) de \(X_{n+1}\), de jacobien \(f(0)\) à l'origine, d'inverse \((x, s) \mapsto (x, f(x)^{-1} s)\). Par \((\mathrm{H})\), \(g = f^{-1}\, t_{n+1} \in A_{n+1}\). La page substitue alors \(t_{n+1} = 1\) pour conclure — et objecte elle-même, en marge, que \(1\) n'est pas nilpotent, de sorte que \((\mathrm{S})\) n'autorise pas cette substitution ; elle propose d'exiger une propriété de divisibilité, \(t_{n+1} f \in A_{n+1} \Rightarrow f \in A_n\)²² . La condition sur les coefficients \((\mathrm{D})\) de la page 14 suffit : \(f^{-1}\) est le coefficient de \(t_{n+1}\) dans \(g\), donc est dans \(A_n\). C'est sous cette hypothèse supplémentaire que nous tenons le corollaire pour démontré.

La page passe ensuite, par des équivalences, aux formes « \(f(0) = 1\) » et « \(A_n \cap \mathfrak{m}_n \subset \mathrm{rad}\, A_n\) ». Revenir de là à la première forme suppose \(f(0)^{-1} \in A_0\) ; c'est vrai, mais c'est le cas \(n = 0\) de la première forme, donc de l'argument ci-dessus, et non une conséquence des seules formes affaiblies.

Corollaire 2. Soit \(P(Z) = Z^N + f_1 Z^{N-1} + \cdots + f_N \in A_n[Z]\) unitaire, et \(\zeta \in k_0\) une racine du polynôme réduit \(P^\varepsilon(Z) = Z^N + a_1 Z^{N-1} + \cdots + a_N\), \(a_i = f_i(0) \in k_0\), telle que \((P^\varepsilon)'(\zeta)\) soit inversible dans \(k\). L'unique \(F \in S_n\) tel que \(P(F) = 0\) et \(F(0) = \zeta\) est dans \(A_n\). En d'autres termes, le couple \((A_n, A_n \cap \mathfrak{m}_n)\), déjà zariskien par le corollaire 1, est hensélien²³ .

Corollaire 3. Soit \(P \in A_{n+1}\), vu comme série en \((t_1, \ldots, t_n, Z)\), avec \(P(0) = 0\) et \(\frac{\partial P}{\partial Z}(0)\) inversible dans \(k\). L'unique \(F \in S_n\) tel que \(P(t, F(t)) = 0\) et \(F(0) = 0\) est dans \(A_n\).

En effet, \(u(x, z) = (x, P(x, z))\) est un \(A\)-morphisme de \(X_{n+1}\) compatible aux projections sur \(X_n\) et un isomorphisme formel ; par \((\mathrm{H})\) son inverse est de la forme \((x, z) \mapsto (x, \varphi(x, z))\) avec \(\varphi \in A_{n+1}\), et \(F = \varphi(t, 0) \in A_n\). Le corollaire 3 contient le corollaire 2 (translater \(Z\) de \(\zeta\)) : c'est le théorème des fonctions implicites dans la classe.

La marge de la page 12 pose une question que les feuillets laissent ouverte : les conditions \((\mathrm{I})\), \((\mathrm{S})\), \((\mathrm{R})\), \((\mathrm{H})\) entraînent-elles que \(S_n\) soit fidèlement plat sur \(A_n\)²⁴ ?

13–13

Sous-schémas formels (page 13)

Soit \(X\) un \(A\)-schéma formel et \(Y \subset X\) un sous-schéma formel lisse. On dit que \(Y\) est un sous-\(A\)-schéma formel s'il existe sur \(Y\) une \(A\)-structure pour laquelle l'inclusion est un \(A\)-morphisme. Une telle structure est unique. On trouve en effet un \(A\)-morphisme \(X \to Y'\) vers un \(A\)-schéma formel \(Y'\) dont la restriction \(Y \to Y'\) est un isomorphisme formel²⁵ ; alors \(Y\) est un sous-\(A\)-schéma formel si et seulement si le composé \(Y' \xrightarrow{\sim} Y \hookrightarrow X\) est un \(A\)-morphisme, et la structure de \(Y\) est celle transportée de \(Y'\) — par \((\mathrm{H})\)²⁶ .

Exemples. La diagonale de \(X \times X\) ; plus généralement celle de \(X \times_Y X\) si \(X \to Y\) est un \(A\)-morphisme submersif. Et, en marge : un morphisme formel \(X \to Y\) entre \(A\)-schémas formels est un \(A\)-morphisme si et seulement si son graphe est un sous-\(A\)-schéma formel de \(X \times Y\) (la projection du graphe sur \(X\) est un \(A\)-isomorphisme, par \((\mathrm{H})\)).

Schémas au-dessus de l'anneau des \(A\)-fonctions. Soit \(\mathcal{X}\) un schéma sur \(\mathrm{Spec}\, \mathcal{O}_A(X)\), muni d'une section \(s_0\), et lisse aux points de cette section. Le complété formel \(\widehat{\mathcal{X}}\) de \(\mathcal{X} \otimes_{\mathcal{O}_A(X)} \mathcal{O}(X)\) le long de la section déduite \(s\) porte une \(A\)-structure pour laquelle \(X \to \widehat{\mathcal{X}} \to X\) sont des \(A\)-morphismes ; \(\widehat{\mathcal{X}}\) dépend fonctoriellement du triple \((X, \mathcal{X}, s_0)\), et sa formation commute aux images inverses par \(X' \to X\)²⁷ .

14–14

La condition sur les coefficients et le calcul différentiel (page 14)

• \((\mathrm{D})\) condition différentielle : chaque \(A_n\) est stable par les opérateurs différentiels élémentaires \(D_p = \frac{1}{p_1! \cdots p_n!}\, \frac{\partial^{|p|}}{\partial t_1^{p_1} \cdots \partial t_n^{p_n}}\) ; de façon équivalente, si \(f(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m) \in A_{n+m}\) s'écrit \(\sum_{p \in \mathbf{N}^m} f_p(x)\, y^p\), les coefficients \(f_p\) sont dans \(A_n\).

Les \(D_p\) sont les dérivations de Hasse, qui ont un sens sur tout anneau. L'équivalence est la formule de Taylor : \(f(x + y) = \sum_p (D_p f)(x)\, y^p\), où \(f(x+y) \in A_{2n}\) par \((\mathrm{S})\) ; dans l'autre sens, \(f_p(x) = (D^{(y)}_p f)(x, 0)\).

La page marque la lettre de cette condition « d) », qui est déjà celle de la condition hensélienne ; elle est vraisemblablement celle qu'invoquent les pages 13 et 15 sous la lettre e).

Conséquences. Pour un \(A\)-schéma formel \(X\), les algèbres de parties principales \(\mathcal{P}^r_{X/k} = \mathcal{O}(X \times X)/\mathcal{I}_\Delta^{r+1}\) ont une \(A\)-structure canonique et fonctorielle : en coordonnées, c'est le module libre de base les \((y - x)^p\), \(|p| \leq r\), sur \(A_n\), et \((\mathrm{D})\) dit précisément que l'image de \(\mathcal{O}_A(X \times X)\) dans \(\mathcal{P}^r_{X/k}\) est ce module. De même pour \(\mathcal{P}^r_{X/Y}\) si \(X \to Y\) est un \(A\)-morphisme submersif, et pour les invariants normaux \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}^r\) d'un couple \(Y \subset X\) de \(A\)-schémas formels, compatiblement aux images inverses transversales. L'opérateur différentiel universel \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{P}^r_{X/k}\) envoie \(\mathcal{O}_A(X)\) dans \((\mathcal{P}^r_{X/k})_A\). Les opérateurs différentiels \(\mathrm{Diff}^r(X/k)\), duaux des \(\mathcal{P}^r_{X/k}\), ont des \(A\)-structures ; la composition respecte les \(A\)-opérateurs, qui stabilisent \(\mathcal{O}_A(X)\) ; de même pour les opérateurs relatifs à un \(A\)-morphisme submersif²⁸ .

Corollaire. \(A_n \subset k_0[[t_1, \ldots, t_n]]\) : les coefficients \((D_p f)(0)\) d'un \(f \in A_n\) sont dans \(A_0 = k_0\). D'où un foncteur des \(A\)-schémas formels vers les schémas formels sur \(k_0\) — la classe \(A\) est toujours définie sur le corps, ou l'anneau, de ses constantes.

15–16

Quotients et condition intégrale (pages 15 et 16)

Soit \(p : X \to Y\) un morphisme submersif de schémas formels lisses, \(X\) muni d'une \(A\)-structure. On dit que \(Y\) admet une \(A\)-structure quotient s'il admet une \(A\)-structure faisant de \(p\) un \(A\)-morphisme. Elle est unique : il existe un sous-\(A\)-schéma formel \(Y' \subset X\) (une transversale aux fibres) tel que \(Y' \to Y\) soit un isomorphisme formel ; la \(A\)-structure quotient existe si et seulement si le composé \(X \to Y \xrightarrow{\sim} Y'\) est un \(A\)-morphisme, et c'est alors celle de \(Y'\)²⁹ .

Relations d'équivalence. Si \(p : X \to Y\) est submersif, \(R = X \mathbin{\widehat{\times}_Y} X \subset X \mathbin{\widehat{\times}} X\) est un sous-schéma formel lisse, et une relation d'équivalence : symétrique, contenant la diagonale, transitive. Plus précisément, \(X\) étant donné, la page affirme une correspondance biunivoque entre quotients formels submersifs \(Y\) et relations d'équivalence formelles lisses \(R\)³⁰ . Si \(Y\) admet une \(A\)-structure quotient, \(R\) est un sous-\(A\)-schéma formel de \(X \mathbin{\widehat{\times}} X\). On demande la réciproque :

• \((\mathrm{Q})\) condition intégrale : si \(R\) est une relation d'équivalence formelle sur \(X\) qui est un sous-\(A\)-schéma formel de \(X \mathbin{\widehat{\times}} X\), le quotient formel \(Y = X/R\) admet une \(A\)-structure quotient.

C'est la forme, dans la seconde rédaction, de la condition \((\mathrm{F})\) des feuilletages de la page 6, et Grothendieck le dit en ces termes : heuristiquement, étant donné un \(A\)-feuilletage de \(X\), la variété formelle des feuilles admet une \(A\)-structure quotient ; en caractéristique nulle, les \(A\)-feuilletages correspondent aux systèmes de Pfaff complètement intégrables, et la condition intégrale signifie que l'intégration de ce système — par le morphisme formel \(X \to Y'\) de tout à l'heure — se fait par un \(A\)-morphisme. La page s'arrête sur cette phrase ; le reste du feuillet est blanc.

18–19

Le théorème de préparation formel (pages 18 et 19)

Théorème (« de préparation “formel” »). Soit \(A\) un anneau linéairement topologisé, séparé et complet, \(Z\) une indéterminée, \(F = \sum_{i \geq 0} a_i Z^i \in A[[Z]]\), et \(N \in \mathbf{N}\) tel que

• (i)\(a_i\) est topologiquement nilpotent pour \(0 \leq i \leq N-1\) ;
• (ii)\(a_N\) est inversible.

Alors \(F\) est un élément régulier de \(A[[Z]]\), et \(A[[Z]]/F A[[Z]]\) est un \(A\)-module libre de base les images des \(Z^i\), \(0 \leq i \leq N-1\) : tout \(G \in A[[Z]]\) s'écrit de façon unique \[ G = QF + \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i, \qquad Q \in A[[Z]],\ b_i \in A. \]

C'est la division de Weierstrass sous sa forme formelle³¹ .

Démonstration. \(A\) est limite projective de ses quotients discrets \(A/I\), \(I\) parcourant les idéaux ouverts, et \(A[[Z]] = \varprojlim (A/I)[[Z]]\). L'unicité fait que les écritures sur les \(A/I\) se recollent, et un \(H\) tel que \(FH = 0\) est nul modulo chaque \(I\) : on peut supposer \(A\) discret. Alors (i) signifie que \(a_0, \ldots, a_{N-1}\) sont nilpotents.

Soit \(\mathfrak{m}\) l'idéal qu'ils engendrent : il est de type fini et engendré par des nilpotents, donc nilpotent. Posons \(A_0 = A/\mathfrak{m}\) et notons \(\dot{a}_i\), \(\dot{F}\) les réductions modulo \(\mathfrak{m}\). On a \(\dot{a}_i = 0\) pour \(i < N\), donc \[ \dot{F} = \dot{a}_N Z^N + \dot{a}_{N+1} Z^{N+1} + \cdots = Z^N \dot{u}, \] où \(\dot{u} = \dot{a}_N + \dot{a}_{N+1} Z + \cdots\) est une unité de \(A_0[[Z]]\) puisque \(\dot{a}_N\) est inversible³² . Considérons l'application \(A\)-linéaire \[ \varphi : A^N \times A[[Z]] \longrightarrow A[[Z]], \qquad \bigl((b_i)_{0 \leq i \leq N-1}, Q\bigr) \longmapsto \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i + QF. \] Elle respecte les filtrations \(\mathfrak{m}\)-adiques, qui sont finies, et \(\mathfrak{m}^j A[[Z]] = \mathfrak{m}^j[[Z]]\) puisque \(\mathfrak{m}\) est de type fini. En degré \(j\), l'application graduée associée est, pour le \(A_0\)-module \(M = \mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}\), \[ M^N \times M[[Z]] \longrightarrow M[[Z]], \qquad \bigl((b_i), Q\bigr) \longmapsto \sum_{0 \leq i \leq N-1} b_i Z^i + Q\, \dot{u}\, Z^N, \] qui est manifestement bijective : on sépare les termes de degré \(< N\) et l'on divise le reste par \(Z^N\), puis par l'unité \(\dot{u}\). Une application filtrée dont le gradué est bijectif, pour des filtrations finies, est bijective ; \(\varphi\) l'est donc. La bijectivité donne l'écriture unique, et la régularité de \(F\) : \(FH = 0\) s'écrit \(\varphi(0, H) = \varphi(0, 0)\), d'où \(H = 0\).

Cette démonstration est la seconde de la page. Une première, encadrée et barrée, procédait en trois temps : les \(Z^i\), \(i < N\), engendrent \(A[[Z]]/F A[[Z]]\) parce qu'ils l'engendrent modulo \(\mathfrak{m}\) et par Nakayama ; \(F\) est régulier, par le gradué associé ; enfin, dans le cas polynomial \(F = Z^N + a_{N-1} Z^{N-1} + \cdots + a_0\), l'application \(A[Z]/F A[Z] \to A[[Z]]/F A[[Z]]\) est surjective, et bijective si et seulement si \(F A[[Z]] \cap A[Z] = F A[Z]\). L'argument par l'application \(\varphi\) remplace les trois à la fois.

Ce que les feuillets ne disent pas. Les pages 18 et 19 ne mentionnent ni les classes \(A\) ni les \(A\)-schémas formels. Le lien est pourtant direct : demander qu'une classe de séries soit stable par la division de Weierstrass — le quotient et le reste d'une série de la classe par une série de la classe restant dans la classe — est l'axiome central de ce qu'on appelle depuis Denef et Lipshitz, vers 1980, un système de Weierstrass, et la plupart des conditions des pages 9 à 14 (inversion des unités, fonctions implicites, coefficients) en découlent ou l'accompagnent³³ .