Fonds Grothendieck, cote n° 37, pages 81–99

SGA 7 (suite)

les pages 81 et 82 continuent les notes pour SGA 7 qui suivent le feuillet de garde « SGA 7 » (page 72, lot 4) ; le titre est repris de ce feuillet

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; les numéros d'exposé sont soulignés par lui

Appendice à XXI de Katz : torsion en coh. cristalline XXIIRéférence à la démonstration de Deligne du th. de congruence de Katz (généralisé) VI ou XIIIVérifier qu'on y trouve le fait qu'en déformant une singularité quadratique ordinaire, — donne au plus autant (cf. ci-dessus cas de car. rés. 2 et d'une relation paire). En d'autres termes, l'ens. des pts où un morphisme plat de loc. prés. finie est lisse ou a une singularité quadratique ordinaire est ouvert.

le « VI » est récrit d'un trait épais ; « ou XIII » est ajouté dessous, dans la marge. « loc. » est écrit au-dessus de « de », biffé

à l'encre, en haut d'une feuille blanche ; rien d'autre sur la page

SGA 7 XVIII p. 10 l. 2 réf à ~~Exp~~ SGA 5 IV

p. 17 l. 9 réf Exp XIVle 1 de 17 est récrit p. 25 l. -2 — SGA 5 IV p. 34 l. 4 — XVI p. 44 l. 1 p. 64 l. -7, l. -2 — XVI p. 66 l. 6 — XII l. -5 15 ?lu aussi « 18 » ; sans trait au-dessus ni au-dessous, à la différence des numéros d'exposé voisins p. 68 l. 4 XVI l. -6 XII

Réédition EGA I

inscrit à l'encre et souligné en haut à droite du feuillet de garde (page 83), qui ne porte rien d'autre qu'un mot raturé au-dessous, ; vraisemblablement de sa main. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

feuillet dactylographié, paginé « - 538 - » à la machine : première page de la « TABLE DES MATIERES » de la nouvelle édition d'EGA I (Springer, Grundlehren 166, 1971), texte publié, non reproduit : Avant-propos, Introduction, Chapitre 0 « Préliminaires », § 1 « Foncteurs représentables » (1.1 à 1.7), § 2 « Compléments de topologie » (2.1 à 2.10), § 3 « Compléments sur les faisceaux » (3.1 à 3.7). L'identification repose sur la structure de la table (nouveau Chapitre 0 avec quasi-homéomorphismes, espaces de Jacobson, espace sobre associé), non sur une collation ligne à ligne. Marques manuscrites, au crayon, de main non établie (vraisemblablement la sienne) : un trait ondulé biffe les deux lignes périmées « 2.4. Fonctions constructibles » (déjà barrée à la machine) et « 2.5. », qui précèdent les lignes retapées « 2.4. Ensembles constructibles dans les espaces noethériens » et « 2.5. Fonctions constructibles » ; en marge de gauche, un petit crochet en regard de ces lignes

même table, page « - 541 - » (les feuillets sont rangés dans l'ordre 538, 541, 539, 540), non reproduite : Chapitre I, fin du § 3 (3.8 à 3.10, morphismes universellement ouverts, générisants, submersifs), § 4 « Sous-schémas et morphismes d'immersion. Schémas réduits » (4.1 à 4.6), § 5 « Morphismes séparés. Critères valuatifs » (5.1 à 5.5), § 6 « Conditions de finitude relatives » (6.1 à 6.11). Rien de manuscrit

même table, page « - 539 - », non reproduite : Chapitre 0, fin du § 3 (3.8, 3.9), § 4 « Espaces annelés » (4.1 à 4.5), § 5 « Faisceaux quasi-cohérents et faisceaux cohérents » (5.1 à 5.7), § 6 « Compléments d'algèbre commutative » (6.1 à 6.8), § 7 « Compléments d'algèbre topologique » (7.1 à 7.6). Rien de manuscrit

même table, page « - 540 - », non reproduite : Chapitre 0, fin du § 7 (7.7, 7.8) ; Chapitre I « Le langage des schémas », Sommaire, § 1 « Schémas affines » (1.1 à 1.7), § 2 « Schémas et morphismes de schémas » (2.1 à 2.8), § 3 « Produit et somme de schémas. Changement de base » (3.1 à 3.7). Rien de manuscrit

même table, page « - 542 - » (le numéro frappé sur un autre chiffre), non reproduite : Chapitre I, § 7 « Ensembles constructibles dans les schémas » (7.1 à 7.3), § 8 « Applications rationnelles » (8.1 à 8.5), § 9 « Foncteurs représentables élémentaires dans la théorie des schémas » (9.1 à 9.10), § 10 « Schémas formels » (10.1 à 10.8). Rien de manuscrit

feuillet dactylographié non paginé (« - - ») de l'« Index terminologique » du même volume, de « Spectre formel d'un anneau admissible : I,10.1.2 » à « Valeur en un point d'une section d'un O_X-Module sur un espace localement annelé : 0,4.1.9 » ; il fait suite à la page 91. Texte publié, non reproduit ; rien de manuscrit

même table des matières, page « - 543 - », la dernière, non reproduite : Chapitre I, § 10, 10.9 à 10.15 (10.12 « Morphismes adiques de schémas formels », 10.13 « Morphismes de type fini », 10.15 « Schémas formels séparés »), « APPENDICE .- Ultraschémas et espaces algébriques de Serre » (App. 1, App. 2), Bibliographie, Index des notations, Index terminologique. Marque manuscrite, au crayon, de main non établie (vraisemblablement la sienne) : dans la marge de droite, en regard de 10.12 et 10.13, un cadre contenant « Morphismes affines », d'où part un trait qui aboutit sous la ligne 10.15 : un numéro à ajouter après 10.15

feuillet dactylographié non paginé du même « Index terminologique », de « S-schéma localement quasi-fini sur S : I,6.11.3 » à « Spectre maximal d'un anneau de Jacobson : I,App.1.3 » ; la page 89 en est la suite. Texte publié, non reproduit ; rien de manuscrit

lettre dactylographiée de lui, datée à la main en haut à droite ; les crochets de B[[T]] et de k[(X_i)_{i\geq 0}], les signes \in, \leq, \geq manquaient à la machine et sont complétés à l'encre. Les surfrappes de la machine ne sont pas relevées

27.8.1967

Cher Dieudonné,

Tu as bien fait de tiquer sur la généralisation que je suggérai de EGA I 10.10.5. Je pense que l'analogue nonnoethérien de l'équivalence de a) et c) doit sortir sans mal, mais en tous cas ces conditions ne sont pas impliquées par b). Pour le voir, soit A = B[[T]], et définissons M_n = A_n/J_n , où A_n = B[T]/(T^{n+1}), J_n = (X_0, X_1 T, \ldots, X_n T^n), en choisissant l'anneau B et les X_n \in B de telle façon que les générateurs écrits de J_n soient en nombre minimal. IL suffit pour ceci de prendre pour B un anneau de polynômes B = k[(X_i)_{i \geq 0}] , on vérifie en effet que les générateurs écrits donnent alors dans J_n/TJ_n des éléments linéairement indépendants sur A_0 = A/TA = B. En effet, si les a_i \in B (0 \leq i \leq n) sont tels que a_0 X_0 + \cdots + a_n X_n T^n = F_0 X_0 T + \cdots + F_n X_n T^{n+1} , où les F_n sont dans B[T] = A[T,(X_i)], on voit pour tout i, 0 \leq i \leq n, divisant par l'idéal engendré par les X_j avec j \neq i, qu'on a une relation a_i X_i T^i = F'_i X_i T^{i+1} dans k[X_i, T], où F'_i est l'image de F_i. Comme X_i et T sont des éléments réguliers de cet anneau, on en conclut que a_i = F'_i T dans k[X_i, T], d'où évidemment a_i = 0, cqfd. la parenthèse fermante de J_n est coupée au bord du feuillet ; « B[T] = A[T,(X_i)] » est ainsi à la machine, le contexte attendrait k[T,(X_i)]

Je suggère donc de rédiger la nouvelle proposition 10.10.5 en disant qu'on a deux conditions équivalentes impliquant une troisième condition, et que cette dernière équivaut aux deux autres dans le cas noethérien. Il serait peut-être utile de donner aussi le contre-exemple qui précède.

suite de la même lettre, au verso du même feuillet ; les blancs laissés par la machine n'y sont pas complétés

J'ai découvert un canular ennuyeux dans EGA IV 17.1.6 (i), concernant le cas « formellement lisse ». En effet, le démonstration via (16.5.17) ne marche que si on suppose \Omega^1_{X/Y} de présentation finie, par exemple si f est localement de type fini ! J'ignore donc si la notion « formellement lisse » est vraiment locale en haut ! On peut montrer que la question équivaut à la suivante : si A est un anneau commutatif, et M un A-Module (pas nécessairement de présentation finie) qui est « localement projectif sur \operatorname{Spec}(A) », i.e. tel qu'il existe des f_i \in A engendrant l'idéal unité, avec M_{f_i} projectif sur A_{f_i}, alors M est-il un A-Module projectif ? (Je me rappelle avoir posé la question à D. Lazard, mais je ne me rappelle pas s'il l'avait résolue dans un sens ou dans l'autre. Je crois que non). Il faudrait donc à la prochaine occasion faire un errata pour 17.1.6, dans lequel on signalerait également la formulation équivalente que je viens de signaler pour la question du caractère local de la lissité formelle. — Si la réponse devait être négative, il y aurait lieu de considérer aussi la notion de morphisme localement formellement lisse. En fait, dans tous les cas que j'ai rencontrés, on prouve toujours directement la lissité formelle globale, telle qu'elle est définie dans le texte.

J'ai fait lire mon projet de par. 0 pour la réédition de EGA I à Samuel et Illusie, dont je te transmets certaines critiques. Page 4, au lieu de « quasi-totalité », il est plus prudent de dire « plupart ». Page 8, j'utilise tantôt la terminologie « idéal racine », tantôt « idéal radical » et j'écris \operatorname{rad}(J), — il faut unifier. Page 9, ligne 4, style vicieux, lire « comme anneaux de valeurs pour les coordonnées de solutions … ». Page 10, donner en note de bas de page le sens du mot la lettre s'interrompt ici, au bas du verso ; la suite n'est pas dans ce lot. Deux longs traits obliques, de main non établie, traversent tout ce dernier alinéa

au crayon, en haut d'une feuille à en-tête de l'IHÉS ; rien d'autre sur la page. 10.12 est, dans la table de la page 90, « Morphismes adiques de schémas formels »

10.12. Stabilité par \varprojlim (ou non ?)

lettre dactylographiée de J. Dieudonné, signée à l'encre bleue « J A Dieudonné », « Nice , 11 Septembre 1967 », « Mon cher Grothendieck », non reproduite. Il remercie de la lettre du 27/8 (pages 92-93) et du contre-exemple, mais n'est « toujours pas convaincu » que, pour les Modules de présentation finie sans condition noethérienne, la condition a) de (10.10.5) entraîne c) : la construction de G dans le texte actuel utilise l'implication b) \Rightarrow a), fausse dans le cadre de la présentation finie, et l'on retombe sur « les canulars Artin-Rees » faute de suites exactes A_n^p \to A_n^q \to M_n \to 0 avec p et q fixes ; « j'ai des doutes sur la validité du théorème ». Il rédigera l'Introduction quand il aura terminé le § 10 ; il accepte de prendre le papier de Serre (à remettre à Mlle Rolland pour les Presses) et les mémoires de Segal. Les soulignements jaunes et verts et les flèches à l'encre bleue sont du scripteur. De sa main, à l'encre noire, dans la marge de gauche en regard des « suites exactes A_n^p \to A_n^q \to M_n \to 0 » : « cf. EGA IV 18.3.2.1. » (la référence même que cite sa réponse, page 97) ; en outre un double trait vertical, de main non établie, dans la marge de gauche en regard du dernier alinéa

lettre dactylographiée de lui, datée à la main en haut à droite. Les flèches, les signes \in, \leq et le tilde de \widetilde{M} ont été laissés en blanc par la machine et jamais complétés ; on les rétablit dans les formules là où le texte les fixe. Les surfrappes ne sont pas relevées

15.9.67.

Cher Dieudonné,

Tes objections de ta lettre du 11 Septembre sont encore fondées. D'ailleurs, il ne me semble pas évident que le fait de pouvoir trouver p,q fixes tels qu'on ait des suites exactes A_n^p \to A_n^q \to M_n \to 0, permette de s'en tirer ; tant mieux si tu y arrives. L'existence de ces p et q me semble d'autre part facile, en utlisant le

Lemme Soit A un anneau, M un A-module, (f_i)_{1 \leq i \leq n} des éléments de A engendrant l'idéal unité, supposons que pour tout i, le A_{f_i}-module M_{f_i} soit engendré par m_i générateurs. Alors M est engendré par m \quad m_i générateurs.entre m et m_i, un blanc que la machine n'a pas rempli et que la page ne permet pas de fixer ; la suite (« mp éléments, où m est le nombre des f_i ») suggère \sum m_i

Démonstration : soient g^i_j \in M_{f_i} (1 \leq j \leq m_i) les générateurs de M_{f_i}, on aura donc g^i_j = h^i_j / f_i^{N_{ij}}, avec h^i_j \in M. Alors les h^i_j pour j fixes engendrent M sur l'ouvert \operatorname{Spec}(A_{f_i}) de \operatorname{Spec}(A_f), donc comme pour i varaible ces ouverts recouvrent \operatorname{Spec}(A), il s'ensuit que les h^i_j pour i,j variables engendrent M, donc M, ce qui établit le lemme.

Revenant alors à la situation de 10.10.5, on sait que M = \lim M_n est un A-module de type fini, considérons alors un épimorphisme u : A^q \to M. Soient f_i \in A dont les images dans A_0 engendrent l'idéal unité, et tel que sur les ouverts correspondants X_i de X = \operatorname{Specf}(A), F admette une présentation finie, donc soit de la forme \widetilde{M_i}, où M_i est un A_i = A_{f_i}-module de présentation finie. Alors u restreint à X_i définit un épimorphisme A_i^q \to M_i, et comme M_i est de présentation finie, il existe un homomorphisme v_i rendant exacte la suite A_i^p \to A_i^q \to M_i \to 0. Tensorisant par A_0, on en déduit une suite exacte (A_n)_{f_i}^p \to (A_n)_{f_i}^q \to (M_n)_{f_i} \to 0, ce qui montre que, si R_n = \operatorname{Ker}(A_n^q \to M_n), alors R_n est sur \operatorname{Spec}(A_{n\, f_i}) engendré par p éléments. Donc en vertu du lemme R_n est engendré par mp éléments « A_i = » est tapé dans l'interligne au-dessus de « A_{f_i} » ; « Tensorisant par A_0 » est ainsi à la machine, la suite porte sur A_n

suite de la même lettre, second feuillet ; pas de signature

où m est le nombre des f_i, et mp est bien indépendant de n.

La difficulté qui semble rester est de trouver les suites exactes que tu demandes de telle façon qu'elles se recollent, pour n variable. Donc, u étant déjà choisi, de trouver un homomorphisme A^p \to A^q dont l'image soit \operatorname{Ker} u … Si tu y arrives, on pourrait présenter encore 10.10.5 sous forme de trois conditions équivalentes, mais en demandant dans b) une « prsentation finie uniformément en n ». Sinon, il faudrait trouver un contre-exemple à l'implication a) \Rightarrow c), car il me semble que la question devrait être tirée au clair. En tout état de cause, il faudra donner, en corollaire, l'équivalence des conditions suivantes, valables sans hypothèses noethériennes :

a)F est localement libre de type fini. b)F est isomorphe à la limite projective d'une suite (F_n) de \underline{O}_{X_n}-Modules loc libres de type fini qui se recollent. c)F est isomorphe à un \widetilde{M}, avec M un A-module projectif de type fini.

Pour la démonstration, on procède comme dans 10.10.5 en utilisant EGA IV 18.3.2.1. Ce lemme devrait d'ailleurs venir en corollaire après 0_{\mathrm{I}} 7.2.9.

Pour les modifications que je préconaisais pour I 10.11, elles tombent à l'eau si on n'arrive pas à arranger 10.10.5 sans hypothèses noethériennes ; on peut cependant dire que si F sur X est de présentation finie, alors il est limite projective de faisceaux F_n de présentation finie sur les X_n qui se recollent (mais on n'a pas une réciproque), et que F est localement libre ssi les F_n le sont. Et les autres énoncés du n° 10.11. restent valables sans hypothèse noethérienne, sauf 10.7.11.2 et la partie « injectivité » dans 10.11.9 (sauf erreur). « ssi » : frappe surchargée, qui se lit « sis » ou « sàs »

EGA II

inscrit au crayon en haut à droite du feuillet de garde (page 98), qui ne porte rien d'autre ; vraisemblablement de sa main. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; les lettres a) à d) sont entourées, les numéros des volumes d'EGA soulignés

(a)

transférer EGA IV 4.8

Également écrit des morphismes affines de préschémas formels.ces trois lignes sont tenues par une accolade à gauche

Appendice pour aux schémas formels !« pour » est récrit d'un trait épais ; un petit trait vertical en marge gauche de la ligne

(b)

Cf EGA II 6.5.10 ajouter formules dans le

6.5.11 ajouter formule pour le cas où X' \to X est gén. décomposé ( moins !)

6.5.7 renvoi à EGA IV 21.

(c)Remonter EGA IV 19.4.11 (revu et augmenté) (d)7.4.2. Admettre vide —