SGA 6 (suite)
les pages 61 à 71 suivent le feuillet de garde « SGA 6 » (page 55, lot 3)
et les notes des pages 56 à 60 ; le titre est repris de ce feuillet
à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; rien d'autre sur la page
Exp. X Tenir compte conventions de Illusie (faire relire par
Berthelot)
à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS
SGA 6 III 1, p. 15, ajouter en footnote
à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; une liste de pages, chacune
suivie d'un numéro d'exposé entre parenthèses, les parenthèses laissées ouvertes
sur un blanc. Rien ne dit à quel tapuscrit elle renvoie
\alpha AWdeux signes en tête, à gauche de la
liste : le premier ressemble à un \alpha ou à une croix
- p. 43 (IX … )
- p. 47 (IV )
- p. 51 (IV )
- p. 52 (IV )
- p. 56 (IX )
- p. 59 (IV )
- p. 70 (IX )
- p. 74 (IX )le chiffre romain est récrit sur
un premier tracé
- p. 75 (iv )en minuscules, à la différence des
autres
premier feuillet (non numéroté) d'un tapuscrit de sept feuillets intitulé
« Commentaires Exp. X », non reproduit : remarques d'un lecteur, page et ligne
par ligne, sur la frappe d'un exposé X, ici selon toute apparence celui de SGA 6
(voir la page 61 ; il cite par leur seul numéro les exposés IV à VII et XIV, à
part SGA 5 et EGA). Ce feuillet porte sur les pages 1 à 8 : références pour
K_{\cdot}(X) (IV 2.2 et 2.4), « K^{\cdot}(X)_{\text{naïf}} », (VI 3.2) si X
est quasi-compact, la numérotation du Cor. 1.3.3, \alpha^{*}(x) \in
\mathrm{Filt}^{i}(Z), et des références dans EGA IV (3.1.4, 5.6.3, 5.7.1) pour
« universellement caténaire » et « Cohen-Macaulay ». Ajouts manuscrits, d'une
petite main régulière qui n'est pas la sienne : un renvoi « (V …) » inséré
au-dessus de « référence pour » (ligne p. 5, li. 8) ; une accolade qui insère « une
autre lettre, Z par exemple, » dans la remarque sur le Cor. 1.3.3 ; et, en pied,
une ligne ajoutée à la fin de la remarque sur la p. 8, commençant par un mot
biffé, qui donne pour « l'assertion entre parenthèses » la référence (EGA IV
6.3.7). Rien de sa main
même tapuscrit, feuillet paginé « 2 » à la main, non reproduit : pages 9 à
25 de l'exposé (« biéquidimensionnel » et EGA 0_{\mathrm{IV}} 14.3.3, la
fonction de dimension définie par un complexe dualisant, « polynôme numérique »,
formules de changement de base, polynôme de Snapper, l'inégalité \alpha_1 +
\cdots + \alpha_d \leq d dans (4.3.5), l'équivalence numérique et les
homomorphismes \mathrm{Gr}_i(X) \to \mathbb{Z}, \mathrm{Gr}^i(X) \to
\mathbb{Z} définis par le produit d'intersection) ; il s'achève sur « Suggestion
aux §§ 2 et 4 : ajouter en remarque (ou exercice) que », suite page 67. Les
\alpha et les flèches sont tracés à la main par la dactylographe. Aucune marque
manuscrite
feuillet « 3 », non reproduit : fin de la suggestion (2.3.1 et 4.3.1 pour
F parfait résultent de R-R), puis pages 26 à 35 (« commutativement annelé »,
H^0(X,\mathbb{Z}) au lieu de \Gamma(\mathbb{Z}), M =
T(\mathcal{O}^{n_1},\ldots,\mathcal{O}^{n_r}) et la thèse de Giraud,
l'injection canonique \mathrm{Der}(\mathrm{Gl}(n)) \hookrightarrow
\mathrm{Sl}(n), « voisinage étale » au lieu de « voisinage fpqc »). Ajouts de
la même main que page 65 : « ou \Gamma(\mathbb{Z}_X) » inséré au-dessus de la
remarque sur la p. 29, et, à la suite de celle sur la p. 32 : « N'y a-t-il pas
une référence dans Bible ou EGA 3 ? ». Rien de sa main
feuillet « 4 », non reproduit : fin des commentaires de l'exposé (p. 37),
puis « Commentaires Appendice », pages 1 à 10 de l'appendice (preuve de 7.4, le
K^{\cdot} de l'énoncé 7.1, « X_t et X_s réguliers \Rightarrow X
régulier », les flèches du diagramme de 7.3, (7.10.2 bis), références pour
\mathrm{Gr}^{\cdot}_{\mathrm{top}} et la compatibilité aux filtrations, un
diagramme analogue à (7.10.1 bis) avec \mathrm{Gr}^{\cdot}(\ )_{\mathbb{Q}} pour
g projectif d'intersection complète). Aucune marque manuscrite
feuillet « 5 », non reproduit : pages 11 à 17 de l'appendice (K^{\cdot}(T)
et non K_{\cdot}(T), une référence attendue dans l'Exp. V, la spécialisation et
le changement de trait, Krull-Akizuki, les fibres géométriquement régulières d'un
X non plat, et, en 7.13.6, deux formules reliant \psi_i, les classes c^i et
les classes c^i_{\chi}, avec renvoi à (V 6.5.3 et 6.6.4)). Ajouts de la même main que page 65 : « (7.15) »
au bout de la remarque sur la p. 12, li. 6 ; une ligne sur la p. 13, li. 10 du bas
(« (IV 2.12) au lieu de (III 2.12) ») ; une ligne sur la p. 16, li. 8 du bas
(ajouter « (cf. 7.16) » après « on trouve »). Rien de sa main
feuillet « 6 », non reproduit : pages 17 à 25 de l'appendice (XIV 5.1 et
5.2, « linéairement » et « rationnellement », \mathrm{Gr}^{\cdot} \xrightarrow{\sim}
\mathrm{Gr}^{\cdot}_{\mathrm{top}} modulo torsion (VII), SGA 5 IV, EGA IV 2.8,
\dim(Z_s) = \dim(Z_t), EGA II 7.1.9, « essentiellement de type fini » et
« universellement japonais », « dommage qu'on ne donne pas de démonstration »).
Deux traits au crayon dans la marge de gauche, l'un court devant la remarque
« p. 24, li. 3 : supprimer "localement" », l'autre long devant « p. 24, dernière
ligne » ; main non établie. Rien d'autre
feuillet « 7 », dernier, non reproduit : pages 25 à 28 de l'appendice (un
« hint », une caractérisation d'un homomorphisme (7.17.4.1), « dans le
normalisé », et la référence Abhyankar sur la résolution des singularités des
surfaces arithmétiques qui manque à la bibliographie). Ajouts de la même main
que page 65 : une ligne tapée dans l'interligne, « (dans la situation présente,
i.e. S local régulier de pt fermé s) », appelée par une accolade ; un appel
« (1) » et, en pied, la note « (1) Est-ce que 7.2 ne se généralise pas ? ».
Rien de sa main
SGA 7
inscrit au crayon en haut à droite d'une chemise de papier bistre (page
72), qui ne porte rien d'autre ; elle ne reçoit pas de numéro de page. La lettre
à Ferrand qui suit (page 73) concerne pourtant SGA 6
copie dactylographiée, non signée, d'une lettre de lui, sur papier pelure ;
le bord droit est rogné, les lettres perdues sont restituées
Massy le 3.11.1970
Cher Ferrand,
J'aimerais savoir si je peux compter sur ton exposé SGA 6 XI dans un avenir
assez rapproché (disons d'ici fin décembre). Dans le cas contraire, je
pense qu'il serait préférable que je publie SGA 6 sans l'exposé XI. Il serait
quand même raisonnable, après le travail que tu t'es tapé, que tu en
fasses au moins un article d'exposition, et j'aimerais savoir alors où tu penses
le publier, pour que je puisse y référer dans l'introduction à SGA 6.
Bien cordialement
lettre manuscrite de P. Deligne, à l'encre bleue sur papier quadrillé,
« Bures sur Yvette, le 21 octobre 1968 », « Cher Grothendieck », feuillet 1 sur
2, non reproduite. Il montre qu'il n'est pas nécessaire de « faire de savants
recollages de complexes cotangents » pour prouver la proposition : soit X
un espace analytique complexe compact ; pour que X soit un schéma, il faut et
il suffit que X_{\mathrm{red}} le soit. On se ramène au cas d'un Idéal
\mathcal{N} de carré nul définissant X_0 ; avec le complexe cotangent K de
X_0, donné localement dans la catégorie dérivée, il compare les suites exactes
0 \to H^1(X_0, \mathcal{H}om(K,\mathcal{N})) \to E(X_0,\mathcal{N}) \to
H^0(X_0, \mathcal{E}xt^1(K,\mathcal{N})) algébrique et analytique ; par GAGA les
flèches verticales extrêmes sont des isomorphismes, et il reste à montrer que
\mathrm{Im}(\beta) \subset \mathrm{Im}(\alpha). De sa main, au crayon, en haut à
gauche : « Joindre SGA 7 VI App. II ? » (« VI » et « II » surlignés et
soulignés). Voir sa note de la page 76 : « VI appendice : la lettre Deligne 2
pages »
même lettre, feuillet 2, non reproduit : l'élément e de H^0(X_0,
\mathcal{E}xt^1(K,\mathcal{N})) est représenté par des extensions locales
U'_i qui se recollent à isomorphisme près ; l'obstruction à choisir des
isomorphismes \eta_{ij} satisfaisant la condition de cocycle est d_2\eta, où
d_2 : H^0(X_0, \mathcal{E}xt^1(K,\mathcal{N})) \to H^2(X_0,
\mathcal{H}om(K,\mathcal{N})) ; la même construction marche dans le cas
analytique, et l'on conclut par GAGA. « Rmq : idem pour les espaces algébriques,
espaces rigides analytiques, schémas formels », puis une seconde « Rmq »
commencée et biffée. Signé « P. Deligne ». Aucune marque de sa main
à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; « SGA 7 », à gauche, est
entouré d'un tracé léger en forme de goutte. Une accolade réunit les deux
premières lignes, une autre les deux dernières
SGA 7
- VI 1.11 : 1.14 après 1.15–1.22 ? Refaire 1.14 ?le chiffre
romain en tête est surchargé, récrit d'un trait épais sur un premier tracé ;
l'accolade qui le joint à la ligne suivante suggère VI
- VI appendice : la lettre Deligne 2 pagesvoir les pages 74 et 75
- XXI appendice : relations avec torsion en cohomologie cristalline
- XXII (?) Commentaires sur les relations avec coh. cristalline.
faire un exposé XXIII ?dans la marge de gauche, en regard de
l'accolade qui réunit les lignes XXI et XXII
au crayon, en haut d'une feuille blanche
SGA 7 VI App
après 1.2 harmoniser notation L\Omega_{X/k} pour compl.
cot. rel.l'indice de L\Omega, après X/, est une boucle qui
peut être un k ; « cot. » peut se lire « coh. »
mettre bibliographie commune : l'exposé et l'App.« mettre » est repassé
d'un trait plus appuyé
à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS. Le premier bloc, jusqu'au
trait horizontal, est biffé de grandes boucles au crayon
SGA 7 VIII
Faux schémas abéliens (ou motifs mixtes effectifs de poids
1)« motifs » est récrit sur un premier mot
Éléments de N.S. et accoupl. symétriques.
I Le groupe d'inertie I a un p-s-gpe de Sylow infiniinséré
au-dessus de la ligne suivante
cf Serre Corps Coh. galois., p. 144, lemme
4.ligne soulignée d'un trait qui court sous toute la largeur
VI Traiter aussi le « local invariant cycle problem » pour
des H^1 ;
sign. la conjecture de Griffiths en dim. quelc.le
chiffre romain est surchargé, noirci ; « H^1 » est écrit au-dessus des mots
biffés ; la ligne finale est soulignée d'un long trait
à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS : une liste de pages et de
lignes (« l.-n » compte à partir du bas), à gauche ; une liste de la
bibliographie, à droite
SGA 7 IX (iii) l.-5
- 1 l. 5
- 33 l. 10
- 35 l. 5
- 37 l. 8
- 69 l. -3
- 70 l. 2
- 73 l. 12
- 87 l. 6 livre de Gabriel-Demazure
- 124 l. -8le chiffre du milieu peut se lire 7 ;
l'ordre croissant de la liste fait préférer 124
- 128 l. 4, l. -9
- 134 l. 1
- 146 l. 5
- 150 l. -3
- 157 l. 5
- 159 l. 11, l. -7le 5 de 159 est récrit sur un autre chiffre
- 169 l. 4 deux fois
Bibl. ajouter [22 bis] [13] [24]
à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; rien d'autre sur la page
SGA 7 XVIII
- p. 2 1.
- p. 7 l. -7
- p. 8 l. 17
- p. 24 l. 8