Cote n° 37 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Rééditions SGA, EGA [SGA 4 à SGA 7, EGA I et EGA II] : tapuscrits et copies de tapuscrit annoté (s.d.), lettres (1967-1971, s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1967-1971
Édition de démonstration

SGA 6 (suite)

les pages 61 à 71 suivent le feuillet de garde « SGA 6 » (page 55, lot 3) et les notes des pages 56 à 60 ; le titre est repris de ce feuillet

61

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; rien d'autre sur la page

Exp. X Tenir compte conventions de Illusie (faire relire par Berthelot)

62

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS

SGA 6 III 1, p. 15, ajouter en footnote […] que un morphisme plat loc. de prés. finie est parfait, et a fortiori pseudo-cohérent.le « 6 » est cerclé, et écrit d'un trait plus appuyé, peut-être sur un autre chiffre ; « III » est surligné et souligné. Le petit signe biffé est sous « SGA », au début de la deuxième ligne

63

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; une liste de pages, chacune suivie d'un numéro d'exposé entre parenthèses, les parenthèses laissées ouvertes sur un blanc. Rien ne dit à quel tapuscrit elle renvoie

\(\alpha\) AWdeux signes en tête, à gauche de la liste : le premier ressemble à un \(\alpha\) ou à une croix

65premier feuillet (non numéroté) d'un tapuscrit de sept feuillets intitulé « Commentaires Exp. X », non reproduit : remarques d'un lecteur, page et ligne par ligne, sur la frappe d'un exposé X, ici selon toute apparence celui de SGA 6 (voir la page 61 ; il cite par leur seul numéro les exposés IV à VII et XIV, à part SGA 5 et EGA). Ce feuillet porte sur les pages 1 à 8 : références pour \(K_{\cdot}(X)\) (IV 2.2 et 2.4), « \(K^{\cdot}(X)_{\text{naïf}}\) », (VI 3.2) si \(X\) est quasi-compact, la numérotation du Cor. 1.3.3, \(\alpha^{*}(x) \in \mathrm{Filt}^{i}(Z)\), et des références dans EGA IV (3.1.4, 5.6.3, 5.7.1) pour « universellement caténaire » et « Cohen-Macaulay ». Ajouts manuscrits, d'une petite main régulière qui n'est pas la sienne : un renvoi « (V …) » inséré au-dessus de « référence pour » (ligne p. 5, li. 8) ; une accolade qui insère « une autre lettre, Z par exemple, » dans la remarque sur le Cor. 1.3.3 ; et, en pied, une ligne ajoutée à la fin de la remarque sur la p. 8, commençant par un mot biffé, qui donne pour « l'assertion entre parenthèses » la référence (EGA IV 6.3.7). Rien de sa main

66même tapuscrit, feuillet paginé « 2 » à la main, non reproduit : pages 9 à 25 de l'exposé (« biéquidimensionnel » et EGA \(0_{\mathrm{IV}}\) 14.3.3, la fonction de dimension définie par un complexe dualisant, « polynôme numérique », formules de changement de base, polynôme de Snapper, l'inégalité \(\alpha_1 + \cdots + \alpha_d \leq d\) dans (4.3.5), l'équivalence numérique et les homomorphismes \(\mathrm{Gr}_i(X) \to \mathbb{Z}\), \(\mathrm{Gr}^i(X) \to \mathbb{Z}\) définis par le produit d'intersection) ; il s'achève sur « Suggestion aux §§ 2 et 4 : ajouter en remarque (ou exercice) que », suite page 67. Les \(\alpha\) et les flèches sont tracés à la main par la dactylographe. Aucune marque manuscrite

67feuillet « 3 », non reproduit : fin de la suggestion (2.3.1 et 4.3.1 pour \(F\) parfait résultent de R-R), puis pages 26 à 35 (« commutativement annelé », \(H^0(X,\mathbb{Z})\) au lieu de \(\Gamma(\mathbb{Z})\), \(M = T(\mathcal{O}^{n_1},\ldots,\mathcal{O}^{n_r})\) et la thèse de Giraud, l'injection canonique \(\mathrm{Der}(\mathrm{Gl}(n)) \hookrightarrow \mathrm{Sl}(n)\), « voisinage étale » au lieu de « voisinage fpqc »). Ajouts de la même main que page 65 : « ou \(\Gamma(\mathbb{Z}_X)\) » inséré au-dessus de la remarque sur la p. 29, et, à la suite de celle sur la p. 32 : « N'y a-t-il pas une référence dans Bible ou EGA 3 ? ». Rien de sa main

68feuillet « 4 », non reproduit : fin des commentaires de l'exposé (p. 37), puis « Commentaires Appendice », pages 1 à 10 de l'appendice (preuve de 7.4, le \(K^{\cdot}\) de l'énoncé 7.1, « \(X_t\) et \(X_s\) réguliers \(\Rightarrow\) \(X\) régulier », les flèches du diagramme de 7.3, (7.10.2 bis), références pour \(\mathrm{Gr}^{\cdot}_{\mathrm{top}}\) et la compatibilité aux filtrations, un diagramme analogue à (7.10.1 bis) avec \(\mathrm{Gr}^{\cdot}(\ )_{\mathbb{Q}}\) pour \(g\) projectif d'intersection complète). Aucune marque manuscrite

69feuillet « 5 », non reproduit : pages 11 à 17 de l'appendice (\(K^{\cdot}(T)\) et non \(K_{\cdot}(T)\), une référence attendue dans l'Exp. V, la spécialisation et le changement de trait, Krull-Akizuki, les fibres géométriquement régulières d'un \(X\) non plat, et, en 7.13.6, deux formules reliant \(\psi_i\), les classes \(c^i\) et les classes \(c^i_{\chi}\), avec renvoi à (V 6.5.3 et 6.6.4)). Ajouts de la même main que page 65 : « (7.15) » au bout de la remarque sur la p. 12, li. 6 ; une ligne sur la p. 13, li. 10 du bas (« (IV 2.12) au lieu de (III 2.12) ») ; une ligne sur la p. 16, li. 8 du bas (ajouter « (cf. 7.16) » après « on trouve »). Rien de sa main

70feuillet « 6 », non reproduit : pages 17 à 25 de l'appendice (XIV 5.1 et 5.2, « linéairement » et « rationnellement », \(\mathrm{Gr}^{\cdot} \xrightarrow{\sim} \mathrm{Gr}^{\cdot}_{\mathrm{top}}\) modulo torsion (VII), SGA 5 IV, EGA IV 2.8, \(\dim(Z_s) = \dim(Z_t)\), EGA II 7.1.9, « essentiellement de type fini » et « universellement japonais », « dommage qu'on ne donne pas de démonstration »). Deux traits au crayon dans la marge de gauche, l'un court devant la remarque « p. 24, li. 3 : supprimer "localement" », l'autre long devant « p. 24, dernière ligne » ; main non établie. Rien d'autre

71feuillet « 7 », dernier, non reproduit : pages 25 à 28 de l'appendice (un « hint », une caractérisation d'un homomorphisme (7.17.4.1), « dans le normalisé », et la référence Abhyankar sur la résolution des singularités des surfaces arithmétiques qui manque à la bibliographie). Ajouts de la même main que page 65 : une ligne tapée dans l'interligne, « (dans la situation présente, i.e. S local régulier de pt fermé s) », appelée par une accolade ; un appel « (1) » et, en pied, la note « (1) Est-ce que 7.2 ne se généralise pas ? ». Rien de sa main

SGA 7

inscrit au crayon en haut à droite d'une chemise de papier bistre (page 72), qui ne porte rien d'autre ; elle ne reçoit pas de numéro de page. La lettre à Ferrand qui suit (page 73) concerne pourtant SGA 6

73copie dactylographiée, non signée, d'une lettre de lui, sur papier pelure ; le bord droit est rogné, les lettres perdues sont restituées

Massy le 3.11.1970

Cher Ferrand,

J'aimerais savoir si je peux compter sur ton exposé SGA 6 XI dans un avenir assez rapproché (diso[ns] d'ici fin décembre). Dans le cas contraire, je pense qu'il serait préférable que je publie SGA 6 sans l'exposé XI. Il serait quand même raisonnable, aprè[s] le travail que tu t'es tapé, que tu en fasses au moins un article d'exposition, et j'aimerais savoir alors où tu penses le publier, pour que je puisse y référer dans l'introduction à SGA 6.

Bien cordialement

74lettre manuscrite de P. Deligne, à l'encre bleue sur papier quadrillé, « Bures sur Yvette, le 21 octobre 1968 », « Cher Grothendieck », feuillet 1 sur 2, non reproduite. Il montre qu'il n'est pas nécessaire de « faire de savants recollages de complexes cotangents » pour prouver la proposition : soit \(X\) un espace analytique complexe compact ; pour que \(X\) soit un schéma, il faut et il suffit que \(X_{\mathrm{red}}\) le soit. On se ramène au cas d'un Idéal \(\mathcal{N}\) de carré nul définissant \(X_0\) ; avec le complexe cotangent \(K\) de \(X_0\), donné localement dans la catégorie dérivée, il compare les suites exactes \(0 \to H^1(X_0, \mathcal{H}om(K,\mathcal{N})) \to E(X_0,\mathcal{N}) \to H^0(X_0, \mathcal{E}xt^1(K,\mathcal{N}))\) algébrique et analytique ; par GAGA les flèches verticales extrêmes sont des isomorphismes, et il reste à montrer que \(\mathrm{Im}(\beta) \subset \mathrm{Im}(\alpha)\). De sa main, au crayon, en haut à gauche : « Joindre SGA 7 VI App. II ? » (« VI » et « II » surlignés et soulignés). Voir sa note de la page 76 : « VI appendice : la lettre Deligne 2 pages »

75même lettre, feuillet 2, non reproduit : l'élément \(e\) de \(H^0(X_0, \mathcal{E}xt^1(K,\mathcal{N}))\) est représenté par des extensions locales \(U'_i\) qui se recollent à isomorphisme près ; l'obstruction à choisir des isomorphismes \(\eta_{ij}\) satisfaisant la condition de cocycle est \(d_2\eta\), où \(d_2 : H^0(X_0, \mathcal{E}xt^1(K,\mathcal{N})) \to H^2(X_0, \mathcal{H}om(K,\mathcal{N}))\) ; la même construction marche dans le cas analytique, et l'on conclut par GAGA. « Rmq : idem pour les espaces algébriques, espaces rigides analytiques, schémas formels », puis une seconde « Rmq » commencée et biffée. Signé « P. Deligne ». Aucune marque de sa main

76

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; « SGA 7 », à gauche, est entouré d'un tracé léger en forme de goutte. Une accolade réunit les deux premières lignes, une autre les deux dernières

SGA 7

faire un exposé XXIII ?dans la marge de gauche, en regard de l'accolade qui réunit les lignes XXI et XXII

77

au crayon, en haut d'une feuille blanche

SGA 7 VI App

après 1.2 harmoniser notation \(L\Omega_{X/k}\) pour compl. cot. rel.l'indice de \(L\Omega\), après \(X/\), est une boucle qui peut être un \(k\) ; « cot. » peut se lire « coh. »

mettre bibliographie commune : l'exposé et l'App.« mettre » est repassé d'un trait plus appuyé

78

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS. Le premier bloc, jusqu'au trait horizontal, est biffé de grandes boucles au crayon

SGA 7 VIII

Faux schémas abéliens (ou motifs mixtes effectifs de poids 1)« motifs » est récrit sur un premier mot

Éléments de N.S. et accoupl. […] symétriques.

I Le groupe d'inertie I a un ⌜p-s-gpe de Sylow infini⌝inséré au-dessus de la ligne suivante

cf Serre Corps […] Coh. galois., p. 144, lemme 4.ligne soulignée d'un trait qui court sous toute la largeur

VI Traiter aussi le « local invariant cycle problem » pour des […] ⌜\(H^1\)⌝ ; sign. la conjecture de Griffiths en dim. quelc.le chiffre romain est surchargé, noirci ; « \(H^1\) » est écrit au-dessus des mots biffés ; la ligne finale est soulignée d'un long trait

79

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS : une liste de pages et de lignes (« l.\(-n\) » compte à partir du bas), à gauche ; une liste de la bibliographie, à droite

SGA 7 IX (iii) l.\(-5\)

Bibl. ajouter [22 bis] [13] [24]

80

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS ; rien d'autre sur la page

SGA 7 XVIII