Terminologie, notations SGA 4 (suite)
le titre est celui qu'il inscrit en tête du premier feuillet de la liste,
page 40 (lot 2) : « Terminologie, notations SGA 4 Vol. 2 / Attention, faire
deux listes disjointes ! ». La liste, dactylographiée, donne pour chaque
entrée le terme français, le terme anglais et le renvoi (exposé et numéro de
SGA 4) ; on sépare ici les trois colonnes par des tirets. Les notations sont
encore mêlées aux termes : il les entoure au crayon, pour la seconde liste ; on
le signale par « (entouré) ». Les renvois ajoutés au crayon ou à l'encre bleue,
et les deux entrées manuscrites de la page 44, sont donnés en . Les
insertions dactylographiées dans l'interligne, qu'un trait d'encre bleue appelle
à leur place, sont données dans le texte sans marque et signalées. Le \ell de
la machine est rendu \ell ; les signes que la machine n'avait pas
(\mu, \wp, \delta, les accolades de A\{t\}) ont été tracés à la main
dans des blancs
feuillet dactylographié, tête-bêche, portant seulement un premier état,
abandonné, des cinq premières lignes de la liste (page 40) : « (Sch) VII 1.1 »,
« topologie étale (d'un schéma) — étale topology (of a scheme) », « topos
étale (d'un schéma) — étale topos (of a scheme) », « site étale d'un schéma
— étale site of a scheme ». Rien de sa main ; non reproduit
- suite spectrale de descente — spectral sequence of descent — VIII 8.1,
XVII … *astérisque à l'encre bleue dans la marge de gauche ;
le même signe revient devant « morphisme trace » et « morphisme de changement de
base », les trois entrées renvoyant à XVII
- Hochschild-Serre (suite spectrale de —) — VIII 8.4
- \mathbb{P} = ens. des nbs. premiers IX 1.0.à l'encre
bleue, dans un cadre ouvert tracé entre cette ligne et la suivante, avec un trait
qui l'appelle à cette place
- faisceau de torsion, faisceau de p-torsion — torsion sheaf, p-torsion
sheaf — IX 1.1« faisceau de torsion » et « torsion sheaf » sont tapés dans
l'interligne et appelés à l'encre bleue
- faisceau de ind-p-groupes, faisceau de groupes ind-finis — sheaf of
ind-p-groups, sheaf of ind-finite groups — IX 1.5
- localement constant (faisceau —) — locally constant sheaf — IX 2.0
- constructible (faisceau d'ensembles, de groupes, de modules —) —
constructible
- connexe par arcs (schéma —) — arcwise connected scheme — IX 2.12
- Kummer (théorie de —) — IX 3.2
- (entouré) \underline{G}_m, (\underline{G}_m)_X, \mu_n — IX 3.0
- Hilbert (théorème 90 de —) — IX 3.3
- diviseur de Cartier — Cartier divisor — IX 3.4
- Artin-Schreier (théorie de —) — IX 3.5
- (entouré) \wp — IX 3.5
- faisceau gratte-ciel — skyscraper sheaf — IX 4.1
- morphisme trace — trace morphism — VIII 5.1, XVII …
- \ell-dimension cohomologique d'un schéma — \ell-cohomological
dimension of a scheme — X 1« d'un schéma » et « of a scheme » sont tapés
dans l'interligne et appelés à l'encre bleue ; dans la marge de gauche, au
crayon, un « \ell » en regard de cette ligne et de la suivante, pour le signe
de la machine
- (entouré) \mathrm{cd}_{\ell}(X) — X 1 ; \mathrm{cdqc}\,X — X 5.0
- fibration élémentaire — elementary fibration — XI 3.1
- bon voisinage (relativement à S) — nice neighbourhood relative to S
— XI 3.2« XI 3.2 », tapé seul à la ligne suivante, est ramené par
un trait de crayon au bout de cette entrée
- théorème de comparaison — comparison theorem — XI 4.4
- (entouré) X_{c\ell} — XI 4.0
Vol. 2à l'encre bleue, dans la marge de gauche, sous un double
trait qui barre toute la largeur de la page : la coupure entre les volumes
passe devant l'exposé XII
- théorème de changement de base propre — proper base change theorem —
XII 5.1
- morphisme de changement de base — base change morphism — XII 4, XVII
…
- (entouré) \mathrm{Et}(Z) (Z, schéma) — XII 5.9
- Chow (lemme de —) — Chow lemma — XII 7.1
Lemme de Chow
Théorème de finitude — finiteness theorem — XIV 1.1,
a) pour morphisme propre — proper morphism — XIV 1.1 ; b) pour
R^i_{!}f — XVII … ; c) pour un morphisme de type fini de schémas
excellents — XIX 5.1les trois sous-entrées sont encadrées et barrées
d'un zigzag au crayon ; « proper morphism XIV 1.1 » est tapé par-dessus un
premier essai
- (entouré) d(x) \delta(x), \delta(F) (x, point d'un schéma,
F faisceau) — XIV 2\delta(x), \delta(F) à l'encre bleue au-dessus
de d(x) ; « F faisceau » est tapé dans l'interligne
- Lefschetz (théorème de
Lefschetz affine) — affine Lefschetz
theorem — XIV 3.1, XIX 6.1« Lefschetz » est biffé dans la ligne et
récrit au crayon dans la marge de gauche, avec un tiret au-dessus de la place
biffée : l'entrée devient « Lefschetz (théorème de — affine) »
- Morphisme (universellement) n-acyclique (n, entier) — (universally)
n-acyclic morphisme — XV 1.3, 1.7ici et dans les trois entrées
suivantes, « (universellement) » et « (universally) » sont tapés dans l'interligne
et appelés à l'encre bleue ; dans la marge de gauche, entourée à l'encre bleue,
une paire de parenthèses « ( ) »
Morphisme universellement n-acyclique universally acyclic morphism- morphisme (universellement) 1-asphérique — (universally) 1-aspheric
morphism — XV 1.7
morphisme universellement 1-asphérique universally 1-aspheric
morphism- Morphisme (universellement) localement n-acyclique — (universally)
locally n-acyclic morphism — XV 1.11
- morphisme (universellement) localement 1-asphérique — (universally)
locally 1-aspheric morphism — XV 1.11
- (entouré) A\{t\} — XV 2.3
- théorème de changement de base par morphisme lisse — base change theorem
for smooth base change — XVI 1.2
- théorème de spécialisation pour la cohomologie — specialization theorem
for cohomology — XVI 2.2
- théorème de pureté cohomologique relatif — relative purity theorem for
cohomology — XVI 3.6, 3.7
- théorème de pureté cohomologique absolue — absolute purity theorem for
cohomology — XVI 3.9, XIX 1.2, 2.1, 3.2
- couple lisse de schémas relatifs — smooth pair of relative schemes —
XVI 3.1« de schémas relatifs » est tapé dans l'interligne et appelé à
l'encre bleue
- Abhyankar (lemme d'— relatif) — relative Anhyankar's lemma — XVI 3.5
- théorème de comparaison pour les schémas algébriques sur \underline{C}
— comparison theorem for algebraic schemes over \underline{C} — XVI 4.1
théorème de finitude- théorème d'acyclicité locale — local acyclicity theorem — XV 2.1, XIX
4.1
- couple régulier de schémas — regular pair of schemes — XIX 3.1
- théorème de changement de base par morphisme régulier — base change
theorem for regular base change morphism — XIX 4.2
- (entouré) \delta(F,f,y) — XIX 6.0
- formellement séparable (k-algèbre —) — formally separable k-algebra
— XIX 6.7« k- » au crayon, entouré, au-dessus de « algebra » ; sur le
« 7 » final, un chiffre au crayon, 9
- étendue algébrique — VIII 10.2 — algebraic spread
- espace algébrique — VIII 10.4 — algebraic space
les deux dernières entrées sont écrites à la main, à l'encre bleue ; les
renvois VIII 10.2 et VIII 10.4 sont entourés, et un ovale au crayon, prolongé de
deux flèches vers la droite, les enveloppe. Le reste du feuillet est vide
Topos finis : un dictionnaire
notes à l'encre sur le verso de la page 47 (SGA 4 IV 9.1.13, « Questions
ouvertes », sur les sous-topos). Le tiers supérieur est barré de trois longs
traits ; on le donne biffé, en abrégé
E' \rightleftarrows E'' (\varphi'', \varphi') ; \lambda' :
\mathrm{id}_{E'} \to \varphi''\varphi', \lambda'' : \mathrm{id}_{E''} \to
\varphi'\varphi''.
Esp fin \longleftrightarrow ord fin ; Esp fin, topologie opposée ;
espaces topologiques finis \longleftrightarrow ens. préordonnés finis, x \mapsto
x muni rel. spéc., topologie \leftrightarrow ;
\longleftrightarrow ens. ordonnés finis ; ens. ordonnés finis ou
duallecture très incertaine de tout ce bloc, écrit entre les
traits d'annulation
Esp fin \longleftrightarrow préord fin
X = (X, T) \in Esp fin sob \longleftrightarrow ord fin \ni (X,
\omega) = I
X \mapsto \mathrm{Ouv}(X), ens. des ouverts ; Lat fin
\sigma ; E \mapsto \mathrm{Ouv}(E) ; \sigma \mapsto \sigma^{\sim},
top coh ; Top fin spec ; \mathrm{Top}(X, T) ;
E \mapsto \mathrm{Point}(E) ; (X, \omega)^{\wedge} ; ens. des
cribles.
x \leftarrow y : spéc., gén.
ensemble polyèdre schéma simplicial fini (= ens. avec ensemble
filtrant de parties.)
x \leftarrow y x \to y
sur cette moitié de page, des flèches relient les objets entre eux sans
qu'on puisse toujours dire lesquelles ; on ne donne que les étiquettes lisibles,
dans l'ordre de la page
Dictionnaire
titre souligné, dans un grand cadre. Quatre sommets : X (espace fini), I
(ensemble ordonné fini), \sigma (au centre) et E (topos) ; on donne les
flèches une à une, avec leur étiquette
- X \to I : \underline{\mathrm{Point}}(X) ou relation de générisation ;
I \to X : topologie des cribles ;
- X \to \sigma : \mathrm{Ouv}(X) ; \sigma \to X :
\underline{\mathrm{Fib}}(\sigma)^{\circ} ;
- I \to \sigma : \mathrm{Crib}(I) ; \sigma \to I :
\underline{\mathrm{Fib}}(\sigma)^{\circ} ;
- E \to \sigma : \mathrm{Ouv}(E) ; \sigma \to E : \sigma^{\sim} ;
- X \to E : \mathrm{Top}(X) ; E \to X : \mathrm{Point}(E) ;
- I \to E : I^{\wedge} ; E \to I : \underline{\mathrm{Point}}(E) ;
- vers l'extérieur du cadre : de X, « topologie opposée » ; de I, « ens.
ordonné opposé » ; de \sigma, « ens. ord. opposé » ; de E,
entouré : « ? E \mapsto E^{\mathrm{opp}} ? ».
Hors du cadre : x \leftrightarrow y
I^{\wedge} \qquad I^{\vee}
C^{\wedge} et C^{\vee} = C^{\circ\wedge} topos opposé ?
« C^{\wedge} et C^{\vee} = C^{\circ\wedge} » encadré ; « topos opposé ? »
entouré, « opposé » souligné. L'exposant de C^{\circ} est lu sous réserve
feuillet dactylographié, tête-bêche, paginé « 19 » à la main : SGA 4,
exposé IV, 9.1.13 « Questions ouvertes » (questions a) à d) sur le treillis des
sous-topos d'un \mathbb{U}-topos E), texte publié, non reproduit. Il sert de
brouillon à la page 46, écrite au verso. Marques : un long trait vertical au
crayon qui traverse tout le feuillet (annulation) ; un crochet devant « Il est
clair que » ; les \cap et \neq sont tracés à la main dans des blancs de la
machine. Rien d'autre de sa main
à l'encre, sur le verso de la page 49 ; suite de la page 46
I ens. ordonné.
On va interpréter I^{\wedge} comme un \mathrm{Top}(X).
On a I \simeq \mathrm{Top}(X) ; considérons la topologie canonique
\sigma, P. un
crible de I : partie de I telle que pour tout x \in U, les
y \leq x sont dans U. On peut munir I de la topologie définie par cet ens.
de cribles parties (anti-pellicules, la
topologie des cribles). On trouve que
\mathrm{Ouv}(I) \overset{\mathrm{déf}}{=} \mathrm{Crib}(I) \simeq
\mathrm{Ouv}(I^{\wedge}) \quad \text{donc}
I^{\wedge} \simeq \mathrm{Ouv}(I)^{\sim} = \mathrm{Top}(I).
NB La relation y \leq x signifie que y est une générisation de
x (x : une spécialisation).
E a suffisamment de , et est engendré par ses ouverts
\Updownarrow
E est engendré par les objets sous-objets de l'objet final qui sont
connexes, non vides et projectifs.
\Updownarrow
(Ex. E = C^{\wedge}). Tous les morphismes de C sont des monomorphismes.
\Updownarrow
(Ex. E = \mathrm{Top}(X), X sobre). Pour tout x \in X, l'ens. des
générisations de x est un voisinage de x.
les doubles flèches verticales relient, à gauche, les quatre alinéas ; la
première, simple, relie les deux premiers
feuillet dactylographié, tête-bêche, paginé « 6 » à la main, de l'exposé
sur les biextensions de SGA 7 (le texte renvoie à « VII 2.9.4 » ; il s'agit
vraisemblablement de l'exposé VIII de SGA 7 I, publié) : fin de la démonstration
d'une proposition sur le faisceau de Weil sur P \times P', les
\mathrm{Biext}^{i} (i = 0, 1) et la suite exacte 0 \to L \to P \to A \to
0, puis début du « Corollaire 1.8 ». Non reproduit. Marques : un long trait
diagonal au crayon qui traverse le feuillet (annulation) ; au crayon, le « 1 »
de chaque numéro (1.3, 1.5, 1.6, 1.7, (1.7.1), 1.8) est surchargé en « 4 » ; un
trait vertical dans la marge devant le Corollaire. Il sert de brouillon à la page
48, écrite au verso
SGA 5
inscrit au crayon en haut à droite d'une chemise de papier bistre (page 50),
qui ne porte rien d'autre ; elle ne reçoit pas de numéro de page
au crayon, sur un feuillet quadrillé détaché d'un bloc ; ici et dans les pages suivantes, les numéros d'exposé, soulignés par lui, sont en italique
SGA 5 VII th. de Lefschetz faible sans supposer X
et Y lisses (seulement X - Y lisse …)
SGA 5 VI \mathbb{Q}_\ell-faisceaux : signaler
définition raisonnable en termes de champ associéle chiffre romain
est repassé ; on lit VI sous réserve
SGA 5. VIle premier chiffre romain est
noirci, « VI » est écrit dessous et entouré Reprendre en langage de
\mathbb{Z}_\ell-faisceaux et \mathbb{Q}_\ell-faisceaux les notions
essentielles dont il a été question dans SGA 4 (Ajouter nouveau N°).
SGA 5 IV Essayer de faire dans le cas relativement lisse toutes
les constructions essentielles
trait horizontal
VI Systèmes projectifs -adiques (dans les catégories
dérivées … (ou dans thèse)
SGA 5 V dans introduction du Hom ou de l'exposé, signaler l'emploi
des coeff. trop particuliers (\mathbb{Z}_\ell, \mathbb{Z}/\ell^n
\mathbb{Z} …)
trait horizontal
I §5 Donner, si i : y \to X inclusion du pt générique et F_y Module loc.
libre sur y,
D(i_*(F_y)) = i_*(D(F_y))
à l'encre noire, sur une feuille à en-tête de l'Institut des Hautes Études
Scientifiques
SGA 5 XIII
Commentaires sur le cas « cristallin », notamment formules de congruence mod p
ces trois lignes sont tenues par un crochet dans la marge de gauche
IV Faire attention au cas relatif, consulter
VII et SGA 6 X
XIV (Problèmes et Commentaires)
Signaler les variantes mod p et variantes cristallines (cf une
note à propos th. de Katz).
lettre de R. Hartshorne, sur papier à en-tête « Harvard University,
Cambridge, Massachusetts 02138, Department of Mathematics, 2 Divinity Avenue »,
datée « Aug 4, 1969 », en anglais, à l'encre bleue, feuillet 1 sur 2, non
reproduite. Il a lu des notes de l'IHÉS intitulées « Exposé V. Systèmes
projectifs J-adiques, par J.P. Jouanolou » (SGA 5) et demande à quel séminaire
elles appartiennent et s'il en existe une édition plus récente ; il ne comprend
pas la démonstration du « Theorem of Shih », A.3.1 p. 46 (le lemme de la p. 45
ne vaudrait que pour r > p, cf. EGA 0_{\mathrm{III}} 13.5.5.2), ce qui met en
doute A.3.2 p. 47 et la Prop. 5.3.1 p. 40 — difficultés qui disparaîtraient en
travaillant dans pro-A plutôt que dans la catégorie plus fine P_{AR} ;
remarques sur la p. 42, ligne -1 (suite spectrale birégulière pour une
filtration finie) et la p. 47, ligne -1 (hypothèse à énoncer pour n et n+1,
cf. EGA 0_{\mathrm{III}} 11.1.10). De sa main, au crayon, encadré en haut à
droite : « Faire copie pour Jouanolou » ; et un trait vertical au crayon dans la
marge de gauche, en regard du paragraphe qui nomme les notes
même lettre, feuillet 2 (« 2 » en tête, de la main de Hartshorne), non
reproduit : l'hypothèse artinienne de la p. 38 serait inutile si X et Z sont
AR-J-adiques noethériens, avec une démonstration par Artin-Rees dans P_{AR} ;
il y est venu en préparant son article « Affine Duality and Cofiniteness ».
Signé « R. Hartshorne ». Quelques traits au crayon relient les termes des deux
suites exactes ; leur main n'est pas établie. Rien d'autre
SGA 6
inscrit au crayon en haut à droite d'une chemise de papier bistre (page 55),
qui ne porte rien d'autre ; elle ne reçoit pas de numéro de page
au crayon, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS
SGA 6 VI Donner interprétation de la relation entre
« suites multipl. de polynômes » de Hirzebruch, et séries formelles, par
l'opération f * g …
trait horizontal
Introduction, page de garde
Mentionner Serre et Jouanolou sur page de garde ?
au crayon, sur une demi-feuille déchirée
Pour Exp. II, 2.2.6 signaler SGA 2 V 3.5. p. 10.
à l'encre bleue, sur une bande de papier déchirée au pied ; la dernière
ligne est en partie emportée
Posons \bar{i}\,\bar{j} = \tau
Pour tout E \in \mathrm{Ob}\,C, nous allons définir une application
(*) \qquad \tau(E) \times E \xrightarrow{\ \varphi_E\ } E
qui fera de E un objet formellement principal sous l'objet-groupe \tau(E).
Je prends
Si
. \tau(E) = D(J) …
au crayon, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS
SGA 6 VII marquer la formule de self-intersection pour
\mathrm{Gr}(X), \mathrm{Gr}(Y) (après
Peut-être bien dans l'Exp. ?
à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS
SGA 6
Structure additive explicite de l'anneau \mathrm{Gr}(\tilde{X}) \otimes_{\mathbb{Z}}
\mathbb{Q} d'un schéma éclaté …« Gr » est récrit sur un premier mot