Cote n° 37 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Rééditions SGA, EGA [SGA 4 à SGA 7, EGA I et EGA II] : tapuscrits et copies de tapuscrit annoté (s.d.), lettres (1967-1971, s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : 1967-1971
Édition de démonstration

Terminologie, notations SGA 4 (suite)

le titre est celui qu'il inscrit en tête du premier feuillet de la liste, page 40 (lot 2) : « Terminologie, notations SGA 4 Vol. 2 / Attention, faire deux listes disjointes ! ». La liste, dactylographiée, donne pour chaque entrée le terme français, le terme anglais et le renvoi (exposé et numéro de SGA 4) ; on sépare ici les trois colonnes par des tirets. Les notations sont encore mêlées aux termes : il les entoure au crayon, pour la seconde liste ; on le signale par « (entouré) ». Les renvois ajoutés au crayon ou à l'encre bleue, et les deux entrées manuscrites de la page 44, sont donnés en ⌜⌝. Les insertions dactylographiées dans l'interligne, qu'un trait d'encre bleue appelle à leur place, sont données dans le texte sans marque et signalées. Le \(\ell\) de la machine est rendu \(\ell\) ; les signes que la machine n'avait pas (\(\mu\), \(\wp\), \(\delta\), les accolades de \(A\{t\}\)) ont été tracés à la main dans des blancs

41feuillet dactylographié, tête-bêche, portant seulement un premier état, abandonné, des cinq premières lignes de la liste (page 40) : « (Sch) VII 1.1 », « topologie étale (d'un schéma) — étale topology (of a scheme) », « topos étale (d'un schéma) — étale topos (of a scheme) », « site étale d'un schéma — étale site of a scheme ». Rien de sa main ; non reproduit

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• suite spectrale de descente — spectral sequence of descent — VIII 8.1, XVII … \(*\)astérisque à l'encre bleue dans la marge de gauche ; le même signe revient devant « morphisme trace » et « morphisme de changement de base », les trois entrées renvoyant à XVII
• Hochschild-Serre (suite spectrale de —) — VIII 8.4
• ⌜\(\mathbb{P}\) = ens. des nbs. premiers IX 1.0.⌝à l'encre bleue, dans un cadre ouvert tracé entre cette ligne et la suivante, avec un trait qui l'appelle à cette place
• faisceau de torsion, faisceau de \(p\)-torsion — torsion sheaf, \(p\)-torsion sheaf — IX 1.1« faisceau de torsion » et « torsion sheaf » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre bleue
• faisceau de ind-\(p\)-groupes, faisceau de groupes ind-finis — sheaf of ind-\(p\)-groups, sheaf of ind-finite groups — IX 1.5
• localement constant (faisceau —) — locally constant sheaf — IX 2.0
• constructible (faisceau d'ensembles, de groupes, de modules —) — constructible […] sheaf of sets, groups or modules — IX 2.3un mot tapé est noirci à l'encre bleue
• connexe par arcs (schéma —) — arcwise connected scheme — IX 2.12
• Kummer (théorie de —) — IX 3.2
• (entouré) \(\underline{G}_m\), \((\underline{G}_m)_X\), \(\mu_n\) — IX 3.0
• Hilbert (théorème 90 de —) — IX 3.3
• diviseur de Cartier — Cartier divisor — IX 3.4
• Artin-Schreier (théorie de —) — IX 3.5
• (entouré) \(\wp\) — IX 3.5
• faisceau gratte-ciel — skyscraper sheaf — IX 4.1
• morphisme trace — trace morphism — VIII 5.1, XVII …
• \(\ell\)-dimension cohomologique d'un schéma — \(\ell\)-cohomological dimension of a scheme — X 1« d'un schéma » et « of a scheme » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre bleue ; dans la marge de gauche, au crayon, un « \(\ell\) » en regard de cette ligne et de la suivante, pour le signe de la machine
• (entouré) \(\mathrm{cd}_{\ell}(X)\) — X 1 ; \(\mathrm{cdqc}\,X\) — X 5.0
• fibration élémentaire — elementary fibration — XI 3.1
• bon voisinage (relativement à \(S\)) — nice neighbourhood relative to \(S\) — ⌜XI 3.2⌝« XI 3.2 », tapé seul à la ligne suivante, est ramené par un trait de crayon au bout de cette entrée
• théorème de comparaison — comparison theorem — XI 4.4
• (entouré) \(X_{c\ell}\) — XI 4.0

Vol. 2à l'encre bleue, dans la marge de gauche, sous un double trait qui barre toute la largeur de la page : la coupure entre les volumes passe devant l'exposé XII

• théorème de changement de base propre — proper base change theorem — XII 5.1
• morphisme de changement de base — base change morphism — XII 4, XVII …

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• (entouré) \(\mathrm{Et}(Z)\) (\(Z\), schéma) — XII 5.9
• Chow (lemme de —) — Chow lemma — XII 7.1 Lemme de Chow
• Théorème de finitude — finiteness theorem — ⌜XIV 1.1, […], XVII … ; XVI 5.1, 5.2 ; (XIX 5.1⌝renvois ajoutés au crayon au-dessus de la ligne, en remplacement des trois sous-entrées suivantes ; plus haut, en haut à droite, un autre renvoi au crayon dont le chiffre romain est biffé : […] 5.2 a) pour morphisme propre — proper morphism — XIV 1.1 ; b) pour \(R^i_{!}f\) — XVII … ; c) pour un morphisme de type fini de schémas excellents — XIX 5.1les trois sous-entrées sont encadrées et barrées d'un zigzag au crayon ; « proper morphism XIV 1.1 » est tapé par-dessus un premier essai
• (entouré) \(d(x)\) ⌜\(\delta(x)\), \(\delta(F)\)⌝ (\(x\), point d'un schéma, \(F\) faisceau) — XIV 2\(\delta(x)\), \(\delta(F)\) à l'encre bleue au-dessus de \(d(x)\) ; « \(F\) faisceau » est tapé dans l'interligne
• ⌜Lefschetz⌝ (théorème de Lefschetz affine) — affine Lefschetz theorem — XIV 3.1, ⌜XIX 6.1⌝« Lefschetz » est biffé dans la ligne et récrit au crayon dans la marge de gauche, avec un tiret au-dessus de la place biffée : l'entrée devient « Lefschetz (théorème de — affine) »
• Morphisme (universellement) \(n\)-acyclique (\(n\), entier) — (universally) \(n\)-acyclic morphisme — XV 1.3, 1.7ici et dans les trois entrées suivantes, « (universellement) » et « (universally) » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre bleue ; dans la marge de gauche, entourée à l'encre bleue, une paire de parenthèses « ( ) »
• Morphisme universellement n-acyclique universally acyclic morphism
• morphisme (universellement) 1-asphérique — (universally) 1-aspheric morphism — XV 1.7
• morphisme universellement 1-asphérique universally 1-aspheric morphism
• Morphisme (universellement) localement \(n\)-acyclique — (universally) locally \(n\)-acyclic morphism — XV 1.11
• morphisme (universellement) localement 1-asphérique — (universally) locally 1-aspheric morphism — XV 1.11
• (entouré) \(A\{t\}\) — XV 2.3
• théorème de changement de base par morphisme lisse — base change theorem for smooth base change — XVI 1.2
• théorème de spécialisation pour la cohomologie — specialization theorem for cohomology — XVI 2.2
• théorème de pureté cohomologique relatif — relative purity theorem for cohomology — XVI 3.6, ⌜3.7⌝
• théorème de pureté cohomologique absolue — absolute purity theorem for cohomology — XVI 3.9, XIX ⌜1.2, 2.1, 3.2⌝
• couple lisse de schémas relatifs — smooth pair of relative schemes — XVI 3.1« de schémas relatifs » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre bleue
• Abhyankar (lemme d'— relatif) — relative Anhyankar's lemma — XVI 3.5
• théorème de comparaison pour les schémas algébriques sur \(\underline{C}\) — comparison theorem for algebraic schemes over \(\underline{C}\) — XVI 4.1

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• théorème de finitude
• théorème d'acyclicité locale — local acyclicity theorem — XV 2.1, XIX 4.1
• couple régulier de schémas — regular pair of schemes — XIX 3.1
• théorème de changement de base par morphisme régulier — base change theorem for regular base change morphism — XIX 4.2
• (entouré) \(\delta(F,f,y)\) — XIX 6.0
• formellement séparable (\(k\)-algèbre —) — formally separable ⌜\(k\)-⌝algebra — XIX 6.7« \(k\)- » au crayon, entouré, au-dessus de « algebra » ; sur le « 7 » final, un chiffre au crayon, 9
• ⌜étendue algébrique — VIII 10.2 — algebraic spread⌝
• ⌜espace algébrique — VIII 10.4 — algebraic space⌝

les deux dernières entrées sont écrites à la main, à l'encre bleue ; les renvois VIII 10.2 et VIII 10.4 sont entourés, et un ovale au crayon, prolongé de deux flèches vers la droite, les enveloppe. Le reste du feuillet est vide

Topos finis : un dictionnaire

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notes à l'encre sur le verso de la page 47 (SGA 4 IV 9.1.13, « Questions ouvertes », sur les sous-topos). Le tiers supérieur est barré de trois longs traits ; on le donne biffé, en abrégé

\(E' \rightleftarrows E''\) (\(\varphi''\), \(\varphi'\)) ; \(\lambda' : \mathrm{id}_{E'} \to \varphi''\varphi'\), \(\lambda'' : \mathrm{id}_{E''} \to \varphi'\varphi''\).

Esp fin \(\longleftrightarrow\) ord fin ; Esp fin, topologie opposée ; espaces topologiques finis \(\longleftrightarrow\) ens. préordonnés finis, \(x \mapsto x\) muni rel. spéc., topologie \(\leftrightarrow\) […] ; […] \(\longleftrightarrow\) ens. ordonnés finis ; ens. ordonnés finis ou dual[…]lecture très incertaine de tout ce bloc, écrit entre les traits d'annulation

Esp fin \(\longleftrightarrow\) préord fin

\(X = (X, T) \in\) Esp fin sob \(\longleftrightarrow\) ord fin \(\ni (X, \omega) = I\)

\(X \mapsto \mathrm{Ouv}(X)\), ens. des ouverts ; Lat fin […] \(\sigma\) ; \(E \mapsto \mathrm{Ouv}(E)\) ; \(\sigma \mapsto \sigma^{\sim}\), top coh ; Top fin spec[…] ; \(\mathrm{Top}(X, T)\) ; \(E \mapsto \mathrm{Point}(E)\) ; \((X, \omega)^{\wedge}\) ; ens. des cribles.

\(x \leftarrow y\) : spéc., gén.

ensemble polyèdre schéma simplicial ⌜fini⌝ (= ens. avec ensemble filtrant de parties.)

\(x \leftarrow y\) \(x \to y\)

sur cette moitié de page, des flèches relient les objets entre eux sans qu'on puisse toujours dire lesquelles ; on ne donne que les étiquettes lisibles, dans l'ordre de la page

Dictionnaire

titre souligné, dans un grand cadre. Quatre sommets : \(X\) (espace fini), \(I\) (ensemble ordonné fini), \(\sigma\) (au centre) et \(E\) (topos) ; on donne les flèches une à une, avec leur étiquette

• \(X \to I\) : \(\underline{\mathrm{Point}}(X)\) ou relation de générisation ; \(I \to X\) : topologie des cribles ;
• \(X \to \sigma\) : \(\mathrm{Ouv}(X)\) ; \(\sigma \to X\) : \(\underline{\mathrm{Fib}}(\sigma)^{\circ}\) ;
• \(I \to \sigma\) : \(\mathrm{Crib}(I)\) ; \(\sigma \to I\) : \(\underline{\mathrm{Fib}}(\sigma)^{\circ}\) ;
• \(E \to \sigma\) : \(\mathrm{Ouv}(E)\) ; \(\sigma \to E\) : \(\sigma^{\sim}\) ;
• \(X \to E\) : \(\mathrm{Top}(X)\) ; \(E \to X\) : \(\mathrm{Point}(E)\) ;
• \(I \to E\) : \(I^{\wedge}\) ; \(E \to I\) : \(\underline{\mathrm{Point}}(E)\) ;
• vers l'extérieur du cadre : de \(X\), « topologie opposée » ; de \(I\), « ens. ordonné opposé » ; de \(\sigma\), « ens. ord. opposé » ; de \(E\), entouré : « ? \(E \mapsto E^{\mathrm{opp}}\) ? ».

Hors du cadre : \(x \leftrightarrow y\)

\[ I^{\wedge} \qquad I^{\vee} \]

\(C^{\wedge}\) et \(C^{\vee} = C^{\circ\wedge}\) topos opposé ? « \(C^{\wedge}\) et \(C^{\vee} = C^{\circ\wedge}\) » encadré ; « topos opposé ? » entouré, « opposé » souligné. L'exposant de \(C^{\circ}\) est lu sous réserve

47feuillet dactylographié, tête-bêche, paginé « 19 » à la main : SGA 4, exposé IV, 9.1.13 « Questions ouvertes » (questions a) à d) sur le treillis des sous-topos d'un \(\mathbb{U}\)-topos \(E\)), texte publié, non reproduit. Il sert de brouillon à la page 46, écrite au verso. Marques : un long trait vertical au crayon qui traverse tout le feuillet (annulation) ; un crochet devant « Il est clair que » ; les \(\cap\) et \(\neq\) sont tracés à la main dans des blancs de la machine. Rien d'autre de sa main

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à l'encre, sur le verso de la page 49 ; suite de la page 46

\(I\) ens. ordonné.

On va interpréter \(I^{\wedge}\) comme un \(\mathrm{Top}(X)\).

On a \(I \simeq \mathrm{Top}(X)\) ; considérons la topologie canonique \(\sigma\), P. un crible de \(I\) : partie de \(I\) telle que pour tout \(x \in U\), les \(y \leq x\) sont dans \(U\). On peut munir \(I\) de la topologie définie par cet ens. de cribles parties (anti-pellicules[…], la topologie des cribles). On trouve que […] l'on […].le \(\sigma\) après « canonique » est écrit sous « topologie »

\[ \mathrm{Ouv}(I) \overset{\mathrm{déf}}{=} \mathrm{Crib}(I) \simeq \mathrm{Ouv}(I^{\wedge}) \quad \text{donc} \] \[ I^{\wedge} \simeq \mathrm{Ouv}(I)^{\sim} = \mathrm{Top}(I). \]

NB La relation \(y \leq x\) signifie que \(y\) est une générisation de \(x\) (\(x\) : une spécialisation).

\(E\) a suffisamment de […], et est engendré par ses ouverts

\(\Updownarrow\)

\(E\) est engendré par les objets sous-objets de l'objet final qui sont connexes, non vides et projectifs.

\(\Updownarrow\)

(Ex. \(E = C^{\wedge}\)). Tous les morphismes de \(C\) sont des monomorphismes.

\(\Updownarrow\)

(Ex. \(E = \mathrm{Top}(X)\), \(X\) sobre). Pour tout \(x \in X\), l'ens. des générisations de \(x\) est un voisinage de \(x\).

les doubles flèches verticales relient, à gauche, les quatre alinéas ; la première, simple, relie les deux premiers

49feuillet dactylographié, tête-bêche, paginé « 6 » à la main, de l'exposé sur les biextensions de SGA 7 (le texte renvoie à « VII 2.9.4 » ; il s'agit vraisemblablement de l'exposé VIII de SGA 7 I, publié) : fin de la démonstration d'une proposition sur le faisceau de Weil sur \(P \times P'\), les \(\mathrm{Biext}^{i}\) (\(i = 0, 1\)) et la suite exacte \(0 \to L \to P \to A \to 0\), puis début du « Corollaire 1.8 ». Non reproduit. Marques : un long trait diagonal au crayon qui traverse le feuillet (annulation) ; au crayon, le « 1 » de chaque numéro (1.3, 1.5, 1.6, 1.7, (1.7.1), 1.8) est surchargé en « 4 » ; un trait vertical dans la marge devant le Corollaire. Il sert de brouillon à la page 48, écrite au verso

SGA 5

inscrit au crayon en haut à droite d'une chemise de papier bistre (page 50), qui ne porte rien d'autre ; elle ne reçoit pas de numéro de page

51

au crayon, sur un feuillet quadrillé détaché d'un bloc ; ici et dans les pages suivantes, les numéros d'exposé, soulignés par lui, sont en italique

SGA 5 VII th. de Lefschetz faible sans supposer \(X\) et \(Y\) lisses (seulement \(X - Y\) lisse …)

SGA 5 VI \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceaux : signaler définition raisonnable en termes de champ associéle chiffre romain est repassé ; on lit VI sous réserve

SGA 5. […] ⌜VI⌝le premier chiffre romain est noirci, « VI » est écrit dessous et entouré Reprendre en langage de \(\mathbb{Z}_\ell\)-faisceaux et \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceaux les notions essentielles dont il a été question dans SGA 4 (Ajouter nouveau N°).

SGA 5 IV Essayer de faire dans le cas relativement lisse toutes les constructions essentielles

trait horizontal

VI Systèmes projectifs ⌜-adiques⌝ (dans les catégories dérivées … (ou dans thèse)

SGA 5 V dans introduction du Hom ou de l'expo[sé], signaler l'emploi des coeff. trop particuliers (\(\mathbb{Z}_\ell\), \(\mathbb{Z}/\ell^n \mathbb{Z}\) …)

trait horizontal

I §5 Donner, si \(i : y \to X\) inclusion du pt générique et \(F_y\) Module loc. libre sur \(y\), \[ D(i_*(F_y)) = i_*(D(F_y)) \]

52

à l'encre noire, sur une feuille à en-tête de l'Institut des Hautes Études Scientifiques

SGA 5 XIII

Commentaires sur le cas « cristallin », notamment formules de congruence mod \(p\) ces trois lignes sont tenues par un crochet dans la marge de gauche

[…] IV Faire attention au cas relatif, consulter VII et SGA 6 X

XIV (Problèmes et Commentaires)

Signaler les variantes mod \(p\) et variantes cristallines (cf une note à propos th. de Katz).

53lettre de R. Hartshorne, sur papier à en-tête « Harvard University, Cambridge, Massachusetts 02138, Department of Mathematics, 2 Divinity Avenue », datée « Aug 4, 1969 », en anglais, à l'encre bleue, feuillet 1 sur 2, non reproduite. Il a lu des notes de l'IHÉS intitulées « Exposé V. Systèmes projectifs J-adiques, par J.P. Jouanolou » (SGA 5) et demande à quel séminaire elles appartiennent et s'il en existe une édition plus récente ; il ne comprend pas la démonstration du « Theorem of Shih », A.3.1 p. 46 (le lemme de la p. 45 ne vaudrait que pour \(r > p\), cf. EGA \(0_{\mathrm{III}}\) 13.5.5.2), ce qui met en doute A.3.2 p. 47 et la Prop. 5.3.1 p. 40 — difficultés qui disparaîtraient en travaillant dans pro-\(A\) plutôt que dans la catégorie plus fine \(P_{AR}\) ; remarques sur la p. 42, ligne \(-1\) (suite spectrale birégulière pour une filtration finie) et la p. 47, ligne \(-1\) (hypothèse à énoncer pour \(n\) et \(n+1\), cf. EGA \(0_{\mathrm{III}}\) 11.1.10). De sa main, au crayon, encadré en haut à droite : « Faire copie pour Jouanolou » ; et un trait vertical au crayon dans la marge de gauche, en regard du paragraphe qui nomme les notes

54même lettre, feuillet 2 (« 2 » en tête, de la main de Hartshorne), non reproduit : l'hypothèse artinienne de la p. 38 serait inutile si \(X\) et \(Z\) sont AR-\(J\)-adiques noethériens, avec une démonstration par Artin-Rees dans \(P_{AR}\) ; il y est venu en préparant son article « Affine Duality and Cofiniteness ». Signé « R. Hartshorne ». Quelques traits au crayon relient les termes des deux suites exactes ; leur main n'est pas établie. Rien d'autre

SGA 6

inscrit au crayon en haut à droite d'une chemise de papier bistre (page 55), qui ne porte rien d'autre ; elle ne reçoit pas de numéro de page

56

au crayon, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS

SGA 6 VI Donner interprétation de la relation entre « suites multipl. de polynômes » de Hirzebruch, et séries formelles, par l'opération \(f * g\) …

trait horizontal

Introduction, page de garde

Mentionner Serre et Jouanolou sur page de garde ?

57

au crayon, sur une demi-feuille déchirée

Pour Exp. II, ⌜2.2.6⌝ signaler SGA 2 V 3.5. p. 10.

58

à l'encre bleue, sur une bande de papier déchirée au pied ; la dernière ligne est en partie emportée

Posons \(\bar{i}\,\bar{j} = \tau\)

Pour tout \(E \in \mathrm{Ob}\,C\), nous allons définir une application \[ (*) \qquad \tau(E) \times E \xrightarrow{\ \varphi_E\ } E \] qui fera de \(E\) un objet formellement principal sous l'objet-groupe \(\tau(E)\). Je prends ⌜[…]⌝

Si […] […] \(\ldots \to J \to E \xrightarrow{\ \varphi_E\ } B\)l'indice de la flèche est lu sous réserve

[…] […]. \(\tau(E) = D\)[…]\((J)\) …

59

au crayon, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS

SGA 6 VII marquer la formule de self-intersection pour \(\mathrm{Gr}(X)\), \(\mathrm{Gr}(Y)\) (après […] ⌜4.6⌝) le numéro est surchargé ; on lit 4.6 sous réserve

Peut-être bien dans l'Exp. ?

60

à l'encre, sur une feuille à en-tête de l'IHÉS

SGA 6

Structure additive explicite de l'anneau \(\mathrm{Gr}(\tilde{X}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}\) d'un schéma éclaté …« Gr » est récrit sur un premier mot