Fonds Grothendieck, cote n° 37, pages 21–40

Notes pour la réédition de SGA 4

à l'encre bleue, sur papier à en-tête de l'IHES ; écriture rapide

SGA 4 VI

Introduction : signaler « sans doute lié au fait que cond. d'un et un . »

§4 changer E_{/\varphi} en \varphi\backslash E

§3 (?) Changer l'exercice sur les topos finis.

§4 vif au cas mieux dans l'exercice de IV 9.1 ?

§1 1.25 … covariant. Remplacer « \exists sommes » et « » par « \exists\ \varinjlim finies »la ligne insérée au-dessus du mot biffé n'est pas lue

§ , Exercice : \varinjlim topos ( trivialement)

feuillet dactylographié, coté au crayon en haut à gauche « SGA 4 VI 2 » (le chiffre romain encadré). Texte non publié (voir l'en-tête) : on le donne entier. Les mots tapés dans l'interligne sont donnés sans marque ; ses ajouts à l'encre et au crayon sont en . Les biffures faites à la machine ne sont pas relevées

Exercice 2. Soit en C une petite catégorie, (C' une enveloppe de Karoubi de C (IV 7.5 b))). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :« 2 » au crayon dans un blanc de la machine ; « en » à l'encre au-dessus de « Soit » ; « petite » tapé au-dessus d'un mot noirci ; la parenthèse sur C' est écrite à l'encre dans la marge de droite et appelée par un trait après « catégorie, »

(i) La catégorie \mathrm{Ind}(C) (I 8.2) est un \mathbb{U}-topos.

(i bis) Le foncteur canonique \mathrm{Ind}(C) \to \widehat{C} admet un adjoint à droite qui est exact à gauche.

(i ter) Il existe une topologie sur C pour laquelle les faisceaux soient les préfaisceaux ind-représentables.

(ii) Dans C', les limites inductives finies sont représentables, il existe sur C' une topologie dont les familles (X_i \to X)_{i \in I} sont celles qui sont raffinées par une famille épimorphique finiepremier état de (ii), encadré au crayon et barré de quatre traits obliques ; « il existe sur », « une » y sont tapés dans l'interligne

(ii) Il existe une topologie sur C' dont les familles couvrantes sont celles qui sont raffinées par une famille épimorphique (ou encore, épimorphique effective universelle ..) finie, dans C' les limites inductives finies sont représentables, et le foncteur canonique C \to \widetilde{C} y commute.

(iii) (Si dans C les limites projectives finies sont représentables, de sorte qu'on peut prendre C' = C.) Dans C les limites inductives finies sont représentables, et C satisfait la condition ST) de I 8.8 f).x

(iv) Il existe un topos E engendré par sa sous-catégorie pleine E_{PF} ( ), et une équivalence de catégories C' \simeq E_{PF}.xles deux « x » sont au crayon dans la marge de gauche, en regard de « I 8.8 f) » et de la parenthèse laissée vide

De plus, si ces conditions sont satisfaites, la topologie postulée dans (i ter) est nécessairement celle décrite dans (ii), et le topos E postulé dans (iv) est nécessairement équivalent à \mathrm{Ind}(C). Ce topos est donc parfait si et seulement si dans C' ~~est~~ les limites projectives finies sont représentables.« dans » à l'encre au-dessus de la ligne, « est » tapé et barré à l'encre

à l'encre bleu-noir, sur papier à en-tête de l'IHES ; les deux dernières lignes au crayon

SGA 4 VII p. 20 algébrique, cf. fonction (réf)

Ajouter 5.6. (a) \widetilde{X}_{\text{ét}} est localement cohérent (réf) ; il est cohérent (réf) (réf) ssi le schéma X est ~~quasi-compact~~ cohérent i.e. quasi-compact quasi-séparé (resp. quasi-séparé). les « (réf) » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; « algébrique, cf. … (réf) », sur la première ligne, est appelé par un trait

(b) Soit (X_i)_{i \in I} système projectif filtrant à morphismes de transition affines, X = \varprojlim_i X_i (EGA IV 8), Alors \widetilde{X}_{\text{ét}} \simeq \varprojlim_{\text{top}} \widetilde{X}_i . le (b) est entouré au crayon ; l'indice de \varprojlim est lu « top » (limite au sens des topos) sous réserve

Cor. 5.6.1. X' \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Et}(X) est (quasi-compact) dans X_{\text{ét}} ssi X' est q.c. (resp. coh.) (quasi-sép.)la parenthèse « (resp. coh.) » et un mot lu « quasi-sép. » sont entourés ; le second est écrit à gauche, sous la ligne

5.7.

double trait horizontal ; la suite au crayon

SGA 4 IX p. 42 note la p. 8

VII 2.1 c) (p. 9) erroné

à l'encre bleue, sans en-tête ; c'est la note annoncée à la page 23 (« IX p. 42 note … la p. 8 »). Le cadre du haut est un ajout, sans place marquée dans le texte

SGA 4 IX p. 42

nous prouvons en même temps que \widetilde{X}_{\text{ét}} satisfait aux conditions équivalentes de VI 1.25.

(*) (Note pour la page 8.) Prouvons que la notion de constructibilité 2.3 pour un faisceau d'ensembles F coïncide avec celle de VI 1.9.3. ~~Soit~~ La question étant ~~en effet~~ locale sur X, on peut supposer X affine donc « cohérent », i.e. quasi-compact et quasi-séparé. ~~Soit C la catégorie Soit C (C') la sous-catégorie F est constructible~~ ~~Il faut alors prouver que~~ Soit C (resp. C') la sous-catégorie strictement pleine de \widetilde{X}_{\text{ét}} formée des F constructibles au sens de 2.3, (resp. au sens de VI 1.9.3), il faut prouver ~~que C est identique à la catégorie des objets cohérents de \widetilde{X}_{\text{ét}}~~ que C = C'.les ajouts sont écrits dans l'interligne ; plusieurs mots biffés ne se lisent pas

En vertu de VII 5.6 a), l'objet final X de \widetilde{X}_{\text{ét}} de \widetilde{X}_{\text{ét}} (2.5). C' est formé des objets cohérents est cohérent, donc en vertu de VI 1.24, et compte tenu du fait que C est génératrice (2.? (ii)) dans \widetilde{X}_{\text{ét}} (2.7.2) et stable par limites inductives finies, . Mais il résulte de 2.7 que tout il suffit de prouver que C \subset C', F \in \mathrm{Ob}\,C est quasi-compact, puisque un G \in X_{\text{ét}} représentable par un schéma qui est quasi-compact et quasi-séparé est quasi-compact comme objet de \widetilde{X}_{\text{ét}} (VII 5.6.1). F \to F \times \ill{} Comme C est stable par ~~limites projectives~~ produits (2.6 (i)) , l'inclusion C \subset C' est donc un cas particulier de 2.1.ce passage, d'environ seize lignes, est barré de longs traits obliques et, par endroits, de hachures en croix ; on le donne en abrégé, avec ce qui se lit. Dans la marge de gauche, entouré et barré : « par exemple »

En vertu de VI 2.9 b), il suffit de voir que C est stable par limites projectives finies, qu'elle est génératrice, 2.6 (i) et limites inductives finies et formée d'objets quasi-compacts. Compte tenu de 2.6 (i) et (2.7.2), il reste à prouver que tout F \in \mathrm{Ob}\,C est quasi-compact. Or ~~et VI 1.3~~ ~~en vertu de~~ en vertu de 2.7, ~~puisque~~ il existe un G \in \mathrm{Ob}\,X_{\text{ét}} qui est un schéma quasi-compact et quasi-séparé et un épimorphisme G \to F. Or G est un objet quasi-compact de \widetilde{X}_{\text{ét}} (VII 5.6.1), donc F est quasi-compact (VI 1.3), cqfd.l'ordre des premiers mots de cet alinéa, écrits en partie dans l'interligne au-dessus du passage biffé, est incertain ; « 2.6 (i) » y figure deux fois

Bien entendu, il y aurait notamment eu lieu de refondre les §§ 1, 2 du présent exposé, en les rattachant aux notions générales de ~~l'exposé~~ finitude de VI. Nous laissons ce soin de rédaction aux générations futures.« notamment » (lu sous réserve) et « eu » au-dessus de la ligne ; sous « refondre », un mot biffé ; « en les rattachant » appelé par un trait

au crayon ; le verso, dactylographié, transparaît

SGA 4 IV \lbrace Modules plats sur anneau non commutatif, ? ; J ! pour ~~ensembles~~ foncteurs en groupes quelconques )

SGA 4 XVII 4.2.3 attention réf. à V 3.7 (changée ?)

XVIII Théorème de finitude pour faisceaux d'anneaux de torsion quelconque.

Préface à 2ème édition. Signaler autres contributions de Deligne | b) Intégration des torseurs ; a) Trace des torseurs sous conditions inhabituelles

trait horizontal

Que faire avec C.D. de Verdier : inclure ?

trait horizontal

SGA 4 IV Exercices importants ; § 8 | topos locaux, topos pseudoponctuels, topos I^{\wedge}, I un ordonné,

feuillet dactylographié, tête-bêche, paginé « 19 » en haut au centre (un autre nombre au crayon en haut à droite, lu 92) : SGA 7, exposé VII (biextensions), 2.1.1 à 2.2.3 — la biextension comme G_{P \times Q}-torseur E muni de deux lois partielles, les relations (2.1.1.1) et (2.1.1.2), les sections unité e_{E/P}, e_{E/Q} et la section e_E \in \Gamma(E) (2.2.3). Texte publié, non reproduit. Marques : deux longues diagonales au crayon qui annulent le feuillet (il a servi de brouillon) ; dans la marge de gauche, au crayon, un \psi entouré en regard de la ligne où la machine a tapé le second symbole de loi ; une accolade au crayon autour de (2.1.1.2) ; à l'encre bleue, le titre « Sections unité. » ajouté devant 2.2, « De plus, » au-dessus d'un mot biffé devant « Ces deux trivialisations », et « donc » inséré devant « une même section »

au crayon, sur une demi-feuille déchirée

SGA 4 XVI 1 compléter comme dans Giraud

Lettre sur « 2.1.1 », et texte joint

lettre dactylographiée, sans date, sans formule d'appel ni signature sur ce feuillet ; au crayon, en haut à gauche, « SGA 4 XVI ». Les mots tapés dans l'interligne sont donnés sans marque et signalés ; ses ajouts manuscrits sont en . Les biffures à la machine (x) ne sont pas relevées

VII 2

Du point de vue substance, 2.1.1 se ramène trivialement au cas où dans X \to S, X est affine, donc quasi-compact quasi-séparé (on dit maintenant « cohérent »), et alors c'est une conséquence du th. de changement de base par f, qui est donné dans SGA 4 XVI 1.1 et qui est essentiellement. Mais dans loc. cit. on utilise toute la force du théorème de changement de base propre, ce qui est en effet abusif, car en interprétant comme un énoncé d'acyclicité globale 2.1.1, on est ramené comme tu l'observes au cas particulier 2.1.5, qui se ramène trivialement à son tour au cas du corps de degré de transcendance 1, et par là au th. de changement de base pour le H^1 premier à p pour une courbe propre et lisse.« et qui est essentiellement » est tapé dans l'interligne, au-dessus de « Mais dans loc. cit. », sans suite ; « corps de » est tapé dans l'interligne et appelé par un trait d'encre devant « base » : on le place après « au cas du », où il est écrit, sous réserve Je pense présenter les choses ainsi en réédition de SGA 4, de sorte que ton 2.1.1 y sera énoncé en toutes lettres, s'il ne l'est déjà (je n'ai pas les textes en main). Cela te dispensera donc de le prouver, ta seule tâche consistant à interpréter en termes de champs cet énoncé ~~(que tu pourrais donner sous forme de rappels)~~.

Du point de vue rédaction, on a l'impression que tu t'es ingénié à tout présenter à l'envers. Il faut en tous cas bloquer ensemble 2.1.1 et 2.1.7 (pratiquement identiques) et 2.1.5 (celui-ci en corollaire, peut-être) cf texte joint ~~; ce sera dans les rappels. Avant même de donner ces énoncés, il faudra avoir rappelé les définitions, pour que ça ait un sens.~~ Au lieu de pro-lisse resp. lisse, il suffit de supposer tout localement \underline{L}-1-asphérique dans le th. ~~(« par exemple … »)~~. D'autre part, 2.12, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.7.1 n'ont rien à voir avec les schémas, il sont manifestement importants en eux-mêmes et devraient passer dans un numéro à part dans IV 5 ou V (avec un peu d'ordre dans la suite des énoncés).« cf texte joint » est à l'encre au-dessus de la ligne ; le passage biffé l'est à l'encre, encadré et barré de traits obliques. « 1- » (au-dessus de « L- », d'où la lecture « L-1- ») et « dans le th. » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre ; « il suffit de supposer tout localement L-asphérique » est souligné à l'encre. « IV » est repassé à l'encre sur le chiffre tapé, « 5 » barré, « ou V » écrit au-dessus

résultats évidemment la factorisation d'un à l'encre, en travers de la marge de gauche, en regard du paragraphe sur 2.12 … 2.1.7.1

une dernière ligne, « Enfin, les compléments schématiques 2.1.7.2 à 2.1.7.4 … », est entièrement biffée à la machine

le « texte joint » annoncé à la page 29 : même machine, sans pagination. Un trait vertical au crayon longe dans la marge de gauche l'énoncé du théorème et du corollaire. Les renvois numériques entre parenthèses (1.11, 2.1, 1.13, (ii)) sont écrits à la main dans des blancs de la machine

Théorème 2.1.1. Soit f : S' \to S un morphisme universellement localement \underline{L}-1-asphérique (SGA 4 XV 1.11), par exemple (SGA 4 XV 2.1) un morphisme lisse, ou tel que S' soit isomorphe à la limite projective d'un système projectif filtrant de S-schémas lisses S'_i à morphismes de transition affines (SGA 4 XV 1.13 (ii)). Soit en g : X \to S un morphisme de schémas, d'où un carré cartésien« projective » et « filtrant » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre ; « S' » est écrit à l'encre sur une lettre tapée ; « en » est tapé au-dessus de « Soit », sans correction de la suite

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "g"'] & X' \arrow[l, "f'"'] \arrow[d, "g'"] \\ S & S' \arrow[l, "f"] \end{tikzcd}

(V 5 )à l'encre sous le carré, avec deux petits traits contre la flèche g

G un ind-\underline{L}-champ sur X, G' = f'^{*}(G) le champ image inverse sur X'.« ind-L- » est écrit à l'encre au-dessus de « champ » ; la suite tapée de la ligne, « dont les faisceaux d'automorphismes sont des ind-L-faisceaux », est biffée à la machine

a) Si f est un morphisme local de schémas strictement locaux, alors le foncteur G(X) \longrightarrow G'(X') est une équivalence de catégories.

b) Si g est cohérent (i.e. quasi-compact et quasi-séparé) alors le morphisme de champs « de changement de base » f^{*}(g_{*}(G)) \longrightarrow g'_{*}(f'^{*}(G)) est une équivalence de champs sur S'.les étoiles des foncteurs sont à la main ; un mot tapé après la formule est biffé à l'encre

Corollaire 2.1.2. Soient k un corps séparablement clos, k' une extension séparablement close de k, X un k-schéma, X' = X \otimes_k k', alors pour tout ind-\underline{L}-champ G sur X, désignant par G' son image inverse sur X', le foncteur G(X) \longrightarrow G'(X') est une équivalence de catégories.

On sait en effet (SGA 4 XVI ) que \mathrm{Spec}(k') \to \mathrm{Spec}(k) est universellement localement \underline{L}-1-asphérique.

Démonstration. On prouve a) par référence à SGA 4 XVI (nouvelle édition !) et à V —, et b) en se ramenant à a) par des lemmes 2.1.7.2 et 2.1.7.4 renumérotés. En tout, ça devrait faire 3 pages au Chap. VII au maximum, — mais il y aura au Chap. I.la dernière phrase est écrite à l'encre au bout de la ligne et sous elle

Notes pour la réédition de SGA 4 (suite)

sur papier à en-tête de l'IHES ; encre bleu-noir, une ligne à l'encre rouge, la dernière au crayon. Les points repris de la lettre d'Artin (pages 33-34) : XIII 3.1, XIX p. 7 et 18, XII 5.10, IX p. 34

Introduction vider | Bibliographie , mention de C.T.

Artin SGA 4

réf \times [1]

\times p. 7 Début de phrase manque

trait horizontal

XII compléter réf : Giraud

5.10. Compléter par réf. aux travaux récents d'Artin

IX p. 34 réf. th. de Tsencette ligne à l'encre rouge

trait horizontal

XIII 3.1. Supprimer \times noethérien (, p. 13 l. -3 )

trait horizontal ; la suite au crayon

XIX p. 3, 9, 10 p. 7, , 18, 55, 39, 43

lettre dactylographiée en anglais, sans date ni signature sur ce feuillet, de M. Artin (voir la page 34) : réponses à ses questions sur SGA 4. Sur XIII 3.1, Artin accepte l'hypothèse noethérienne si Grothendieck la juge nécessaire ; sur XIX, il accepte de remplacer \mu_n par \mu_n(A) et la suggestion pour p. 7 ligne 2, mais pense que p. 18 ligne -4 doit rester (le cas q = 0 demande un traitement particulier) et devra réfléchir au reste. Non reproduit. Marques : un trait rouge en travers du paragraphe sur XIII 3.1 ; le paragraphe sur XIX entouré d'un cadre à l'encre rouge ; deux traits horizontaux au crayon qui séparent les paragraphes

suite de la même lettre : la référence [1] pour l'exposé X (J. Ax, « Some conjectures of Serre on cohomological dimension », Proc. AMS 16, 1965) ; pour X p. 7, un paragraphe en français à ajouter (le corps résiduel de R' est k, les racines \ell-ièmes de 1 sont dans K, et un diagramme H' \hookrightarrow G' \to \overline{G}, H \hookrightarrow G \to \overline{G}) ; pour XII 5.10, la référence à « my paper on alg. approx », M. Artin, « Algebraic approximation of structures over complete local rings » (à paraître), théorème (3.1) ; pour IX p. 34, des références pour le théorème de Tsen (Douady, Séminaire Bourbaki exposé 189 ; Lang, « Rapport sur la cohomologie des groupes », 1966 ; Tsen, 1933). Non reproduit. Les \ell tracés à la main sont ceux de la machine. Marques : quatre longs traits obliques au crayon et un à l'encre rouge qui traversent le feuillet, deux traits horizontaux au crayon entre les paragraphes. Rien d'écrit de sa main

à l'encre bleue ; les deux premiers alinéas sont annulés au crayon, le premier par trois traits obliques, le deuxième et le début du troisième par de grandes boucles

~~Exposés XI à XIV sont tapés avec des caractères plus gros que le reste du Séminaire.~~

~~Vider (des exposés XVI, XIV …) ?~~

~~VI p. 49, p. 50 univers est non vide ! ; p. 52 vider footnote~~

VIII généralités sur foncteurs fibres : renvoyer à SG IV …

au crayon, sur papier à en-tête de l'IHES

SGA 4 XVIII (Deligne)le nom est entouré, et relié par un trait à « XVIII »

Références pour SGA 5 VII \lbrace Dém. de 3.5.3 ; 1.1 b)

trait horizontal

V dire quelques mots sur relations avec \varprojlim et \varprojlim^{(p)} :

a) Sur un topos de la forme \widehat{C}, les foncteurs H^n sont les \varprojlim^{(n)}_{C}

b) Je plus telles interprétations pour un topos général, puisqu'on est obligé de prendre H^n(\widetilde{E}, F) \simeq \varinjlim_{\mathcal{U} \in R}\ \varprojlim_{\mathcal{U}} \ill{} Si ça marche …le E est écrit sur un C ; après \varprojlim_{\mathcal{U}}, un groupe de signes repassé (« F … / … ») n'est pas lu. La note de droite est séparée par un trait vertical

\mathcal{U} crible variable

On a un recouvrement de l'objet final de \widehat{C} par les objets de C

X \times Ytrès pâle, au bas de la feuille

SGA 4 VIII, § 10

tapuscrit coté au crayon en haut à gauche « SGA 4 VIII » (le chiffre romain surligné) ; section non publiée (voir l'en-tête), donnée entière. Les numéros de renvoi à IV (11, 9) sont écrits au crayon dans des blancs de la machine ; les « x » au crayon de la marge de gauche marquent ces lignes. Les biffures à la machine ne sont pas relevées

10. Compléments : espaces algébriques et étendues algébriques.

Nous donnons sous forme d'exercices quelques compléments, qui ne seront pas utilisés dans la suite du Séminaire.

10.1. Soit (X, \underline{O}_X) un schéma, ~~posons X_{\text{ét}} = \mathrm{Top}(X), de~~ sorte que (\widetilde{X}_{\text{ét}}, \underline{O}_X) est un topos annelé. Montrer qu'on peut reconstruire le schéma X à isomorphique unique près, quand on connait le topos annelé (\widetilde{X}_{\text{et}}, \underline{O}_X) à équivalence près. (Utiliser 6.1 pour reconstituer le topos \mathrm{Top}(X) = \mathrm{Ouv}(\widetilde{X}_{\text{ét}})^{\sim}, puis utiliser IV 4.2.3.) Plus précisément, montrer que si X, X' sont deux schémas, alors l'application naturelle \mathrm{Hom}(X, X') \longrightarrow \mathrm{Homtoplocan}(\widetilde{X}_{\text{ét}}, \widetilde{X}'_{\text{ét}}) (notations de IV 11. ) induit une équivalence entre la catégorie discrète définie par l'ensemble \mathrm{Hom}(X, X') et la catégorie Homtoplocan(\widetilde{X}_{\text{ét}}, \widetilde{X}'_{\text{ét}}) (où pour simplifier on désigne par \widetilde{X}_{\text{ét}} le topos étale de X considéré comme topos annelé). (Utiliser IV 4.2.3.)« posons … de » est barré à l'encre bleue ; dans les deux renvois IV 4.2.3, le « 2 » est à l'encre bleue et le « 3 » au crayon. Un signe au crayon dans la marge de droite, en regard de la seconde parenthèse, n'est pas lu

10.2. Soit (E, \underline{O}_E) un topos annelé. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes (comparer IV 9. ) :

(i) Il existe une famille (X_i)_{i \in I} d'objets de E couvrant l'objet final, et une famille (X'_i)_{i \in I} de schémas, tels que pour tout i \in I, le topos annelé induit E_{/X_i} soit équivalent à \widetilde{X'_i}_{\text{ét}}.

(ii) Comme (i), avec I réduit à un élément.

(iii) Il existe un schéma X_0, et une prérelation d'équivalence X_1 dans X_0 au sens de la catégorie (Sch) des schémas, , telle que R soit étale i.e. le morphisme p_1 : \add{X_1} \to X_0 est étale, et que le topos annelé (E, \underline{O}_E) soit équivalent au topos annelé déduit par recollement du diagramme \frac{1}{2}-simplicial de topos annelés étales associés au diagramme de schémas X_2 \mathrel{\substack{\longrightarrow\\[-2pt] \longrightarrow\\[-2pt] \longrightarrow}} X_1 \rightrightarrows X_0 les deux X_1 sont écrits à l'encre sur un R tapé, et l'indice 0 de X_0 est repassé ; une parenthèse tapée est noircie à l'encre bleue. Les ajouts « …-simplicial » (au-dessus de « de topos annelés »), « étales » et « associés au diagramme de schémas » sont à l'encre bleue ; le premier, petit, est lu « ½-simplicial » (= semi-simplicial) sous réserve. Les trois flèches et les indices du diagramme sont tracés à la main

suite du même tapuscrit

où X_2 = (X_1, p_2) \times_{X_0} (X_1, p_1) (cf. IV 9 pour le procédé de recollement de topos par données de descente).

Lorsque les conditions précédentes sont satisfaites, on dira que le topos annelé (E, \underline{O}_E) est une étendue algébrique (comparer avec la notion d'étendue topologique IV 9. ).

10.3. Montrer qu'une étendue algébrique a suffisamment de points. Une étendue algébrique est localement annelée (IV 11. ), et si E, E' sont deux étendues algébriques, la catégorie Homtoplocan(E, E') (IV 11. ) est un groupoïde (toute flêche est inversible). (Procéder pour le premier point comme dans IV 9. ; pour le deuxième, utiliser IV .)deux « x » au crayon dans la marge en regard de cette dernière ligne

10.4. (Comparer IV 9. ) Soit E une étendue algébrique. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :la parenthèse est à l'encre bleue au-dessus de la ligne, avec un « x » au crayon dans la marge

(i) Pour toute étendue algébrique E', la catégorie Homtoplocan(E', E) est rigide, i.e. (comme c'est un groupoïde) elle est équivalente à une catégorie discrète.

(ii) Même énoncé, E' étant le topos ponctuel annelé par un corps algébriquement clos. En d'autres termes, pour tout point géométrique (IV 11) de E, le groupe des automorphismes de p est le groupe unité.

(iii) (Lorsque E est exprimé en termes d'une prérelation d'équivalence étale X_1 dans un schéma X_0, comme dans 10.2 (iii).) La prérelation d'équivalence (X_1, p_1, p_2) dans le schéma X_0 est une relation d'équivalence, i.e. le morphisme (p_1, p_2) : X_1 \to X_0 \times X_0 est un monomorphisme.« étale » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre bleue

Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit que l'étendue algébrique E est rigide, ou encore que E est un espace algébrique (*).

10.5.numéro tapé seul, entouré au crayon ; le reste du feuillet est vide jusqu'à la note

(*) La terminologie est due à M. ARTIN, qui a mis en évidence l'importance de cette notion en Géométrie Algébrique.note de bas de page écrite à la main, à l'encre, appelée par l'astérisque ajouté après « espace algébrique »

Terminologie, notations SGA 4

Terminologie, notations SGA 4 Vol. 2 Attention, faire deux listes disjointes !à l'encre bleue, en deux lignes, dans un cadre ouvert en haut du feuillet ; le « 2 » est repassé. La liste, dactylographiée, donne pour chaque entrée le terme français, le terme anglais et le renvoi (exposé et numéro de SGA 4), séparés ici par des tirets, comme dans la suite (pages 42-44, lot 3). Les notations, encore mêlées aux termes, sont entourées au crayon pour la seconde liste : on le signale par « (entouré) ». Les biffures à la machine ne sont pas relevées

(entouré) (Sch) — VII 1.1 ; \mathrm{Et}_{/X}, X_{\text{ét}} — VII 1.2un seul ovale au crayon entoure les deux lignes Topologie étale (sur (Sch), sur un schéma) — étale topology (on (Sch), on a scheme) — VII 1.2un trait d'encre bleue relie « on (Sch), » à la fin de l'anglais, tapée à la ligne suivante site étale d'un schéma — étale site of a scheme — VII 1.2 topos étale d'un schéma — étale topos of a scheme — VII 1.2 (entouré) f_{\text{ét}} — VII 1.4le numéro est surchargé à l'encre bleue (un « 4 » sur le dernier chiffre) ; lecture sous réserve point géométrique d'un schéma — geometric point of a scheme — VIII 3.1. foncteur fibre (relatif à un point géométrique d'un schéma) — fiber functor (corresponding to a geometric point of a scheme) — VIII 3.3une lettre tapée après « functor » est barrée à l'encre bleue (entouré) F_{\xi} — VIII 3.3le \xi est tracé à la main hensélien (anneau local —) — henselian local ring — VIII 4.1 hensélisé d'un anneau local — henselization of a local ring — VIII 4.1 strictement local (anneau) — strictly local ring — VIII 4.2 — id. — (schéma) — strictly local scheme — VIII 4.2 anneau strictement local (d'un schéma en un point géométrique) — strictly local ring (of a scheme at a geometric point) — VIII 4.3 hensélisé strict d'un anneau local — strict henselisation of a local ring — VIII 4.4 localisé strict d'un schéma en un point géométrique — strict localization of a scheme at a geometric point — VIII 4.3 flêche de spécialisation — specialization arrow — VIII 7.2« arrow » est tapé au-dessus d'un mot biffé à la machine spécialisation d'un point géométrique — specialization of a geometric point — VIII 7.2un petit trait d'encre sépare « VIII » de « 7.2 », ici et à la ligne suivante générisation d'un point géométrique — generization of a geometric point — VIII 7.2 (entouré) \overline{X}(\xi) (\xi point géométrique du schéma X) — VIII 7.1les deux \xi sont tracés à l'encre bleue Homomorphisme de spécialisation — specialization homomorphism — VIII 7.7 (entouré) \underline{\mathrm{Pt}}(E) — VIII 7.8.