Cote n° 37 · pages 1–99 · Lecture modernisée · Rééditions SGA, EGA [SGA 4 à SGA 7, EGA I et EGA II] : tapuscrits et copies de tapuscrit annoté (s.d.), lettres (1967-1971, s.d.), notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1967-1971
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et ses conventions

Le dossier est rangé par séminaire, sous des chemises de papier bistre inscrites en haut à droite ; ces chemises donnent son fil, et la lecture le suit :

• pages 2 à 4 — la réédition dans son ensemble : ce qui reste à frapper, deux lettres du 3.11.1970 ;
• « SGA 1 », page 6 — la dernière page d'une préface ;
• « SGA 4 », pages 8 à 49 — de loin la plus longue section : l'exercice IV 4.10.6, le sommaire de VI, le plan en trois fascicules, les notes exposé par exposé, un exercice inédit sur \(\mathrm{Ind}(C)\), la lettre sur « 2.1.1 », la réponse d'Artin, un § 10 inédit de VIII sur les étendues algébriques, la liste de terminologie, le dictionnaire des topos finis ;
• « SGA 5 », pages 51 à 54 — notes, et la lettre de Hartshorne ;
• « SGA 6 », pages 56 à 71 — notes, et les commentaires dactylographiés d'un lecteur sur l'exposé X ;
• « SGA 7 », pages 73 à 82 — la lettre à Ferrand (qui concerne en fait SGA 6), la lettre de Deligne de 1968, les appendices prévus ;
• « Réédition EGA I », pages 84 à 97 — la table des matières de la nouvelle édition, et l'échange avec Dieudonné d'août-septembre 1967 ;
• « EGA II », page 99.

Les dates écrites vont du 27.8.1967 au 23.6.1971 ; elles ne suivent pas l'ordre des pages. Plusieurs pièces n'ont pas d'année et leur datation est inférée : les lettres de Verdier « 16 Juillet » (page 8) et « le 28 Mai » (page 13), données pour 1971 parce qu'elles répondent à la lettre du 18.5.1971 ; la lettre sur « 2.1.1 » (pages 29-30) et celle d'Artin (pages 33-34), sans date du tout. Ces doutes sont rappelés là où ils comptent.

Les lettres et textes d'autres personnes — Verdier, Artin, Hartshorne, Deligne, Dieudonné, un lecteur anonyme de SGA 6 — ne sont pas reproduits dans la transcription, qui en donne seulement une notice ; cette lecture n'en dit pas plus que ces notices. Ses lettres à lui sont lues en entier.

Notations : \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\) est le topos étale du schéma \(X\) ; \(\widehat{C}\) la catégorie des préfaisceaux d'ensembles sur une petite catégorie \(C\) (les pages écrivent \(C^{\wedge}\)) ; \(\mathrm{Ouv}(E)\) l'ensemble ordonné des sous-objets de l'objet final d'un topos \(E\) ; \(\mathrm{Ind}(C)\) la catégorie des ind-objets de \(C\). Un renvoi « VI 1.25 » se lit dans le séminaire de la section où l'on se trouve.

Ce que le dossier annonce sans l'établir : la suite (5°) de l'exercice 4.10.6, interrompue ; les démonstrations de l'exercice sur \(\mathrm{Ind}(C)\) et des exercices du § 10 de VIII, seulement énoncés ; et, dans l'échange avec Dieudonné, l'implication a) \(\Rightarrow\) c) de EGA I 10.10.5 sans hypothèse noethérienne, que ni l'un ni l'autre n'arrive à prouver ou à réfuter.

2–4

La réédition dans son ensemble (pages 2 à 4)

Une feuille dactylographiée, sans date ni signature, intitulée « SGA : Manuscripts à frapper », fait l'état des lieux séminaire par séminaire. Pour SGA 4 : la fin de IV, V et la fin de VI par Verdier, VI B et un appendice à XVII par Saint-Donat, les tables et l'index ; pour SGA 5 : IV (rédacteur inconnu), VII par Jouanolou, XI et XII par Bucur, XIV par lui-même ; pour SGA 6 : XI par Ferrand ; pour SGA 7 : des exposés sans rédacteur désigné, V par Mme Raynaud, VI par Rim. Les nombres de pages sont estimés ; un nombre souligné signale un manuscrit disponible, un point d'interrogation un exposé qui ne sera peut-être jamais rédigé.¹ Le total est d'environ 250 pages prêtes, et 200 à venir pour SGA 4, « cela dépendra de Mr. Verdier, qui est à Brandeis cette année ».²

Deux doubles de lettres du 3.11.1970 suivent. À Mme Michon, à l'IHÉS : il manque, parmi les exemplaires d'archives qu'il a emportés, SGA 4 XVII et la première partie de VI, dont il a besoin pour « l'édition photooffset en préparation ». À Deligne : a-t-il fini de lire l'exposé de Rim (SGA 7 VI) ? corrigera-t-il la frappe de son exposé SGA 4 XVIII ? a-t-il des nouvelles de Ferrand pour SGA 6 XI ?

6–6

SGA 1 : la fin d'une préface (page 6)

Sous la chemise « SGA 1 », un seul feuillet tapé, paginé (ix), signé « Massy, Août 1970 » : la dernière page de la préface de la réédition de SGA 1, dans un état antérieur au texte imprimé.³ Il y explique s'être trouvé travailler trois ans dans une institution « alors qu'elle participait à [son] insu à un mode de financement » qu'il juge « profondément immoral et extrêmement dangereux » ; seul de cet avis parmi ses collègues, il quitte l'IHÉS et suspend toute collaboration scientifique avec lui tant qu'il acceptera de telles subventions ; l'IHÉS cessera de diffuser ses textes et le Séminaire, que Springer publiera dans les Lecture Notes, en prenant à sa charge la frappe des exposés nouveaux et manquants. C'est ce qui donne au dossier entier sa raison d'être.

8–16

SGA 4 : l'exercice IV 4.10.6 (pages 8 à 16)

Une correspondance autour d'un exercice faux

Le premier objet de la section SGA 4 est un exercice. La lettre du 3.11.1970 à Verdier (page 15) rappelle ce qui manque pour que SGA 4 soit complet : V, et VI à partir du § 5, que Verdier rédige ; VI B de Saint-Donat, qu'il doit relire ; l'appendice à XVII, que Grothendieck lui envoie. Six mois plus tard, le 18.5.1971 (page 14), la réédition est « bloquée » : il manque les deux appendices de Deligne (« assez de points », « image inverse d'un plat ») et une version corrigée de l'exercice IV 4.10.6, dont il a « entièrement oublié ce qui était canulé ». « C'est un exercice qui sert tout le temps (!), il ne devrait donc pas être question de le vider. Il doit y avoir quelque chose de vrai à mettre à la place du faux … » Le même jour il demande à Verdier de demander à Artin ce qu'il faut faire des exposés postérieurs à VI.

Verdier répond (page 13), d'une lettre que la transcription ne reproduit pas : selon sa notice, les deux appendices iront aux exposés V et VI, une « version non canulée de 4.10.6 » suivra, et il demande une copie de IV §§ 9-13.⁴ Le 23.6.1971 (page 12), l'exercice n'est toujours pas arrivé : la dactylo termine, Springer rend la machine louée, et la publication du fascicule 1 de SGA 4 est remise « sine die ». La nouvelle rédaction arrive enfin avec une lettre de Verdier datée « 16 Juillet », sans année (page 8) ; d'après la notice de la transcription, elle l'envoie avec des broutilles relevées dans IV n°s 9 sqq., et signale qu'il manque le n° 14 ; Grothendieck note en marge « demander à Messing ».⁵ Le tapuscrit joint (pages 9 à 11) est la rédaction de Verdier ; la transcription n'en donne que l'objet — un \(\mathcal{U}\)-site \(S\) de topologie moins fine que la canonique, une partie \(\underline{M}\) de \(\mathrm{Fl}(S)\) soumise à des conditions a) à d), le « petit site » \(S(X)\), les foncteurs \(\mathrm{Res}_X\) et \(\mathrm{Prol}_X\), le plongement du « petit topos » \(S(X)^{\sim}\) dans le « gros topos » \((S_{/X})^{\sim}\), puis l'exercice 4.10.7 —, et il n'en est pas dit plus ici.⁶

Une généralisation, inachevée

Sur papier de l'IHÉS, une page (16) intitulée « Continuation de SGA 4 IV 4.10.6 » commence une généralisation des points 3° et 4° de l'exercice : au lieu du petit site \(S(X) \subset S_{/X}\), une sous-catégorie pleine quelconque. Lue en clair :

Soit \(S_0 \subset S\) une sous-catégorie pleine telle que

(i) si \(u : X \to Y\) est dans \(\underline{M}\) et \(Y \in S_0\), alors \(X \in S_0\) ;

(ii) pour tout \(X \in S\) il existe une famille couvrante \((X_i \to X)\) dont chaque \(X_i\) admet un morphisme vers un objet de \(S_0\).

On munit \(S_0\) de la topologie induite. Le feuillet se propose de prouver qu'une famille de morphismes de \(S_0\) est couvrante dans \(S_0\) si et seulement si elle l'est dans \(S\) — ce qu'il paraphrase en disant que l'inclusion \(S_0 \to S\) est cocontinue —, puis que l'ensemble \(\underline{M}_0\) des \(u : X \to Y\) de \(\underline{M}\) avec \(Y \in S_0\) (donc \(X \in S_0\) par (i)) satisfait dans \(S_0\) les conditions a) à d) de 1°, et enfin de construire, comme au 3°, une restriction \(\mathrm{Res} : S^{\sim} \to S_0^{\sim}\) commutant aux limites inductives et projectives et un prolongement \(\mathrm{Prol} : S_0^{\sim} \to S^{\sim}\) exact et pleinement fidèle. Rien de cela n'est démontré : la feuille s'arrête au milieu de cette dernière phrase.⁷

17–17

SGA 4 : le sommaire de l'exposé VI (page 17)

Un sommaire dactylographié de l'exposé VI, « Conditions de finitude », repris à l'encre, donne l'ordre qu'il voulait :

1. conditions de finitude pour les objets et flèches d'un topos (pages 1 à 19 du tapuscrit) ;
2. pour un topos (20 à 37) ;
3. pour un morphisme de topos (38 à 46) ;
4. pour un topos obtenu par recollement (47 à 65) ;
5. cohomologie d'une limite inductive de faisceaux sur un topos cohérent ;
6. catégories fibrées et limites inductives (rappels) ;
7. sites et topos fibrés ;
8. limites projectives de topos ;
9. cas des limites projectives filtrantes de topos cohérents à morphismes de transition cohérents : passage à la limite en cohomologie ;
10. appendice, par P. Deligne : un topos cohérent a suffisamment de points.⁸

Deux paragraphes dactylographiés, ensuite annulés au crayon, disaient que le n° 4 contiendrait « le sorite des groupes constructibles », des faisceaux de torsion, de la constructibilité pour les Modules et leurs complexes, et que l'auteur pensait le rédiger lui-même « mais ne le garanti[t] pas ». Reste, non barrée, l'annonce que la rédaction des n°s 1 à 3 est complète, à quelques exemples près : un topos localement algébrique non algébrique, et — ajouté au crayon — un topos ayant une famille génératrice d'objets cohérents qui n'est pas localement algébrique.⁹

18–20

SGA 4 : renvois, fascicules, stencils (pages 18 à 20)

Trois pages de travail. La première relève dans le tirage de SGA 4 XVII six renvois à vérifier : à V (pages 75, 170, 175), à \(f_{!}\) pour les ensembles pointés et les faisceaux en groupes (« Consulter Verdier »), à VI B, et à la seconde édition d'EGA II pour le lemme de Chow.

La deuxième est un plan de SGA 4 en trois fascicules, avec un nombre de pages par exposé : le premier (préface, exposés I à IV, tables et index) d'environ 570 pages ; le second, exposés V à XI, de 432 pages (V : 100, VI : 150, VI B : 30, VII : 24, VIII : 46, IX : 42, X : 21, XI : 19 — la somme est exacte) ; le troisième, « Théorèmes de changement de base et de dualité globale », exposés XII à XIX, d'environ 640 pages.¹⁰

La troisième donne des instructions pour un stencil : insérer le texte manquant comme une « p. 83 bis », corriger à la page 85 des \(\mathbb{L}g^{*}\) en \(\mathbb{L}g'^{*}\) et inversement — puis tout est barré : « Le texte oublié a été reporté ici par erreur !!! ». Une addition au crayon, \(210 + 76 + 250 = 536\), est juste.

21–27

SGA 4 : notes exposé par exposé (pages 21 à 27)

Exposé VI

Une liste rapide (page 21) : retoucher l'introduction ; au § 4, remplacer la notation \(E_{/\varphi}\) par \(\varphi\backslash E\) ; changer l'exercice sur les topos finis ; en VI 1.25, remplacer une condition d'existence de sommes par « il existe des limites inductives finies » ; ajouter un exercice sur les limites inductives de topos.¹¹

22–22

Un exercice inédit : quand \(\mathrm{Ind}(C)\) est-il un topos ?

La page 22, cotée au crayon « SGA 4 VI 2 », est un exercice dactylographié qui n'est pas dans l'exposé VI publié.¹² Le voici en clair.

Exercice. Soient \(C\) une petite catégorie et \(C'\) une enveloppe de Karoubi de \(C\) (SGA 4 IV 7.5 b). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) \(\mathrm{Ind}(C)\) est un \(\mathcal{U}\)-topos ;

(i bis) le foncteur canonique \(\mathrm{Ind}(C) \to \widehat{C}\) admet un adjoint à gauche exact à gauche ;¹³

(i ter) il existe une topologie sur \(C\) pour laquelle les faisceaux sont exactement les préfaisceaux ind-représentables ;

(ii) dans \(C'\) les limites inductives finies existent, le foncteur canonique de \(C'\) dans la catégorie des faisceaux y commute, pour la topologie dont les familles couvrantes sont celles qui sont raffinées par une famille finie épimorphique (ou épimorphique effective universelle) ;

(iii) lorsque \(C\) a des limites projectives finies, de sorte qu'on peut prendre \(C' = C\) : \(C\) a des limites inductives finies et satisfait la condition ST) de I 8.8 f) ;

(iv) il existe un topos \(E\) engendré par sa sous-catégorie pleine \(E_{PF}\) et une équivalence \(C' \simeq E_{PF}\).

De plus, la topologie de (i ter) est alors celle de (ii), le topos \(E\) de (iv) est équivalent à \(\mathrm{Ind}(C)\), et ce topos est parfait si et seulement si les limites projectives finies sont représentables dans \(C'\).

Le sens moderne est clair. \(\mathrm{Ind}(C)\) ne dépend que de l'enveloppe de Karoubi — d'où le rôle de \(C'\), et la remarque juste qu'une catégorie à limites projectives finies est déjà karoubienne. La condition (iv) dit que \(\mathrm{Ind}(C)\) est un topos localement de présentation finie : un topos engendré par ses objets de présentation finie, \(C'\) étant précisément la catégorie de ceux-ci, et l'on a alors \(E \simeq \mathrm{Ind}(E_{PF})\). La topologie de (ii) est la topologie « finitaire », celle des topos cohérents.¹⁴

23–24

Exposés VII et IX : la cohérence du topos étale

Page 23, deux ajouts à l'exposé VII :

5.6. (a) Le topos \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\) est localement cohérent ; il est cohérent si et seulement si le schéma \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé.¹⁵

(b) Si \((X_i)_{i \in I}\) est un système projectif filtrant de schémas à morphismes de transition affines et \(X = \varprojlim X_i\) (EGA IV 8), alors \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\) est la limite projective, au sens des topos, des \(\widetilde{X_i}_{\text{ét}}\).¹⁶

Corollaire 5.6.1. Un objet \(X'\) de \(\mathrm{Et}(X)\) est quasi-compact (resp. cohérent) dans \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\) si et seulement si le schéma \(X'\) est quasi-compact (resp. quasi-compact et quasi-séparé).¹⁷

Ces énoncés servent aussitôt. La page 24 est la note annoncée pour la page 8 de l'exposé IX : elle prouve que la notion de faisceau d'ensembles constructible de IX 2.3 coïncide avec la notion de finitude de VI 1.9.3, et du même coup que \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\) satisfait aux conditions équivalentes de VI 1.25. L'argument, une fois la page débarrassée d'un premier essai qu'il a barré, est le suivant.¹⁸ La question est locale ; on suppose \(X\) affine, donc cohérent. Soient \(C\) et \(C'\) les sous-catégories strictement pleines de \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\) formées des faisceaux constructibles au sens de IX 2.3 et au sens de VI 1.9.3 ; il s'agit de montrer \(C = C'\). Par VI 2.9 b), il suffit que \(C\) soit stable par limites projectives et inductives finies, génératrice, et formée d'objets quasi-compacts ; les deux premiers points sont IX 2.6 (i) et 2.7.2. Reste la quasi-compacité : par IX 2.7, tout \(F \in C\) est quotient d'un \(G\) représentable par un schéma quasi-compact et quasi-séparé ; \(G\) est quasi-compact dans le topos par 5.6.1 ci-dessus, et un quotient d'un objet quasi-compact l'est encore (VI 1.3).

Il ajoute : « Bien entendu, il y aurait eu lieu de refondre les §§ 1, 2 du présent exposé, en les rattachant aux notions générales de finitude de VI. Nous laissons ce soin de rédaction aux générations futures. »

25–27

Les autres exposés

Une page au crayon (25) note : pour IV, les modules plats sur un anneau non commutatif et \(f_{!}\) pour des foncteurs en groupes ; pour XVII 4.2.3, un renvoi à V 3.7 peut-être changé ; pour XVIII, un théorème de finitude pour les faisceaux d'anneaux de torsion quelconques ; une préface à la seconde édition qui signale les autres contributions de Deligne (intégration et trace des torseurs) ; « Que faire avec C.D. de Verdier : inclure ? » ; et pour IV § 8, des exercices importants : topos locaux, pseudo-ponctuels, \(\widehat{I}\) pour \(I\) ordonné.¹⁹ Une demi-feuille (27) : compléter XVI 1 « comme dans Giraud ». Entre les deux, un feuillet tapé de SGA 7 VII (les biextensions, 2.1.1 à 2.2.3), texte publié, a servi de brouillon et porte quelques retouches à l'encre (page 26).

29–30

Une lettre sur « 2.1.1 » : le changement de base lisse pour les champs (pages 29 et 30)

Une lettre dactylographiée, sans date, sans formule d'appel ni signature, s'adresse à quelqu'un qu'il tutoie et dont le texte, divisé en chapitres, contient un énoncé « 2.1.1 » sur les champs.²⁰ Sur le fond, dit-il, 2.1.1 se ramène au cas où \(X\) est affine, et c'est alors une conséquence du théorème de changement de base de SGA 4 XVI 1.1 ; mais utiliser là toute la force du changement de base propre est « abusif » : interprété comme un énoncé d'acyclicité globale, 2.1.1 se ramène au cas particulier 2.1.5, puis au cas d'un corps de degré de transcendance 1, et par là au changement de base pour le \(H^1\) premier à \(p\) d'une courbe propre et lisse. Il propose de l'énoncer en toutes lettres dans la réédition de SGA 4, ce qui dispensera le correspondant de le prouver ; sur la rédaction, il lui reproche d'avoir « tout présent[é] à l'envers », demande de regrouper 2.1.1, 2.1.7 et 2.1.5, de remplacer « pro-lisse resp. lisse » par « localement \(L\)-1-asphérique », et de reporter en IV ou V les énoncés 2.12, 2.1.3, 2.1.4, 2.1.7.1, qui « n'ont rien à voir avec les schémas ».

Le texte joint (page 30) est l'énoncé qu'il propose. Les hypothèses que la page laisse implicites sont rétablies.²¹

Théorème 2.1.1. Soit \(L\) un ensemble de nombres premiers inversibles sur \(S\), et \(f : S' \to S\) un morphisme universellement localement \(L\)-1-asphérique (SGA 4 XV 1.11) — par exemple un morphisme lisse (XV 2.1), ou un morphisme tel que \(S'\) soit limite projective d'un système projectif filtrant de \(S\)-schémas lisses à morphismes de transition affines (XV 1.13 (ii)). Soient \(g : X \to S\) un morphisme de schémas, le carré cartésien

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "g"'] & X' \arrow[l, "f'"'] \arrow[d, "g'"] \\
S & S' \arrow[l, "f"]
\end{tikzcd}

\(G\) un ind-\(L\)-champ sur \(X\) et \(G' = f'^{*}G\) son image inverse sur \(X'\).

a) Si \(f\) est un morphisme local de schémas strictement locaux, le foncteur \(G(X) \to G'(X')\) est une équivalence de catégories.

b) Si \(g\) est cohérent (quasi-compact et quasi-séparé), le morphisme de changement de base \(f^{*}g_{*}G \to g'_{*}f'^{*}G\) est une équivalence de champs sur \(S'\).

Corollaire 2.1.2. Soient \(k\) un corps séparablement clos, \(k'\) une extension séparablement close de \(k\), \(L\) un ensemble de nombres premiers distincts de la caractéristique, \(X\) un \(k\)-schéma et \(X' = X \otimes_k k'\). Pour tout ind-\(L\)-champ \(G\) sur \(X\), d'image inverse \(G'\) sur \(X'\), le foncteur \(G(X) \to G'(X')\) est une équivalence de catégories — car \(\mathrm{Spec}(k') \to \mathrm{Spec}(k)\) est universellement localement \(L\)-1-asphérique (renvoi à SGA 4 XVI laissé en blanc).

La démonstration est esquissée : a) par SGA 4 XVI, « nouvelle édition ! », et V ; b) en se ramenant à a) par les lemmes 2.1.7.2 et 2.1.7.4 renumérotés. « En tout, ça devrait faire 3 pages au Chap. VII au maximum. »

C'est le théorème de changement de base lisse en degrés \(\le 1\), pour des coefficients non commutatifs : sur un champ en groupoïdes, l'énoncé couvre à la fois les sections (\(H^0\)) et les torseurs (\(H^1\) non abélien au sens de Giraud).²²

32–35

Les réponses d'Artin, et d'autres notes (pages 32 à 35)

Une lettre d'Artin en anglais (pages 33-34), sans date ni signature sur les feuillets, répond à ses questions sur les exposés XIII, XIX, X, XII et IX de SGA 4 ; la transcription ne la reproduit pas. D'après sa notice, Artin accepte l'hypothèse noethérienne en XIII 3.1 si Grothendieck la juge nécessaire, accepte des retouches dans XIX, et fournit des références : Ax pour X, son article « Algebraic approximation of structures over complete local rings » pour XII 5.10, et des références pour le théorème de Tsen en IX.²³ La page 32, de sa main, en tire la liste : compléter des références (Giraud pour XII, les travaux récents d'Artin pour XII 5.10, le théorème de Tsen pour IX p. 34), revoir l'hypothèse noethérienne de XIII 3.1, des pages de XIX.

La page 35 ajoute, pour VIII, qu'il faut renvoyer à IV pour les généralités sur les foncteurs fibres ; elle note aussi, avant de le barrer, qu'un univers est « non vide ! ».

37–37

Cohomologie d'un topos de préfaisceaux (page 37)

Une page au crayon, entre des notes sur SGA 4 XVIII (Deligne) et SGA 5 VII, propose d'ajouter à l'exposé V quelques mots sur les foncteurs dérivés de la limite projective.

a) Sur un topos de préfaisceaux \(\widehat{C}\), la cohomologie est celle de la catégorie : pour un préfaisceau abélien \(F\), \[ H^n(\widehat{C}, F) \simeq \varprojlim\nolimits^{(n)}_{C^{\circ}} F , \] les foncteurs dérivés de la limite projective sur \(C^{\circ}\).²⁴

b) Pour un topos général, il cherche une formule de type Čech : \[ H^n(\widetilde{E}, F) \simeq \varinjlim_{\mathcal{U}}\ \varprojlim\nolimits^{(n)}_{\mathcal{U}}\, F , \] la limite inductive portant sur les cribles couvrants \(\mathcal{U}\) — en marge : « Si ça marche … ».²⁵

38–39

SGA 4 VIII § 10 : étendues algébriques et espaces algébriques (pages 38 et 39)

Un tapuscrit coté « SGA 4 VIII » porte un § 10 qui n'est ni dans l'exposé publié ni dans le tirage original de l'IHÉS.²⁶ Il est annoncé comme une suite d'exercices « qui ne seront pas utilisés dans la suite du Séminaire ». Les renvois à IV y sont pour la plupart laissés en blanc.

10.1. Un schéma \(X\) se reconstruit, à isomorphisme unique près, à partir du topos annelé \((\widetilde{X}_{\text{ét}}, \mathcal{O}_X)\) connu à équivalence près. Les sous-objets de l'objet final du topos étale sont les ouverts de \(X\), d'où l'espace sous-jacent, \(\mathrm{Top}(X) \simeq \mathrm{Ouv}(\widetilde{X}_{\text{ét}})^{\sim}\) (VIII 6.1) ; on conclut par IV 4.2.3. Plus précisément, pour deux schémas \(X\), \(X'\), l'application \(\mathrm{Hom}(X, X') \to \mathrm{Homtoplocan}(\widetilde{X}_{\text{ét}}, \widetilde{X}'_{\text{ét}})\) est une équivalence de la catégorie discrète \(\mathrm{Hom}(X, X')\) sur la catégorie des morphismes de topos localement annelés.²⁷

10.2. Pour un topos annelé \((E, \mathcal{O}_E)\), les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) il existe une famille \((X_i)\) d'objets de \(E\) couvrant l'objet final et des schémas \(X'_i\) tels que chaque topos annelé induit \(E_{/X_i}\) soit équivalent à \(\widetilde{X'_i}_{\text{ét}}\) ;

(ii) de même, avec une famille réduite à un seul objet ;

(iii) il existe un schéma \(X_0\) et une prérelation d'équivalence \(X_1 \rightrightarrows X_0\) dans la catégorie des schémas, à projection \(p_1 : X_1 \to X_0\) étale, telle que \((E, \mathcal{O}_E)\) soit équivalent au topos annelé obtenu par recollement (descente, IV 9) du diagramme semi-simplicial des topos étales annelés de \[ X_2 \mathrel{\substack{\longrightarrow\\[-2pt] \longrightarrow\\[-2pt] \longrightarrow}} X_1 \rightrightarrows X_0 , \qquad X_2 = (X_1, p_2) \times_{X_0} (X_1, p_1) . \]

On dit alors que \((E, \mathcal{O}_E)\) est une étendue algébrique — l'analogue des étendues topologiques de IV 9.²⁸

10.3. Une étendue algébrique a suffisamment de points ; elle est localement annelée, et pour deux étendues algébriques \(E\), \(E'\), la catégorie \(\mathrm{Homtoplocan}(E, E')\) est un groupoïde.

10.4. Pour une étendue algébrique \(E\), les conditions suivantes sont équivalentes : (i) pour toute étendue algébrique \(E'\), \(\mathrm{Homtoplocan}(E', E)\) est rigide, c'est-à-dire équivalente à une catégorie discrète ; (ii) le groupe des automorphismes de tout point géométrique de \(E\) est trivial ; (iii) dans une présentation comme en 10.2 (iii), \((p_1, p_2) : X_1 \to X_0 \times X_0\) est un monomorphisme, c'est-à-dire que \(X_1\) est une relation d'équivalence étale.

On dit alors que \(E\) est rigide, ou que c'est un espace algébrique — avec une note de sa main : « La terminologie est due à M. ARTIN, qui a mis en évidence l'importance de cette notion en Géométrie Algébrique. » Le numéro 10.5 est tapé, et rien ne suit.

Ces pages disent, dans le langage des topos, ce que l'on dit aujourd'hui avec des champs. Une étendue algébrique est la donnée d'un groupoïde étale de schémas vu à travers son topos étale annelé — ce qu'on appelle un champ de Deligne–Mumford ; 10.3 est le fait que les morphismes de tels champs forment des groupoïdes, et 10.4 le critère selon lequel un champ de Deligne–Mumford à inertie triviale est un espace algébrique, quotient d'un schéma par une relation d'équivalence étale.²⁹

40–44

La terminologie de SGA 4 (pages 40 à 44)

Une liste dactylographiée, bilingue, donne pour chaque terme de SGA 4 (de VII 1.1 à XIX 6.7) son équivalent anglais et son renvoi : site et topos étale, point géométrique, foncteur fibre, anneau hensélien et strictement local, spécialisation et générisation, suite spectrale de Hochschild–Serre, faisceaux de torsion et constructibles, Kummer, Hilbert 90, Artin–Schreier, \(\ell\)-dimension cohomologique, fibration élémentaire, changement de base propre et lisse, lemme de Chow, théorème de finitude, Lefschetz affine, morphismes universellement localement \(n\)-acycliques et 1-asphériques, pureté cohomologique relative et absolue, lemme d'Abhyankar, acyclicité locale, changement de base par morphisme régulier. En tête, de sa main : « Attention, faire deux listes disjointes ! » — les notations, encore mêlées aux termes, sont entourées au crayon pour une seconde liste. Une coupure « Vol. 2 » passe devant l'exposé XII ; deux entrées manuscrites terminent la liste : étendue algébrique (« algebraic spread ») et espace algébrique, renvoyant au § 10 de VIII qu'on vient de lire.³⁰

46–49

Topos finis : un dictionnaire (pages 46 à 49)

Au verso de deux feuillets tapés de SGA 4 et de SGA 7, une suite de notes³¹ compare quatre sortes d'objets finis : un espace topologique fini sobre \(X\), un ensemble ordonné fini \(I\), un treillis fini \(\sigma\) (les ouverts), et un topos \(E\). Le tiers supérieur de la page 46, barré, contient un premier essai ; le reste est un « Dictionnaire » encadré, dont les flèches se lisent ainsi :

• \(X \mapsto I\) : l'ensemble des points ordonné par générisation ; \(I \mapsto X\) : \(I\) muni de la topologie dont les ouverts sont les cribles ;
• \(X \mapsto \sigma = \mathrm{Ouv}(X)\) ; \(I \mapsto \sigma = \mathrm{Crib}(I)\), et en sens inverse un foncteur \(\sigma \mapsto\) (ses « fibres », lecture incertaine) ;
• \(E \mapsto \mathrm{Ouv}(E)\) ; \(\sigma \mapsto \sigma^{\sim}\), le topos des faisceaux sur le treillis ;
• \(X \mapsto \mathrm{Top}(X)\) ; \(E \mapsto \mathrm{Point}(E)\) ;
• \(I \mapsto \widehat{I}\) ; \(E \mapsto \underline{\mathrm{Point}}(E)\), la catégorie des points.

Ce sont les dualités classiques du cas fini : les espaces finis sobres (c'est-à-dire \(T_0\)) correspondent aux ensembles ordonnés finis ; un treillis distributif fini est le treillis des cribles de l'ensemble ordonné de ses éléments premiers (dualité de Birkhoff) ; et tous ces objets ont le même topos.³² Chaque type a une opération « opposée » — topologie opposée, ordre opposé —, et la page demande, entouré : « ? \(E \mapsto E^{\mathrm{opp}}\) ? ». En dessous, \(\widehat{C}\) et \(C^{\vee} = \widehat{C^{\circ}}\), « topos opposé ? ».³³

La page 48 précise le lien entre \(I\) et son topos. Pour un ensemble ordonné \(I\), un crible est une partie \(U\) telle que \(x \in U\) et \(y \le x\) entraînent \(y \in U\). Les cribles sont les ouverts d'une topologie sur \(I\) ; ce sont aussi les sous-objets de l'objet final de \(\widehat{I}\), de sorte que \[ \mathrm{Ouv}(I) = \mathrm{Crib}(I) \simeq \mathrm{Ouv}(\widehat{I}) , \qquad\text{d'où}\qquad \widehat{I} \simeq \mathrm{Ouv}(I)^{\sim} = \mathrm{Top}(I) . \] Pour cette topologie, \(y \le x\) signifie que \(y\) est une générisation de \(x\). ³⁴

Suit une caractérisation des topos de cette forme, en quatre lignes reliées par des doubles flèches. Ce qui est juste est ceci : pour un topos \(E\), les conditions suivantes sont équivalentes : \(E\) est engendré par des sous-objets de l'objet final connexes, non vides et projectifs ; \(E\) est équivalent à \(\widehat{I}\) pour un ensemble ordonné \(I\). Pour \(E = \widehat{C}\), cela revient à dire que \(C\) est un préordre (deux flèches de même source et de même but sont égales) ; pour \(E = \mathrm{Top}(X)\) avec \(X\) sobre, que l'ensemble des générisations de tout point \(x\) est un voisinage de \(x\) — c'est-à-dire que \(X\) est un espace d'Alexandrov.³⁵

51–54

SGA 5 (pages 51 à 54)

Des notes pour SGA 5 (pages 51-52) : en VII, le théorème de Lefschetz faible sans supposer \(X\) et \(Y\) lisses, seulement \(X - Y\) ; en VI, une définition raisonnable des \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceaux en termes de champ associé, et un nouveau numéro reprenant en langage de \(\mathbb{Z}_\ell\)- et \(\mathbb{Q}_\ell\)-faisceaux les notions de SGA 4 ; en IV, faire dans le cas relativement lisse toutes les constructions essentielles ; en V, signaler l'emploi de coefficients trop particuliers ; en XIII et XIV, commenter le cas cristallin, les formules de congruence mod \(p\), et les variantes cristallines à propos d'un théorème de Katz.³⁶ Et, pour I § 5 : si \(i : y \to X\) est l'inclusion du point générique et \(F_y\) un Module localement libre sur \(y\), donner \[ D(i_{*}F_y) = i_{*}D(F_y) . \] ³⁷

Une lettre de R. Hartshorne, datée « Aug 4, 1969 » (pages 53-54), n'est pas reproduite. D'après la notice de la transcription, il y demande à quel séminaire appartiennent les notes de Jouanolou « Systèmes projectifs \(J\)-adiques », exprime un doute sur la démonstration du « théorème de Shih » qu'elles contiennent, et explique pourquoi une hypothèse artinienne y serait inutile. Grothendieck a écrit en tête, au crayon : « Faire copie pour Jouanolou ».

56–71

SGA 6 (pages 56 à 71)

Notes

Les notes pour SGA 6 sont courtes (pages 56 à 63) : donner en VI l'interprétation des « suites multiplicatives de polynômes » de Hirzebruch par une opération \(f * g\) sur les séries formelles ; mentionner Serre et Jouanolou sur la page de garde ; signaler SGA 2 V 3.5 en II 2.2.6 ; en VII, écrire la formule d'auto-intersection pour \(\mathrm{Gr}(X)\) et \(\mathrm{Gr}(Y)\) après 4.6 ; donner la structure additive explicite de \(\mathrm{Gr}(\widetilde{X}) \otimes \mathbb{Q}\) pour un schéma éclaté ;³⁸ en X, tenir compte des conventions d'Illusie et faire relire par Berthelot ; et en III 1, ajouter une note : un morphisme plat localement de présentation finie est parfait, a fortiori pseudo-cohérent.³⁹ La page 63 est une liste de pages d'un tapuscrit avec un numéro d'exposé (IV ou IX) dont l'objet n'est pas dit.

Une bande déchirée (page 58) commence une construction sans contexte : posant \(\bar{\imath}\,\bar{\jmath} = \tau\), définir pour tout objet \(E\) d'une catégorie \(C\) une action \(\tau(E) \times E \to E\) qui fasse de \(E\) un objet formellement principal homogène sous l'objet-groupe \(\tau(E)\) ; la suite est emportée.⁴⁰

65–71

Commentaires d'un lecteur sur l'exposé X

Sept feuillets dactylographiés (pages 65 à 71), « Commentaires Exp. X » et « Commentaires Appendice », sont les remarques ligne à ligne d'un lecteur non identifié sur la frappe d'un exposé X, selon toute apparence celui de SGA 6, et de son appendice. Ce n'est pas un texte de Grothendieck ; la transcription ne le reproduit pas, et rien n'y est de sa main.

73–82

SGA 7 (pages 73 à 82)

Sous la chemise « SGA 7 » vient d'abord une lettre qui concerne SGA 6 : à Ferrand, le 3.11.1970 (page 73), il demande s'il peut compter sur l'exposé SGA 6 XI « d'ici fin décembre » ; sinon, il publiera SGA 6 sans lui, et souhaite que Ferrand en fasse au moins un article d'exposition, « après le travail que tu t'es tapé », pour pouvoir y renvoyer dans l'introduction.

Une lettre de P. Deligne, « Bures sur Yvette, le 21 octobre 1968 » (pages 74-75), n'est pas reproduite. D'après la notice de la transcription, elle montre, sans « savants recollages de complexes cotangents », qu'un espace analytique complexe compact \(X\) est un schéma si et seulement si \(X_{\mathrm{red}}\) en est un, à l'aide du complexe cotangent et de GAGA.⁴¹ Il a noté en tête : « Joindre SGA 7 VI App. II ? », et sa page 76 prévoit en effet pour VI un « appendice : la lettre Deligne 2 pages ».⁴²

Ses notes pour SGA 7 (pages 76 à 82) prévoient encore : un appendice à XXI sur la torsion en cohomologie cristalline (« de Katz »), en XXII des commentaires sur la cohomologie cristalline et un renvoi à la démonstration par Deligne du théorème de congruence de Katz généralisé, peut-être un exposé XXIII ; dans l'appendice de VI, harmoniser la notation \(L\Omega_{X/k}\) du complexe cotangent relatif et mettre une bibliographie commune ; en I, le fait que le groupe d'inertie a un \(p\)-sous-groupe de Sylow infini (renvoi à Serre, Cohomologie galoisienne) ; en VI, traiter aussi le « local invariant cycle problem » pour le \(H^1\), et signaler la conjecture de Griffiths en dimension quelconque.⁴³ En VI ou XIII, vérifier qu'on y trouve qu'en déformant une singularité quadratique ordinaire on obtient au plus autant de telles singularités, et, en d'autres termes, que l'ensemble des points où un morphisme plat localement de présentation finie est lisse ou a une singularité quadratique ordinaire est ouvert.⁴⁴ Le reste (pages 79, 80, 82) est une liste de pages et de lignes des exposés IX et XVIII où ajouter des références (à SGA 5 IV, à XII, XIV, XVI, au livre de Demazure–Gabriel).

84–91

EGA I : la table de la nouvelle édition (pages 84 à 91)

Sous la chemise « Réédition EGA I », six feuillets tapés paginés 538 à 543 sont la table des matières de la nouvelle édition d'EGA I (Springer, Grundlehren 166, 1971), et deux feuillets non paginés appartiennent à son index terminologique ; textes publiés, non reproduits.⁴⁵ Deux marques au crayon, vraisemblablement les siennes : deux lignes périmées (« 2.4. Fonctions constructibles », « 2.5. ») biffées au chapitre 0, et un cadre « Morphismes affines » qui demande un numéro nouveau après I 10.15.

92–97

EGA I 10.10.5 sans hypothèse noethérienne : l'échange avec Dieudonné (pages 92 à 97)

Le cadre est celui des schémas formels : \(A\) est un anneau adique, ici complet pour la topologie \(T\)-adique, \(A_n = A/T^{n+1}A\), \(X = \mathrm{Spf}(A)\), \(X_n = \mathrm{Spec}(A_n)\). La proposition I 10.10.5 compare, pour un \(\mathcal{O}_X\)-Module \(F\), trois conditions : a) et c) qui portent sur \(F\) lui-même, b) qui dit que \(F\) est limite projective d'un système de Modules \(F_n\) sur les \(X_n\) qui se recollent, chacun de présentation finie.⁴⁶

La lettre du 27.8.1967 : un contre-exemple

Dieudonné a « tiqué » sur la généralisation proposée. Grothendieck admet que b) n'implique pas a) et c) hors du cas noethérien, et le montre. Soient \(k\) un corps, \(B = k[X_0, X_1, \ldots]\) l'anneau de polynômes en une infinité d'indéterminées, \(A = B[[T]]\), \(A_n = B[T]/(T^{n+1})\), et \[ J_n = (X_0,\ X_1 T,\ \ldots,\ X_n T^n) \subset A_n , \qquad M_n = A_n/J_n . \] Les \(M_n\) se recollent (\(X_{n+1}T^{n+1}\) est nul dans \(A_n\)) et sont de présentation finie ; mais l'idéal \(J_n\) ne peut pas être engendré par moins de \(n+1\) éléments. Si les \(M_n\) provenaient d'un \(A\)-module de présentation finie \(M\), on aurait des présentations \(A_n^p \to A_n^q \to M_n \to 0\) avec \(p\), \(q\) indépendants de \(n\), et (lemme de Schanuel) \(J_n\) serait engendré par au plus \(p + q\) éléments.

Preuve de la minimalité. Soit \(\mathfrak{m} = (X_i)_{i \ge 0} \subset B\). Si \(a_0, \ldots, a_n \in B\) vérifient \(\sum_i a_i X_i T^i \in T J_n\) dans \(A_n\), réduisons modulo l'idéal engendré par les \(X_j\), \(j \neq i\) : il vient, dans \(k[X_i, T]/(T^{n+1})\), \(a'_i X_i T^i \in X_i T^{i+1} k[X_i, T]\), où \(a'_i\) est l'image de \(a_i\) dans \(k[X_i]\) ; en comparant les coefficients de \(T^i\) (\(i \le n\)), \(a'_i X_i = 0\), donc \(a'_i = 0\) et \(a_i \in (X_j)_{j \neq i} \subset \mathfrak{m}\). Ainsi les \(n+1\) générateurs écrits ont des images linéairement indépendantes sur \(k\) dans \(J_n / (TJ_n + \mathfrak{m}J_n)\), qui est donc de dimension \(n+1\) ; par Nakayama gradué, ou simplement parce que tout système générateur de \(J_n\) en donne un de cet espace, \(J_n\) demande au moins \(n+1\) générateurs.⁴⁷

Il suggère donc de rédiger 10.10.5 comme deux conditions équivalentes impliquant une troisième, équivalente aux deux autres dans le cas noethérien, et de donner le contre-exemple.

La même lettre (page 93) signale un « canular ennuyeux » dans EGA IV 17.1.6 (i) : la démonstration du caractère local de la lissité formelle, via 16.5.17, ne marche que si \(\Omega^1_{X/Y}\) est de présentation finie, par exemple si \(f\) est localement de type fini. La question équivaut, dit-il, à celle-ci : si un \(A\)-module \(M\) est localement projectif sur \(\mathrm{Spec}(A)\) — s'il existe des \(f_i\) engendrant l'idéal unité avec chaque \(M_{f_i}\) projectif sur \(A_{f_i}\) —, \(M\) est-il projectif ? Il l'avait posée à D. Lazard sans se rappeler la réponse, propose un erratum, et note qu'en pratique on prouve toujours directement la lissité formelle globale.⁴⁸ Elle transmet enfin des critiques de Samuel et d'Illusie sur son projet de § 0 pour la réédition, et s'interrompt au milieu d'une phrase, au bas du verso.

La réponse de Dieudonné, et la lettre du 15.9.1967

Dieudonné répond le 11 septembre (page 95) ; la transcription ne reproduit pas sa lettre. D'après sa notice, il remercie du contre-exemple mais n'est « toujours pas convaincu » que, sans condition noethérienne, a) entraîne c), faute de présentations \(A_n^p \to A_n^q \to M_n \to 0\) à \(p\) et \(q\) fixes. Grothendieck a écrit en marge : « cf. EGA IV 18.3.2.1. »

Sa réponse du 15.9.1967 (pages 96-97) accorde que les objections sont fondées, et prouve du moins que de tels \(p\) et \(q\) existent, par un lemme.

Lemme. Soient \(A\) un anneau, \(M\) un \(A\)-module, \(f_1, \ldots, f_m \in A\) engendrant l'idéal unité, et supposons que pour tout \(i\) le \(A_{f_i}\)-module \(M_{f_i}\) soit engendré par \(m_i\) éléments. Alors \(M\) est engendré par \(\sum_i m_i\) éléments.⁴⁹

En effet, écrivons les générateurs de \(M_{f_i}\) sous la forme \(h^i_j / f_i^{N}\) avec \(h^i_j \in M\) ; le sous-module \(N\) engendré par tous les \(h^i_j\) vérifie \(N_{f_i} = M_{f_i}\) pour tout \(i\), et comme les \(\mathrm{Spec}(A_{f_i})\) recouvrent \(\mathrm{Spec}(A)\), \(N = M\).⁵⁰

Application. Dans la situation de 10.10.5, \(M = \varprojlim M_n\) est un \(A\)-module de type fini ; on choisit un épimorphisme \(u : A^q \to M\), et des \(f_1, \ldots, f_m \in A\) dont les images engendrent l'idéal unité de \(A_0\) (donc de \(A\), \(T\) étant topologiquement nilpotent) et tels que, sur les ouverts correspondants de \(X\), \(F\) soit de présentation finie, c'est-à-dire de la forme \(\widetilde{M_i}\) avec \(M_i\) de présentation finie sur l'anneau \(A_{\{f_i\}}\) de l'ouvert formel correspondant.⁵¹ Le noyau de \(A_{\{f_i\}}^q \to M_i\) est engendré par un nombre fini \(p\) d'éléments (on prend le plus grand des nombres obtenus pour les \(i\)) ; en tensorisant par \(A_n\),⁵² la suite exacte \((A_n)_{f_i}^p \to (A_n)_{f_i}^q \to (M_n)_{f_i} \to 0\) montre que \(R_n = \mathrm{Ker}(A_n^q \to M_n)\) est localement engendré par \(p\) éléments, donc par \(mp\) éléments d'après le lemme — et \(mp\) ne dépend pas de \(n\).

La difficulté qui reste est de choisir ces présentations compatibles quand \(n\) varie, c'est-à-dire un \(A^p \to A^q\) d'image \(\mathrm{Ker}\, u\). Si Dieudonné y parvient, 10.10.5 retrouvera trois conditions équivalentes, en demandant dans b) une présentation finie « uniformément en \(n\) » ; sinon il faudra un contre-exemple à a) \(\Rightarrow\) c), car « la question devrait être tirée au clair ». Le dossier n'en dit pas plus : la question reste ouverte entre eux.

En tout état de cause, il faudra donner en corollaire, sans hypothèse noethérienne, l'équivalence de :

• a)\(F\) est localement libre de type fini ;
• b)\(F\) est isomorphe à la limite projective d'une suite \((F_n)\) de \(\mathcal{O}_{X_n}\)-Modules localement libres de type fini qui se recollent ;
• c)\(F\) est isomorphe à \(\widetilde{M}\), avec \(M\) un \(A\)-module projectif de type fini,

en procédant comme pour 10.10.5 avec EGA IV 18.3.2.1 — un lemme qui, dit-il, devrait venir en corollaire après \(0_{\mathrm{I}}\) 7.2.9.⁵³ Quant aux modifications qu'il préconisait pour I 10.11, elles tombent si 10.10.5 ne s'arrange pas ; on peut cependant dire qu'un \(F\) de présentation finie est limite projective de \(F_n\) de présentation finie qui se recollent (sans réciproque), que \(F\) est localement libre si et seulement si les \(F_n\) le sont, et que le reste de 10.11 vaut sans hypothèse noethérienne, sauf deux énoncés.⁵⁴

Entre les deux lettres, une page (94) note seulement, pour I 10.12 (« Morphismes adiques de schémas formels ») : « Stabilité par \(\varprojlim\) (ou non ?) ».

99–99

EGA II (page 99)

Une dernière page énumère pour la réédition d'EGA II : (a) transférer EGA IV 4.8, un exposé des morphismes affines de préschémas formels, un appendice sur les schémas formels ; (b) en II 6.5.10 et 6.5.11, ajouter des formules, la seconde pour le cas où \(X' \to X\) est génériquement décomposé, et en 6.5.7 renvoyer à EGA IV 21 ; (c) remonter EGA IV 19.4.11, « revu et augmenté » ; (d) un point sur 7.4.2.⁵⁵