Fonds Grothendieck, cote n° 36, pages 61–80

« Th. du cycle invariant » : Cas du H^1 (suite)

suite du tapuscrit commencé à la page 60 (lot précédent), sous le titre inscrit de sa main sur le feuillet de garde de la page 59 ; le titre de section en est repris. Tapuscrit à ruban bleu, corrigé à l'encre et au crayon ; le \ell de la machine est un caractère en forme de \chi, les \mu, les \bar\eta en indice et plusieurs flèches sont encrés à la main. Les biffures faites à la machine ne sont pas reprises, sauf quand elles se lisent ; les petites croix au crayon de la marge gauche ne sont pas relevées. Pas de numéro de page du tapuscrit.

d'ordre d' divisant d, et a fortiori d^t. « d' » est ajouté au crayon au-dessus de « ordre ».

c) Soit n un entier, et supposons que n est premier à p, d_t est premier à p, ou que k est parfait (donc algébriquement clos). On a alors une suite exacte canonique, fonctorielle en X : (6) \qquad 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{\ u_n\ } H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to \operatorname{Ker} w_n \longrightarrow 0 , « d_t est premier à p, ou que » est tapé dans l'interligne et relié par un trait de crayon ; le « ou » de la ligne tapée est souligné, et « k est parfait (donc algébriquement clos) » est enfermé par un crochet de crayon. Sous {}_n\Gamma, au crayon : « \simeq \mathbf{Z}/(n,d)\mathbf{Z} ». où w_n \colon \Gamma_n \longrightarrow \mathrm{NS}(X_0)_n est l'homomorphisme déduit de (5) par tensorisation par \underline{\mathbf{Z}}/n\underline{\mathbf{Z}}, et où u_n est l'homomorphisme canonique ( ). Pour n variable multiplicativement, les suites exactes (6) forment un système projectif de suites exactes, pour les morphismes de transition évidents.

d) Soit \ell un nombre premier. Alors on ~~trouve~~ une suite exacte canonique, fonctorielle en X ~~(obtenue, si \ell satisfait aux conditions de c), par passage à la limite projective sur les puissances de \ell dans les suites exactes (6))~~ : (7) \qquad 0 \to H^1(X, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1)) \xrightarrow{\ u(\ell)\ } H^1(X_{\bar\eta}, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1))^I \to R \otimes \underline{\mathbf{Z}}_\ell \to 0 , où R = \operatorname{Ker} w \simeq \underline{\mathbf{Z}}/d'\underline{\mathbf{Z}}, donc (8) \qquad R \otimes \underline{\mathbf{Z}}_\ell \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } \ell \nmid d', \\ \underline{\mathbf{Z}}/\ell\underline{\mathbf{Z}} & \text{si } \ell \mid d' . \end{cases} en regard du premier cas, à l'encre : « a fortiori si \ell \nmid d^t, » « fonctorielle en X » est écrit au crayon au-dessus de la parenthèse, que le crayon enferme dans un cadre barré de traits obliques ; « aux conditions de c) » est ajouté au crayon dans la parenthèse. Au-dessus de « Alors », une incise tapée puis effacée (« si d_t premier à p ou k parfait ») se lit encore. Dans la marge gauche, en regard de (8), un \chi entouré au crayon, et le numéro (8) est encadré au crayon. Le « \ne » tapé dans « si \ell \ne d' » est surchargé d'un trait vertical : on lit « \ell \nmid d' ».

On obtient en particulier grâce à d) ~~au moins si \ell \neq p~~ :

Corollaire 9. Soit \ell un nombre premier. Alors l'homomorphisme (10) \qquad u(\ell) \colon H^1(X, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1)) \longrightarrow H^1(X_{\bar\eta}, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1))^I est injectif, son conoyau est un groupe fini, nul pour presque tout \ell. La même conclusion est vraie en remplaçant \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1) par \underline{\mathbf{Z}}_\ell, à condition de supposer \ell \neq p. les numéros « 9 » et « (10) » sont écrits à la main ; après « premier, » une restriction tapée (« si \ell \ne p si k est pas parfait … ») est effacée à la machine.

Notons d'ailleurs, pour le cas d'un entier n ne satisfaisant nécessairement pas les conditions envisagées dans c) : « nécessairement » est tapé dans l'interligne.

Corollaire 10. Soit n un entier. On a alors une suite exacte canonique (11) \qquad 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{\ u_n\ } H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to Q(n) \to 0 , où Q_n = \operatorname{Coker} u_n s'insère dans une suite exacte canonique (12) \qquad 0 \to \operatorname{Ker} w_n \to Q(n) \to \Theta(n) \longrightarrow 0 , avec (13) \qquad \Theta(n) \hookrightarrow {}_n\operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{Br}(K) \to \mathrm{Br}(X_{\bar\eta})\bigr) \hookrightarrow {}_{(n,d^t)}\mathrm{Br}(K) , de sorte que l'on a \Theta(n) = 0 lorsque n ou d^t sont premiers à p ou que k est parfait (donc \mathrm{Br}(K) = 0). En tous cas, si p^m est la plus grande puissance de p divisant d^t (qui est donc indépendant du choix de n), on a (14) \qquad p^m \Theta(n) = 0 \qquad \text{pour tout } n . Pour n variable multiplicativement, les diagrammes (11), (12) et (13) forment des systèmes projectifs, pour des morphismes de transition évidents. « 10 » et les numéros (11) à (14) sont corrigés à l'encre sur des numéros tapés (« 1… »). Dans (11), le « (n) » de Q(n) est surchargé à l'encre sur un indice. Dans (13), la première flèche est surchargée à l'encre en « \hookrightarrow », et le même signe est répété, entouré, dans la marge gauche.

Si donc n parcourt les puissances d'un nombre premier fixé \ell, alors il résulte de (14) que \varprojlim_\nu \Theta(\ell^\nu) = 0, donc \varprojlim_\nu \operatorname{Ker} w_{\ell^\nu} \simeq \varprojlim Q(\ell^\nu) par (12), d'où la suite exacte (7) par passage à la limite à partir de (11). l'indice \ell^\nu de w et le signe \simeq sont ajoutés à l'encre ; deux passages tapés sont effacés à la machine. Un double trait vertical à l'encre, dans la marge droite, borde ce paragraphe.

Nous prouverons également le

Corollaire 15. Posons (16) \qquad d^t = p^r a , \qquad \text{avec } (a,p) = 1 . Alors il existe un diagramme

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[l, "h"'] \arrow[d, "f'"] \\ S & S' \arrow[l, "g"'] \end{tikzcd}

(17), avec h un revêtement étale ~~principal de groupe~~ , S' \to S un revêtement le numéro (17), les lettres f, f', g et les flèches verticales du diagramme sont à la main ; « revêtement » est effacé à la machine devant « diagramme ». Après le passage biffé, un signe à l'encre illisible.

kummérien connexe (ramifié) de S, de groupe de Galois \mu_a, le diagramme induit par le changement de base \eta \to S étant cartésien. Un tel diagramme est unique à isomorphisme près, et f' \colon X' \to S' satisfait aux mêmes hypothèses que f dans , mais l'entier d(X'/S') (défini comme d = d(X/S) dans (2)) est maintenant égal à p^r. Si I' \subset I est le groupe d'inertie relatif à S', alors pour tout entier n premier à p, l'homomorphisme u'_n \colon H^1(X', \mu_n) \longrightarrow H^1(X'_{\bar\eta}, \mu_n)^{I'} est injectif, et son conoyau est isomorphe à {}_n\delta/{}_n\delta', où \delta est le sous-groupe de torsion de \operatorname{Coker} w (w défini dans (5)) et \delta' le sous-groupe de torsion de \mathrm{NS}(X_0). On en conclut, pour tout nombre premier \ell \neq p, que l'homomorphisme u'(\ell) \colon H^1(X', \underline{\mathbf{Z}}_\ell) \longrightarrow H^1(X'_{\bar\eta}, \underline{\mathbf{Z}}_\ell)^{I'} est un isomorphisme. « connexe » et « S, de » sont ajoutés à l'encre au-dessus de la ligne. La lettre devant « \to S » est tracée à la main sur un blanc de la machine ; elle a la forme d'un \eta (lecture douteuse, on attendrait S' \to S). Les \delta, \delta' et les \mu sont à la main ; après les deux \underline{\mathbf{Z}}_\ell de u'(\ell), un « (1) » tapé est effacé. « isomorphisme » est souligné au crayon ; une suite tapée (« et la même conclusion … ») est effacée à la machine. Le tapuscrit s'arrête ici, au milieu du feuillet, sur l'énoncé du Corollaire 15 ; aucune démonstration ne suit dans le dossier.

en haut à droite, encadré : « \overset{\mathrm{dfn}}{=} \operatorname{Im}\bigl(\mathrm{Pic}(X_0) \to \underline{NS}_{X_0/k}(k)\bigr) »

Théorème S trait str. local,

X schéma propre sur S, régulier, tel que \underline{\mathcal{O}}_S \xrightarrow{\sim} f_*(\underline{\mathcal{O}}_X), et que X_\eta admette un 0-cycle de degré 1,

\Delta le groupe des diviseurs sur X tels que supp \subset X_0,

c \colon \Delta \to \struck{\ill{}} = \underline{NS}_{X_0/k}(k) défini comme composé \Delta \to \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X_0) \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}(k) \to \underline{NS}_{X_0/k}(k) \to N dans « c \colon \Delta \to », un premier but biffé (« NS(X_0) » ?), puis « \underline{NS}(X_0) » surchargé en \underline{NS}_{X_0/k}(k) ; le « N » final de la ligne composée est tel qu'écrit.

\delta = sous-groupe de torsion de \operatorname{Coker} c, ~~sous-groupe de torsion de \underline{NS}(X_0), de sorte que \Delta \to \Lambda \xrightarrow{\lambda} \delta \to 0~~

Alors \delta est un groupe fini ; torsion NS(X_0) = \delta', soit \delta'' = \delta/\delta' ; et pour tout entier n premier à p, on a une suite exacte canonique 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{\ u_n\ } H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \longrightarrow {}_n\delta'' \to \struck{\ill{}}\ {}_n\delta' \to \delta_n \to \delta''_n \to 0 au-dessus de la flèche vers {}_n\delta'', une variante : « \nearrow {}_n\delta/{}_n\delta' » ; au bout, un « \to \delta'' » raturé. La lecture de la fin de la suite est douteuse. compatible avec les de transition évidents en n ; d'où par passage à la limite, pour tout \ell nb. pr. \neq p H^1(X, \mathbf{Z}_\ell) \xrightarrow{\ \sim\ } H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)^I (Théorème des cycles invariants).

Dém. X est plat sur S, donc X_\eta dense dans X, et H^1(X, \mu_n) \hookrightarrow H^1(X_\eta, \mu_n). à droite, au-dessus : « (car X intègre » On a le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] H^1(X, \mu_n) \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d] & {}_n\mathrm{Pic}(X) \arrow[d] & & \\ H^1(X_\eta, \mu_n)/(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \arrow[r, "\alpha_\eta"] \arrow[d] & {}_n\mathrm{Pic}(X_\eta) \arrow[r, "\beta_\eta"] \arrow[d] & {}_nP(K) \arrow[r, "\simeq"] \arrow[d] & {}_nP(\bar K)^I \arrow[dl, bend left=20] \\ H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n) \arrow[r, "\alpha_{\bar\eta}"] & {}_n\mathrm{Pic}(X_{\bar\eta}) \arrow[r, "\beta_{\bar\eta}"] & {}_nP(\bar K) & \end{tikzcd}

les flèches \alpha, \alpha_\eta, \alpha_{\bar\eta}, \beta_\eta, \beta_{\bar\eta} portent chacune le signe \sim ; l'arc de droite va de {}_nP(\bar K)^I vers {}_nP(\bar K).

où \alpha, \alpha_\eta, \alpha_{\bar\eta} sont des isom. par la théorie de Kummer et f_*(\mathcal{O}_X) \simeq \underline{\mathcal{O}}_S (NB V^*/V^{*n} = 0, K^*/K^{*n} = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}, car V str. loc.\@) ; \beta_\eta (et \beta_{\bar\eta}) isom. à cause de l'existence d'un 0-cycle de degré 1 sur X_\eta, donc que (*) s'identifie à : (**) \qquad u' \colon {}_n\mathrm{Pic}(X) \to {}_n\mathrm{Pic}(X_\eta) Comme X est régulier (il suffirait : anneaux locaux factoriels), … 0 \to \Gamma \xrightarrow{\ i\ } \mathrm{Pic}(X) \xrightarrow{\ v\ } \mathrm{Pic}(X_\eta) \to 0 où \Gamma = \Delta/\mathbf{Z}.X_0, d'où \operatorname{Coker} u_n \simeq \operatorname{Coker} {}_nv \simeq \operatorname{Ker} i_n , \quad \text{où } i_n \colon \Gamma_n \to \mathrm{Pic}(X)_n . le feuillet s'arrête ici. Les mots de liaison de la ligne suivant (**) sont illisibles.

~~Comme~~ ~~On sait que~~ ~~On sait que~~

On a d'autre part, si j_X \colon \Gamma \to \mathrm{Pic}(X_0) est le composé, d'où des j_n \colon \Gamma_n \to \mathrm{Pic}(X_0)_n, l'inclusion évidente : \operatorname{Ker} i_n \subset \operatorname{Ker} j_n .

en regard, souligné : « Lemme \mathrm{Pic}(X)_n \hookrightarrow \mathrm{Pic}(X_0)_n (du moins si S complet, ce qui suffit (.)) facile par les » Cette inclusion est en fait une identité. Pour le voir, on note que si L est un faisceau inv. sur X, et si L_n = L|X_n est comme faisceau inversible, alors l'obstruction L_{n+1} comme faisceau inversible est nulle (cf. PCA, exposé sur Picard). Donc d'autre part \mathrm{Pic}(X_0) = \underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}(k) puisque X_0 un cycle de degré 1, d'où 0 \to \mathrm{Pic}^0(X_0) \to \mathrm{Pic}(X_0) \to NS(X_0) \to 0 , avec \mathrm{Pic}^0(X_0) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_0/k}(k) et NS(X_0) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \operatorname{Im}\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}(k) \to \underline{NS}_{X_0/k}(k)\bigr), et \mathrm{Pic}^0(X_0) est n-divisible, donc on a \mathrm{Pic}(X_0)_n \hookrightarrow NS(X_0)_n à gauche, souligné : « prendre un principal » donc si k \colon \Gamma \to NS(X_0) est le composé \Gamma \to \mathrm{Pic}(X_0) \to NS(X_0), \operatorname{Coker} u_n \simeq \operatorname{Ker} k_n .

à gauche, en regard : « cf. plus bas une démonstration » Je dis que \Gamma est sans torsion et que \delta est injectif i.e. qu'un faisceau inv. sur X qui est sur X_\eta est trivial. ~~X_\eta, X_0 zéro, NS(X_0) indique () que \ell-divisible pour tout \ell \neq p,~~ un long passage (quatre lignes) est encadré et barré de traits obliques ; l'addition « \Gamma est sans torsion et que » est écrite au-dessus de la ligne, dans un cadre ; le « \delta » est peut-être un i.

On a une suite exacte

0 \to \Gamma \xrightarrow{\ k'\ } NS(X_0) \xrightarrow{\ \lambda\ } \delta \to 0 à gauche, une première suite « 0 \to \Gamma \xrightarrow{k} NS(X_0) \to \ldots \to 0 », dont le troisième terme est raturé, avec en dessous « » biffé ; au-dessus, « \operatorname{Coker} k = \operatorname{Coker} \Delta ». Sous \delta, à droite : « = sous-gr. des NS(X_0) dont un multiple provient de \Gamma ». d'où par suite exacte \operatorname{Ker} k_n = \operatorname{Ker} k'_n \simeq \operatorname{Coker} {}_n\lambda . Comme \Gamma est sans torsion, \delta' \xrightarrow{\lambda} \delta est injectif, et on trouve que \operatorname{Coker} {}_n\lambda = {}_n\delta/{}_n\delta'. la dernière ligne, au pied du feuillet, n'est pas lue.

exacte 0 \to \delta' \to \delta \to \delta'' \to 0 et la suite exacte associée 0 \to {}_n\delta' \to {}_n\delta \to {}_n\delta'' \to \delta'_n \to \delta_n \to \delta''_n

Reste : prouver le fait que \Gamma est sans torsion. Mais \Gamma = \mathbf{Z}/d\mathbf{Z}, d est le pgcd des d_i, X_0 = \sum d_i D_i, \ell X_{0,\mathrm{red}} = \sum D_i. ~~si \exists X_\eta un 0-cycle de degré 1~~ si un pt fermé x de X_\eta, schématique dans X est un schéma fermé Z de X, plat et fini sur S, dont le degré sur S est aussi égal à la multiplicité d'intersection Z . X_0 sur X, qui est \sum d_i\, Z . D_i, donc multiple de d. Donc si d' est le pgcd des degrés des 0-cycles sur X_\eta, d \mid d'. Comme d' = 1, d = 1. à gauche : « Lemme (ici X régulier, semble-t-il) » (D) \Gamma \to NS(X_0) est injectif.le « D » est entouré. à droite : « Soit R » qui utilise sans , les suites exactes à gauche, souligné en diagonale : « Donnons . » 0 \to H^1(X, \mu_n) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to {}_n\Gamma_n \to NS(X_0)_n d'où, par passage à la limite sur les puissances de \ell 0 \to H^1(X, \mathbf{Z}_\ell(1)) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell(1))^I \to T_\ell(\Gamma \otimes \ldots) \to T_\ell(NS(X_0) \otimes \mathbf{Z}_\ell) i.e. , comme ~~T_\ell(\ldots)~~ R \otimes \mathbf{Z}_\ell \simeq \operatorname{Ker}\bigl(\Gamma \otimes \mathbf{Z}_\ell \to NS(X_0) \otimes \mathbf{Z}_\ell\bigr) 0 \to H^1(X, \mathbf{Z}_\ell(1)) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell(1))^I \to R \otimes \mathbf{Z}_\ell \to 0 au-dessus de cette suite, « T_\ell(R) » biffé, et un « \beta » ; les objets écrits \Gamma et \mathbf{Z}_\ell sont peu lisibles. à gauche : « [ ] en remarquant qu'ils » Démonstration invariante, signifiant . [ invariants ; de formule des cycles … : torsion près.]

~~L'idée est de se ramener au cas où X est de dim. … relative un. Dans ce cas, sait que \Gamma est dit (D_i . D_j) r-1), ( le fait que D_i ).~~ passage encadré et barré de traits obliques.

Or c'est fait par Raynaud dans sa note : spécialisation des foncteurs de Picard, th. 3 sans projective. à gauche, entouré : « démontrer dév. suivants au cas de dim. rel. 1 » les deux dernières lignes du feuillet sont biffées de traits ondulés ; on y lit NS(X_0), sans plus.

Variante Laissons tomber l'hypothèse d' (= pgcd des deg. des 0-cycles sur X_\eta) = 1. On sait que \mathrm{Br}(K) est un groupe de p-torsion, donc … \to \operatorname{Pic}(X_\eta) \to P(K) \to \Theta \to 0 , \quad \text{où } \Theta \subset \mathrm{Br}(K) est un groupe de p-torsion, d'où résulte que {}_n\operatorname{Pic}(X_\eta) \simeq {}_nP(K). que est isom. si . Mais \Gamma peut avoir de la torsion. trouve 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to \Gamma_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n \to sous {}_n\Gamma : « \simeq \mathbf{Z}/(n,d)\mathbf{Z} ». ~~Soit~~ et par passage à la limite sur les puissances de \ell 0 \to H^1(X, \mathbf{Z}_\ell(1)) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell(1))^I \to \Gamma \otimes \mathbf{Z}_\ell \to \mathrm{NS}(X_0) \otimes \mathbf{Z}_\ell \hookrightarrow R \otimes \mathbf{Z}_\ell \to 0 , \qquad R = \operatorname{Ker} \bigl(\Gamma \to \mathrm{NS}(X_0)\bigr) à gauche, encadré : « N.B. R \otimes \mathbf{Z}_\ell \simeq \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z} si \ell \mid d, 0 sinon » On voit ainsi ( au moins modulo rés. des singularités, pour ) que le noyau R de \Gamma \to \mathrm{NS}(X_0) est de torsion. à gauche, sous un trait : « mieux vérifier Raynaud , p. 7 (ii) » (C'est donc un sous-groupe du tors \Gamma \simeq \mathbf{Z}/d\mathbf{Z}, cette tendance d'être égal à \mathbf{Z}/d\mathbf{Z} , il le faudrait tors \Gamma le noyau Raynaud utilisé : arguments de Raynaud de S …) , si à gauche : « demander à Raynaud si Ker est tout \mathbf{Z}/d\mathbf{Z}. » \Gamma' = \Gamma/\struck{\ill{}}\,T, \qquad T = \operatorname{Tors} \Gamma 0 \to T_n \to \Gamma_n \to \Gamma'_n \to 0 , utilisons un splitting de \Gamma \simeq \Gamma' \oplus T, \operatorname{Ker}\bigl(\Gamma_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n\bigr) \simeq T_n + \underbrace{\operatorname{Ker}\bigl(\Gamma'_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n\bigr)}_{\operatorname{Ker}(\bar\Gamma_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n)} \bar\Gamma \hookrightarrow \mathrm{NS}(X_0), \bar\Gamma = \Gamma/R. , comme {}_n\bar\Gamma p-torsion 0 \to \delta' \to \delta \to \delta'' \to 0 sous \delta' : « = tors. de \mathrm{NS}(X_0) premier à p ». Le feuillet s'arrête ici.

Th. d'orthogonalité pour les modèles de Néron, démonstration arithmétique

titre inscrit de sa main en haut à droite du feuillet de garde (page 72), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. On lit : « Th. d'orthogonalité \ell/p pour les modèles de Néron, démonstration arithmétique », et plus bas, du même crayon, « \ell (partiel !) ». Le signe au-dessus de « orthogonalité » est peut-être un \ell repris ; lecture douteuse. Les pages 73 à 80 suivent sans pagination de l'auteur.

Un théorème d'orthogonalité

A anneau noethérien J-adique (régulier et complet)

X = \operatorname{Spec} A

Y = \operatorname{Spec}(A/J) = V(J)

U = X - Y

Pour tout schéma fini étale Z sur Y, \tilde Z est le schéma fini étale sur X (unique à isom. unique près) le prolongeant. Dit séparés Donc faisceaux \ell-adiques constants tordus … « \tilde Z » avec tilde sur Z ; l'ajout est interlinéaire, sur un mot biffé.

G, G' schémas en groupes commutatifs plats ~~séparés~~ sur X à droite, encadré : « A et A' ~~accouplés~~ i.e. on a une classe de corr. div. sur A \times A' »

G_U = G|U est un schéma abélien A

G'_U = G'|U —— A'

\ell est premier inv. sur Y, donc sur X. à gauche, entouré : « Composantes de G, dans A', A »

S \subset G_Y = G \times_X Y est plat sur Y et tel que {}_{\ell^\nu}S fini sur Y pour tout \nu > 0

T' \subset G'_Y un tore ~~Alors …~~

à gauche : « NB les {}_{\ell^\nu}G sont étales et q.f. sép. sur S, et leur restriction à Y contient les {}_{\ell^\nu}S, donc {}_{\ell^\nu}G contient {}_{\ell^\nu}\tilde S. » T_\ell(\tilde S) est bien défini, et il en est de même de T_\ell(\tilde T) et … T_\ell(\tilde S) \subset T_\ell(G), \qquad T_\ell(\tilde T) \subset T_\ell(G'), T_\ell(\tilde S)|U \subset T_\ell(A), \qquad T_\ell(\tilde T)|U \subset T_\ell(A') . \varphi_\xi \colon \ldots \longrightarrow T_\ell(\mathbb{G}_{m,U}) = T_\ell(\widetilde{\mathbb{G}_{m,Y}})|U la flèche verticale \varphi_\xi est suivie de « pairing : \xi induit » ; à droite, « T_\ell(S) ». Mise en ligne de l'éditeur.

Théorème \varphi_\xi\bigl(T_\ell(\tilde S)|U, T_\ell(\tilde T)|U\bigr) = 0 en chaque pt x \in U.

Dém. Il suffit de le prouver en chaque pt y \in \overline{\{x\}} \cap Y, , et donnons Prenant un point discret, . Je X un trait, Y pt fermé, U pt génér. Je suffit d'ailleurs, réduction formule suffit U : S- les dernières lignes de la page, en écriture rapide, ne sont lues que par bribes.

puisque, pour tout tel x, choisir y \in \overline{\{x\}} \cap Y tel que k(y) soit fini (c'est le cas si A/J est de type fini sur \mathbf{Z}). Alors ~~par~~ l'argument précédent, on est ramené au cas localisé complété de ~~discret~~ X en y, donc X local complet, de pt fermé y, avec k(y) fini. Alors X - Y est de Jacobson, tout point de X - Y un pt z tel que \dim \overline{\{z\}} = 1, \overline{\{z\}} = \overline{\{z\}} l'adhérence dans X. , : remplaçons X par Z, X local complet de dim. 1, et normalisons, X est le spectre d'un anneau de valuation discrète à corps résiduel fini, Y pt fermé. L'homomorphisme envisagé correspond \pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K), restreint à groupe d'inertie I. de \pi_0 = \operatorname{Gal}(\bar k/k) \hat{\mathbf{Z}} … T \simeq \mathbb{G}_{m,k}^r ( résiduelle finie) et T_\ell(\tilde T)|U correspond … T_\ell(\bar K^*) \simeq T_\ell(\bar k^*), \bigl(T_\ell(\mathbb{G}_{m,k})|U\bigr) \simeq T_\ell(\mathbb{G}_{m,k}) \simeq T_\ell(k^*), comme modules sur \pi_0. D'autre part, S T_\ell(S) correspond. un passage de six lignes est encadré et barré de traits obliques. L'accouplement sur U, comme X , provient d'un accouplement T_\ell(S) \times T_\ell(T) \to T_\ell(\mathbb{G}_{m,k}) . Donc , est ramené au

Lemme Soit k un corps fini, S, T deux groupes alg. commutatifs sur k, T de t. mult. tore. Alors tout accouplement T_\ell(S) \times T_\ell(T) \to T_\ell(\mathbb{G}_m) est identiquement nul.

En effet, on peut supposer S, T connexes réduits, donc T un tore, ~~réduits ; extension finie de k, T un tore S S~~ On peut supposer aussi S extension d'une VA par un tore S_0. Quitte à faire une extension finie, on peut supposer S_0 \simeq \mathbb{G}_m^r, T \simeq \mathbb{G}_m^s. Alors T_\ell(S_0) \times T_\ell(T) \to T_\ell(\mathbb{G}_m) est un accouplement \mathbf{Z}_\ell^r \otimes \mathbf{Z}_\ell^s \to \mathbf{Z}_\ell, où . le Frob. opère sur les trois facteurs par q\,\mathrm{id}, q\,\mathrm{id}, q\,\mathrm{id}, donc produit par q^2\,\mathrm{id}, par q\,\mathrm{id}. Donc l'accouplement induit est nul. Cela , S une V.A. Mais, par Weil, les val. propres de f opérant sur T_\ell(S) sont de val. absolue q^{1/2}, donc les val. propres sur T_\ell(S) \otimes T_\ell(\mathbb{G}_m) sont de val. absolue q^{3/2}, sur T_\ell(\mathbb{G}_m) q, nullité.

Nous traitons maintenant le cas général, supposons, X un = \operatorname{Spec} V, de type fini pt fermé. V = \varinjlim A_i , \quad A_i \subset V , \quad A_i \ni \ldots \text{ de t.\ f.\ sur } \mathbf{Z} . Soient X_i = \operatorname{Spec} A_i, Y_i = V(J_i), U_i = X_i - Y_i, donc X = \varprojlim X_i , \quad Y = \varprojlim Y_i , \quad U = \varprojlim U_i .

Pour i grand, G, G' proviennent de G_i, G'_i sch. en groupes commut. de t.f. plats sur X_i, ~~et \xi d'une corr.~~ G_i|U_i = A_i et G'_i|U_i = A'_i des sch. abéliens, \xi provient d'une classe de corr. div. \xi' sur A_i \times A'_i, T provient d'un tore T_i \subset G'_{Y_i}, S provient d'un sous-schéma plat S_i \subset G_{Y_i}. De plus, on peut ~~conditions~~ supposer S connexe (car on peut le remplacer par S^0) et extension successive d'une V.A., d'un tore et d'un groupe . On peut supposer la même pour S_i. On peut supposer aussi (remplaçant au besoin ~~A_i~~ A par A_i[1/\ell]) que \ell inv. sur les X_i, sur les Y_i. Alors les {}_{\ell^\nu}S_i sont connexes finis sur Y_i. Bref, tous les données analogues, avec les provenant de données X_0 = \operatorname{Spec} A_0 de type fini sur \operatorname{Spec} \mathbf{Z}. De plus, si \mathfrak{p} = \mathfrak{m} \cap A_0, alors A_0 \to V induit \hat A_0 \to V, . Donc, remplaçant « A_0 de type fini sur \mathbf{Z} » par « A_0 \mathfrak{p}-adique régulier et complet, avec A_0/\mathfrak{p} de t.f. sur \mathbf{Z}, et A_0 \to V continue pour les topologies adiques ». On est ramené alors au théorème pour X_0, Y_0, G_0, G'_0, \xi_0, S_0, T_0, et il relève du cas 1. CQFD.

Corollaire 1 V anneau de val. discrète hensélien, corps résiduel k, K corps des fractions, \bar K clôture alg., A schéma abélien sur K, G modèle de Néron de A, T tore maximal de G_k, ~~dans T_\ell(A)~~ \ell nb premier \neq car. k, ~~T_\ell(\tilde G_k)|U~~ T_\ell(\tilde T)|U \subset T_\ell(\tilde G_k)|U \subset T_\ell(A) et en prenant les points à valeurs dans \bar K M(A)^I_0 \subset M(A)^I \subset M(A) = T_\ell(A(\bar K)) les deux premiers termes sont surchargés (un premier « M(T) » corrigé en M(A)), un « T_\ell(A(\bar K)) » final est biffé ; le 0 en indice est tel qu'écrit. où I est le groupe d'inertie \subset \pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K), et où l'exposant I désigne les invariants sous I. Ceci posé, si A' est un schéma abélien sur K, et \xi une corr. divisorielle sur A \times A', d'où un accouplement compatible avec \pi \varphi_\xi \colon M(A) \times M(A') \to T_\ell(\bar K^*) \struck{= \ldots} , d'où des relations entre M(A)^I et M(A')^I_0, entre M(A)^I_0 et M(A')^I.

généraux, ainsi que En particulier

Corollaire 2 Soit \xi une polarisation sur A, d'où une forme bil. alternée non dégénérée \varphi_\xi \colon M(A) \times M(A) \to T_\ell(\bar K^*) Alors \varphi_\xi(M^I, M^I_0) = 0 . En effet, les corollaires équivalents, …

Remarque Si k est sép. clos, à la limite projective, les accouplements {}_{\ell^\nu}A'(K) \times {}_{\ell^\nu}T(k) \to {}_{\ell^\nu}k^* \simeq {}_{\ell^\nu}K^* sont nuls. Cependant ces accouplements

pas nuls , même pour \nu = 1. En effet, si x \in {}_{\ell^\nu}T(k) \subset {}_{\ell^\nu}A(K) \subset {}_{\ell^\nu}A(\bar K) est non nul, il existe un x' \in {}_{\ell^\nu}A'(\bar K) tel que \varphi(x, x') \neq 0, et quitte à agrandir K en K', on aura donc un accouplement {}_{\ell^\nu}A'(K) \times {}_{\ell^\nu}T(k) \to {}_{\ell^\nu}k^* non nul … à gauche, reliée par un trait : « par A' le dual de A. » le reste du feuillet est blanc.

la page entière est barrée de deux longs traits obliques ; elle se lit néanmoins.

Théorème V anneau de val. discrète str. hensélien, corps fr. K, corps rés. k,

A schéma abélien sur K, modèle de Néron G

A' —— dual, —— G'

~~A_K~~ \bar K/K, T_\ell(A(\bar K)) T tore maximal de G_k, T' —— G'_k, \begin{aligned} T_\ell(A(\bar K)) \supset T_\ell(A(\bar K))^I &= T_\ell\bigl(A(\bar K)^I\bigr) = T_\ell(A(K)) = T_\ell(G(V)) \\ &= T_\ell(G(k)) = T_\ell(G^0(k)) \supset T_\ell(T(k)) \end{aligned} sous le premier terme, « \shortparallel M » ; en fin de première ligne, un terme raturé. \begin{gathered} M \supset M^I \supset M^I_0 \\ M' \supset M'^I \supset M'^I_0 \end{gathered} \qquad \text{de } \ldots On a M \times M' \xrightarrow{\ \varphi\ } T_\ell(\mathbb{G}_m(\bar K)) = T_\ell(\bar K^*) \quad \bigl[\ \overset{\text{non can.}}{\simeq} \mathbf{Z}_\ell\ \bigr] Je dis que \begin{cases} \varphi(M^I_0, M'^I) = 0 \\ \varphi(M^I, M'^I_0) = 0 \end{cases}

Dém. Pour simplifier, supposons {}_\ell G_k \subset G^0_k. … V = \varinjlim A_i , \quad A_i \subset V \text{ de t.f.\ sur } \mathbf{Z}, \ \text{\uncertain{avec} } t, \ \text{\uncertain{normaux}}. G provient de G_i, G' de G'_i. T de T_i, T' de T'_i. ~~On peut supposer que …~~ X_i = \operatorname{Spec}(A_i), \quad Y_i = V(t_{X_i}), \quad U_i = X_i - Y_i = X_{i,t} , {}_\ell G(k) = \varinjlim {}_\ell G_i(Y_i), \qquad {}_\ell G'(k) = \varinjlim {}_\ell G'_i(Y_i) à droite : « On peut supposer Y_i connexe, donc les morphismes de transition injectifs. Pour i grand, ils sont bijectifs. » {}_\ell G(k) \simeq {}_\ell G_i(Y_i), \qquad {}_\ell G'(k) \simeq {}_\ell G'_i(Y_i) \qquad \Big|\ {}_\ell T le feuillet s'arrête ici ; « t » est l'uniformisante de V.