Cote n° 36 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · SGA 7 (ma part) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

« Th. du cycle invariant » : Cas du \(H^1\) (suite)

suite du tapuscrit commencé à la page 60 (lot précédent), sous le titre inscrit de sa main sur le feuillet de garde de la page 59 ; le titre de section en est repris. Tapuscrit à ruban bleu, corrigé à l'encre et au crayon ; le \(\ell\) de la machine est un caractère en forme de \(\chi\), les \(\mu\), les \(\bar\eta\) en indice et plusieurs flèches sont encrés à la main. Les biffures faites à la machine ne sont pas reprises, sauf quand elles se lisent ; les petites croix au crayon de la marge gauche ne sont pas relevées. Pas de numéro de page du tapuscrit.

61d'ordre [\(d'\)] divisant \(d\), et a fortiori \(d^t\). « \(d'\) » est ajouté au crayon au-dessus de « ordre ».

c) Soit \(n\) un entier, et supposons que \(n\) est premier à \(p\), \(d_t\) est premier à \(p\), ou que \(k\) est parfait (donc algébriquement clos). On a alors une suite exacte canonique, fonctorielle en \(X\) : \[ (6) \qquad 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{\ u_n\ } H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to \operatorname{Ker} w_n \longrightarrow 0 , \] « \(d_t\) est premier à \(p\), ou que » est tapé dans l'interligne et relié par un trait de crayon ; le « ou » de la ligne tapée est souligné, et « \(k\) est parfait (donc algébriquement clos) » est enfermé par un crochet de crayon. Sous \({}_n\Gamma\), au crayon : « \(\simeq \mathbf{Z}/(n,d)\mathbf{Z}\) ». où \[ w_n \colon \Gamma_n \longrightarrow \mathrm{NS}(X_0)_n \] est l'homomorphisme déduit de (5) par tensorisation par \(\underline{\mathbf{Z}}/n\underline{\mathbf{Z}}\), et où \(u_n\) est l'homomorphisme canonique ( ). Pour \(n\) variable multiplicativement, les suites exactes (6) forment un système projectif de suites exactes, pour les morphismes de transition évidents.

d) Soit \(\ell\) un nombre premier. Alors on trouve une suite exacte canonique, [fonctorielle en \(X\)] (obtenue, si \(\ell\) satisfait [aux conditions de c)], par passage à la limite projective sur les puissances de \(\ell\) dans les suites exactes (6)) : \[ (7) \qquad 0 \to H^1(X, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1)) \xrightarrow{\ u(\ell)\ } H^1(X_{\bar\eta}, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1))^I \to R \otimes \underline{\mathbf{Z}}_\ell \to 0 , \] où \(R = \operatorname{Ker} w \simeq \underline{\mathbf{Z}}/d'\underline{\mathbf{Z}}\), donc \[ (8) \qquad R \otimes \underline{\mathbf{Z}}_\ell \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } \ell \nmid d', \\ \underline{\mathbf{Z}}/\ell\underline{\mathbf{Z}} & \text{si } \ell \mid d' . \end{cases} \] en regard du premier cas, à l'encre : « a fortiori si \(\ell \nmid d^t\), » « fonctorielle en \(X\) » est écrit au crayon au-dessus de la parenthèse, que le crayon enferme dans un cadre barré de traits obliques ; « aux conditions de c) » est ajouté au crayon dans la parenthèse. Au-dessus de « Alors », une incise tapée puis effacée (« si \(d_t\) premier à \(p\) ou \(k\) parfait ») se lit encore. Dans la marge gauche, en regard de (8), un \(\chi\) entouré au crayon, et le numéro (8) est encadré au crayon. Le « \(\ne\) » tapé dans « si \(\ell \ne d'\) » est surchargé d'un trait vertical : on lit « \(\ell \nmid d'\) ».

On obtient en particulier grâce à d) au moins si \(\ell \neq p\) :

Corollaire 9. Soit \(\ell\) un nombre premier. Alors l'homomorphisme \[ (10) \qquad u(\ell) \colon H^1(X, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1)) \longrightarrow H^1(X_{\bar\eta}, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1))^I \] est injectif, son conoyau est un groupe fini, nul pour presque tout \(\ell\). La même conclusion est vraie en remplaçant \(\underline{\mathbf{Z}}_\ell(1)\) par \(\underline{\mathbf{Z}}_\ell\), à condition de supposer \(\ell \neq p\). les numéros « 9 » et « (10) » sont écrits à la main ; après « premier, » une restriction tapée (« si \(\ell \ne p\) si \(k\) est pas parfait … ») est effacée à la machine.

62Notons d'ailleurs, pour le cas d'un entier \(n\) ne satisfaisant [nécessairement] pas les conditions envisagées dans c) : « nécessairement » est tapé dans l'interligne.

Corollaire 10. Soit \(n\) un entier. On a alors une suite exacte canonique \[ (11) \qquad 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{\ u_n\ } H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to Q(n) \to 0 , \] où \(Q_n = \operatorname{Coker} u_n\) s'insère dans une suite exacte canonique \[ (12) \qquad 0 \to \operatorname{Ker} w_n \to Q(n) \to \Theta(n) \longrightarrow 0 , \] avec \[ (13) \qquad \Theta(n) \hookrightarrow {}_n\operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{Br}(K) \to \mathrm{Br}(X_{\bar\eta})\bigr) \hookrightarrow {}_{(n,d^t)}\mathrm{Br}(K) , \] de sorte que l'on a \(\Theta(n) = 0\) lorsque \(n\) ou \(d^t\) sont premiers à \(p\) ou que \(k\) est parfait (donc \(\mathrm{Br}(K) = 0\)). En tous cas, si \(p^m\) est la plus grande puissance de \(p\) divisant \(d^t\) (qui est donc indépendant du choix de \(n\)), on a \[ (14) \qquad p^m \Theta(n) = 0 \qquad \text{pour tout } n . \] Pour \(n\) variable multiplicativement, les diagrammes (11), (12) et (13) forment des systèmes projectifs, pour des morphismes de transition évidents. « 10 » et les numéros (11) à (14) sont corrigés à l'encre sur des numéros tapés (« 1… »). Dans (11), le « \((n)\) » de \(Q(n)\) est surchargé à l'encre sur un indice. Dans (13), la première flèche est surchargée à l'encre en « \(\hookrightarrow\) », et le même signe est répété, entouré, dans la marge gauche.

Si donc \(n\) parcourt les puissances d'un nombre premier fixé \(\ell\), alors il résulte de (14) que \(\varprojlim_\nu \Theta(\ell^\nu) = 0\), donc \(\varprojlim_\nu \operatorname{Ker} w_{\ell^\nu} \simeq \varprojlim Q(\ell^\nu)\) par (12), d'où la suite exacte (7) par passage à la limite à partir de (11). l'indice \(\ell^\nu\) de \(w\) et le signe \(\simeq\) sont ajoutés à l'encre ; deux passages tapés sont effacés à la machine. Un double trait vertical à l'encre, dans la marge droite, borde ce paragraphe.

Nous prouverons également le

Corollaire 15. Posons \[ (16) \qquad d^t = p^r a , \qquad \text{avec } (a,p) = 1 . \] Alors il existe un diagramme

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[l, "h"'] \arrow[d, "f'"] \\
S & S' \arrow[l, "g"']
\end{tikzcd}

(17), avec \(h\) un revêtement étale principal de groupe […], \(S' \to S\) un revêtement le numéro (17), les lettres \(f\), \(f'\), \(g\) et les flèches verticales du diagramme sont à la main ; « revêtement » est effacé à la machine devant « diagramme ». Après le passage biffé, un signe à l'encre illisible.

63kummérien [connexe] (ramifié) de [\(S\), de] groupe de Galois \(\mu_a\), le diagramme induit par le changement de base \(\eta\) \(\to S\) étant cartésien. Un tel diagramme est unique à isomorphisme près, et \(f' \colon X' \to S'\) satisfait aux mêmes hypothèses que \(f\) dans , mais l'entier \(d(X'/S')\) (défini comme \(d = d(X/S)\) dans (2)) est maintenant égal à \(p^r\). Si \(I' \subset I\) est le groupe d'inertie relatif à \(S'\), alors pour tout entier \(n\) premier à \(p\), l'homomorphisme \[ u'_n \colon H^1(X', \mu_n) \longrightarrow H^1(X'_{\bar\eta}, \mu_n)^{I'} \] est injectif, et son conoyau est isomorphe à \({}_n\delta/{}_n\delta'\), où \(\delta\) est le sous-groupe de torsion de \(\operatorname{Coker} w\) (\(w\) défini dans (5)) et \(\delta'\) le sous-groupe de torsion de \(\mathrm{NS}(X_0)\). On en conclut, pour tout nombre premier \(\ell \neq p\), que l'homomorphisme \[ u'(\ell) \colon H^1(X', \underline{\mathbf{Z}}_\ell) \longrightarrow H^1(X'_{\bar\eta}, \underline{\mathbf{Z}}_\ell)^{I'} \] est un isomorphisme. « connexe » et « \(S\), de » sont ajoutés à l'encre au-dessus de la ligne. La lettre devant « \(\to S\) » est tracée à la main sur un blanc de la machine ; elle a la forme d'un \(\eta\) (lecture douteuse, on attendrait \(S' \to S\)). Les \(\delta\), \(\delta'\) et les \(\mu\) sont à la main ; après les deux \(\underline{\mathbf{Z}}_\ell\) de \(u'(\ell)\), un « (1) » tapé est effacé. « isomorphisme » est souligné au crayon ; une suite tapée (« et la même conclusion … ») est effacée à la machine. Le tapuscrit s'arrête ici, au milieu du feuillet, sur l'énoncé du Corollaire 15 ; aucune démonstration ne suit dans le dossier.

64en haut à droite, encadré : « \(\overset{\mathrm{dfn}}{=} \operatorname{Im}\bigl(\mathrm{Pic}(X_0) \to \underline{NS}_{X_0/k}(k)\bigr)\) »

Théorème \(S\) trait str. local,

\(X\) schéma propre sur \(S\), régulier, tel que \(\underline{\mathcal{O}}_S \xrightarrow{\sim} f_*(\underline{\mathcal{O}}_X)\), et que \(X_\eta\) admette un \(0\)-cycle de degré \(1\),

\(\Delta\) le groupe des diviseurs sur \(X\) tels que supp \(\subset X_0\),

\(c \colon \Delta \to \struck{\ill{}} = \underline{NS}_{X_0/k}(k)\) défini comme composé \[ \Delta \to \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(X_0) \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}(k) \to \underline{NS}_{X_0/k}(k) \to N \] dans « \(c \colon \Delta \to\) », un premier but biffé (« \(NS(X_0)\) » ?), puis « \(\underline{NS}(X_0)\) » surchargé en \(\underline{NS}_{X_0/k}(k)\) ; le « \(N\) » final de la ligne composée est tel qu'écrit.

\(\delta = \) […] sous-groupe de torsion de \(\operatorname{Coker} c\), […] sous-groupe de torsion de \(\underline{NS}(X_0)\), de sorte que \(\Delta \to \Lambda \xrightarrow{\lambda} \delta \to 0\)

Alors \(\delta\) est un groupe fini ; […] torsion \(NS(X_0) = \delta'\), soit \(\delta'' = \delta/\delta'\) ; et pour tout entier \(n\) premier à \(p\), on a une suite exacte canonique \[ 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{\ u_n\ } H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \longrightarrow {}_n\delta'' \to \struck{\ill{}}\ {}_n\delta' \to \delta_n \to \delta''_n \to 0 \] au-dessus de la flèche vers \({}_n\delta''\), une variante : « \(\nearrow {}_n\delta/{}_n\delta'\) » ; au bout, un « \(\to \delta''\) » raturé. La lecture de la fin de la suite est douteuse. compatible avec les […] de transition évidents en \(n\) ; d'où par passage à la limite, pour tout \(\ell\) nb. pr. \(\neq p\) \[ H^1(X, \mathbf{Z}_\ell) \xrightarrow{\ \sim\ } H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)^I \] (Théorème des cycles invariants).

Dém. \(X\) est plat sur \(S\), donc \(X_\eta\) dense dans \(X\), et \(H^1(X, \mu_n) \hookrightarrow H^1(X_\eta, \mu_n)\). à droite, au-dessus : « (car \(X\) intègre » On a le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
H^1(X, \mu_n) \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d] & {}_n\mathrm{Pic}(X) \arrow[d] & & \\
H^1(X_\eta, \mu_n)/(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) \arrow[r, "\alpha_\eta"] \arrow[d] & {}_n\mathrm{Pic}(X_\eta) \arrow[r, "\beta_\eta"] \arrow[d] & {}_nP(K) \arrow[r, "\simeq"] \arrow[d] & {}_nP(\bar K)^I \arrow[dl, bend left=20] \\
H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n) \arrow[r, "\alpha_{\bar\eta}"] & {}_n\mathrm{Pic}(X_{\bar\eta}) \arrow[r, "\beta_{\bar\eta}"] & {}_nP(\bar K) &
\end{tikzcd}

les flèches \(\alpha\), \(\alpha_\eta\), \(\alpha_{\bar\eta}\), \(\beta_\eta\), \(\beta_{\bar\eta}\) portent chacune le signe \(\sim\) ; l'arc de droite va de \({}_nP(\bar K)^I\) vers \({}_nP(\bar K)\).

où \(\alpha, \alpha_\eta, \alpha_{\bar\eta}\) sont des isom. par la théorie de Kummer et \(f_*(\mathcal{O}_X) \simeq \underline{\mathcal{O}}_S\) (NB \(V^*/V^{*n} = 0\), \(K^*/K^{*n}\) \(= \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\), car \(V\) str. loc.\@) ; \(\beta_\eta\) (et \(\beta_{\bar\eta}\)) […] isom. à cause de l'existence d'un \(0\)-cycle de degré \(1\) sur \(X_\eta\), donc […] […] que […] (*) s'identifie à : \[ (**) \qquad u' \colon {}_n\mathrm{Pic}(X) \to {}_n\mathrm{Pic}(X_\eta) \] Comme \(X\) est régulier (il suffirait : anneaux locaux factoriels), … \[ 0 \to \Gamma \xrightarrow{\ i\ } \mathrm{Pic}(X) \xrightarrow{\ v\ } \mathrm{Pic}(X_\eta) \to 0 \] où \(\Gamma = \Delta/\mathbf{Z}.X_0\), d'où \[ \operatorname{Coker} u_n \simeq \operatorname{Coker} {}_nv \simeq \operatorname{Ker} i_n , \quad \text{où } i_n \colon \Gamma_n \to \mathrm{Pic}(X)_n . \] le feuillet s'arrête ici. Les mots de liaison de la ligne suivant (**) sont illisibles.

66Comme On sait que On sait que

On a d'autre part, si \[ j_X \colon \Gamma \to \mathrm{Pic}(X_0) \] est le composé, d'où des \(j_n \colon \Gamma_n \to \mathrm{Pic}(X_0)_n\), […] l'inclusion évidente : \[ \operatorname{Ker} i_n \subset \operatorname{Ker} j_n . \]

en regard, souligné : « Lemme \(\mathrm{Pic}(X)_n \hookrightarrow \mathrm{Pic}(X_0)_n\) (du moins si \(S\) complet, ce qui suffit ([…].)) facile par les […] » Cette inclusion est [en fait] une identité. Pour le voir, on note que si \(L\) est un faisceau inv. sur \(X\), et si \(L_n = L|X_n\) est […] comme faisceau inversible, alors l'obstruction […] […] \(L_{n+1}\) comme faisceau inversible est nulle (cf. PCA, exposé sur Picard). Donc d'autre part \[ \mathrm{Pic}(X_0) = \underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}(k) \] puisque […] \(X_0\) […] un cycle de degré \(1\), d'où \[ 0 \to \mathrm{Pic}^0(X_0) \to \mathrm{Pic}(X_0) \to NS(X_0) \to 0 , \] avec \(\mathrm{Pic}^0(X_0) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \underline{\mathrm{Pic}}^0_{X_0/k}(k)\) et \(NS(X_0) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \operatorname{Im}\bigl(\underline{\mathrm{Pic}}_{X_0/k}(k) \to \underline{NS}_{X_0/k}(k)\bigr)\), et \(\mathrm{Pic}^0(X_0)\) est \(n\)-divisible, donc on a \[ \mathrm{Pic}(X_0)_n \hookrightarrow NS(X_0)_n \] à gauche, souligné : « prendre un […] principal » donc si \(k \colon \Gamma \to NS(X_0)\) est le composé \(\Gamma \to \mathrm{Pic}(X_0) \to NS(X_0)\), […] \[ \operatorname{Coker} u_n \simeq \operatorname{Ker} k_n . \]

à gauche, en regard : « cf. plus bas une démonstration » Je dis que [\(\Gamma\) est sans torsion et que] \(\delta\) est injectif i.e. qu'un faisceau inv. sur \(X\) qui est […] sur \(X_\eta\) est trivial. […] \(X_\eta\), […] \(X_0\) […] […] […] zéro, […] \(NS(X_0)\) […] […] indique ([…]) que […] […] \(\ell\)-divisible pour tout \(\ell \neq p\), […] un long passage (quatre lignes) est encadré et barré de traits obliques ; l'addition « \(\Gamma\) est sans torsion et que » est écrite au-dessus de la ligne, dans un cadre ; le « \(\delta\) » est peut-être un \(i\).

On a une suite exacte

\[ 0 \to \Gamma \xrightarrow{\ k'\ } NS(X_0) \xrightarrow{\ \lambda\ } \delta \to 0 \] à gauche, une première suite « \(0 \to \Gamma \xrightarrow{k} NS(X_0) \to \ldots \to 0\) », dont le troisième terme est raturé, avec en dessous « […] » biffé ; au-dessus, « \(\operatorname{Coker} k = \operatorname{Coker} \Delta\) ». Sous \(\delta\), à droite : « \(=\) sous-gr. des \(NS(X_0)\) dont un multiple provient de \(\Gamma\) ». d'où par […] suite exacte […] \[ \operatorname{Ker} k_n = \operatorname{Ker} k'_n \simeq \operatorname{Coker} {}_n\lambda . \] Comme \(\Gamma\) est sans torsion, […] \(\delta' \xrightarrow{\lambda} \delta\) est injectif, et on trouve que \(\operatorname{Coker} {}_n\lambda = {}_n\delta/{}_n\delta'\). […] […] […] […] la dernière ligne, au pied du feuillet, n'est pas lue.

68exacte \[ 0 \to \delta' \to \delta \to \delta'' \to 0 \] et la suite exacte associée \[ 0 \to {}_n\delta' \to {}_n\delta \to {}_n\delta'' \to \delta'_n \to \delta_n \to \delta''_n \]

Reste : prouver […] le fait que \(\Gamma\) est sans torsion. Mais \(\Gamma = \mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\), […] \(d\) est le pgcd des \(d_i\), \(X_0 = \sum d_i D_i\), \(\ell X_{0,\mathrm{red}} = \sum D_i\). […] […] si \(\exists\) […] \(X_\eta\) un \(0\)-cycle de degré 1 si […] […] un pt fermé \(x\) de \(X_\eta\), […] […] [schématique dans \(X\)] est un […] schéma fermé \(Z\) de \(X\), plat et fini sur \(S\), […] dont le degré sur \(S\) est aussi égal à la multiplicité d'intersection [\(Z . X_0\)] sur \(X\), qui est \(\sum d_i\, Z . D_i\), donc multiple de \(d\). Donc si […] \(d'\) est le pgcd des degrés des \(0\)-cycles sur \(X_\eta\), […] […] \(d \mid d'\). Comme \(d' = 1\), […] \(d = 1\). à gauche : « Lemme (ici \(X\) régulier, semble-t-il) » (D) \(\Gamma \to NS(X_0)\) est injectif.le « D » est entouré. à droite : « Soit \(R\) […] » […] […] qui utilise […] […] sans […], […] les suites exactes à gauche, souligné en diagonale : « Donnons […] […]. » \[ 0 \to H^1(X, \mu_n) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to {}_n\Gamma_n \to NS(X_0)_n \] d'où, par passage à la limite sur les puissances […] de \(\ell\) \[ 0 \to H^1(X, \mathbf{Z}_\ell(1)) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell(1))^I \to T_\ell(\Gamma \otimes \ldots) \to T_\ell(NS(X_0) \otimes \mathbf{Z}_\ell) \] i.e. […] […], comme \(T_\ell(\ldots)\) \(R \otimes \mathbf{Z}_\ell \simeq \operatorname{Ker}\bigl(\Gamma \otimes \mathbf{Z}_\ell \to NS(X_0) \otimes \mathbf{Z}_\ell\bigr)\) \[ 0 \to H^1(X, \mathbf{Z}_\ell(1)) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell(1))^I \to R \otimes \mathbf{Z}_\ell \to 0 \] au-dessus de cette suite, « \(T_\ell(R)\) » biffé, et un « \(\beta\) » ; les objets écrits \(\Gamma\) et \(\mathbf{Z}_\ell\) sont peu lisibles. à gauche : « [ ] en remarquant qu'ils […] » Démonstration […] invariante, signifiant […] […] […]. [[…] […] invariants ; […] […] […] de formule des cycles … […] : torsion près.]

L'idée est de se ramener au cas où \(X\) est de dim. … relative un. Dans ce cas, […] sait que \(\Gamma\) est […] dit […] \((D_i . D_j)\) […] […] […] \(r-1\)), […] ([…] le fait que […] […] […] […] \(D_i\) […]). passage encadré et barré de traits obliques.

Or c'est fait par Raynaud dans sa note : spécialisation des foncteurs de Picard, th. 3 […] […] sans […] […] projective. […] à gauche, entouré : « démontrer dév. suivants au cas de dim. rel. 1 » les deux dernières lignes du feuillet sont biffées de traits ondulés ; on y lit \(NS(X_0)\), sans plus.

70Variante Laissons tomber l'hypothèse \(d'\) (\(=\) pgcd des deg. des \(0\)-cycles sur \(X_\eta\)) \(= 1\). On sait que \(\mathrm{Br}(K)\) est un groupe de \(p\)-torsion, donc … \[ \to \operatorname{Pic}(X_\eta) \to P(K) \to \Theta \to 0 , \quad \text{où } \Theta \subset \mathrm{Br}(K) \] est un groupe de \(p\)-torsion, d'où résulte que \({}_n\operatorname{Pic}(X_\eta) \simeq {}_nP(K)\). […] […] […] […] que […] est isom. si […]. Mais \(\Gamma\) peut avoir de la torsion. […] trouve \[ 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to \Gamma_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n \to \] sous \({}_n\Gamma\) : « \(\simeq \mathbf{Z}/(n,d)\mathbf{Z}\) ». Soit et par passage à la limite sur les puissances de \(\ell\) \[ 0 \to H^1(X, \mathbf{Z}_\ell(1)) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell(1))^I \to \Gamma \otimes \mathbf{Z}_\ell \to \mathrm{NS}(X_0) \otimes \mathbf{Z}_\ell \] \[ \hookrightarrow R \otimes \mathbf{Z}_\ell \to 0 , \qquad R = \operatorname{Ker} \bigl(\Gamma \to \mathrm{NS}(X_0)\bigr) \] à gauche, encadré : « N.B. \(R \otimes \mathbf{Z}_\ell \simeq \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\) si \(\ell \mid d\), \(0\) sinon » On voit ainsi ([…] au moins modulo rés. des singularités, pour […] […] […] […] […]) que le noyau \(R\) de \(\Gamma \to \mathrm{NS}(X_0)\) est de torsion. […] […] […] […] […] […] à gauche, sous un trait : « mieux […] vérifier Raynaud […] […], p. 7 (ii) » […] (C'est donc un sous-groupe du tors \(\Gamma \simeq \mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\), […] […] cette tendance d'être égal à \(\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\) […] […], […] […] […] il le faudrait […] tors \(\Gamma\) […] […] […] le noyau […] […] Raynaud utilisé […] […] : […] arguments de Raynaud […] […] […] […] de \(S\) …) […] […], si à gauche : « demander à Raynaud si Ker est tout \(\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\). » \[ \Gamma' = \Gamma/\struck{\ill{}}\,T, \qquad T = \operatorname{Tors} \Gamma \] \[ 0 \to T_n \to \Gamma_n \to \Gamma'_n \to 0 \] […], utilisons un splitting de \(\Gamma \simeq \Gamma' \oplus T\), […] […] \[ \operatorname{Ker}\bigl(\Gamma_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n\bigr) \simeq T_n + \underbrace{\operatorname{Ker}\bigl(\Gamma'_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n\bigr)}_{\operatorname{Ker}(\bar\Gamma_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n)} \] […] \(\bar\Gamma \hookrightarrow \mathrm{NS}(X_0)\), \(\bar\Gamma = \Gamma/R\). […] […] […], comme \({}_n\bar\Gamma\) […] […] […] \(p\)-torsion \[ 0 \to \delta' \to \delta \to \delta'' \to 0 \] sous \(\delta'\) : « \(=\) tors. de \(\mathrm{NS}(X_0)\) premier à \(p\) ». Le feuillet s'arrête ici.

Th. d'orthogonalité pour les modèles de Néron, démonstration arithmétique

titre inscrit de sa main en haut à droite du feuillet de garde (page 72), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. On lit : « Th. d'orthogonalité \(\ell\)/p pour les modèles de Néron, démonstration arithmétique », et plus bas, du même crayon, « \(\ell\) (partiel !) ». Le signe au-dessus de « orthogonalité » est peut-être un \(\ell\) repris ; lecture douteuse. Les pages 73 à 80 suivent sans pagination de l'auteur.

73Un théorème d'orthogonalité

[…] \(A\) anneau noethérien \(J\)-adique (régulier et complet)

\(X = \operatorname{Spec} A\)

\(Y = \operatorname{Spec}(A/J) = V(J)\)

[…] \(U = X - Y\)

Pour tout schéma fini étale \(Z\) sur \(Y\), \(\tilde Z\) est le schéma fini étale sur \(X\) (unique à isom. unique près) le prolongeant. [Dit […] séparés] Donc […] […] faisceaux \(\ell\)-adiques constants tordus … « \(\tilde Z\) » avec tilde sur \(Z\) ; l'ajout est interlinéaire, sur un mot biffé.

\(G, G'\) schémas [en groupes commutatifs] […] [plats] séparés sur \(X\) à droite, encadré : « \(A\) et \(A'\) accouplés […] i.e. on a une classe de corr. div. sur \(A \times A'\) »

\(G_U = G|U\) est un schéma abélien \(A\)

\(G'_U = G'|U\) —— \(A'\)

\(\ell\) […] est premier inv. sur \(Y\), donc sur \(X\). à gauche, entouré : « Composantes […] […] de \(G\), […] dans […] […] \(A'\), \(A\) »

\(S \subset G_Y = G \times_X Y\) est [plat sur \(Y\) et] tel que \({}_{\ell^\nu}S\) fini sur \(Y\) pour tout \(\nu > 0\) […]

\(T' \subset G'_Y\) un tore Alors …

à gauche : « NB les \({}_{\ell^\nu}G\) sont étales et q.f. sép. sur \(S\), et leur restriction à \(Y\) contient les \({}_{\ell^\nu}S\), donc \({}_{\ell^\nu}G\) contient \({}_{\ell^\nu}\tilde S\). » \(T_\ell(\tilde S)\) est bien défini, et il en est de même de \(T_\ell(\tilde T)\) et … \[ T_\ell(\tilde S) \subset T_\ell(G), \qquad T_\ell(\tilde T) \subset T_\ell(G'), \] \[ T_\ell(\tilde S)|U \subset T_\ell(A), \qquad T_\ell(\tilde T)|U \subset T_\ell(A') . \] \[ \varphi_\xi \colon \ldots \longrightarrow T_\ell(\mathbb{G}_{m,U}) = T_\ell(\widetilde{\mathbb{G}_{m,Y}})|U \] la flèche verticale \(\varphi_\xi\) est suivie de « pairing : \(\xi\) induit » ; à droite, « \(T_\ell(S)\) ». Mise en ligne de l'éditeur.

Théorème \(\varphi_\xi\bigl(T_\ell(\tilde S)|U, T_\ell(\tilde T)|U\bigr) = 0\) […] […] […] en chaque pt \(x \in U\).

Dém. Il suffit de le prouver en chaque pt \(y \in \overline{\{x\}} \cap Y\), […], et donnons […] Prenant un point […] […] discret, […] […] […] […] […] […] […] […]. Je […] \(X\) […] un trait, \(Y\) […] pt fermé, \(U\) […] pt génér. Je suffit d'ailleurs, […] […] réduction […] formule […] suffit […] […] […] […] […] \(U\) : \(S\)-[…] […] […] […] les dernières lignes de la page, en écriture rapide, ne sont lues que par bribes.

74puisque, pour tout tel \(x\), choisir \(y \in \overline{\{x\}} \cap Y\) tel que \(k(y)\) soit fini [(c'est le cas si \(A/J\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\))]. Alors par l'argument précédent, […] on est ramené au cas […] [localisé complété de] […] […] […] discret \(X\) en \(y\), […] […] donc \(X\) local complet, de pt fermé \(y\), avec \(k(y)\) fini. Alors \(X - Y\) est de Jacobson, […] tout point […] de \(X - Y\) […] un pt \(z\) tel que \(\dim \overline{\{z\}} = 1\), \(\overline{\{z\}} = \overline{\{z\}}\) […] l'adhérence dans \(X\). […] […] […], […] […] : remplaçons \(X\) par \(Z\), […] […] […] \(X\) local complet de dim. \(1\), et normalisons, […] […] […] \(X\) est [le spectre d']un anneau de valuation discrète […] à corps résiduel fini, \(Y\) pt fermé. L'homomorphisme envisagé correspond […] […] […] […] \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K)\), restreint à […] groupe d'inertie \(I\). de \(\pi_0 = \operatorname{Gal}(\bar k/k)\) […] […] \(\hat{\mathbf{Z}}\) … \(T \simeq \mathbb{G}_{m,k}^r\) ([…] […] résiduelle finie) et \(T_\ell(\tilde T)|U\) correspond … \(T_\ell(\bar K^*) \simeq T_\ell(\bar k^*)\), \(\bigl(T_\ell(\mathbb{G}_{m,k})|U\bigr) \simeq T_\ell(\mathbb{G}_{m,k}) \simeq T_\ell(k^*)\), comme modules sur \(\pi_0\). D'autre part, […] \(S\) […] \(T_\ell(S)\) correspond. un passage de six lignes est encadré et barré de traits obliques. L'accouplement sur \(U\), comme \(X\) […], provient d'un accouplement \[ T_\ell(S) \times T_\ell(T) \to T_\ell(\mathbb{G}_{m,k}) . \] Donc […], […] […] est ramené au

Lemme Soit \(k\) un corps fini, \(S\), \(T\) deux […] groupes alg. commutatifs sur \(k\), […] […] [\(T\) de t. mult.] tore. Alors tout accouplement \[ T_\ell(S) \times T_\ell(T) \to T_\ell(\mathbb{G}_m) \] est identiquement nul.

75En effet, […] on peut supposer [\(S\), \(T\) connexes réduits, donc \(T\) un tore,] réduits ; […] […] extension [finie] de \(k\), […] \(T\) […] un tore […] \(S\) […] \(S\) On peut supposer aussi \(S\) extension d'une VA par un tore \(S_0\). Quitte à faire une extension finie, on peut supposer \(S_0 \simeq \mathbb{G}_m^r\), \(T \simeq \mathbb{G}_m^s\). Alors \[ T_\ell(S_0) \times T_\ell(T) \to T_\ell(\mathbb{G}_m) \] est un accouplement \(\mathbf{Z}_\ell^r \otimes \mathbf{Z}_\ell^s \to \mathbf{Z}_\ell\), où […] […]. […] le Frob. opère sur […] les trois facteurs par \(q\,\mathrm{id}\), \(q\,\mathrm{id}\), \(q\,\mathrm{id}\), donc […] […] […] produit […] par \(q^2\,\mathrm{id}\), […] […] […] par \(q\,\mathrm{id}\). Donc l'accouplement induit est nul. Cela […], […] […] […] […] […] \(S\) une V.A. Mais, par Weil, les val. propres de \(f\) opérant sur […] \(T_\ell(S)\) sont de val. absolue \(q^{1/2}\), donc les val. propres sur \(T_\ell(S) \otimes T_\ell(\mathbb{G}_m)\) sont de val. absolue \(q^{3/2}\), […] […] sur \(T_\ell(\mathbb{G}_m)\) […] \(q\), […] […] […] nullité.

Nous traitons maintenant le cas général, […] […] […] supposons, […] […] […] […] \(X\) un […] [\(= \operatorname{Spec} V\), […] de type fini] […] […] […] pt fermé. […] […] \[ V = \varinjlim A_i , \quad A_i \subset V , \quad A_i \ni \ldots \text{ de t.\ f.\ sur } \mathbf{Z} . \] […] Soient \(X_i = \operatorname{Spec} A_i\), \(Y_i = V(J_i)\), \(U_i = X_i - Y_i\), donc \[ X = \varprojlim X_i , \quad Y = \varprojlim Y_i , \quad U = \varprojlim U_i . \]

76Pour \(i\) grand, \(G\), \(G'\) proviennent de \(G_i\), \(G'_i\) [sch. en groupes commut. de t.f.] plats sur \(X_i\), et \(\xi\) d'une corr. \(G_i|U_i = A_i\) et \(G'_i|U_i = A'_i\) des sch. abéliens, \(\xi\) provient d'une classe de corr. div. \(\xi'\) sur \(A_i \times A'_i\), \(T\) provient d'un tore \(T_i \subset G'_{Y_i}\), \(S\) provient d'un sous-schéma plat \(S_i \subset G_{Y_i}\). De plus, […] […] on peut […] conditions supposer \(S\) connexe [(car on peut le remplacer par \(S^0\))] et […] […] […] […] […] […] extension […] successive d'une V.A., d'un tore […] […] […] et d'un groupe […]. On peut supposer la même […] […] pour \(S_i\). […] On peut supposer aussi (remplaçant au besoin \(A_i\) \(A\) par \(A_i[1/\ell]\)) que \(\ell\) inv. sur les \(X_i\), […] […] sur les \(Y_i\). Alors les \({}_{\ell^\nu}S_i\) sont connexes […] […] finis sur \(Y_i\). Bref, tous les données analogues, avec les […] provenant de […] données […] […] [\(X_0 = \operatorname{Spec} A_0\)] de type fini sur \(\operatorname{Spec} \mathbf{Z}\). De plus, si \(\mathfrak{p} = \mathfrak{m} \cap A_0\), alors \(A_0 \to V\) induit \(\hat A_0 \to V\), […]. Donc, […] […] remplaçant […] […] « \(A_0\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\) » par « \(A_0\) \(\mathfrak{p}\)-adique régulier et complet, avec \(A_0/\mathfrak{p}\) de t.f. sur \(\mathbf{Z}\), et \(A_0 \to V\) continue pour les topologies adiques ». On est ramené alors au théorème pour […] \(X_0, Y_0, G_0, G'_0, \xi_0, S_0, T_0\), et il relève du cas 1. CQFD.

78Corollaire 1 \(V\) anneau de val. discrète [hensélien, corps résiduel \(k\)], \(K\) corps des fractions, [\(\bar K\) clôture alg.], \(A\) schéma abélien sur \(K\), \(G\) modèle de Néron de \(A\), [\(T\) tore maximal de \(G_k\),] […] dans \(T_\ell(A)\) \(\ell\) nb premier \(\neq\) car. \(k\), […] \(T_\ell(\tilde G_k)|U\) […] \[ T_\ell(\tilde T)|U \subset T_\ell(\tilde G_k)|U \subset T_\ell(A) \] et en prenant les points à valeurs dans \(\bar K\) \[ M(A)^I_0 \subset M(A)^I \subset M(A) = T_\ell(A(\bar K)) \] les deux premiers termes sont surchargés (un premier « \(M(T)\) » corrigé en \(M(A)\)), un « \(T_\ell(A(\bar K))\) » final est biffé ; le \(0\) en indice est tel qu'écrit. où \(I\) est le groupe d'inertie \(\subset \pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K)\), et où l'exposant \(I\) désigne les invariants sous \(I\). Ceci posé, si \(A'\) est un schéma abélien [sur \(K\)], et \(\xi\) une […] corr. divisorielle sur \(A \times A'\), d'où un accouplement compatible avec \(\pi\) \[ \varphi_\xi \colon M(A) \times M(A') \to T_\ell(\bar K^*) \struck{= \ldots} , \] d'où des relations entre \(M(A)^I\) et \(M(A')^I_0\), […] entre \(M(A)^I_0\) et \(M(A')^I\).

généraux, ainsi que [En particulier]

Corollaire 2 Soit \(\xi\) une polarisation sur \(A\), d'où une forme bil. alternée non dégénérée \[ \varphi_\xi \colon M(A) \times M(A) \to T_\ell(\bar K^*) \] Alors \[ \varphi_\xi(M^I, M^I_0) = 0 . \] En effet, les […] corollaires […] […] équivalents, […] […] […] […] […] …

Remarque [Si \(k\) est sép. clos,] à la limite projective, les accouplements \[ {}_{\ell^\nu}A'(K) \times {}_{\ell^\nu}T(k) \to {}_{\ell^\nu}k^* \simeq {}_{\ell^\nu}K^* \] sont nuls. Cependant ces accouplements […] […] […]

79[…] pas nuls […] […], […] […] même pour \(\nu = 1\). En effet, si […] \(x \in {}_{\ell^\nu}T(k)\) [\(\subset {}_{\ell^\nu}A(K) \subset {}_{\ell^\nu}A(\bar K)\)] est […] non nul, il existe un \(x' \in {}_{\ell^\nu}A'(\bar K)\) tel que […] \(\varphi(x, x') \neq 0\), et […] quitte à agrandir \(K\) en \(K'\), on aura donc un accouplement \({}_{\ell^\nu}A'(K) \times {}_{\ell^\nu}T(k) \to {}_{\ell^\nu}k^*\) non nul … à gauche, reliée par un trait : « […] par \(A'\) le dual de \(A\). » le reste du feuillet est blanc.

80la page entière est barrée de deux longs traits obliques ; elle se lit néanmoins.

Théorème \(V\) anneau de val. discrète [str. hensélien], corps fr. \(K\), corps rés. \(k\),

\(A\) schéma abélien sur \(K\), modèle de Néron \(G\)

\(A'\) —— dual, —— \(G'\)

\(A_K\) \(\bar K/K\), \(T_\ell(A(\bar K))\) \(T\) tore maximal de \(G_k\), \(T'\) —— \(G'_k\), \[ \begin{aligned} T_\ell(A(\bar K)) \supset T_\ell(A(\bar K))^I &= T_\ell\bigl(A(\bar K)^I\bigr) = T_\ell(A(K)) = T_\ell(G(V)) \\ &= T_\ell(G(k)) = T_\ell(G^0(k)) \supset T_\ell(T(k)) \end{aligned} \] sous le premier terme, « \(\shortparallel\) \(M\) » ; en fin de première ligne, un terme raturé. \[ \begin{gathered} M \supset M^I \supset M^I_0 \\ M' \supset M'^I \supset M'^I_0 \end{gathered} \qquad \text{de } \ldots \] On a \[ M \times M' \xrightarrow{\ \varphi\ } T_\ell(\mathbb{G}_m(\bar K)) = T_\ell(\bar K^*) \quad \bigl[\ \overset{\text{non can.}}{\simeq} \mathbf{Z}_\ell\ \bigr] \] Je dis que \[ \begin{cases} \varphi(M^I_0, M'^I) = 0 \\ \varphi(M^I, M'^I_0) = 0 \end{cases} \]

Dém. Pour simplifier, supposons \({}_\ell G_k \subset G^0_k\). … \[ V = \varinjlim A_i , \quad A_i \subset V \text{ de t.f.\ sur } \mathbf{Z}, \ \text{\uncertain{avec} } t, \ \text{\uncertain{normaux}}. \] \(G\) provient de \(G_i\), \(G'\) de \(G'_i\). \(T\) de \(T_i\), \(T'\) de \(T'_i\). On peut supposer que … \[ X_i = \operatorname{Spec}(A_i), \quad Y_i = V(t_{X_i}), \quad U_i = X_i - Y_i = X_{i,t} , \] \[ {}_\ell G(k) = \varinjlim {}_\ell G_i(Y_i), \qquad {}_\ell G'(k) = \varinjlim {}_\ell G'_i(Y_i) \] à droite : « On peut supposer \(Y_i\) connexe, donc les morphismes de transition injectifs. Pour \(i\) grand, ils sont bijectifs. » \[ {}_\ell G(k) \simeq {}_\ell G_i(Y_i), \qquad {}_\ell G'(k) \simeq {}_\ell G'_i(Y_i) \qquad \Big|\ {}_\ell T \] le feuillet s'arrête ici ; « \(t\) » est l'uniformisante de \(V\).