Fonds Grothendieck, cote n° 36, pages 41–60

Picard et dualité (suite)

le titre de section est repris du feuillet de garde de la page 34 (lot précédent) ; rien n'indique sur les feuillets qui suivent qu'ils lui appartiennent tous

toute la page est barrée de deux longues diagonales ; elle se lit sous elles. En haut à droite, un numéro 17, de sa main

\begin{tikzcd} f^{-1}(U) \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "f"'] & X \arrow[d, "f"] \\ U \arrow[r, "j"'] \arrow[u, bend right=30, "g"'] & Y \end{tikzcd}

gf = i, \qquad fg = j le schéma et les deux relations sont dans la marge de gauche ; la flèche g monte de U vers f^{-1}(U) en diagonale

f morphisme birationnel propre de préschémas intègres X, Y. « propre » est ajouté au-dessus de la ligne

U ouvert de Y sur lequel f^{-1} est défini [si Y est régulier en codim. 1, alors U est le complémentaire d'une partie de codim. \geqslant 2], ~~i.e. aussi les~~ i.e. aussi les ont un voisinage V tel que f induise un isom. f^{-1}(V) \to V.

Soit \xi \in \operatorname{Pic}(X) défini par un ~~cycle~~ divisoriel D (Cartier), considérons ~~le morphisme~~ g^{-1}(\xi) \in \operatorname{Pic}(U), il correspond à un cycle divisoriel le mot rayé au-dessus de « divisoriel » est relié par un trait à l'endroit de l'insertion ; la page s'arrête sur « cycle divisoriel »

\mathcal{H}^1(X; A) \qquad \mathcal{E}xt^1(A, \underline{\operatorname{Pic}}) sous \mathcal{H}^1(X;A), un trait descend vers l'annotation « pt singulier » ; à gauche, deux croquis de courbes : une boucle fermée marquée d'un point, et une courbe qui se recoupe en un point marqué

\boxed{\mathcal{H}^1(X, G) \simeq \operatorname{Hom}(D(G), \underline{\operatorname{Pic}}_X)} \mathcal{H}^i(X, D(G)) \simeq \operatorname{Ext}^i(G, \underline{\operatorname{Pic}}_X) \mathcal{E}xt^i_X(f^*(G), \mathbb{G}_m) \simeq \mathcal{E}xt^i_Y(G, f_{\cdot}(\mathbb{G}_m)) l'indice de f au second membre est un simple point

\boxed{\underline{\mathcal{E}xt}^i_X(f^*(G), H^{\cdot}) \simeq \underline{\mathcal{E}xt}^i_Y(G, f_!(H^{\cdot}))} \qquad \text{avec } f\colon X \to Y la flèche verticale f\colon X \to Y est dessinée dans la marge, à gauche de l'encadré

H = \mathbb{G}_m \underline{\mathcal{E}xt}^i_X(f^*(G), \mathbb{G}_m) \simeq \underline{\mathcal{E}xt}^i_Y(G, \underline{\operatorname{Pic}}^{\bullet}_{X/Y}) le point en exposant de \underline{\operatorname{Pic}} est cerclé et annoté « les supérieurs » ; sous le premier membre, une double flèche montante part de « (X, », et sous le signe \simeq un double trait vertical descend vers la ligne suivante

[G fini, alors H^i(X, D(G)) \Leftarrow \mathcal{E}xt^i(G, \underline{\operatorname{Pic}}^{(1)}_{X/Y}) \begin{array}{ll} i = 0 & H^0(X, D(G)) = D(G) \\ i = 1 & H^1(X, D(G)) = \operatorname{Hom}(G, \underline{\operatorname{Pic}}^{(1)}) \\ i = 2 & H^2(X, D(G)) \neq \mathcal{E}xt^1(G, \underline{\operatorname{Pic}}^{(1)}_{X/Y}) + \operatorname{Hom}(G, \underline{\operatorname{Pic}}^{(2)}_{X}) \end{array} la ligne entre crochets est encadrée ; devant D(G) (cas i=0) un « Hom » est biffé, devant \operatorname{Hom} (cas i=1) un « Ext » ; sous le \neq du cas i=2, un point d'exclamation ; le dernier terme, au bord droit, est lu en partie. L'exposant (1) est lu sous réserve

H^{i-1}(X, G') \Leftarrow \mathcal{E}xt^{i}(G, \underline{\operatorname{Pic}}^{?}_{X/Y}) la dernière ligne, au pied de la page, est lue en partie ; les exposants du second membre sont illisibles (un point d'interrogation, peut-être le sien, tient lieu de l'exposant de \underline{\operatorname{Pic}}). Au-dessous : « i=1 » et « H^0(X, G') = », sans suite

Foncteurs adjoints

Définition 1 Soient X, Y \in (\mathrm{Cat}), f\colon X \to Y et g\colon Y \to X, on dit que (f, g) est un couple de foncteurs adjoints, ou que g est adjoint de f, ou que f est coadjoint de g, s'il existe un la définition s'arrête là ; un long trait oblique la sépare du reste de la page

\mathcal{H}^1(X, \underline{\operatorname{Hom}}(\gamma, G)) \simeq \mathcal{H}^1(X, \underline{\operatorname{Ext}}^1(\gamma, G)) écrit sur deux lignes, le signe \simeq en fin de première ligne ; en dessous, « \operatorname{Ext}^1(\gamma, » commencé puis abandonné sous deux traits. Même \gamma bouclé qu'à la page 40

X \to \underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, G), \qquad X \times \gamma \to G, \qquad \gamma \to \underline{\operatorname{Hom}}_S(X, G) écrit en colonne à droite ; sous le troisième, un croquis relie S et G par un trait marqué \mathrm{pr}_2, puis « \operatorname{Hom}(\gamma, » inachevé

\prod^{\circ}_{X/S} \gamma_X = \underline{\operatorname{Hom}}_S(X, \gamma) \doteq \gamma e \to \gamma \to \underline{\operatorname{Hom}}_S(X, \gamma) \to \operatorname{Hom}(X, a; \gamma) \to 0 le premier membre est écrit sur une ligne et le second, précédé d'un double trait vertical, sous lui ; le petit cercle est au-dessus du \prod

D'après la théorie d'Artin-Schreier-Witt, on a H^1(A, \mathbb{Z}/p) \simeq H^1(A, \underline{O}_A)^{(p)} \qquad \text{éléments de } H^1(A, \underline{O}_A) \text{ tels que } Fx = x H^1(A, \mathbb{Z}/p^n) \simeq H^1(A, \underline{O}_A(W_n))^{(p)} \qquad H^1(A, \underline{O}_A(W_n)) \text{ tels que } Fx = x \boxed{\operatorname{Hom}(\pi_1^p(A), \mathbb{Z}_p) = H^1(A, \mathbb{Z}_p) \simeq H^1(A, \mathbb{W})^{(p)}} dualité entre à droite de l'encadré, quelques mots rapides lus en partie ; dans l'encadré, un signe raturé devant \mathbb{Z}_p, et un autre en indice de la parenthèse finale

~~accouplement~~ Donc explicitons

~~\pi_1^p(A) \times H^1(A, \mathbb{W})_s \to \mathbb{Z}_p~~

qui est une dualité de \mathbb{Z}_p-modules libres de type fini \boxed{\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\pi_1^p(A), \Lambda) \simeq H^1(A, \mathbb{W})_s} la formule biffée et la suivante sont encadrées ensemble et reliées par un grand arc ; le \Lambda est lu sous réserve

D'autre part, utilisant le fait que tout revêtement de A est une variété abélienne, on trouve aussi \boxed{\pi_1^p(A) \simeq T_p(A)} d'où accouplement \boxed{T_p(A) \times H^1(A, \mathbb{W})^{(p)} \longrightarrow \mathbb{Z}_p} qui est une dualité de \mathbb{Z}_p-modules libres de type fini.

~~qu'on peut aussi écrire~~ dans dualité \boxed{\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(T_p(A), W_\infty(k)) \simeq H^1(A, \mathbb{W})_s} devant W_\infty(k), une lettre raturée

A variété abélienne en car. p. On a, pour la partie de \pi_1(A) première à p \pi_1^{\neq p}(A) \simeq \varprojlim_{\substack{n \\ (n,p)=1}} A^{(n)} où A^{(n)} est le noyau de A \xrightarrow{\ n\ } A, et où A^{(mn)} \to A^{(n)} est la multiplication par m. \boxed{\pi_1^{\ell}(A) \simeq \varprojlim_{k} A^{(\ell^k)} \simeq T_\ell(A) = \operatorname{Hom}(\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell, A)} \qquad \text{module de Tate} \ell étant un nb premier \neq p. Ce résultat provient du fait qu'un revêtement non ramifié d'une variété abélienne est une variété abélienne.

D'après Kummer, on a d'autre part \operatorname{Hom}(\pi_1^{\ell}(A), U_\ell) \simeq \text{sous-groupe de } \underline{\operatorname{Pic}}(A) = H^1(A, \underline{O}_A^*) des éléments d'ordre une puissance de \ell.

Si on admet que A pas de torsion, on obtient donc \operatorname{Hom}(\pi_1^{\ell}(A), U_\ell) \simeq A^{*(\ell^\infty)}, \quad \text{i.e.} \boxed{T_\ell(A) \times T_\ell(A^*) \longrightarrow T_\ell(U_\ell)} accouplement à valeurs dans le \mathbb{Z}_\ell-module libre de rang 1 T_\ell(U_\ell), et accouplement qui est une dualité. T_\ell(A)/\ell^k T_\ell(A) \times T_\ell(A^*)/\ell^k T_\ell(A^*) \longrightarrow T_\ell(U_\ell)/\ell^k T_\ell(U_\ell) A^{(\ell^k)} \times A^{*(\ell^k)} \longrightarrow U^{(\ell^k)}

Biextensions de faisceaux de groupes

titre inscrit au crayon en haut à droite du feuillet de garde (page 46), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

0 \to P' \to P \to P'' \to 0 \qquad Q a) {}_nQ = Q b) {}_nP \to P'' épimorphisme

Toute biextension E de P \times Q ~~définit~~ par G définit

a) Une biextension E' de P' \times Q par G, d'où un accouplement {}_nP' \times {}_nQ \xrightarrow{\ E'(n)\ } G

b) Une biextension de {}_nP \times Q par G, i.e. un accouplement {}_nP \times {}_nQ \xrightarrow{\ \varphi\ } G E et E' sont ajoutés au-dessus de la ligne. À droite de a) et b), un bloc accolé et rayé de hachures obliques, lu en partie : ~~Le 0 \to P' \to P \to P'' \to 0 \operatorname{Hom}(P\otimes Q, G) \to \operatorname{Hom}(P'\otimes Q, G) ; \underline{\operatorname{Hom}}(P'\otimes Q, G) = 0~~

~~Avec les~~ Ces deux (E', \varphi) satisfont à la condition que \varphi|({}_nP' \times {}_nQ) = E'(n)

Un hom. de biextensions E_1 \to E_2 définit un hom. (E'_1, \varphi_1) \to (E'_2, \varphi_2), i.e. (déf) un hom. de biextensions u\colon E'_1 \to E'_2, tel que \varphi .

Je dis que le foncteur E \mapsto (E', \varphi) est une équivalence de catégories.

a) ~~a) \operatorname{Hom}(P\otimes Q, G) \simeq \operatorname{Hom}(P'\otimes Q, G)~~ ~~b) E_1 \simeq E_2 (E'_1, \varphi_1) \simeq (E'_2, \varphi_2)~~

Pl. fidèle signifie aussi que E \mapsto E|(P', Q) est pl. fid., i.e. , que \underline{\operatorname{Hom}}(P''\otimes Q, G) = 0, (ou) \operatorname{Hom}(P\otimes Q, G) \to \operatorname{Hom}(P'\otimes Q, G) surj. ~~(**) tel que (E', \varphi) \simeq , si E est tel que E' = 1, \varphi = 0, alors E = 1~~ La première condition résulte de a) et b) qui impliquent P''\otimes Q = 0, la deuxième résulte de c) [dans la deuxième alternative de c) les deux côtés de (**) sont nuls !].

~~Exemple~~. Pour (***), on note que si E' = 0, la suite exacte, E est déterminé par un élément de \operatorname{Ext}^1(P''\otimes Q, G), ou aussi équivalemment par un élément de \operatorname{Hom}(P''\otimes_{?} Q, G), on donne que c'est ce que définit \varphi . toute la partie de la page qui va de « Pl. fidèle » à « ce que définit \varphi » est barrée de longues diagonales ; elle se lit sous elles. Le c) invoqué n'est pas sur la page

Corollaire 1 Supposons, pour un \mathbb{P} , que (\varinjlim_{n} {}_nP) \to P'' surjectif, et que p \in \mathbb{P} \Rightarrow pQ = Q. Alors on a une équivalence E \mapsto (E', \varphi), où E' est une sous la limite, « n décrivant \mathbb{P} » ; le texte continue page 49

page non retranscrite : feuillet d'un tapuscrit en français, numéroté 15 en haut à droite, qui n'est pas de lui et n'appartient pas à SGA 7 (préfaisceaux et faisceaux de A-modules sur un site C : le foncteur faisceau associé a, adjoint à gauche de \mathcal{H}^0, formules (21)–(23), Propositions 2.2 et 2.3 liant la cohomologie de Čech à celle des faisceaux, renvois « (2.3.14.II) » et « [T.F.] Chap. II, § 5, Th. 10.2 »). Interventions à l'encre, d'une main non établie ici : « adjoint » entouré dans la marge gauche, en regard d'un passage tapé entre crochets ; en marge, la formule F(aS) \xrightarrow{\sim} \mathcal{H}^0(F)(S) « i.e. : », appelée devant la formule (22), dont une première version tapée est biffée ; « Laisser ici un interligne », entouré, avec une flèche, avant « Nous allons maintenant énoncer » ; des crochets devant les deux propositions ; « fonctorielle » corrigé.

biextension restreinte de P, Q par G, et où (E', \varphi) est le couple d'une biext. E' de P', Q par G et d'un hom. \varphi\colon T_{\mathbb{P}}(P) \times T_{\mathbb{P}}(Q) \longrightarrow T_{\mathbb{P}}(G) qui étende l'hom. \varphi_{\mathbb{P}, E'}\colon T_{\mathbb{P}}(P') \times T_{\mathbb{P}}(Q) \longrightarrow T_{\mathbb{P}}(G) devant \varphi_{\mathbb{P},E'}, une lettre biffée

2 NB On considère les T_{\mathbb{P}}(P) comme syst. projectifs ~~stricts~~ syst. projectif limite) ; cette description si \forall p \in \mathbb{P}, {}_pP' = P', ; il faut garder le syst. {}_nP \times {}_nQ \to {}_nG avec la compatibilité des restrictions {}_{n}P' \times {}_{n}Q … le « 2 NB » est encadré dans la marge droite, à hauteur de la formule précédente et du corollaire 2 ; écrit serré avec plusieurs surcharges, il n'est lu qu'en partie

Corollaire 2 Soient deux suites exactes 0 \to P' \to P \to P'' \to 0, \qquad 0 \to Q' \to Q \to Q'' \to 0 et supposons que, pour un \mathbb{P} de nbs premiers, on ait :

a) p \in \mathbb{P} \Rightarrow p P = P, p Q' = Q' (ou le symétrique) ~~(ou pP = P pQ = Q)~~

b) Les \varinjlim_{n \to \mathbb{P}} {}_nP \to P'' et \varinjlim_{n \to \mathbb{P}} {}_nQ \to Q'' épim.

NB remarquer que, tel que que P', Q', P'', Q'' soient \mathbb{P} dans a), de b), {}_nP \times {}_nQ \to {}_nG … second NB encadré, à droite de a)–b), lu en partie

Alors le foncteur E \longmapsto (E', \varphi) envoyant : les biext. de P, Q par G sur restriction E' à P', Q' et la forme \varphi_{E,\mathbb{P}} \varphi\colon T_{\mathbb{P}}(P) \times T_{\mathbb{P}}(Q) \longrightarrow T_{\mathbb{P}}(G) prolongeant \varphi_{E';\mathbb{P}}\colon T_{\mathbb{P}}(P') \times T_{\mathbb{P}}(Q') \longrightarrow T_{\mathbb{P}}(G) est une équivalence de catégories.

Dém. On applique d'abord le corollaire 1 à 0 \to P' \to P \to P'' \to 0 et Q', en utilisant pQ' = Q', \varinjlim_{n} {}_nP \to P'' épim. Cela donne une description des biextensions de P, Q'. On applique ensuite le cor. 1 à P et 0 \to Q' \to Q \to Q'' \to 0, en utilisant pP = P et \varinjlim_{n\to \mathbb{P}} {}_nQ \to Q'' épim. sous « équivalence de catégories », une petite ligne, « supposons », et au-dessus de « corollaire 1 », un mot biffé

page non retranscrite : feuillet du même tapuscrit, numéroté 13 en haut à droite (le foncteur \mathcal{H}^0\colon C^{\sim}_A \to C^{\wedge}_A et ses dérivés \mathcal{H}^q, formules (10)–(14), préfaisceaux de cohomologie de Čech \check{\mathcal{H}}^q(G)). Interventions à l'encre : au premier membre de la formule (12), la version tapée est noircie et remplacée par \mathcal{H}^q(F)(X) ; de même en (14) par \check{\mathcal{H}}^q(G)(X) ; tout le passage entre deux traits qui précède (14) est haché de traits obliques ; « Ainsi qu' » biffé et remplacé par « Comme » ; « les » ajouté dans la marge avant « préfaisceaux d'A-modules »

Biextensions sans hyp. de rigidité

A, G faisceaux abéliens sur un topos \mathcal{S}, f\colon A \to S le titre est écrit au-dessus de la première ligne et souligné ; les mots après f\colon A \to S sont en indice, illisibles

a) Supposons \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, G) \simeq 0. Alors \operatorname{Ext}^1(A, G) \xrightarrow{\ \sim\ } H^0(S, \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G)) donc la connaissance des faisceaux \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G) implique celle de \operatorname{Ext}^1(A, G) et celle des \operatorname{Ext}^1(A_{?}, G_{?}). les indices de A et G dans ce dernier terme sont illisibles

b) Supposons \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{pct}}(A, G) = 0, [i.e. f_*(G_A) \xleftarrow{\ \sim\ } G]. Alors H^1(A, G_A) \simeq H^1(S, G) \times H^0(S, R^1f_*(G_A)) sous « pct », en petit : « Hom (pas nécessairement multiplicatifs) qui respectent la section unité ». Le coefficient du premier membre est écrit plutôt A_G ; on le rend par G_A, comme au second membre

\begin{array}{c} H^0(S, R^1f_*(G_A)) \\ \wr \\ \text{Classes d'isom.\ \uncertain{prises} des } G_A\text{-torseurs rigidifiés \uncertain{rel.}\ à } e_A \\ \wr \\ \text{Classes de } G_A\text{-torseurs rigidifiables par } e_A. \end{array} dans la colonne de droite, sous le dernier facteur ; devant « rigidifiés », un mot biffé, et devant « G_A-torseurs » de la dernière ligne, « torseurs » biffé

De plus, le foncteur évident, qui va de la catégorie des extensions de A par G dans la catégorie des G_A-torseurs e_A-rigidifiés, est un foncteur pl. fid. (de catégories discrètes), ( on a une injection 0 \longrightarrow \operatorname{Ext}^1(A, G) \longrightarrow H^1(A, G_A) \quad ); l'image essentielle est formée des G_A-torseurs ~~tels que \xi~~ \pi^*(L) \simeq \mathrm{pr}_1^*(L)\, \mathrm{pr}_2^*(L) \qquad \text{i.e.\ tels que} \pi^*(L)\, \mathrm{pr}_1^*(L)^{-1}\, \mathrm{pr}_2^*(L)^{-1} \simeq 0 . On trouve conclusion une suite exacte A \times A \overset{\mathrm{pr}_1,\ \mathrm{pr}_2,\ \pi}{\longrightarrow} A trois flèches parallèles, marquées \mathrm{pr}_1, \mathrm{pr}_2, \pi, dans la marge de gauche

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 0 \arrow[r] & \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G) \arrow[r, "i"] & R^1f_*(G_A) \arrow[r, "j"] \arrow[dl, "k"'] & \underline{\operatorname{Tors}}\,\underline{\operatorname{birig}}\,\underline{\operatorname{sym}}(A, A; G) \arrow[d, no head, "\Vert" description] \\ 0 \arrow[r] & \underline{NS}(A) \arrow[rr, "j'"] & & \underline{\operatorname{Tors}}\,\underline{\operatorname{birig}}\,\underline{\operatorname{sym}}(A, A; G) \end{tikzcd}

la flèche k descend en oblique de R^1f_*(G_A) vers \underline{NS}(A) ; entre \underline{NS}(A) et j', un signe noirci. À gauche de la seconde ligne, « i.e. »

c) Soit B un autre faisceau abélien. Supposons de même que \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, G) = 0. Alors on trouve que la ~~fonction~~ catégorie ~~naturel~~ \underline{\operatorname{BIEXT}}(A, B; G) est discrète et

~~\operatorname{Biext}(A, B; G) \longleftarrow~~

\operatorname{Biext}(A, B; G) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{gr}}(B, \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G)) \operatorname{Biext}(A, B; G) = H^0(S, \underline{\operatorname{Biext}}(A, B; G)) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{gr}}(B, \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G)) au-dessus de \underline{\operatorname{Ext}}^1(A,G) dans la première formule, « A' »

Si on suppose de plus seulement que ~~Biext~~ \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{pct}}(A, G) = 0, on trouve \operatorname{Biext}(A, B; G) \hookrightarrow \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{gr}}(B, R^1f_*(G_A)) \hookrightarrow H^0(B, R^1f_{B*}(G_{A \times_S B})) sous R^1f_*(G_A), une variante noircie ; au-dessus de la seconde inclusion, \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{ens}}(B, R^1f_*(G_A)) \simeq le dernier terme, l'indice « ens » lu sous réserve \begin{array}{c} H^0(B, R^1f_{B*}(G_{A \times_S B})) \\ \Vert \\ \text{classes de } G_{A \times_S B}\text{-torseurs rigidifiés par : } e_{A \times_S B} \\ \downarrow \\ H^1(A \times_S B, G_{A \times_S B}) \end{array} dans la colonne de droite ; après « G_{A\times_S B}-torseurs », deux lignes biffées. Une accolade y rattache, à gauche : « = classes de G_{A\times_S B}-torseurs rigidifiables par e_{A\times_S B} »

\begin{tikzcd}[row sep=small] A \arrow[r, no head] \arrow[d, "f"'] & A \times_S B \arrow[d, "f_B"] \\ S \arrow[r, no head] & B \end{tikzcd}

Les torseurs sur A \times_S B par G_{A \times_S B} qui définissent des sont ceux qui a) sont e_{A \times_S B} rigidifiables ; et pour lesquels l'application B \to R^1f_*(G_A) qui les définit a deux vertus : b) c'est additif c) ça se factorise par Rappel : les conditions a) et c) ensemble signifient que l'hom A \to R^1q_*(G_B) est additif

\underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G) \simeq A'. le rappel est écrit en interligne sous c), rattaché par une accolade ; le c) s'arrête sur « par »

~~Supposons qu'on ait également~~ Notons d'ailleurs que la condition a) implique que L est birigidifiable par. à e_A, e_B, et on trouve un foncteur pl. fid. de catégories discrètes \underline{\operatorname{BIEXT}}(A, B; G) \longrightarrow \underline{\operatorname{TORS\,BIRIG}}_{e_A, e_B}(A, B; G) \longrightarrow \underline{\operatorname{TORS\,RIG}}_{e_{A \times_S B}}(G_{A \times_S B}) La description ~~en termes des~~ ci-dessus est toujours vérifiable, car a) il est symétrique en A, B, b) dans deux cas importants, le pl. fidèle est une équivalence de catégories.

Reprenons la suite exacte de la fin de 5), où j' signifie que les bitorseurs birigidifiés sur A, A sont des biextensions on va définir un hom en sens inverse R^1f_*(G_A) \xleftarrow{\ \Delta^*\ } \underline{\operatorname{Tors}}\,[\underline{\operatorname{birig}}\ \underline{\operatorname{sym}}](A, A; G) inutile pour définir \Delta^* en utilisant l'application diagonale \Delta\colon A \to A \times_S A. la bulle de la première marginale, en haut à droite, est rattachée à « la fin de 5) » ; la seconde renvoie par une flèche au crochet autour de « birig sym ». Pour la diagonale, la page écrit « A \times_S A \text{---} A », sans pointe lisible

Calculons le composé k \Delta^* j' \Delta^* j' avec k\colon R^1f_*(G_A) \to \underline{NS}(A), on aura d'abord \Delta^* j(L) \simeq (2\,\mathrm{id}_A)^*(L)\, L^{-2} d'où ~~Je dis que~~ \equiv L^2 \lbrace \bmod A' = \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G) \rbrace.

Cela résulte du fait suivant

Lemme Pour tout entier n, (n\,\mathrm{id}_A)^*(L) \equiv n^2 L, plus généralement, si A, B comme ci-dessus, \operatorname{Hom}(A, B) \longrightarrow \operatorname{Hom}(\underline{NS}(B), \underline{NS}(A)) est une application quadratique, i.e. \varphi(u+v) - \varphi(u-v) = 2(\varphi(u) + \varphi(v)) . le signe entre les deux premiers termes est lu « - » sous réserve ; l'identité du parallélogramme porterait « + ». Transcrit tel que lu

~~En effet~~ Dém. En effet, cette application se factorise en \begin{array}{c} \operatorname{Hom}(A, B) \longrightarrow \operatorname{Hom}(\underline{\operatorname{Bitors}}(B, B; G), \underline{\operatorname{Bitors}}(A, A; G))\ ! \\ \downarrow \ \text{linéaire} \\ \operatorname{Hom}(\underline{NS}(B), \underline{NS}(A)) \end{array} s'expliquant ! indiquer les hom qui envoient \underline{NS}(B) dans \underline{NS}(A). Or il est évident que la première flèche est quadratique. « linéaire », à côté de la flèche verticale, est lu sous réserve

page non retranscrite : feuillet d'un tapuscrit anglais qui n'est pas de lui (numéroté « -0.27- » ; « Proposition 0.9 » : si \sigma est libre et (Y, \phi) quotient géométrique de X par G sur un corps, X est un fibré principal sur Y, et sa démonstration), de la même série que les pages 52, 54 et 58 non retenues, qui sont d'une rédaction de la théorie géométrique des invariants. Annotations au crayon, en anglais, présumées de sa main : dans un cadre en tête de page, « Seems to hold for any equivalence relation R \rightrightarrows X with "geometric quotient" Y, and that p_1 be smooth, X, Y be — Is flat enough ?? » (p_1 écrit sous la double flèche) ; en marge de l'énoncé, « Doesn't seem enough, G smooth/k ! », avec un triangle en regard de « G, » et un cercle autour de « is free » ; en marge de la démonstration, « ambiguous », en regard de « the ideal defining the orbit O(x) », où « the » et « the orbit O(x) » sont entourés

Considérons le composé \Delta^* j\colon \underline{NS}_{A/S} \longrightarrow \underline{P}_{A/S} on voit que son composé avec \underline{P}_{A/S} \xrightarrow{\ k\ } \underline{NS}_{A/S} est 2\,\mathrm{id}_{\underline{NS}_{A/S}}. Donc la de l'extension canonique de \underline{NS}_{A/S} par P_{A/S} splitte canoniquement. après \underline{NS}_{A/S} et devant \underline{P}_{A/S} dans la première formule, deux surcharges noircies

Considérons d'autre part la restriction de j'(k \Delta^*) à \underline{\operatorname{Tors}}\,\underline{\operatorname{birig}}\,\underline{\operatorname{sym}}(A, A; G). Je dis que c'est la multiplication par 2, i.e. cette phrase est rattachée par une accolade à la ligne précédente ; au pied, isolé, « k\Delta^* ». La page s'arrête là, le reste du feuillet est blanc

« Th. du cycle invariant » : Cas du H^1

titre inscrit au crayon en haut à droite du feuillet de garde (page 59), qui ne porte rien d'autre, les guillemets étant les siens ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. Le tapuscrit qui suit (pages 60 et 61) est donné en entier : les mots tapés qu'il biffe à l'encre sont donnés barrés, ses ajouts manuscrits comme ajouts de l'éditeur avec une note, les biffures faites à la machine ne sont pas relevées. Pas de numéro de page tapé sur le feuillet

Le résultat qui suit, qui résoud le « problème du cycle invariant » dans le cas du H^1, est essentiellement une reformulation d'un résultat de M. RAYNAUD [ ]: une croix au crayon en regard de cette ligne

Théorème Soient S un trait strictement local, f\colon X \to S un schéma projectif sur S, régulier, tel que l'on ait \underline{O}_S \xrightarrow{\ \sim\ } f_*(\underline{O}_X), (ce qui implique que X est plat sur S, et que X_0 est un diviseur sur X), (D_i)_{i \in J} la famille des composantes irréductibles réduites de X_0, considérées comme diviseurs sur X, et posons « jectif » est complété à l'encre au bout de la ligne ; « (D_i)_{i\in J} la famille des » est tapé en interligne, au-dessus d'un « Soient (D_i) » biffé à la machine, et l'indice i \in J est repris à l'encre ; un trait vertical à l'encre court dans la marge gauche le long de l'énoncé \begin{array}{ll} (1) & X_0 = \sum_{i \in J} d_i D_i, \qquad \text{où } d_i \geqslant 1 , \\ (2) & d = \operatorname{pgcd}(d_i)_{i \in J}. \end{array} Soient (3) \qquad \Delta \simeq \underline{\mathbf{Z}}^J la catégorie des diviseurs D sur X tels que \operatorname{supp} D \subset X_0, et (4) \qquad \Gamma \simeq {}/\underline{\mathbf{Z}}.X_0 \hookrightarrow \operatorname{Pic}(X) le ~~est~~ sous-groupe de \operatorname{Pic}(X) image de \Delta par l'homomorphisme D \mapsto \operatorname{cl}(\underline{O}_X(D)) de \Delta dans \operatorname{Pic}(X), et considérons l'homomorphisme ~~composé~~ dans (4), le numérateur du quotient est laissé en blanc par la machine (sans doute \Delta, à encrer) ; les \Delta, \Gamma et les flèches sont encrés à la main dans tout le feuillet (5) \qquad w\colon \Gamma \longrightarrow \mathrm{NS}(X_0) \overset{\mathrm{dfn}}{=} \operatorname{Im}(\operatorname{Pic}(X_0) \to \underline{\mathrm{NS}}_{X_0/k}(k)) , composé des homomorphismes évidents \Gamma \overset{i}{\hookrightarrow} \operatorname{Pic}(X) \longrightarrow \operatorname{Pic}(X_0) \longrightarrow \mathrm{NS}(X_0) . Soit enfin d^t le pgcd des degrés des 0-cycles sur X_\eta. Avec ces notations, on a ce qui suit: « dfn » est ajouté à l'encre au-dessus du signe = de (5) ; l'indice \eta de X_\eta est repris à l'encre sur un y tapé

a) L'entier d^t est aussi égal au pgcd des \mu_i d_i, où pour tout i \in J, \mu_i désigne la multiplicité radicielle de D_i sur k (EGA IV 4. ); en particulier ~~d divise d^t, donc est égal à 1 si d^t l'est~~ ~~et lui est égal si k est parfait~~ ~~vrai si k est parfait~~ on a d^t = p^h d, où p^h = \operatorname{pgcd}(\mu_i), donc h = 0 i.e. d = d_t si k est parfait la fin de la phrase tapée est biffée à l'encre, avec deux corrections manuscrites elles-mêmes biffées (« et lui est égal si k est parfait » en interligne, « vrai si k est parfait » sous la ligne), puis remplacée par l'ajout manuscrit « on a d^t = p^h d, où p^h = \operatorname{pgcd}(\mu_i) » ; la marginale, à gauche dans un trait, est reliée par une flèche à cet ajout. Une croix au crayon en marge de la ligne de \mu_i

b) L'homomorphisme w est un homomorphisme de \underline{\mathbf{Z}}-modules de type fini dont le noyau est contenu dans le sous-groupe de torsion de \Gamma. Ce dernier est isomorphe canoniquement à \underline{\mathbf{Z}}/d\underline{\mathbf{Z}}, avec comme générateur l'image dans \Gamma du cycle (1/d)X_0 = \sum_{i \in J} (d_i/d) D_i. Donc \operatorname{Ker} w est cyclique le passage en italique est souligné à l'encre ; un trait vertical court dans la marge gauche le long de b). Le feuillet s'arrête ici ; la phrase continue page 61