Fonds Grothendieck, cote n° 36, pages 21–40

Le théorème de Griffiths par voie algébrique (suite)

suite du tapuscrit commencé aux pages 9 à 20 ; le titre de section est repris de la page 9

p. 13 du tapuscrit (numéro à la main en haut à droite) : la suite immédiate de la p. 12 (page 20), sur laquelle s'arrête le lot précédent

Remarques 7.4. a) Remords à 7.3. Inutile de supposer n pair et n \geqslant 4, en énonçant la conclusion sous la forme : le niveau de E^{n-1}(Y_t) est égal à n-1 (n \geqslant 1). On n'a pas besoin en effet d'un critère de Ogg-Néron-Chafarévitch ici, car il suffit de savoir que si E^{n-1}(Y_t) est de niveau < n-1, i.e. s'il existe sur \overline{k'} (k' = k(t)) un cycle sur un produit Z \times Y_{\overline{k'}} définissant un épimorphisme H^{n-3}(Z, \underline{\mathbf{Q}}_\ell)(-1) \to H^{n-1}(Y_{\bar{k}'}, \underline{\mathbf{Q}}_\ell) \to E(Y_{\bar{k}'}), alors pour tout s \in D assez voisin de t, la même conclusion est vraie pour E(Y_s), comme on constate aussitôt, de sorte que, si s est à corps résiduel fini, les valeurs propres du frobenius opérant sur E^{n-1}(Y_{\bar{s}}) sont divisibles par card k(t) et a fortiori par p. Or cela est impossible si D est choisie assez générale, de façon qu'on puisse appliquer Bertini. D'autre part, même si n est impair i.e. n-1 pair, de sorte qu'on ne peut plus affirmer que la représentation de monodromie sur E^{n-1}(Y_{\bar t}) reste simple quand on la restreint à un sous-groupe ouvert quelconque de G = \operatorname{Gal}(\overline{k(t)}/k(t)), il sera vrai néanmoins qu'aucun sous-motif non nul de E^{n-1}(Y_{\bar t}) n'est de niveau < n-1. En effet, le plus grand sous-motif de niveau < n-1 de E^{n-1}(Y_{\bar t}) définit un sous-espace de E^{n-1}(Y_{\bar t}, \underline{\mathbf{Q}}_\ell), qui est évidemment stable sous le groupe de Galois.« épi » est tapé dans l'interligne au-dessus de « morphisme », sur un préfixe barré à la machine ; de même « de niveau n-1 » (sic, pour < n-1 ?) est tapé au-dessus de « de E^{n-1} » et appelé par un trait ; les passages effacés à la machine (« k(t) » avant \bar{k}', une ligne entière avant « alors pour tout », une ligne avant « représentation ») ne sont pas repris. Le \ell de la machine est, comme dans le lot précédent, un caractère en forme de \chi

b) Nous avons utilisé le langage des motifs par pure commodité pour l'énoncé de 7.3. Comme ce langage n'est pas justifié à l'heure actuelle, il est préférable, pour le moment, de l'énoncer en termes de la filtration par le niveau sur la cohomologie \ell-adique, en définissant celle-ci en conformité avec a) (La définition plus naturelle en termes de la filtration de l'espace Y_{\bar t} par les supports devrait être équivalente, mais ceci utiliserait la résolution des singularités). Ceci dit, l'énoncé 7.3 (sous la forme plus générale a) ci-dessus) est démontré sans aucune conjecture (pas même Lefschetz vache pour X …).

p. 14 du tapuscrit. Plusieurs lignes de ce feuillet et des suivants sont doublées sur la reproduction, un peu décalées ; on ne les lit qu'une fois

Démonstration de 7.1. Nous prendrons ~~pour~~ d_0 ~~le plus petit entier~~ tel que l'on ait (entre autres) (*) \qquad H^i(X, \underline{\mathcal{O}}_X(-d)) = 0 \quad \text{pour tout } d \geqslant d_0,\ i < n. « (entre autres) » est à l'encre ; « le plus petit entier » est barré à la machine, « pour » à l'encre ; entre « (*) » et la formule, un début de formule biffé à l'encre, ~~d_0 … n+1~~ ; les signes « (*) » et « (**) » en marge sont à la main Désignons par U l'ouvert de S_d formé des s \in S_d tels que \dim Y_s = n-1, qui est aussi le plus grand ouvert tel que \underline{Y} \to S_d soit plat au dessus de U. Comme on a signalé, le choix de d_0 implique que pour tout s \in U(k'), les homomorphismes (**) \qquad H^i(X_{k'}, \underline{\mathcal{O}}_{X_{k'}}) \longrightarrow H^i(Y_s, \underline{\mathcal{O}}_{Y_s}) sont des isomorphismes pour i \leqslant n-2, un monomorphisme pour i = n-1. Ceci implique, par EGA III 7, que les R^i f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_Y) sont plats sur U et y commutent à l'extension de la base, en particulier au passage aux fibres. On fera attention que même si X est lisse et géom. connexe, nous serons obligés de façon essentielle de travailler avec des points s \in U pour lesquels Y_s n'est pas irréductible et a fortiori non lisse. Ce ne sera qu'une fois que 7.1 est démontré qu'on pourra en tirer des conclusions diophantiennes sur des points fermés dans un ouvert arbitrairement petit de S_d comme dans 7.2, puis les appliquer comme dans 7.3.le « \leqslant » de « i \leqslant n-2 » est surchargé à la main ; « diophantiennes » est tapé dans l'interligne

Bien entendu, il suffit de prouver 7.1 après extension arbitraire du corps de base k, ce qui nous permettrait en particulier de supposer k algébriquement clos ; et la conclusion se renforce dans le cas général automatiquement, en remplaçant le groupe de Galois G envisagé par le sous-groupe image du groupe de Galois provenant de la situation géométrique où k est remplacé par \bar{k}. Mais pour prouver 7.1, nous procèderons au contraire par voie arithmétique, en notant qu'on peut se réduire au cas où k est fini. Cette réduction se fait de la façon habituelle, et n'offre pas de difficultés. On peut alors considérer les frobenius « géométriques » opérant sur les H^i(X, \underline{\mathcal{O}}_X) ; si k a q = p^m éléments, ~~c'est~~ ce sont les puissances m-èmes des frobenius« dans le cas général » est tapé dans l'interligne et appelé par un trait ; « au contraire » est à l'encre ; à la dernière ligne, l'encre corrige « c'est la puissance m-ème du » en « ce sont les puissances m-èmes des » (« sont » au-dessus de « est » barré, surcharges sur « la » et « du »)

p. 15 du tapuscrit

p-linéaires opérant sur les H^i(X, \underline{\mathcal{O}}_X). Quitte à remplacer k par une extension finie, on peut supposer que toutes les valeurs propres desdits frobenius sont égales à 0 ou 1. Soit c la somme alternée des rangs semi-simples des H^i(X, \underline{\mathcal{O}}_X) pour 0 \leqslant i \leqslant n-1. Alors pour toute extension finie k' de k, la somme alternée des traces de \mathrm{frob}_{k'} opérant sur les H^i(X_{k'}, \underline{\mathcal{O}}_{X_{k'}}) est ~~alors~~ égale à c. En vertu de Lefschetz-Verdier Deligne, et des isomorphismes (**), on conclut que pour tout point s \in U(k'), on a (***) \qquad \operatorname{card} Y_s(k') \equiv c + (-1)^{n-1} \operatorname{Tr} f_s , où f_s \in G_0 est le frobenius relatif à k' opérant sur E_0(Y_s). Ceci posé, 7.1 est une conséquence des deux lemmes suivants ;le « s » de « p-linéaires » est à la main ; « des valeurs » et une ligne entière avant « des rangs semi-simples », puis « l'image de l'élément de Frobenius de » avant « le frobenius relatif », sont effacés à la machine ; « alors » est barré à l'encre ; le « (***) » de la marge et l'indice s de Y_s sont à la main

Lemme 7.5. Pour tout s \in U, il existe un élément f \in G_0 et V'_0 \subset V_0 stable par f tel que le polynôme caractéristique de f opérant sur V'_0 soit égal à celui de f_s, et en particulier tel que f et f_s aient même trace.l'ajout « et V'_0 \subset V_0 stable par f » est à l'encre au-dessus de la ligne et appelé par un trait après G_0 ; le ' de V'_0 est ajouté à la main et V'_0 entouré ; de même un ' sur le f de la dernière ligne, en partie effacé. Un trait vertical à l'encre borde l'énoncé dans la marge gauche

Lemme 7.6. Pour tout entier N \geqslant 0, il existe un entier d'_0 > 0 tel que pour tout entier d \geqslant d'_0, il existe une extension finie k' de k et un point s \in U_d(k') tel que \operatorname{card}(Y_s) = N. (Marche dès que X est un sous-schéma fermé de \mathbf{P}^r_k de dimension n \geqslant 1.)« > 0 » est à l'encre

Démonstration de 7.6. On peut supposer X réduit. Soit r la somme des degrés des composantes irréductibles réduites de X qui sont de dimension n, et soit d_1 un entier tel que N \geqslant r d_1^{\,n} . Quitte à passer à une extension finie de k, on peut supposer les composantes irréductibles X_i de X géométriquement irréductibles, que tout X_i contient un x_i \in X_i(k), et qu'il existe n formes \phi_0, \ldots, \phi_{n-1} de degré d_1 sur \mathbf{P}^r_k,« On peut supposer X réduit. » est à l'encre, au-dessus du début de la phrase, qu'une parenthèse ouvre ; « somme des » est tapé dans l'interligne, et « la degré » corrigé en « la somme des degrés » ; trois lignes effacées à la machine précèdent « les composantes irréductibles » (un premier essai sur une composante irréductible X_1 de X et un point rationnel)

p. 16 du tapuscrit. Les formes sont notées à la machine par un « ø » : \phi_0, \ldots, \phi_n ; la forme à n+1 variables est un « ø » souligné, rendu \underline{\phi}, et la forme de degré d_3 un « ø » barré d'une oblique, rendu \psi

définissant des hypersurfaces H_0, \ldots, H_{n-1} telles que X \cap H_0 \cap \ldots \cap H_{n-1} = Z soit un schéma fini étale sur k, de degré r d_1^{\,n}, dont tous les points sont rationnels sur k et distinct des x_i. Quitte à augmenter k et d_1, on peut supposer qu'il existe une forme \phi_n de même degré d_1, définissant H_n, telle que H_n \cap Z soit de cardinal N. Pour tout entier d_2 \geqslant n+1, on sait qu'il existe une forme \underline{\phi} à n+1 variables définie sur k, de degré d_2, n'ayant pas de zéro non trivial sur k. Alors \phi = \underline{\phi}(\phi_0, \ldots, \phi_n) est une forme de degré d_2 d_1 sur \mathbf{P}^r_k, telle que (H_\phi \cap X)(k) = (H_n \cap Z)(k) soit de cardinal N. De plus, comme cet ensemble ne contient pas les x_i, \phi définit bien un point de U_{d_1 d_2}. Lorsque N est 0 ou 1 (plus généralement N \leqslant r), on a terminé, car on peut prendre d_1 = 1, et 7.6 marche avec d'_0 = n+1. Si on a N > r, on note que pour tout d_3 \geqslant n+1, il existe une forme \psi de degré d_3 rat/k telle que (H_\psi \cap X)(k) = \emptyset d'après ce qu'on vient de voir, et alors la forme \phi\psi est de degré d = d_1 d_2 + d_3 et (H_{\phi\psi} \cap X)(k) = Z(k) a comme cardinal N, et \phi\psi définit encore un élément de U_d. On peut donc prendre alors d'_0 = d_1 d_2 + (n+1) = (d_1 + 1)(n+1) (en prenant, comme il est loisible, d_2 = n+1.)« étale », « et distinct des x_i », « (plus généralement N \leqslant r) », « rat/k » et « d = » sont des ajouts interlinéaires à l'encre appelés par des traits. Tel quel, le texte écrit (H_\phi \cap X)(k), (H_{\phi\psi} \cap X)(k) = Z(k) et \phi\psi « de degré d_1 d_2 + d_3 » : on ne corrige pas

Remarques 7.7. a) On trouve ainsi une estimation assez précise du d'_0 de 7.6 en fonction de N et de r, donc du d_0 de 7.1 en fonction de N = p-1 et de r, et du plus petit entier rendant valables les égalités (*). Lorsque dans la conclusion de 7.1 on se contente d'affirmer que les éléments de G_0 donnent lieu à au moins deux traces distinctes (ce qui suffit à conclure que G_0 n'est pas un p-groupe et a fortiori n'est pas le groupe unité, donc \dim V \geqslant 1 i.e. frobenius sur V n'est pas nilpotent) on peut prendre simplement d'_0 = n+1, et pour d_0 le plus petit entier \geqslant n+1 tel que l'on ait (*). Ce choix de d_0 est suffisant aussi, par conséquent, pour avoir la validité desle « a) » est repassé à la main

p. 17 du tapuscrit

conclusions de 7.2, sous la forme affaiblie qu'on peut satisfaire à la congruence envisagée pour au moins deux valeurs de a distinctes mod. p, et par suite pour avoir la conclusion de 7.3 (qui n'utilise essentiellement que 7.2 sous cette forme affaiblie).

b) Lorsqu'on veut 7.6 avec un N donné, on pourra sans doute trouver souvent une meilleure majoration de d'_0 que (d_1 + 1)(n+1), en décomposant N en N' + N'', en choisissant d'_1 et d''_1 de façon que N' \geqslant r d_1'^{\,n}, N'' \geqslant r d_2'^{\,n}, et construisant une forme produit de degré d = d'_1 d'_2 + d''_1 d''_2 (d'_2, d''_2 des entiers arbitraires \geqslant n+1) dont l'ensemble des zéros communs avec X rationnels sur k soit la somme disjointe de deux ensembles de cardinaux respectifs N' et N''. Quitte à choisir d'_1 et d''_1 premiers entre eux, on trouve que tout entier assez grand d se met sous la forme envisagée.un crochet à l'encre sépare « b) » de ce qui précède, et le « b) » est à la main ; « d = », « que » et « se met » sont à l'encre dans l'interligne, ce dernier au-dessus de « sous » ; le tapuscrit écrit « N'' \geqslant r d_2'^{\,n} » (sic, pour d''_1 ?)

c) On fera attention que les formes auxiliaires sans zéro non trivial utilisées dans la démonstration de 7.6 sont construites avec des formes normiques, et sont toujours décomposables géométriquement en facteurs linéaires. Ceci précise la remarque faite au début de la démonstration de 7.1 concernant la nécessité de travailler avec le gros ouvert U_d tout entier.

Indiquons pour terminer la raison générale pour 7.5 :

Lemme 7.8. Soient S un schéma normal de car. p > 0, \underline{V} un Module localement libre de type fini sur S muni d'un endomorphisme p-linéaire f, t un point de S et s une spécialisation de t. Considérons les représentations des groupes G_t = \operatorname{Gal}(\overline{k(t)}/k(t)) et G_s = \operatorname{Gal}(\overline{k(s)}/k(s)) dans des vectoriels de dimension finie V_1 resp. V_0 sur le corps premier \mathbf{F}_p, définis par les parties semi-simples des fibres réduites de \underline{V} en t resp. en s. Alors il existe un sous-espace V'_0 de V_1, stable par un sous-groupe ouvert G'_t de G_t, tel que la représentation de l'image G'_{t\,0} de G'_t dans \operatorname{Aut}(V'_0) par automorphismes de V'_0 soit isomorphe à celle de l'image G_{s\,0}« normal » est écrit dans la marge gauche et appelé après « schéma » par une oblique ; « endo » et « que » sont à l'encre dans l'interligne. Le texte tapé porte « point de s » pour « point de S »

p. 18 du tapuscrit, la dernière : le texte tapé s'arrête au premier tiers du feuillet, le titre du no 8 est à l'encre, et le reste du feuillet est vierge

de G_s dans \operatorname{Aut} V_0 par automorphismes de V_0, via un isomorphisme convenable de G'_{t\,0} avec G_{s\,0}.

La démonstration de 7.8 est par l'âne qui trotte, en se ramenant au cas S intègre hensélien de point fermé s, point générique t.« intègre » et « point générique t » sont à l'encre, le premier au-dessus de la ligne, appelé par un trait, le second en bout de ligne, sur le point final tapé

8. Relations heuristiques entre cohomologie cristalline et la torsion cristalline, et la cohomologie cohérente. (J'ai donné notes à Berthelot)titre du no 8 et parenthèse écrits à la main, à l'encre, sous le texte tapé ; aucun texte ne suit

Biextensions et complexes [M \to G]

à partir d'ici, notes manuscrites de sa main, à l'encre, sans pagination de l'auteur. Le titre de section est de l'éditeur. Les feuillets 28, 30 et 32 sont écrits au recto de feuillets du tapuscrit de l'exposé VIII de SGA 7 (pages 29, 31, 33 ci-dessous) ; le feuillet 27 est une feuille de papier chamois qui ne porte que le croquis qui suit, en haut à droite

M Situation

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 0 \arrow[r] & T \arrow[r] \arrow[d, no head, "\simeq"'] & G \arrow[r] & B \arrow[r] & 0 \\ & D(M') & & & \\ 0 \arrow[r] & T' \arrow[r] \arrow[d, no head, "\simeq"'] & G' \arrow[r] & B' \arrow[r] & 0 \\ & D(M) & & & \end{tikzcd}

une flèche va de M vers G au-dessus de la première ligne, et une autre de M', écrit sous D(M), vers G' ; les isomorphismes T \simeq D(M'), T' \simeq D(M) sont notés par des \simeq verticaux. Une croix entre les deux lignes, sous B, et des signes près de M'

\Gamma = \mathbb{G} M \times B' \operatorname{Ext}^1(B', DM) ~~\operatorname{Hom}(B', \operatorname{Ext}^1(M, \mathbb{G}_m)) = 0~~ en haut de la page ; « \Gamma = \mathbb{G} » est à gauche, le reste à droite ; la dernière formule est biffée

\begin{array}{cc} B & B' \\ {\scriptstyle i}\uparrow & \uparrow{\scriptstyle i'} \\ M & M' \end{array} \qquad \text{biext.\ } \varepsilon \text{ vers } \mathbb{G}_m

B' \xrightarrow{\ \alpha'\ } \underline{\operatorname{Ext}}^1(B, \mathbb{G}_m) \to \underline{\operatorname{Ext}}^1(M, \mathbb{G}_m) \ \text{nul} \qquad \text{p.ex.\ } \operatorname{Hom}(B', \underline{\operatorname{Ext}}^1(M, \mathbb{G}_m)) = 0 \ ? B \xrightarrow{\ \alpha\ } \underline{\operatorname{Ext}}^1(B', \mathbb{G}_m) \to \underline{\operatorname{Ext}}^1(M', \mathbb{G}_m) \ \text{nul} \qquad \text{p.ex.\ } \operatorname{Hom}(B, \underline{\operatorname{Ext}}^1(M', \mathbb{G}_m)) = 0 \ ? \alpha', \alpha surmontent des \simeq ; le point d'interrogation de droite est un « ? » suivi d'un guillemet de répétition sous lui

d'où extensions, 0 \to DM \xrightarrow{\ j'\ } G' \xrightarrow{\ p'\ } B' \to 0, \qquad 0 \to DM' \xrightarrow{\ j\ } G \xrightarrow{\ p\ } B \to 0 \mathcal{E}_{M,G'} est canoniqt splitté par \rho ; \mathcal{E}_{G,M'} est can. splitté \rho'sous DM est écrit T', sous DM' un T ; les deux phrases de droite sont séparées du reste par des traits horizontaux

Exemple : si \alpha un isom., alors il revient au même de donner un i \colon M' \to \underline{\operatorname{Ext}}^1(B, \mathbb{G}_m) \operatorname{Hom}(M', \underline{\operatorname{Ext}}^1(B, \mathbb{G}_m)) \rightleftarrows \operatorname{Biext}(B, M'; \mathbb{G}_m) \leftleftarrows \operatorname{Ext}^1(B, D(M')) si \underline{\operatorname{Ext}}^1(M', \underline{\operatorname{Hom}}(B, \mathbb{G}_m)) = 0, vrai car \underline{\operatorname{Hom}}(B, \mathbb{G}_m) = 0 ; si \operatorname{Hom}(B, \underline{\operatorname{Ext}}^1(M', \mathbb{G}_m)) = 0, p.ex. \underline{\operatorname{Ext}}^1(M', \mathbb{G}_m) = 0.les deux conditions sont écrites sous les deux flèches, chacune appelée par un crochet ; les deux dernières sont entourées. Au-dessus de \operatorname{Ext}^1(B, D(M')), un mot biffé

ainsi Donc : la donnée de i' équivaut à celle de l'ext. G. Et réciproquement.

Considérons l'image inverse de \varepsilon sur (M, M') \varepsilon_{i,i'}. Alors des splittings \rho_i de cette biextension correspondent aux homs de M dans G relevant i, ou aussi de M' dans G' relevant i' : M \to G \to B, \qquad M' \to G' \to B' ~~(sur k)~~ « \varepsilon_{i,i'} » est entouré au-dessus de « \varepsilon » ; « \rho_i » au-dessus de « splittings »

~~Donnons-nous f de j' et correspondant ainsi \mathcal{E}_{G,M'} et un splitt. \sigma canonique de \mathcal{E}_{M,G'} splitting \sigma splitting \mathcal{E}_{M,M'}~~passage biffé de traits obliques et encadré ; lecture très incertaine

Les deux splittings de \mathcal{E}_{M,M'}, déduits d'une part d'un splitting \rho de \mathcal{E}_{M,G'} et de g \colon M' \to G', d'autre part d'un splitting \rho' de \mathcal{E}_{G,M'} et de f \colon M \to G, coïncident.dans « \mathcal{E}_{G,M'} » de la dernière ligne, les indices sont surchargés

feuillet dactylographié, au verso de la page 28 (reproduit tête-bêche) : feuillet non paginé du tapuscrit de l'exposé VIII de SGA 7 (« Compléments sur les biextensions. Propriétés générales des biextensions des schémas en groupes », §2 « Accouplements définis par une biextension »), fin de 2.3 : la compatibilité symétrique (2.3.4), (2.3.5), et le début de la preuve de (2.3.1) par \operatorname{Tor}_1. Texte publié, non reproduit. Interventions à la main : au-dessus de « à son tour », « implique » remplace « est » barré, et « de (2.3.1) » est ajouté après « compatibilité symétrique » ; « (2.2.2) » corrigé en surcharge ; le numéro de la formule corrigé en « (2.3.4) » et « (2.3.5) » ; dans le diagramme (2.3.4), les flèches verticales portent à l'encre « id », « m », « id », les indices n, n' sont repris et la flèche du bas marquée \phi^n_\xi ; « or » au-dessus de « dans » barré, et « (2.3.3) » au-dessus d'une égalité ; un \xi ajouté en indice aux \phi ; « en Q » après « fonctorialité » ; une ligne entière de formule barrée à la machine ; dans le diagramme final, « m \otimes \mathrm{id}_Q » écrit à la main à côté de la flèche verticale. Main vraisemblablement la sienne

Lorsque injectifs, on définit une biextension canonique de (A, A'), où A = G/M, A' = G'/M'. Dans le cas général, posons ~~on dira qu'on a une biextension de~~ A = [M \to G], \qquad A' = [M' \to G'] sous M et G : « deg. -1 », « deg. 0 » ; sous la ligne, « de chaînes »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & A & & & A' & \\ M \arrow[ur, "1"] \arrow[r] & G \arrow[u] & & M' \arrow[ur, "1"] \arrow[r] & G' \arrow[u] & \end{tikzcd}

deux petits triangles, une flèche marquée 1 de M vers A ; le sens des flèches obliques n'est pas sûr

d'où une ~~biext~~ classe canonique \xi \in \operatorname{Ext}^1(A \overset{L}{\otimes} A', \mathbb{G}_m), justement la classe d'une biextension de (A, A') par \mathbb{G}_m. Soit en effet …pour ainsi dire ?la note marginale est écrite en oblique, à gauche d'une accolade qui prend les deux lignes « justement la classe … Soit en effet »

~~Soit~~ {}_nA \overset{\text{déf}}{=} \underline{\operatorname{Ext}}^0(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, A), \qquad {}_nA' = \underline{\operatorname{Ext}}^0(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, A') l'exposant est lu 0 ; devant \underline{\operatorname{Ext}}, un mot surchargé

on , le plus haut,

si \begin{cases} {}_nM = 0 \\ {}_nG = G \quad \text{i.e.}\ nB = B,\ nT = T \end{cases} (ce dernier résulte de {}_nM = 0)dans l'accolade, après {}_nM = 0, un ~~{}_nM' = 0~~ biffé ; après « i.e. », un ~~{}_nB~~ biffé 0 \to {}_nG \to {}_nA \to M_n \to 0 et (D(M'_n), {}_nB), si nT = T … = 0 \to {}_nG' \to {}_nA' \to M'_n \to 0 donne aussi autre interprétation de {}_nA, via hom. cobord si {}_nG = Gau-dessus du « M' » biffé, un mot entouré, ; « D(M'_n), {}_nB » est surmonté d'une accolade, sous la première suite exacte

passant à la limite sur n = \ell^\nu, on a \begin{cases} 0 \to T_\ell(G) \to T_\ell(A) \to M \otimes \mathbb{Z}_\ell \to 0 \\ 0 \to T_\ell(G') \to T_\ell(A') \to M' \otimes \mathbb{Z}_\ell \to 0 \end{cases} le premier terme de la seconde ligne est lu T_\ell(A') sur la page ; on transcrit T_\ell(G') par symétrie avec la première, sous réserve

feuillet dactylographié, au verso de la page 30 (reproduit tête-bêche) : feuillet non paginé du tapuscrit de l'exposé VIII de SGA 7, §2 : (2.2.4) à (2.2.6), l'accouplement \ell-adique associé à \xi, la fonctorialité, et 2.3 jusqu'à (2.3.3). Texte publié, non reproduit. Interventions à la main : dans la marge gauche, entourés, « \varphi^{(\ell)} » et « \ell^\nu P » ; les \xi en indice ajoutés aux \phi ; « commutatifs » ajouté au-dessus de « déduits » ; « (pour n fixé) » souligné ; « donnée » au-dessus de « une compatibilité » ; dans le diagramme (2.3.1), les flèches verticales marquées « m », « id », « id » ; « (2.3.3) » repassé en marge. Main vraisemblablement la sienne

loc. \mathbb{G}_m {}_nA \to A, \qquad {}_nA' \to A' d'où loc. ces morphismes

\begin{tikzcd}[column sep=small] \operatorname{Ext}^1(A \overset{L}{\otimes} A', \mathbb{G}_m) \arrow[r] \arrow[dr] & \operatorname{Ext}^1({}_nA \overset{L}{\otimes} {}_nA', \mathbb{G}_m) \arrow[d] \\ & \operatorname{Hom}({}_nA \otimes {}_nA', \mathbb{G}_m) \end{tikzcd}

le premier \operatorname{Ext} est écrit sur un mot surchargé ; après \mathbb{G}_m) en haut à droite, un signe

vraiment, dans définis globalt. Dans plus haut , donne \varphi^\xi_n \colon {}_nA \otimes {}_nA' \to \mathbb{G}_m et par passage à la limite T_\ell(A) \times T_\ell(A') \longrightarrow T_\ell(\mathbb{G}_m) \overset{\text{déf}}{=} \mathbb{Z}_\ell(1).

Prop. Dans cet accouplement, D(M'_n) est orthogonal à {}_nG' (le reste si {}_nM' = 0) et ~~D(M_n)~~ {}_nG est orth. à D(M_n) (le reste si {}_nM = 0). Les accouplements induits {}_nA'/{}_nG' \times D(M'_n) \to \mathbb{G}_m, \qquad D(M_n) \times {}_nA/{}_nG \to \mathbb{G}_m, ainsi que {}_nG/{}_nT \times {}_nG'/{}_nT' sont ceux qu'on devine.sous {}_nA'/{}_nG' : « \simeq M'_n » ; sous D(M'_n) : « = {}_nT' » ; sous D(M_n) : « = {}_nT », sous {}_nA/{}_nG : « \simeq M_n » ; sous {}_nG/{}_nT et {}_nG'/{}_nT' : « \simeq {}_nB », « \simeq {}_nB' ». Une courbe entoure {}_nA'/{}_nG' \times D(M'_n) ; l'énoncé est bordé d'un trait dans la marge

Corollaire. Si l'accouplement entre {}_nB et {}_nB' est une dualité parfaite (ex. {}_nT_n = {}_nT'_n = 0) et si {}_nM = 0, {}_nM' = 0, nB = B, nB' = B', alors l'accouplement de {}_nA et {}_nA' est une dualité parfaite.

feuillet dactylographié, au verso de la page 32 (reproduit tête-bêche) : feuillet non paginé du tapuscrit de l'exposé VIII de SGA 7 — début du §2 « Accouplements définis par une biextension », 2.1 à (2.2.3). Texte publié, non reproduit. Interventions à la main : « \varphi^n » au-dessus de la flèche composée de (2.1.2), et les exposants 1 de \operatorname{Biext}^1 ; « (1.3.6) » corrigé en surcharge ; « \xi » entouré avec « \in \operatorname{Biext}(P,Q;G) » et relié à « permet » ; « (E) » ajouté au-dessus de « biextension » ; en marge, entourés, « \varphi » devant (2.1.4) et « \ell » devant (2.2.3) ; les \xi en indice ; « Les relations entre cet accouplement et » biffé et remplacé par « Il est lié à », « est donné » biffé ; « qu'on laisse au lecteur le soin d'établir » biffé et remplacé par « cf. 2.3 ci-dessous pour une démonstration » ; dans le diagramme (2.2.2) les flèches verticales marquées m ; sous le diagramme, entouré : « où les flèches verticales sont induites par la multiplication par m = n'/n ». Main vraisemblablement la sienne

Picard et dualité

titre écrit à l'encre et souligné, en haut à droite d'un feuillet par ailleurs vierge (page 34), qui ne reçoit pas de numéro de page. Pas de pagination de l'auteur sur les pages 35 à 40

la page est un tableau à trois colonnes (degrés 0, 1, 2) et trois lignes (coefficients \ell-adiques, p-adiques, et i_p) ; on le donne ligne par ligne, colonne par colonne. Le faisceau noté par un z bouclé est rendu \mathfrak{z}_\ell, \mathfrak{z}_p, et le groupe noté U_\ell (ou \mathfrak{U}_\ell) est rendu U_\ell. Une accolade embrasse les deux premières lignes, avec, dans la marge, écrit de bas en haut : « et cohomologie discrète »

Première ligne (\ell) : H^0(X, \mathfrak{z}_\ell) = U_\ell, \begin{aligned} H^2(X, \mathbb{Z}/\ell) &= H^2(X, \mathfrak{z}_\ell) \otimes_{\mathbb{Z}/\ell} \operatorname{Hom}(U_\ell, \mathbb{Z}/\ell) \\ &= \mathbb{Z}/\ell \otimes_{\mathbb{Z}/\ell} \operatorname{Hom}(U_\ell, \mathbb{Z}/\ell) \simeq \operatorname{Hom}(U_\ell, \mathbb{Z}/\ell) ; \end{aligned} dans le dernier membre, un \mathbb{Z}/\ell est biffé devant \operatorname{Hom} H^1(X, \mathfrak{z}_\ell) = P^{(\ell)} noyau de la jacobienne P de X annulé par \ell ; H^1(X, \mathbb{Z}/\ell) = H^1(X, \mathfrak{z}_\ell) \otimes_{\mathbb{Z}/\ell} \operatorname{Hom}(U_\ell, \mathbb{Z}/\ell) = P^{(\ell)} \otimes_{\mathbb{Z}/\ell} \operatorname{Hom}(U_\ell, \mathbb{Z}/\ell) ; entre les deux égalités, une première écriture « = P^{(\ell)} \otimes \operatorname{Hom}(\mathfrak{z}_\ell, H) » est biffée or P^{(\ell)} \times P^{(\ell)} \to U_\ell l'autodualité de P … et la dualité de Kummer Serre … la note entre crochets est encadrée, sous l'accouplement ; H^2(X, \mathfrak{z}_\ell) \simeq \mathbb{Z}/\ell, \qquad H^0(X, \mathbb{Z}/\ell) \simeq \mathbb{Z}/\ell .

Deuxième ligne (p) : H^0(X, \mathfrak{z}_p) = 0, \qquad H^2(X, \mathbb{Z}/p) \simeq H^2(X, \mathbb{Z}/p) = 0 ; H^1(X, \mathfrak{z}_p) = P^{(p)} : noyau de p de la jacobienne ; H^1(X, \mathbb{Z}/p) \simeq noyau de H^1(X, \underline{\mathcal{O}}_X) fixes par F dualité de Serre-Cartier encadré sous la case ; H^2(X, \mathfrak{z}_p) \simeq \mathbb{Z}/p, \qquad H^0(X, \mathbb{Z}/p) \simeq \mathbb{Z}/p . « H^2(X, \mathbb{Z}/p) \simeq H^2(X, \mathbb{Z}/p) » est tel quel sur la page

Troisième ligne (i_p) : H^0(X, i_p) = 0, \qquad H^1(X, i_p) \simeq {}_F H^1(X, \underline{\mathcal{O}}_X), \qquad H^2(X, i_p) = H^1(X, \underline{\mathcal{O}}_X)_F . le coefficient de la case du milieu est surchargé (\mathfrak{z}_p corrigé en i_p ?) ; les indices F sont à gauche en bas pour le noyau, à droite en bas pour le conoyau, tels qu'écrits

H^1(X, \underline{\operatorname{Ext}}^1(f^{*}(B), \mathbb{G}_{m\,X})) une accolade sous \underline{\operatorname{Ext}}^1(f^{*}(B), \mathbb{G}_{m\,X}) renvoie à la ligne suivante \operatorname{Ext}_X(f^{*}(B), \mathbb{G}_{m\,X}) \simeq \operatorname{Ext}_S(B, f^{!}(\mathbb{G}_{m\,X})) au-dessus de f^{*}(B) est écrit A ; la ligne suivante est reliée à celle-ci par une double flèche verticale \Uparrow H^p(X, \underline{\operatorname{Ext}}^q_X(A, \mathbb{G}_{m\,X})) un trait horizontal sépare ce calcul de la liste qui suit

Suites exactes de cohomologie. Critères de representabilité ; Frobenius Verschiebung ; Dualité de Cartier [ Pic …] ; Th. de finitude du V.A. (Th. de ) ; Propriétés formelles des groupes … ; Propriétés différentielles des \ldots groupes et fibrés ; Cas particulier : fibrés linéaires, symplectiques, orthogonaux etc. …

liste en accolade, écrite rapidement ; presque chaque ligne est incertaine. La sixième ligne a un premier mot surchargé ; « fibrés linéaires » est souligné deux fois

Sous pour la ??

\underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_a, \mathbb{G}_m) \qquad \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} au pied de la page, sous un second trait : \underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_a, \mathbb{G}_m) semble biffé d'un trait ; « \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} » est lu sous réserve

X propre et simple sur k [généralisations à une base quelconque]

A V.A. sur k H^1(X, A) = \varinjlim_n {}_nH^1(X, A) ; d'autre part une suite exacte 0 \to \operatorname{Hom}(X, A)_n \to H^1(X, {}_nA) \to {}_nH^1(X, A) \to 0 qui s'écrit aussi 0 \to \operatorname{Hom}(\operatorname{Alb}_X, A)_n \to \operatorname{Hom}(D({}_nA), \operatorname{Pic}_X) \to {}_nH^1(X, A) \to 0 devant H^1(X, {}_nA), un signe biffé or utilisant \operatorname{Hom}(\operatorname{Alb}_X, A) \simeq \operatorname{Hom}(A', (\operatorname{Alb}_X)') = \operatorname{Hom}(A', \operatorname{Pic}^0_X), \qquad D({}_nA) \simeq {}_nA' une suite exacte (*) \qquad 0 \to \operatorname{Hom}(A', \operatorname{Pic}^0_X)_n \to \operatorname{Hom}({}_nA', \operatorname{Pic}_X) \to {}_nH^1(X, A) \to 0 et passant à la limite inductive sur n : \boxed{0 \to \operatorname{Hom}(A', \underline{\operatorname{Pic}}^0_X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \to \operatorname{Hom}(T_{\cdot}(A'), \underline{\operatorname{Pic}}_X) \to H^1(X, A) \to 0} la formule est encadrée ; « inductive » est écrit au-dessus de « sur », et l'exposant 0 de \operatorname{Pic} est surchargé. Le « T_{\cdot} » est écrit ainsi, avec un point en indice

Or la suite exacte (*) se compare à la suite exacte déduite de 0 \to {}_nA' \to A' \to A' \to 0 en appliquant ~~\operatorname{Ext}~~ \underline{\operatorname{Hom}}(-, \operatorname{Pic}_X), … laquelle (**) \qquad 0 \to \operatorname{Hom}(A', \underline{\operatorname{Pic}}_X)_n \to \operatorname{Hom}({}_nA', \operatorname{Pic}_X) \to {}_n\operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Pic}}^0_X) \to 0 qui donne à la limite \boxed{0 \to \operatorname{Hom}(A', \operatorname{Pic}_X) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \to \operatorname{Hom}(T_{\cdot}(A'), \operatorname{Pic}_X) \to \operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Pic}}_X) \to 0} l'exposant de \operatorname{Pic} dans le dernier terme de (**) est lu 0 sous réserve ; la formule finale est encadrée et bute sur le bord droit du feuillet

Donc on en conclut un isom. canonique \boxed{H^1(X, A) \simeq \operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Pic}}_X)} (A, variété abélienne), qu'on comparera à la formule de dualité \boxed{H^1(X, G) \simeq \operatorname{Hom}(D(G), \underline{\operatorname{Pic}}_X)} pour G commutatif fini. Cet isomorphisme reste-t-il valable pour X singulier ??? Il est possible qu'on ait besoin de H^i(X, \mathbb{G}_m) = 0 pour i \geqslant 2, qui est faux X non sing.?? la note marginale est écrite à gauche du premier encadré, sur neuf lignes courtes ; le « \simeq » du premier encadré est une double demi-flèche

Remarque, on a des homs canoniques

\begin{tikzcd}[row sep=small] \operatorname{Ext}^1(\underline{\operatorname{Alb}}_X, A) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & H^1(X, A) \\ \operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Alb}}_X{}') \arrow[d, "\wr"] & \\ \operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Pic}}^{\tau}) & \end{tikzcd}

dont on vérifie que ce sont des isomorphismes dans , qui définissent sur les groupes une partie l'isomorphisme envisagé plus haut. l'exposant de \underline{\operatorname{Pic}} dans la dernière ligne du diagramme est lu \tau, sous réserve ; « isomorphismes » et « dans » sont soulignés ; les trois dernières lignes sont une écriture rapide, lue en partie seulement

à gauche du premier encadré, une flèche verticale X \to S. On rend le faisceau de cohomologie relative, qu'il note d'un \mathcal{H} cursif souligné, par \underline{\mathcal{H}}, et le groupe noté par un \gamma bouclé par \gamma \boxed{\underline{\mathcal{H}}^1(X/S; \underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, G)) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, \underline{\mathcal{H}}^1(X/S; G))} isom de foncteurs, quand tout est affine sur S (?) \boxed{\underline{\mathcal{H}}^1(X/S; \underline{\operatorname{Ext}}^1_{S\text{-gr}}(\gamma, G)) \simeq \underline{\operatorname{Ext}}^1_{S\text{-gr}}(\gamma, \underline{\mathcal{H}}^1(X/S; G))} Sous quelles conditions ???

puis, sous P_X, un petit tableau à deux lignes : sur X, « \gamma_X » et « \gamma_X \times \gamma_X » (tous deux surchargés), sur S, « \gamma » et « \gamma \times \gamma », X et S reliés par un trait vertical

\underline{\mathcal{H}}^1(X/S, \underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, G)) \to \underline{\operatorname{Hom}}(\gamma, \underline{\mathcal{H}}^1(X/S, G)) \underline{\mathcal{H}}^1(X, \operatorname{Hom}(A, B)) \simeq \boxed{\begin{array}{c} H^1(X/S; \underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, G)) \\ \downarrow \\ \underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, H^1(X/S, G)) \end{array}} le dernier encadré est dessiné avec une colonne vide à droite ; la ligne « \underline{\mathcal{H}}^1(X, \operatorname{Hom}(A, B)) \simeq » reste sans second membre