Fonds Grothendieck, cote n° 36, pages 1–20

feuillet 1 sur 6 (numéroté « 1 » en haut à droite) de remarques d'une autre main, non identifiée, à l'encre bleue sur papier quadrillé, titrées « Remarques. SGA 7 IX » : un lecteur relit un état dactylographié de l'exposé IX de SGA 7 (modèles de Néron et monodromie) et renvoie, par page et ligne, à ce tapuscrit, en tutoyant son auteur. Elles ne sont pas reproduites. Ce feuillet couvre l'introduction (numéros 0 et i à iv) et le §1, pages 0 à 2 du tapuscrit : \ell premier à p, pourquoi S hensélien, « à isogénie près », réduction semi-stable d'une courbe, la définition d'isogénie, A \times_S \operatorname{Spec}(K) \simeq A_K. Réponses de l'auteur : aucune en toutes lettres ; au crayon, des cercles autour de plusieurs renvois de ligne, et un ovale suivi d'un point d'interrogation autour de « lié à la monodromie ». Ce crayon est vraisemblablement de sa main, sans que cela soit établi

feuillet 2 sur 6 (« 2 ») des mêmes remarques, non reproduites : fin du §1 et §2 (pages 3 à 20 du tapuscrit) — l'accouplement d'A. M. comparé à celui de l'auteur, « formellement non ramifié », « séparablement clos », un argument de la page 14 jugé « un peu immoral » (un morphisme entre extensions d'une variété abélienne par un tore est strictement compatible à la filtration par le poids, et est une isogénie si et seulement si T_\ell(\varphi) en est une), Rmq 2.6 a) et le passage à la limite pour les modèles de Néron. Réponses de l'auteur : aucune en toutes lettres ; au crayon, des cercles autour de « pg 20 » et de renvois de ligne, et au-dessus d'un renvoi de la page 8 un mot entouré, pour, suivi d'un point d'interrogation. Main vraisemblablement la sienne, non établie

feuillet 3 sur 6 (« 3 ») des mêmes remarques, non reproduites : §3 et §4 (pages 23 à 40 du tapuscrit) — {}_nK étale séparé comme noyau de {}_nG \to {}_nH, les notions de 3.5 pour S non hensélien, « clôture normale », un énoncé de « voisinage tubulaire » en 4.2 (morphisme de topos \operatorname{Spec}(K)_{\mathrm{et}} \to \operatorname{Spec}(k)_{\mathrm{et}} et A^0_0 schéma relatif annelé par \varphi^{*}\mathcal{O}), la trace contragrédiente en page 36, le sens de « \ell-groupe » en 4.5.4. Réponses de l'auteur, au crayon : en marge de la remarque sur la page 33, un grand point d'interrogation entouré ; en marge de la remarque sur la page 36 (« ce n'est pas la trace qui est contragrédiente »), entouré : « si ? » ; des cercles autour de « pg 28 », « dim » et « pas ». Main vraisemblablement la sienne, non établie

feuillet 4 sur 6 (« 4 ») des mêmes remarques, non reproduites : fin du §4 et §§5–6 (pages 41 à 63 du tapuscrit) — la « fonction de Dirac » sur un groupe, 4.7 en dehors du cas strictement local, le sens de (5.2.3.1), 5.7, 5.11, 5.15, l'usage de \operatorname{car}(K)=0 via Tate, A^0 \ell-divisible ou non, et une objection à la page 59 : la plus grande sous-variété abélienne ordinaire ne se relèverait pas, et la page 63 serait fausse (déformer E \times F, E ordinaire, F non). Réponses de l'auteur : en marge de la page 41, au crayon : « guillemets suffisants ? » ; en marge de la remarque sur la page 46, au crayon et entouré : « je le dis ! » ; en regard de « pg 56 bis 5.15 », entouré au crayon, un grand point d'interrogation ; en marge de la remarque sur la page 55 ter, au crayon et entouré : « c'est dit dans la 5.13 » ; en marge de l'objection de la page 59, à l'encre : « CANULAR ?! ». Main vraisemblablement la sienne, non établie

feuillet 5 sur 6 (« 5 ») des mêmes remarques, non reproduites : fin du §6 et §§7, 9, 10 (pages 60 à 98 du tapuscrit ; le numéro 8 est laissé vide) — le « il est immédiat » de 6.4, l'existence à isogénie près de « parties finies » et « parties toriques » du bon rang, la référence à Serre pour l'indépendance de \ell, A_0 non défini page 65, 9.2.3, 9.3.3, S strictement hensélien en 9.4 et page 92 bis, un signe en 9.5.8, 10.5.3–10.5.4. Réponses de l'auteur, au crayon et entourées : dans un ovale qui prend « pg 60 » et « pg 61, 61 bis : je n'ai pas lu » : « c'est pourtant trivial » ; en regard des « parties finies » : « non, mon argument marche » ; en regard de la remarque sur la page 66 : « que faire ? » ; en regard de la page 67, un point d'interrogation. Main vraisemblablement la sienne, non établie

feuillet 6 sur 6 (« 6 ») des mêmes remarques, non reproduites : §11 (pages 101 et 103 du tapuscrit) — où trouver que le modèle de Néron commute à S \mapsto \hat{S}, et le prolongement d'une biextension de A \times A' ramené à celui des {}_{\ell^\infty}A \times {}_{\ell^\infty}A'. Réponse de l'auteur : en marge de la remarque sur la page 103 (« le renvoi au courage du lecteur est désagréable »), au crayon, entouré avec « pg 103 » : « que faire ? ». Main vraisemblablement la sienne, non établie. Le reste du feuillet est vierge

Le théorème de Griffiths par voie algébrique

titre écrit au crayon en tête du premier feuillet du tapuscrit, et souligné ; un grand crochet au crayon brun le précède dans la marge. Le tapuscrit est paginé à la main en haut à droite, de 2 (page 10) à 12 (page 20) ; ce feuillet-ci, le premier, ne porte pas de numéro. Le \ell de la machine, partout, est un caractère en forme de \chi ; les faisceaux constants \underline{\mathbf{Z}}_\ell, \underline{\mathbf{Q}}_\ell sont soulignés à la machine. Les ajouts à la main sont donnés par , avec une note

1. Soit f\colon Y \longrightarrow S un morphisme propre et lisse de schémas, avec S régulier connexe à caractéristiques résiduelles toutes \neq \ell (nombre premier fixé).« régulier » ajouté à l'encre au-dessus de la ligne Soit s \in S, \bar{s} un point géométrique au dessus de s. Soit F un faisceau \ell-adique constant tordu sur S (en pratique, un faisceau de la forme \underline{\mathbf{Z}}_\ell(i)), et x une classe de cohomologie x \in H^m(Y, F_Y) . Disons que x est primitive si son image dans H^0(S, R^m f_{*}(F)) est nulle, ou ce qui revient au même par le th. de spécialisation de la cohomologie, si son image dans H^m(Y_{\bar s}, F_{\bar s}) est nulle.dans ces trois formules l'exposant m est écrit ou repassé à la main sur une autre lettre dactylographiée (un N, semble-t-il), et une parenthèse dactylographiée à la suite, « (F) », est noircie ; de même m-1 ci-dessous, et f_{*}(F_Y) y est repassé à l'encre Alors la suite spectrale de Leray pour f nous donne un élément u(x) \in E_2^{1,m-1} = H^1(S, R^{m-1} f_{*}(F_Y)) . Donnons une propriété fonctorielle générale de cette classe u(x). Pour ceci, soit Y' lisse et propre sur S, et Z \in H^N(Y \times_S Y', G), de sorte que par le formalisme des correspondances cohomologiques, Z définit une application x' \longmapsto Z(x')\colon H^{m'}(Y', F') \longrightarrow H^m(Y, F), si on suppose m = m' + N - \struck{\dim(Y'/S)}, et qu'on a un accouplement F' \otimes G \to F(d')après « N- », la machine a biffé « \dim(Y'/S) » sans rien mettre à la place ; le « d' » que la suite définit manque dans la formule (NB d' est la dimension relative de Y' sur S, supposée constante, et (d') désigne le twist de Tate ; F' et G désignent des faisceaux \ell-adiques constants tordus sur S tout comme F).« sur S » ajouté à l'encre Ceci dit, si x' est primitive, alors il en est évidemment de même de x = Z(x'), et on aura de plus u(Z(x')) = Z(u(x')) , où le deuxième membre s'explicite en notant que Z définit également, par

p. 2 du tapuscrit

localisation étale sur S, un homomorphisme a' \longmapsto Z(a')\ :\ R^{m'-1} f'_{*}(F_{Y'}) \longrightarrow R^{m-1} f_{*}(F_Y) , et par suite un homomorphisme (encore noté par Z) des H^1(S,\ ) pour les deux membres.

Nous allons appliquer ceci au cas où Y' est une courbe relative C sur S, m'=2, x' est la classe de cohomologie x' \in H^2(C, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1)) défini par un diviseur relatif de la forme t_1(S) - t_0(S), où t_1 et t_0 sont deux sections de C sur S. Supposant C à fibres géométriques connexes on voit donc que x' est primitif. (NB on pourrait prendre aussi bien n'importe quel diviseur relatif de degré relatif nul.) On prendra pour Z la classe de cohomologie Z \in H^{2n}(Y \times_S C, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(n)) associée à un cycle algébrique sur Y \times_S C de codimension n, qu'on notera aussi Z. (NB pour que cette classe de cohomologie soit vraiment définie en l'état actuel de la Science, il faut faire des hypothèses restrictives genre S de type fini sur un corps, ou S excellent de caractéristique nulle ou le cycle Z un cycle « relatif » i.e. de codimension \leqslant n fibre par fibre. Sous ces conditions, x est la classe de cohomologie x \in H^{2n}(Y, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(n)) associée au cycle algébrique z = Z(t_1) - Z(t_0) sur Y. (NB on suppose que les intersections écrites ont un sens, ou qu'on travaille avec des classes de cycles de façon qu'elles en aient un, – ce dernier cas supposant (toujours en l'état actuel de la Science) que S est de type fini sur un corps.

p. 3 du tapuscrit

Ceci posé, le cycle Z (ou plutôt, sa classe de cohomologie) définit un homomorphisme naturel (*) \qquad Z\colon\ R^1 g_{*}(\underline{\mathbf{Z}}_\ell(1)) \longrightarrow R^{2n-1} f_{*}(\underline{\mathbf{Z}}_\ell(n)) , d'où un homomorphisme (**) \qquad Z\colon\ H^1(S, R^1 g_{*}(\underline{\mathbf{Z}}_\ell(1))) \longrightarrow H^1(S, R^{2n-1} f_{*}(\underline{\mathbf{Z}}_\ell(n))) , et la compatibilité générale énoncée plus haut nous dit que u(x) = u(c\ell(z)) n'est autre que l'image de u(x') du premier membre de (**).g est le morphisme structural de C, que le tapuscrit n'a pas nommé Nous aurons besoin simplement pour la suite de savoir que si l'homomorphisme (*) est nul (ou ce qui revient au même, si l'homomorphisme correspondant sur les fibres géométriques en \bar s (*\ \mathrm{bis}) \qquad H^1(C_{\bar s}, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(1)) \longrightarrow H^{2n-1}(Y_{\bar s}, \underline{\mathbf{Z}}_\ell(n)) est nulle), alors il en est de même de u(x) \in H^1(S, R^{2n-1} f_{*}(\underline{\mathbf{Z}}_\ell(n))).les passages en italique sont soulignés, à la main semble-t-il

2. Soit i\colon Y \longrightarrow X un morphisme de schémas propres et lisses sur un corps algébriquement clos k, n un entier.« propres » est tapé sur un autre mot, biffé à la machine On ~~suppose~~ considère l'homomorphisme (***) \qquad i^{*}\colon\ H^{2n-1}(X, \underline{\mathbf{Q}}_\ell(n)) \longrightarrow H^{2n-1}(Y, \underline{\mathbf{Q}}_\ell(n)) , et on suppose :« ({*}{*}{*}) » est écrit à la main dans la marge ; dans les deux membres un \mathbf{Q} est tapé sur le \mathbf{Z}

a) Il existe un homomorphisme en sens inverse v, dont la restriction à l'image de i^{*} soit un inverse à droite de i^{*}, et qui soit « algébrique » i.e. donné par un cycle algébrique sur Y \times X. (NB Cette hypothèse est un cas particulier des « conjectures standart », donc est sans doute toujours vérifiée ; elle est vérifiée en tous cas si i est l'inclusion d'une section hyperplane dans X, lorsque l'opération \Lambda sur la cohomologie de X est algébrique, propriété qu'on sait vérifier dans de très nombreux cas, par exemple lorsque X se remonte en car. zéro avec sa polarisation.)« propriété » est tapé dans l'interligne, au-dessus d'un mot biffé à la machine ; de même, un « X » biffé à la machine suit « sur »

p. 4 du tapuscrit

b) Pour toute courbe algébrique (propre, lisse, connexe) C sur k, et tout cycle algébrique Z sur Y \times C de codimension n, l'homomorphisme correspondant Z\colon\ H^1(C, \underline{\mathbf{Q}}_\ell(1)) \longrightarrow H^{2n-1}(Y, \underline{\mathbf{Q}}_\ell(n)) a son image dans celle de i^{*} de (***). (NB Si on admet le yoga des motifs, justifiable par les « conjectures standard », cette condition signifie que le plus grand morceau « de niveau 1 » du motif ayant comme réalisation \ell-adique \operatorname{Coker} i^{*} est nul).« plus grand » ajouté à l'encre au-dessus de « morceau »

Sous ces conditions, pour tout cycle algébrique z \in Z^n(Y) qui est algébriquement équivalent à zéro, il existe un cycle z' \in Z^n(X) algébriquement équivalent à zéro, et un z'' \in Z^n(Y), tels que

a')z = i^{*}(z') + z'' b')z'' = Z''(t_1) - Z''(t_0), où Z'' est un \mathbf{Q}-cycle de codimension n sur un produit Y \times C, induisant un homomorphisme nul H^1(C, \underline{\mathbf{Q}}_\ell(1)) \to H^{2n-1}(Y, \underline{\mathbf{Q}}_\ell(n)).

« \mathbf{Q}- » ajouté à l'encre au-dessus de « cycle » ; dans « Y \times C », le Y est écrit à l'encre sur un X biffé ; les soulignements sont à la main

Démonstration immédiate : on écrit z = Z(t_1) - Z(t_0) avec Z \in Z^n(Y \times C), ce Z définit un homomorphisme Z\colon H^1(C) \to H^{2n-1}(Y), qui par hypothèse b) tombe dans \operatorname{Im} i^{*} donc par hypothèse a) est égal au composé (iv)Z = i(vZ), or vZ\colon H^1(C) \to H^{2n-1}(X) est algébrique puisque v l'est, donc donné par un cycle algébrique Z' sur X \times C, et si on pose Z'' = Z - (i \times \mathrm{id}_C)^{*}(Z'), on aura par construction que Z'' induit l'homomorphisme nul H^1(C) \to H^{2n-1}(Y). Il suffit alors de poser z' = Z'(t_1) - Z'(t_0), \qquad z'' = Z''(t_1) - Z''(t_0) . dans « (iv)Z = i(vZ) » le tapuscrit écrit i pour i^{*} ; on le laisse

3. Mettant ensemble les réflexions de 1) et 2), on trouve ceci. On se donne des schémas propres et lisses X et Y sur S régulier connexe, et un S-morphisme i\colon Y \longrightarrow X . « régulier » ajouté à l'encre, comme page 9

p. 5 du tapuscrit. La première ligne est tapée dans l'interligne et appelée par un trait à l'encre à la place d'un passage biffé à la machine

On suppose a) et b) vérifiés pour le morphisme i_{\bar s}\colon X_{\bar s} \to X_{\bar s} induit pour les fibres en \bar s (point géométrique de S au dessus du point générique de S).ainsi, X_{\bar s} \to X_{\bar s} : on attendrait Y_{\bar s} \to X_{\bar s}. Deux lignes suivantes, entièrement biffées à la machine, ne se lisent pas () ; « Soit » est tapé au-dessus de leur fin Soit z \in Z^n(Y) tel que le cycle induit sur Y_{\bar s} soit algébriquement équivalent à zéro, et à fortiori cohomologiquement équivalent à zéro. Donc la classe u(z) \in H^1(S, R^{2n-1} f_{*}(\underline{\mathbf{Z}}_\ell(n))) est définie. Ceci posé, je dis que cette classe est contenue dans i^{*}(H^1(S, R^{2n-1} g_{*}(\underline{\mathbf{Z}}_\ell(n)))) modulo une classe de torsion, du moins si on se permet de remplacer S par un ouvert non vide (restriction probablement inutile, mais cet énoncé nous suffira pour ce qu'on veut en faire).« cette classe est » est suivi de mots biffés à la machine (« une classe de torsion », semble-t-il) ; « probablement » est tapé au-dessus d'un mot biffé ; les soulignements sont à la main. Sous la formule, une ligne biffée à la machine ; une autre, biffée aussi, avant « se permet »

Pour le voir, on applique 2) au morphisme i_{\bar s}. La courbe C et le cycle Z'' peuvent se définir déjà sur une extension finie K de k(s), Un argument de trace permet de supposer que K = k(s), et on peut supposer que C est une courbe propre et lisse relative sur S lui-même, et Z'' un cycle sur Y \times_S C, et que la formule z = i^{*}(z') + z'' est valable sur Y \times_S C. Elle implique une décomposition analogue de u(z), qui est la somme de i^{*}(u(z')) et de u(z''), de sorte qu'il suffit de prouver que u(z'') est nul. Or u(z'') induit par construction 2) l'homomorphisme nul H^1(C_{\bar s}) \to H^{2n-1}(Y_{\bar s}). Il résulte donc bien de 1) que u(z'') est nul, cqfd.

4. Soient X un schéma projectif et lisse de dimension m sur k alg. clos, prenons un pinceau de Lefschetz, de façon à obtenir une variété éclatée non moins projective et lisse \widetilde{X} et un morphisme« sur k alg. clos » ajouté à l'encre au-dessus de la ligne \tilde f\colon \widetilde{X} \longrightarrow \mathbf{P}^1_k dont les fibres sont les sections hyperplanes du pinceau. Soit S un ouvert non vide de \mathbf{P}^1_k au dessus duquel \widetilde{X} soit lisse, et soit f\colon Y = \widetilde{X}|S \to Sfin de ligne en partie repassée à la main ; la lettre de l'ouvert est tapée sur une autre, et on lit S sous réserve

p. 6 du tapuscrit

Soit P^m(X) la partie primitive de la cohomologie H^m(X, \underline{\mathbf{Q}}_\ell), i.e. le noyau du composé H^m(X) \to H^m(\widetilde{X}) \longrightarrow H^m(Y) \longrightarrow H^0(S, R^m f_{*}(\underline{\mathbf{Q}}_\ell)) . On trouve donc grâce à 1) un homomorphisme (dit « de Griffiths ») P^m(X) \longrightarrow H^1(S, R^{m-1} f_{*}(\underline{\mathbf{Q}}_\ell)) (en fait, on y pourrait remplacer S par \mathbf{P}^1_k, mais peu importe ici). D'ailleurs on a un homomorphisme d'immersion canonique

\begin{tikzcd} Y \arrow[rr, "i"] \arrow[dr, "f"'] & & X_S \arrow[dl, "g"] \\ & S & \end{tikzcd}

induisant i^{*}\colon\ H^1(S, R^{m-1} g_{*}(\underline{\mathbf{Q}}_\ell)) = H^1(S, H^{m-1}(X, \underline{\mathbf{Q}}_\ell)) \longrightarrow H^1(S, R^{m-1} f_{*}(\underline{\mathbf{Q}}_\ell)) . Ceci dit, l'image inverse par l'homomorphisme de Griffiths plus haut de \operatorname{Im} i^{*} est réduite à zéro.

Ceci se fait par des calculs explicites essentiellement triviaux, compte tenu de la structure cohomologique connue d'une variété éclatée.

5. Mettant ensemble 3) et 4), on trouve ceci :

Avec les notations de 4), supposant m = 2n, soit \bar s le point générique de \mathbf{P}^1_k, et supposons que l'immersion Y_{\bar s} \to X \otimes_k k(\bar s) de la section hyperplane générique satisfasse aux conditions a) et b) de 2). Alors pour tout z \in Z^n(X) dont la restriction à Y_{\bar s} est algébriquement équivalent à zéro, z est cohomologiquement équivalent à zéro (mod torsion).« supposant m=2n, » est tapé dans l'interligne et appelé par un trait à la main, à la place d'une ligne biffée à la machine (« si on suppose de plus m = 2n », semble-t-il) ; les soulignements sont à la main Par suite, le groupe quotient du groupe des cycles cohomologiquement équivalents à zéro sur Y_{\bar s}, modulo ceux qui sont algébriquement équivalents à zéro (groupe qui mérite le nom de groupe de Griffiths \operatorname{Grif}(Y_{\bar s}) de Y_{\bar s}), tensorisé par \underline{\mathbf{Q}}, contient comme sous-espace le sous-espace P^{2n}_{\mathrm{alg}}(X) formé des classes de cohomologie primitives sur X qui sont algébriques, – vectoriel qui a

p. 7 du tapuscrit

une nette tendance à être \neq 0.

6. ~~Conjecture II~~ Conjecture : pour X \subset \mathbf{P}^r_k fixé comme dans 5), avec n \geqslant 2, il existe un entier d_0 tel que pour tout pinceau de Lefschetz assez général de hypersurfaces de degré d \geqslant d_0 dans \mathbf{P}^r, donnant une section générique Y_{\bar s} avec X, l'inclusion Y_{\bar s} \hookrightarrow X_{\bar s} satisfait à la condition b) de 2) (le fait que la condition a) doive être vérifiée en tous cas étant de toutes façons justiciable de la conjecture d'algébraicité de la correspondance cohomologique \Lambda sur X).« \subset \mathbf{P}^r_k », « avec n \geqslant 2 » et « de Lefschetz » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre ; « assez général » est à l'encre ; le « 5 » de « 5) » est tapé sur un autre chiffre. Un double trait vertical, à l'encre, marque en marge l'énoncé de la conjecture

Nous allons examiner cette conjecture, en supposant déjà que le théorème de Lefschetz « vache » soit vrai sur X, et que la correspondance \Lambda sur X est algébrique. La théorie des cycles évanescents, qui sera prouvée dans SGA 7 cette année, donne alors ceci : L'orthogonal E^{2n-1} de H^{2n-1}(X), considéré comme plongé dans H^{2n-1}(Y_{\bar s}), est un module simple sous l'action de \operatorname{Gal}(k(\bar s)/k(s)), ainsi que sous celle de tout sous-groupe ~~d'indice fini~~ ouvert.« sous » et « ouvert » à l'encre, le second au-dessus de « d'indice fini » barré (NB pour ce dernier fait, on utilise de façon essentielle qu'on est en dimension impaire 2n-1, de sorte que les opérations de monodromie locale sont des transvections et non des symétries, donc ne se tuent pas en passant à une puissance quelconque …) Il s'ensuit déjà que la condition b) équivaut à dire que E^{2n-1} n'est pas tout entier de niveau 1. En caractéristique nulle, s'il était tout entier de niveau 1, cela impliquerait que les composantes de type p,q de E^{n-1} sont nulles sauf les deux composantes (n,n-1) et (n-1,n) (la réciproque étant vraie d'ailleurs si la conjecture de Hodge est vraie) ; cela signifie aussi que H^{p,q}(X) \hookrightarrow H^{p,q}(Y) est un isomorphisme pour ces valeurs de (p,q), en particulier que H^{2n-1}(X, \underline{\mathcal{O}}_X) \to H^{2n-1}(Y, \underline{\mathcal{O}}_Y) est un isomorphisme (car n \geqslant 2), ce qui n'est pas le cas pour d grand (car la dimension du second membre tend vers \infty avec d). Cela prouve (par la méthode de Lefschetz, reprise par Griffiths) l'énoncé voulu en caractéristique nulle.« équivaut à dire » et « cela impliquerait » sont tapés dans l'interligne au-dessus de passages biffés à la machine ; d'autres biffures à la machine, illisibles, ne sont pas relevées ; « (\text{car } n \geqslant 2) » est à l'encre. « E^{n-1} » est bien ce que porte le tapuscrit, au lieu de E^{2n-1}

p. 8 du tapuscrit

En caractéristique quelconque, on ne peut pour l'instant que donner des cas assez particuliers où la conjecture soit vérifiée ; par Katz, cela marche en tous cas pour ~~les~~ X intersections complètes et un pinceau « assez général » (ce qui suffit pour faire marcher l'exemple minimal de Griffiths : X quadrique dans \mathbf{P}^5 …).« X » au-dessus de « les » barré, et « et un pinceau assez général », dans l'interligne, sont à l'encre ; le pluriel des deux mots suivants est corrigé à la main Pour vérifier que E^{2n-1}(Y_{\bar s}) n'est pas de niveau 1, on constate aisément qu'il suffit de vérifier qu'il existe un point t du pinceau tel que E^{2n-1}(Y_{\bar t}) ne soit pas de niveau 1 (il faut utiliser pour ceci le critère de Néron-Ogg-Chafarévitch de bonne réduction des VA ; la triste vérité est que je ne sais pas montrer de façon générale, même en admettant les conjectures standard, que le niveau d'un motif ne peut que diminuer par spécialisation …) Quitte à écrire k comme limite d'anneaux de type fini au sens absolu, la même observation est d'ailleurs valable, en se spécialisant sur un corps fini. Or dans ce cas, le niveau 1 implique (et est peut-être équivalent à) la divisibilité par q^{n-1} des valeurs propres de frobenius opérant sur E^{2n-1}(Y_{\bar t}) ~~par q^{n-1}~~ (q = \operatorname{card} k(t)), et il suffit donc de trouver t tel que l'une des valeurs propres de frobenius soit une unité p-adique. C'est ce que Katz vérifie dans divers cas par une utilisation astucieuse de la formule de Lefschetz-Woodshole-Verdier.« montrer de façon générale » est tapé dans l'interligne au-dessus d'un mot biffé à la machine ; « (et est peut-être équivalent à) » et « par q^{n-1} » sont à l'encre, et « par q^{n-1} » tapé en fin de phrase est barré à l'encre

7. Le procédé de Katz. A lui de jouer ….

le reste du feuillet est vierge

p. 9 du tapuscrit : une seconde rédaction du no 7, qui remplace « Le procédé de Katz. A lui de jouer … » de la page 16

7. Je vais prouver la conjecture du no 6 pour des pinceaux de Lefschetz assez généraux d'hypersurfaces de grand degré, en adaptant la méthode utilisée par Katz pour les intersections complètes. Nous allons prouver :« vais prouver » est entouré à l'encre, et un trait mène à l'annotation, en haut du feuilletnon, pas tout à fait !

Théorème 7.1. Soit X \subset \mathbf{P}^r_k un schéma projectif équidimensionnel de Cohen-Macaulay, de dimension n > 0, sur un corps k de car. p > 0. Il existe alors un entier d_0 > 0 tel que, pour tout d \geqslant d_0, si Y est la section de X par la hypersurface générique de degré d, définie sur l'extension k' = k(t_0, \ldots, t_r) de k, on ait la propriété qui suit. On désigne par E_0(Y) le conoyau de H^{n-1}(X_{k'}, \underline{\mathcal{O}}_{X_{k'}}) \to H^{n-1}(Y, \underline{\mathcal{O}}_Y), qui est un vectoriel de dimension finie sur k', muni de l'homomorphisme p-linéaire de Frobenius E_0(Y)^{(p)} \to E_0(Y) (provenant de la puissance p.ème sur les faisceaux de coéfficients \underline{\mathcal{O}}_{X_{k'}}, \underline{\mathcal{O}}_Y). Soit V = E_0(Y)_{ss} la partie semi-simple de E_0(Y), i.e. le plus grand sous-espace V stable par frobenius et sur lequel frobenius induise un morphisme surjectif V^{(p)} \to V. Considérons la représentation correspondante de G = \operatorname{Gal}(\bar k'/k') dans le vectoriel V_0 de dimension s = \dim_{k'} V sur \mathbf{F}_p formé des x \in V_{\bar k'}, tels que Fx = x. Alors ~~cette représentation est non triviale, et de façon plus précise,~~ pour tout élément a \in \mathbf{F}_p^{*}, il existe un u \in \operatorname{Aut}(V_0) dans l'image G_0 de G d'un sous-groupe V_0' \subset V_0 stable par G_0 tel que \operatorname{Tr} u|V_0' = a. ~~(Cela implique en particulier que G_0 n'est pas un p-groupe, et plus précisément qu'il a au moins p-1 éléments distincts (et même à traces distinctes) qui sont semi-simples.~~ ~~Cela implique également que si \dim V \geqslant 2).~~les ajouts « V= », « V », « V_0 », « G_0 » sont à l'encre, dans l'interligne ; « d'un sous-groupe V_0' \subset V_0 stable par G_0 » est une insertion à l'encre sous la ligne, dont la place dans la phrase n'est pas marquée clairement, et le « |V_0' » de la trace est ajouté à la main. « et même » est tapé au-dessus d'un mot biffé. La parenthèse finale, avec sa suite manuscrite (« Cela implique également que si \dim V \geqslant 2 »), est barrée à l'encre et encadrée d'un crochet ; « p-1 » est tapé sur une autre lettre

pas prouvé sous cette forme justeen marge gauche, à l'encre, écrit de biais, en regard de l'énoncé du théorème, qu'un trait vertical marque sur toute sa hauteur

Signalons tout de suite les corollaires qui nous intéresseront surtout :

Corollaire 7.2. Supposons que k soit fini. Soit S_d le schéma projectif défini par le vectoriel des formes de degré d sur \mathbf{P}^r_k. Alors pour tout ouvert non vide U de S_d, et tout entier a, il existe un point t \in U(k') (k' une extension finie de k) tel que« point » remplace un mot tapé biffé à l'encre (« forme », semble-t-il) ; après « U(k') », deux mots tapés sont barrés et surchargés d'une lecture qui ne se laisse pas déchiffrer () ; « une extension finie de k » est écrit sous la ligne

pas prouvé ; également 7.1 sous sa forme justeen marge gauche, à l'encre, de biais, en regard du corollaire, qu'un trait vertical marque aussi

p. 10 du tapuscrit

\operatorname{card}(Y_t(k')) \equiv a \mod p , où Y_t est la section de X_{k'} par l'hypersurface de \mathbf{P}^r_{k'} définie par t.dans la formule, « (k') » remplace à l'encre une parenthèse tapée et noircie ; de même « k' » en indice de X et de \mathbf{P}^r, à la place d'un « par » et d'un indice tapés et barrés

En effet, Deligne a vérifié, à l'aide de la formule de Verdier-Lefschetz, que pour un schéma propre Y sur un corps fini, la somme alternée des traces des frobenius géométriques opérant sur H^i(Y, \underline{\mathcal{O}}_Y) est égal au nombre des points rationnels de Y mod p.« géométriques » est tapé dans l'interligne et appelé à l'encre D'autre part, quitte à restreindre U, nous pouvons supposer que, f\colon \underline{Y} \longrightarrow S_d étant le morphisme qu'on devine à fibres les Y_s (s \in S_d), que f est plat, et que la formation des R^i f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_Y) commute au changement de base au dessus de U, que les R^i f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_Y) sont localement libres sur U, enfin que V est la fibre générique d'un sous-fibré \underline{V} de R^{n-1} f_{*}(\underline{\mathcal{O}}_Y) / \underline{\mathcal{O}}_{S_d} \otimes H^{n-1}(X, \underline{\mathcal{O}}_X), stable par frobenius, et sur lequel frobenius soit semi-simple (i.e. un épimorphisme \underline{V}^{(p)} \to \underline{V}). Alors la représentation du groupe fondamental du point générique s de S_d envisagée dans 7.1 provient d'une représentation du groupe fondamental \pi de U, Quitte à restreindre U, on peut supposer également que la partie semi-simple des fibres génériques de tous les R^i f(\underline{\mathcal{O}}_Y) (pas seulement pour i = n-1) provient d'un sous-Module localement facteur direct, stable par frobenius, sur lequel frobenius soit semi-simple.« f est plat, et que » est à l'encre au-dessus de la ligne ; le passage « Quitte à restreindre … semi-simple » est encadré et biffé à l'encre de grands traits obliques D'autre part, quitte à prendre d_0 assez grand dans 7.1, on peut supposer que H^i(X, \underline{\mathcal{O}}_X(-d)) = 0 pour tout i < n et tout d \geqslant d_0 (c'est ici qu'intervient l'hypothèse X Cohen-Macaulay sur X), de sorte que pour toute section Y_s de X de degré d \geqslant d_0 et de dimension n-1, l'homomorphisme H^i(X_s, \underline{\mathcal{O}}_{X_s}) \to H^i(Y_s, \underline{\mathcal{O}}_{Y_s}) sera un isomorphisme pour i \leqslant n-2, un monomorphisme pour i = n-1.l'ajout est à l'encre sous la ligne, entouré ; un mot biffé à l'encre au milieu (« ») ne se lit pas On voit alors que la formule de Lefschetz-Verdier donne, pour le point ~~fermé~~ t de U(k'), que le nombre des points rationnels sur k' de Y_t satisfait« le » corrige « un » à l'encre ; « fermé » est barré ; « (k') » et « k' » remplacent, à l'encre, des lettres tapées ; « satisfait » est repassé à la main

p. 11 du tapuscrit

\operatorname{card} Y_t(k') \equiv c_t + (-1)^{n-1} \operatorname{Tr} f_t , où c_t = \sum_{0 \leqslant i \leqslant n-1} (-1)^i\, \text{Trace de } \mathrm{Frob}_{k'} \text{ opérant sur } H^i(X, \underline{\mathcal{O}}_X) , et où f_t est l'élément du groupe quotient G_0 = \operatorname{Aut}_{\mathbf{F}_p}(V_0) de \pi, image de l'élément de frobenius de \pi associé au point ~~fermé~~ t \in U(k').le signe (-1)^i et « quotient » sont à l'encre ; « image » est tapé après un mot biffé à la machine Quitte à remplacer d'abord k par une extension finie, de sorte que \mathrm{Frob}_k opérant sur les H^i(X, \underline{\mathcal{O}}_X) soit à valeurs propres toutes égales à 0 ou 1, on peut supposer que c_t est indépendant de t, soit c. Il résulte alors de 7.1 qu'il existe un élément f de G_0 tel que c + (-1)^{n-1} \operatorname{Tr} f \equiv a \mod p, et il suffit donc de choisir un t \in U (considéré comme élément de U(k(t))) de telle façon que f_t = f. Mais ceci est possible en vertu du théorème de Čebotaref.« remplacer d'abord k par » et « soit c. » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre ; « passer à » est ainsi remplacé ; le caron de Čebotaref est ajouté à la mainpas prouvéen marge gauche, dans un ovale au crayon, avec un trait vers la fin de la démonstration

Corollaire 7.3. (Si n pair \geqslant 4, X lisse). On peut trouver un ouvert U' (non vide de la grassmannienne des droites) de S_d, tel que pour toute droite D \in U'(k') ~~de (S_d)_{k'} qui rencontre U et qui définit~~ D est un pinceau de Lefschetz sur X_{k'}, si t désigne le point générique de cette droite, le motif E(Y_t) des cycles évanescents sur Y_t ne soit pas de niveau 1 (donc ne contienne pas de sous-motif \neq 0 de niveau 1, pas même sur une extension de k(t), d'après le résultat de simplicité rappelé au no 6).« (Si n pair, X lisse). » est tapé au-dessus de la ligne ; « \geqslant 4 », « (non vide de la grassmannienne des droites) », « D \in U'(k') » et « D est » sont à l'encre ; la fin de ligne « qui rencontre … qui définit » est barrée à l'encre (k' une ext. quelc. de k)en marge gauche, à l'encre, en regard de « droite »

U' est défini comme un ouvert de droites D rencontrant \overline{U} et telles que \pi_1(D \cap U) \to \pi_1(\uncertain{U}) soit surjectif ( à k'). On établira un variante de Bertininote à l'encre écrite de bas en haut dans la marge gauche, encadrée, et appelée par un trait devant « On peut »

On prend U comme dans la démonstration de 7.2, et tel que les Y_s (s \in U) soient lisses. On peut (grâce au fait qu'un motif de niveau \leqslant 1 se spécialise en un motif de niveau \leqslant 1, comme on a signalé au no 6 comme conséquence du critère de Ogg-Néron-Chafarévitch) supposer que k est fini, et il suffit de prouver que l'on peut trouver un point fermé s de D tel que les valeurs propres de Frobenius opérant sur E^{n-1}(Y_s, \underline{\mathbf{Q}}_\ell) (\ell un nombre premier fixé \neq p) ne soient pas toutes divisibles par p. Or le nombre de points de Y_t est égal à la somme alternée des traces de frobenius opérant sur les« et tel que les Y_s … soient lisses. » est à l'encre au-dessus de la ligne ; un mot tapé biffé suit « et il » ; le « \neq \ell » du tapuscrit porte le caractère \ell pour p, et on lit \neq p

p. 12 du tapuscrit, le dernier du lot ; le bord droit du feuillet est coupé sur la reproduction, et les fins de ligne y manquent

H^i(Y_{\bar t}, \underline{\mathbf{Q}}_\ell), qui peut s'écrire, grâce au théorème de Lefschetz faible …« faible » est à l'encre en bout de ligne, en partie hors du cadre ; « aux théorèmes » est corrigé à la main en « au théorème » \sum_{0 \leqslant i \leqslant n-2} (-1)^i\, \text{Trace } \mathrm{Frob}_{H^i(X_{\bar t}, \mathbf{Q}_\ell)} \bigl(1 + q^{\,2n \ldots}\bigr) + \ldots\, \text{Trace } \mathrm{Frob}_{H^{n-1}(X_{\bar t}, \ldots)} \ldots \ldots + (-1)^{\ldots}\, \text{Trace } \mathrm{Frob}_{E^{n-1}(Y_s, \underline{\mathbf{Q}}_\ell)} , q = \operatorname{card} k(s)la première ligne de la formule est reprise à l'encre et n'est pas sûre : le facteur « (1 + q^{2n\ldots}) », écrit au-dessus d'un « (-1)^i » tapé et barré, a un exposant qu'on ne lit pas () ; entre les deux traces, des signes (-1)^{\ldots} successivement biffés ; le signe (-1)^i devant la somme et (-1)^{\ldots} devant la dernière trace sont à l'encre, sur un mot tapé biffé

où tous les frobenius sont relatifs au corps de base k(s). Ici encore, quitte à remplacer k par une extension finie, on peut supposer que les valeurs propres (0 \leqslant i \leqslant n-2) des frobenius (relatifs à k) opérant sur les H^i(X_{\bar k}, \underline{\mathbf{Q}}_\ell) (en tant qu'entiers algébriques) sont égales à 0 ou 1 mod p, de sorte que mod p la contribution des termes de la première ligne soit indépendante du choix de s, soit c. Donc si les valeurs propres de frobenius opérant sur les E^{n-1}(Y_s, \underline{\mathbf{Q}}_\ell) sont toutes divisibles par p, on en conclut que \operatorname{card} Y_s(k(t)) \equiv c \mod p, et la même relation serait également valable, pour la même raison, si on remplace k(t) par une extension finie k' quelconque. Il suffit donc de voir qu'on peut trouver toujours un point s de D \cap U dans une extension finie k' de k, tel que \operatorname{card} Y_s(k') soit congru mod p à un élément donné de \mathbf{F}_p (qu'on choisira alors \neq c). Or c'est ce que montre essentiellement 7.2, à cela près qu'on n'a pas été assez précis dans l'énoncé de ce corollaire puisqu'on peut imposer à s de provenir de D \cap U(k'), où D est une droite donnée \in U'(k') ~~rencontrant U~~. Ce raffinement est contenu dans la démonstration de 7.2, compte tenu du fait que par Bertini, le groupe fondamental de D \cap U_{k'} s'envoie sur celui de U, donc s'envoie sur G_0.« (0 \leqslant i \leqslant n-2) » et « (en tant qu'entiers algébriques) » sont à l'encre ; « soit c. » et « dans une extension finie k' de k, tel que » sont tapés dans l'interligne et appelés à l'encre, à la place de mots biffés à la machine (dont « fermé ») ; « \in U'(k') » est à l'encre et « rencontrant » barré à l'encre ; l'indice k' de U est à la main. Le texte du tapuscrit s'arrête ici, au milieu du feuillet