Cote n° 36 · pages 1–84 · Lecture modernisée · SGA 7 (ma part) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le titre de l'inventaire — « SGA 7 (ma part) » — dit ce que le dossier rassemble : ce dont Grothendieck s'était chargé dans le séminaire sur la monodromie, tenu à Bures en 1967–1969 et publié en deux volumes (SGA 7 I, 1972 ; SGA 7 II, 1973). Sa part publiée comprend les exposés I, II et VI à IX ; ceux que touche ce dossier sont VII et VIII (biextensions) et IX (modèles de Néron et monodromie). Le fil qui relie les feuillets est le suivant : une variété abélienne \(A\) sur le corps des fractions \(K\) d'un anneau de valuation discrète, son module de Tate \(M = T_\ell(A)\), la filtration \[ M \supset M^{I} \supset M^{I}_{t} \] par la partie fixe sous l'inertie et la partie torique, et la façon dont l'accouplement de Weil entre \(M\) et le module de la variété duale traite ces filtrations. Tout le reste est outillage, ou détour.

Les stations, dans l'ordre des pages :

• Pages 2 à 7 — les remarques d'un lecteur sur un état tapé de l'exposé IX, avec ses réponses au crayon. Un texte d'autrui, signalé seulement.
• Pages 9 à 26 — le tapuscrit « Le théorème de Griffiths par voie algébrique », n^os 1 à 7 et un titre de n^o 8. C'est le détour : il relève de l'autre moitié de SGA 7 (pinceaux de Lefschetz, cycles évanescents) et d'aucun exposé publié.
• Pages 27 à 33 — biextensions de complexes \([M \to G]\), l'objet que Deligne nommera plus tard 1-motif.
• Pages 34 à 45 — « Picard et dualité » : cohomologie plate d'une courbe, torseurs sous un groupe fini et sous une variété abélienne, groupe fondamental d'une variété abélienne.
• Pages 46 à 57 — « Biextensions de faisceaux de groupes » : reconstruction d'une biextension par restriction, biextensions sans rigidification, le groupe de Néron–Severi.
• Pages 59 à 70 — le théorème des cycles invariants pour le \(H^1\), en tapuscrit puis à la main.
• Pages 72 à 80 — le théorème d'orthogonalité, démonstration arithmétique.
• Pages 81 à 83 — l'autodualité du groupe des composantes du modèle de Néron d'une jacobienne.

Les feuillets d'autres textes que le dossier contient — une rédaction Bourbaki (page 37 et pages 65 à 71), un tapuscrit sur la cohomologie de Čech (pages 48 et 50), des feuillets d'une rédaction de la théorie géométrique des invariants de Mumford (pages 52, 54, 56, 58) — ne sont signalés qu'à leur place, et pas au-delà de ce qu'en dit la transcription.

Conventions. \(k\) désigne le corps de base ou le corps résiduel selon la section, ce que chaque section rappelle ; \(\ell\) est un nombre premier différent de la caractéristique résiduelle quand rien d'autre n'est dit. Pour un groupe abélien (ou un faisceau) \(P\) et un entier \(n\), on écrit comme lui \({}_nP\) le noyau et \(P_n = P/nP\) le conoyau de la multiplication par \(n\). Dans le tapuscrit Griffiths, la dimension de la variété ambiante \(X\) est notée \(m\) partout¹ ; on écrit \(m = 2n\) là où les n^os 5 et 6 en ont besoin. Les faisceaux qu'il note d'un \(z\) bouclé (pages 35 et suivantes) sont écrits \(\mu_\ell\), \(\mu_p\), et son \(i_p\) est écrit \(\alpha_p\) : les valeurs que sa table leur donne sont exactement les leurs.

2–7

Les remarques d'un lecteur sur l'exposé IX (pages 2 à 7)

Six feuillets quadrillés, numérotés 1 à 6, titrés « Remarques. SGA 7 IX », d'une main non identifiée qui tutoie l'auteur de l'exposé : un relecteur parcourt un état dactylographié de l'exposé IX — Modèles de Néron et monodromie, l'exposé de Grothendieck — section par section, en renvoyant aux pages et aux lignes du tapuscrit. Ce texte n'est pas le sien et n'est pas reproduit ici ; il suffit de dire qu'il couvre l'introduction et les sections 1 à 11 (la 8 laissée vide), et qu'au feuillet 2 le lecteur compare l'accouplement « d'A. M. » à celui de l'auteur.²

Ce qui est de lui, ce sont les réponses au crayon, et elles disent assez bien comment l'exposé a été défendu : « guillemets suffisants ? », « je le dis ! », « c'est dit dans la 5.13 », « c'est pourtant trivial », « non, mon argument marche », « si ? », deux fois « que faire ? », et, à l'encre, en face d'une objection qui jugeait fausse une page entière, « CANULAR ?! ».³

9–26

Le théorème de Griffiths par voie algébrique (pages 9 à 26)

Un tapuscrit de dix-huit pages, paginé à la main, sous un titre au crayon. Il est écrit à la première personne par un auteur qui n'est ni Deligne ni Katz, il parle de « la théorie des cycles évanescents, qui sera prouvée dans SGA 7 cette année », et ce qu'il démontre n'est dans aucun des exposés publiés de Grothendieck.⁴ Le problème est celui que Griffiths avait résolu par voie transcendante en 1969 : exhiber des cycles homologiquement équivalents à zéro qui ne sont pas algébriquement équivalents à zéro. Le tapuscrit veut le faire en toute caractéristique.

Le plan est simple à énoncer. Une classe de cohomologie primitive, sur l'espace total d'une famille, donne une classe de \(H^1\) de la base (n^o 1). Si un cycle de la fibre générique est algébriquement trivial, cette classe vient de la variété ambiante, sous deux hypothèses a) et b) (n^os 2 et 3). Pour un pinceau de Lefschetz, la classe d'un cycle primitif ne vient jamais de la variété ambiante (n^o 4). Donc, sous a) et b), un cycle primitif non nul de \(X\) se restreint en un cycle non trivial du groupe de Griffiths de la section hyperplane générique (n^o 5). Reste à vérifier b), ce qui est l'objet d'une conjecture (n^o 6) et d'un théorème annoncé (n^o 7) que l'auteur, à l'encre, déclare non prouvé.

9–11

La classe \(u(x)\) d'une classe primitive (n^o 1, pages 9 à 11)

Soit \(f\colon Y \to S\) un morphisme propre et lisse, \(S\) régulier et connexe, à caractéristiques résiduelles différentes de \(\ell\), et \(F\) un faisceau \(\ell\)-adique lisse de rang un sur \(S\) (en pratique \(\mathbf{Z}_\ell(i)\)). Une classe \(x \in H^m(Y, F_Y)\) est dite primitive si son image dans \(H^0(S, R^m f_* F)\) est nulle ; comme \(R^m f_* F\) est lisse et \(S\) connexe, il revient au même que sa restriction à une fibre géométrique \(Y_{\bar s}\) soit nulle. Dans la suite spectrale de Leray \(E_2^{p,q} = H^p(S, R^q f_*F) \Rightarrow H^{p+q}(Y, F)\), une classe primitive est dans le premier cran \(F^1H^m\) de la filtration, et son image dans \(F^1/F^2 = E_\infty^{1,m-1}\) est un élément \[ u(x) \in E_2^{1,m-1} = H^1(S, R^{m-1}f_*F_Y), \] puisqu'aucune différentielle n'aboutit en bidegré \((1, m-1)\) et que \(E_\infty^{1,m-1}\) est donc un sous-groupe de \(E_2^{1,m-1}\).⁵ Appliquée à la classe d'un cycle, c'est l'avatar \(\ell\)-adique de la fonction normale de Poincaré et Griffiths ; aujourd'hui on parle d'application d'Abel–Jacobi \(\ell\)-adique.

Fonctorialité. Soit \(Y'\) propre et lisse sur \(S\), de dimension relative constante \(d'\), et \(Z \in H^N(Y \times_S Y', G)\), avec un accouplement \(F' \otimes G \to F(d')\). Par le formalisme des correspondances cohomologiques, \(Z\) définit \(x' \mapsto Z(x') = \mathrm{pr}_{1*}(\mathrm{pr}_2^*x' \cdot Z)\), de \(H^{m'}(Y', F')\) dans \(H^m(Y, F)\), avec \[ m = m' + N - 2d' . \] ⁶ Si \(x'\) est primitive, \(Z(x')\) l'est, et \[ u(Z(x')) = Z(u(x')) , \] où le second membre se lit à travers l'homomorphisme \(R^{m'-1}f'_*F_{Y'} \to R^{m-1}f_*F_Y\) que \(Z\) définit par localisation étale sur \(S\).

Le cas qui servira. On prend pour \(Y'\) une courbe relative \(q_C\colon C \to S\) à fibres géométriques connexes, munie de deux sections \(t_0\), \(t_1\), et pour \(x' \in H^2(C, \mathbf{Z}_\ell(1))\) la classe du diviseur relatif \(t_1(S) - t_0(S)\), primitive parce que de degré nul sur chaque fibre ; on prend pour \(Z\) la classe d'un cycle de codimension \(n\) sur \(Y \times_S C\), encore noté \(Z\).⁷ Alors \(x = Z(x')\) est la classe du cycle \(z = Z(t_1) - Z(t_0)\) de \(Y\), de degré \(2n\), et \(u(x) = Z(u(x'))\) dans \(H^1(S, R^{2n-1}f_*\mathbf{Z}_\ell(n))\). Le tapuscrit prend soin de dire que ces classes de cycles et ces intersections n'ont de sens, « en l'état actuel de la Science », que sous des hypothèses du genre « \(S\) de type fini sur un corps », et on les suppose. La conséquence qui servira est celle-ci :

si l'homomorphisme \(Z\colon R^1q_{C*}\mathbf{Z}_\ell(1) \to R^{2n-1}f_*\mathbf{Z}_\ell(n)\) est nul — ou, ce qui revient au même puisque ce sont des faisceaux lisses sur une base connexe, si \(Z\colon H^1(C_{\bar s}, \mathbf{Z}_\ell(1)) \to H^{2n-1}(Y_{\bar s}, \mathbf{Z}_\ell(n))\) est nul — alors \(u(\mathrm{cl}(z)) = 0\).

11–12

Décomposer un cycle algébriquement trivial (n^o 2, pages 11 et 12)

Soit \(i\colon Y \to X\) un morphisme de variétés propres et lisses sur un corps algébriquement clos \(k\), et \[ i^*\colon H^{2n-1}(X, \mathbf{Q}_\ell(n)) \to H^{2n-1}(Y, \mathbf{Q}_\ell(n)). \] On suppose :

• a)il existe \(v\colon H^{2n-1}(Y) \to H^{2n-1}(X)\), induit par un cycle algébrique (à coefficients rationnels) sur \(Y \times X\), tel que \(i^* v\) soit l'identité sur l'image de \(i^*\) ;
• b)pour toute courbe propre, lisse et connexe \(C\) sur \(k\) et tout cycle \(Z\) de codimension \(n\) sur \(Y \times C\), l'image de \(Z\colon H^1(C, \mathbf{Q}_\ell(1)) \to H^{2n-1}(Y, \mathbf{Q}_\ell(n))\) est contenue dans celle de \(i^*\).

L'hypothèse a) est un cas particulier des conjectures standard ; elle est vraie quand \(i\) est l'inclusion d'une section hyperplane et que l'opérateur \(\Lambda\) de Lefschetz est algébrique sur \(X\), ce qu'on sait, dit le tapuscrit, quand \(X\) se relève en caractéristique nulle avec sa polarisation. L'hypothèse b) dit, dans le langage des motifs, que le plus grand morceau de niveau 1 du motif de réalisation \(\operatorname{Coker} i^*\) est nul ; en termes d'aujourd'hui, que \(\operatorname{Coker} i^*\) ne rencontre pas le cran de coniveau \(n-1\) de la cohomologie de \(Y\).⁸

Énoncé. Sous a) et b), tout cycle \(z \in Z^n(Y)\) algébriquement équivalent à zéro s'écrit, dans le groupe de Chow \(\mathrm{CH}^n(Y) \otimes \mathbf{Q}\), \[ z = i^*(z') + z'' , \] où \(z' \in Z^n(X)_{\mathbf{Q}}\) est algébriquement équivalent à zéro et \(z'' = Z''(t_1) - Z''(t_0)\) pour un \(\mathbf{Q}\)-cycle \(Z''\) de codimension \(n\) sur \(Y \times C\) qui induit l'homomorphisme nul \(H^1(C) \to H^{2n-1}(Y)\).

Démonstration. On écrit \(z = Z(t_1) - Z(t_0)\) avec \(Z\) un cycle sur \(Y \times C\), \(C\) une courbe lisse connexe.⁹ Par b), \(Z\colon H^1(C) \to H^{2n-1}(Y)\) tombe dans l'image de \(i^*\), donc par a) \(Z = i^*(vZ)\) ; le composé \(vZ\colon H^1(C) \to H^{2n-1}(X)\) est induit par un \(\mathbf{Q}\)-cycle \(Z'\) sur \(X \times C\), puisque \(v\) l'est. On pose \(Z'' = Z - (i \times \mathrm{id}_C)^*Z'\), qui induit l'homomorphisme nul, puis \(z' = Z'(t_1) - Z'(t_0)\) et \(z'' = Z''(t_1) - Z''(t_0)\).¹⁰

12–13

La version relative (n^o 3, pages 12 et 13)

Soient maintenant \(X\), \(Y\) propres et lisses sur \(S\) régulier et connexe, \(g\colon X \to S\), \(f\colon Y \to S\), et \(i\colon Y \to X\) un \(S\)-morphisme. On suppose a) et b) vérifiés par \(i_{\bar s}\colon Y_{\bar s} \to X_{\bar s}\), où \(\bar s\) est un point géométrique au-dessus du point générique de \(S\).¹¹ Soit \(z \in Z^n(Y)\) dont la restriction à \(Y_{\bar s}\) est algébriquement, donc homologiquement, équivalente à zéro ; sa classe est primitive et \(u(z) \in H^1(S, R^{2n-1}f_*\mathbf{Z}_\ell(n))\) est définie.

Énoncé. Quitte à remplacer \(S\) par un ouvert non vide, \(u(z)\) appartient, modulo torsion, à l'image de \[ i^*\colon H^1(S, R^{2n-1}g_*\mathbf{Z}_\ell(n)) \to H^1(S, R^{2n-1}f_*\mathbf{Z}_\ell(n)) . \] La restriction à un ouvert est, dit le tapuscrit, « probablement inutile ».

Démonstration. On applique le n^o 2 à \(i_{\bar s}\). La courbe \(C\), ses points \(t_0\), \(t_1\) et les cycles \(Z'\), \(Z''\) sont définis sur une extension finie du corps des fonctions de \(S\) ; un argument de trace ramène à ce corps lui-même, au prix d'un multiple entier — d'où le « modulo torsion » — et, sur un ouvert de \(S\), \(C\) devient une courbe relative propre et lisse, \(Z''\) un cycle sur \(Y \times_S C\), et la décomposition \(z = i^*(z') + z''\) vaut sur \(S\). Alors \(u(z) = i^*u(z') + u(z'')\), et \(u(z'') = 0\) par le n^o 1, puisque \(Z''\) induit l'homomorphisme nul sur la fibre en \(\bar s\).

13–15

L'homomorphisme de Griffiths, et ce qu'il donne (n^os 4 et 5, pages 13 à 15)

Soit \(X\) projective et lisse de dimension \(m\) sur \(k\) algébriquement clos, et un pinceau de Lefschetz ; l'éclatement de son axe donne \(\widetilde{X}\) et \(\tilde f\colon \widetilde{X} \to \mathbf{P}^1_k\), dont les fibres sont les sections du pinceau. Soit \(S \subset \mathbf{P}^1_k\) l'ouvert où \(\tilde f\) est lisse, et \(f\colon Y = \widetilde{X}|_S \to S\). La partie primitive \(P^m(X)\) est le noyau de \(H^m(X) \to H^0(S, R^mf_*\mathbf{Q}_\ell)\), c'est-à-dire le noyau de la restriction à une section hyperplane — la partie primitive au sens de Lefschetz. Le n^o 1 fournit l'homomorphisme de Griffiths \[ \gamma\colon P^m(X) \longrightarrow H^1(S, R^{m-1}f_*\mathbf{Q}_\ell). \] L'immersion \(i\colon Y \to X_S = X \times S\) au-dessus de \(S\) donne \[ i^*\colon H^1(S, H^{m-1}(X, \mathbf{Q}_\ell)) \to H^1(S, R^{m-1}f_*\mathbf{Q}_\ell). \]

\begin{tikzcd}
Y \arrow[rr, "i"] \arrow[dr, "f"'] & & X_S \arrow[dl, "g"] \\
& S &
\end{tikzcd}

Énoncé. \(\gamma^{-1}(\operatorname{Im} i^*) = 0\). Le tapuscrit renvoie à « des calculs explicites essentiellement triviaux, compte tenu de la structure cohomologique connue d'une variété éclatée ». En voici la substance, qui est nôtre : sous le théorème de Lefschetz difficile, le faisceau \(R^{m-1}f_*\mathbf{Q}_\ell\) est somme directe de la partie constante \(H^{m-1}(X)\) et de la partie évanescente \(\mathcal{E}\), l'image de \(i^*\) est le premier facteur de \(H^1(S, -)\), et la composante de \(\gamma\) dans \(H^1(S, \mathcal{E})\) est injective, parce que \(P^m(X)\) s'identifie, par la suite de Leray de \(\tilde f\) et la théorie de Lefschetz, à \(H^1(\mathbf{P}^1, j_*\mathcal{E})\), qui s'injecte dans \(H^1(S, \mathcal{E})\).

Le théorème de Griffiths, conditionnel (n^o 5). On suppose \(m = 2n\), et que l'inclusion \(Y_{\bar s} \to X_{k(\bar s)}\) de la section hyperplane générique satisfait a) et b). Soit \(z \in Z^n(X)\) dont la restriction à \(Y_{\bar s}\) est algébriquement équivalente à zéro. Sa classe est alors primitive ; par le n^o 3, \(\gamma(\mathrm{cl}(z))\) tombe modulo torsion dans l'image de \(i^*\) ; par le n^o 4, elle est nulle : \(z\) est homologiquement équivalent à zéro, à torsion près.

Soit \(\operatorname{Grif}(Y_{\bar s})\) le groupe des cycles homologiquement équivalents à zéro modulo ceux qui sont algébriquement équivalents à zéro — le nom est le sien, et c'est resté le nom. Restreindre à \(Y_{\bar s}\) les cycles de \(X\) de classe primitive envoie ceux-ci dans \(\operatorname{Grif}(Y_{\bar s})\), et ce qui précède dit que le noyau de cette application, tensorisée par \(\mathbf{Q}\), est formé de cycles homologiquement triviaux sur \(X\). Il en résulte que \(\operatorname{Grif}(Y_{\bar s}) \otimes \mathbf{Q}\) contient un sous-espace qui se surjecte sur \(P^{2n}_{\mathrm{alg}}(X)\), l'espace des classes primitives algébriques de \(X\) — espace qui, dit le tapuscrit, « a une nette tendance à être \(\neq 0\) ».¹² Dans l'exemple minimal de Griffiths — \(X\) quadrique de \(\mathbf{P}^5\), \(z\) la différence de deux plans des deux familles — c'est exactement ce qu'il faut.

15–16

La conjecture du n^o 6 (pages 15 et 16)

Conjecture. Soit \(X \subset \mathbf{P}^r_k\) comme au n^o 5, avec \(n \geqslant 2\). Il existe \(d_0\) tel que, pour tout pinceau de Lefschetz assez général d'hypersurfaces de degré \(d \geqslant d_0\), l'inclusion de la section générique \(Y_{\bar s} \hookrightarrow X_{\bar s}\) satisfasse b).¹³ L'hypothèse a), elle, relève de la conjecture d'algébricité de \(\Lambda\).

On suppose le théorème de Lefschetz difficile vrai sur \(X\) et \(\Lambda\) algébrique.¹⁴ Soit \(E^{2n-1} \subset H^{2n-1}(Y_{\bar s})\) l'orthogonal de \(H^{2n-1}(X)\) : la partie évanescente. La théorie des cycles évanescents donne qu'elle est un module simple sous \(\operatorname{Gal}(k(\bar s)/k(s))\) et sous chacun de ses sous-groupes ouverts ; le tapuscrit en voit la raison dans la parité : en dimension impaire \(2n-1\), les monodromies locales sont des transvections et non des symétries, et aucune de leurs puissances ne s'annule.¹⁵ Comme la plus grande partie de niveau 1 est stable par Galois, la condition b) équivaut alors à : \(E^{2n-1}\) n'est pas tout entier de niveau 1.

En caractéristique nulle, si \(E^{2n-1}\) était de niveau 1, ses composantes de Hodge seraient nulles hors des types \((n, n-1)\) et \((n-1, n)\)¹⁶ , donc \(H^{p,q}(X) \to H^{p,q}(Y)\) serait un isomorphisme pour les autres types, et en particulier, comme \(n \geqslant 2\), \(H^{2n-1}(X, \mathcal{O}_X) \to H^{2n-1}(Y, \mathcal{O}_Y)\) aussi. Or la dimension du second membre tend vers l'infini avec \(d\). Cela démontre la conjecture en caractéristique nulle, par la méthode de Lefschetz reprise par Griffiths.

En caractéristique \(p\), on ne sait, dit-il, que des cas particuliers ; Katz traite les intersections complètes et un pinceau assez général, ce qui suffit à l'exemple minimal. Pour voir que \(E^{2n-1}(Y_{\bar s})\) n'est pas de niveau 1, il suffit de trouver un point \(t\) du pinceau où \(E^{2n-1}(Y_{\bar t})\) ne l'est pas — par le critère de bonne réduction de Néron–Ogg–Chafarevitch ; « la triste vérité est que je ne sais pas montrer de façon générale, même en admettant les conjectures standard, que le niveau d'un motif ne peut que diminuer par spécialisation ». En se spécialisant sur un corps fini à \(q\) éléments, le niveau 1 force les valeurs propres de Frobenius sur \(E^{2n-1}(Y_{\bar t})\) à être divisibles par \(q^{n-1}\) (comme entiers algébriques) ; il suffit donc de trouver \(t\) où l'une d'elles est une unité \(p\)-adique. C'est ce que Katz obtient par la formule des points fixes de Woods Hole et Verdier.¹⁷

16–20

Le théorème 7.1 et ses corollaires (n^o 7, pages 16 à 20)

Le n^o 7 est écrit deux fois. La première rédaction tient en une ligne, au bas de la page 16 : « Le procédé de Katz. A lui de jouer … ». La seconde, page 17, commence par « Je vais prouver la conjecture du n^o 6 pour des pinceaux de Lefschetz assez généraux d'hypersurfaces de grand degré », et l'encre entoure « vais prouver » et écrit en tête du feuillet : « non, pas tout à fait ! ».¹⁸

Dans tout ce numéro, \(X \subset \mathbf{P}^r_k\) est projectif, équidimensionnel, de Cohen–Macaulay, de dimension \(m > 0\), sur un corps \(k\) de caractéristique \(p > 0\).

Le cadre. Soit \(S_d\) l'espace projectif des formes de degré \(d\), \(k'\) son corps des fonctions et \(Y \subset X_{k'}\) la section de \(X\) par l'hypersurface générique de degré \(d\).¹⁹ Soit \(E_0(Y)\) le conoyau de \(H^{m-1}(X_{k'}, \mathcal{O}) \to H^{m-1}(Y, \mathcal{O}_Y)\), espace de dimension finie sur \(k'\), muni du Frobenius \(p\)-linéaire \(F\) induit par l'élévation à la puissance \(p\). Sa partie semi-simple \(V\) est le plus grand sous-espace stable sur lequel \(F\) est bijectif ; l'ensemble \(V_0\) des \(x \in V \otimes \bar k'\) tels que \(Fx = x\) est un \(\mathbf{F}_p\)-espace de dimension \(\dim_{k'}V\), sur lequel agit \(G = \operatorname{Gal}(\bar k'/k')\), d'image \(G_0 \subset \operatorname{Aut}(V_0)\). En langage d'aujourd'hui, \(V_0\) est le \(\mathbf{F}_p\)-système local étale qui correspond à la partie de pente nulle de \((E_0, F)\), et \(\dim V\) un rang de Hasse–Witt stable.

Théorème 7.1. Il existe \(d_0\) tel que pour tout \(d \geqslant d_0\) et tout \(a \in \mathbf{F}_p\), il existe \(u \in G_0\) et un sous-espace \(V'_0 \subset V_0\) stable par \(u\) avec \(\operatorname{Tr}(u|V'_0) = a\).²⁰

En marge de cet énoncé, à l'encre et de biais : « pas prouvé sous cette forme juste ».²¹

Corollaire 7.2. Supposons \(k\) fini. Pour tout ouvert non vide \(U\) de \(S_d\) et tout entier \(a\), il existerait une extension finie \(k'\) de \(k\) et \(t \in U(k')\) tel que \[ \operatorname{card} Y_t(k') \equiv a \pmod p , \] où \(Y_t\) est la section de \(X_{k'}\) par l'hypersurface \(t\). En marge, à l'encre : « pas prouvé ; également 7.1 sous sa forme juste », et un « pas prouvé » au crayon au bout de la démonstration.²²

La démonstration esquissée est la suivante. Pour \(Y\) propre sur un corps fini, la somme alternée des traces du Frobenius sur les \(H^i(Y, \mathcal{O}_Y)\) est congrue modulo \(p\) au nombre de points rationnels — la congruence que le tapuscrit attribue à Deligne, par la formule de Lefschetz–Verdier.²³ Le choix de \(d_0\) assure \(H^i(X, \mathcal{O}_X(-d)) = 0\) pour \(i < m\) — c'est là que sert l'hypothèse de Cohen–Macaulay —, donc \(H^i(X, \mathcal{O}) \to H^i(Y_s, \mathcal{O})\) est un isomorphisme pour \(i \leqslant m-2\) et injectif pour \(i = m-1\). Sur un ouvert convenable \(U\), la formation des \(R^if_*\mathcal{O}\) commute au changement de base, et \(V\) s'étend en un sous-fibré \(\underline{V}\) stable sur lequel \(F\) est bijectif ; la représentation \(V_0\) provient alors du groupe fondamental \(\pi\) de \(U\). On obtient, \(f_t \in G_0\) désignant le Frobenius du point \(t\) et \(c_t\) la somme alternée des traces de Frobenius sur les \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\), \(0 \leqslant i \leqslant m-1\), \[ \operatorname{card} Y_t(k') \equiv c_t + (-1)^{m-1}\operatorname{Tr} f_t \pmod p . \] Quitte à agrandir \(k\), \(c_t = c\) ne dépend pas de \(t\), et le théorème de densité de Čebotarev donne un \(t\) de Frobenius \(f_t\) prescrit dans \(G_0\).²⁴ Mais il faut pour cela un \(f \in G_0\) de trace prescrite sur \(V_0\) tout entier : c'est la forme tapée de 7.1, que l'argument n'établit pas. Le corollaire 7.2 reste donc non démontré, comme l'auteur le note.

Corollaire 7.3. Supposons \(m\) pair, \(m \geqslant 4\), et \(X\) lisse. Il existerait un ouvert non vide \(U'\) de la grassmannienne des droites de \(S_d\) tel que, pour toute droite \(D \in U'(k')\) (\(k'\) une extension quelconque de \(k\)) définissant un pinceau de Lefschetz sur \(X_{k'}\), la partie évanescente \(E(Y_t)\) de la section au point générique \(t\) de \(D\) ne soit pas de niveau 1, ni ne contienne de sous-motif non nul de niveau 1, même après extension de \(k(t)\).²⁵

L'argument : par le critère de Néron–Ogg–Chafarevitch, on se ramène à \(k\) fini, et il suffit de trouver un point fermé \(s\) de \(D\) où les valeurs propres de Frobenius sur \(E^{m-1}(Y_s, \mathbf{Q}_\ell)\) ne sont pas toutes divisibles par \(p\). Par la formule des traces, le théorème de Lefschetz faible et la dualité de Poincaré, le nombre de points de \(Y_s\) est la somme d'un terme venu de la cohomologie de \(X\) et de \((-1)^{m-1}\operatorname{Tr}(\mathrm{Frob} \mid E^{m-1}(Y_s))\) ; les termes de degré \(i \leqslant m-2\) et leurs duaux de degré \(2m-2-i\), une fois \(k\) agrandi pour que les valeurs propres sur les \(H^i(X_{\bar k})\) soient congrues à \(0\) ou \(1\) modulo \(p\), contribuent modulo \(p\) une constante \(c\) indépendante de \(s\) (les duaux sont divisibles par \(q\)).²⁶ Si toutes les valeurs propres sur \(E^{m-1}\) étaient divisibles par \(p\), on aurait \(\operatorname{card} Y_s(k') \equiv c\) pour toute extension finie \(k'\) ; il suffit donc de trouver \(s \in D \cap U\) et \(k'\) avec \(\operatorname{card} Y_s(k') \not\equiv c\). C'est ce que donnerait 7.2, raffiné en imposant à \(s\) de rester sur une droite \(D\) donnée : par Bertini, \(\pi_1(D \cap U)\) se surjecte sur \(\pi_1(U)\), donc sur \(G_0\), et Čebotarev s'applique sur \(D \cap U\). Le tapuscrit s'arrête là, au milieu de la page 20.

21–26

Remords, démonstration de 7.1, et le n^o 8 (pages 21 à 26)

Remarques 7.4. a) « Remords à 7.3 » : inutile de supposer \(m\) pair et \(m \geqslant 4\) si l'on énonce que le niveau de \(E^{m-1}(Y_t)\) est \(m-1\), c'est-à-dire que \(E^{m-1}(Y_t)\) n'a aucun morceau de coniveau \(\geqslant 1\). Point n'est besoin alors du critère de Néron–Ogg–Chafarevitch : si un cycle sur \(Z \times Y_{\bar t}\) définissait un épimorphisme \(H^{m-3}(Z)(-1) \to E(Y_{\bar t})\), il se spécialiserait aux points \(s\) de \(D\) voisins de \(t\), et les valeurs propres de Frobenius sur \(E(Y_{\bar s})\) seraient divisibles par \(\operatorname{card} k(s)\), ce qu'un choix de \(D\) assez général interdit. Si \(m\) est impair, la représentation de monodromie ne reste plus simple sur les sous-groupes ouverts, mais le plus grand sous-motif de niveau \(< m-1\) est stable par Galois, et la même conclusion vaut sur \(k(t)\).²⁷ b) Le langage des motifs n'a servi que de commodité ; on peut l'éviter en définissant la filtration par le niveau sur la cohomologie \(\ell\)-adique comme en a). « Ceci dit, l'énoncé 7.3 … est démontré sans aucune conjecture (pas même Lefschetz vache pour \(X\) …) » — une fois 7.2 acquis, précise-t-on ici, puisque 7.3 en dépend.

Démonstration de 7.1. On prend \(d_0\) tel que \(H^i(X, \mathcal{O}_X(-d)) = 0\) pour \(d \geqslant d_0\) et \(i < m\), et pour \(U \subset S_d\) l'ouvert des \(s\) où \(\dim Y_s = m-1\), qui est aussi le plus grand ouvert où \(\underline{Y} \to S_d\) est plat. Par EGA III 7, les \(R^if_*\mathcal{O}_Y\) sont plats sur \(U\) et commutent au changement de base. « On fera attention » : on devra utiliser des points \(s\) où \(Y_s\) est réductible, et ce n'est qu'une fois 7.1 acquis qu'on pourrait descendre dans un petit ouvert de \(S_d\), comme en 7.2. On se ramène à \(k\) fini à \(q = p^f\) éléments, et, quitte à l'agrandir, à ce que les valeurs propres des Frobenius sur les \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\) soient \(0\) ou \(1\) ; soit \(c\) la somme alternée des rangs semi-simples des \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\), \(0 \leqslant i \leqslant m-1\). La congruence de Deligne et les isomorphismes précédents donnent, pour tout \(s \in U(k')\), \[ \operatorname{card} Y_s(k') \equiv c + (-1)^{m-1}\operatorname{Tr} f_s \pmod p , \] où \(f_s\) est le Frobenius relatif à \(k'\) sur la partie semi-simple de \(E_0(Y_s)\). ²⁸ Le théorème découle de deux lemmes.

Lemme 7.5. Pour tout \(s \in U\), il existe \(f \in G_0\) et un sous-espace \(V'_0 \subset V_0\) stable par \(f\) tels que le polynôme caractéristique de \(f\) sur \(V'_0\) soit celui de \(f_s\) ; en particulier \(\operatorname{Tr}(f|V'_0) = \operatorname{Tr} f_s\).²⁹

Lemme 7.6. Pour tout entier \(N \geqslant 0\), il existe \(d'_0\) tel que pour tout \(d \geqslant d'_0\) il existe une extension finie \(k'\) de \(k\) et \(s \in U_d(k')\) avec \(\operatorname{card} Y_s(k') = N\). Cela vaut dès que \(X\) est un sous-schéma fermé de \(\mathbf{P}^r_k\) de dimension \(m \geqslant 1\).

Démonstration de 7.6. On peut supposer \(X\) réduit. Soit \(e\) la somme des degrés des composantes irréductibles de dimension \(m\), et \(d_1\) tel que \(N \leqslant e\, d_1^{\,m}\).³⁰ Quitte à agrandir \(k\), les composantes \(X_i\) sont géométriquement irréductibles, chacune a un point rationnel \(x_i\), et \(m\) formes \(\phi_0, \ldots, \phi_{m-1}\) de degré \(d_1\) découpent sur \(X\) un schéma fini étale \(Z\) de degré \(e\,d_1^{\,m}\), à points tous rationnels, évitant les \(x_i\). Quitte à agrandir encore \(k\) et \(d_1\), une forme \(\phi_m\) de degré \(d_1\) découpe sur \(Z\) exactement \(N\) points.³¹ Pour \(d_2 \geqslant m+1\), il existe sur un corps fini une forme \(\underline{\phi}\) en \(m+1\) variables, de degré \(d_2\), sans zéro non trivial — une forme normique, restreinte au besoin à un sous-espace. Alors \(\phi = \underline{\phi}(\phi_0, \ldots, \phi_m)\), de degré \(d_1d_2\), a pour zéros rationnels sur \(X\) exactement les \(N\) points de \(Z \cap H_{\phi_m}\), et ne s'annule en aucun \(x_i\), donc définit un point de \(U\). Si \(N \leqslant e\), on prend \(d_1 = 1\), et \(d'_0 = m+1\) convient. Sinon, on multiplie \(\phi\) par une forme \(\psi\) de degré \(d_3 \geqslant m+1\) sans zéro rationnel sur \(X\) (le cas \(N = 0\)), ce qui ne change pas l'ensemble des zéros rationnels, et l'on atteint tous les degrés \(d = d_1d_2 + d_3\) ; avec \(d_2 = m+1\), on peut prendre \[ d'_0 = (d_1 + 1)(m+1). \] ³²

Comment 7.1 en résulte. Pour \(a \in \mathbf{F}_p\), on choisit \(N \in [0, p-1]\) congru à \(c + (-1)^{m-1}a\), on prend \(d \geqslant d_0\) et \(\geqslant\) les \(d'_0(N)\) ; 7.6 donne \(s\) avec \(\operatorname{Tr} f_s = a\), et 7.5 un \(f \in G_0\) et un \(V'_0\) stable par \(f\) avec \(\operatorname{Tr}(f|V'_0) = a\). C'est la forme corrigée de 7.1, et rien de plus : le passage par un sous-espace est inévitable, parce que les points \(s\) fournis par 7.6 sont des sections réductibles, dont la partie semi-simple peut être plus petite que la partie générique.

Remarques 7.7. a) On obtient ainsi une estimation de \(d_0\) en fonction de \(p\), de \(e\) et du plus petit entier qui assure l'annulation des \(H^i(X, \mathcal{O}(-d))\). Si l'on se contente d'au moins deux traces distinctes, on peut prendre \(d'_0 = m+1\) ; cela suffit, dans la forme corrigée, à établir que \(V \neq 0\), c'est-à-dire que le Frobenius n'est pas nilpotent sur \(E_0(Y)\).³³ b) On peut améliorer \(d'_0\) en découpant \(N = N' + N''\) et en prenant des formes produits de degrés premiers entre eux.³⁴ c) Les formes auxiliaires sans zéro sont des formes normiques, géométriquement produits de formes linéaires : c'est pourquoi on ne peut travailler que dans le gros ouvert \(U_d\).

Lemme 7.8 (la raison de 7.5). Soit \(S\) un schéma normal de caractéristique \(p\), \(\underline{V}\) un module localement libre de type fini muni d'un endomorphisme \(p\)-linéaire, \(t\) un point de \(S\) et \(s\) une spécialisation de \(t\). Soient \(V_1\) et \(V_0\) les \(\mathbf{F}_p\)-représentations de \(G_t\) et \(G_s\) définies par les parties semi-simples des fibres en \(t\) et en \(s\). Il existe un sous-groupe de décomposition \(D \subset G_t\) au-dessus de \(s\) et un sous-espace \(V'_0 \subset V_1\) stable par \(D\), tels que l'action de \(D\) sur \(V'_0\) se factorise par \(D \to G_s\) et soit isomorphe à \(V_0\).³⁵ La démonstration, dit-il, est « par l'âne qui trotte », en se ramenant à \(S\) intègre et hensélien, de point fermé \(s\) et de point générique \(t\). Elle tient en ceci, qui est nôtre : l'équation \(Fx = x\) définit un revêtement étale, de sorte que ses solutions dans la fibre spéciale se relèvent de façon unique au-dessus du hensélisé, et s'injectent dans la fibre générique. C'est la version en caractéristique \(p\) de ce que le rang de Hasse–Witt stable (le \(p\)-rang, pour une variété abélienne) ne peut que baisser par spécialisation.

Le tapuscrit s'achève, page 26, sur un titre à l'encre sans texte : « 8. Relations heuristiques entre cohomologie cristalline et la torsion cristalline, et la cohomologie cohérente. (J'ai donné notes à Berthelot) ».³⁶

27–33

Biextensions de complexes \([M \to G]\) (pages 27 à 33)

Notes à l'encre, écrites pour trois d'entre elles au dos de feuillets du tapuscrit de l'exposé VIII. Elles posent la situation que Deligne publiera en 1974 sous le nom de 1-motifs : une variété abélienne munie d'un réseau et d'un tore, et sa duale.³⁷

La situation (pages 27 et 28). Soient \(B\), \(B'\) deux schémas abéliens duaux, \(\varepsilon\) la biextension de Poincaré de \(B \times B'\) par \(\mathbb{G}_m\), \(M\), \(M'\) deux groupes « réseaux » (localement libres de type fini), et \(i\colon M \to B\), \(i'\colon M' \to B'\). Comme \(\underline{\operatorname{Hom}}(B, \mathbb{G}_m) = 0\) et \(\underline{\operatorname{Ext}}^1(M', \mathbb{G}_m) = 0\), on a \[ \operatorname{Hom}(M', \underline{\operatorname{Ext}}^1(B, \mathbb{G}_m)) \simeq \operatorname{Biext}(B, M'; \mathbb{G}_m) \simeq \operatorname{Ext}^1(B, D(M')) , \] où \(D(M') = \underline{\operatorname{Hom}}(M', \mathbb{G}_m)\) est le tore dual de \(M'\) ; comme \(\underline{\operatorname{Ext}}^1(B, \mathbb{G}_m) = B'\), se donner \(i'\) revient à se donner une extension \[ 0 \to D(M') \to G \to B \to 0 , \] et symétriquement \(i\) donne \(0 \to D(M) \to G' \to B' \to 0\). On pose \(T = D(M')\), \(T' = D(M)\). Les relèvements \(M \to G\) de \(i\) correspondent alors aux trivialisations de la biextension \(\varepsilon_{i,i'}\) tirée en arrière sur \(M \times M'\), et de même les relèvements \(M' \to G'\) de \(i'\) ; et les deux trivialisations de \(\varepsilon_{M,M'}\) qu'on déduit d'un côté et de l'autre coïncident.³⁸

Le complexe et sa biextension (page 30). Posons \(A = [M \to G]\) et \(A' = [M' \to G']\), complexes en degrés \(-1\) et \(0\). Lorsque \(M \to G\) et \(M' \to G'\) sont injectifs, on a une biextension canonique de \((G/M, G'/M')\) ; en général, on dispose d'une classe canonique \[ \xi \in \operatorname{Ext}^1(A \overset{L}{\otimes} A', \mathbb{G}_m), \] qui est la classe d'une biextension de \((A, A')\) par \(\mathbb{G}_m\) (SGA 7 VII). Le groupe de \(n\)-torsion du complexe, \({}_nA = \underline{\operatorname{Ext}}^0 (\mathbf{Z}/n, A)\), s'insère dans \[ 0 \to {}_nG \to {}_nA \to M_n \to 0 \] dès que \({}_nM = 0\) et que \(G\) est \(n\)-divisible³⁹ , et à la limite sur \(n = \ell^\nu\) \[ 0 \to T_\ell(G) \to T_\ell(A) \to M \otimes \mathbf{Z}_\ell \to 0 , \] et de même pour \(A'\).⁴⁰ C'est la filtration par le poids du module de Tate d'un 1-motif : \(T_\ell(T) \subset T_\ell(G) \subset T_\ell(A)\).

L'accouplement et l'orthogonalité (page 32). La classe \(\xi\) induit \[ \varphi^\xi_n\colon {}_nA \times {}_nA' \to \mu_n , \qquad T_\ell(A) \times T_\ell(A') \to \mathbf{Z}_\ell(1) . \]

Proposition. Dans cet accouplement, \({}_nT = D(M'_n)\) est orthogonal à \({}_nG'\), et \({}_nG\) est orthogonal à \({}_nT' = D(M_n)\). Les accouplements induits — entre \({}_nA/{}_nG = M_n\) et \({}_nT'\), entre \({}_nA'/{}_nG' = M'_n\) et \({}_nT\), et entre \({}_nG/{}_nT = {}_nB\) et \({}_nG'/{}_nT' = {}_nB'\) — sont « ceux qu'on devine » : les dualités de Cartier évidentes et l'accouplement de Weil.⁴¹

Corollaire. Si \({}_nM = {}_nM' = 0\) et que l'accouplement de Weil entre \({}_nB\) et \({}_nB'\) est parfait, l'accouplement entre \({}_nA\) et \({}_nA'\) est parfait — le gradué l'est.⁴²

Les feuillets tapés (pages 29, 31, 33). Au dos des pages 28, 30 et 32, et reproduits tête-bêche, trois feuillets d'un état dactylographié de l'exposé VIII de SGA 7, § 2, « Accouplements définis par une biextension » (de 2.1 à la fin de 2.3) : un texte publié, que la transcription ne reproduit pas. On y voit ses corrections à l'encre — des renvois rectifiés, des flèches nommées dans les diagrammes, et, à la place de « qu'on laisse au lecteur le soin d'établir », « cf. 2.3 ci-dessous pour une démonstration ».

34–45

Picard et dualité (pages 34 à 45)

Une couverture porte ce titre (page 34). Les feuillets qui suivent tournent autour d'une seule formule — les torseurs sur \(X\) sous un groupe commutatif \(G\) se lisent comme des homomorphismes du dual de \(G\) vers le foncteur de Picard de \(X\) — et de ses variantes.⁴³ La topologie est la topologie plate (fppf) partout où interviennent \(\mu_p\) et \(\alpha_p\).

35–35

La cohomologie plate d'une courbe (page 35)

Une table, pour \(X\) une courbe propre, lisse et connexe sur \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(p\), de jacobienne \(P\).⁴⁴ \[ \begin{array}{c|ccc} & H^0 & H^1 & H^2 \\ \hline \mu_\ell & \mu_\ell(k) & {}_\ell P & \mathbf{Z}/\ell \\ \mu_p & 0 & {}_pP(k) & \mathbf{Z}/p \\ \alpha_p & 0 & \operatorname{Ker}\bigl(F \mid H^1(X, \mathcal{O}_X)\bigr) & \operatorname{Coker}\bigl(F \mid H^1(X, \mathcal{O}_X)\bigr) \end{array} \] avec, pour les coefficients constants, \(H^i(X, \mathbf{Z}/\ell) = H^i(X, \mu_\ell) \otimes \operatorname{Hom}(\mu_\ell(k), \mathbf{Z}/\ell)\), et \(H^0(X, \mathbf{Z}/p) = \mathbf{Z}/p\), \(H^1(X, \mathbf{Z}/p) = H^1(X, \mathcal{O}_X)^{F=1}\), \(H^2(X, \mathbf{Z}/p) = 0\). Les lignes \(\mu\) sont la théorie de Kummer ; les lignes \(p\) sont la dualité de Serre–Cartier, que la marge nomme ; l'accouplement \({}_\ell P \times {}_\ell P \to \mu_\ell\) est l'autodualité de la jacobienne.⁴⁵

36–36

Une adjonction, et un programme (page 36)

Pour \(f\colon X \to S\) et \(B\) un faisceau sur \(S\), \[ \operatorname{Ext}_X(f^*B, \mathbb{G}_m) \simeq \operatorname{Ext}_S(B, Rf_*\mathbb{G}_m) , \] d'où une suite spectrale d'aboutissement \(\operatorname{Ext}_X\) et de terme \(H^p(X, \underline{\operatorname{Ext}}^q_X(f^*B, \mathbb{G}_m))\).⁴⁶ Suit, en accolade, une liste de sujets, presque tous d'une lecture incertaine : suites exactes de cohomologie et critères de représentabilité ; Frobenius et Verschiebung ; dualité de Cartier ; un théorème de finitude ; propriétés formelles, puis différentielles, des groupes et des fibrés ; et le cas particulier des fibrés linéaires, symplectiques, orthogonaux. C'est un plan, et le dossier n'en développe que le début.

38–40

Torseurs sous une variété abélienne (pages 38 à 40)

Soit \(X\) propre et lisse sur \(k\) algébriquement clos, avec \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\), et \(A\) une variété abélienne sur \(k\), de duale \(A'\).⁴⁷ On sait que \(H^1(X, A)\) est de torsion, et la suite de Kummer \(0 \to {}_nA \to A \to A \to 0\) donne \[ 0 \to A(X)_n \to H^1(X, {}_nA) \to {}_nH^1(X, A) \to 0 . \] On a \(A(X)_n = \operatorname{Hom}(\operatorname{Alb}_X, A)_n\), et \(H^1(X, G) \simeq \operatorname{Hom}(D(G), \underline{\operatorname{Pic}}_X)\) pour un groupe commutatif fini \(G\), de dual de Cartier \(D(G)\) ; comme \(\operatorname{Hom}(\operatorname{Alb}_X, A) \simeq \operatorname{Hom}(A', \underline{\operatorname{Pic}}^0_{X,\mathrm{red}})\) (la duale de l'albanaise) et \(D({}_nA) \simeq {}_nA'\), \[ (*) \qquad 0 \to \operatorname{Hom}(A', \underline{\operatorname{Pic}}^0_X)_n \to \operatorname{Hom}({}_nA', \underline{\operatorname{Pic}}_X) \to {}_nH^1(X, A) \to 0 . \] D'autre part, la suite \(0 \to {}_nA' \to A' \to A' \to 0\), à laquelle on applique \(\operatorname{Hom}(-, \underline{\operatorname{Pic}}_X)\), donne \[ (**) \qquad 0 \to \operatorname{Hom}(A', \underline{\operatorname{Pic}}_X)_n \to \operatorname{Hom}({}_nA', \underline{\operatorname{Pic}}_X) \to {}_n\operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Pic}}_X) \to 0 . \] Les premiers termes coïncident (\(A'\) est connexe), et à la limite inductive sur \(n\) \[ 0 \to \operatorname{Hom}(A', \underline{\operatorname{Pic}}_X) \otimes \mathbf{Q}/\mathbf{Z} \to \operatorname{Hom}(T_{\cdot}(A'), \underline{\operatorname{Pic}}_X) \to H^1(X, A) \to 0 , \] où \(\operatorname{Hom}(T_\cdot(A'), -) = \varinjlim_n \operatorname{Hom}({}_nA', -)\), et de même avec \(\operatorname{Ext}^1\). D'où \[ \boxed{H^1(X, A) \simeq \operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Pic}}_X)_{\mathrm{tors}}} \] à comparer à la formule de dualité \(H^1(X, G) \simeq \operatorname{Hom}(D(G), \underline{\operatorname{Pic}}_X)\) pour \(G\) fini.⁴⁸ En marge : « Cet isomorphisme reste-t-il valable pour \(X\) singulier ??? Il est possible qu'on ait besoin de \(H^i(X, \mathbb{G}_m) = 0\) pour \(i \geqslant 2\) ». Une remarque introduit les flèches canoniques \[ \operatorname{Ext}^1(\underline{\operatorname{Alb}}_X, A) \to H^1(X, A), \qquad \operatorname{Ext}^1(\underline{\operatorname{Alb}}_X, A) \simeq \operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Alb}}_X{}') \simeq \operatorname{Ext}^1(A', \underline{\operatorname{Pic}}^{\tau}_X) , \] dont il affirme qu'on vérifie que ce sont des isomorphismes sur une partie que la page ne laisse pas lire.⁴⁹

Page 40, la même question en relatif, pour \(X \to S\) et un \(S\)-groupe \(\gamma\), écrite avec le faisceau \(\underline{\mathcal{H}}^1(X/S; -) = R^1f_*\) : \[ R^1f_*\underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, G) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, R^1f_*G), \qquad R^1f_*\underline{\operatorname{Ext}}^1_{S\text{-gr}}(\gamma, G) \simeq \underline{\operatorname{Ext}}^1_{S\text{-gr}}(\gamma, R^1f_*G) , \] la première donnée comme isomorphisme de foncteurs « quand tout est affine sur \(S\) (?) », la seconde suivie de « Sous quelles conditions ??? ». Le feuillet ne tranche pas, et l'on ne tranche pas pour lui.

41–43

Un morphisme birationnel, et l'adjonction pour \(\mathbb{G}_m\) (pages 41 à 43)

La page 41, barrée de deux diagonales, considère un morphisme propre et birationnel \(f\colon X \to Y\) de schémas intègres, et l'ouvert \(U \subset Y\) où \(f^{-1}\) est défini ; si \(Y\) est régulier en codimension 1, le complémentaire de \(U\) est de codimension \(\geqslant 2\). Une classe \(\xi \in \operatorname{Pic}(X)\) donne par la section \(g\colon U \to f^{-1}(U)\) une classe de \(\operatorname{Pic}(U)\), donc un cycle divisoriel sur \(Y\) — et la page s'arrête là.

La page 42 écrit l'adjonction pour \(f\colon X \to Y\) : \[ \boxed{\underline{\operatorname{Ext}}^i_X(f^*G, H) \simeq \underline{\operatorname{Ext}}^i_Y(G, Rf_*H)} , \] puis la spécialise à \(H = \mathbb{G}_m\), où \(Rf_*\mathbb{G}_m\) est le complexe qu'il note \(\underline{\operatorname{Pic}}^\bullet_{X/Y}\), de faisceaux de cohomologie \(f_*\mathbb{G}_m\), \(\underline{\operatorname{Pic}}_{X/Y} = R^1f_*\mathbb{G}_m\), \(R^2f_*\mathbb{G}_m\), … — « les supérieurs ». ⁵⁰ Pour \(G\) fini et plat, de dual \(D(G)\), avec \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\) et \(Y\) le spectre d'un corps algébriquement clos, il en sort une suite spectrale \[ E_2^{p,q} = \operatorname{Ext}^p(G, R^qf_*\mathbb{G}_m) \Rightarrow H^{p+q}(X, D(G)) , \] dont il écrit les bas degrés : \(H^0(X, D(G)) = D(G)\), \(H^1(X, D(G)) = \operatorname{Hom}(G, \underline{\operatorname{Pic}}_X)\) — c'est l'encadré \(H^1(X, G) \simeq \operatorname{Hom}(D(G), \underline{\operatorname{Pic}}_X)\), aux rôles de \(G\) et \(D(G)\) près —, et, pour \(i = 2\), \[ H^2(X, D(G)) \neq \operatorname{Ext}^1(G, \underline{\operatorname{Pic}}_X) \oplus \operatorname{Hom}(G, R^2f_*\mathbb{G}_m) \quad ! \] Le signe \(\neq\) et le point d'exclamation sont les siens : \(H^2\) n'est pas une somme, mais porte une filtration dont le gradué est \(\operatorname{Ext}^1(G, \underline{\operatorname{Pic}}_X)\) et le noyau de la différentielle \(\operatorname{Hom}(G, R^2f_*\mathbb{G}_m) \to \operatorname{Ext}^2(G, \underline{\operatorname{Pic}}_X)\).⁵¹

La page 43 commence une définition et l'abandonne : « Foncteurs adjoints. Définition 1. Soient \(X, Y \in (\mathrm{Cat})\), \(f\colon X \to Y\) et \(g\colon Y \to X\), on dit que \((f, g)\) est un couple de foncteurs adjoints, ou que \(g\) est adjoint de \(f\), ou que \(f\) est coadjoint de \(g\), s'il existe un … ».⁵² Suivent la curryfication \[ \operatorname{Hom}(X, \underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(\gamma, G)) \simeq \{X \times \gamma \to G, \text{ additifs en } \gamma\} \simeq \operatorname{Hom}_{S\text{-gr}}(\gamma, \underline{\operatorname{Hom}}_S(X, G)) , \] et, pour un \(S\)-groupe commutatif \(\gamma\) et \(X\) muni d'une section \(a\), la suite exacte scindée par l'évaluation en \(a\) \[ 0 \to \gamma \to \underline{\operatorname{Hom}}_S(X, \gamma) \to \operatorname{Hom}((X, a), (\gamma, e)) \to 0 , \] avec \(\underline{\operatorname{Hom}}_S(X, \gamma) = \gamma\) lorsque \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) et \(\gamma\) est affine.⁵³

44–45

Le groupe fondamental d'une variété abélienne (pages 44 et 45)

Soit \(A\) une variété abélienne sur \(k\) algébriquement clos de caractéristique \(p\), \(A^*\) sa duale. Le fait qui porte tout est qu'un revêtement étale d'une variété abélienne est une variété abélienne (Serre–Lang) : le groupe fondamental est abélien, limite des noyaux des isogénies.

La partie première à \(p\) (page 45). \(\pi_1^{(p')}(A) \simeq \varprojlim_{(n,p)=1} {}_nA\), et pour \(\ell \neq p\) \[ \pi_1^{\ell}(A) \simeq T_\ell(A) = \operatorname{Hom}(\mathbf{Q}_\ell/ \mathbf{Z}_\ell, A). \] Par Kummer, \(\operatorname{Hom}(\pi_1^\ell(A), \mu_{\ell^\infty})\) est le sous-groupe de \(\operatorname{Pic}(A) = H^1(A, \mathcal{O}_A^*)\) formé des éléments d'ordre une puissance de \(\ell\). Si le groupe de Néron–Severi de \(A\) est sans torsion, ce sous-groupe est \(A^*[\ell^\infty]\), et l'on obtient l'accouplement de Weil \[ \boxed{T_\ell(A) \times T_\ell(A^*) \longrightarrow T_\ell(\mu) = \mathbf{Z}_\ell(1)} , \] parfait, et ses niveaux finis \({}_{\ell^k}A \times {}_{\ell^k}A^* \to \mu_{\ell^k}\).⁵⁴

La partie \(p\) (page 44). Par la théorie d'Artin–Schreier–Witt, on a \[ H^1(A, \mathbf{Z}/p^n) \simeq H^1(A, W_n\mathcal{O}_A)^{F=1} , \] donc \[ \operatorname{Hom}(\pi_1^p(A), \mathbf{Z}_p) = H^1(A, \mathbf{Z}_p) \simeq H^1(A, W\mathcal{O}_A)^{F=1} , \] et, comme \(\pi_1^p(A) \simeq T_p(A)\), un accouplement parfait de \(\mathbf{Z}_p\)-modules libres de type fini \[ \boxed{T_p(A) \times H^1(A, W\mathcal{O}_A)^{F=1} \longrightarrow \mathbf{Z}_p} , \] de rang le \(p\)-rang de \(A\) ; après extension des scalaires, \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(T_p(A), W(k)) \simeq H^1(A, W\mathcal{O}_A)_s\), la partie de pente nulle.⁵⁵

46–58

Biextensions de faisceaux de groupes (pages 46 à 58)

Une couverture au crayon porte ce titre (page 46). Toutes les biextensions sont de faisceaux abéliens sur un topos, par un faisceau abélien \(G\).

47–50

Reconstruire une biextension à partir d'une restriction (pages 47 à 50)

Soit \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\) exacte, et \(Q\), avec a) \(Q\) \(n\)-divisible et b) \({}_nP \to P''\) épimorphique.⁵⁶ Une biextension \(E\) de \(P \times Q\) par \(G\) définit a) sa restriction \(E'\) à \(P' \times Q\), d'où un accouplement \(E'(n)\colon {}_nP' \times {}_nQ \to G\) ; b) sa restriction à \({}_nP \times Q\), c'est-à-dire un accouplement \(\varphi\colon {}_nP \times {}_nQ \to G\) ; et \(\varphi\) prolonge \(E'(n)\). Ces accouplements sont à valeurs dans \({}_nG\), par bilinéarité.

« Je dis que le foncteur \(E \mapsto (E', \varphi)\) est une équivalence de catégories. » La pleine fidélité revient à \(\underline{\operatorname{Hom}}(P'' \otimes Q, G) = 0\), ce que a) et b) assurent puisqu'ils donnent \(P'' \otimes Q = 0\) ; le reste de l'argument est barré de diagonales et n'est pas repris.⁵⁷

Corollaire 1. Soit \(\mathbb{P}\) un ensemble de nombres premiers ; on suppose \(\varinjlim_n {}_nP \to P''\) surjectif, \(n\) parcourant les entiers à facteurs dans \(\mathbb{P}\), et \(pQ = Q\) pour \(p \in \mathbb{P}\). Alors \(E \mapsto (E', \varphi)\) est une équivalence entre les biextensions de \((P, Q)\) par \(G\) et les couples formés d'une biextension \(E'\) de \((P', Q)\) et d'un accouplement \[ \varphi\colon T_{\mathbb{P}}(P) \times T_{\mathbb{P}}(Q) \to T_{\mathbb{P}}(G) \] prolongeant celui, \(\varphi_{\mathbb{P}, E'}\), que définit \(E'\). Un « NB » encadré, lu en partie, précise qu'il faut entendre les \(T_{\mathbb{P}}\) comme des systèmes projectifs et garder le système des \({}_nP \times {}_nQ \to {}_nG\) avec leurs compatibilités, plutôt que leur limite.

Corollaire 2. Soient \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\) et \(0 \to Q' \to Q \to Q'' \to 0\) exactes ; on suppose a) \(pP = P\) et \(pQ' = Q'\) pour \(p \in \mathbb{P}\) (ou la condition symétrique), b) \(\varinjlim {}_nP \to P''\) et \(\varinjlim {}_nQ \to Q''\) épimorphiques. Alors \(E \mapsto (E', \varphi)\), où \(E'\) est la restriction à \(P' \times Q'\) et \(\varphi\colon T_{\mathbb{P}}(P) \times T_{\mathbb{P}}(Q) \to T_{\mathbb{P}}(G)\) prolonge \(\varphi_{E', \mathbb{P}}\), est une équivalence de catégories. On applique le corollaire 1 deux fois : à \(0 \to P' \to P \to P'' \to 0\) et \(Q'\), puis à \(P\) et \(0 \to Q' \to Q \to Q'' \to 0\).

Les deux corollaires reposent sur l'équivalence de la page 47, dont la démonstration est barrée ; le dossier ne les établit pas.

Les pages 48 et 50 sont deux feuillets, numérotés 15 et 13, d'un tapuscrit français qui n'est pas de lui et n'appartient pas à SGA 7 — préfaisceaux et faisceaux de modules sur un site, comparaison entre cohomologie de Čech et cohomologie des faisceaux —, avec des corrections à l'encre d'une main non établie.

51–53

Biextensions sans hypothèse de rigidité (pages 51 et 53)

Soient \(A\), \(G\) des faisceaux abéliens au-dessus de \(S\), \(f\colon A \to S\) le morphisme structural, \(e_A\) la section unité, \(G_A = f^*G\).

a) Si \(\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, G) = 0\), la suite spectrale locale-globale donne \[ \operatorname{Ext}^1(A, G) \simeq H^0(S, \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G)) : \] les faisceaux d'extensions déterminent les extensions.

b) Si \(\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{pct}}(A, G) = 0\) — les morphismes de faisceaux d'ensembles qui respectent la section unité, de sorte que \(G \xrightarrow{\sim} f_*G_A\) —, la suite de Leray, scindée par \(e_A\), donne \[ H^1(A, G_A) \simeq H^1(S, G) \times H^0(S, R^1f_*G_A) , \] et \(H^0(S, R^1f_*G_A)\) classifie les \(G_A\)-torseurs rigidifiés le long de \(e_A\). Le foncteur qui envoie une extension de \(A\) par \(G\) sur le torseur rigidifié sous-jacent est pleinement fidèle, d'où une injection \(\operatorname{Ext}^1(A, G) \hookrightarrow H^1(A, G_A)\), d'image essentielle les torseurs \(L\) tels que \[ \Lambda(L) = m^*L \otimes \mathrm{pr}_1^*L^{-1} \otimes \mathrm{pr}_2^*L^{-1} \] soit trivial, \(m\) désignant l'addition. On a donc une suite exacte de faisceaux, et une flèche vers le Néron–Severi :

\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G) \arrow[r, "i"] & R^1f_*G_A \arrow[r, "j"] \arrow[d, "k"'] & \underline{\operatorname{Tors}}_{\mathrm{birig,sym}}(A, A; G) \\
 & & \underline{\mathrm{NS}}(A) \arrow[ur, "j'"'] &
\end{tikzcd}

où \(j(L) = \Lambda(L)\) et où \(j'\) dit que les bitorseurs symétriques birigidifiés de cette forme sont des biextensions.⁵⁸ Pour \(G = \mathbb{G}_m\) et \(A\) un schéma abélien, c'est la situation classique : \(\underline{\operatorname{Ext}}^1(A, \mathbb{G}_m) = A'\), \(R^1f_*\mathbb{G}_m = \underline{\operatorname{Pic}}_{A/S}\), et \(j'\) envoie une classe de Néron–Severi \(L\) sur le fibré de Mumford \(\Lambda(L)\), c'est-à-dire sur l'homomorphisme symétrique \(\varphi_L\colon A \to A'\).

c) Soit \(B\) un autre faisceau abélien. Si \(\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{gr}}(A, G) = 0\), la catégorie \(\underline{\operatorname{BIEXT}}(A, B; G)\) est discrète, et \[ \operatorname{Biext}(A, B; G) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(B, \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G)) . \] Si l'on suppose seulement \(\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathrm{pct}}(A, G) = 0\), on a des injections \[ \operatorname{Biext}(A, B; G) \hookrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(B, R^1f_*G_A) \hookrightarrow H^0(B, R^1f_{B*}G_{A \times_S B}) , \] le dernier terme classifiant les \(G_{A \times_S B}\)-torseurs rigidifiés le long de \(e_{A \times_S B}\). Les torseurs qui sont des biextensions sont ceux qui sont rigidifiables, et pour lesquels l'application \(B \to R^1f_*G_A\) qu'ils définissent est additive et se factorise par \(\underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G)\) ; la marge rappelle que rigidifiabilité et factorisation ensemble disent que l'application symétrique \(A \to R^1q_*G_B\) est additive. On obtient des foncteurs pleinement fidèles de catégories discrètes \[ \underline{\operatorname{BIEXT}}(A, B; G) \to \underline{\operatorname{TORS\,BIRIG}}_{e_A, e_B}(A, B; G) \to \underline{\operatorname{TORS\,RIG}}_{e_{A \times_S B}}(G_{A \times_S B}) , \] qui sont, dit la page, des équivalences « dans deux cas importants » qu'elle ne nomme pas.⁵⁹

55–57

La diagonale, et le groupe de Néron–Severi (pages 55 et 57)

On définit une flèche en sens inverse de \(j\) en tirant en arrière par la diagonale \(\Delta\colon A \to A \times_S A\) : \[ \Delta^*\colon \underline{\operatorname{Tors}}_{\mathrm{birig,sym}}(A, A; G) \to R^1f_*G_A . \] Comme \(m \circ \Delta = 2\,\mathrm{id}_A\) et \(\mathrm{pr}_i \circ \Delta = \mathrm{id}_A\), \[ \Delta^* j(L) \simeq (2\,\mathrm{id}_A)^*(L) \otimes L^{-2} , \] et modulo \(A' = \underline{\operatorname{Ext}}^1(A, G)\), c'est-à-dire dans le Néron–Severi, cela vaut \(4L - 2L = 2L\). Cela résulte du

Lemme. Pour tout entier \(n\), \((n\,\mathrm{id}_A)^*L \equiv n^2L\) dans \(\underline{\mathrm{NS}}(A)\). Plus généralement, \(u \mapsto u^*\), de \(\operatorname{Hom}(A, B)\) dans \(\operatorname{Hom}(\underline{\mathrm{NS}}(B), \underline{\mathrm{NS}}(A))\), est quadratique : \[ \varphi(u+v) + \varphi(u-v) = 2\bigl(\varphi(u) + \varphi(v)\bigr) . \] ⁶⁰ En effet \(u \mapsto (u \times u)^*\) est quadratique sur les biextensions, par biadditivité, et la flèche des biextensions vers \(\underline{\mathrm{NS}}\) est linéaire.

Page 57 : le composé \(k \circ \Delta^* j\colon \underline{\mathrm{NS}}_{A/S} \to \underline{\mathrm{NS}}_{A/S}\) est la multiplication par \(2\). Par conséquent l'image réciproque par \(2\,\mathrm{id}\) de l'extension canonique \[ 0 \to A' \to \underline{P}_{A/S} \to \underline{\mathrm{NS}}_{A/S} \to 0 \] est canoniquement scindée par \(\Delta^* j\) ; autrement dit la classe de l'extension est tuée par \(2\), et l'extension est canoniquement scindée après inversion de \(2\).⁶¹ Il commence ensuite à dire que la restriction de \(j \circ \Delta^*\) aux bitorseurs symétriques est la multiplication par \(2\) — ce qui est vrai, une biextension symétrique \(E\) vérifiant \(\Lambda(\Delta^*E) \simeq E \otimes \sigma^*E \simeq E^2\) —, et la page s'arrête.

Les pages 52, 54, 56 et 58 sont des feuillets d'une rédaction anglaise de la théorie géométrique des invariants de Mumford. Le seul qui porte quelque chose de lui, la page 56, a en marge des remarques au crayon, en anglais, présumées de sa main, sur les hypothèses d'une proposition : « Seems to hold for any equivalence relation … Is flat enough ?? », « Doesn't seem enough, \(G\) smooth/\(k\) ! », « ambiguous ».

59–70

Le théorème des cycles invariants pour le \(H^1\) (pages 59 à 70)

Une couverture, de sa main : « "Th. du cycle invariant" : Cas du \(H^1\) » (page 59). Un tapuscrit corrigé à l'encre et au crayon (pages 60 à 63) énonce le théorème et trois corollaires ; des notes manuscrites (pages 64 à 70) le démontrent dans le cas d'un entier premier à \(p\), d'abord sous l'hypothèse d'un zéro-cycle de degré 1, puis sans elle.

Le problème est celui du cycle invariant : pour une famille sur un disque, les classes de la fibre générale fixes par la monodromie viennent-elles de l'espace total ? Le théorème des cycles invariants le dit en caractéristique nulle, et ce dossier en donne, pour le \(H^1\) et au-dessus d'un trait, la forme arithmétique exacte, avec le défaut qu'il mesure.⁶²

60–63

L'énoncé (pages 60 à 63)

Soit \(S\) un trait strictement local (le spectre d'un anneau de valuation discrète strictement hensélien \(V\)), de point fermé \(s\) de corps \(k\) de caractéristique \(p\), de point générique \(\eta\) de corps \(K\), et \(I = \operatorname{Gal}(K^s/K)\), qui est ici le groupe d'inertie. Soit \(f\colon X \to S\) projectif, \(X\) régulier, avec \(\mathcal{O}_S \xrightarrow{\sim} f_*\mathcal{O}_X\), de sorte que \(X\) est plat sur \(S\) et que la fibre spéciale \(X_0\) est un diviseur. On note \((D_i)_{i \in J}\) ses composantes irréductibles réduites et \[ X_0 = \sum_{i \in J} d_iD_i, \qquad d = \operatorname{pgcd}(d_i) . \] Soit \(\Delta \simeq \mathbf{Z}^J\) le groupe des diviseurs de support dans \(X_0\), et \[ \Gamma = \Delta / \mathbf{Z}X_0 \hookrightarrow \operatorname{Pic}(X) \] son image dans \(\operatorname{Pic}(X)\)⁶³ , et \[ w\colon \Gamma \to \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(X_0) \to \mathrm{NS}(X_0) = \operatorname{Im}\bigl(\operatorname{Pic}(X_0) \to \underline{\mathrm{NS}}_{X_0/k}(k)\bigr) . \] Soit enfin \(d^t\) l'indice de \(X_\eta\), le pgcd des degrés de ses zéro-cycles.

Théorème.

• a)\(d^t = \operatorname{pgcd}(\mu_id_i)\), où \(\mu_i\) est la multiplicité radicielle de \(D_i\) sur \(k\). En particulier \(d\) divise \(d^t\) et \(d^t = p^hd\) pour un \(h \geqslant 0\) ; si \(k\) est parfait, \(h = 0\) et \(d^t = d\).⁶⁴
• b)\(w\) est un homomorphisme de groupes abéliens de type fini dont le noyau est contenu dans le sous-groupe de torsion de \(\Gamma\). Ce dernier est canoniquement \(\mathbf{Z}/d\), engendré par l'image de \(\frac1d X_0 = \sum \frac{d_i}{d}D_i\). Donc \(R = \operatorname{Ker} w\) est cyclique d'ordre \(d'\) divisant \(d\), et a fortiori \(d^t\).
• c)Supposons \(n\) premier à \(p\), ou \(d^t\) premier à \(p\), ou \(k\) parfait (donc algébriquement clos). On a une suite exacte canonique, fonctorielle en \(X\), \[ (6) \qquad 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{u_n} H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to \operatorname{Ker} w_n \to 0 , \] où \(w_n = w \otimes \mathbf{Z}/n\colon \Gamma_n \to \mathrm{NS}(X_0)_n\) et \({}_n\Gamma \simeq \mathbf{Z}/(n, d)\) ; elles forment un système projectif quand \(n\) varie.
• d)Pour tout nombre premier \(\ell\), on a une suite exacte canonique, fonctorielle en \(X\), \[ (7) \qquad 0 \to H^1(X, \mathbf{Z}_\ell(1)) \xrightarrow{u(\ell)} H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell(1))^I \to R \otimes \mathbf{Z}_\ell \to 0, \] avec \(R \otimes \mathbf{Z}_\ell = 0\) si \(\ell \nmid d'\) — a fortiori si \(\ell \nmid d^t\) — et \(\mathbf{Z}/\ell\) si \(\ell \mid d'\).

⁶⁵

Corollaire 9. \(u(\ell)\) est injectif, de conoyau fini, nul pour presque tout \(\ell\) ; de même avec \(\mathbf{Z}_\ell\) au lieu de \(\mathbf{Z}_\ell(1)\) si \(\ell \neq p\) — les racines de l'unité d'ordre premier à \(p\) étant dans \(K\), l'inertie agit trivialement sur \(\mathbf{Z}_\ell(1)\).

Corollaire 10. Pour \(n\) quelconque, on a \[ 0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{u_n} H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to Q(n) \to 0, \qquad 0 \to \operatorname{Ker} w_n \to Q(n) \to \Theta(n) \to 0 , \] avec \[ \Theta(n) \hookrightarrow {}_n\operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{Br}(K) \to \mathrm{Br}(X_\eta)\bigr) \hookrightarrow {}_{(n, d^t)}\mathrm{Br}(K) , \] ⁶⁶ de sorte que \(\Theta(n) = 0\) si \(n\) ou \(d^t\) est premier à \(p\) (le groupe de Brauer de \(K\) est de \(p\)-torsion), ou si \(k\) est parfait (\(\mathrm{Br}(K) = 0\)). En tous cas, si \(p^r\) est la plus grande puissance de \(p\) divisant \(d^t\), \(p^r\Theta(n) = 0\) pour tout \(n\). Comme les flèches de transition sur les \(\Theta(\ell^\nu)\) sont des multiplications par \(\ell\), \(\varprojlim_\nu \Theta(\ell^\nu) = 0\), et (7) se déduit de (11) par passage à la limite.⁶⁷

Corollaire 15. Écrivons \(d^t = p^ra\) avec \((a, p) = 1\). Il existe un diagramme, unique à isomorphisme près,

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[l, "h"'] \arrow[d, "f'"] \\
S & S' \arrow[l, "g"']
\end{tikzcd}

où \(S' \to S\) est le revêtement kummérien connexe (modérément ramifié) de groupe \(\mu_a\), \(h\) un revêtement étale, le carré cartésien au-dessus de \(\eta\)⁶⁸ ; \(f'\) satisfait aux mêmes hypothèses que \(f\), et la partie première à \(p\) de \(d(X'/S')\) est \(1\).⁶⁹ Si \(I' \subset I\) est le groupe d'inertie de \(S'\), pour tout \(n\) premier à \(p\), \[ u'_n\colon H^1(X', \mu_n) \to H^1(X'_{\bar\eta}, \mu_n)^{I'} \] est injectif, de conoyau \({}_n\delta/{}_n\delta'\), où \(\delta\) est le sous-groupe de torsion de \(\operatorname{Coker} w\) et \(\delta'\) celui de \(\mathrm{NS}(X_0)\), pris pour \(X'\).⁷⁰ Par suite, pour tout \(\ell \neq p\), \[ u'(\ell)\colon H^1(X', \mathbf{Z}_\ell) \xrightarrow{\sim} H^1(X'_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)^{I'} \] est un isomorphisme. Le tapuscrit s'arrête sur cet énoncé, au milieu de la page 63 ; aucune démonstration ne suit dans le dossier.

64–68

La démonstration, pour \(n\) premier à \(p\) et un zéro-cycle de degré 1 (pages 64 à 68)

La page 64 reprend l'énoncé à la main, avec \(X\) propre et l'hypothèse que \(X_\eta\) a un zéro-cycle de degré 1. Soit \(\delta\) le sous-groupe de torsion du conoyau de \(\Delta \to \underline{\mathrm{NS}}_{X_0/k}(k)\), \(\delta'\) celui de \(\mathrm{NS}(X_0)\), \(\delta'' = \delta/\delta'\). Pour \(n\) premier à \(p\) on a \[ 0 \to H^1(X, \mu_n) \xrightarrow{u_n} H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to {}_n\delta/{}_n\delta' \to 0 , \] et, à la limite, pour \(\ell \neq p\), \[ H^1(X, \mathbf{Z}_\ell) \xrightarrow{\sim} H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)^I \] — « Théorème des cycles invariants ».⁷¹

Démonstration. \(X\) est intègre et plat sur \(S\), donc \(H^1(X, \mu_n) \hookrightarrow H^1(X_\eta, \mu_n)\). Par Kummer, et parce que \(V^*/V^{*n} = 0\) et \(K^*/K^{*n} = \mathbf{Z}/n\) (\(V\) strictement local, \(n\) premier à \(p\)), \[ H^1(X, \mu_n) \simeq {}_n\operatorname{Pic}(X), \quad H^1(X_\eta, \mu_n)/(\mathbf{Z}/n) \simeq {}_n\operatorname{Pic}(X_\eta), \quad H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n) \simeq {}_n\operatorname{Pic}(X_{\bar\eta}) . \] Le zéro-cycle de degré 1 donne \(\operatorname{Pic}(X_\eta) \simeq \underline{\operatorname{Pic}}_{X_\eta/K}(K) = P(K) = P(K^s)^I\). Ainsi \(u_n\) s'identifie à \({}_n\operatorname{Pic}(X) \to {}_n\operatorname{Pic}(X_\eta)\). Comme \(X\) est régulier — il suffirait que ses anneaux locaux soient factoriels —, on a \[ 0 \to \Gamma \xrightarrow{i} \operatorname{Pic}(X) \xrightarrow{v} \operatorname{Pic}(X_\eta) \to 0 , \] d'où, par le lemme du serpent, \(\operatorname{Ker} u_n = {}_n\Gamma\) et \(\operatorname{Coker} u_n \simeq \operatorname{Ker}(i_n\colon \Gamma_n \to \operatorname{Pic}(X)_n)\).

Lemme (marge de la page 66). \(\operatorname{Pic}(X)_n \hookrightarrow \operatorname{Pic}(X_0)_n\), du moins si \(S\) est complet, ce qui suffit : les obstructions à relever d'un voisinage infinitésimal au suivant sont dans des \(k\)-vectoriels, où \(n\) est inversible.⁷² Donc \(\operatorname{Ker} i_n = \operatorname{Ker} j_n\), \(j\colon \Gamma \to \operatorname{Pic}(X_0)\). Puis \(\operatorname{Pic}(X_0) = \underline{\operatorname{Pic}}_{X_0/k}(k)\), le groupe \(\operatorname{Pic}^0(X_0)\) est \(n\)-divisible, et \(\operatorname{Pic}(X_0)_n = \mathrm{NS}(X_0)_n\). On obtient \(\operatorname{Coker} u_n \simeq \operatorname{Ker} w_n\).

Il dit alors que \(\Gamma\) est sans torsion et \(w\) injectif (le lemme marqué (D), page 68, « ici \(X\) régulier, semble-t-il »). Que \(\Gamma\) soit sans torsion : l'adhérence schématique dans \(X\) d'un point fermé de \(X_\eta\) est finie et plate sur \(S\), de degré égal à sa multiplicité d'intersection avec \(X_0 = \sum d_iD_i\), donc multiple de \(d\) ; ainsi \(d \mid d^t\), et \(d^t = 1\) force \(d = 1\).⁷³ Avec \(0 \to \Gamma \to \mathrm{NS}(X_0) \to \operatorname{Coker} w \to 0\), le serpent donne \(\operatorname{Ker} w_n \simeq \operatorname{Coker}({}_n\mathrm{NS}(X_0) \to {}_n\operatorname{Coker} w) = {}_n\delta/{}_n\delta'\), l'application \(\delta' \to \delta\) étant injective parce que \(\Gamma\) est sans torsion. À la limite sur les \(\ell^\nu\), ces groupes finis s'annulent et l'on obtient l'isomorphisme.

Que \(w\) soit injectif modulo torsion — l'assertion b) —, la page 68 le renvoie à Raynaud : « Or c'est fait par Raynaud dans sa note : spécialisation des foncteurs de Picard, th. 3 ». Une tentative barrée voulait se ramener à la dimension relative 1, où c'est la négativité de la matrice d'intersection des \(D_i\).⁷⁴

70–70

Variante : sans zéro-cycle de degré 1 (page 70)

« Laissons tomber l'hypothèse » \(d^t = 1\).⁷⁵ Comme \(\mathrm{Br}(K)\) est de \(p\)-torsion, \(0 \to \operatorname{Pic}(X_\eta) \to P(K) \to \Theta \to 0\) avec \(\Theta \subset \mathrm{Br}(K)\) de \(p\)-torsion, donc \({}_n\operatorname{Pic}(X_\eta) \simeq {}_nP(K)\) pour \(n\) premier à \(p\) ; mais \(\Gamma\) peut avoir de la torsion, et l'on trouve la suite (6) de c), puis à la limite la suite (7) de d), avec \(R = \operatorname{Ker}(\Gamma \to \mathrm{NS}(X_0))\), et \(R \otimes \mathbf{Z}_\ell = \mathbf{Z}/\ell\) si \(\ell \mid d\), \(0\) sinon.⁷⁶ On voit ainsi — « au moins modulo résolution des singularités », dit une incise — que \(R\) est de torsion, donc un sous-groupe du \(\mathbf{Z}/d\) de torsion de \(\Gamma\), avec « une tendance » à lui être égal. En marge : « demander à Raynaud si Ker est tout \(\mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\) ».⁷⁷ La page esquisse enfin la réduction au cas sans torsion par un scindage \(\Gamma \simeq \Gamma' \oplus T\), \(T = \operatorname{Tors}\Gamma\), et s'arrête sur la suite \(0 \to \delta' \to \delta \to \delta'' \to 0\), \(\delta'\) désignant la torsion première à \(p\) de \(\mathrm{NS}(X_0)\).

72–80

Le théorème d'orthogonalité, démonstration arithmétique (pages 72 à 80)

Une couverture : « Th. d'orthogonalité pour les modèles de Néron, démonstration arithmétique », et plus bas, du même crayon, « \(\ell\) (partiel !) ».⁷⁸ C'est le théorème de l'exposé IX : pour une variété abélienne à mauvaise réduction, la partie torique du module de Tate est orthogonale, pour l'accouplement de Weil, à la partie fixe du module de la duale. La démonstration est « arithmétique » parce qu'elle passe par les poids de Frobenius sur un corps fini.

73–76

L'énoncé général et sa démonstration (pages 73 à 76)

Cadre. Soit \(A\) un anneau noethérien, \(J\)-adique, régulier et complet, \(X = \operatorname{Spec}A\), \(Y = V(J)\), \(U = X - Y\). Tout schéma fini étale sur \(Y\) se prolonge de façon unique en un schéma fini étale \(\tilde Z\) sur \(X\) ; de même pour les faisceaux \(\ell\)-adiques lisses. Soient \(G\), \(G'\) des schémas en groupes commutatifs plats sur \(X\), dont les restrictions à \(U\) sont des schémas abéliens \(A_U\), \(A'_U\), munis d'une classe de correspondances divisorielles \(\xi\) sur \(A_U \times A'_U\), et \(\ell\) inversible sur \(Y\), donc sur \(X\). Soient \(H \subset G_Y\) un sous-groupe plat sur \(Y\) dont les \({}_{\ell^\nu}H\) sont finis sur \(Y\), et \(T' \subset G'_Y\) un tore.⁷⁹ Les modules de Tate \(T_\ell(\tilde H) \subset T_\ell(G)\) et \(T_\ell(\tilde T') \subset T_\ell(G')\) sont définis, et leurs restrictions à \(U\) sont des sous-modules de \(T_\ell(A_U)\) et \(T_\ell(A'_U)\). La classe \(\xi\) définit l'accouplement de Weil \[ \varphi_\xi\colon T_\ell(A_U) \times T_\ell(A'_U) \to T_\ell(\mathbb{G}_{m,U}) . \]

Théorème. \(\varphi_\xi\bigl(T_\ell(\tilde H)|_U,\ T_\ell(\tilde T')|_U\bigr) = 0\), en chaque point de \(U\).

Démonstration. Elle se fait en deux temps.

Réduction à un trait à corps résiduel fini. Si \(A/J\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}\), tout point \(x\) de \(U\) a dans son adhérence un point \(y\) de \(Y\) de corps résiduel fini ; on remplace \(X\) par le complété en \(y\), puis, \(X - Y\) étant de Jacobson, par l'adhérence normalisée d'un point \(z\) avec \(\dim\overline{\{z\}} = 1\) : \(X\) devient le spectre d'un anneau de valuation discrète complet \(V\) à corps résiduel fini \(k\), et \(Y\) son point fermé. Les modules \(T_\ell(\tilde H)\), \(T_\ell(\tilde T')\) sont non ramifiés, et l'accouplement, compatible à Galois, provient d'un accouplement \(\operatorname{Gal}(\bar k/k)\)-équivariant \[ T_\ell(H) \times T_\ell(T') \to T_\ell(\mathbb{G}_{m,k}). \]⁸⁰

Lemme. Soit \(k\) un corps fini, \(\ell\) différent de sa caractéristique, \(H\), \(T\) deux groupes algébriques commutatifs sur \(k\), \(T\) de type multiplicatif. Tout accouplement compatible à l'action de Galois \[ T_\ell(H) \times T_\ell(T) \to T_\ell(\mathbb{G}_m) \] est nul.⁸¹ En effet, on peut supposer \(H\) et \(T\) connexes et réduits, \(T\) un tore déployé \(\mathbb{G}_m^s\) après extension finie, et \(H\) extension d'une variété abélienne par un tore \(\mathbb{G}_m^r\) (la partie unipotente n'a pas de module de Tate en \(\ell\)). Le Frobenius agit par \(q\) sur \(T_\ell(\mathbb{G}_m^r)\), sur \(T_\ell(T)\) et sur \(T_\ell(\mathbb{G}_m)\) ; un accouplement équivariant entre les deux premiers vit sur un espace où Frobenius agit par \(q^2\) et doit aboutir là où il agit par \(q\) : il est nul. Sur la partie abélienne, les valeurs propres sont, par Weil, de valeur absolue \(q^{1/2}\), donc \(q^{3/2}\) sur le produit tensoriel, et l'accouplement est encore nul. C'est un argument de poids au sens d'aujourd'hui : \(-1\) et \(-2\) ne s'accouplent pas en \(-2\).

Cas général. On écrit \(V = \varinjlim A_i\), \(A_i \subset V\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\), et \(X = \varprojlim X_i\), \(Y = \varprojlim Y_i\), \(U = \varprojlim U_i\). Pour \(i\) grand, \(G\), \(G'\), \(\xi\), \(T'\) et \(H\) proviennent de données sur \(X_i\) ; on peut supposer \(H\) connexe (on le remplace par \(H^0\)), \(\ell\) inversible sur les \(X_i\) (on remplace \(A_i\) par \(A_i[1/\ell]\)), et l'on complète \(A_0\) en l'idéal de \(Y_0\). On est ramené au théorème pour un anneau \(\mathfrak{p}\)-adique régulier complet avec \(A_0/\mathfrak{p}\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\), qui est le premier cas. « CQFD ».⁸²

78–80

Les modèles de Néron (pages 78 à 80)

Corollaire 1. Soit \(V\) un anneau de valuation discrète hensélien, de corps résiduel \(k\) et de corps des fractions \(K\), \(A\) une variété abélienne sur \(K\), \(G\) son modèle de Néron, \(T\) le tore maximal de \(G_k\), \(\ell \neq \operatorname{car} k\). On pose \(M(A) = T_\ell(A(\bar K))\) ; on a \[ M(A)^I_t \subset M(A)^I \subset M(A) , \] où \(M(A)^I = T_\ell(G_k)\) est la partie fixe sous l'inertie et \(M(A)^I_t = T_\ell(T)\) la partie torique.⁸³ Si \(A'\) est une variété abélienne sur \(K\) et \(\xi\) une correspondance divisorielle sur \(A \times A'\), d'où un accouplement compatible à \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K)\) \[ \varphi_\xi\colon M(A) \times M(A') \to T_\ell(\bar K^*) , \] alors \[ \varphi_\xi\bigl(M(A)^I,\ M(A')^I_t\bigr) = 0 \quad\text{et}\quad \varphi_\xi\bigl(M(A)^I_t,\ M(A')^I\bigr) = 0 . \] ⁸⁴

Corollaire 2. Si \(\xi\) est une polarisation de \(A\), d'où une forme bilinéaire alternée non dégénérée \(\varphi_\xi\) sur \(M(A)\), alors \(\varphi_\xi(M^I, M^I_t) = 0\).

Remarque. Si \(k\) est séparablement clos, les accouplements de niveau fini \[ {}_{\ell^\nu}A'(K) \times {}_{\ell^\nu}T(k) \to \mu_{\ell^\nu} \] ne sont pas nuls en général, même pour \(\nu = 1\) : pour \(x \in {}_{\ell^\nu}T(k)\) non nul, il existe \(x' \in {}_{\ell^\nu}A'(\bar K)\) avec \(\varphi(x, x') \neq 0\), et, quitte à agrandir \(K\), \(x'\) devient rationnel. L'orthogonalité est un énoncé \(\ell\)-adique, qui ne descend pas aux niveaux finis.

La page 80, barrée, reprend l'énoncé avec \(V\) strictement hensélien, \(A'\) la duale et \(G'\) son modèle de Néron, et la chaîne \[ T_\ell(A(\bar K))^I = T_\ell(A(K)) = T_\ell(G(V)) = T_\ell(G(k)) = T_\ell(G^0(k)) \supset T_\ell(T(k)) , \] qui identifie la partie fixe au module de Tate de la fibre spéciale du modèle de Néron ; puis elle recommence l'argument par passage à la limite, et s'arrête.

81–84

Autodualité de la jacobienne, suivant Artin–Mazur (pages 81 à 84)

Une couverture porte, biffé, « Extensions et biextensions de groupes algébriques … », avec un mot encadré, « Obstruct… », et, en dessous, le titre retenu.⁸⁵ Les deux pages qui suivent calculent le groupe des composantes du modèle de Néron d'une jacobienne et la dualité qu'il porte.

82–82

Le cas de la dimension relative 1 (page 82)

Soit \(X\) une courbe propre et plate sur un trait \(S\), à fibre générique lisse et géométriquement connexe, cohomologiquement plate en dimension 0, c'est-à-dire \(H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) = k(s)\).⁸⁶ Soit \(P = \underline{\operatorname{Pic}}_{X/S}\), \(C_1, \ldots, C_r\) les composantes de la fibre spéciale, de multiplicités \(d_i\), et \(\delta_i\) l'entier tel que les degrés des faisceaux inversibles sur \(C_i\) soient les multiples de \(\delta_i\). Soient \(E \subset P\) le sous-groupe engendré par les classes des \(\mathcal{O}_X(C_i)\), \(Q = P/E\), et \[ P' = \operatorname{Ker}(P \xrightarrow{\deg} \mathbf{Z}_S), \qquad Q' = \operatorname{Ker}(Q \xrightarrow{\deg} \mathbf{Z}_S) . \] ⁸⁷ On a un diagramme commutatif de suites exactes de faisceaux fppf :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & 0 \arrow[d] & \\
0 \arrow[r] & \Phi \arrow[r] \arrow[d] & P^0 \arrow[r] \arrow[d] & Q^0 \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & E \arrow[r] \arrow[d] & P' \arrow[r] \arrow[d] & Q' \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
0 \arrow[r] & E/\Phi \arrow[r] \arrow[d] & E^* \arrow[r] \arrow[d] & \Psi \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
 & 0 & 0 & 0 &
\end{tikzcd}

\(E\), \(E^*\), \(\Phi\), \(\Psi\) sont représentables par des schémas en groupes étales, de fibre générique triviale. Si \(k(s)\) est séparablement clos, leurs fibres spéciales se calculent ainsi. Soient

\begin{tikzcd}[column sep=large]
0 \arrow[r] & \mathbf{Z} \arrow[r, "\lambda"] & \mathbf{Z}^r \arrow[r, "\alpha"] & E_{(s)} \arrow[r] \arrow[d, dashed, "u"] & 0 \\
 & \mathbf{Z} & \mathbf{Z}^r \arrow[l, "\mu"'] & E^*_{(s)} \arrow[l, "\beta"'] & 0 \arrow[l]
\end{tikzcd}

avec \(\lambda(1) = (d_i)_i\), \(\mu(n) = \sum_i d_i\delta_in_i\), \(\alpha(n) = \mathrm{cl}\,\mathcal{O}_X(\sum n_iC_i)\) et \(\beta(L) = (\deg L|_{C_i}/\delta_i)_i\) ; l'homomorphisme \(u\) est donné par la matrice d'intersection : \[ (\beta u\alpha)(n) = \Bigl(\sum_i n_i\,(C_i \cdot C_j)/\delta_j\Bigr)_{1 \leqslant j \leqslant r} . \] Alors \[ \Phi_{(s)} = \operatorname{Ker} u \simeq \mathbf{Z}/d, \qquad \Psi_{(s)} = \operatorname{Coker} u, \qquad d = \operatorname{pgcd}(d_i) . \] ⁸⁸

Si les anneaux locaux de \(X\), après passage au hensélisé strict de la base, sont factoriels, \(\Psi_s\) est fini, comme \(\Phi_s\) ; si de plus \(k(s)\) est parfait ou \((d^t, p) = 1\), \(Q'\) est un modèle de Néron de \[ Q'_\eta = P'_\eta = P^0_\eta = \underline{\operatorname{Pic}}^0_{X_\eta/K} . \] ⁸⁹ En particulier, si \(d^t = 1\), donc \(d = 1\) et \(\Phi = 0\), \(Q'\) est un modèle de Néron de \(P^0_\eta\), pourvu que \(P'\) soit représentable.⁹⁰ Le groupe \(\Psi_s\) est donc le groupe des composantes de la fibre spéciale du modèle de Néron.

83–84

La dualité sur le groupe des composantes (page 83)

Accouplons \(\mathbf{Z}^r\) à lui-même par \(\langle n, n'\rangle = \sum_i \delta_in_in'_i\). Alors \(\lambda\) et \(\mu\) sont transposées, et \(E^*(s) = \operatorname{Ker}\mu\) s'accouple à \(E(s) = \operatorname{Coker}\lambda\) par \(\langle\alpha(x), y^*\rangle = \langle x, \beta y^*\rangle\), à valeurs dans \(\mathbf{Z}\). De plus \(u\) est autoadjoint : \[ \langle x, u(y)\rangle = \langle y, u(x)\rangle \qquad (x, y \in E(s)), \] car pour \(x = \alpha(n)\), \(y = \alpha(n')\), \(\langle n, \beta u\alpha(n')\rangle = \sum_{i,j} n_jn'_i\,(C_i \cdot C_j)\), symétrique par symétrie de la forme d'intersection.

Si les \(\delta_i\) valent tous \(1\) (par exemple \(k(s)\) algébriquement clos), cet accouplement identifie \(E^*(s)\) à \(\operatorname{Hom}(E(s), \mathbf{Z})\). Si de plus \(d = 1\), c'est-à-dire \(d^t = 1\), \(E(s)\) est libre, \(u\) est injectif et autoadjoint, et son conoyau \(\Psi(s)\) hérite d'une autodualité canonique, parfaite et symétrique, à valeurs dans \(\mathbf{Q}/\mathbf{Z}\) : celle du groupe discriminant d'une forme entière non dégénérée.⁹¹ « Cette autodualité exprime l'obstruction à étendre la biextension qu'on a en \(Q'_\eta \times Q'_\eta = P^0_\eta \times P^0_\eta\) par \(\mathbb{G}_m\), en une biextension des modèles de Néron \(Q'\), \(Q'\) par \(\mathbb{G}_m\). »

C'est, sous sa forme générale, l'accouplement que l'exposé IX définit sur les groupes de composantes des modèles de Néron d'une variété abélienne et de sa duale, comme obstruction à prolonger la biextension de Poincaré — ce qu'on appelle aujourd'hui l'accouplement de Grothendieck. Ces deux pages en donnent, pour une jacobienne, la description par la matrice d'intersection.⁹² La page 84 est une feuille blanche à en-tête de l'IHES.