Cote n° 35 · pages 1–5 · Lecture modernisée · Plan [SGA 7] : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–1

La première table : les exposés I à IX

Le premier feuillet est un tapuscrit — la table avait donc déjà été mise au propre — repris ensuite à l'encre. Les corrections sont de deux sortes : des noms ajoutés en marge, un par ligne, et des retouches dans le corps.

L'architecture qui s'y lit est celle-ci.

• I à III — le théorème de monodromie, deux fois. L'exposé I établit les généralités sur le groupe de monodromie locale et démontre le théorème par voie arithmétique ; l'exposé III le redémontre par voie géométrique. L'exposé II traite le cas d'actions résolubles du groupe fondamental et se présente comme une variante du même théorème.¹
• IV — les cycles évanescents. Propriétés générales des groupes de cycles évanescents, et le cas des points singuliers isolés de la fibre spéciale. C'est l'objet technique central de tout le séminaire : ce qui reste d'un cycle quand on le fait dégénérer vers la fibre singulière.
• V — l'action sur le groupe fondamental. La monodromie n'agit pas seulement sur l'homologie mais sur le \(\pi_{1}\) lui-même, et l'on veut là des théorèmes d'action modérée et essentiellement modérée.
• VI à VIII — les biextensions. Après un exposé sur la présentation finie des groupes fondamentaux géométriques et un autre sur les modules formels, viennent les biextensions de faisceaux de groupes, puis les extensions et biextensions de schémas en groupes, avec un théorème d'orthogonalité.²
• IX — l'application. Les modèles de Néron, et le théorème de réduction semi-stable.

Un dixième exposé — « la réduction semi-stable des courbes algébriques, et la connexité des variétés de modules pour les courbes de genre \(g\) » — est entièrement barré, et le nom porté en face de lui est celui de Deligne.

Ce que les marges disent

La colonne des noms ajoutée à gauche est le document dans le document. La plupart des lignes portent Gr. — l'auteur lui-même —, ce qui indique que le séminaire était, dans cet état du plan, largement le sien.

Trois lignes échappent à cette règle et méritent d'être relevées. En face de l'exposé V, cerclé et suivi d'un point d'interrogation : Mme Raynaud ? — une attribution encore hypothétique. En face de l'exposé renuméroté, un nom écrit par-dessus un autre qui est barré, tous deux Raynaud.³ Et en face de l'exposé VI sur les modules formels, un Rim barré — l'exposé change de main — suivi, dans le titre lui-même, de trois mots entre parenthèses :

ist bei Deligne

en allemand, au milieu d'une page française.⁴

2–2

La seconde table : les exposés X à XXII

Le second feuillet est entièrement de sa main et continue la numérotation. Sa présentation change : chaque ligne s'ouvre désormais sur une lettre, D ou K, qui tient la place que les noms occupaient au feuillet précédent.⁵

• X à XII — intersections, intersections complètes, quadriques.
• XIII et XIV — points quadratiques ordinaires et théorème de Lefschetz faible ; puis la formule de Milnor.⁶
• XV et XVI — Picard–Lefschetz, deux exposés portant le même titre et réunis par une accolade. C'est le c\oe ur quantitatif du séminaire : la formule qui décrit exactement l'effet d'un tour de monodromie sur un cycle évanescent.
• XVII — les pinceaux de Lefschetz, en deux moitiés soulignées séparément : leur existence, et leur étude cohomologique.
• XIX — un théorème de nombres, avec Hodge–Deligne d'un côté et Katz de l'autre.⁷
• XX — le théorème de Griffiths, dont le numéro est barré.
• XXI et XXII — le niveau de la cohomologie des intersections complètes, et un calcul modulo \(p\).

Sous un trait, deux lignes ferment le feuillet. La première annonce des exposés transcendants, avec un nom suivi d'un point d'interrogation : Lê Dũng Tráng. La seconde n'est qu'une suite de trois symboles soulignés : \(\mathbb{F}_{q}\), \(\#\), card — un pense-bête de notation, à fixer avant que le séminaire ne commence.

3–4

Bibliographie et rédaction

Le troisième feuillet porte la fin d'une bibliographie : les numéros 17 à 23, et rien d'autre. Deux grands traits de plume la barrent en diagonale.

Les sept entrées — Griffiths, Grothendieck, Landman, Lieberman, Schmid, Wu — dessinent le versant transcendant du sujet : variations de structures de Hodge, monodromie des familles de variétés complexes, thèse de Landman sur la quasi-unipotence. Une seule correction s'y lit, et elle vaut d'être notée : au numéro 19, en face de « S.G.A. on monodromy », le nom de Grothendieck est barré et celui de Deligne écrit au-dessus.⁸

Le quatrième feuillet est un feuillet de tapuscrit, paginé (11bis) dans sa numérotation propre et barré des mêmes traits. Il traite des bitorseurs et de leurs rigidifications, et c'est donc la rédaction de l'exposé VII annoncé au premier feuillet.

L'essentiel s'y ramène à une chaîne de trois foncteurs. Étant donné deux Groupes \(P\) et \(Q\) et la section unité \(e_{p}\), on a

\begin{tikzcd}[column sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
\underline{\mathrm{Ext}}(P; G) \arrow[r, "i"] & \underline{\mathrm{Bitorsrig}}(P, G) \arrow[r, "\delta"] & \underline{\mathrm{Bitorsbirig}}(P, P; G)
\end{tikzcd}

où l'on part de la catégorie des extensions de \(P\) par \(G\), on passe aux bitorseurs rigidifiés, puis aux bitorseurs birigidifiés sur \(P \times P\).⁹

Ce qui rend cette chaîne intéressante est ce qu'elle fait de la rigidification. Une extension porte gratuitement une section : son élément neutre. Un bitorseur n'en porte aucune, et il faut la lui donner. Les deux foncteurs mesurent donc exactement ce qu'on perd en oubliant la structure de groupe, et ce qu'il faut rajouter pour la retrouver.

5–5

Les deux graphes

Le dernier feuillet ne porte aucun mot mathématique : seulement des numéros romains reliés par des flèches. Il y a trois graphes, et le premier est barré de quatre grands traits croisés.¹⁰

Ce qui subsiste sous la rature est la reprise, et elle est franche : le matériel est coupé en deux, avec une légende sous chaque moitié.

Théorèmes qualitatifs

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& & & \mathrm{I} \arrow[dlll] \arrow[ddlll] \arrow[ddll] \arrow[dddll]\\
\mathrm{II} & & \mathrm{VI} \arrow[d] \arrow[ddl] & \\
\mathrm{III} \arrow[dd] & \mathrm{IV} & \mathrm{VII} \arrow[d] \arrow[dl, dashed] & \\
& \mathrm{V} & \mathrm{VIII} \arrow[dll] & \\
\mathrm{IX} \arrow[ur] & & &
\end{tikzcd}

La forme du graphe dit son contenu. L'exposé I est une racine : quatre flèches en partent et aucune n'y arrive. L'exposé IX est un puits : plusieurs y arrivent. Entre les deux, deux chaînes parallèles — II, III, IV d'un côté ; VI, VII, VIII de l'autre — convergent vers lui. Autrement dit, le théorème de monodromie fournit la base, deux développements indépendants s'en séparent, et la réduction semi-stable est ce qui les rassemble.¹¹ Sous le graphe, une accolade rappelle les trois exposés VI, VII, VIII.

Théorèmes quantitatifs

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathrm{XI} \arrow[d] & & \\
\mathrm{XII} \arrow[d] & & \\
\mathrm{XIII} \arrow[d] \arrow[r] & \mathrm{XIV} \arrow[r, dashed] & \mathrm{XVII} \arrow[d]\\
\mathrm{XV} \arrow[d] & & \mathrm{XVIII} \arrow[ddll]\\
\mathrm{XVI} \arrow[d] & & \\
\mathrm{XIX} & &
\end{tikzcd}

Le second graphe a une tout autre allure : c'est une chaîne, presque linéaire, avec une seule dérivation. On descend de XI à XVI par les intersections complètes, les quadriques et Picard–Lefschetz ; et de XIII part une branche vers XIV, puis vers XVII et XVIII, qui rejoint la chaîne principale plus bas.¹²

À part, en bas à droite, quatre numéros forment une chaîne indépendante : XIX, XX \(\leftarrow\) XXI \(\leftarrow\) XXII, les deux premiers cerclés.

La différence de forme entre les deux graphes est le vrai contenu de ce feuillet. Le qualitatif est un arbre : plusieurs voies vers un même résultat. Le quantitatif est une chaîne : un calcul, qu'il faut faire dans l'ordre.