Cote n° 34, pages 201–209

Cote n° 34 · batch 11 · pages 201–209 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

201Dactylographie en anglais d'une autre main, non signée ni datée ; feuillet paginé « -2.12- » d'un texte sur les actions de groupes réductifs (fin d'une démonstration, Proposition 2.4 sur la propreté d'une action, théorème d'Iwahori). Non transcrite (droits de tiers).

202la phrase commence sur un feuillet antérieur au lot : le sujet de « induit » manque ici. induit un hom. injectif $\operatorname{Im}\varphi^{i} \to E_{2}^{0,i}$, i.e. $\operatorname{Im}\varphi^{i} \cap \operatorname{Filt}^{1}(H^{i}(Y,\mathbb{Q}_{\ell})) = 0$, de sorte que $\operatorname{Coker}\varphi^{i}$ la filtration quotient sur $\operatorname{Coker}\varphi^{i}$ a comme […] $\operatorname{Coker}(H^{i}(X) \to E_{2}^{0,i}) =$ défaut d'exactitude de \[ H^{i}(X) \longrightarrow \prod H^{i}(Y_{\alpha}) \longrightarrow \prod H^{i}(Y_{\alpha\beta}) , \] et les $E_{2}^{p,q}$ $(p \geq 1,\ p+q = i) =$ $\prod H^{q}(Y_{\alpha_{0}\dots\alpha_{p}})$ $H^{p}(\sigma \mapsto H^{q}(Y_{\sigma}))$. Cette filtration est également indépendante de la résolution choisie des singularités, et correspond à la filtration de $H_{!}^{i+1}(X)$l'exposant se lit $i+1$ ; il est peut-être $i-1$ ou $i$. par poids décroissants (fonction des poids $i$).

de plus, si conj. ⌜fantaisies⌝ standard, les dimensions des divers quotients de la filtration poids sur $H_{!}^{i}(X,\mathbb{Q}_{\ell})$ sont indépendantes de $\ell$ ! note écrite en oblique dans la marge gauche, à hauteur des lignes précédentes ; le mot inséré au-dessus de « conj. » est d'une lecture douteuse.

(b) Par dualité, on peut considérer aussi \[ \cdots \longrightarrow H^{i}_{Y}(X') \longrightarrow H^{i}(X') \longrightarrow H^{i}(X) \longrightarrow , \] le dernier terme se lit $H^{i}(X)$ ; l'$X$ y porte une marque (prime ou indice) indistincte. on a d'autre part \[ H^{a}_{Y}(X) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}(Y, \underline{H}^{q}_{Y}(\mathbb{Q}_{\ell\,X'})) , \] Or d'autre part $\underline{H}^{q}_{Y}(\mathbb{Q}_{\ell}) = 0$ si $q < 2$, et \[ \underline{H}^{q}_{Y}(\mathbb{Q}_{\ell}) = \bigwedge^{q-1}\Bigl(\coprod_{\alpha} \mathbb{Q}_{\ell\,Y_{\alpha}}(-1)\Bigr) = \coprod_{\alpha_{1}<\dots<\alpha_{q-1}} \mathbb{Q}_{\ell\,Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q-1}}}(-1) \] avant le dernier $\coprod$, un symbole biffé ; le twist final est écrit $(-1)$, alors que la ligne suivante porte $(-(q-1))$. donc \[ E_{2}^{pq} = \begin{cases} 0 & \text{si } q < 2 \\ \displaystyle\coprod_{\alpha_{1}<\dots<\alpha_{q-1}} H^{p}(Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q-1}})(-(q-1)) & \text{si } q \geq 2 \end{cases} \] donc $E_{2}^{pq}$ est de poids $p + 2q - 2$, donc on a pour aura $d_{r} = 0$ si \[ d_{r} = 0 \quad \text{si } r \geq 3 . \]

203Dactylographie de la même main et du même texte, feuillet « -2.3- » (Théorème 2.1, critère numérique de semi-stabilité par les sous-groupes à un paramètre). Quelques marques au crayon dans la marge (renvois de numérotation), d'attribution incertaine, ne sont pas transcrites.

204Il faut donc prouver que $E_{3}^{p,q} =$

Il faut écrire que $E_{2}^{p*}$ est (⌜modulo twist⌝) le […] complexe dual ⌜de (a)⌝ de $E_{2}^{p*}$ […] $\sigma \mapsto H^{p}(Y_{\sigma})$, compris dans le sens de la dualité de Poincaré, de sorte que […] ${}^{b}E_{3}^{**}$ est dual de ${}^{(a)}E_{2}^{**}$, à twist près. « (a) » et « (b) » renvoient aux deux présentations des pages précédentes ; la seconde est le (b) de la p. 202. Un passage biffé en boucle sous « $\sigma \mapsto H^{p}(Y_{\sigma})$ » n'est pas lisible.

(c) Autre présentation ⌜de $H^{*}(X,\mathbb{Q}_{\ell})$⌝ : suite spectrale de Leray de $g : X \hookrightarrow X'$ ; on a \[ H^{*}(X) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}(X', R^{q}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell})) \] Or \[\begin{align*} R^{q}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell}) &\simeq \bigwedge^{q} \coprod_{\alpha} \mathbb{Q}_{\ell}(-1)_{Y_{\alpha}} \\ &\simeq \coprod_{\alpha_{1}<\dots<\alpha_{q}} \mathbb{Q}_{\ell\,Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q}}}(-q) . \end{align*}\] Donc \[ \begin{cases} E_{2}^{pq} = \displaystyle\coprod_{\alpha_{1}<\dots<\alpha_{q}} H^{p}(Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q}})(-q) & \text{si } q \geq 1 \\ E_{2}^{p0} = H^{p}(X') \end{cases} \] qui est de poids $p + 2q$. Donc on trouve […] \[ d_{r} = 0 \quad \text{si } r \geq 3 , \] et il faut calculer encore $E_{3}^{pq}$, comme i.e. le la suite de la phrase est le diagramme ; à droite, séparé par un trait vertical : « si $q \geq 2$, donc $q-1 \geq 1$ ». Les annotations « dim $n-1-q$ » et « dim $n-q$ » sont écrites au-dessus des deux termes de la ligne médiane, « dual » le long des flèches verticales.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  E_{2}^{pq} \arrow[r] \arrow[d, no head, "{=}" description] & E_{2}^{p+2,q-1} \arrow[d, no head, "{=}" description] \\
  \coprod_{\alpha_{1}<\dots<\alpha_{q}} H^{p}(Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q}})(-q) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\text{dual}"'] & \coprod_{\alpha_{1}<\dots<\alpha_{q-1}} H^{p+2}(Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q-1}})(-(q-1)) \arrow[d, no head, "\text{dual}"] \\
  H^{2n-2-p-2q}(Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q}})(n-1) & H^{2n-2q-p-2}(Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q-1}})(n-1)
\end{tikzcd}

les exposants et les twists de la dernière ligne sont d'une lecture incertaine.

205Dactylographie de la même main et du même texte, feuillet « -2.5- » (stabilité propre, fonctions invariantes homogènes). En marge, au crayon, « 1.11 » corrigeant un renvoi « 1.9 » du texte, d'attribution incertaine ; non transcrit.

206③

LaTeX source

\begin{tikzcd}
  X \arrow[d, "{f\ \text{(propre)}}"'] & U \arrow[l, hook'] \arrow[ld, no head, "g" description] \arrow[d, no head, "f_{U}"] \\
  S & \eta \arrow[l, hook']
\end{tikzcd}

croquis : $X \supset U$ au-dessus de $S \hookleftarrow \eta$, $f$ (propre) à gauche, $f_{U}$ à droite, la lettre $g$ entre les deux ; à côté de $\eta$ un mot biffé. La disposition des traits de $g$ et de $f_{U}$ est restituée approximativement.

$X$ régulier, $U = X -{}$ $X$ $Y$, $Y = \bigcup Y_{\alpha} \supset X_{0}$, en $Y$, $\left\{\begin{array}{l} Y_{\alpha} \text{ div. réguliers} \\ Y \text{ div. à croisements normaux.} \end{array}\right.$

[NB faire pour simplifier $Y = X_{0}$, $U = X_{\eta}$]

\[ H^{*}(U) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}(X_{0}, R^{q}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell\,X})|X_{0}) \] \[ R^{q}g_{*}(\mathbb{Q}_{\ell\,X}) \simeq \bigwedge^{q} \coprod_{\alpha} (\mathbb{Q}_{\ell}(-1)_{Y_{\alpha}}) \simeq \coprod_{\alpha_{1}<\dots<\alpha_{q}} \mathbb{Q}_{\ell\,Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q}}}(-q) \] donc \[ \begin{cases} E_{2}^{p,q} = \text{\struck{$H^{p}$}}\ \displaystyle\coprod_{\alpha_{1}<\dots<\alpha_{q}} H^{p}((Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q}})_{0})(-q) & \text{si } q \geq 1 \\ E_{2}^{p0} = H^{p}(X_{0}) \end{cases} \] — la première de poids $p + 2q = i + q$, la seconde de poids […] $p = i$ […]. à gauche de l'accolade, une tache d'encre ; dans $H^{p}((Y_{\alpha_{1}\dots\alpha_{q}})_{0})$ un symbole biffé précède la parenthèse intérieure.

$E_{r}^{pq} \to E_{r}^{p+r,\,q-r+1}$ :

a) $q - r + 1 \neq 0$ : poids $p+2q$ et $p + r + 2(q-r+1)$, nulle si $r \neq 2$.

b) $q - r + 1 = 0$ […] $p+2q$ poids $p+2q$ et $\leq p+r$ ; il faut pour que $d_{r}^{pq} \neq 0$ que l'on ait $p+2q \leq p+r$, i.e. $r \geq 2q$ ; comme $r = q+1$, cela s'écrit $q+1 \geq 2q$, i.e. $q \leq 1$, donc $r \leq 2$.

Donc $\underline{d_{r} = 0}$ si $r \geq 3$.

En dimension

$H^{i}$ filtration dont les termes, en croissant, sont

$E_{2}^{i,0}$ de poids […] $i$

$E_{2}^{i-1,1}$ de poids $i+1$

$E_{2}^{i-2,2}$ — $i+2$

$E_{2}^{0,i}$ — $2i$

[lui-même muni d'une filtration convenable qui correspond aux différents poids…]

207Dactylographie de la même main et du même texte, feuillet « -2.11- » (calcul en coordonnées via le théorème d'Iwahori). Non transcrite.

208Les $d_{2}$ Modulo identification des $d_{2}$ par morphismes canoniques (de nature « motivique »), on trouve que la dimension des $E_{\infty}^{pq}$ est indépendante de $\ell$. De plus, les valeurs propres pol. car. de Frobenius ⌜inverse⌝ y opérant sont à coeff. entiers […] indépendants de $\ell$.

compatibilité à vérifier…

Utilisons la suite exacte \[ 0 \longrightarrow H^{i-1}(X_{\bar\eta})_{I} \longrightarrow H^{i}(X_{\eta}) \longrightarrow H^{i}(X_{\bar\eta})^{I} \longrightarrow 0 \tag{6} \] le numéro de la suite, à gauche, se lit « (6) » ou « (b) » ; dans le terme médian un premier $X$ est biffé ; les indices $\bar\eta$ sont restitués d'après un $\eta$ surmonté d'un trait.

Nous voulons ⌜obtiendrons⌝ donc des informations sur $H^{i}(X_{\bar\eta})^{I}$ et $H^{i}(X_{\bar\eta})_{I}$, savoir

a) leurs dimensions indépendantes de $\ell$ $(\neq p)$

b) Les pol. car. de Frobenius inverse opérant sur eux sont à coeff. entiers indépendants de $\ell$, et les val. propres […] […] des val. absolues $q^{i/2}$ dans $H^{i}(X_{\bar\eta})^{I}$ et $H^{i}(X_{\bar\eta})_{I}$. la base de $q^{i/2}$ est d'une lecture incertaine.

Il suffit de le prouver pour $i \leq n$, car si $i > n$ […] mais par […] deux lignes biffées, reliées par un trait sinueux ; seul le début se lit.

On procède par récurrence sur $i$. Pour $i = 0$, on a $H^{0}(X_{\eta}) \simeq H^{0}(X_{\bar\eta})^{I}$, on gagne. Pour $i > 0$, on $H^{i}(X_{\bar\eta})$ utilise (b), […] et l'hyp. de récurrence… la page s'arrête sur ces points de suspension ; la suite n'est pas dans le lot.

209Dactylographie de la même main et du même texte, feuillet « -2.10- » (énoncé et démonstration d'un critère de propreté pour l'orbite, théorème d'Iwahori). Non transcrite.