Fonds Grothendieck, cote n° 34, pages 181–200

p. II.31 de l'auteur ; la section 6 du chapitre II commence ici, les sections précédentes sont hors de ce lot

~~Appendice.~~ 6. Groupes et algèbres de Lie associés aux représentations \ell-adiques de groupes pro-finis

au-dessus du titre, rattaché à « Groupes » par un trait : analytiques ou algébriques etc.

On a fixé un nombre premier \ell.

6.1. Rappelons que si un groupe topologique admet une structure de groupe analytique sur \mathbb{Q}_\ell, celle-ci est essentiellement unique ( si le groupe discret, un déterminé) ; par exemple, tout homom. continu de groupes analytiques sur \mathbb{Q}_\ell est automatiquement analytique. En fait, un s.-groupe fermé d'un groupe analytique (sur \mathbb{Q}_\ell) est encore analytique d'une façon unique.

6.2. Soit \Pi un pro-fini. Si G = \Pi/V \quad\text{et}\quad G' = \Pi/V' sont analytiques sur \mathbb{Q}_\ell, alors G'' = G/V\cap V' aussi, car il est isomorphe à un s.-groupe fermé de G\times G'on attend \Pi/V\cap V' ; la lettre initiale est écrite comme le G de la ligne précédente. Donc les quotients analytiques de Gsic, pour \Pi forment un système projectif de groupes analytiques \Pi^{\mathrm{an}} = (G_\alpha) \Pi^{\mathrm{an}} est récrit au-dessus d'une notation biffée, illisible, de la forme « \ast(\Pi) » qui est système projectif de tous les quotients . Notons que si considère \pi comme pro-fini, considéré comme pro-objet de groupes ~~analytiques~~ , un évidemment \Pi^{\mathrm{an}} \longrightarrow \Pi . devant la flèche, un symbole biffé illisible

6.3. Les représentations \ell-adiques de \Pi (sur \mathbb{Q}_\ell) choisissant continues (= analytiques) comme représentations de \mathcal{S}_\ell(\Pi), la lettre initiale de « \mathcal{S}_\ell(\Pi) » est douteuse ; c'est vraisemblablement l'ancien nom de \Pi^{\mathrm{an}} i.e. la catégorie des des représentations \ell-adiques de \Pi est \varinjlim des catégories analogues

p. II.32 de l'auteur formées avec les G_\alpha, qui sont des conditions à nature analytique.

6.4. Le syst. projectif des G_\alpha définit un système projectif d'algèbres de Lie \mathfrak{g}_\alpha sur \mathbb{Q}_\ell, \text{\struck{\ill{}}}\quad \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}^{\mathrm{an}}(\Pi) = (\mathfrak{g}_\alpha) et on a un foncteur ~~\mathrm{Mod}\,G~~ \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\Pi) \longrightarrow \mathrm{Mod}\,\mathfrak{g} sous la source : « catégorie des modules \ell-adiques sur \Pi (sur \mathbb{Q}_\ell) » ; sous le but : « \varinjlim catégorie des modules \mathfrak{g}_\alpha de dim. finie sur \mathbb{Q}_\ell »

Ce foncteur est fidèle, mais en général pas pleinement fidèle : on des données (, on perd ). Mais soit (U_i) les s.-groupes ouverts de \Pi. U_i \to \Pi définit un isom. \mathfrak{g}(U_i) \simeq \mathfrak{g}(\Pi), d'où un foncteur \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(U_i) \longrightarrow \mathrm{Mod}\,\mathfrak{g} et par passage à la limite : \boxed{\ \varinjlim_i \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(U_i) \longrightarrow \mathrm{Mod}\,\mathfrak{g}\ } Cette flèche est une équivalence de catégories.

p. II.33 de l'auteur Cela se ramène facilement ~~au cas où \pi~~ ~~analytique~~ au

Lemme. Soit G un groupe analytique, \mathfrak{g} son alg. de Lie, qui est aussi l'alg. de Lie de ses sous-groupes ouverts U_i. Alors le foncteur \varinjlim_i \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell} U_i \longrightarrow \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}\,\mathfrak{g} est une équivalence de catégories.

6.5. On fera attention que même si \pi = \hat{\mathbb{Z}}, que on ne récupère pas \pi (ou plutôt \mathfrak{g}) par la catégorie \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi), même munie de sa structure de produit tensoriel : [Car ne que algébriques G les \mathfrak{g}_\alpha …].

dans un cadre, à gauche de 6.6 : Attention, il est essentiel ici de travailler sur \mathbb{Q}_\ell ! remarque !

~~6.6.~~ Je vais construire un pro-groupe pro-algébrique affine \pi^{\mathrm{alg}} sur \mathbb{Q}_\ell« \mathbb{Q}_\ell » est cerclé, ~~\pi~~ canonique, tel que \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi) soit équivalente structure tensorielle. Pour cela, considérer, pour tout E \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi), le groupe algébrique engendré dans \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_\ell}(E) par l'image de \pi, soit \widetilde{G}_E. S'il existe un homom. surjectif E \to F, il y a un homom. naturel \widetilde{G}_E \to \widetilde{G}_F qui est un épimorphisme (surjectif), et de cette façon les (\widetilde{G}_E)

p. II.34 de l'auteur forment un système projectif de groupes algébriques, noté \widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}} = (\widetilde{G}_E). On a enfin un foncteur évident \mathrm{Mod}(\pi^{\mathrm{alg}}) \xleftarrow{\ \approx\ } \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi) sous \mathrm{Mod}(\pi^{\mathrm{alg}}) : « modules de représentations algébriques de \pi^{\mathrm{alg}} » ; la flèche porte une pointe à chaque bout qui est une équivalence de catégories. On a d'ailleurs \pi^{\mathrm{alg}}/(\pi^{\mathrm{alg}})^{0} \simeq \pi ce qui signifie que, si \pi^{\mathrm{alg}} = (\widetilde{G}_\alpha) indexé, \pi \xleftarrow{\ \approx\ } (\widetilde{G}_\alpha/\widetilde{G}_\alpha^{0}) (isom. canonique), où bien sûr on identifiecerclé : G algébrique des groupes finis à des groupes alg. sur \mathbb{Q}_\ell.

6.6.numéro surchargé Au système projectif \pi^{\mathrm{alg}} = (\widetilde{G}_\alpha) correspond une pro-algèbre de Lie \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}^{\mathrm{alg}}(\pi) = \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{alg}}) = (\mathrm{Lie}(\widetilde{G}_\alpha)), et on a un foncteur évident \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi) \simeq \mathrm{Mod}(\pi^{\mathrm{alg}}) \longrightarrow \mathrm{Mod}(\widetilde{\mathfrak{g}}), sous la flèche : « \varinjlim des cat. de modules sur \widetilde{\mathfrak{g}}_\alpha de dim. finie sur \mathbb{Q}_\ell » ; un argument biffé suit \widetilde{\mathfrak{g}}, et le second \pi^{\mathrm{alg}} est cerclé et et donc \varinjlim_{U_i} \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(U_i) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Mod}(\widetilde{G}^{0}) \longrightarrow \mathrm{Mod}(\widetilde{\mathfrak{g}}) sous la limite : « prenant les sous-groupes ouverts des U_i » (indice U_i surchargé) ; sous \mathrm{Mod}(\widetilde{G}^{0}) : « syst. projectif des composantes neutres \widetilde{G}_\alpha^{0} des \widetilde{G}_\alpha »

p. II.35 de l'auteur La première flèche est une équivalence entre représentations \ell-adiques de catégories : le fait de remplacer \pi par un s.-groupe ouvert revient à remplacer \widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}} par la composante neutre \widetilde{G}^{0} = (\widetilde{G}_\alpha^{0}). (N.B. Je question de passer de la composante dans les 2 contextes analytique). Par contre, le foncteur \mathrm{Mod}(\widetilde{G}^{0}) \longrightarrow \mathrm{Mod}(\widetilde{\mathfrak{g}}) est seulement pleinement fidèle, mais pas essentiellement surjectif a priori.

6.6. ~~Nous~~ Pour un groupe algébrique \Gamma sur \mathbb{Q}_\ellaffine, aussi \Gamma \Gamma(\mathbb{Q}_\ell). éléments \Gamma/\Gamma^{0} sont sur \mathbb{Q}_\ell, donc \Gamma(\mathbb{Q}_\ell) par les groupes algébriques envisagés dans sections précédentes.

Ceci dit, nous avons un homom. canonique (6.6.1)\qquad \begin{array}{ccc} \pi^{\mathrm{an}} & \longrightarrow & \pi^{\mathrm{alg}} \\ \| & & \| \\ G & & \widetilde{G} \end{array} qui s'explicite ainsi : (\ast)\qquad \pi^{\mathrm{an}} \xrightarrow{\ \approx\ } \text{“}\varprojlim_{E \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi)}\text{”}\, G_E la flèche est doublée d'une flèche de retour où G_E est l'image de \pi dans \mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E), et

p. II.36 de l'auteur \pi^{\mathrm{alg}} = \text{\struck{\ill{}}}\ \text{“}\varprojlim\text{”}\, \widetilde{G}_E où \widetilde{G}_E est l'enveloppe algébrique du groupe analytique G_E.

NB En fait, le foncteur est une bijection, les groupes analytiques envisagés sur \mathbb{Q}_\ell une représentation linéaire fidèle …réf ?

Donc \pi^{\mathrm{an}} \to \pi^{\mathrm{alg}} est un dense homom. de pro-groupes G_E sont denses algébriques.? ~~jamais ; \pi \leftarrow \pi^{\mathrm{alg}} …~~passage de trois lignes biffé et barré d'un trait sinueux ; on y lit « \pi \simeq \pi^{\mathrm{an}} » et « p. ex. »

Lie (6.6.1) induit un homom. (6.6.2)\qquad \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}^{\mathrm{an}}(\pi) \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}^{\mathrm{alg}}(\pi) . C'est un isomorphisme si et seulement si les alg. de Lie \mathfrak{g}_E = \mathrm{Lie}(G_E) sont algébriques, i.e. si les G_E sont ouverts dans les \widetilde{G}_E. ~~Dans ce cas, le~~ foncteur (6.6.3)\qquad \varinjlim_{\substack{U_i \text{ ouverts}\\ \text{dans } \pi}} \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(U_i) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Mod}(\widetilde{\mathfrak{g}}) donc une équivalence de catégories ….

laissons tomber remarques 6.7. et 6.8. dans un Remarques 6.7. Si la première \mathrm{Mod}(\pi^{\mathrm{alg}}), l'équivalence (6.6.3)

p. II.37 de l'auteur peut surprendre, car en supposant que les \widetilde{G}_E soient semi-simples disons) ~~qu'ils soient~~ ils ne sont pas nécessairement simplement connexes (au sens de Chevalley) i.e. ils pourraient avoir (beaucoup …) moins de représentations que leurs algèbres de Lie. L'explication provient du fait que dans le système projectif des \widetilde{G}_{E'} majorant \widetilde{G}_E, interviennent aussi les « revêtements simplement connexes » de \widetilde{G}_E, au sens de Chevalley.

~~Pour~~ S'en convaincre directement, ~~soit \pi_E~~ soit G' le rev. simplement connexe de \widetilde{G}_E^{0}, et soit \Gamma l'image de ~~G' \to \widetilde{G}_E~~ G'(\mathbb{Q}_\ell) \longrightarrow \widetilde{G}_E^{0}(\mathbb{Q}_\ell). C'est un s.-groupe distingué de G', donc il existe un s.-groupe ouvert U de G'(\mathbb{Q}_\ell) tel que U \to \widetilde{G}_E^{0}(\mathbb{Q}_\ell) restriction injective . ). Si E' est la source d'une représentation (alg.) linéaire fidèle de G', il induit une représentation analytique de U_\ell, donc une représentation d'un \widetilde{G}_{E'}^{0} …. entre crochets : laissons tomber

6.8. Si G est un groupe algébrique ~~affine~~ quelconque (quotient ) défini sur \mathbb{Q}_\ell, alors peut considérer le groupe pro-fini analytique ~~\pi~~ = G(\mathbb{Q}_\ell) ; ~~et le groupe~~ \pi , compact. Alors ~~considérer le pro-groupe \pi^{\mathrm{alg}} , qui est~~ analytique \pi^{\mathrm{alg}} le groupe pro-algébrique (associé) une extension de \pi (considéré comme un groupe pro-fini^{\mathrm{alg}}) par la phrase se poursuit p. 189

p. II.38 de l'auteur un groupe pro-algébrique connexe (\widetilde{G}_{E'}^{0})_{E'}, enveloppe connexe ~~(enveloppe)~~ en haut à droite : Je n'ai (algébrique) algébriques des représentations, \ell-adiques de \pi. Si p.ex. l'algèbre de Lie \mathfrak{g} = \pi^{\mathrm{an}} = \mathrm{Lie}(G)sic : « \pi^{\mathrm{an}} » pour \mathrm{Lie}^{\mathrm{an}}(\pi) est de plus algèbre dérivée, dans toutes ses représentations \ell-adiques, l'image G_{E'} de \pi est dans \widetilde{G}_{E'}, donc \widetilde{G}_{E'}^{0} \to \widetilde{G}_E^{0} ~~induit~~ ~~un isom.~~ est un isom. local au sens \ell-adique, donc ~~induit~~ est étale, donc ~~donc induit \widehat{G}^{0} simplement connexe,~~ l'unique revêtement universel simplement connexe, des passage très raturé, encadré en partie et barré d'un trait sinueux

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \pi = G_{E'} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \widetilde{G}_{E'} \arrow[d] \\ \pi = G_E \arrow[r, hook] & \widetilde{G}_E = G^{1} \end{tikzcd}

à droite du diagramme : s.-groupe alg. de G contenant G^{0}

G^{0} ~~simple~~ ½simple et simplement connexe, G^{1} et \pi (alg. : G si que l'enveloppe algébrique G est connexe) peut considérer comme quotient d'une extension bien déterminée de \pi (considéré comme groupe profini-algébrique) par G' = rev. ~~universel~~ simplement connexe de G^{0} ; donc un système projectif d'extensions de groupes algébriques 1 \longrightarrow G' \longrightarrow G_\alpha \longrightarrow \pi_\alpha \longrightarrow 1 \pi_\alpha parcourt les quotients de \pi par les s.-groupes ~~distingués~~ ouverts suffisamment petits l'image de G' \to G^{0}, (où G'/(G')^{0} ) évidemment G^{1} étant lui-même un G_\alpha évidemment des quotients \pi_\alpha de \pi …).

On en conclut un élément canonique \xi \in H^{2}(\pi, Z'(\mathbb{Q}_\ell)) où Z' est le ~~noyau~~ centre de G', l'annulation de \xi étant nécessaire et suffisante pour que \pi se un Borel connaissant bien vient dans G' en H^{2}(\pi, Z'(\mathbb{Q}_\ell)) dans H^{2}(\pi, Z(\mathbb{Q}_\ell)) (Z le centre de G^{0}) ~~définit~~ est l'image de \xi_0 \in H^{2}(G^{1}/G^{0}, Z(\mathbb{Q}_\ell)),

dans la marge gauche, verticalement : défini pour l'extension G^{1} de G^{1}/G^{0} par G^{0} entre crochets, en marge : laissons tomber

p. II.39 de l'auteur 6.9. Fonctorialité. Un homom. de groupes profinis u : \pi \longrightarrow \pi' définit \begin{gather*} G = \pi^{\mathrm{an}} \to G' = \pi'^{\mathrm{an}}, \qquad \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{an}}) = \mathfrak{g} \longrightarrow \mathrm{Lie}(\pi'^{\mathrm{an}}) = \mathfrak{g}' \\ \widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}} \to \widetilde{G}' = \pi'^{\mathrm{alg}}, \qquad \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{alg}}) = \widetilde{\mathfrak{g}} \longrightarrow \mathrm{Lie}(\pi'^{\mathrm{alg}}) = \widetilde{\mathfrak{g}}' \end{gather*} avec commutativité dans

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] G = \pi^{\mathrm{an}} \arrow[r] \arrow[d, "u^{\mathrm{an}}"] & \widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}} \arrow[r] \arrow[d, "u^{\mathrm{alg}}"] & \pi \arrow[d, "u"] \\ G' = \pi'^{\mathrm{an}} \arrow[r] & \widetilde{G}' = \pi'^{\mathrm{alg}} \arrow[r] & \pi' \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{an}}) \arrow[r] \arrow[d] & \mathfrak{g}' = \mathrm{Lie}(\pi'^{\mathrm{an}}) \arrow[d] \\ \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{alg}}) \arrow[r] & \widetilde{\mathfrak{g}}' = \mathrm{Lie}(\pi'^{\mathrm{alg}}) \end{tikzcd}

Transitivités évidentes.

Si u : \pi \to \pi' est un épimorphisme, il en est de même de u^{\mathrm{an}} et u^{\mathrm{alg}} (dans un sens évident). Si l'image de u est de dimension finiesic ; on attend « d'indice fini », alors u induit un épimorphisme G^{0} \to G'^{0}, et donc des épimorphismes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}', \widetilde{\mathfrak{g}} \to \widetilde{\mathfrak{g}}'.

6.10. Soit \Pi = (\pi_\alpha) un système projectif filtrant de groupes profinis. En vertu de 6.9, il définit un système projectif filtrant de systèmes projectifs filtrants de groupes analytiques, groupes algébriques, alg. de Lie et alg. de Lie algébriques. \begin{gather*} G = \Pi^{\mathrm{an}}, \quad \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{an}}) = \mathfrak{g} \\ \widetilde{G} = \Pi^{\mathrm{alg}}, \quad \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{alg}}) = \widetilde{\mathfrak{g}} . \end{gather*}

p. II.40 de l'auteur Ce dernier donne lieu aussi à des homom. \Pi^{\mathrm{an}} \longrightarrow \Pi^{\mathrm{alg}} \longrightarrow \Pi et \Pi \simeq \Pi^{\mathrm{alg}}/(\Pi^{\mathrm{alg}})^{0} \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{an}}) \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{alg}}) . Fonctorialité pour \Pi variable comme pro-objet de la catégorie des groupes profinis.

un grand trait en marge gauche Attention, \Pi^{\mathrm{an}} et \pi'^{\mathrm{an}} ne sont pas pareils, si \pi' = \varprojlim \pi_\lambda. ~~De même pour \Pi^{\mathrm{alg}},~~ ~~et les \mathfrak{g}, \widetilde{\mathfrak{g}}. épimorphismes de transition~~

Exemple 6.10.1. Les \pi_\lambda finis, épimorphismes de transition surjectifs, \pi' = \varprojlim \pi_\lambda groupe analytique de dimension > 0. Alors \Pi^{\mathrm{an}} n'est autre que (\pi_\lambda) lui-même, est formé de groupes discrets, mais \pi'^{\mathrm{an}} contient « continûment » \pi' ! [Ici \Pi^{\mathrm{an}} ~~plus~~ est « plus petit » que \pi'^{\mathrm{an}} !].

Exemple 6.10.2. Les \pi_\lambda les sous-groupes d'indice fini d'un \pi. Alors \pi' = \{e\}, donc \pi'^{\mathrm{an}} et \pi'^{\mathrm{alg}} sont les pro-groupes unités. Mais \Pi^{\mathrm{an}} est le système des s.-groupes ouverts ~~de dimension finie~~ des G_\alpha définissant \pi^{\mathrm{an}}, et \Pi^{\mathrm{alg}} n'est autre que \widetilde{G}^{0}, où \widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}}. ~~Donc~~ [Ici \Pi^{\mathrm{an}} est « plus grand » que \pi'^{\mathrm{an}}, qui est trivial !]

p. II.41 de l'auteur 6.11. \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\Pi^{\mathrm{an}}) \simeq \mathrm{Mod}(\Pi^{\mathrm{alg}}) \simeq \varinjlim_\lambda \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi_\lambda) le premier membre est vraisemblablement surchargé ; on attend \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\Pi)

6.12. Un cas important est celui où dans le ~~système~~ pro-objet \Pi = (\pi_\lambda), les morphismes de transition sont quasi-surjectifs (i.e. image d'indice fini). Alors il en est de même dans \Pi^{\mathrm{an}} et \Pi^{\mathrm{alg}} (en particulier (\Pi^{\mathrm{alg}})^{0} est un pro-objet strict). De plus, les syst. projectifs \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{an}}) et \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{alg}}) sont aussi stricts ….

6.13. Soit X = \varprojlim_\lambda X_\lambda un schéma, limite (\mathfrak{X}) projective d'un système projectif filtrant de schémas, à morphismes de transition affines. Soit \xi un pt géom. de X, \xi_\lambda son image dans X_\lambda. Considérons \Pi = \pi_1(\mathfrak{X}, \xi) = (\pi_1(X_\lambda, \xi))_\lambda , système projectif de groupes profinis. Les représentations \ell-adiques de ce pro-objet ~~système~~ forment une catégorie équivalente à la catégorie \varinjlim_\lambda (\text{Faisceaux \add{$\mathbb{Q}_\ell$-}\struck{\ill{}} tordus sur } X_\lambda), bien entendu. Ces catégories s'expliquent en termes de \Pi^{\mathrm{an}} ou \Pi^{\mathrm{alg}} comme on l'a vu plus haut, et prennent ainsi (partiellement) l'étude : l'aide de \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{an}}) et \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{alg}}).

p. II.42 de l'auteur 6.13.numéro répété Le cas le plus intéressant est celui où les X_\lambda sont de type fini sur ~~X_\lambda~~ \mathbb{Z}, ou sur un corps premier, ~~Alors~~ On sait que le foncteur \mathfrak{X} \to X (limite) des pro-objets de la catégorie des schémas de type fini sur \mathbb{Z}, dans celle des schémas est pleinement fidèle, i.e. \mathfrak{X} est déterminé par la connaissance de X.

Ex X de présentation finie sur un schéma affine, p.ex. sur un corps. En particulier X local, p.ex. spectre d'un corps, p.ex. d'un corps alg. clos (sic)lecture de la parenthèse douteuse.

Dans ce cas, \Pi mérite d'être appelé notation \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi) le « pro-groupe fondamental arithmétique de X », (on se rappellera que c'est un ~~groupe~~ pro-groupe topologique, admettant un homom. canonique \pi_1(X,\xi) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim \Pi = \varprojlim_\lambda \pi_1(X_\lambda, \xi) , mais on se rappellera que la connaissance de \pi_1(X,\xi) ne détermine pas celle du pro-objet \Pi = \Pi_1(X,\xi). Par exemple, si X est le spectre d'un corps alg. clos, \pi_1(X,\xi) = e, tandis que \Pi n'est alors jamais trivial, nous allons voir.

En vertu de 6.10, \pi^{\mathrm{arith}}(X,\xi)

p. II.43 de l'auteur naissance à ~~des~~ des groupes pro-analytiques et pro-algébriques \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)^{\mathrm{an}}, \quad \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)^{\mathrm{alg}} et à des pro-algèbres de Lie correspondantes.

6.14. Supposons X intègre et normal, alors on peut supposer les X_\lambda intègres, normaux (quitte à remplacer X_\lambda par le normalisé de l'image schématique fermée de X dans X_\lambda …). Comme tout morphisme dominant de t.f. de schémas normaux, X_\mu \to X_\lambda induit un homom. quasi-surjectif \pi_1(X_\mu, \xi_\mu) \longrightarrow \pi_1(X_\lambda, \xi_\lambda), i.e. on est dans le cas de 6.12. En particulier, les homom. de transition des G = \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)^{\mathrm{an}} et \widetilde{G} = \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)^{\mathrm{alg}} sont des quasi-épimorphismes, et les homom. de transition dans \mathfrak{g} et \widetilde{\mathfrak{g}} sont des épimorphismes (donc les \mathfrak{g}, \widetilde{\mathfrak{g}} sont des pro-objets stricts). encadré, rattaché au paragraphe suivant : si \ell est inversible sur X (sauf mention contraire …) alors

6.15. Notons que ~~si \ell est inversible sur X~~ donc \Pi = \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi) n'est jamais « discret » i.e. \dim \mathfrak{g} > 0, ~~\mathfrak{g}~~ ou encore \dim \widetilde{\mathfrak{g}} > 0. (En fait, on montre que en dimensions sont très grandes).

En effet, il suffit de voir que que si X est de type fini sur \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}, d'un tel que \ell y soit inversible, point géom. \xi, alors, ~~\pi_1(X,~~ posant \pi = \pi_1(X,\xi), \pi^{\mathrm{alg}} n'est jamais discret. Or

p. II.44 de l'auteur ~~Si X est de car. p, alors X est .~~ Si X est de car. p > 0 (p \neq \ell), alors X \to \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_p = S induit quasi-isom. \pi_1(X,\xi) \to \pi_1(S,\xi) \simeq \hat{\mathbb{Z}}, donc \pi_1(X,\xi)^{\mathrm{alg}} \to (\hat{\mathbb{Z}}^{\mathrm{alg}}) est un quasi-épim., et \hat{\mathbb{Z}}^{\mathrm{alg}} (comme on voit aussitôt) est de dim. infinie. Si X est de car. p = 0, alors posons S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}[1/\ell], ~~\pi = \pi_1(X,\xi) \to \pi_1(S,~~ le raisonnement est le même, en notant que \pi_1(S) a ~~un quotient~~ comme plus grand quotient abélien \mathbb{Z}_\ell^{*}, qui est quasi-isomorphe à \mathbb{Z}_\ell, or \mathbb{Z}_\ell^{\mathrm{alg}} est encore de dim. infinie ….

6.16. Revenons aux notations générales de 6.13. L'intérêt de la considération de \Pi = \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi) tient au fait que tous les faisceaux \ell-adiques constructibles tordus qui interviennent pratiquement sont de nature arithmétique, i.e. proviennent déjà d'un tel faisceau sur un X_\lambda, est unique modulo passage à un X_\mu, avec \mu \gg \lambda. En , de même pour les homom. de faisceaux \ell-adiques. En d'autres termes,

p. II.45 de l'auteur il y a lieu de travailler dans la catégorie \varinjlim_\lambda (\text{faisceaux tordus sur } X_\lambda), qui précisément s'explicite en termes de représentations \ell-adiques ~~linéaires~~ du pro-groupe \Pi, ou en termes de \Pi^{\mathrm{alg}}, i.e. de repr. alg. de \Pi^{\mathrm{alg}}.

Exemple 1. Soit f : Y \to X un morphisme propre et lisse, on peut prendre les R^{i}f_*(\mathbb{Q}_{\ell,Y}), ~~donne~~ les R^{i}f_*(\mathbb{Q}_{\ell,Y}) définissent une représentation de \widetilde{G}, ou \widetilde{\mathfrak{g}}. De même, les homom. entre R^{i}f_* définis par des X-morphismes Y \to Y', ou [correspondances définies sur X et intègres relat.) par des cycles algébriques correspondants sur les fibres génériques.

Exemple 2 (Cent élémentaire) : T_\ell(A), où A est un schéma abélien sur X, ~~= T_\ell(A) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell~~ (Noter que \underline{\mathrm{Hom}}(T_\ell(A), \mathbb{Z}_\ell) \simeq R^{1}f_*(\mathbb{Z}_{\ell,A}), donc T_\ell(A) et R^{1}f_*(\mathbb{Z}_{\ell,A}) se déterminent mutuellement.

Pour que cela définisse une représentation de \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(\pi_1^{\mathrm{arith}}(X;\xi)), il faut seulement passer à l'extension par \mathbb{Q}_\ell.fin de page très incertaine

p. II.46 de l'auteur Bien entendu, les exemples 1, 2 sont des repr. de \pi^{\mathrm{an}} \to \pi^{\mathrm{alg}} dépendent de façon fonctorielle pour X, resp. A, variables. En particulier, dans le cas d'un A, on trouve un homom. d'anneaux (injectif) (6.15.1)\qquad \mathrm{End}(A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_\ell \hookrightarrow \mathrm{End}_{\Pi}\bigl(\underbrace{T_\ell(A(\xi)) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell}_{E}\bigr) .

Remarque 6.16. Une des conséquences des conjectures de Tate (qui montrent le rôle essentiel des représentations du groupe fondamental arithmétique) est que le homom. précédent est bijectif lorsque X est normal intègre. Pour cette question, on se ramène d'ailleurs aussitôt au cas où X est le spectre d'un corps algébriquement clos. Cela montre à quel point (même dans un cas réputé « géométrique ») l'opération de \Pi est loin d'être triviale. [C'est prouvé par Tate si X est le spectre d'un corps fini, ~~de façon équivalente, si~~ et si c'est le spectre de la clôture algébrique d'un corps fini ….].

Remarque 6.17. On s'est rendu compte que \Pi lui-même, ou G = \Pi^{\mathrm{an}}, \widetilde{G} = \Pi^{\mathrm{alg}}, \mathfrak{g}, \widetilde{\mathfrak{g}}, sont démesurément grands et ils échappent pratiquement à notre contrôle. Leur rôle est surtout théorique, via leurs représentations \ell-adiques

p. II.47 de l'auteur Dans chaque problème géométrique particulier, on n'a guère qu'à examiner les représentations (analytiques ou algébriques) se ~~factorisant~~ par un groupe ~~quotient~~ G_\alpha resp. \widetilde{G}_\alpha fixé du syst. projectif, dont on peut supposer que c'est l'image dans un \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_\ell}(E) d'un groupe \pi_1(X_\lambda, \xi_\lambda), resp. son enveloppe algébrique. Notons que dans (6.15.1) l'action de \Pi sur E définit un groupe algébrique \widetilde{G}_E \subset \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_\ell}(E), enveloppe algébrique d'un groupe analytique G_E image d'un \pi_1(X_\lambda, \xi), et que le deuxième membre de (6.15.1), peut aussi s'écrire, tautologiquement, \mathrm{End}_{G_E}(E) = \mathrm{End}_{\widetilde{G}_E}(E). Si \pi_1(X,\xi) ( arith.) = 1 (p.ex. X le spectre d'un corps alg. clos) alors le deuxième membre s'écrit aussi \mathrm{End}_{\mathfrak{g}_E}(E) = \mathrm{End}_{\widetilde{\mathfrak{g}}_E}(E), où \mathfrak{g}_E = \mathrm{Lie}(G_E) \subset \mathrm{End}(E) et \widetilde{\mathfrak{g}}_E est l'enveloppe algébrique de \mathfrak{g}_E ….

la rédaction s'arrête ici, en milieu de page ; le chapitre II ne se poursuit pas dans ce lot

SGA 7 IX appendice. Applications des conjectures standard sur les cycles algébriques

titre écrit de sa main sur une feuille de couverture (p. 199 du fonds), sans autre contenu ; le numéro romain est douteux

1) Cohomologie des diviseurs à croisements normaux. Y = \bigcup_\alpha Y_\alpha \qquad Y_\alpha \text{ projectif et lisse, } Y_{\alpha_0} \cap \dots \cap Y_{\alpha_p} \text{ est lisse.} sous Y, un trait et le mot « propre » H^{n}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^{p}(\sigma \longmapsto H^{q}(Y_\sigma, \mathbb{Q}_\ell)), \qquad Y_{\alpha_0 \dots \alpha_p} = Y_{\alpha_0} \cap \dots \cap Y_{\alpha_p} E_2^{pq} est de poids q, donc d_r^{pq} est nul pour tout r. H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell) se divise en les E_2^{p,q} (p+q = i), de poids 0, 1, \dots, i.

en biais, à l'encre brune : NB des plus besoin (conjectures standard) les dimensions des E_2^{pq} indépendantes de \ell

2) Cohomologie des ~~variétés~~ schémas quasi-projectifs lisses non propres. X = X' - Y, \qquad X' \text{ projectif et lisse, } Y \text{ diviseur} à croisements normaux, tels que les comp. irréd. Y_i soient lisses. \begin{gather*} \text{\struck{$H^{i-1}(X', \mathbb{Q}_\ell)$}} \to H^{i-1}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}(X', \mathbb{Q}_\ell) \\ \to H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i+1}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell) \to \cdots \end{gather*} marqué (a) dans un cercle en marge ; sous H^{i-1}(Y) « poids \leqslant i-1 », sous H^{i}(X') « poids i », sous H^{i}(Y) « poids \leqslant i »

On trouve que \text{a) \struck{l'image}}\ \mathrm{Im}\bigl(H^{i-1}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell)\bigr) = \mathrm{Ker}\bigl(H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}(X', \mathbb{Q}_\ell)\bigr) ne dépend pas de la résolution choisie : c'est la partie de poids \leqslant i-1 de H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell).

Les Ker et Coker de \varphi^{i} : H^{i}(X', \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell), à isom. cano. près, sont aussi indépendants de la résolution choisie. Considérons la filtration de division H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell) provenant de la suite spectrale étudiée dans 1), E_2^{pq} = H^{p}(\sigma \mapsto H^{q}(Y_\sigma, \mathbb{Q}_\ell)), correspondant aux des (p+q = i). L'homom. H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \to E_2^{0,i} = H^{0}(\sigma \mapsto H^{i}(Y_\sigma, \mathbb{Q}_\ell)) = \mathrm{Ker}\bigl(H^{i}(Y_\alpha, \mathbb{Q}_\ell) \rightrightarrows \cdots\bigr) le dernier terme, surchargé en bas de page, est lu d'après le contexte ; la phrase se poursuit au-delà de ce lot