Cote n° 34, pages 181–200

Cote n° 34 · batch 10 · pages 181–200 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

182p. II.31 de l'auteur ; la section 6 du chapitre II commence ici, les sections précédentes sont hors de ce lot

Appendice. 6. Groupes ⌜et algèbres⌝ de Lie associés aux représentations $\ell$-adiques de groupes pro-finis

au-dessus du titre, rattaché à « Groupes » par un trait : analytiques ou algébriques etc.

On a fixé un nombre premier $\ell$.

6.1. Rappelons que si un groupe topologique admet une structure de groupe analytique sur $\mathbb{Q}_\ell$, celle-ci est essentiellement unique ([…] si le groupe […] discret, […] un […] déterminé) ; […] par exemple, ⌜tout⌝ homom. continu de groupes analytiques sur $\mathbb{Q}_\ell$ est automatiquement analytique. En fait, un s.-groupe fermé d'un groupe analytique (sur $\mathbb{Q}_\ell$) est encore analytique d'une façon unique. […]

6.2. Soit $\Pi$ un […] pro-fini[…]. Si \[ G = \Pi/V \quad\text{et}\quad G' = \Pi/V' \] sont analytiques sur $\mathbb{Q}_\ell$, alors \[ G'' = G/V\cap V' \] aussi, car il […] est isomorphe à un s.-groupe fermé de $G\times G'$on attend $\Pi/V\cap V'$ ; la lettre initiale est écrite comme le $G$ de la ligne précédente. Donc les […] quotients analytiques de $G$sic, pour $\Pi$ forment un système projectif de groupes analytiques \[ \Pi^{\mathrm{an}} = (G_\alpha) \] $\Pi^{\mathrm{an}}$ est récrit au-dessus d'une notation biffée, illisible, de la forme « $\ast(\Pi)$ » qui est […] système projectif de tous les quotients […]. Notons que si […] considère $\pi$ comme […] ⌜pro-fini, considéré comme⌝ pro-objet de groupes analytiques […], […] un […] évidemment \[ \Pi^{\mathrm{an}} \longrightarrow \Pi . \] devant la flèche, un symbole biffé illisible

6.3. Les représentations $\ell$-adiques de $\Pi$ (sur $\mathbb{Q}_\ell$) […] choisissant […] ⌜continues (= analytiques)⌝ comme représentations […] de $\mathcal{S}_\ell(\Pi)$, la lettre initiale de « $\mathcal{S}_\ell(\Pi)$ » est douteuse ; c'est vraisemblablement l'ancien nom de $\Pi^{\mathrm{an}}$ i.e. la catégorie ⌜des⌝ des représentations $\ell$-adiques de $\Pi$ est […] ⌜$\varinjlim$⌝ des catégories analogues

183p. II.32 de l'auteur formées avec les $G_\alpha$, qui sont des conditions à nature analytique.

6.4. Le syst. projectif des $G_\alpha$ définit un système projectif d'algèbres de Lie $\mathfrak{g}_\alpha$ sur $\mathbb{Q}_\ell$, \[ \text{\struck{\ill{}}}\quad \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}^{\mathrm{an}}(\Pi) = (\mathfrak{g}_\alpha) \] et on a un foncteur $\mathrm{Mod}\,G$ \[ \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\Pi) \longrightarrow \mathrm{Mod}\,\mathfrak{g} \] sous la source : « catégorie des modules $\ell$-adiques sur $\Pi$ (sur $\mathbb{Q}_\ell$) » ; sous le but : « $\varinjlim$ catégorie des modules […] $\mathfrak{g}_\alpha$ de dim. finie sur $\mathbb{Q}_\ell$ »

Ce foncteur est fidèle, mais en général pas pleinement fidèle : on […] des données […] ([…], on perd […]). Mais soit $(U_i)$ les […] s.-groupes ouverts de $\Pi$. $U_i \to \Pi$ définit un isom. \[ \mathfrak{g}(U_i) \simeq \mathfrak{g}(\Pi), \] d'où un foncteur \[ \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(U_i) \longrightarrow \mathrm{Mod}\,\mathfrak{g} \] et par passage à la limite : \[ \boxed{\ \varinjlim_i \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(U_i) \longrightarrow \mathrm{Mod}\,\mathfrak{g}\ } \] Cette flèche est une équivalence de catégories.

184p. II.33 de l'auteur Cela se ramène facilement au cas où […] $\pi$ […] ⌜[…]⌝ analytique […] au

Lemme. Soit $G$ un groupe analytique, $\mathfrak{g}$ son alg. de Lie, qui est aussi l'alg. de Lie de ses sous-groupes ouverts $U_i$. Alors le foncteur \[ \varinjlim_i \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell} U_i \longrightarrow \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}\,\mathfrak{g} \] est une équivalence de catégories.

6.5. On fera attention […] que même si $\pi = \hat{\mathbb{Z}}$, ⌜que […]⌝ […] on ne récupère pas $\pi$ (ou […] plutôt $\mathfrak{g}$) par la catégorie $\mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi)$, même munie de sa structure de produit tensoriel : [Car […] ne […] que […] algébriques $G$ […] les $\mathfrak{g}_\alpha$ […] […] […] …].

dans un cadre, à gauche de 6.6 : Attention, il est essentiel ici de travailler sur $\mathbb{Q}_\ell$ ! […] […] remarque !

6.6. Je vais construire un pro-groupe ⌜pro-⌝algébrique ⌜affine⌝ $\pi^{\mathrm{alg}}$ sur $\mathbb{Q}_\ell$« $\mathbb{Q}_\ell$ » est cerclé, $\pi$ canonique, tel que $\mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi)$ soit équivalente […] structure tensorielle. Pour cela, […] considérer, pour tout $E \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi)$, le groupe algébrique engendré dans $\underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_\ell}(E)$ par l'image de $\pi$, soit $\widetilde{G}_E$. S'il existe un homom. surjectif $E \to F$, il y a un homom. naturel $\widetilde{G}_E \to \widetilde{G}_F$ ⌜qui est un épimorphisme (surjectif)⌝, et de cette façon les $(\widetilde{G}_E)$

185p. II.34 de l'auteur forment un système projectif de groupes algébriques, noté $\widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}} = (\widetilde{G}_E)$. On a enfin un foncteur évident \[ \mathrm{Mod}(\pi^{\mathrm{alg}}) \xleftarrow{\ \approx\ } \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi) \] sous $\mathrm{Mod}(\pi^{\mathrm{alg}})$ : « modules de représentations algébriques de $\pi^{\mathrm{alg}}$ » ; la flèche porte une pointe à chaque bout qui est une équivalence de catégories. On a d'ailleurs \[ \pi^{\mathrm{alg}}/(\pi^{\mathrm{alg}})^{0} \simeq \pi \] ce qui signifie que, si $\pi^{\mathrm{alg}} = (\widetilde{G}_\alpha)$ ⌜indexé⌝, […] \[ \pi \xleftarrow{\ \approx\ } (\widetilde{G}_\alpha/\widetilde{G}_\alpha^{0}) \] (isom. canonique), où bien sûr on identifiecerclé : $G$ algébrique des groupes finis à des groupes alg. sur $\mathbb{Q}_\ell$.

6.6.numéro surchargé Au système projectif $\pi^{\mathrm{alg}} = (\widetilde{G}_\alpha)$ correspond une pro-algèbre de Lie \[ \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}^{\mathrm{alg}}(\pi) = \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{alg}}) = (\mathrm{Lie}(\widetilde{G}_\alpha)), \] et on a un foncteur évident \[ \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi) \simeq \mathrm{Mod}(\pi^{\mathrm{alg}}) \longrightarrow \mathrm{Mod}(\widetilde{\mathfrak{g}}), \] sous la flèche : « $\varinjlim$ des cat. de modules sur $\widetilde{\mathfrak{g}}_\alpha$ de dim. finie sur $\mathbb{Q}_\ell$ » ; un argument biffé suit $\widetilde{\mathfrak{g}}$, et le second $\pi^{\mathrm{alg}}$ est cerclé et […] et donc \[ \varinjlim_{U_i} \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(U_i) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Mod}(\widetilde{G}^{0}) \longrightarrow \mathrm{Mod}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \] sous la limite : « prenant les sous-groupes ouverts des $U_i$ » (indice $U_i$ surchargé) ; sous $\mathrm{Mod}(\widetilde{G}^{0})$ : « syst. projectif des composantes neutres $\widetilde{G}_\alpha^{0}$ des $\widetilde{G}_\alpha$ »

186p. II.35 de l'auteur La première flèche est une équivalence ⌜entre représentations $\ell$-adiques⌝ de catégories : le fait de remplacer $\pi$ par un s.-groupe ouvert […] revient à remplacer $\widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}}$ par la composante neutre $\widetilde{G}^{0} = (\widetilde{G}_\alpha^{0})$. (N.B. Je […] […] question de passer de la composante […] dans les 2 contextes […] analytique). Par contre, le foncteur \[ \mathrm{Mod}(\widetilde{G}^{0}) \longrightarrow \mathrm{Mod}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \] est seulement pleinement fidèle, mais […] pas […] essentiellement surjectif a priori.

6.6. Nous Pour un groupe algébrique $\Gamma$ sur $\mathbb{Q}_\ell$⌜affine⌝, […] aussi $\Gamma$ […] $\Gamma(\mathbb{Q}_\ell)$. […] […] éléments […] […] $\Gamma/\Gamma^{0}$ sont […] sur $\mathbb{Q}_\ell$, donc $\Gamma(\mathbb{Q}_\ell)$ […] […] […] […] […] par les groupes algébriques envisagés dans […] sections précédentes.

Ceci dit, nous avons un homom. canonique \[ (6.6.1)\qquad \begin{array}{ccc} \pi^{\mathrm{an}} & \longrightarrow & \pi^{\mathrm{alg}} \\ \| & & \| \\ G & & \widetilde{G} \end{array} \] qui s'explicite ainsi : \[ (\ast)\qquad \pi^{\mathrm{an}} \xrightarrow{\ \approx\ } \text{“}\varprojlim_{E \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi)}\text{”}\, G_E \] la flèche est doublée d'une flèche de retour où $G_E$ est l'image de $\pi$ dans $\mathrm{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E)$, et

187p. II.36 de l'auteur \[ \pi^{\mathrm{alg}} = \text{\struck{\ill{}}}\ \text{“}\varprojlim\text{”}\, \widetilde{G}_E \] où $\widetilde{G}_E$ est l'enveloppe algébrique du groupe analytique $G_E$.

NB En fait, le foncteur […] est une bijection, […] les groupes analytiques envisagés sur $\mathbb{Q}_\ell$ […] une représentation linéaire fidèle …réf ?

Donc $\pi^{\mathrm{an}} \to \pi^{\mathrm{alg}}$ est un ⌜dense⌝ […] ⌜homom.⌝ ⌜de pro-groupes⌝ […] $G_E$ sont ⌜denses⌝ […] […] algébriques.? […] jamais […] ; […] $\pi \leftarrow \pi^{\mathrm{alg}}$ […] […] […] […] […] …passage de trois lignes biffé et barré d'un trait sinueux ; on y lit « $\pi \simeq \pi^{\mathrm{an}}$ » et « p. ex. »

Lie (6.6.1) induit un homom. \[ (6.6.2)\qquad \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}^{\mathrm{an}}(\pi) \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}^{\mathrm{alg}}(\pi) . \] C'est un isomorphisme si et seulement si les alg. de Lie $\mathfrak{g}_E = \mathrm{Lie}(G_E)$ sont algébriques, i.e. si […] […] ⌜[…]⌝ les $G_E$ sont ouverts dans les $\widetilde{G}_E$. Dans ce cas, le […] […] foncteur \[ (6.6.3)\qquad \varinjlim_{\substack{U_i \text{ ouverts}\\ \text{dans } \pi}} \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(U_i) \xrightarrow{\ \approx\ } \mathrm{Mod}(\widetilde{\mathfrak{g}}) \] […] donc une équivalence de catégories ….

laissons tomber remarques 6.7. et 6.8. dans un […] Remarques 6.7. Si […] […] la première […] […] $\mathrm{Mod}(\pi^{\mathrm{alg}})$, l'équivalence […] (6.6.3) […]

188p. II.37 de l'auteur peut surprendre, car en supposant que les $\widetilde{G}_E$ soient semi-simples disons) […] […] qu'ils soient ils ne sont pas nécessairement simplement connexes (au sens de Chevalley) i.e. ils pourraient avoir (beaucoup …) moins de représentations que leurs algèbres de Lie. L'explication provient du fait que dans le système projectif des $\widetilde{G}_{E'}$ majorant $\widetilde{G}_E$, interviennent aussi les « revêtements simplement connexes » de $\widetilde{G}_E$, au sens de Chevalley.

Pour S'en convaincre directement, […] […] soit $\pi_E$ […] ⌜soit⌝ $G'$ le rev. simplement connexe de $\widetilde{G}_E^{0}$, et soit $\Gamma$ l'image de $G' \to \widetilde{G}_E$ \[ G'(\mathbb{Q}_\ell) \longrightarrow \widetilde{G}_E^{0}(\mathbb{Q}_\ell). \] C'est un s.-groupe distingué de $G'$, donc il existe un s.-groupe ouvert $U$ de $G'(\mathbb{Q}_\ell)$ tel que $U \to \widetilde{G}_E^{0}(\mathbb{Q}_\ell)$ […] […] restriction injective […]. […] […]). Si $E'$ est la source d'une représentation ⌜(alg.)⌝ linéaire fidèle de $G'$, il induit une représentation ⌜analytique⌝ de $U_\ell$, donc une représentation […] d'un $\widetilde{G}_{E'}^{0}$ …. entre crochets : laissons tomber

6.8. Si $G$ est un groupe algébrique affine ⌜quelconque (quotient […])⌝ défini sur $\mathbb{Q}_\ell$, alors […] peut considérer le groupe ⌜pro-fini⌝ analytique $\pi$ $= G(\mathbb{Q}_\ell)$ ; et le groupe ⌜[…] $\pi$ […]⌝ […], compact. Alors […] […] […] […] considérer le pro-groupe […] […] $\pi^{\mathrm{alg}}$ […], qui est ⌜analytique⌝ […] ⌜$\pi^{\mathrm{alg}}$⌝ le groupe ⌜pro-algébrique (associé)⌝ […] une extension de $\pi$ […] (considéré comme un groupe pro-fini⌜$^{\mathrm{alg}}$⌝) par la phrase se poursuit p. 189

189p. II.38 de l'auteur un […] groupe pro-algébrique connexe $(\widetilde{G}_{E'}^{0})_{E'}$, ⌜enveloppe connexe […]⌝ (enveloppe) en haut à droite : Je n'ai […] ⌜(algébrique)⌝ algébriques des représentations, […] […] $\ell$-adiques de $\pi$. Si p.ex. l'algèbre de Lie $\mathfrak{g} = \pi^{\mathrm{an}} = \mathrm{Lie}(G)$sic : « $\pi^{\mathrm{an}}$ » pour $\mathrm{Lie}^{\mathrm{an}}(\pi)$ est de plus algèbre dérivée, dans toutes ses représentations $\ell$-adiques, l'image $G_{E'}$ de $\pi$ est […] dans $\widetilde{G}_{E'}$, donc $\widetilde{G}_{E'}^{0} \to \widetilde{G}_E^{0}$ induit un isom. est un isom. local au sens $\ell$-adique, donc induit est étale, donc donc […] induit […] […] […] $\widehat{G}^{0}$ […] […] […] simplement connexe, […] ⌜l'unique revêtement universel⌝ ⌜simplement connexe⌝, […] […] des […] passage très raturé, encadré en partie et barré d'un trait sinueux

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\pi = G_{E'} \arrow[r, hook] \arrow[d] & \widetilde{G}_{E'} \arrow[d] \\
\pi = G_E \arrow[r, hook] & \widetilde{G}_E = G^{1}
\end{tikzcd}

à droite du diagramme : s.-groupe alg. […] de $G$ contenant $G^{0}$

$G^{0}$ simple ½simple et simplement connexe, […] […] […] $G^{1}$ et $\pi$ (alg. : $G$ si que l'enveloppe algébrique […] $G$ est connexe) peut considérer comme quotient d'une extension bien déterminée de $\pi$ (considéré comme […] groupe profini-algébrique) par $G' = $ rev. universel ⌜simpl[ement] connexe⌝ de $G^{0}$ ; […] donc […] un système projectif d'extensions de groupes algébriques \[ 1 \longrightarrow G' \longrightarrow G_\alpha \longrightarrow \pi_\alpha \longrightarrow 1 \] […] $\pi_\alpha$ parcourt les quotients de $\pi$ par les s.-groupes distingués ⌜ouverts⌝ ⌜suffisamment petits⌝ […] l'image de $G' \to G^{0}$, ⌜(où $G'/(G')^{0}$ […])⌝ évidemment $G^{1}$ étant lui-même un […] $G_\alpha$ […] évidemment […] ⌜des⌝ quotients $\pi_\alpha$ de $\pi$ …).

On en conclut un élément canonique \[ \xi \in H^{2}(\pi, Z'(\mathbb{Q}_\ell)) \] où $Z'$ est le noyau […] ⌜centre de⌝ $G'$[…], l'annulation de $\xi$ étant nécessaire et suffisante pour que $\pi$ se […] […] un […] Borel […] […] connaissant bien […] […] […] […] vient dans $G'$ ⌜en⌝ […] $H^{2}(\pi, Z'(\mathbb{Q}_\ell))$ dans $H^{2}(\pi, Z(\mathbb{Q}_\ell))$ ($Z$ le centre ⌜de $G^{0}$⌝) définit […] est l'image de $\xi_0 \in H^{2}(G^{1}/G^{0}, Z(\mathbb{Q}_\ell))$,

dans la marge gauche, verticalement : […] défini pour l'extension $G^{1}$ de $G^{1}/G^{0}$ par $G^{0}$ entre crochets, en marge : laissons tomber

190p. II.39 de l'auteur 6.9. Fonctorialité. Un homom. de groupes profinis \[ u : \pi \longrightarrow \pi' \] définit \[\begin{gather*} G = \pi^{\mathrm{an}} \to G' = \pi'^{\mathrm{an}}, \qquad \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{an}}) = \mathfrak{g} \longrightarrow \mathrm{Lie}(\pi'^{\mathrm{an}}) = \mathfrak{g}' \\ \widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}} \to \widetilde{G}' = \pi'^{\mathrm{alg}}, \qquad \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{alg}}) = \widetilde{\mathfrak{g}} \longrightarrow \mathrm{Lie}(\pi'^{\mathrm{alg}}) = \widetilde{\mathfrak{g}}' \end{gather*}\] avec commutativité dans

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
G = \pi^{\mathrm{an}} \arrow[r] \arrow[d, "u^{\mathrm{an}}"] & \widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}} \arrow[r] \arrow[d, "u^{\mathrm{alg}}"] & \pi \arrow[d, "u"] \\
G' = \pi'^{\mathrm{an}} \arrow[r] & \widetilde{G}' = \pi'^{\mathrm{alg}} \arrow[r] & \pi'
\end{tikzcd}

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{an}}) \arrow[r] \arrow[d] & \mathfrak{g}' = \mathrm{Lie}(\pi'^{\mathrm{an}}) \arrow[d] \\
\widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}(\pi^{\mathrm{alg}}) \arrow[r] & \widetilde{\mathfrak{g}}' = \mathrm{Lie}(\pi'^{\mathrm{alg}})
\end{tikzcd}

Transitivités évidentes.

Si $u : \pi \to \pi'$ est un épimorphisme, il en est de même de $u^{\mathrm{an}}$ et $u^{\mathrm{alg}}$ (dans un sens évident). Si l'image de $u$ est de dimension finiesic ; on attend « d'indice fini », alors $u$ induit un épimorphisme $G^{0} \to G'^{0}$, et donc des épimorphismes $\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}'$, $\widetilde{\mathfrak{g}} \to \widetilde{\mathfrak{g}}'$.

6.10. Soit $\Pi = (\pi_\alpha)$ un système projectif ⌜filtrant⌝ de groupes profinis. En vertu de 6.9, il définit un système projectif filtrant de systèmes projectifs filtrants de groupes analytiques, groupes algébriques, alg. de Lie et alg. de Lie algébriques. \[\begin{gather*} G = \Pi^{\mathrm{an}}, \quad \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{an}}) = \mathfrak{g} \\ \widetilde{G} = \Pi^{\mathrm{alg}}, \quad \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{alg}}) = \widetilde{\mathfrak{g}} . \end{gather*}\]

191p. II.40 de l'auteur Ce dernier donne lieu aussi à des homom. \[ \Pi^{\mathrm{an}} \longrightarrow \Pi^{\mathrm{alg}} \longrightarrow \Pi \] et \[ \Pi \simeq \Pi^{\mathrm{alg}}/(\Pi^{\mathrm{alg}})^{0} \] \[ \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{an}}) \longrightarrow \widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{alg}}) . \] Fonctorialité pour $\Pi$ variable comme pro-objet de la catégorie des groupes profinis.

un grand trait en marge gauche Attention, $\Pi^{\mathrm{an}}$ et […] $\pi'^{\mathrm{an}}$ ne sont pas pareils, si $\pi' = \varprojlim \pi_\lambda$. De même pour $\Pi^{\mathrm{alg}}$, […] […] […] et les $\mathfrak{g}$, $\widetilde{\mathfrak{g}}$. […] […] […] épimorphismes de transition

Exemple 6.10.1. Les $\pi_\lambda$ finis, épimorphismes de transition surjectifs, $\pi' = \varprojlim \pi_\lambda$ groupe analytique de dimension $> 0$. Alors $\Pi^{\mathrm{an}}$ n'est autre que $(\pi_\lambda)$ lui-même, est formé de groupes discrets, mais $\pi'^{\mathrm{an}}$ contient ⌜« continûment »⌝ $\pi'$ ! [⌜Ici⌝ $\Pi^{\mathrm{an}}$ plus est « plus petit » que $\pi'^{\mathrm{an}}$ !].

Exemple 6.10.2. Les $\pi_\lambda$ les sous-groupes d'indice fini d'un $\pi$. Alors $\pi' = \{e\}$, donc $\pi'^{\mathrm{an}}$ et $\pi'^{\mathrm{alg}}$ sont les pro-groupes unités. Mais $\Pi^{\mathrm{an}}$ est le système des s.-groupes ⌜ouverts⌝ de dimension finie des $G_\alpha$ définissant $\pi^{\mathrm{an}}$, et $\Pi^{\mathrm{alg}}$ n'est autre que $\widetilde{G}^{0}$, où $\widetilde{G} = \pi^{\mathrm{alg}}$. Donc [Ici $\Pi^{\mathrm{an}}$ est « plus grand » que $\pi'^{\mathrm{an}}$, qui est trivial !]

192p. II.41 de l'auteur 6.11. \[ \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\Pi^{\mathrm{an}}) \simeq \mathrm{Mod}(\Pi^{\mathrm{alg}}) \simeq \varinjlim_\lambda \mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\pi_\lambda) \] le premier membre est vraisemblablement surchargé ; on attend $\mathrm{Mod}_{\mathbb{Q}_\ell}(\Pi)$

6.12. Un cas important est celui où dans le système pro-objet $\Pi = (\pi_\lambda)$, les morphismes de transition sont quasi-surjectifs (i.e. image d'indice fini). Alors il en est de même dans $\Pi^{\mathrm{an}}$ et $\Pi^{\mathrm{alg}}$ (en particulier $(\Pi^{\mathrm{alg}})^{0}$ est un pro-objet strict). De plus, les syst. projectifs $\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{an}})$ et $\widetilde{\mathfrak{g}} = \mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{alg}})$ sont aussi stricts ….

6.13. Soit \[ X = \varprojlim_\lambda X_\lambda \] un schéma, limite ⌜($\mathfrak{X}$)⌝ projective d'un système projectif filtrant de schémas, à morphismes de transition affines. Soit $\xi$ un pt géom. de $X$, $\xi_\lambda$ son image dans $X_\lambda$. Considérons \[ \Pi = \pi_1(\mathfrak{X}, \xi) = (\pi_1(X_\lambda, \xi))_\lambda , \] système projectif de groupes profinis. Les représentations $\ell$-adiques de ce pro-objet système forment […] une catégorie équivalente à la catégorie \[ \varinjlim_\lambda (\text{Faisceaux \add{$\mathbb{Q}_\ell$-}\struck{\ill{}} tordus sur } X_\lambda), \] […] bien entendu. Ces catégories s'expliquent en termes de $\Pi^{\mathrm{an}}$ ou $\Pi^{\mathrm{alg}}$ comme on l'a vu plus haut, et prennent ainsi (partiellement) l'étude : l'aide de $\mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{an}})$ et $\mathrm{Lie}(\Pi^{\mathrm{alg}})$.

193p. II.42 de l'auteur 6.13.numéro répété Le cas le plus intéressant est celui où les $X_\lambda$ sont de type fini sur $X_\lambda$ $\mathbb{Z}$, ou sur un corps premier, Alors On sait que le foncteur ⌜$\mathfrak{X} \to X$⌝ (limite) des pro-objets de la catégorie des schémas de type fini sur $\mathbb{Z}$, dans celle des schémas est pleinement fidèle, i.e. $\mathfrak{X}$ est déterminé par la connaissance de $X$.

Ex $X$ de présentation finie sur un schéma affine, p.ex. sur un corps. En particulier $X$ local, p.ex. spectre d'un corps, p.ex. d'un corps alg. clos (sic)lecture de la parenthèse douteuse.

Dans ce cas, $\Pi$ mérite d'être ⌜appelé⌝ ⌜notation $\pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)$⌝ le « ⌜pro-⌝groupe fondamental arithmétique de $X$ », (on se rappellera que c'est un groupe pro-groupe topologique, admettant un homom. canonique \[ \pi_1(X,\xi) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim \Pi = \varprojlim_\lambda \pi_1(X_\lambda, \xi) , \] mais on se rappellera que la connaissance de $\pi_1(X,\xi)$ ne détermine pas celle du ⌜pro-objet⌝ […] $\Pi = \Pi_1(X,\xi)$. Par exemple, si $X$ est le spectre d'un corps alg. clos, $\pi_1(X,\xi) = e$, tandis que $\Pi$ n'est alors jamais trivial, […] nous allons voir.

En vertu de 6.10, $\pi^{\mathrm{arith}}(X,\xi)$ […] […]

194p. II.43 de l'auteur naissance à des des groupes pro-analytiques et pro-algébriques \[ \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)^{\mathrm{an}}, \quad \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)^{\mathrm{alg}} \] et à des pro-algèbres de Lie correspondantes.

6.14. Supposons $X$ intègre et normal, alors on peut supposer les $X_\lambda$ intègres, normaux (quitte à […] remplacer $X_\lambda$ par le normalisé de l'image schématique fermée de $X$ dans $X_\lambda$ …). […] Comme tout morphisme dominant de t.f. de schémas normaux, $X_\mu \to X_\lambda$ induit un […] homom. quasi-surjectif \[ \pi_1(X_\mu, \xi_\mu) \longrightarrow \pi_1(X_\lambda, \xi_\lambda), \] i.e. on est dans le cas de 6.12. En particulier, les […] homom. de transition des […] $G = \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)^{\mathrm{an}}$ et $\widetilde{G} = \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)^{\mathrm{alg}}$ sont des quasi-épimorphismes, et les homom. de transition […] dans $\mathfrak{g}$ et $\widetilde{\mathfrak{g}}$ sont des épimorphismes (donc les $\mathfrak{g}$, $\widetilde{\mathfrak{g}}$ sont des pro-objets stricts). encadré, rattaché au paragraphe suivant : si $\ell$ est inversible sur $X$ (sauf mention contraire …) alors

6.15. Notons que si $\ell$ est inversible sur $X$ ⌜[…]⌝ […] ⌜donc⌝ $\Pi = \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)$ n'est […] ⌜jamais⌝ « discret » i.e. […] $\dim \mathfrak{g} > 0$, […] $\mathfrak{g}$ ou encore $\dim \widetilde{\mathfrak{g}} > 0$. (En fait, on montre que en […] dimensions sont très grandes).

En effet, il suffit de […] […] […] […] ⌜voir que […]⌝ que si $X$ est de type fini sur $\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$, […] […] d'un ⌜tel que $\ell$ y soit inversible,⌝ point géom. $\xi$, alors, $\pi_1(X$, posant $\pi = \pi_1(X,\xi)$, $\pi^{\mathrm{alg}}$ n'est jamais discret. Or

195p. II.44 de l'auteur Si $X$ est de car. $p$, alors $X$ est […]. Si $X$ est de car. $p > 0$ ($p \neq \ell$), alors $X \to \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_p = S$ induit […] quasi-isom. $\pi_1(X,\xi) \to \pi_1(S,\xi) \simeq \hat{\mathbb{Z}}$, donc […] $\pi_1(X,\xi)^{\mathrm{alg}} \to (\hat{\mathbb{Z}}^{\mathrm{alg}})$ est un quasi-⌜épim.⌝[…], et $\hat{\mathbb{Z}}^{\mathrm{alg}}$ (comme on voit aussitôt) est de dim. infinie. Si $X$ est de car. $p = 0$, alors posons $S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}[1/\ell]$, […] $\pi = \pi_1(X,\xi) \to \pi_1(S,$ le raisonnement est le même, en notant que $\pi_1(S)$ a un quotient comme plus grand quotient abélien $\mathbb{Z}_\ell^{*}$, qui est quasi-isomorphe à $\mathbb{Z}_\ell$, or $\mathbb{Z}_\ell^{\mathrm{alg}}$ est encore de dim. infinie ….

6.16. Revenons aux notations générales de 6.13. L'intérêt de la considération […] de $\Pi = \pi_1^{\mathrm{arith}}(X,\xi)$ tient au fait que tous les faisceaux $\ell$-adiques constructibles […] tordus qui interviennent pratiquement sont de nature arithmétique, i.e. proviennent déjà d'un tel faisceau sur un $X_\lambda$, est unique modulo passage à un $X_\mu$, avec $\mu \gg \lambda$. En […] […], […] de même pour les homom. de faisceaux $\ell$-adiques. En d'autres termes,

196p. II.45 de l'auteur il y a lieu de travailler dans la catégorie \[ \varinjlim_\lambda (\text{faisceaux tordus sur } X_\lambda), \] qui précisément s'explicite en termes de représentations ⌜$\ell$-adiques⌝ linéaires du pro-groupe $\Pi$, ou en termes de $\Pi^{\mathrm{alg}}$, i.e. de repr. alg. de $\Pi^{\mathrm{alg}}$.

Exemple 1. Soit $f : Y \to X$ un morphisme propre et lisse, on peut prendre les $R^{i}f_*(\mathbb{Q}_{\ell,Y})$, […] […] donne les $R^{i}f_*(\mathbb{Q}_{\ell,Y})$ définissent une représentation de $\widetilde{G}$, ou $\widetilde{\mathfrak{g}}$. De même, les homom. entre $R^{i}f_*$ définis par des $X$-morphismes $Y \to Y'$, ou [correspondances […] définies sur $X$ et intègres relat.) par des […] […] cycles ⌜algébriques⌝ correspondants ⌜sur⌝ les fibres génériques.

Exemple 2 (Cent élémentaire) : $T_\ell(A)$, où $A$ est un schéma abélien sur $X$, $= T_\ell(A) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell$ ⌜(Noter que⌝ \[ \underline{\mathrm{Hom}}(T_\ell(A), \mathbb{Z}_\ell) \simeq R^{1}f_*(\mathbb{Z}_{\ell,A}), \] donc $T_\ell(A)$ et $R^{1}f_*(\mathbb{Z}_{\ell,A})$ se déterminent mutuellement. […]

Pour que […] cela définisse une représentation de $\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(\pi_1^{\mathrm{arith}}(X;\xi))$, il faut seulement passer à l'extension par $\mathbb{Q}_\ell$.fin de page très incertaine

197p. II.46 de l'auteur Bien entendu, les exemples 1, 2 ⌜sont des repr. de $\pi^{\mathrm{an}} \to \pi^{\mathrm{alg}}$⌝ dépendent de façon fonctorielle pour $X$, resp. $A$, variables. En particulier, dans le cas d'un $A$, on trouve un homom. d'anneaux (injectif) \[ (6.15.1)\qquad \mathrm{End}(A) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}_\ell \hookrightarrow \mathrm{End}_{\Pi}\bigl(\underbrace{T_\ell(A(\xi)) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell}_{E}\bigr) . \]

Remarque 6.16. Une des conséquences des conjectures de Tate (qui montrent le rôle essentiel des représentations […] du groupe fondamental […] arithmétique) est que le homom. précédent est bijectif […] lorsque $X$ est normal intègre. Pour cette question, on se ramène d'ailleurs aussitôt au cas où $X$ est le spectre d'un corps algébriquement clos. Cela montre à quel point (même dans un cas réputé « géométrique ») l'opération de $\Pi$ est loin d'être triviale. [C'est prouvé par Tate si $X$ est le spectre d'un corps fini, […] de façon équivalente, si […] […] et si c'est le spectre de la clôture algébrique d'un corps fini ….].

Remarque 6.17. On s'est rendu compte que $\Pi$ lui-même, ou $G = \Pi^{\mathrm{an}}$, $\widetilde{G} = \Pi^{\mathrm{alg}}$, $\mathfrak{g}$, $\widetilde{\mathfrak{g}}$, sont démesurément grands et ils échappent pratiquement à notre contrôle. Leur rôle est surtout théorique, via leurs représentations $\ell$-adiques

198p. II.47 de l'auteur Dans chaque problème géométrique particulier, on n'a guère qu'à examiner les représentations (analytiques ou algébriques) se factorisant par un groupe quotient $G_\alpha$ resp. $\widetilde{G}_\alpha$ fixé du syst. projectif, dont on peut supposer que c'est l'image dans un $\underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_\ell}(E)$ d'un groupe $\pi_1(X_\lambda, \xi_\lambda)$, resp. son enveloppe algébrique. Notons que […] dans (6.15.1) l'action de $\Pi$ sur $E$ définit un groupe algébrique $\widetilde{G}_E \subset \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Q}_\ell}(E)$, enveloppe algébrique d'un groupe analytique $G_E$ […] ⌜image⌝ d'un $\pi_1(X_\lambda, \xi)$, et que le deuxième membre de (6.15.1), peut aussi s'écrire, tautologiquement, \[ \mathrm{End}_{G_E}(E) = \mathrm{End}_{\widetilde{G}_E}(E). \] Si $\pi_1(X,\xi)$ ([…] arith.) $= 1$ (p.ex. $X$ le spectre d'un corps alg. clos) alors le deuxième membre s'écrit aussi \[ \mathrm{End}_{\mathfrak{g}_E}(E) = \mathrm{End}_{\widetilde{\mathfrak{g}}_E}(E), \] où $\mathfrak{g}_E = \mathrm{Lie}(G_E) \subset \mathrm{End}(E)$ et $\widetilde{\mathfrak{g}}_E$ est l'enveloppe algébrique de $\mathfrak{g}_E$ ….

la rédaction s'arrête ici, en milieu de page ; le chapitre II ne se poursuit pas dans ce lot

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titre écrit de sa main sur une feuille de couverture (p. 199 du fonds), sans autre contenu ; le numéro romain est douteux

2001) Cohomologie des diviseurs à croisements normaux. \[ Y = \bigcup_\alpha Y_\alpha \qquad Y_\alpha \text{ projectif et lisse, } Y_{\alpha_0} \cap \dots \cap Y_{\alpha_p} \text{ est lisse.} \] sous $Y$, un trait et le mot « propre » \[ H^{n}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^{p}(\sigma \longmapsto H^{q}(Y_\sigma, \mathbb{Q}_\ell)), \qquad Y_{\alpha_0 \dots \alpha_p} = Y_{\alpha_0} \cap \dots \cap Y_{\alpha_p} \] […] $E_2^{pq}$ est de poids $q$, donc $d_r^{pq}$ est nul pour tout $r$. $H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell)$ se divise en les $E_2^{p,q}$ ($p+q = i$), de poids $0, 1, \dots, i$.

en biais, à l'encre brune : NB des plus besoin (conjectures standard) […] les dimensions des $E_2^{pq}$ indépendantes de $\ell$

2) Cohomologie des variétés ⌜schémas⌝ quasi-projectifs lisses non propres. \[ X = X' - Y, \qquad X' \text{ projectif et lisse, } Y \text{ diviseur} \] à croisements normaux, tels que les comp. irréd. $Y_i$ soient lisses. \[\begin{gather*} \text{\struck{$H^{i-1}(X', \mathbb{Q}_\ell)$}} \to H^{i-1}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}(X', \mathbb{Q}_\ell) \\ \to H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i+1}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell) \to \cdots \end{gather*}\] marqué (a) dans un cercle en marge ; sous $H^{i-1}(Y)$ « poids $\leqslant i-1$ », sous $H^{i}(X')$ « poids $i$ », sous $H^{i}(Y)$ « poids $\leqslant i$ »

On trouve que \[ \text{a) \struck{l'image}}\ \mathrm{Im}\bigl(H^{i-1}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell)\bigr) = \mathrm{Ker}\bigl(H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}(X', \mathbb{Q}_\ell)\bigr) \] ne dépend pas de la résolution choisie : c'est la partie de poids $\leqslant i-1$ de $H^{i}_{!}(X, \mathbb{Q}_\ell)$.

[…] Les Ker et Coker de \[ \varphi^{i} : H^{i}(X', \mathbb{Q}_\ell) \to H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell), \] à isom. cano. près, sont aussi indépendants de la résolution choisie. […] ⌜Considérons la filtration de division⌝ […] […] $H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell)$ provenant de la suite spectrale étudiée dans 1), \[ E_2^{pq} = H^{p}(\sigma \mapsto H^{q}(Y_\sigma, \mathbb{Q}_\ell)), \] correspondant aux […] des $(p+q = i)$. L'homom. \[ H^{i}(Y, \mathbb{Q}_\ell) \to E_2^{0,i} = H^{0}(\sigma \mapsto H^{i}(Y_\sigma, \mathbb{Q}_\ell)) = \mathrm{Ker}\bigl(H^{i}(Y_\alpha, \mathbb{Q}_\ell) \rightrightarrows \cdots\bigr) \] le dernier terme, surchargé en bas de page, est lu d'après le contexte ; la phrase se poursuit au-delà de ce lot

Appendice. 6. Groupes ⌜et algèbres⌝ de Lie associés aux représentations \(\ell\)-adiques de groupes pro-finis

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