Fonds Grothendieck, cote n° 34, pages 141–160

Le feuillet porte la pagination de l'auteur « V.14 » ; la remarque 3.2 prolonge le §3 commencé avant ce lot.

Remarque 3.2. a) Lorsque X_s est localement une intersection complète, ~~alors~~ et purement de dimension n, alors ~~l'hyp. p~~ ~~les hypothèses~~ il en est de même de X_{\bar\eta}, et les hypothèses (3.1.1) et (3.1.2) se vérifient, avec m = n. ~~Alors~~ Nous verrons cependant plus bas (au § 5) que l'on peut (sous réserve de conjectures raisonnables ~~dans~~ (3.3)) préciser (3.1.3) le résultat, ~~(3.3)~~ à l'énoncé (3.) en écrivant \underline{\Phi}^i_\nu = 0 pour i \leq n-d.

b) P_{<2} exacte, même si X_{\bar\eta} et X_s sont ~~intersections complètes~~ lisses en dimension n, ~~et, n = 1~~, et si les hypothèses (3.1.1) et (3.1.2) sont satisfaites ~~pour~~ avec m = n, on voit qu'on ne peut en général améliorer la conclusion (3.1.3) d'une nullité comme dans a). ~~Prenant~~ Prenons pour , p. ex. ~~de X' lisse~~ ~~connexes (p. ex.~~ ~~sur S à fibres géom.~~ X' = \mathbb{P}^1_S \sqcup \mathbb{P}^1_S et pour X le schéma déduit de X' en identifiant deux pts distincts (de X'_s rationnels sur k, situés dans deux composantes distinctes de X'_s. Alors ~~les hypothèses~~ X satisfait les hypothèses avec m = n = 1, d = 0, cependant ~~la conclusion~~ on n'a pas \underline{\Phi}^1 = 0, l'homomorphisme canonique H^0(X_0) \to H^0(X_{\bar\eta}) bijectif, puisque X_0 est connexe mais X_{\bar\eta} ne l'est pas.

Pagination de l'auteur « V.15 ».

3.3. Notre but dans la suite de ce § est de donner des résultats locaux sur la nullité des (\underline{\Phi}^i_\nu), tout analogues aux résultats globaux précédents, qui s'appliqueront en des hypothèses projectives pour f : X \to S. La notion utilisée sera la notion de profondeur locale (SGA 2 XIV 4.5), qui remplace la notion de profondeur globale. Il n'est prouvé que nous visons à disposons du th. de résolution des singularités et du th. de profondeur affine locale, ~~dans divers~~ lesquels sont des résultats de SGA 4 XIV, XVI, XIX, il en est admis ) d'égale caractéristique p, lorsqu'on dispose de la résolution des singularités pour les schémas caractéristiques , seulement en caractéristique nulle. Dans le cas où S est de caractéristique inégale, que nous disposons d'explicites ; cela à un ingénieux que obligé pour le cas de la car. nulle, on en a déjà les avec des restrictions dimensionnelles draconiennes (\dim X_\eta \leq 2). Les lignes centrales de ce feuillet, d'une écriture rapide, sont en grande partie illisibles ; on n'en donne que les mots lus. Le sens général : les résultats locaux supposent la résolution des singularités et le théorème de profondeur affine locale, acquis en caractéristique nulle, et en caractéristique inégale seulement sous des restrictions de dimension.

Pagination de l'auteur « V.16 ». Le numéro « 3 » du paragraphe est corrigé en « 4 », et de même dans les numéros de formules (3.x.y devenu 4.x.y) ; on donne les numéros corrigés.

4. ~~Le cas~~ Situation locale des cinq schémas.

4.1. Soient ~~x \in~~ x \in X_0, \bar x un pt géométrique au-dessus, X' le localisé strict de X en \bar x, posons (4.1.1)\qquad V = X' - \{\bar x\}, \quad V_s = V \times_S s, \quad V_\eta = V \times_S \eta = V - V_s, V_{\bar\eta} = \text{\struck{$V \times_S \bar\eta$}} = V_\eta \times_\eta \bar\eta . En plus de ces quatre schémas, ~~nous ferons~~ nous en considérons un cinquième. À À cet effet, considérons le normalisé \bar S de S dans \bar K : (4.1.2)\qquad \bar S \longrightarrow S, \qquad \bar S = \varprojlim S_\alpha , ~~et posant~~ où les S_\alpha sont les normalisés de S dans les extensions finies K_\alpha de \bar K / K. On pose (4.1.3)\qquad \bar V = V \times_S \bar S = \varprojlim V_\alpha, \qquad V_\alpha = V \times_S S_\alpha . ~~Sont alors~~ Évidemment on a ~~\bar V_s =~~ une immersion ouverte ~~\bar V_\eta = \bar V \times_S \eta \simeq V_{\bar\eta} = \bar V \times_S \bar\eta \simeq V_{\bar\eta}~~ (4.1.4)\qquad V_{\bar\eta} \hookrightarrow \bar V , identifiant V_{\bar\eta} à la fibre générique de \bar V sur \bar S [resp. sur S], et le complémentaire ~~V_s~~ \bar V - V_{\bar\eta} s'identifie à ~~V_{s}\times_s\bar s~~ (4.1.5)\qquad V_{\bar s} = V_s \otimes_{k(s)} k(\bar s), où \bar s est le point fermé de \bar S. Notons que la projection (4.1.6)\qquad V_{\bar s} \longrightarrow V_s induit une équivalence des sites étales (SGA 4 VIII ) (car k(\bar s) est une extension radicielle de k(s)), et ~~permet~~ permet donc d'identifier V_s et V_{\bar s}.

Dans la marge gauche, à hauteur de (4.1.4), un croquis en cube des cinq schémas au-dessus de S : V \leftarrow \bar V, V_\eta, V_{\bar\eta} en haut, S, \bar S, \eta, \bar\eta, s en bas, reliés par des flèches ; plusieurs traits sont repassés et une partie du croquis est biffée.

Pagination de l'auteur « V.17 ».

Finalement nous trouvons un diagramme commutatif ~~à carrés cartésiens~~

\begin{tikzcd} V_s \arrow[r, hook, "i"] & V & V_\eta \arrow[l, hook', "j"'] \\ V_{\bar s} \arrow[u, "h_s"', "\wr"] \arrow[r, hook, "\bar i"] & \bar V \arrow[u, "h"] & V_{\bar\eta} \arrow[l, hook', "\bar j"'] \arrow[u, "h_\eta"'] \end{tikzcd}

(4.2), dans lequel ~~les flèches~~ les deux carrés sont cartésiens au , qui concerne V_{\bar s}) V_{\bar s} et V_{\bar\eta} sont resp. les images inverses des fermé resp. ouvert (V_s et V_\eta de V, et et où h_s en fait équivalence des sites étales.

~~3.5. Les cinq~~ Les cinq schémas essentiellement distincts (V_s, V, V_\eta, V_{\bar\eta}, \bar V jouent, du point de vue topologique, des rôles bien distincts :

V_s définit la structure topologique locale de la fibre X_0 en x ; V définit la structure topologique locale du schéma ambiant X en x ; V_\eta = V - V_s fournit, les structures cohomologiques reliant V_s et V ; V_{\bar\eta} fournit les ~~cohomologie~~ groupes des ~~cohomologie~~ cycles évanescents de X en x [ Il est relié à V_\eta par V_{\bar\eta} = V_\eta \times_\eta \bar\eta, et à V_s par la cohomologie la suite ~~exacte~~ spectrale habituelle] ; \bar V permet de mettre en relation la structure cohomologique de V_s \simeq V_{\bar s}, et celle de V_{\bar\eta}.

Encadré dans la marge gauche, avec une flèche vers « cycles évanescents » : Noter (4.2.1) (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x} \simeq H^{i-1}(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) si i \geq 2, 0 \to (\underline{\Phi}^0_\nu)_{\bar x} \to \Lambda_\nu \to H^0(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \to (\underline{\Phi}^1_\nu)_{\bar x} \to 0 suite exacte.

On voit donc que les rôles de V_\eta et \bar V

Pagination de l'auteur « V.18 ».

sont relativement auxiliaires, contrairement à ~~celle~~ ~~Je que~~ ~~On peut dire que schémas~~ ceux de V_s, V, V_{\bar\eta}. ~~qui des informations~~ La connaissance de la structure topologique de ces derniers constitue ~~structure topologique des~~ l'essentiel de l'étude topologique de f : X \to S au voisinage du point x.

4.3. D'autre part, le groupe I opère sur \bar V par S-automorphismes, via (3.4), via son opération sur \bar S, en induisant des opérations triviales sur V_{\bar s}, et sur V_{\bar\eta} les V_{\bar\eta}- opérations évidentes via V_{\bar\eta} \simeq V_\eta \times_\eta \bar\eta.

4.4. Explicitons maintenant, par des triangles exacts dans des catégories dérivées convenables, les principales relations entre les cohomologies des cinq schémas envisagés, en choisissant des coefficients \Lambda_\nu = \mathbb{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbb{Z} comme de la torsion. Nous considérons \mathbb{R}\Gamma(\bar V, \Lambda_\nu)un indice I est biffé sous \Gamma comme élément de D(\Lambda_\nu[I]), catégorie dérivée de la catégorie des \Lambda_\nu-modules à action admissible de I. Pour rappeler ce fait, nous écrivons plutôt \mathbb{R}(\Gamma, I)(\bar V, \Lambda_\nu) ; l'application du foncteur oubli : est déjà redonne \mathbb{R}\Gamma(\bar V, \Lambda_\nu). On a alors un triangle exact

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \mathbb{R}(\Gamma, I)(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \arrow[dl] & \\ \mathbb{R}(\Gamma, I)(V_{\bar s}, \underline{\Phi}^\bullet_{V_s}) \arrow[rr] & & \mathbb{R}(\Gamma, I)(\bar V, \Lambda_\nu) \arrow[ul, "\bar j^*"'] \end{tikzcd}

(A), où \underline{\Phi}^\bullet_{V_s} = \mathbb{R}\Gamma_{V_{\bar s}}(\Lambda_{\nu\,\bar V}), peut aussi s'interpréter comme Le numéro (A) est écrit dans la marge, sur un numéro biffé illisible. La flèche descendante gauche porte une petite marque, sans doute le degré +1 du triangle.

Pagination de l'auteur « V.19 ».

la restriction à V_s du complexe \underline{\Phi}^\bullet_\nu à opérateurs I sur X_0, déjà introduit introduit dans III 1 (du moins, pour ses faisceaux de cohomologie, qui y sont notés \underline{\Phi}^q_\nu). Par application du foncteur oubli, on trouve un triangle dérivé

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \mathbb{R}\Gamma(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \arrow[dl] & \\ \mathbb{R}\Gamma(V_s, \underline{\Phi}^\bullet_\nu) \arrow[rr] & & \mathbb{R}\Gamma(\bar V, \Lambda_\nu) \arrow[ul, "\bar j^*"'] \end{tikzcd}

(A'). ~~(A) le foncteur \mathbb{R}\Gamma^I,~~ ~~Lorsque~~ ~~triangle exact~~ Supposons que (4.4.1)\qquad (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x} = 0 \quad \text{pour } i < m , ~~la suite exacte~~ alors (A') donne (4.4.2)\qquad H^i(V_s, \underline{\Phi}^\bullet_\nu) = 0 \quad \text{pour } i < m , et la suite exacte : (A') donne (4.4.3)\qquad H^i(\bar V, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \bar j^*\ } H^i(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \quad \begin{cases} \text{injectif pour } i \leq m-1 \\ \text{bijectif pour } i \leq m-2 . \end{cases} Les deux conditions sont entourées ; l'inégalité de la première ligne est écrite sur une autre biffée, et pourrait être i = m-1.

Si (4.4.1) est vrai pour m = +\infty, i.e. si x est un pt de l'ens. des points de locale acyclicité de f : X \to S, on trouve donc \mathbb{R}(\Gamma, I)(V_s, \underline{\Phi}^\bullet_\nu) = 0 , i.e. que ~~\mathbb{R}\Gamma, I~~ \mathbb{R}(\Gamma, I)(\bar V, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \bar j^*\ } \mathbb{R}(\Gamma, I)(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) est un isom., i.e. H^i(\bar V, \Lambda_\nu) \xrightarrow[\sim]{\ \bar j^*\ } H^i(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \quad \text{pour tout } i , on (4.4.) pour tout i.

Encadré dans la marge gauche, écrit le long du bord, sous le titre (A') : qui peut aussi s'écrire (4.4.4) H^i_x(\bar V, \Lambda_\nu) \to (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x} bijectif si i < m , compte tenu de (4.4.5) H^i_{\bar x}(\bar X, \Lambda_\nu) \simeq \varinjlim_m H^i_x(V(m), \Lambda_\nu) , H^i(\bar V, \Lambda_\nu) \to H^i(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) déduite de la relation 4.2.1 et des relations , déduite des homomorphismes V_{\bar\eta} \to \bar V . L'encadré marginal, écrit perpendiculairement au texte et en partie recouvert par une accolade, n'est lu que par fragments.

Pagination de l'auteur « V.20 ».

Dans ce dernier cas, l'inclusion V_{\bar\eta} \to \bar V induit un isomorphisme sur le type cohomologique (à coeff. dans \Lambda_\nu), et on peut dire que les cinq schémas initiaux se réduisent à quatre, V_s, V, V_\eta, V_{\bar\eta} (on est débarrassé du seul \bar V des cinq schémas qui n'est pas noethérien !).

4.5. L'inclusion V_{\bar s} \hookrightarrow \bar V définit de même un homomorphisme (4.5.1)\qquad \mathbb{R}(\Gamma, I)(\bar V, \Lambda_\nu) \longrightarrow \mathbb{R}(\Gamma, I)(V_s, \Lambda_\nu) qui s'insère dans un triangle exact

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, nodes={font=\small}] & \mathbb{R}(\Gamma, I)(V_{\bar s}, \Lambda_\nu) \simeq \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu)^{\mathrm{triv}} \arrow[dl] & \\ \mathbb{R}(\Gamma, I)(\bar V, (\Lambda_\nu)_{V_{\bar\eta}, \bar V}) \arrow[rr] & & \mathbb{R}(\Gamma, I)(\bar V, \Lambda_\nu) \arrow[ul, "\bar i^*"'] \end{tikzcd}

(B).Le numéro (B) remplace dans la marge un numéro biffé, peut-être « (4.2.3) ». Dans le terme du haut, V_{\bar s} est écrit sur un autre indice biffé.

L'application du foncteur oubli I au diagramme donne

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu) \arrow[dl] & \\ \mathbb{R}\Gamma(\bar V, (\Lambda_\nu)_{V_{\bar\eta}, \bar V}) \arrow[rr] & & \mathbb{R}\Gamma(\bar V, \Lambda_\nu) \arrow[ul, "\bar i^*"'] \end{tikzcd}

(B').

~~Sous la condition (4.5.2)~~

Pagination de l'auteur « V.21 ».

5. Application du th. de profondeur locale (SGA 2 XIV 4).

5.0. Cf. les commentaires dans 3.3. sur les hypothèses faites quand nous appliquerons les théorèmes de profondeur locaux.

5.1. Soit f : X \to S loc. de type fini, S str. local hensélien, et soit x \in X_0. Soit m' \in \mathbb{Z} et supposons que l'on ait ~~(conditions d'hypothèse~~ (5.1.1)\qquad (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x'} = 0 pour tout pt géom. \bar x' voisin de x dans X_0, et i \leq m'. On Nous considérons cette hypothèse comme une hypothèse de récurrence, et nous proposons de donner des conditions moyennant conclure (*)\qquad (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x} = 0 \quad \text{si } i \leq m . Notons que l'on sait déjà que (5.1.1) implique \text{\struck{$(5.1.1)\quad H^i(\bar V, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\sim} H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu)$ si $i < m'$}} (5.1.2)\qquad (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x} = H^i_x(\bar X', \Lambda_\nu) = \varinjlim_h H^i_x(X(h), \Lambda_\nu) \quad \text{pour } i \leq m' . Par suite, la relation (*) ~~équivaut~~ résulterait de la relation H^i_x(X(h), \Lambda_\nu) = 0 pour i \leq m', \forall h, i.e. ~~(5.1.3)~~ de la relation (5.1.3)\qquad \operatorname{prof}_x(X(h)) \geq m'+1 \quad \text{pour tout } h . Les numéros (5.1.1) et (5.1.3) sont cerclés dans la marge.

D'où on conclut aussitôt, par récurrence sur \dim \mathcal{O}_{X_0,x} = r : l'énoncé suivant.

~~Proposition~~ Théorème 5.2. Soit Z une partie de X_0, (supposons . Supposons que :

a) Pour toute générisation x' de x dans X_0, ~~distincte de x,~~ contenue dans X_0 - Z, on a (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x'} = 0 si i \leq m'.

Pagination de l'auteur « V.22 ».

(c'est le cas si on suppose p. ex. que Z est l'ensemble des pts de X_0 en lesquels f n'est pas lisse).

b) Pour toute générisation x' de x dans Z, ~~distincte~~ on a et tout h, \operatorname{prof}_{\bar x'}(X(h)) \geq m'+1 , ~~(ce qui est le cas~~ Alors on a (5.2.1)\qquad (\underline{\Phi}^i_\nu)_x = 0 \quad \text{si } i \leq m' , i.e. f est loc. (m'+1)-acyclique en x, pour \{\ell\}, donc si f est propre, on a (5.2.2)\qquad H^i(X_0, \Lambda_\nu) \longrightarrow H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) un isom. si i < m', mon. si i = m'.

Toute la suite du feuillet, depuis « Corollaire 5.3 » jusqu'en bas, est encadrée et biffée de deux longues diagonales ; on la donne entière comme passage biffé. ~~Corollaire 5.3. Soit Z une partie de X_0, , supposons~~ ~~d = \sup \dim \overline{\{x'\}} (x' \in Z, x' générisation de x),~~ ~~(5.3.1) m = \ill{}, 1+m = \sup_h \ill{}.~~ ~~Alors on a, supposons que a) (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x'} = 0 si i \leq m-d, pour x' \in X - Z, x \in \overline{\{x'\}},~~ ~~b) Pour toute générisation x' de x dans X_0, \operatorname{prof}^x_{x'}(X_0) \geq m+1 si x' \in X_0 \operatorname{prof}^x_{x'}(X_y) = 0 si x' \in X_y).~~ ~~i.e. f est loc. (m-d)-acyclique en x, pour \{\ell\}.~~ ~~Alors~~ ~~Résulte formellement de 5.2, en y faisant m' = m-d, la condition a) de 5.2 étant satisfaite par de (5.3.2), et la condition b) résultant de~~

Pagination de l'auteur « V.23 ».

Encadré en haut à gauche : ~~Supposons~~ la condition a) de 5.2 satisfaite. (Cf. 5.0. sur les hypothèses préliminaires) de 5.2. (dans la conclusion 5.2.1)

Corollaire 5.3. La condition b) est satisfaite dans chacun des cas suivants (i) et (ii), où on a posé d = \sup \dim \overline{\{x'\}}, ~~x' \in Z~~, où x' parcourt les générisations de x dans X_0 :

~~(i)~~ Cas I. Pour toute générisation x' de x dans X, on a (5.3.1)\qquad \begin{cases} \operatorname{prof\,et}^*_{x'}(X_0) \geq m'+1 & \text{si } x' \in Z \\ \operatorname{prof\,et}^*_{x'}(X_{\bar\eta}) \geq m' + \dim \overline{\{x\}} & \text{si } x' \in X_{\bar\eta} , \end{cases} ce qui est le cas si on suppose que m' = m-d-1, avec m un entier tel que (5.3.2)\qquad \begin{cases} \operatorname{prof\,et}^x_{x'}(X_0) \geq m & \text{pour toute \add{générisation} } x' \in Z \text{ de } x \\ \operatorname{prof\,et}^x_{x'}(X_{\bar\eta}) \geq m-1 & \text{pour toute gén. $x'$ de $x$ dans $X$, avec } x' \in X_{\bar\eta} . \end{cases} L'astérisque en exposant de « prof et » est écrit sur un autre signe ; dans (5.3.1) le second membre de la deuxième ligne porte une rature avant « +\dim ».

Cas II. ~~Pour toute générisation~~ ~~On a~~ Le morphisme f est plat en x, et on a ~~générisation x' de x dans Z,~~ \text{\struck{$\ill{}$}}\quad m' = \operatorname{prof\,géom}^*_x(X_0) - d , où \operatorname{prof\,géom}^*_x(X_0) \overset{\mathrm{df}}{=} \operatorname{prof\,géom}_x(X_0) + \dim \overline{\{x\}} (cf. SGA 2 XIV 5.3 pour la notion de profondeur géométrique), ~~le cas si on fait , entier tel que \operatorname{prof\,géom}^*_x(X)~~. Un passage encadré, à la fin du cas II, est biffé de traits croisés ; on n'en lit que « prof géom^* ».

Démonstration. Cas I. Les relations (5.3.1) et et se stabilisent par générisation et par changement de X en X(h), il suffit de vérifier qu'elles entraînent (*)\qquad \operatorname{prof\,et}_x(X) \geq m'+1 . Or la deuxième des relations (5.3.1) s'écrit ~~s'écrivent~~ \operatorname{prof\,et}_{x'}(X') + \dim \overline{\{x'\}}^{(X_{\bar\eta})} \geq m' + \dim \overline{\{x\}} , or \dim \overline{\{x'\}}^{(X_{\bar\eta})} = \dim \overline{\{x'\}}^{X} - 1 = \dim \overline{\{x\}} + \dim \overline{\{\bar x'\}}^{(X')} - 1 où \bar x' est un pt de X' au-dessus de x', donc on trouve Au-dessus de la première égalité, en marge droite, une variante : « = \dim \overline{\{x\}} + \dim \overline{\{\bar x'\}}^{(V)} ».

Pagination de l'auteur « V.24 ».

l'interpréter en disant que pour x' \in X'_{\bar\eta} = X' - X'_0, on a \operatorname{prof\,et}_{x'}(V) + \dim \overline{\{x'\}}^{(V)} \geq m' \ \text{\struck{$\ill{}$}} , ce qui par le th. de profondeur locale SGA 1 XIV 4.5 sic, sans doute pour SGA 2. implique que H^i(V) \longrightarrow H^i(V_s) \quad \text{est}\quad \begin{cases} \text{bijectif pour } i < m'-1 \\ \text{injectif pour } i = m'-1 . \end{cases} Dans la marge gauche, en oblique : il suffirait que ce soit bijectif pour i \leq m'-1 , injectif pour i = m' . Donc il ~~suffit, pour la relation~~ est ~~que~~ équivalent à \operatorname{prof\,et}^*_x(X_0) \geq m'+1, ce qui est la première des relations (5.3.1). Le fait que les relations, (5.3.2) impliquent les relations (5.3.1) est d'autre part immédiat.

Cas II. Dans ce cas, l'hypothèse est évidemment stable par passage de X à X(h), il suffit de vérifier ~~générisation, condition~~ qu'elle implique (**)\qquad \text{\struck{$\operatorname{prof\,et}_{x'}(X) \geq m'+1$}} pour toute génér. x' de x dans Z. Or on a (lemme 5.3.3 (ii) (plus bas !)) \text{\struck{$\operatorname{prof\,et}_{x'}(X) \geq \operatorname{prof\,et}'_x$}} \operatorname{prof\,géom}_{x'}(X_0) \geq \operatorname{prof\,géom}_x(X) \ \text{\struck{\ill{}}}\ \operatorname{codim}(\overline{\{x\}}, \overline{\{x'\}}) et, comme \operatorname{codim}(\overline{\{x\}}, \overline{\{x'\}}) = \dim \overline{\{x'\}} - \dim \overline{\{x\}} \leq d - \dim \overline{\{x\}}, on trouve \operatorname{prof\,géom}_{x'}(X_0) \geq \operatorname{prof\,géom}^*_x(X_0) \ \text{\struck{\ill{}}}\ - d = m' . D'autre part, par le lemme 5.3.3 (ii) (plus bas), on \operatorname{prof\,géom}_{x'}(X) \geq \operatorname{prof\,géom}_{x'}(X_0) + 1 , Sous « +1 », une glose : « = \operatorname{prof\,géom}_s(S) ». donc on en conclut \operatorname{prof\,géom}_{x'}(X) \geq m'+1 .

Pagination de l'auteur « V.25 ».

D'autre part, le th. de profondeur locale entraîne (SGA 1 XIV 5.6) sic, sans doute pour SGA 2. \operatorname{prof\,et}_{x'}(X) \geq \operatorname{prof\,géom}_{x'}(X) , d'où pour (**), cqfd.

Je vérifie : conjectures suivantes

Lemme 5.3.3. (i) Soit A un anneau local noethérien, \mathfrak{p} un idéal premier de A. Alors on a \operatorname{prof\,géom} A_{\mathfrak{p}} \geq \operatorname{prof\,géom} A - \dim A/\mathfrak{p} .

(ii) Soit A \to B un local d'anneaux locaux noethériens, avec B plat sur A, k le corps résiduel de A, K celui de B, et supposons qu'il existe un anneau local noethérien C k, formellement ~~lisse~~ sur k de corps résiduel K (condition satisfaite toujours si K est une extension de type fini de k). Alors on a \operatorname{prof\,géom} B \geq \operatorname{prof\,géom} A + \operatorname{prof\,géom} B \otimes_A k .

Donner démonstration, !

Le reste du feuillet est blanc, sauf une note en bas de page. En bas de page : (*) Cette condition est peut-être inutile. Pour une généralisation cf. EGA 0_{\mathrm{IV}} 22.2.2.

Pagination de l'auteur « V.26 ».

Voici un corollaire du cas II :

Corollaire 5.4. Supposons X plat sur S et X_0 loc. intersection complète et purement de dimension n. Alors on a \underline{\Phi}^i_\nu = 0 \quad \text{pour}\quad i \notin [n-d+1, n+d+1] , Au-dessus, une première version biffée : « i \notin [n-d+1, n+1] » puis « 0 \leq n-d » ; une variante « i \notin [n-d+1, n+1] » est récrite au-dessus de la ligne biffée. où d est la dimension de l'ens. Z des pts de X_0 en lesquels f n'est pas lisse, et \underline{\Phi}^i_\nu = 0 \quad \text{si } i \neq n+1 . En particulier, si d = 0, on a \underline{\Phi}^i_\nu = 0 \quad \text{si } i \neq n+1 , donc l'homomorphisme H^i(X_0, \Lambda_\nu) \longrightarrow H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) est un isomorphisme si i \neq n, n+1, un monomorphisme pour i = n, de plus un épimorphisme pour i = n+1 ; ( cela, dans pour dimension I sur H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) ~~est triviale~~, H^i(X_{\bar\eta}, \mathbb{Z}_\ell)) est triviale si i \neq n. La parenthèse finale, serrée entre les lignes, n'est lue que par fragments.

5.5. Pour terminer ce paragraphe, nous allons donner une variante des résultats précédents pour la cohomologie non commutative. Supposons pour fixer les idées f loc. 1-acyclique en les générisations distinctes de x de x, trouver conditions de locale 1-asphéricité en x, pour l'un et pour prendre \mathbb{L}. Je dis que pour tout \mathbb{L}-groupe fini G, :

\begin{tikzcd} V \arrow[r, no head] \arrow[d, no head, "\cap" description] & \bar V \arrow[dd, no head] \\ X' \arrow[d, no head] & \\ S & \bar S \arrow[l] \end{tikzcd}

(5.5.1)\qquad H^i(\bar V, G) \xrightarrow{\ \sim\ } H^i(V_{\bar\eta}, G) \quad \text{si } i \leq 1 . Le petit diagramme est dans la marge gauche, en face de 5.5 ; seule la flèche \bar S \to S porte une pointe, les autres traits sont transcrits sans tête, et le signe entre V et X' est lu comme une inclusion.

Pagination de l'auteur « V.27 ».

Donc pour avoir la locale 1-asphéricité pour \mathbb{L} en x, il suffit de supposer que l'on a, pour tout tel G : (5.5.2)\qquad H^i(V(h), G) = 0 \quad \text{si } i \leq 1 . On sait que cette condition est vérifiée ~~les~~ ~~X(h) sont~~ les intersections complètes de dim \geq 3 en x, (c'est sans doute dire que leur prof géom en x est \geq 3). Lorsque f est plat en x, cela signifie aussi que X_0 est une int. complète de dimension \geq 2 en x. Utilisant le th. de locale 1-asphéricité pour les morphismes lisses, on trouve ainsi le

Théorème 5.6. Supposons que f : X \to S soit plat, pour l'ens. Z des points de X_0 en lesquels f n'est pas lisse, soit de codimension \geq 2, et que X_0 soit une intersection complète locale en tout ses points. Alors f est localement 1-asphérique pour \mathbb{L} \mathbb{L} \neq \mathbb{P} - \{p\}. En particulier si f est propre, alors pour tout groupe fini G (d'ordre premier à p), l'homomorphisme de spécialisation H^1(X_0, G) \longrightarrow H^1(X_{\bar\eta}, G) est un isomorphisme.

Remarque 5.7. a) Je doute qu'il doive être possible de remplacer l'hypothèse que X_0 soit une intersection complète par celle que pour tout x \in Z, on ait \operatorname{prof\,géom}_x(X_0) \geq 2, cela résultant d'une relation affirmative : SGA 1 XIV 6.3 Le feuillet s'achève sur ce deux-points ; la suite au feuillet suivant.

Pagination de l'auteur « V.28 ». Suite de la remarque 5.7.

b) Les résultats précédents suggèrent la conjecture suivante (au moins pour A, B excellents) :

Soit f : X \to S un morphisme plat de schémas = \operatorname{Spec} B, = \operatorname{Spec} A strictement locaux, noethériens, ~~à fibres géométriques~~ s le point fermé de S, X_0 = f^{-1}(s), ~~X_0, k le corps, le pt~~ ~~condition (R_d)~~ ~~fait~~ (R_d), et que pour tout ~~X_0 soit géométriquement~~ extension finie k' de k = k(s), l'ens. des points singuliers de X_0 \otimes_k k' soit de dim \leq d, ~~condition R_d, et supposons~~ posons m = \operatorname{prof\,géom} B. Alors f est loc. (m-d-1)-acyclique, ~~et si m-d-1 \geq 1~~ pour \mathbb{L} = \mathbb{P} - \{p\}, p car. résiduelle de A), et si m-d-1 \geq 1 i.e. m-d \geq 2, f est loc. 1-asphérique pour \mathbb{L}. ~~Cela~~ Il est plausible que cela soit démontrable comme conséquence de la conjecture déjà citée SGA 1 XIV 6.3, et de la résolution des singularités pour les schémas finis sur S. Les lignes du milieu, surchargées de ratures, ne sont lues que partiellement ; l'ordre des clauses suit la lecture la plus probable.

Pagination de l'auteur « V.29 ». À partir d'ici le groupe opérant est noté \pi ; p. 157 il précise \pi = I.

6. Cas d'un point isolé dans X_0 non lisse maximal

(6.1) Soit x \in X_0, et ~~supposons~~ reprenons les notations du §4. Nous supposons que l'on a pour tout i (6.1.1)\qquad \underline{\Phi}^i_\nu | V = 0, \ \text{i.e.}\ (\underline{\Phi}^i_\nu)_{\bar x'} = 0 \ \text{pour toute gén. } x' \neq x \text{ dans } X_0 . Condition satisfaite en particulier si x est un point maximal de l'ensemble Z des pts de X_0 en lesquels f n'est pas lisse, ~~et lorsque f plat, il (4.4.3) de X dominant et x~~. Un passage encadré et biffé, renvoyant à (4.4.3), n'est pas lu. L'inclusion V_{\bar\eta} \longleftarrow \bar V définit alors un isomorphisme (6.1.2)\qquad \mathbb{R}\Gamma(\bar V, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{R}\Gamma(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) i.e. des isomorphismes (6.1.3)\qquad H^i(\bar V, \Lambda_\nu) \simeq H^i(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) . La flèche « V_{\bar\eta} \leftarrow \bar V » est orientée ainsi sur la page, à rebours de l'inclusion (4.1.4). On peut en un certain sens préciser \mathbb{R}, (6.1.2) s'écrit (6.1.4)\qquad \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(\bar V, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) . Donc, au point de vue de leur structure cohomologique, la situation des 5 schémas (4.2) se réduit aux quatre schémas V_s \simeq V_{\bar s}, V, V_\eta, V_{\bar\eta}.

(6.2) L'inclusion V_{\bar s} \to \bar V donne donc un homomorphisme (6.2.1)\qquad u = (k^*_\pi)^* : \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \longrightarrow \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(V_{\bar s}, \Lambda_\nu) , La flèche (6.2.1) est encadrée ; au-dessus, deux gloses entourées identifient la source à K^\bullet et le but à « (L^\bullet)^{\mathrm{triv}}, où L^\bullet = \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu) ». qui s'insère dans le triangle distingué

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, nodes={font=\small}] & \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(V_{\bar s}, \Lambda_\nu) \simeq \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu)^{\mathrm{triv}} = L^{\bullet\,\mathrm{triv}} \arrow[dl] & \\ R^\bullet = \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(\bar V, (\Lambda_\nu)_{V_{\bar\eta}, \bar V}) \arrow[rr] & & \mathbb{R}(\Gamma, \pi)(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) = K^\bullet \arrow[ul] \end{tikzcd}

(6.2.2).

Encadré en bas à gauche : compte tenu que \pi opère trivialement sur V_{\bar s} = V_s.

Pagination de l'auteur « V.30 ».

L'homomorphisme u, (ou ce qui revient au même, le triangle (6.2.2) correspondant) domine la structure cohomologique des quatre schémas V_s \simeq V_{\bar s}, V, V_\eta, V_{\bar\eta}, en ce sens qu'il permet de retrouver formellement les cohomologies (à coefficients constants) des schémas envisagés. Appliquant le foncteur « oubli des \pi » à 6.2.2, on trouve le triangle exact

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu) = L^\bullet \arrow[dl] & \\ R^{\bullet\,\mathrm{ab}} = \mathbb{R}\Gamma(\bar V, (\Lambda_\nu)_{V_{\bar\eta}, \bar V}) \arrow[rr] & & \mathbb{R}\Gamma(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) = K^{\bullet\,\mathrm{ab}} \arrow[ul, "k^*"'] \end{tikzcd}

(6.2.3), qui donne la cohomologie (sans opérations) de V_{\bar\eta} et V_s et l'homomorphisme du premier dans le second défini par l'inclusion V_{\bar s} \xrightarrow{\ \bar i\ } \bar V \overset{\mathrm{coh.}}{\simeq} V_{\bar\eta} , Sous cette ligne, une flèche pointillée notée k va de V_{\bar s} à V_{\bar\eta} : la « flèche » cohomologique obtenue en composant l'inclusion avec l'inverse de l'isomorphisme cohomologique (6.1.2). D'autre part, appliquant à (6.2.1) ou (6.2.2) le foncteur \mathbb{R}\Gamma^\pi, on trouve

\begin{tikzcd}[column sep=tiny, nodes={font=\small}] & \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu) \overset{\mathbb{L}}{\otimes}_{\Lambda_\nu} \mathbb{R}\Gamma^\pi(\Lambda_\nu) \simeq L^\bullet \oplus L^\bullet[-1] \arrow[dl] & \\ \mathbb{R}\Gamma^\pi(R^\bullet) \arrow[rr] & & \mathbb{R}\Gamma(V_\eta, \Lambda_\nu) \simeq \mathbb{R}\Gamma^\pi(K^\bullet) \arrow[ul, "\mathbb{R}\Gamma^\pi k^*"'] \end{tikzcd}

(6.2.4), compte tenu que, par la dimension cohomologique de \pi = I, on a (6.2.5)\qquad \mathbb{R}\Gamma^\pi(\Lambda_\nu) \simeq \Lambda_\nu \oplus \Lambda_\nu(-1)[-1] . Gloses de sa main : sous le dernier terme de (6.2.4), « dégénérescence de Leray » ; au-dessus de « [-1] » de (6.2.5), « translat. des degrés » ; sous « \Lambda_\nu(-1) », « twist de Tate ». Dans le terme du haut de (6.2.4), un symbole biffé précède L^\bullet \oplus L^\bullet[-1].

~~L'homomorphisme \mathbb{R}\Gamma^\pi(k^\#) s'identifie à un \mathbb{R}\Gamma(V_\eta, \Lambda_\nu) \longrightarrow~~ Ainsi on retrouve \mathbb{R}\Gamma(V_\eta, \Lambda_\nu), et l'homomorphisme h^* déduit de V_{\bar\eta} \xrightarrow{h} V_\eta n'est autre que l'homomorphisme naturel « d'inclusion » \mathbb{R}\Gamma^\pi(K^\bullet) \to K^\bullet. De plus, l'homomorphisme \mathbb{R}\Gamma^\pi(k^*) se décompose en (6.2.6)\qquad \mathbb{R}\Gamma^\pi(k^*) = (\alpha, \beta) : \mathbb{R}\Gamma(V_\eta, \Lambda_\nu) = \mathbb{R}\Gamma^\pi(K^\bullet) \longrightarrow \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu) + \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu(-1)) La formule (6.2.6) continue au feuillet suivant.

Encadré dans la marge gauche, avec l'en-tête « remarquer le diagramme et le commutatif ! » écrit en oblique : un carré V \leftarrow V_\eta (flèche épaisse, étiquette biffée), V_s \simeq V_{\bar s} \to V (notée i), \bar V \simeq V_{\bar\eta} \to V_\eta (notée h_\eta), et en bas une flèche pointillée k de V_s \simeq V_{\bar s} vers \bar V \simeq V_{\bar\eta}. Sous le carré : « (avec des notations légèrement différentes de celles de (4.2)) ».

Pagination de l'auteur « V.31 ». Suite de (6.2.6).

où \alpha est donné par (6.2.7)\qquad \alpha = k^* h^* , tandis que \beta est un hom. de degré 1 : (6.2.8)\qquad \beta : \mathbb{R}\Gamma(V_\eta, \Lambda_\nu) \longrightarrow \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu)(-1)[-1] .

Cet homomorphisme peut s'interpréter, par la proposition suivante, qui en même temps donne un calcul de \mathbb{R}\Gamma(V, \Lambda_\nu) en termes de la donnée fondamentale (6.2.1) :

Proposition 6.3. a) On a ~~\underline{H}^i_{V_s}(\Lambda_{\nu\,V}) = 0 pour i \neq 2,~~ ~~et \underline{H}^2_{V_s}(\Lambda_{\nu\,V}) \simeq \Lambda_{\nu\,V_s}(-1),~~ (6.3.1)\qquad \underline{H}^i_{V_s}(\Lambda_{\nu\,V}) \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq 2 \\ \Lambda_{\nu\,V_s}(-1) & \text{si } i = 2 , \end{cases} en d'autres termes (6.3.2)\qquad \mathbb{R}\underline{\Gamma}_{V_s}(\Lambda_{\nu\,V}) \simeq \Lambda_{\nu\,V_s}(-1)[-2] , d'où un isom. (6.3.3)\qquad \mathbb{R}\Gamma_{V_s}(V, \Lambda_\nu) \simeq \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu)(-1)[-2] . « canonique » est ajouté sous la ligne, avec un renvoi à la fin de (6.3.3).

b) Considérons le triangle

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \mathbb{R}\Gamma(V_\eta, \Lambda_\nu) \arrow[dl, "\partial"'] & \\ \mathbb{R}\Gamma(V_s, \Lambda_\nu)(-1)[-2] \simeq \mathbb{R}\Gamma_{V_s}(\Lambda_{\nu\,V}) \arrow[rr, "i_*"] & & \mathbb{R}\Gamma(V, \Lambda_\nu) \arrow[ul, "j^*"'] \end{tikzcd}

(6.3.4).L'isomorphisme du terme de gauche est glosé « par (6.3.3) ». La flèche horizontale est notée d'un symbole lu i_*, peut-être \iota_*.

Alors la flèche \partial dudit triangle s'identifie [via l'isomorphisme (6.3.3)] à \beta. À des signes et décalages près, signe ?

~~\mathbb{R}\Gamma(V, \Lambda_\nu)~~ Corollaire 6.4 ~~\mathbb{R}\Gamma(V, \Lambda_\nu) s'identifie au isomorphe~~ Le triangle (6.3.4) n'est autre que le triangle distingué ~~construit avec~~ du « cylindre d'application » du \beta de (6.2.8). Le mot entre guillemets est surchargé ; « cône » ou « cylindre d'application » sont possibles. La parenthèse « À des signes et décalages près » est ajoutée au-dessus de la ligne biffée et porte sur 6.4.

Pagination de l'auteur « V.32 ».

Démonstration lem.

~~\mathbb{R}g_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}})~~ ~~\simeq \mathbb{R}j_*\,\mathbb{R}h_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}})~~ ~~et introduisant V_s \to V, et~~ ~~\mathbb{R}g_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}})~~ ~~\simeq \mathbb{R}j_*\,\mathbb{R}h_*(\ldots)~~ Le début de la démonstration, avec un premier diagramme triangulaire (V_{\bar\eta} \to V notée g, V_{\bar\eta} \to V_\eta notée h, V_\eta \to V notée j), est encadré et biffé ; une glose « h_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}}) » coiffe le terme \mathbb{R}h_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}}).

\begin{tikzcd} V_{\bar s} \arrow[r, "\bar i"] \arrow[d, "g_0"'] & \bar V \arrow[d, "g"] & V_{\bar\eta} \arrow[l, hook', "\bar j"'] \arrow[d, "h"] \\ V_s \arrow[r, "i"'] & V & V_\eta \arrow[l, "j"] \end{tikzcd}

\begin{aligned} \mathbb{R}j_*(\Lambda_{V_\eta}) &\simeq \mathbb{R}j_*\,\mathbb{R}\Gamma^\pi\,\mathbb{R}h_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}}) \\ &\simeq \mathbb{R}\Gamma^\pi\,\mathbb{R}j_*\,\mathbb{R}h_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}}) \\ &\simeq \mathbb{R}\Gamma^\pi\,\mathbb{R}g_*\,\mathbb{R}\bar j_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}}) \\ &\xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{R}\Gamma^\pi\,\mathbb{R}g_*(\Lambda_{\bar V}) \end{aligned} car \Lambda_{\bar V} \simeq \mathbb{R}\bar j_*(\Lambda_{V_{\bar\eta}}), d'où \begin{aligned} i^*\mathbb{R}j_*(\Lambda_{V_\eta}) &\simeq \mathbb{R}\underline{\Gamma}^\pi\, i^*\mathbb{R}g_*(\Lambda_{\bar V}) \\ &\simeq \mathbb{R}\underline{\Gamma}^\pi\,\mathbb{R}g_{0*}(\Lambda_{V_{\bar s}}) \\ &\simeq \mathbb{R}\underline{\Gamma}^\pi(\Lambda_{V_s})^{\mathrm{triv}} \\ &\simeq \Lambda_{V_s} \oplus \Lambda_{V_s}(-1)[-1] \end{aligned} Sur la page, le membre de gauche est écrit « i^*\mathbb{R}j_*(V_{V_\eta}) », sans doute pour i^*\mathbb{R}j_*(\Lambda_{V_\eta}) ; on a normalisé, et de même un \Lambda récrit sur une autre lettre à la deuxième ligne. d'où aussitôt 6.3 a), en utilisant les relations habituelles entre les \underline{H}^i_{V_s}(\Lambda_V) et les \mathbb{R}^i j_*(\Lambda_{V_\eta}).

Compatibilité laissée au rédacteur en forme !

Pagination de l'auteur « V.33 ». Le paragraphe 6.5 s'interrompt en bas de page et continue au-delà de ce lot.

6.5. Utilisons maintenant les résultats du § 2, qui indiquent, ~~si n = \dim \mathcal{O}_{X_0,x}~~ posant (6.5.1)\qquad n = \dim \mathcal{O}_{X_0,x} que l'on a (6.5.2)\qquad H^i(V_{\bar\eta}) = 0 \quad \text{si } i > n . Utilisons les ~~Compte tenu~~ des la suites exactes déduites ~~de 6.3.4~~ de la suite spectrale de Hochschild–Serre ~~H^i(V) \to H^i(V_\eta)~~ H^*(V_\eta) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p(\pi, H^q(V_{\bar\eta})) [déduite de \mathbb{R}\Gamma(V_\eta) \simeq \mathbb{R}\Gamma^\pi\,\mathbb{R}\Gamma(V_{\bar\eta})] : (6.5.3)\qquad \cdots \longrightarrow H^{i-1}(V_{\bar\eta})_\pi \longrightarrow H^i(V_\eta) \longrightarrow H^i(V_{\bar\eta})^\pi \longrightarrow 0 , on trouve donc (6.5.4)\qquad H^i(V_\eta) = 0 \quad \text{si } i > n+1 . ~~Utilisons~~ Écrivons la suite exacte déduite de 6.3.4 (6.5.5)\qquad \longrightarrow H^{i-2}(V_s)(-1) \longrightarrow H^i(V) \longrightarrow H^i(V_\eta) \longrightarrow H^{i-1}(V_s) \longrightarrow H^{i-1}(V) \longrightarrow \cdots , Dans (6.5.5), entre H^{i-2}(V_s)(-1) et H^i(V), un terme est noirci et illisible ; dans (6.5.3), l'exposant du premier terme est écrit sur un autre. on ~~trouve~~ voit que 6.5.4 s'exprime aussi par les relations : (6.5.6)\qquad i_* : H^i(V, \Lambda) \longrightarrow H^{i-2}(V_s) est un isom. si i > n, un épimorphisme si i = n. Les bornes de (6.5.6) sont surchargées : on lit « i > n » suivi d'un chiffre noirci, et « i = n » suivi d'un autre, que l'on ne restitue pas. La flèche i_* va, sur la page, de H^i(V, \Lambda) vers H^{i-2}(V_s), sens contraire de celui de (6.5.5).

Seul en bas de page, un « 6 » isolé, sans suite.