5. Démonstration du théorème de monodromie.

Nous prouvons maintenant 3.2, en utilisant la suite spectrale (2.5 bis de 2.10) (pour \nu variable). Les résultats des n° précédents prouvent que les (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} sont des faisceaux constructibles, donc les E_2^{pq} (pour \nu fixé) sont des groupes finis. Donc, passant à la limite sur \nu, on trouve une suite spectrale, compatible avec les opérations de I_t et de \pi \text{\struck{(5.1)}} \quad \text{\struck{$H^*(\overline{U}, \mathbf{Z}_\ell)^P \Longleftarrow H^p(\widetilde{X}_0, (\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}})$}} avec \text{\struck{(5.2)}} \quad \text{\struck{$(\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}} = \varprojlim_\nu (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}$}} \text{(5.1)} \qquad H^*(\overline{U}, \mathbf{Z}_\ell)^P \Longleftarrow E_2^{pq} = \varprojlim_\nu H^p(\widetilde{X}_0, (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}) . On a vu dans 4.17 que le s-groupe I'_t \subset I_t opère trivialement sur les \underline{\Psi}^q_\nu donc sur les E_2^{pq}(\nu) = H^p(\widetilde{X}_0, \underline{\Psi}^q_\nu), donc sur leur limite E_2^{pq}. Donc I' opère trivialement sur tous les termes de la suite spectrale (5.1), donc sur le gradué associé à l'aboutissement. Comme le filt. gradué, en degré i, a au plus i+1 facteurs, on a gagné.

p. 41 de l'auteur.

6. Application aux faisceaux de cycles évanescents.

6.1. Soit à nouveau X de type fini sur S, trait, strictement local, et soit U un ouvert de X_\eta, que nous supposons régulier. Soit Y = X - U, et Supposons qu'il existe un morphisme propre p : X' \to X, tel que avec X' régulier, p^{-1}(Y) un diviseur à croisements normaux, et U' = p^{-1}(U) \to U un isomorphisme. en marge gauche, un diagramme, transcrit tel qu'il est écrit (les deux sommets de droite portent U).

\begin{tikzcd} X' \arrow[d, "p"'] & U \arrow[l, hook'] \arrow[d, "\wr"] \\ X \arrow[d, "f"'] & U \arrow[l, hook'] \\ S & \end{tikzcd}

(On sait par Hironaka [ ] qu'il en est ainsi si S est excellent de car. nulle, et sans doute il semble plausible qu'il en est de même dès que S est excellent, sans restriction de caractéristique. D'ailleurs l'hypothèse « S excellent » est anodine, car on s'y ramène pour les questions qui nous intéressent par passage au complété). Sous ces conditions Choisissons un entier \ell \neq p, et considérons, pour tout un entier q fixé, les faisceaux \text{(6.1.1)} \qquad (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} = (\underline{\Psi}^q_\nu)^P (invariants par dans \underline{\Psi}^q_\nu sous l'action du le p-groupe de Sylow P de I) , (cf. 2.6 bis), relatifs aux coefficients \Lambda_\nu = \mathbf{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbf{Z} \qquad (\nu \geqslant 0) . Ils forment un système projectif de faisceaux de torsion sur X_0.

Théorème 6.2. Avec les notations précédentes :

(i) Les faisceaux (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} sont constructibles et ils le système projectif qu'ils forment est AR-\ell-adique (SGA 5 V 3.2.2), satisfait à la condition MLAR (SGA 5 V 2.1.1), donc définissent un faisceau \ell-adique constructible (SGA 5 VI 1.1) (\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}} = \varprojlim_\nu (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} .

p. 42 de l'auteur. En tête, à droite, une formule barrée : (n = q(q+1)).

(ii) Il existe un sous-groupe ouvert I' de I, et un entier n, tel que pour tout q et \nu, l'action de I' sur (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} soit unipotente d'échelon \leqslant q+1. Alors Alors l'action de I' sur (\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}} est également unipotente d'échelon \leqslant q+1.

Démonstration. Soient g, g' les morphismes canoniques de U_{\overline{K}_t} dans X', X. On a

\begin{tikzcd} X' \arrow[d, "p"'] & \\ X & U_{\overline{K}_t} \arrow[l, "g"] \arrow[lu, "g'"'] \end{tikzcd}

\text{(6.2.1)} \qquad (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} = R^q g_*(\Lambda_\nu)|X_0 et permet d'autre part la suite spectrale de Leray des morphismes composés g = p g' donne \text{(6.2.2)} \qquad R^* g_*(\Lambda_\nu) = (\underline{\Psi}^*_\nu)_{\mathrm{tame}} \Longleftarrow E_2^{pq}(\nu) = R^p p_*(R^q g'_*(\Lambda^q_\nu)) . au-dessus de E_2^{pq}(\nu), un premier essai biffé et illisible. En vertu des calculs du § 4, il existe un s-groupe ouvert I' de I qui, pour tous q, \nu, opère trivialement sur les sur les faisceaux unipotents d'échelon R^q g'_*(\underline{\Psi}^q_\nu). Il s'ensuit que I' opère trivialement unipotentes q+(0+1)+(1+1)+\cdots+( sur les faisceaux unipotents d'échelon les E_2^{pq}(\nu), donc sur il opère de façon unipotente d'échelon q+1 d'échelon sur (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} d'échelon (0+1)+(1+1)+\cdots+(q+1) = q(q+1)/2, ce qui prouve la première assertion de (ii). un calcul encadré et barré : la somme (0+1)+(1+1)+\cdots+(q+1) = q(q+1)/2 ; le cadre renvoie à « d'échelon q+1 ». D'autre part, les calculs explicites du § 4 montrent que les R^q g'_*(\Lambda^q_\nu)|X_0 sont des faisceaux constructibles, qui pour \nu variable forment un faisceau \ell-adique (i.e. R^q g'_*(\Lambda_{\nu'})|X'_0 \simeq R^q g'_*(\Lambda_\nu)|X'_0 \otimes_{\Lambda_\nu} \Lambda_{\nu'} si \nu \geqslant \nu'). En vertu de SGA 5 VI 2.2, il s'ensuit que

p. 43 de l'auteur.

les R^p p_*(R^q g'_*(\Lambda_\nu))|X_0 = R^p p_*(R^q g'_*(\Lambda_\nu)|X'_0) (th. de changement de base propre), pour \nu variable, forment un système AR-\ell-adique de faisceaux sur X, donc il en est de même des R^i g_*(\Lambda_\nu)|X_0 = (\underline{\Psi}^i_\nu)_{\mathrm{tame}}, en vertu de (SGA 5 V 5.2.1 et 5.2.4), d'où (i).

La deuxième assertion de (ii) relative à (\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}} lui-même est une conséquence immédiate de la première, et de ce qui précède.

Remarques 6.3. Si m' est l'entier défini dans 3.2 en termes des multiplicités des composantes de X'_0 dans X', alors la démonstration précédente prouve que dans 6.2 on peut prendre pour I' le s-groupe ouvert d'indice m' de I.

6.4. Il est plausible qu'on devrait plus raisonnablement pouvoir démontrer des résultats analogues à 6.2, mais sans supposer U régulier, et pour les faisceaux \underline{\Psi}^q_\nu eux-mêmes, au lieu des sous-faisceaux (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}. Pour ce dernier point, il semble qu'il faille cependant d'abord résoudre par l'affirmative la question suivante : Supposons remplies les conditions de 3.2, ici les composantes réduites de X_0 lisses sur \overline{k}, a-t-on (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} = \underline{\Psi}^q_\nu, i.e. P opère-t-il trivialement sur les \underline{\Psi}^q_\nu ? et les multiplicités de X_0 premières à p

Cela impliquerait bien sûr, si X est propre sur S, que P opère trivialement sur les H^i(U_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu), chose qui n'est pas non plus prouvée à l'heure actuelle. Pour le cas i = 1, c'est vrai, et ce sera démontré dans un exposé ultérieur. Mais prenons, \dim X_0 = \dim X_\eta = 1, U = X_\eta, q = 1, la réponse pas l'argument se poursuit au-delà de cette page, hors du lot ; la page 128 est blanche.

p. V.1 de l'auteur. Une nouvelle rédaction commence ici, sous le numéro IV ; le titre a été corrigé en surcharge, d'une autre encre.

IV Cas des points Propriétés générales des faisceaux de cycles évanescents. singuliers isolés de la fibre spéciale.

1. Calcul des de la fibre des faisceaux des cycles évanescents, comme terme de la cohomologie de la fibre générique géométrique d'un localisé strict.

N.B. Omettre toujours les \nu en indice aux \Lambda_\nu, sauf en cas de confusion possible ; pourra de même laisser tomber \Lambda dans H^*(X, \Lambda) etc., et écrire H^*(X) …

p. V.2 de l'auteur. Au-dessus de X', f', U', un signe (tilde ?) a été biffé à chaque occurrence ; on transcrit sans lui. dans Exp. V

1.1 1.1. Nous allons donner une interprétation frappante des fibres (\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}} des faisceaux introduits dans (III 2.6), où \overline{x} est un point géométrique de \widetilde{X}_0. Pour ceci, introduisons nous pouvons supposer le localisé strict X' de \widetilde{X} en \overline{x} ; le localisé strict correspondant de S égal à \widetilde{S}, de sorte qu'on a un morphisme canonique \text{\struck{(1.1.1)}} \quad \text{(1.1.1)} \qquad f' : X' \longrightarrow \widetilde{S} faire \widetilde{S} = S ici ! Si U' est l'image inverse de U dans X', c'est un ouvert de la fibre générique X'_{\widetilde{\eta}} de f' sur \widetilde{S} : \text{(1.1.2)} \qquad U' \subset X'_{\widetilde{\eta}} . Ceci posé, le calcul des calcul habituel des fibres de faisceaux R^i g_* (SGA 4 VII) montre que

laisser tomber U !

p. V.3 de l'auteur ; dans le bas du feuillet est collé un papillon numéroté V.4 par l'auteur (131A pour les archivistes), transcrit à la suite. Dans le diagramme, les signes au-dessus de X', X'_{\overline{\eta}}, U' sont biffés, comme à la page précédente.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & X' \arrow[r, hook'] \arrow[dl] & X'_{\overline{\eta}} \arrow[dl] & U' \arrow[l, hook'] \arrow[dl] & & & \overline{U}' \arrow[lll] \arrow[dl] \\ X \arrow[d] & \widetilde{X} \arrow[l] \arrow[d] & \widetilde{X}_{\widetilde{\eta}} \arrow[l, hook'] \arrow[d] & \widetilde{U} \arrow[l, hook'] & & & \overline{U} \arrow[lll] \arrow[d] \arrow[llll, bend left=20, "g"'] & \\ S & \widetilde{S} \arrow[l] & \widetilde{\eta} \arrow[l] & & & & \overline{\eta} \arrow[llll] & \end{tikzcd}

diagramme redessiné de l'esquisse : les positions sont approximatives ; la flèche verticale sous \widetilde{U} et la flèche \overline{\eta} \to \widetilde{\eta} (corrigée en surcharge) sont lues avec doute.

un isomorphisme canonique (\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}} \simeq \text{\struck{$H^q(\overline{U}' \times_{\widetilde{X}} \overline{U})$}} \; H^q(\overline{U}', \Lambda_\nu) , \quad \text{avec} \quad \overline{U}' \simeq X' \times_{\widetilde{X}} \overline{U} , et comme on a X' \times_{\widetilde{X}} \overline{U} \simeq U' \times_{\widetilde{U}} \overline{U} \simeq U' \times_{\widetilde{\eta}} \overline{\eta} , on trouve finalement \text{(1.1.3)} \qquad (\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}} \simeq H^q(\overline{U}', \Lambda_\nu) , \qquad \overline{U}' = U' \otimes_{\widetilde{\eta}} \overline{\eta} = U' \otimes_{\widetilde{K}} \overline{K} . Si par exemple U = X_\eta (cas de loin le plus important), on trouve \text{(1.2)} \qquad (\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}} = H^q(X' \times_{\widetilde{S}} \overline{\eta}, \Lambda_\nu) , i.e. la fibre du faisceau (\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}} en le point géométrique \overline{x} de \widetilde{X} n'est autre que le groupe de cohomologie (à coeff. dans \Lambda_\nu) de la fibre géométrique générique sur \widetilde{S} du localisé strict X' de X en \overline{x}. prouver les relations relations (2.8), on compte tenu de en conclut des expressions correspondantes pour les fibres génériques des morphismes X' \to \widetilde{S} entre localisés stricts de X et S. De façon imagée, on peut dire que les relations globales entre les deux fibres géométriques X_{\overline{s}}, X_{\overline{\eta}} se des des cycles évanescents. note marginale écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, en partie barrée et en grande partie illisible.

papillon collé, p. V.4 de l'auteur. 2 Lorsque Le même argument donne les relations \text{\struck{(1.1.3)}} \qquad ((\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\mathrm{tame}})_{\overline{x}} \simeq H^q(U' \otimes_{\widetilde{K}} \overline{K}_t) , en particulier si U = X_\eta, cela devient prend la forme \text{(1.3)} \qquad ((\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}})_{\overline{x}} = H^q(X \otimes_{\widetilde{S}} \operatorname{Spec} \overline{K}_t) \; ;

p. V.5 de l'auteur.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & X' \arrow[r, hook'] \arrow[dl] & X'_\eta \arrow[l] \arrow[dl] & U' \arrow[l, hook'] \arrow[dl] \arrow[r, no head] & U'_{\overline{\eta}} \arrow[dl] \\ X \arrow[d, no head] & X_\eta \arrow[l, hook'] \arrow[d] & U \arrow[l] \arrow[d] \arrow[r, no head] & U_{\overline{\eta}} \arrow[d, no head] & \\ S & \eta \arrow[l] & \eta \arrow[l] \arrow[r, no head] & \overline{\eta} & \end{tikzcd}

diagramme redessiné : la flèche X_\eta \to U est dessinée dans ce sens sur la page, et une mention « (pas ent.) » est inscrite à côté de la flèche verticale sous X_\eta ; plusieurs traits n'ont pas de pointe.

1.4. Notons que l'on a X' = \varprojlim_\alpha X_\alpha , où les X_\alpha sont étales sur X, et affines. On en conclut U' = \varprojlim_\alpha X_\alpha \times_X U , \qquad U'_{\overline{\eta}} = \varprojlim_\alpha (X_\alpha \times_X U)_{\overline{\eta}} , d'où \text{(1.4.1)} \qquad (\underline{\Psi}^{(i)}_\nu)_{\overline{x}} \simeq H^i(U'_{\overline{\eta}}, \Lambda) \simeq \varinjlim_\alpha H^i((X_\alpha \times_X U)_{\overline{\eta}}, \Lambda) , où les (X_\alpha \times_X U)_{\overline{\eta}} sont des schémas algébriques quasi-affines sur \overline{\eta}, déduits par changement de base des schémas quasi-affines X_\alpha \times_X U \subset X_\alpha sur \eta.

Lorsque U = X_\eta, cela devient

2. Application \text{(1.4.2)} \qquad (\underline{\Psi}^{(i)}_\nu)_{\overline{x}} = H^i(X'_{\overline{\eta}}, \Lambda) \simeq \varinjlim_\alpha H^i(X_{\alpha\overline{\eta}}, \Lambda) , où les X_{\alpha\overline{\eta}} sont des schémas algébriques affines sur \overline{\eta} [déduits des schémas affines X_{\alpha\eta} sur \eta].

N.B. Plus généralement, dans 1.4.1, les (X_\alpha \times_X U)_{\overline{\eta}} sont affines si on suppose que U \to X est affine, i.e. U \to X_\eta est affine.

p. V.6 de l'auteur. Page très reprise : plusieurs ajouts interlinéaires et un passage encadré de traits obliques, qui semble annulé.

2. Application du th. de Lefschetz affine.

2.1. Soit x \in X_0, et \text{(2.1.0)} \qquad n_x = \text{\struck{$\dim X_\eta$}} \; \sup_i \dim X_{i\eta} , X_i composantes irréd. de X passant par x. Supposons U \to X_\eta affine. Alors dans (1.4.2) les X_{\alpha\overline{\eta}} sont les affines algébriques sur \overline{\eta} U_{X_\eta} et sont dont les composantes sont au plus de dimension les \dim X_{i\eta} étales sur X_\eta, donc affines de dim. \leqslant n_x, donc (SGA 4 XIV …) leur H^i est nul pour i > n_x. On trouve donc \text{(2.1.1)} \qquad (\underline{\Psi}^i_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{pour } i > n_x . On en améliorera ce résultat en prouvant que \text{(2.1.2)} \qquad (\underline{\Psi}^i_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{pour } i > n_x - \dim \overline{\{x\}} , ce qui implique aussi \text{(2.1.3)} \qquad (\underline{\Psi}^i_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{pour } i > \dim \mathcal{O}_{X_0, x} = \dim_x(X_0) - \dim \overline{\{x\}} (, dès que ).

2.2. Pour ceci, notons que si X est plat sur X_\eta S, l'adhérence schématique \overline{(X_\eta)}_{\mathrm{red}} [ainsi du reste que les \underline{\Psi}^{(i)}_\nu sinon ], dim. X_\eta X_0, n_x = \dim_x X_0 n_x = \dim_x X_0 (2.1.1) et (2.1.2) sont identiques. x de X,

Alors, il existe un morphisme fini X \xrightarrow{h} Y = S[T_1, \ldots, T_n], et si on pose F = h_*(\Lambda_X), y = h(x), on trouve que les \underline{\Psi}^{(i)}_*(F) relatifs les faisceaux induits, comme ce passage est encadré et barré de deux grands traits obliques. F (qui se définissent X)

On peut supposer aussi (quitte à restreindre X) que n_x = \dim X_\eta, Posons n_x = n, , soit n. Soit n = \dim X_\eta = n_x \; ; r = \dim soit d'autre part r = \deg \operatorname{tr.} k(x)/k.

p. V.7 de l'auteur.

et soit x On peut supposer X affine, et on peut trouver un système d'éléments t_1, \ldots, t_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) telles que leurs images dans k(x) forment une base de transc. sur k. Les t_i définissent un morphisme h : X \longrightarrow Y = S[T_1, \ldots, T_r] , et si y = h(x), on sait que k(x)/k(y) est fini, donc que x est fermé dans h^{-1}(y). On a donc \dim_x h^{-1}(y) = \dim \mathcal{O}_{X_0, x} = n - r , et quitte à restreindre X, on peut donc supposer que les fibres de X sur Y sont de dim. \leqslant n - r. Soit S_1 le localisé strict de Y en le point géométrique de Y défini par le pt géom. \overline{x} de X, X_1 = X \times_Y S_1, U_1 = U \times_Y S_1. Alors X_1 est affine un premier diagramme, à gauche, est barré de grands traits obliques ; on transcrit celui qui le remplace, à droite.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & X' \arrow[r, hook'] \arrow[d] & U' \arrow[d, no head] & U'_{\overline{\eta}} \arrow[l] \arrow[r, no head] \arrow[dd, "\varphi"] & U' \times_{S_1} \overline{\lambda} \arrow[dd] \\ X & X_1 \arrow[l] \arrow[d] & U_1 \arrow[l, hook'] \arrow[d] & & \\ Y = S[T_1, \ldots, T_r] \arrow[d] & S_1 \arrow[l] \arrow[r, no head, "="] & S_1 \arrow[d] & S_{1\overline{\eta}} \arrow[l] \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \overline{\lambda} \\ S & & S & \overline{\eta} \arrow[l] & \end{tikzcd}

diagramme redessiné de l'esquisse ; la flèche Y \to S est doublée sur la page, une flèche verticale sous S_1 (à gauche du signe =) est raturée, et le sommet \overline{\lambda} remplace un symbole biffé ; lectures de \overline{\lambda} douteuses.

d.f. sur le trait strict. hensélien S_1, de dim. relative n - r, U_1 en est un ouvert affine, X' est le localisé strict de X_1 en le pt géom. \overline{x}, U' est l'image inverse de U_1 dans X'. Soit L le corps des fractions de S_1, qui est un

p. V.8 de l'auteur.

extension algébrique séparable de K(T_1, \ldots, T_r), donc une extension séparable de K = k(\eta), (et \lambda = \operatorname{Spec} L \simeq (S_1)_\eta ). D'après 2.1.1, appliqué à la situation X_1 \to S_1, et U_1 \subset X_1, X' \to X_1, on sait que \text{(2.2.1)} \qquad H^i(U' \times_{S_1} \overline{\lambda}, \Lambda) = 0 \quad \text{si } i > n - r , \quad \text{i.e.} \quad R^i \varphi_*(\Lambda_{U'_{\overline{\eta}}}) = 0 \text{ si } i > n - r . D'autre part, \overline{\lambda} on sait que \operatorname{cd}_\ell de S_{1\eta} = \lambda est \leqslant r pour tous les nombres premiers \neq p (SGA 4 XV). Dans la suite spectrale rapprochement, ou dimension cohomologique de \operatorname{Gal}(\overline{\lambda}/S_{1\eta}) qui … H^i(U'_{\overline{\eta}}, \Lambda) \Longleftarrow E_2^{p,q} = H^p(\lambda, R^q \varphi_*(\Lambda_{U'_{\overline{\eta}}})) dégénère et donne H^i(U'_{\overline{\eta}}, \Lambda) \simeq H^0(\lambda, R^i \varphi_*(\Lambda_{U'_{\overline{\eta}}})) \subset H^i(U' \times_{S_1} \overline{\lambda}, \Lambda) le signe qui précède le dernier terme est lu comme une inclusion, avec doute. ce qui implique par (2.2.1) H^i(U'_{\overline{\eta}}, \Lambda) = 0 \quad \text{pour } i > n - r , et achève la démonstration. On a prouvé :

Théorème 2.3. Avec les notations de 2.1, on a pour x \in X_0 : (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{pour } q > n_x - \dim \overline{\{x\}} (en particulier pour i > \dim \mathcal{O}_{X_0, x} = \dim_x X_x - \dim \overline{\{x\}}).

De façon équivalente, on a (\underline{\Phi}^q_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{si } q > n_x + 1 - \dim \overline{\{x\}} , \quad q \geqslant 1 . Appliquant le cohomologique si n = \dim X_\eta, q \geqslant 1, X = \overline{X_\eta} donc \underline{\Phi}^0_\nu = 0 : … passage encadré ; le renvoi « … » semble indiquer que cet encadré s'insère plus haut. SGA 4 X, on trouve H^p(X_0, (\underline{\Phi}^q_\nu)|X_0) = 0 \quad \text{si } p \geqslant 2(n + 1 - q) , \text{i.e.} \quad p + q \geqslant 2n + 2 - q . Corollaire 2.3. On a, si X propre sur S

Corollaire 2.4. On a \underline{\Psi}^q_\nu = 0 \quad \text{si } q > \dim X_\eta , \qquad \underline{\Phi}^q_\nu = 0 \quad \text{si } q > \dim X_\eta + 1 .

p. V.9 de l'auteur.

N.B. Supposons Considérons maintenant que l'on (fermé) Z de X_0 dans lequel soit (III 1. ), dans f : X \to S est non lisse, d sa dim. \underline{\Phi}^q_\nu \subset Z

On a par SGA 4 X (*) \qquad H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) \neq 0 \;\; \text{\struck{\ill{}}} \;\; \text{implique} \;\; p \leqslant 2d . D'ailleurs, on a en vertu de 2.2. (si n = \dim X_{\overline{\eta}}) \delta(\underline{\Phi}^q_\nu) \leqslant n + 1 - q \quad \text{si } q \geqslant 1 donc on trouve \delta(\underline{\Phi}^q_\nu) \leqslant d si n + 1 - q < d, i.e. pour des tels q, on a par SGA 4 X q > n + 1 - d \; ; \quad \text{\struck{$2\delta(\underline{\Phi}^q_\nu) =$}} (**) \qquad H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) \neq 0 \;\; \text{implique} \;\; p \leqslant 2(n + 1 - q) , \text{i.e.} \quad p + q \leqslant 2n + 2 - q , et on a pour ces q 2n + 2 - q < 2n + 2 - (n + 1 - d) = n + 1 + d. D'autre part, si q \leqslant n + 1 - d et H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) \neq 0 i.e. p \leqslant 2d, on a là encore p + q \leqslant n + 1 + d. Donc on a dans tous les cas (si q \geqslant 1) H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) \neq 0 \Longrightarrow p + q \leqslant n + d + 1 . Cette implication est aussi vraie pour q = 0, si on (d = \ldots \leqslant n = \dim X_0) suppose que d \leqslant n + 1 (ce qui est le cas p.ex. si X = \overline{X_\eta}, p.ex. X plat sur S]. On trouve \underline{\Phi}_\nu = 0 \quad \text{pour } i > n + d + 1 . l'indice manque à \underline{\Phi}_\nu sur la page (ou est surchargé), lu tel quel.

Corollaire 2.5. (2.4.1) Supposons Donc : Soit Soit d la dimension du fermé de X_0 en lequel f : X \to S est non lisse, n = \dim X_{\overline{\eta}}, et supposons que d \leqslant n + 1 i.e. que \dim X_0 \leqslant n + 1 [ce qui est le cas si X = \overline{X_\eta}, puisque \dim X_\eta = n]. Alors les groupes \underline{\Phi}^i_\nu des cycles évanescents (III 1. ) à coefficients dans \Lambda_\nu = \mathbf{Z}/\ell^\nu \mathbf{Z}, sont nuls pour les i > n + d + 1, en d'autres termes l'hom. (cel. à U = X_\eta)

p. V.10 de l'auteur.

H^i(X_0, \Lambda_\nu) \longrightarrow H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) est un isomorphisme si i > n + d + 1, un épimorphisme si i = n + d + 1. L'action du groupe d'inertie I sur H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) est triviale si i \geqslant n + d + 1.

Procédant par dualité, on trouve :

Corollaire 2.6. Avec les hypothèses précédentes, l'action de I sur H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) est triviale si i \notin [n - d, n + d].

En particulier, si d = 0 i.e. si l'ens. Z des pts de X_0 où f n'est pas lisse est fini, alors l'action de I sur H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) est triviale si i \neq n.

interversion avec 2.8 Remarque 2.7. Lorsque f : X \to S est projectif, on peut trouver une démonstration plus simple de de 2.5 (ainsi de 2.6) triviale . En effet, plongeons X \subset \mathbf{P}^r_S, et soit Y une section plane générique de X, obtenue en coupant X par r - d - 1 hyperplans de \mathbf{P}^r_S. Si ces derniers sont bien choisis, on peut supposer Y_0 lisse de codim. d + 1 dans X_0, et alors Y est lisse sur S, de codim. d + 1 dans X. De plus, le th. de Lefschetz affine SGA 4 XIV implique aisément, de façon connue, que l'homom. de Gysin H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) \longrightarrow H^{i + 2(d+1)}(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu(d + 1))

p. V.11 de l'auteur.

est surjectif si i \geqslant \dim Y_{\overline{\eta}} = n - d - 1, et bijectif si i > n - d - 1 i.e. si i + 2(d+1) > n + d + 1 donc si i + 2(d + 1) \geqslant n + d + 1, Donc le fait que I opère sur H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) provient du fait qu'il opère trivialement sur H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu), est une conséquence bien connue du fait que Y est propre et lisse sur S (SGA 4 XVI …) \begin{array}{ccc} H^i(Y_s, \Lambda) & \longrightarrow & H^{i + 2(d+1)}(X_s) \\ \downarrow{\scriptstyle \varphi_Y} & & \downarrow{\scriptstyle \varphi_X} \\ H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda) & \longrightarrow & H^{i + 2(d+1)}(X_{\overline{\eta}}) \end{array} passage encadré et barré de traits obliques ; à la suite, d'une autre encre : « le diagramme commutatif », puis le carré ci-dessus. donne alors le résultat voulu (\varphi_Y est bijectif par SGA 4 XVI …)

Remarque 2.8. L'assertion 2.3 suggère la conjecture suivante. Soit X = \operatorname{Spec} A un schéma strict. local, de dim. n, t \in A, et U = X - V(t) = \operatorname{Spec} A_t, et soit pour tout entier m premier à la car. X_{(m)} = \operatorname{Spec} A[T]/(T^m - t) , \qquad U_{(m)} = X_{(m)} \times_X U , U(\infty) = \varprojlim U(m) . Est-il vrai que la dim. cohomologique de U(\infty), pour des coefficients premiers à p, est \leqslant n - 1 ? [La conjecture standard SGA 4 XIV pour \ell \neq p : \operatorname{cd}_\ell(U(m)) \leqslant n pour tout m, donc \operatorname{cd}_\ell(U(m)) \leqslant n, et non n - 1 !] la fin de la phrase est lue telle qu'elle semble écrite ; la seconde inégalité devrait sans doute porter sur U(\infty).

p. V.12 de l'auteur.

3. Application du th. de Lefschetz (de la section hyperplane) global.

3.1. 3.1. Supposons que la profondeur étale cohomologique pour \ell de X_s et X_{\overline{\eta}} soit \geqslant m, i.e. que pour tout x \in X_s, on ait \text{(3.1.1)} \qquad \underbrace{\operatorname{prof\,ét}_x X_s}_{\operatorname{prof\,ét}^*_x(X_s)} + \dim \overline{\{x\}} \geqslant m et de même pour tout x \in X_{\overline{\eta}}, \text{(3.1.2)} \qquad \underbrace{\operatorname{prof\,ét}_x (X_{\overline{\eta}})}_{\operatorname{prof\,ét}^*_x(X_{\overline{\eta}})} + \dim \overline{\{x\}} \geqslant m , où \overline{x} désigne un point géométrique au-dessus de x, (ainsi pour alors …), . On sait que cf. SGA 2 XIV … pour la notion de profondeur étale. par l'hypothèse faite sur X_{\overline{\eta}} ou sur la fibre géométrique X_{\overline{\eta}}). Alors, soit d

Soit d comme dans 2.5, et supposons d'abord X projectif et plat sur S. Choisissons Y comme dans 2.7, alors le th. de Lefschetz global sous la forme SGA 2 XIV 4.6 entraîne [en vertu du changement de base pour les clôtures alg. de k et K] les relations suivantes : les H^i(X_s, \Lambda) \longrightarrow H^i(Y_s, \Lambda) \qquad (\text{resp. } H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda) \to H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda)) est bijectif pour i < m - d - 1, injectif pour i = m - d - 1. Le diagramme commutatif

\begin{tikzcd} H^i(X_s, \Lambda) \arrow[r, "\varphi^i_X"] \arrow[d] & H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda) \arrow[d] \\ H^i(Y_s, \Lambda) \arrow[r, "\varphi^i_Y", "\sim"'] & H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda) \end{tikzcd}

(où \varphi_Y est bijectif en vertu de SGA 4 XVI …) montre que \varphi^i_X est bijectif \text{(3.2)} \qquad \varphi^i_X : H^i(X_s, \Lambda) \longrightarrow H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda) est bijectif pour i < m - d - 1, injectif pour i = m - d - 1, dans le nom du paragraphe et dans (3.1.1)–(3.1.2), « prof. ét. » est l'abréviation de l'auteur ; la ligne sous chaque accolade est écrite au-dessus ou au-dessous de la formule, d'une autre encre.

p. V.13 de l'auteur. Une grande partie de la page (de « Remarque 3.2 » jusqu'en bas) est barrée de longs traits obliques ; elle est transcrite sous cette réserve.

en d'autres termes que l'on a \text{(3.1.3)} \qquad \underline{\Phi}^i_\nu = 0 \quad \text{pour } i \leqslant m - d - 1 . Remarque 3.2. Supposons par exemple que X_s soit localement une intersection complète, ce qui implique que X soit loc. une intersection complète, ce qui implique la même chose pour X_{\overline{\eta}}. Alors (cf. SGA 1 XIV 5.6) on peut prendre m \geqslant n, et (3.1.3) prend la forme \text{\struck{(3.2.1)}} \quad \text{\struck{$\underline{\Phi}^i_\nu = 0$ pour $i \leqslant n - d - 1$,}} ce qui, compte tenu de 2.7, prend la forme \text{\struck{(3.2.2)}} \quad \text{\struck{$\underline{\Phi}^i_\nu = 0$ si $i \notin [n - d, n + d + 1]$.}} Si d = 0, (ou d'ailleurs de Z fini sur X_0) cela signifie \text{\struck{(3.1.6)}} \quad \text{\struck{$\underline{\Phi}^i_\nu = 0$ si $i \neq n, n+1$.}} De même on a une notion du groupe d'inertie I, (3.1.3) signifie que cette action est triviale pour H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) si i < m - d - 1, donc compte tenu de 2.7) si i \notin [m - d - 1, n + d] ; donc si m = n (p.ex. X_s loc. une intersection complète) si i \notin [n - d - 1, n + d], et si de plus d = 0 si i \neq n - 1, n. On compare avec le corollaire 2.6, plus fort (car il suffit de supposer i \neq n) mais avec une hypothèse additionnelle [X_\eta lisse ou lieu de complète] de singularités locales (des intersections complètes exactement X_s (d'intersection complète)). Mais dans ce cas on peut améliorer les conclusions, en remplaçant i \leqslant n - d - 1 par i \leqslant n - d. l'argument se poursuit au-delà de cette page, hors du lot.