Cote n° 34, pages 121–140

Cote n° 34 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

121p. 37 de l'auteur. La page commence au milieu d'un argument venu de la page précédente : le revêtement $U'$ et les numéros (4.8.1), (4.14.5) renvoient au début du § 4, hors de ce lot.

Ce revêtement est de la forme \[ U' = U(n) \times^{G} \Gamma , \] pour un homomorphisme $\varphi : G \to \Gamma$ dont le calcul est immédiat, et qui […] s'explicite, moyennant (4.8.1) et (4.14.5), comme \[ \text{(4.14.6)} \qquad \varphi(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) = \sum_{1}^{r} m_i \lambda_i . \] On en conclut moyennant (4.10.1) et (4.13.1) le calcul de $H^*(U', \Lambda)$. On trouve en particulier, grâce à 4.11 :

Corollaire 4.15. ⌜Avec les notations de 4.14.⌝ Soit $m$ le pgcd des $m_i$, […] et $m'$ le morceau de $m$ premier à $p$, et $\Gamma'$ ⌜$= m'\Gamma = m\Gamma$⌝ le sous-groupe de $\Gamma \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1)$ d'indice $m'$. Alors le sous-groupe des éléments de $\Gamma$ qui opèrent trivialement sur $H^*(U', \Lambda)$ (où $\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$, $n \geqslant 1$, $(n,p) = 1$) est égal à $\Gamma'$. Pour tout entier premier $\ell$

On notera que $\Gamma'$ est indépendant de $\Lambda$, i.e. de $n$.

4.16. Nous allons mettre […] […] limites sur l'[…] […] deux lignes et un pavé barrés, en grande partie illisibles.

4.16. Nous allons mettre les résultats 4.14, 4.15 sous une forme […] plus globale, qui nous sera utile. Pour ceci, supposons donné un schéma ⌜régulier⌝ $X$, un diviseur $D$ sur $X$ à croisements normaux, et une section \[ t \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) . \] Supposons que $\pi(t)$ […] Soit $U =$

122p. 38 de l'auteur.

Soit \[ U = X - \operatorname{supp} D , \] et supposons que […] \[ t|U \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U^*) , \quad \text{i.e.} \quad \operatorname{supp} \operatorname{div} t \subset \operatorname{supp} D . \] Posons, pour tout entier $n$ premier aux caractéristiques, Supposons pour simplifier qu'il […] $X$ […] […] ⌜$X$ de car. nulle, ou de car. $p$ non nulle,⌝ qu'il existe au plus un nombre premier $p$ qui ne soit pas inversible sur $X$. que $V(t)$ soit de car. $p > 0$ et que tous les premiers $\ell \neq p$ soient inversibles sur $X$. Pour tout entier premier entier $n > 0$ premier aux car. résiduelles de $X$, […] soit \[ \begin{cases} X'(n) = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_X[T]/(T^n - t) , \\ U'(n) = X'(n) \times_X U , \end{cases} \] de sorte que les $U'(n)$ forment un système projectif de rev. étales […] principaux de $U$, de groupes les $\mu_{n,U}$. On considère \[ U' = \varprojlim U'(n) , \] qui est principal sur $U$ de groupe $\mu_n$ $G_U$, où \[ G = \varprojlim \mu_n , \] et on considère les projections ⌜morphismes canoniques⌝

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\begin{tikzcd}
U' \arrow[r] \arrow[rr, bend left=30, "f"] & U \arrow[r] & X .
\end{tikzcd}

Soit $n \geqslant 1$ premier aux car. résiduelles de $X$, et $\Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ \[ \Lambda = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} , \] on s'intéresse aux ⌜faisceaux⌝ \[ R^i f_*(\Lambda_{U'})|X_0 , \qquad X_0 = V(t) \]

123p. 39 de l'auteur.

sur $X_0$, et à l'opération de $G|X_0$ sur ces faisceaux. Pour toute composante irréductible $D_i$ de $D$, soit $m_i$ la multiplicité de […] $D_i$ dans $\operatorname{div}(\pi)$ ; soit $m$ le pgcd des $m_i$, et soit $m' = m$ si $X$ de car. nulle, $m' =$ partie de $m$ première à $p = \operatorname{car.} V(\pi)$ dans le cas contraire. ici l'auteur écrit $\pi$ là où la page précédente a $t$. Écrivons $G$ additivement et considérons le groupe profini $m'G$ \[ G' = m'G \;(= mG) \subset G \] sur $X$. […]

Corollaire 4.17. Avec les ⌜hypothèses et notations⌝ hypothèses de 4.16, supposons de plus que pour tout localisé strict $\overline{X}^0$ de $X$ en un point de $X_0$, les $\overline{X}(n)$ définis en termes du diviseur induit $\overline{D}$ (cf. 4.8) satisfont aux th. de pureté. Alors l'opération de $G'|X_0$ sur […] $R^*f_*(\Lambda_{U'})|X_0$ est triviale.

Cela résulte aussitôt de 4.15 par localisation stricte.

4.18. En fait, on peut préciser la structure de $R^*f_*(\Lambda_{U'})|X_0$, comme faisceau d'anneaux gradués […] […], dont […] […] d'abord (4.18.1) $R^*f$ paragraphe 4.18 encadré et barré de traits obliques.

124p. 40 de l'auteur.

5. Démonstration du théorème de monodromie.

Nous prouvons maintenant 3.2, en utilisant la suite spectrale (2.5 ⌜bis de 2.10⌝) (pour $\nu$ variable). Les résultats des n° […] ⌜précédents⌝ prouvent que les $(\underline{\Psi}^q_\nu)$⌜$_{\mathrm{tame}}$⌝ sont des faisceaux constructibles, donc les $E_2^{pq}$ […] (pour $\nu$ fixé) sont des groupes finis. Donc, passant à la limite sur $\nu$, on trouve une suite spectrale, compatible avec les opérations de $I_t$ et de $\pi$ […] […] \[ \text{\struck{(5.1)}} \quad \text{\struck{$H^*(\overline{U}, \mathbf{Z}_\ell)^P \Longleftarrow H^p(\widetilde{X}_0, (\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}})$}} \] avec \[ \text{\struck{(5.2)}} \quad \text{\struck{$(\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}} = \varprojlim_\nu (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}$}} \] \[ \text{(5.1)} \qquad H^*(\overline{U}, \mathbf{Z}_\ell)^P \Longleftarrow E_2^{pq} = \varprojlim_\nu H^p(\widetilde{X}_0, (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}) . \] On a vu dans 4.17 que le s-groupe $I'_t \subset I_t$ opère trivialement sur les $\underline{\Psi}^q_\nu$ donc […] sur les $E_2^{pq}(\nu) = H^p(\widetilde{X}_0, \underline{\Psi}^q_\nu)$, donc sur leur limite $E_2^{pq}$. Donc $I'$ opère trivialement sur tous les […] termes de la suite spectrale (5.1), donc sur le […] gradué associé à l'aboutissement. Comme le filt. gradué, en degré $i$, a au plus $i+1$ facteurs, on a gagné.

125p. 41 de l'auteur.

6. Application aux faisceaux de cycles évanescents.

6.1. Soit à nouveau $X$ de type fini sur $S$, ⌜trait,⌝ strictement local, et soit $U$ un ouvert de $X_\eta$, que nous supposons régulier. ⌜Soit $Y = X - U$, et⌝ Supposons qu'il existe un morphisme propre $p : X' \to X$, tel que avec $X'$ régulier, $p^{-1}(Y)$ un diviseur à croisements normaux, et $U' = p^{-1}(U) \to U$ un isomorphisme. en marge gauche, un diagramme, transcrit tel qu'il est écrit (les deux sommets de droite portent $U$).

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\begin{tikzcd}
X' \arrow[d, "p"'] & U \arrow[l, hook'] \arrow[d, "\wr"] \\
X \arrow[d, "f"'] & U \arrow[l, hook'] \\
S &
\end{tikzcd}

(On sait par Hironaka [ ] qu'il en est ainsi si $S$ est excellent de car. nulle, et sans doute il semble plausible qu'il en est de même dès que $S$ est excellent, sans restriction de caractéristique. D'ailleurs l'hypothèse « $S$ excellent » est anodine, car on s'y ramène pour les questions qui nous intéressent par passage au complété). Sous ces conditions Choisissons un entier $\ell \neq p$, et considérons, pour tout ⌜un⌝ entier $q$ ⌜fixé⌝, les faisceaux \[ \text{(6.1.1)} \qquad (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} = (\underline{\Psi}^q_\nu)^P \] (invariants par ⌜dans $\underline{\Psi}^q_\nu$ sous l'action du⌝ le $p$-groupe de Sylow $P$ de $I$) […], […] ⌜(cf. 2.6 bis)⌝, relatifs aux coefficients \[ \Lambda_\nu = \mathbf{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbf{Z} \qquad (\nu \geqslant 0) . \] Ils forment un système projectif de faisceaux de torsion sur $X_0$.

Théorème 6.2. Avec les notations précédentes :

(i) Les faisceaux $(\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}$ sont constructibles et ils le système projectif qu'ils forment ⌜est AR-$\ell$-adique (SGA 5 V 3.2.2)⌝, ⌜[…]⌝ satisfait à la condition MLAR (SGA 5 V 2.1.1), donc définissent un faisceau $\ell$-adique constructible (SGA 5 VI 1.1) \[ (\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}} = \varprojlim_\nu (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} . \]

126p. 42 de l'auteur. En tête, à droite, une formule barrée : $(n = q(q+1))$.

(ii) Il existe un sous-groupe ⌜ouvert⌝ $I'$ de $I$, et un entier $n$, tel que pour tout $q$ et $\nu$, l'action de $I'$ sur $(\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}$ soit unipotente d'échelon […] $\leqslant q+1$. Alors ⌜Alors⌝ l'action de $I'$ sur $(\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}}$ est également unipotente d'échelon […] $\leqslant q+1$.

Démonstration. Soient $g, g'$ les morphismes canoniques de $U_{\overline{K}_t}$ dans $X'$, $X$. On a

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\begin{tikzcd}
X' \arrow[d, "p"'] & \\
X & U_{\overline{K}_t} \arrow[l, "g"] \arrow[lu, "g'"']
\end{tikzcd}

\[ \text{(6.2.1)} \qquad (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} = R^q g_*(\Lambda_\nu)|X_0 \] et permet d'autre part la suite spectrale de Leray des morphismes composés $g = p g'$ donne \[ \text{(6.2.2)} \qquad R^* g_*(\Lambda_\nu) = (\underline{\Psi}^*_\nu)_{\mathrm{tame}} \Longleftarrow E_2^{pq}(\nu) = R^p p_*(R^q g'_*(\Lambda^q_\nu)) . \] au-dessus de $E_2^{pq}(\nu)$, un premier essai biffé et illisible. En vertu des […] ⌜calculs du § 4⌝, il existe un s-groupe ouvert $I'$ de $I$ qui, ⌜pour tous $q, \nu$,⌝ opère ⌜trivialement sur les⌝ sur les faisceaux unipotents d'échelon $R^q g'_*(\underline{\Psi}^q_\nu)$. Il s'ensuit que $I'$ opère […] ⌜trivialement⌝ unipotentes $q+(0+1)+(1+1)+\cdots+($ sur les faisceaux unipotents d'échelon les $E_2^{pq}(\nu)$, donc sur il opère de façon unipotente ⌜d'échelon $q+1$⌝ d'échelon sur $(\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}$ d'échelon $(0+1)+(1+1)+\cdots+(q+1)$ $= q(q+1)/2$, ce qui prouve la première assertion de (ii). un calcul encadré et barré : la somme $(0+1)+(1+1)+\cdots+(q+1) = q(q+1)/2$ ; le cadre renvoie à « d'échelon $q+1$ ». D'autre part, les calculs explicites du § 4 montrent que les $R^q g'_*(\Lambda^q_\nu)|X_0$ sont des faisceaux constructibles, qui pour $\nu$ variable forment un faisceau […] $\ell$-adique (i.e. $R^q g'_*(\Lambda_{\nu'})|X'_0 \simeq R^q g'_*(\Lambda_\nu)|X'_0 \otimes_{\Lambda_\nu} \Lambda_{\nu'}$ si $\nu \geqslant \nu'$). En vertu de SGA 5 VI 2.2, il s'ensuit que

127p. 43 de l'auteur.

les $R^p p_*(R^q g'_*(\Lambda_\nu))|X_0$ ⌜$= R^p p_*(R^q g'_*(\Lambda_\nu)|X'_0)$ (th. de changement de base propre)⌝, pour $\nu$ variable, forment un système AR-$\ell$-adique de faisceaux sur $X$, donc il en est de même des $R^i g_*(\Lambda_\nu)|X_0 = (\underline{\Psi}^i_\nu)_{\mathrm{tame}}$, en vertu de (SGA 5 V 5.2.1 et 5.2.4), d'où (i).

La deuxième assertion de (ii) ⌜relative à $(\underline{\Psi}^q)_{\mathrm{tame}}$ lui-même⌝ est une conséquence immédiate de la première, et de ce qui précède.

Remarques 6.3. Si $m'$ est l'entier défini dans 3.2 en termes des multiplicités des composantes de $X'_0$ dans $X'$, alors la démonstration précédente prouve que dans 6.2 on peut prendre pour $I'$ le s-groupe ⌜ouvert⌝ d'indice $m'$ de $I$.

6.4. Il est plausible qu'on devrait plus raisonnablement pouvoir démontrer des résultats analogues à 6.2, mais sans supposer $U$ régulier, et pour les faisceaux $\underline{\Psi}^q_\nu$ eux-mêmes, au lieu des sous-faisceaux $(\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}}$. Pour ce dernier point, il semble qu'il faille cependant ⌜d'abord⌝ […] ⌜résoudre par l'affirmative⌝ […] la question suivante : […] Supposons remplies les conditions de 3.2, ici les composantes […] réduites de $X_0$ lisses sur $\overline{k}$, a-t-on $(\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}} = \underline{\Psi}^q_\nu$, i.e. $P$ opère-t-il trivialement sur les $\underline{\Psi}^q_\nu$ ? […] et les multiplicités de $X_0$ premières à $p$

Cela impliquerait bien sûr, ⌜si $X$ est propre sur $S$,⌝ que $P$ opère trivialement sur les $H^i(U_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu)$, chose qui n'est pas non plus prouvée à l'heure actuelle. […] Pour le cas $i = 1$, c'est vrai, et ce sera démontré dans un exposé ultérieur. Mais prenons, […] $\dim X_0 = \dim X_\eta = 1$, $U = X_\eta$, $q = 1$, la réponse […] […] […] […] […] pas […] l'argument se poursuit au-delà de cette page, hors du lot ; la page 128 est blanche.

129p. V.1 de l'auteur. Une nouvelle rédaction commence ici, sous le numéro IV ; le titre a été corrigé en surcharge, d'une autre encre.

IV […] Cas des points ⌜Propriétés générales des faisceaux de cycles évanescents.⌝ singuliers isolés de la fibre spéciale.

1. Calcul des ⌜de […] la⌝ fibre des faisceaux des cycles évanescents, ⌜comme⌝ terme de la cohomologie de la fibre générique géométrique d'un localisé strict.

N.B. Omettre toujours les $\nu$ en indice aux $\Lambda_\nu$, sauf en cas de confusion possible ; pourra de même laisser tomber $\Lambda$ dans $H^*(X, \Lambda)$ etc., et écrire $H^*(X)$ …

130p. V.2 de l'auteur. Au-dessus de $X'$, $f'$, $U'$, un signe (tilde ?) a été biffé à chaque occurrence ; on transcrit sans lui. dans Exp. V

1.1 1.1. Nous allons donner une interprétation frappante des fibres $(\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}}$ des faisceaux introduits dans (⌜III⌝ 2.6), où $\overline{x}$ est un point géométrique de $\widetilde{X}_0$. Pour ceci, introduisons ⌜nous pouvons supposer⌝ le localisé strict $X'$ de $\widetilde{X}$ en $\overline{x}$ ; […] le localisé strict correspondant de $S$ égal à $\widetilde{S}$, de sorte qu'on a un morphisme canonique \[ \text{\struck{(1.1.1)}} \quad \text{(1.1.1)} \qquad f' : X' \longrightarrow \widetilde{S} \] faire $\widetilde{S} = S$ ici ! Si $U'$ est l'image inverse de $U$ dans $X'$, c'est un ouvert de la fibre générique $X'_{\widetilde{\eta}}$ de $f'$ sur $\widetilde{S}$ : \[ \text{(1.1.2)} \qquad U' \subset X'_{\widetilde{\eta}} . \] Ceci posé, le calcul des calcul habituel des fibres de faisceaux ⌜$R^i g_*$⌝ (SGA 4 VII) montre que

laisser tomber $U$ !

131p. V.3 de l'auteur ; dans le bas du feuillet est collé un papillon numéroté V.4 par l'auteur (131A pour les archivistes), transcrit à la suite. Dans le diagramme, les signes au-dessus de $X'$, $X'_{\overline{\eta}}$, $U'$ sont biffés, comme à la page précédente.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & X' \arrow[r, hook'] \arrow[dl] & X'_{\overline{\eta}} \arrow[dl] & U' \arrow[l, hook'] \arrow[dl] & & & \overline{U}' \arrow[lll] \arrow[dl] \\
X \arrow[d] & \widetilde{X} \arrow[l] \arrow[d] & \widetilde{X}_{\widetilde{\eta}} \arrow[l, hook'] \arrow[d] & \widetilde{U} \arrow[l, hook'] & & & \overline{U} \arrow[lll] \arrow[d] \arrow[llll, bend left=20, "g"'] & \\
S & \widetilde{S} \arrow[l] & \widetilde{\eta} \arrow[l] & & & & \overline{\eta} \arrow[llll] &
\end{tikzcd}

diagramme redessiné de l'esquisse : les positions sont approximatives ; la flèche verticale sous $\widetilde{U}$ et la flèche $\overline{\eta} \to \widetilde{\eta}$ (corrigée en surcharge) sont lues avec doute.

un isomorphisme canonique \[ (\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}} \simeq \text{\struck{$H^q(\overline{U}' \times_{\widetilde{X}} \overline{U})$}} \; H^q(\overline{U}', \Lambda_\nu) , \quad \text{avec} \quad \overline{U}' \simeq X' \times_{\widetilde{X}} \overline{U} , \] et comme on a \[ X' \times_{\widetilde{X}} \overline{U} \simeq U' \times_{\widetilde{U}} \overline{U} \simeq U' \times_{\widetilde{\eta}} \overline{\eta} , \] on trouve finalement \[ \text{(1.1.3)} \qquad (\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}} \simeq H^q(\overline{U}', \Lambda_\nu) , \qquad \overline{U}' = U' \otimes_{\widetilde{\eta}} \overline{\eta} = U' \otimes_{\widetilde{K}} \overline{K} . \] Si par exemple $U = X_\eta$ (cas de loin le plus important), on trouve \[ \text{(1.2)} \qquad (\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}} = H^q(X' \times_{\widetilde{S}} \overline{\eta}, \Lambda_\nu) , \] i.e. la fibre du faisceau $(\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\overline{x}}$ en le point géométrique $\overline{x}$ de $\widetilde{X}$ […] n'est autre que le groupe de cohomologie ⌜(à coeff. dans $\Lambda_\nu$)⌝ de la fibre géométrique générique sur $\widetilde{S}$ du localisé strict $X'$ de $X$ en $\overline{x}$. […] […] […] prouver les relations […] relations (2.8), on […] […] compte tenu de […] en conclut des expressions correspondantes pour les ⌜fibres génériques des morphismes $X' \to \widetilde{S}$ entre localisés stricts de $X$ et $S$.⌝ De façon imagée, on peut dire que les relations globales entre les deux fibres géométriques $X_{\overline{s}}$, $X_{\overline{\eta}}$ se […] […] des […] […] […] des cycles évanescents. […] note marginale écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, en partie barrée et en grande partie illisible.

papillon collé, p. V.4 de l'auteur. 2 Lorsque Le même argument donne les relations \[ \text{\struck{(1.1.3)}} \qquad ((\underline{\Psi}^{(q)}_\nu)_{\mathrm{tame}})_{\overline{x}} \simeq H^q(U' \otimes_{\widetilde{K}} \overline{K}_t) , \] en particulier si $U = X_\eta$, cela devient prend la forme \[ \text{(1.3)} \qquad ((\underline{\Psi}^q_\nu)_{\mathrm{tame}})_{\overline{x}} = H^q(X \otimes_{\widetilde{S}} \operatorname{Spec} \overline{K}_t) \; ; \] […]

132p. V.5 de l'auteur.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & X' \arrow[r, hook'] \arrow[dl] & X'_\eta \arrow[l] \arrow[dl] & U' \arrow[l, hook'] \arrow[dl] \arrow[r, no head] & U'_{\overline{\eta}} \arrow[dl] \\
X \arrow[d, no head] & X_\eta \arrow[l, hook'] \arrow[d] & U \arrow[l] \arrow[d] \arrow[r, no head] & U_{\overline{\eta}} \arrow[d, no head] & \\
S & \eta \arrow[l] & \eta \arrow[l] \arrow[r, no head] & \overline{\eta} &
\end{tikzcd}

diagramme redessiné : la flèche $X_\eta \to U$ est dessinée dans ce sens sur la page, et une mention « (pas ent.) » est inscrite à côté de la flèche verticale sous $X_\eta$ ; plusieurs traits n'ont pas de pointe.

1.4. Notons que l'on a \[ X' = \varprojlim_\alpha X_\alpha , \] où les $X_\alpha$ sont étales sur $X$, et affines. On en conclut \[ U' = \varprojlim_\alpha X_\alpha \times_X U , \qquad U'_{\overline{\eta}} = \varprojlim_\alpha (X_\alpha \times_X U)_{\overline{\eta}} , \] d'où \[ \text{(1.4.1)} \qquad (\underline{\Psi}^{(i)}_\nu)_{\overline{x}} \simeq H^i(U'_{\overline{\eta}}, \Lambda) \simeq \varinjlim_\alpha H^i((X_\alpha \times_X U)_{\overline{\eta}}, \Lambda) , \] où les […] $(X_\alpha \times_X U)_{\overline{\eta}}$ sont des schémas algébriques quasi-affines sur $\overline{\eta}$, déduits par changement de base des schémas quasi-affines $X_\alpha \times_X U \subset X_\alpha$ sur $\eta$.

Lorsque $U = X_\eta$, cela devient

2. Application \[ \text{(1.4.2)} \qquad (\underline{\Psi}^{(i)}_\nu)_{\overline{x}} = H^i(X'_{\overline{\eta}}, \Lambda) \simeq \varinjlim_\alpha H^i(X_{\alpha\overline{\eta}}, \Lambda) , \] où les $X_{\alpha\overline{\eta}}$ sont des schémas ⌜algébriques⌝ affines sur $\overline{\eta}$ [déduits des schémas affines $X_{\alpha\eta}$ sur $\eta$]. […]

N.B. Plus généralement, dans 1.4.1, les $(X_\alpha \times_X U)_{\overline{\eta}}$ sont affines si on suppose que $U \to X$ est affine, i.e. $U \to X_\eta$ est affine.

133p. V.6 de l'auteur. Page très reprise : plusieurs ajouts interlinéaires et un passage encadré de traits obliques, qui semble annulé.

2. Application du th. de Lefschetz affine.

2.1. Soit $x \in X_0$, et \[ \text{(2.1.0)} \qquad n_x = \text{\struck{$\dim X_\eta$}} \; \sup_i \dim X_{i\eta} , \] ⌜$X_i$ composantes irréd. de $X$ passant par $x$⌝. Supposons $U \to X_\eta$ affine. Alors dans (1.4.2) les $X_{\alpha\overline{\eta}}$ sont les affines algébriques ⌜sur $\overline{\eta}$⌝ […] $U_{X_\eta}$ et sont ⌜dont les composantes sont au plus de dimension les $\dim X_{i\eta}$⌝ étales sur $X_\eta$, donc affines de dim. $\leqslant n_x$, donc ⌜(SGA 4 XIV …)⌝ leur $H^i$ est nul pour $i > n_x$. On trouve donc \[ \text{(2.1.1)} \qquad (\underline{\Psi}^i_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{pour } i > n_x . \] On en améliorera ce résultat en prouvant que \[ \text{(2.1.2)} \qquad (\underline{\Psi}^i_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{pour } i > n_x - \dim \overline{\{x\}} , \] ce qui implique aussi \[ \text{(2.1.3)} \qquad (\underline{\Psi}^i_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{pour } i > \dim \mathcal{O}_{X_0, x} = \dim_x(X_0) - \dim \overline{\{x\}} \] ([…], dès que […]).

2.2. Pour ceci, notons que […] si $X$ ⌜est⌝ plat sur $X_\eta$ $S$, l'adhérence schématique $\overline{(X_\eta)}_{\mathrm{red}}$ [ainsi du reste que […] les $\underline{\Psi}^{(i)}_\nu$ ⌜[…]⌝ sinon […]], […] ⌜dim.⌝ $X_\eta$ […] […] […] $X_0$, […] […] […] […] $n_x = \dim_x X_0$ $n_x = \dim_x X_0$ […] (2.1.1) et (2.1.2) sont identiques. […] $x$ de $X$, […] […] […]

Alors, il existe un morphisme fini $X \xrightarrow{h} Y = S[T_1, \ldots, T_n]$, et si on pose $F = h_*(\Lambda_X)$, $y = h(x)$, on trouve que les $\underline{\Psi}^{(i)}_*(F)$ relatifs […] les faisceaux […] […] […] induits, comme ce passage est encadré et barré de deux grands traits obliques. $F$ (qui se définissent […] […] […] […] $X$) […]

On peut supposer aussi (quitte à restreindre $X$) que $n_x = \dim X_\eta$, Posons $n_x = n$, […], soit $n$. Soit \[ n = \dim X_\eta = n_x \; ; \] $r = \dim$ soit d'autre part $r = \deg \operatorname{tr.} k(x)/k$.

134p. V.7 de l'auteur.

et soit $x$ On peut supposer $X$ affine, et on peut trouver un système d'éléments \[ t_1, \ldots, t_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \] telles que leurs images dans $k(x)$ forment une base de transc. sur $k$. Les $t_i$ définissent un morphisme \[ h : X \longrightarrow Y = S[T_1, \ldots, T_r] , \] et si $y = h(x)$, on sait que $k(x)/k(y)$ est fini, donc que $x$ est fermé dans $h^{-1}(y)$. On a donc \[ \dim_x h^{-1}(y) = \dim \mathcal{O}_{X_0, x} = n - r , \] et quitte à restreindre $X$, on peut donc supposer que les fibres de $X$ sur $Y$ sont de dim. $\leqslant n - r$. Soit $S_1$ le […] localisé strict de $Y$ en le point géométrique de $Y$ défini par le pt géom. $\overline{x}$ de $X$, $X_1 = X \times_Y S_1$, $U_1 = U \times_Y S_1$. Alors $X_1$ est affine un premier diagramme, à gauche, est barré de grands traits obliques ; on transcrit celui qui le remplace, à droite.

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & X' \arrow[r, hook'] \arrow[d] & U' \arrow[d, no head] & U'_{\overline{\eta}} \arrow[l] \arrow[r, no head] \arrow[dd, "\varphi"] & U' \times_{S_1} \overline{\lambda} \arrow[dd] \\
X & X_1 \arrow[l] \arrow[d] & U_1 \arrow[l, hook'] \arrow[d] & & \\
Y = S[T_1, \ldots, T_r] \arrow[d] & S_1 \arrow[l] \arrow[r, no head, "="] & S_1 \arrow[d] & S_{1\overline{\eta}} \arrow[l] \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & \overline{\lambda} \\
S & & S & \overline{\eta} \arrow[l] &
\end{tikzcd}

diagramme redessiné de l'esquisse ; la flèche $Y \to S$ est doublée sur la page, une flèche verticale sous $S_1$ (à gauche du signe $=$) est raturée, et le sommet $\overline{\lambda}$ remplace un symbole biffé ; lectures de $\overline{\lambda}$ douteuses.

d.f. sur le trait strict. hensélien $S_1$, de dim. relative $n - r$, $U_1$ en est un ouvert affine, $X'$ est le localisé strict de $X_1$ en le pt géom. $\overline{x}$, $U'$ est l'image inverse de $U_1$ dans $X'$. Soit $L$ le corps des fractions de $S_1$, qui est un

135p. V.8 de l'auteur.

extension ⌜algébrique⌝ séparable de $K(T_1, \ldots, T_r)$, donc une extension séparable de $K = k(\eta)$, (et $\lambda = \operatorname{Spec} L \simeq (S_1)_\eta$ […]). D'après 2.1.1, appliqué à la situation $X_1 \to S_1$, et $U_1 \subset X_1$, $X' \to X_1$, on sait que \[ \text{(2.2.1)} \qquad H^i(U' \times_{S_1} \overline{\lambda}, \Lambda) = 0 \quad \text{si } i > n - r , \quad \text{i.e.} \quad R^i \varphi_*(\Lambda_{U'_{\overline{\eta}}}) = 0 \text{ si } i > n - r . \] D'autre part, $\overline{\lambda}$ […] on sait que […] $\operatorname{cd}_\ell$ de $S_{1\eta} = \lambda$ est $\leqslant r$ pour tous les nombres premiers $\neq p$ (SGA 4 XV). Dans la suite spectrale rapprochement, ou dimension cohomologique de $\operatorname{Gal}(\overline{\lambda}/S_{1\eta})$ qui […] […] […] … \[ H^i(U'_{\overline{\eta}}, \Lambda) \Longleftarrow E_2^{p,q} = H^p(\lambda, R^q \varphi_*(\Lambda_{U'_{\overline{\eta}}})) \] dégénère et donne \[ H^i(U'_{\overline{\eta}}, \Lambda) \simeq H^0(\lambda, R^i \varphi_*(\Lambda_{U'_{\overline{\eta}}})) \subset H^i(U' \times_{S_1} \overline{\lambda}, \Lambda) \] le signe qui précède le dernier terme est lu comme une inclusion, avec doute. ce qui implique par (2.2.1) \[ H^i(U'_{\overline{\eta}}, \Lambda) = 0 \quad \text{pour } i > n - r , \] et achève la démonstration. On a prouvé :

Théorème 2.3. Avec les notations de 2.1, on a ⌜pour $x \in X_0$⌝ : \[ (\underline{\Psi}^q_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{pour } q > n_x - \dim \overline{\{x\}} \] (en particulier pour $i > \dim \mathcal{O}_{X_0, x} = \dim_x X_x - \dim \overline{\{x\}}$).

De façon équivalente, on a \[ (\underline{\Phi}^q_\nu)_{\overline{x}} = 0 \quad \text{si } q > n_x + 1 - \dim \overline{\{x\}} , \quad q \geqslant 1 . \] Appliquant le […] […] […] cohomologique ⌜si $n = \dim X_\eta$, $q \geqslant 1$, $X = \overline{X_\eta}$ donc $\underline{\Phi}^0_\nu = 0$ :⌝ … passage encadré ; le renvoi « … » semble indiquer que cet encadré s'insère plus haut. ⌜SGA 4 X⌝, on trouve \[ H^p(X_0, (\underline{\Phi}^q_\nu)|X_0) = 0 \quad \text{si } p \geqslant 2(n + 1 - q) , \] \[ \text{i.e.} \quad p + q \geqslant 2n + 2 - q . \] Corollaire 2.3. On a, si $X$ propre sur $S$

Corollaire 2.4. On a \[ \underline{\Psi}^q_\nu = 0 \quad \text{si } q > \dim X_\eta , \qquad \underline{\Phi}^q_\nu = 0 \quad \text{si } q > \dim X_\eta + 1 . \]

136p. V.9 de l'auteur.

N.B. Supposons ⌜Considérons⌝ maintenant que l'on […] ⌜(fermé)⌝ $Z$ ⌜de $X_0$⌝ ⌜dans⌝ lequel ⌜soit⌝ ⌜(III 1. ), dans⌝ $f : X \to S$ est non lisse, […] ⌜d sa⌝ ⌜dim.⌝ […] ⌜[…] $\underline{\Phi}^q_\nu \subset Z$⌝

On a […] ⌜par SGA 4 X⌝ […] \[ (*) \qquad H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) \neq 0 \;\; \text{\struck{\ill{}}} \;\; \text{implique} \;\; p \leqslant 2d . \] D'ailleurs, on a en vertu de 2.2. (si $n = \dim X_{\overline{\eta}}$) \[ \delta(\underline{\Phi}^q_\nu) \leqslant n + 1 - q \quad \text{si } q \geqslant 1 \] donc on trouve ⌜$\delta(\underline{\Phi}^q_\nu)$⌝ $\leqslant d$ si $n + 1 - q < d$, i.e. […] pour des tels $q$, […] on a par SGA 4 X \[ q > n + 1 - d \; ; \quad \text{\struck{$2\delta(\underline{\Phi}^q_\nu) =$}} \] \[ (**) \qquad H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) \neq 0 \;\; \text{implique} \;\; p \leqslant 2(n + 1 - q) , \] \[ \text{i.e.} \quad p + q \leqslant 2n + 2 - q , \] et on a ⌜pour ces $q$⌝ $2n + 2 - q < 2n + 2 - (n + 1 - d) = n + 1 + d$. D'autre part, si $q \leqslant n + 1 - d$ et ⌜$H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) \neq 0$ i.e.⌝ $p \leqslant 2d$, on a là encore $p + q \leqslant n + 1 + d$. Donc on a dans tous les cas (si $q \geqslant 1$) \[ H^p(X_0, \underline{\Phi}^q_\nu) \neq 0 \Longrightarrow p + q \leqslant n + d + 1 . \] Cette implication est aussi vraie pour $q = 0$, si on ⌜$(d = \ldots \leqslant n = \dim X_0)$⌝ […] suppose que $d \leqslant n + 1$ (ce qui est le cas p.ex. si $X = \overline{X_\eta}$, […] […] p.ex. $X$ plat sur $S$]. On trouve […] \[ \underline{\Phi}_\nu = 0 \quad \text{pour } i > n + d + 1 . \] l'indice manque à $\underline{\Phi}_\nu$ sur la page (ou est surchargé), lu tel quel.

Corollaire 2.5. ⌜(2.4.1)⌝ Supposons ⌜Donc :⌝ Soit ⌜Soit⌝ $d$ la dimension […] ⌜[…]⌝ ⌜du fermé⌝ de $X_0$ en lequel $f : X \to S$ est non lisse, ⌜$n = \dim X_{\overline{\eta}}$, et⌝ […] ⌜supposons⌝ que $d \leqslant n + 1$ i.e. que $\dim X_0 \leqslant n + 1$ [ce qui est le cas si $X = \overline{X_\eta}$, puisque $\dim X_\eta = n$]. Alors les groupes $\underline{\Phi}^i_\nu$ des cycles évanescents ⌜(III 1. )⌝ à coefficients dans $\Lambda_\nu = \mathbf{Z}/\ell^\nu \mathbf{Z}$, sont nuls pour les $i > n + d + 1$, en d'autres termes l'hom. (cel. à $U = X_\eta$)

137p. V.10 de l'auteur.

\[ H^i(X_0, \Lambda_\nu) \longrightarrow H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) \] est un isomorphisme si $i > n + d + 1$, un épimorphisme si $i = n + d + 1$. L'action du groupe d'inertie […] $I$ sur $H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu)$ est triviale si $i \geqslant n + d + 1$.

Procédant par dualité, on trouve :

Corollaire 2.6. Avec les hypothèses précédentes, l'action de $I$ sur $H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu)$ est triviale si $i \notin [n - d, n + d]$.

En particulier, si $d = 0$ i.e. si l'ens. $Z$ des pts de $X_0$ où $f$ n'est pas lisse est fini, alors l'action de $I$ sur $H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu)$ est triviale si $i \neq n$.

interversion avec 2.8 Remarque 2.7. Lorsque $f : X \to S$ est projectif, on peut trouver une démonstration plus simple de […] ⌜de⌝ 2.5 (ainsi ⌜de⌝ 2.6) […] […] triviale […] […] […] […] […]. En effet, plongeons $X \subset \mathbf{P}^r_S$, et soit $Y$ une section plane ⌜générique⌝ de $X$, obtenue en coupant $X$ par $r - d - 1$ […] hyperplans de $\mathbf{P}^r_S$. Si ces derniers sont bien choisis, on peut supposer $Y_0$ lisse de codim. $d + 1$ dans $X_0$, et alors $Y$ est lisse sur $S$, de codim. $d + 1$ dans $X$. De plus, le th. de Lefschetz affine SGA 4 XIV implique aisément, […] de façon connue, que l'homom. de Gysin \[ H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu) \longrightarrow H^{i + 2(d+1)}(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu(d + 1)) \]

138p. V.11 de l'auteur.

est surjectif si $i \geqslant \dim Y_{\overline{\eta}} = n - d - 1$, ⌜et bijectif si $i > n - d - 1$ i.e. si $i + 2(d+1) > n + d + 1$⌝ donc si $i + 2(d + 1) \geqslant n + d + 1$, Donc le fait que $I$ opère […] sur $H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu)$ […] provient du fait qu'il opère trivialement sur $H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu)$, […] est une conséquence bien connue du fait que $Y$ est propre et lisse sur $S$ (SGA 4 XVI …) \[ \begin{array}{ccc} H^i(Y_s, \Lambda) & \longrightarrow & H^{i + 2(d+1)}(X_s) \\ \downarrow{\scriptstyle \varphi_Y} & & \downarrow{\scriptstyle \varphi_X} \\ H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda) & \longrightarrow & H^{i + 2(d+1)}(X_{\overline{\eta}}) \end{array} \] passage encadré et barré de traits obliques ; à la suite, d'une autre encre : « le diagramme commutatif », puis le carré ci-dessus. donne alors le résultat voulu ($\varphi_Y$ est bijectif par SGA 4 XVI …)

Remarque 2.8. L'assertion 2.3 suggère la […] conjecture suivante. Soit $X = \operatorname{Spec} A$ un schéma strict. ⌜local⌝, ⌜de dim. $n$⌝, $t \in A$, […] et $U = X - V(t) = \operatorname{Spec} A_t$, et soit pour tout entier $m$ premier à la car. \[ X_{(m)} = \operatorname{Spec} A[T]/(T^m - t) , \qquad U_{(m)} = X_{(m)} \times_X U , \] \[ U(\infty) = \varprojlim U(m) . \] Est-il vrai que la dim. cohomologique de $U(\infty)$, pour des coefficients premiers à […] $p$, […] est $\leqslant n - 1$ ? [La conjecture standard SGA 4 XIV […] […] […] pour $\ell \neq p$ : $\operatorname{cd}_\ell(U(m)) \leqslant n$ pour tout $m$, donc $\operatorname{cd}_\ell(U(m)) \leqslant n$, et non $n - 1$ !] la fin de la phrase est lue telle qu'elle semble écrite ; la seconde inégalité devrait sans doute porter sur $U(\infty)$.

139p. V.12 de l'auteur.

3. Application du th. de Lefschetz ⌜(de la section hyperplane)⌝ […] global.

3.1. 3.1. Supposons que la profondeur étale cohomologique ⌜pour $\ell$⌝ de $X_s$ et $X_{\overline{\eta}}$ soit $\geqslant m$, i.e. que pour tout $x \in X_s$, on ait \[ \text{(3.1.1)} \qquad \underbrace{\operatorname{prof\,ét}_x X_s}_{\operatorname{prof\,ét}^*_x(X_s)} + \dim \overline{\{x\}} \geqslant m \] et de même pour tout $x \in X_{\overline{\eta}}$, \[ \text{(3.1.2)} \qquad \underbrace{\operatorname{prof\,ét}_x (X_{\overline{\eta}})}_{\operatorname{prof\,ét}^*_x(X_{\overline{\eta}})} + \dim \overline{\{x\}} \geqslant m , \] où $\overline{x}$ désigne un point géométrique au-dessus de $x$, […] (ainsi pour alors …), […]. On sait que […] […] cf. SGA 2 XIV … pour la notion de profondeur étale. par l'hypothèse faite sur $X_{\overline{\eta}}$ ou […] ⌜[…]⌝ sur la fibre géométrique $X_{\overline{\eta}}$). Alors, soit $d$

Soit ⌜$d$⌝ comme dans 2.5, et supposons ⌜d'abord⌝ $X$ projectif et plat sur $S$. Choisissons $Y$ comme dans 2.7, alors le th. de Lefschetz ⌜global⌝ […] sous la forme SGA 2 XIV 4.6 entraîne [en vertu du changement de base […] pour les clôtures alg. de $k$ et $K$] les relations suivantes : les \[ H^i(X_s, \Lambda) \longrightarrow H^i(Y_s, \Lambda) \qquad (\text{resp. } H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda) \to H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda)) \] est bijectif pour $i < m - d - 1$, injectif pour $i = m - d - 1$. Le diagramme commutatif

LaTeX source

\begin{tikzcd}
H^i(X_s, \Lambda) \arrow[r, "\varphi^i_X"] \arrow[d] & H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda) \arrow[d] \\
H^i(Y_s, \Lambda) \arrow[r, "\varphi^i_Y", "\sim"'] & H^i(Y_{\overline{\eta}}, \Lambda)
\end{tikzcd}

(où $\varphi_Y$ est bijectif en vertu de SGA 4 XVI …) montre que $\varphi^i_X$ est bijectif \[ \text{(3.2)} \qquad \varphi^i_X : H^i(X_s, \Lambda) \longrightarrow H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda) \] est bijectif pour $i < m - d - 1$, injectif pour $i = m - d - 1$, dans le nom du paragraphe et dans (3.1.1)–(3.1.2), « prof. ét. » est l'abréviation de l'auteur ; la ligne sous chaque accolade est écrite au-dessus ou au-dessous de la formule, d'une autre encre.

140p. V.13 de l'auteur. Une grande partie de la page (de « Remarque 3.2 » jusqu'en bas) est barrée de longs traits obliques ; elle est transcrite sous cette réserve.

en d'autres termes que l'on a \[ \text{(3.1.3)} \qquad \underline{\Phi}^i_\nu = 0 \quad \text{pour } i \leqslant m - d - 1 . \] Remarque 3.2. Supposons par exemple que $X_s$ soit localement une intersection complète, ce qui implique […] que $X$ soit loc. une intersection complète, ce qui implique la même chose pour $X_{\overline{\eta}}$. Alors (cf. SGA 1 XIV 5.6) on peut prendre $m \geqslant n$, et (3.1.3) prend la forme \[ \text{\struck{(3.2.1)}} \quad \text{\struck{$\underline{\Phi}^i_\nu = 0$ pour $i \leqslant n - d - 1$,}} \] ce qui, compte tenu de 2.7, prend la forme \[ \text{\struck{(3.2.2)}} \quad \text{\struck{$\underline{\Phi}^i_\nu = 0$ si $i \notin [n - d, n + d + 1]$.}} \] Si $d = 0$, (ou d'ailleurs […] de […] $Z$ fini sur $X_0$) cela signifie \[ \text{\struck{(3.1.6)}} \quad \text{\struck{$\underline{\Phi}^i_\nu = 0$ si $i \neq n, n+1$.}} \] De même on a une notion du groupe d'inertie $I$, (3.1.3) signifie que cette action est triviale pour $H^i(X_{\overline{\eta}}, \Lambda_\nu)$ si $i < m - d - 1$, donc compte tenu de 2.7) si $i \notin [m - d - 1, n + d]$ ; donc si $m = n$ (p.ex. $X_s$ loc. une intersection complète) si $i \notin [n - d - 1, n + d]$, et si de plus $d = 0$ si $i \neq n - 1, n$. On compare avec le corollaire 2.6, plus fort (car il suffit de supposer $i \neq n$) mais avec une hypothèse additionnelle [$X_\eta$ lisse ou lieu de […] complète] de singularités locales (des intersections complètes ⌜exactement⌝ $X_s$ (d'intersection complète)). Mais dans ce cas on peut améliorer les conclusions, en remplaçant $i \leqslant n - d - 1$ par $i \leqslant n - d$. l'argument se poursuit au-delà de cette page, hors du lot.