Fonds Grothendieck, cote n° 34, pages 41–60

p. 40 de l'auteur. La page s'ouvre au milieu d'une démonstration commencée avant ce lot.

Le haut de la page est un passage encadré, barré de deux longs traits obliques. isom. canonique \pi_1(S,\xi) \simeq \pi_1(\operatorname{Spec} k, \bar k) = \operatorname{Gal}(\bar k/k). De plus, l'hom. canonique \pi_1(U,\xi) \to \pi_1(S,\xi) = \pi_0 (déf.) est surjectif, et à la structure suivante :

Quotientant E par son sous-groupe de torsion (ce qui ne change pas la conclusion, ni l'hyp.), on se ramène par ex. au cas où E est sur \mathbf{Z}_\ell, l'hyp. d'action unipotente signifiant maintenant que l'image de I dans \operatorname{Aut}(E_0) (E_0 = E \otimes_{\mathbf{Z}_\ell} \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}) est d'ordre premier à p. Mais I est limite projective des I_\alpha, l'image de I dans \operatorname{Aut}(E_0) est l'intersection des I_\alpha premier à p. Donc I' = I_t d'un groupe premier à p

(B) On utilise maintenant le de structure suivant, qui est une des variantes du lemme d'Abhyankar :

devrait avant l'actuel n° 2

Lemme 8.5. Soient A un anneau local noeth. régulier, k son corps résiduel, p l'exp. car. de k, (x_i)_{1 \leq i \leq n} une partie d'un syst. régulier

p. 41 de l'auteur. de paramètres de A, x = \prod x_i, S = \operatorname{Spec} A, U = \operatorname{Spec} A_x = S_x, \xi un pt géom. de U.

a) \xi définit une clôture séparable \bar k de k et on a un isom. canonique (8.5.1) \qquad \pi_1(S,\xi) \simeq \pi_1(\operatorname{Spec} k, \bar k) = \operatorname{Gal}(\bar k/k).

b) L'hom. canonique (8.5.2) \qquad \pi_1(U,\xi) \longrightarrow \pi_1(S,\xi) \simeq \operatorname{Gal}(\bar k/k) est surjectif, et définit donc \pi_1(U,\xi) comme extension de \operatorname{Gal}(\bar k/k) par un groupe I ; ~~: \pi_1(\tilde S, \tilde\xi), où \tilde S le hensélisé strict~~ (8.5.3) \qquad 1 \longrightarrow I \longrightarrow \pi_1(U,\xi) \longrightarrow \operatorname{Gal}(\bar k/k) \longrightarrow 1 , et on a un isom. can. (8.5.4) \qquad I \simeq \pi_1(\tilde U, \tilde\xi) , où \tilde S désigne le hensélisé strict de S relativement à \bar k/k, \tilde U l'image inverse de U dans \tilde S, et \tilde\xi un de \xi à \tilde S.

c) Soit I_t le plus grand quotient de I qui soit premier à p. Alors on a un isom. canonique (8.5.5) \qquad I_t \simeq \Bigl(\prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1)\Bigr)^n , \mathbf{Z}_\ell(1) \simeq T_\ell(k(\xi)^*) \simeq T_\ell(\bar k^*) . Dans la première formule, un premier membre \bigl(\hat{\mathbf{Z}}'(1)\bigr)^n est biffé et remplacé par le produit ; la seconde portait le numéro (8.5.6), biffé. Une ligne biffée suit : \hat{\mathbf{Z}}'(1) = \prod \mathbf{Z}_\ell(1).

ne sert pas dans la démonstration de 8.1. Pour un revêtement principal S' de S, de groupe \Gamma, la représentation correspondante \pi \to \Gamma, i.e. un hom. I \to \Gamma, ~~qui~~ se factorise par I_t si et seulement si

p. 42 de l'auteur. la suite, s'il est modérément ramifié le long des ~~hypersurfaces des x_i~~ diviseurs \operatorname{div}(x_i).

d) L'action naturelle de \pi_1(U,\xi) sur ~~I_t =~~ \prod_{\ell \neq p} I/[I,I]^{(\ell)}, qui se factorise évidemment par une action de \operatorname{Gal}(\bar k/k), s'identifie via l'isomorphisme (8.5.5) au produit de l'action naturelle de \operatorname{Gal}(\bar k/k) sur T_\ell(\bar k^*), i.e. les opérations de \operatorname{Gal}(\bar k/k) sur les {}_{\ell^\infty}(\bar k^*) \subset \bar k^*.

Démonstration laissée au lecteur —

Corollaire 8.6. Sous les conditions de 8.5, supposons qu'aucune extension finie de k ne contienne les racines de 1, pour tout entier \nu. Alors représentation \ell-adique de \pi_1(U,\xi) modérée, i.e. telle que l'action induite de I se factorise par une action de I_t, ~~soit quasi-unipotente.~~ cette dernière est quasi-unipotente.

Remarque 8.7. ~~t = u \prod x_i^{\alpha_i} \alpha_i \geq 1, et x_i \in \mathfrak{m}_V \subset \mathfrak{m} = tV~~ u_i \in A^* \subset V^* Dans le cas d'application de 8.6, aura n = 1 (un seul x_i, soit x_1) et \alpha_1 = 1. Donc ~~le cas , la structure du groupe~~ n = 1, et l'hom. I \to I' induit un isom. I_t \xrightarrow{\ \sim\ } I'_t .

Remarque 8.8. La démonstration de 8.1 , hyp. des propriétés sur X_K, si sait que l'on peut un V_\alpha des pts géométriques y_\alpha de S

p. 43 de l'auteur. au dessus duquel E_\alpha = R^i f_{\alpha *}(\mathbf{Z}_{\ell\, X_\alpha}) est constant tordu. En effet, le fait que E R^i f_*(\mathbf{Z}_{\ell\, X_K}), ~~Y_\alpha~~ ~~\to~~ Y_\alpha \to S_\alpha signifie que R^i f_{\alpha *}(\mathbf{Z}_{\ell\, X_\alpha}) est de base Y_\alpha \to S_\alpha et Y \to Y_\alpha. est trivial, par le de base (SGA 4 XVI 1.6). ~~D'autre~~ ~~, l'exis~~ D'autre part, l'existence d'un V_\alpha comme dessus est de la résolution des singularités (sous la forme de Hironaka) pour les schémas de type fini et de dim. \leq \dim X_K \; \ill{} sur K_\alpha (SGA 5 II 5.1). Cette hypothèse est vérifiée en particulier, par Hironaka, si K est de car. nulle, et ~~lorsque par Abhyankar, si \dim X_K \leq 2.~~

Ce qui suit, jusqu'au corollaire 8.9 inclus, est encadré et barré en croix. ( X de type fini sur X_K.) Corollaire 8.9. Soit V comme dans 8.1, ~~K = \ill{}~~ nulle, ou \dim X_K \leq 2. ~~Soit X_K de sur K,~~ pour i \in \mathbf{Z}, pour V_\alpha du résultat ( dans 8.2 a)) ou l'action de I dans H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) modérée (cas de 8.2 b) par exemple). Alors l'action de I sur H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell) est quasi-unipotente. ~~K de~~

Corollaire 8.9. Les conclusions de 8.2 restent vraies dans le cas où X est seulement supposé de t.f. sur K (cas ), pourvu que dans le cas a), on suppose la caractéristique de K égale à 0, ou \dim X_K \leq 2.

p. 44 de l'auteur.

9. Réductions au cas projectif et lisse.

9.0. Nous , la question de savoir, pour V, \alpha une situation donnée, si le th. de monodromie 7.1. est vrai pour tout X_K de t.f. sur K, ~~de dim~~ tel que \dim X_K \leq n . Nous allons d'ailleurs envisager la conjecture correspondante pour les \pi-modules H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \qquad (\text{pour } X_K \text{ \emph{régulier}}). la conjecture est vérifiée pour les dim. \leq n-1. Nous supposerons que la conj.

9.1. Cas X lisse. Relation entre H^i et H^i_!. Dans ce cas, et si X est propre, on a un isom. canonique H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \simeq H^{2n-i}_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)'(-n) , Dans la formule, un facteur \otimes \mathbf{Q}_\ell(n) est raturé et remplacé par « (-n) » ; un « (=n) » reste lisible dans la rature. où \mathbf{Q}_\ell(n) désigne le twist de Tate \otimes_{\mathbf{Q}_\ell} \mathbf{Q}_\ell(n), et ' désigne le dual. Cet isom. est compatible avec l'action de \pi et a fortiori de I. Comme I opère trivialement sur \mathbf{Q}_\ell(-n), il s'ensuit que l'action de I sur H^i(X_{\bar K}; \mathbf{Q}_\ell) est quasi-unip. (resp. unip.) ssi l'action sur H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) l'est.L'indice inférieur de ce H est surchargé ; « ! » est une lecture.

9.2. Cas H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell), X_K sép. de t.f. sur K. ~~La suite~~ ~~Pour~~ Soient U un ouvert dense de X_K, Y complémentaire. Alors la suite exacte \cdots \to H^i_!(Y_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \to H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \to H^i_!(U_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \to H^{i+1}_!(U_{\bar K}, \ldots L'argument du premier terme est raturé et peu lisible ; Y est une lecture. L'ordre des termes est celui de la page. qui montre, moyennant l'hyp. de récurrence, que

p. 45 de l'auteur. l'action de I sur H^i_!(X_{\bar K}) est quasi-unipotente ssi son action sur H^i_!(U_{\bar K}) l'est : birationnel de la question.

Si donc on peut trouver un propre et lisse \hat U_K de U_K, ramené au cas d'un schéma lisse et propre. Si on admet la résolution (pour ) des singularités pour la clôture parfaite de K, pour les schémas de t.f. de dim. \leq n, on (pourvu U affine) , sous la condition que l'hypothèse de récurrence toute extension radicielle finie K' de K ( remplaçant la clôture V' de V dans K').

Remarque 9.3. D de 7.1, ça aussi pour H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell), si X lisse séparé. Le cas non séparé s'y ramène, par la suite spectrale de Leray d'un recouvrement fini de X par des ouverts affines.

Le bas de la page est encadré et barré de traits obliques. 9.3. Cas de H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) pour X séparé de t.f. quelconque. ~~Soit , On peut~~ Si U est un ouvert , X admet , et un de X par U. On peut trouver U tel que U soit . une extension finie radicielle K' de K, telle que (U_{K'})_{\mathrm{red}} soit lisse sur K'. On de 9.2.

9.3. Cas de H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) pour X de t.f. quelconque. Ce dernier intitulé est tracé sur le cadre du passage barré ; il n'est pas certain qu'il soit conservé.

p. 46 de l'auteur. Cela prouve :

Proposition 9.4. ~~Pour~~ a) Pour la validité du th. de monodromie (pour les H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)), pour V fixé, et des X_K avec \dim X_K \leq n, et tout i, il suffit de savoir qu'il est vrai pour tout X_{K'}, où X est lisse de dim. \leq n sur K' une extension finie radicielle K' de K, considérée comme corps des fractions de la clôture normale V' de V dans K'. On peut supposer les X_{K'} affines. a) b) Dans le cas où ~~la résolution des singularités~~ toute extension de t.f. et de degré de transcendance \leq n sur la clôture parfaite K^{p^{-\infty}} de K admet un modèle projectif et lisse, il suffit de supposer les X_{K'} projectifs. c) Enfin, si ces conditions ~~préalables~~ étant vérifiées, a) vérifiée, donc pour tout X_K de t.f. et lisse sur K, et de dim. \leq n, le th. de monodromie est vrai aussi pour les H^i_*(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell).

9.5. Nous allons maintenant examiner le th. de monodromie pour H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell), pour X_K de t.f., en supposant que ~~les conditions de 7.1 vérifiées tout .~~ ~~On procède par récurrence sur i, le cas i < 0 étant trivial.~~ prouvé pour les H^j(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) pour j < i.

p. 47 de l'auteur. On peut supposer U affine, donc quasi-projectif. On admet que la résolution des singularités sur la clôture parfaite de K dim. \leq n. Alors, quitte à passer à une extension radicielle finie de K, on pourra trouver un morphisme surjectif birationnel et propre X' \longrightarrow X , avec X' lisse. La suite spectrale de descente de Deligne donne H^*(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(\alpha \longmapsto H^q((X'/X)^{\alpha+1}_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\bigr) . ~~Dans~~ ~~Cette suite spectrale~~ ~~Nous supposons que l' H^q pour q < i, sans restriction sur la dimension de X~~ L'hyp. de récurrence signifie ~~E_2^{pq} \to E_\infty~~ l'action de I sur E_2^{pq} est quasi-unipotente quand q < i. ~~Pour~~ ~~q < i, on doit prendre~~ Parmi ces termes E_2^{pq} p + q = i, le seul ~~s'il est~~ si l'action de I quasi-unipotente E_2^{0,i} \subset H^i(X'_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell). ~~Mais~~ On

Le bas de la page, de la proposition 9.6 à la fin, est barré de deux grandes croix, et chaque ligne y est en outre raturée ; seuls des fragments se lisent. K^{p^{-\infty}} des schémas de dimension . Prop. 9.6. le th. de monodromie pour les X_K de t.f., pour i \leq n, H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) X_K i = n, X_{\bar K} lisse quasi-projectif, et extension radicielle K' de K. Alors H^n(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) pour X la clôture K^{p^{-\infty}}, admet une résolution des singularités.

p. 48 de l'auteur. ~~Corollaire~~ Proposition 9.6. Supposons la résolution des singularités (ordinaire) sur K^{p^{-\infty}} en toute dimension, et que pour tout X projectif et lisse sur K, l'action de I sur H^i_*(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) soit quasi-unipotente, et kif-kif après extension finie radicielle de K. Alors pour tout X_K de t.f. sur K, l'action de I sur les H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) est quasi-unipotente.

Il suffit de conjuguer quiproquo 9.4 et 9.4 c), en procédant par récurrence sur n. « 9.4 » corrige un premier renvoi raturé ; le second porte « § 9.4 c) » ou « 9.4 c) ».

9.7. Cas des H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell), pour i \leq 1.

Le cas de i = 0 est trivial et laissé au lecteur (en fait, \pi y opère de façon quasi-triviale).

Pour le cas i = 1, on peut, quitte à une extension finie de K, supposer que les composantes irréductibles réduites de X_K sont géom. intègres. Supposons X réduit, , X' sa normalisée, X'' = X' \times_X X', X''' = X' \times_X X' \times_X X' ( , voir SGA 4 VIII) : la suite spectrale de descente finie donne 0 \to H^1\bigl(\alpha \mapsto H^0((X'/X)^{\alpha+1}_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\bigr) \to H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \to \operatorname{Ker}\bigl(H^1(X'_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \overset{\partial}{\rightrightarrows} H^1(X''_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\bigr) . Une première version de la ligne, raturée : 0 \to \operatorname{Ker}\bigl(H^0(X''_{\bar K}) \overset{\partial}{\rightrightarrows} H^0(X'''_{\bar K})\bigr). Sous le premier terme, une accolade : « d'un sous- de H^0(X''_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) ». Cela nous ramène à voir que l'action de I sur H^1(X'_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell). Donc ramène au

p. 49 de l'auteur. cas de X géom. normal. ~~La suite \mathcal{U} \ill{} \ill{}~~ On peut supposer de plus X géom. intègre ( les composantes connexes l'étant). Si U est un ouvert non vide de X, … H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \hookrightarrow H^1(U_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell), donc on ~~peut~~

Le passage qui suit est encadré, barré de traits croisés, et chaque ligne y est en outre raturée. supposer X affine, donc quasi-projectif. Soit \hat X de X, donc quasi-projectif. Quitte à faire une extension finie radicielle sur K, X \subset \bar X \bar X projectif, que remplaçant X par U. géom. normal. Notons , U un dans , V de . Alors

~~H^1(\ill{}~~ ~~\hat X U, qui supposé affine.~~ et lisse. ~~Soit une clôture projective \hat X de U, qui~~ ~~W_{K'/K} ( quitte à faire une extension radicielle finie) géom. normale.~~ ~~H^1(U, \mathbf{Z}/\ell^\nu\mathbf{Z}) X, sur X, des de X - U.~~ Plusieurs fragments de cette zone sont des ajouts de sa main au-dessus de lignes biffées, et ont été biffés à leur tour ; l'ordre de lecture n'est pas sûr.

Une propriété d'extension transcendante pour des V « de géométrique » X est de dim. 1. ~~Alors le calcul explicite~~ plus ~~montre~~ le modèle projectif régulier \hat X de X est lisse. ( La dualité nous ramène H^1_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell), la suite exacte de H^1_!(\hat X, \mathbf{Q}_\ell) = H^1(\hat X, \mathbf{Q}_\ell). est donc ramené au cas d'une courbe ~~projective~~ lisse sur K. A expliciter )

Proposition 9.8. … L'énoncé de la proposition 9.8 est laissé en blanc, marqué seulement de pointillés.

Exposé II. Cas d'action risquable du groupe fondamental

Titre de la p. 52. Au-dessous, entre parenthèses : « (Une variante du th. de monodromie) » ; un « II » est porté au-dessus de « fondamental ». La page précédente, p. 51, est blanche.

Nous donnons ~~dans le~~ ~~les actions~~ présent exposé un résultat de nature analogue au théorème de monodromie de l'exposé précédent, à titre de nouvelle illustration de la méthode qui y était employée. Il ne servira plus dans la suite de ce Séminaire.

1. Énoncé du résultat, corollaires.

Écrivons le résultat ~~essentiel~~ principal du présent exposé, c'est le suivant :

Théorème 1.1. Soient k un corps, ~~\bar k une clôture algébrique, k tel que le corps des déduit de k~~ (ou non absolu), X un schéma sur k S = \operatorname{Spec} k, de type fini (ou non absolu), normal, localement de type fini, géométriquement connexe, \xi un point géométrique de X, d'où (SGA 1 VIII) une suite exacte (1.1.1) \qquad 1 \to \pi_1(\bar X, \xi) \longrightarrow \pi_1(X, \xi) \longrightarrow \pi_1(S, \xi) \longrightarrow 1 , avec \bar X = X \otimes_k \bar k, \bar k étant la clôture séparable de k dans k(\xi), (et \xi désignant aussi les points géométriques de S resp. \bar X déduits canoniquement de \xi). ~~() I(\ell) le~~ ~~Considérons le plus grand~~ Soient \ell un nombre premier distinct de la caractéristique de k, \pi un sous-groupe ouvert de \pi_1(X,\xi), \pi_0 son image dans \pi_1(S,\xi), I = \pi \cap \pi_1(\bar X, \xi), de sorte qu'on a une suite exacte (1.1.2) \qquad 1 \longrightarrow I \longrightarrow \pi \longrightarrow \pi_0 \longrightarrow 1 . Soit I(\ell) la composante \ell-primaire du plus grand quotient profini abélien I_{\mathrm{ab}} de I, ~~Alors~~ d'où par passage au quotient une extension (1.1.3) \qquad 1 \longrightarrow I(\ell) \longrightarrow \pi' \longrightarrow \pi_0 \longrightarrow 1 . Alors I(\ell) est un module de type fini sur \mathbf{Z}_\ell, et [\pi', I(\ell)] ~~est~~ est d'indice fini dans I(\ell), en d'autres termes le plus grand quotient profini de I(\ell) sur lequel \pi_0 opère trivialement est un groupe fini. Les notations « \bar X » et « \bar k » rendent des lettres surlignées sur la page ; l'exposé lui-même est la suite du précédent, qui était l'exposé sur le théorème de monodromie.

p. II 2 de l'auteur. Ce théorème sera démontré dans les sections suivantes.

Le passage qui suit est encadré et barré en croix. au cas où X est un ouvert d'une courbe algébrique projective et lisse sur k, on peut l'énoncé résultant de l'hyp. de Riemann pour les courbes algébriques sur un corps fini, démontrée par A. Weil dans ce cas.

Nous dans le présent n° donnons quelques conséquences. Notons que la suite exacte (1.1) implique une suite exacte (I^{\mathrm{ab}})_{\pi_0} \longrightarrow \pi^{\mathrm{ab}} \longrightarrow \pi_0^{\mathrm{ab}} \longrightarrow 1 et en passant aux composantes \ell-primaires I(\ell)_{\pi_0} \longrightarrow \pi^{\mathrm{ab}}(\ell) \longrightarrow \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell) \longrightarrow 1 , d'où concluant :

Corollaire 1.2. L'homomorphisme surjectif canonique \pi^{\mathrm{ab}}(\ell) \longrightarrow \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell) a un noyau fini.

~~Utilisant I 6.1, de 1.1~~

Corollaire 1.3. Soit u : \pi_1(X,\xi) \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbf{Q}_\ell}(E) une représentation \ell-adique , telle que la représentation induite sur \pi_1(\bar X, \xi) soit ~~abélienne~~ essentiellement résoluble, ~~ou plus~~ ~~géométriquement de Riemann~~ (i.e. qu'un sous-groupe ouvert de I dans l'action soit ~~abélien~~ résoluble). Alors la représentation induite sur I est essentiellement unipotente, (donc essentiellement triviale si elle est semi-simple). Les notations \pi, \pi_0 et I de cette page sont celles de 1.1 ; le renvoi « (1.1) » est sur la page ; « I 6.1 » renvoie à l'exposé précédent.

p. II 3 de l'auteur. En effet, l'hypothèse implique qu'il existe un sous-groupe ouvert \pi de \pi_1(X,\xi) tel que la représentation induite sur I = \pi \cap \pi_1(\bar X, \xi) soit petit, supposer abélienne. Prenons U ( I') qui l'image de I dans \operatorname{Aut}_{\mathbf{Q}_\ell}(E) un pro-\ell-groupe. Donc la représentation de \pi provient d'une représentation de \pi', l'extension (1.3) de \pi_0 par I(\ell). On conclut par I 6.1.

Corollaire 1.4. Avec les notations de 1.3, supposons l'action de \pi_1(X,\xi) commutative essentiellement abélienne. Alors la représentation induite sur I est essentiellement triviale, ~~surjectif~~ i.e. il existe un sous-groupe ouvert ~~X' \to X,~~ U de \pi tel que la restriction de la représentation associée à \pi se factorise par \pi_0 = \operatorname{Im}\bigl(\pi \to \pi_1(S,\xi)\bigr) . ~~Cet résultat~~ On prend d'abord \pi tel que la restriction à \pi soit abélienne, et que l'image de \pi dans \operatorname{Aut}_{\mathbf{Q}_\ell}(E) soit un pro-\ell-groupe. Alors la représentation de \pi représentation provient d'une représentation de \pi^{\mathrm{ab}}(\ell), et ~~il suffit d' que~~ 1.2 qu'il existe un sous-groupe ouvert U de \pi^{\mathrm{ab}}(\ell) tel que U \to \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell) soit injectif ; donc la représentation restreinte à U provient d'une représentation de son image dans \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell). Il suffit

p. II.4 de l'auteur. donc de ~~considérer~~ prendre l'image inverse V de U dans \pi, la restriction de la u à V provient d'une représentation de l'image de V dans \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell), donc d'une repr. de l'image de V dans \pi_0, cqfd.

Dans la marge gauche, ce diagramme ; les flèches obliques sont tracées d'un trait plus fin, et l'on a gardé leur sens tel qu'il se lit.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & V \arrow[r, hook] \arrow[d] \arrow[dl] & \pi \arrow[d] \\ \operatorname{Im} V \arrow[r, hook] \arrow[dr] & U \arrow[r, hook] \arrow[d, "\wr"] \arrow[dr] & \pi^{\mathrm{ab}}(\ell) \arrow[d] \\ & U \arrow[r, hook] & \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell) \end{tikzcd}

La flèche de \operatorname{Im} V vers le \pi_0 voisin s'écrit sur la page « \operatorname{Im} V \hookrightarrow \pi_0 » ; on l'a rendue par la seule flèche oblique que le dessin porte vers le U du bas. Un trait oblique joint aussi \pi à U.

On va donner une application de ces résultats à la théorie des V.A.

Théorème 1.5. Soient k, A, ~~X, \xi~~ comme dans 1.1, k un corps sép. clos, X schéma loc. de type fini, mais sép. clos ~~normal et~~ , \xi un point géométrique de X, \ell un nombre premier distinct de la caractéristique de k, A un schéma abélien sur X, géométriquement intègre. Supposons que la représentation de \pi_1(\bar X, \xi) dans T_\ell(A_\xi) soit ~~abélienne~~ essentiellement résoluble. Alors cette représentation est essentiellement ~~unipotente~~ triviale, ~~donc essentiellement triviale si elle est semi-simple (*)~~. ~~Donc~~ et il existe un revêtement étale fini surjectif X' \to X, ~~extension finie séparable k' de k,~~ ~~X' \to \operatorname{Spec}(k')~~ un schéma abélien B sur k, ~~tel que A_{X'} radicielle~~ et une isogénie radicielle B_{X'} \to A_{X'}. ~~qui soit~~ En particulier, si k est de car. nulle, A_{X'} est isogène à B_{X'} (i.e. est un schéma abélien constant).

Prouvons d'abord l'assertion que la représentation de \pi_1(X,\xi) dans T_\ell(A_\xi) est ess. unipotente . ~~Donc~~ Soit U un voisinage de \xi,

Au pied de la page, sous un trait, l'appel (*) : « (*) Il y a lieu de conjecturer que (sans hypothèse ) l'action de \pi_1(X,\xi) sur T_\ell(A_\xi) est toujours semi-simple », le tout biffé. La colonne A / X / S en marge gauche figure la tour A \to X \to S.

p. II.5 de l'auteur. alors, X U étant normal, \pi_1(U,\xi) \to \pi_1(X,\xi) est surjectif, donc il ~~est~~ suffit de prouver l'assertion pour U,\xi et A|U. Cela nous permet de supposer X affine, donc de t.f. sur k.

En marge gauche, ce carré :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] A_0 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & A \arrow[d, no head] \\ X_0 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X \arrow[d, no head] \\ S_0 \arrow[r, no head] & S \end{tikzcd}

On sait alors que X, A proviennent de S_0 = \operatorname{Spec} k_0, k_0 un sous-corps de t.f. de k, X_0 schéma de t.f. sur S_0, A_0 schéma abélien sur X_0. Alors, ~~\xi~~ X X \to X_0 étant fid. plat et X normal, X_0 est normal. De plus, \xi définit un pt géométrique de X_0, d'où par conséquent la suite exacte du type (1.1.1) 1 \to \pi_1(\bar X_0, \xi) \longrightarrow \pi_1(X_0, \xi) \longrightarrow \pi_1(S_0, \xi) \to 1 . ~~De plus, Soit si~~ \bar k_0 est la clôture séparable de k_0 dans k, on a \bar X_0 \simeq X_0 \otimes_{k_0} \bar k_0, donc X_0 \simeq \bar X_0 \otimes_{\bar k_0} k. On a un hom. (1.5.1) \qquad \pi_1(X,\xi) \longrightarrow \pi_1(\bar X_0, \xi) qui est un homomorphisme surjectif, (vérif). Par ces conditions, la représentation naturelle de \pi_1(X,\xi) dans T_\ell(A_{0\xi}) = T_\ell(\bar A_\xi), et la représentation induite via \pi_1(X,\xi) \to \pi_1(\bar X_0, \xi) \hookrightarrow \pi_1(X_0, \xi) autre que celle qu'il s'agit d'étudier A, ess. résoluble (resp. ) la surjectivité de (1.5.1), dire qu'elle est ess. unipotente signifie que elle induite sur \pi_1(\bar X_0, \xi) l'est. ~~Donc~~ On conclut donc par 1.3. Dans la formule {X_0 \simeq \bar X_0 \otimes_{\bar k_0} k}, le premier membre est bien écrit X_0 sur la page, alors que l'argument semble demander X.

p. II.6 de l'auteur. Il existe donc un ss-groupe ouvert \pi' \hookrightarrow \pi_1(X,\xi) sur lequel la repr. est unipotente. Mais \pi' définit un rev. étale connexe X' de X, et \xi-pointé, tel …

Le passage qui suit, jusqu'à « est triviale », est barré de traits obliques ; la phrase ci-dessus, ajoutée au-dessus de lui, semble le remplacer. Dans la marge gauche, une variante (cf. infra). Nous savons maintenant que la représentation envisagée de \pi_1(X,\xi) étant aussi semi-simple, donc, étant unipotente, elle est triviale sur un sous-groupe ouvert U de \pi_1(X,\xi). Ce sous-groupe définit un revêtement connexe \xi-pointé X' de X, et par construction la représentation de \pi_1(X',\xi') dans T_\ell(A_{\xi'}) est triviale. que la représentation naturelle de \pi_1(X',\xi') = \pi' dans T_\ell(A_{X'}(\xi')) soit unipotente. On la démonstration, déjà que \pi_1(X,\xi) opère unipotentement.

Il suffit alors d'appliquer l'adaptation suivante d'un résultat bien connu de Lang–Néron, utilisant Mordell–Weil (cf. I 4.4) :

Lemme 1.5.1. Si l'action de \pi_1(X,\xi) sur T_\ell(A_\xi) est unipotente, si cette action est triviale, et \exists schéma abélien B sur k, et une isogénie radicielle B_X \to A.

Corollaire 1.6. ~~Sous les hyp.~~ Si pour un \ell \neq \mathrm{car}\, k, l'action de \pi_1(X,\xi) sur T_\ell(A_\xi) est ess. résoluble (\Leftrightarrow essentiellement triviale) il en est de même pour tout autre \ell' \neq \mathrm{car}\, k.

Corollaire 1.7. Supposons car k = 0, A l'action de \pi_1(X,\xi) sur T_\ell(A_\xi) soit unipotente et semi-simple, entier n \geq 3, \ell \neq car k, et supposons qu'il existe un tel tel que la représentation de induite de \pi_1(X,\xi) sur {}_nA(\xi) soit triviale, i.e. que {}_nA soit un revêtement induit groupes triviaux de X. Alors ~~1.5~~ ~~, si car k = 0,~~ A est un schéma abélien constant sur X.

En effet, il la théorie de la descente ~~\pi_1(X,\xi) opère T_\ell(A_\xi)~~ ~~l'intersection d'un groupe fini. Or un~~ géométrique et la structure discrète de \operatorname{Aut}_k(B) impliquent que La marge porte aussi : « B_X \to A isogénie radicielle », relié par une flèche au lemme 1.5.1.

p. II.7 de l'auteur. A est décrit par une représentation \Gamma \longrightarrow \operatorname{Aut}(B) où \Gamma est le groupe de Galois de X'/X. L'hypothèse implique que \Gamma opère trivialement sur {}_nB(k), et on sait que (comme n \geq 3) cela implique que l'action de \Gamma sur B est triviale, d'où la conclusion.

Remarque 1.8. ~~Le théorème 1.5~~ En changeant, on voit que 1.7 reste vrai tel que l'on suppose k séparablement clos.

L'énoncé 1.5 est de nature purement géométrique (bien que sa démonstration soit de nature arithmétique). Voici une variante arithmétique de 1.5 :

Théorème 1.9. Soit K un corps de type fini , \bar K une clôture séparable de K, \pi = \operatorname{Gal}(\bar K / K), A_K un schéma abélien sur K. Supposons l'action de \pi sur T_\ell(A(\bar K)) ~~abélienne~~ essentiellement résoluble. Alors il existe une extension finie k' \subset \bar K du corps premier \mathfrak{k}, ~~et un~~ un schéma abélien B sur k', et une isogénie radicielle ~~B_{K'} \simeq A~~ B \otimes_{k'} K' \simeq A \otimes_K K' , K' = K k'. Lorsque car K = 0, et que de plus \ell … La fin de l'énoncé est récrite par-dessus ; on lit : « l'action de \pi sur T_\ell(A(\bar K)) est ess. abélienne (*), ou tout au moins , k' soit un corps de nombres, supposer que B provienne d'un schéma abélien sur R (l'anneau des entiers de k'). »

Au pied, sous un trait : « (*) Hypothèse toujours vérifiée ( ) : conjecture que l'action est très ½simple ! » — le « ½ » est sa notation pour « semi- ».

p. II.8 de l'auteur. 1.10. Démonstration. ~~En effet, 1.5.~~ Existence de B. Soit k la ~~clôture~~ fermeture algébrique du corps premier dans K, et soit X un schéma intègre ~~de type fini~~ affine ~~K une extension régulière~~ de corps des fonctions K, sur k, tel que A_K provienne d'un schéma abélien sur X. ~~Alors X est~~ On peut supposer X ~~géom.~~ normal (car K régulier), et quitte à remplacer k par une extension finie, il est loisible de supposer X géom. intègre (N.B. k est parfait, étant une extension finie du corps premier). Alors l'extension \bar K de K définit un pt géométrique \xi de X, et l'hyp. sur A_K signifie aussi que la représentation de \pi_1(X,\xi) dans T_\ell(A_\xi) est ess. ~~abélienne~~ résoluble. En vertu de 1.3, il …

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] X \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X' \arrow[d, no head] \\ k \arrow[r, no head] & k' \end{tikzcd}

Le passage qui suit, jusqu'à « une isogénie radicielle », est encadré et barré en croix ; une version de remplacement est écrite par-dessus et autour. … il existe un revêtement étale surjectif X' de X une extension finie k' de k, que T_\ell(A_\xi) d'une représentation de \pi_1(\operatorname{Spec}(k'),\xi), i.e. faisceau T_\ell(A_{X'}) un faisceau localement sur X'. En vertu du résultat déjà cité de Lang–Néron, il s'ensuit que B sur k' et une isogénie radicielle B_{X'} \longrightarrow A_{X'} , X' de X et extension finie k' radicielle : B_{k'} \otimes_{k'} X \to A_{X'} isogénie, … la situation. Le statut de ce dernier ajout par rapport au passage barré n'est pas sûr ; il semble pris dans le cadre.

En car. quelconque. En car. p > 0, comme \operatorname{Gal}(\bar k'/k') \simeq \hat{\mathbf{Z}} est abélien, on conclut que l'action de \operatorname{Gal}(\bar K/K) sur T_\ell(A(\bar K)) est fait abélienne.

~~Remarque 1.10.~~ Cas de l'action supposée ess. abélienne aux pts de car. \neq \ell.

1.11. Borne inférieure … Si \bar k' est la clôture sép. de k' dans \bar K, il est … que l'on sait bien connu. Le titre « 1.11 » et la ligne qui le suit sont reliés par un trait à la note marginale ; la ligne en pointillés est de lui.

p. II.9 de l'auteur.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \operatorname{Gal}(\bar K'/K') \arrow[r] \arrow[d] & \operatorname{Gal}(\bar k'/k') \\ \operatorname{Gal}(\bar K/K) & \end{tikzcd}

est donc injectif puisque deux sous-groupes ouverts. Donc ~~l'hyp.~~ dire que A_K, ou A_{K'}, ou B sur k', donnent lieu à des actions ess. ~~abéliennes~~ ~~résolubles~~ abéliennes, revient au même (Ceci est vrai chaque fois que une extension de type fini…) ! On en conclut p. ex. déjà une réciproque de l'énoncé dans le cas d'un corps fini, lorsque car K > 0 : s'il existe B/k' avec B \otimes_{k'} K' isogène à A \otimes_K K', alors l'action de ~~\pi_1(K/K') sur~~ \operatorname{Gal}(\bar K/K) ~~sur~~ sur T_\ell(A(\bar K)) est ess. abélienne : en effet, celle de \operatorname{Gal}(\bar k'/k') \simeq \hat{\mathbf{Z}} sur T_\ell(B(\bar k)) l'est évidemment ! À la dernière ligne, un \hat{\mathbf{Z}} biffé précède \operatorname{Gal}(\bar k'/k'), et l'égalité « \simeq \hat{\mathbf{Z}} » est un ajout au-dessus de la ligne.

Dans le cas car. K = 0 nous ne savons montrer que 1.9, où K est déjà un corps de nombres. Dans ce cas, ~~d'après~~ le résultat est bien connu. Par et critère de Néron–Ogg–Šafarevič ( , cf. aussi Exp. ) on est ramené à voir que si R est l'anneau des entiers de K, idéal maximal de R ~~l'action du~~ du groupe d'inertie I \subset \pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K) , relativement : est quasi-~~unipotente~~ triviale (de sorte qu'après une extension finie convenable K' de K, …

décidé Le bas de la page, à partir de « Dans le cas car. K = 0 », est marqué d'un long trait vertical dans la marge. La phrase est interrompue en bas de page et se poursuit au-delà de ce lot. Le crochet « [ ] » et la référence « ([ 2]) » qui précèdent « cf. aussi Exp. » sont de sa main et restent illisibles. Le nom « Šafarevič » est rendu tel qu'il se lit, « Chafarevitch » n'étant pas exclu.