Cote n° 34 · batch 3 · pages 41–60
· Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration
41p. 40 de l'auteur. La page s'ouvre au milieu d'une démonstration commencée avant ce lot.
Le haut de la page est un passage encadré, barré de deux longs traits obliques. […] isom. canonique \(\pi_1(S,\xi) \simeq \pi_1(\operatorname{Spec} k, \bar k) = \operatorname{Gal}(\bar k/k)\). De plus, l'hom. canonique \(\pi_1(U,\xi) \to \pi_1(S,\xi) = \pi_0\) (déf.) est surjectif, et […] […] à la structure suivante :
Quotientant \(E\) par son sous-groupe de torsion (ce qui ne change pas la conclusion, ni l'hyp.), on se ramène par ex. au cas où \(E\) est […] sur \(\mathbf{Z}_\ell\), l'hyp. d'action unipotente signifiant maintenant que l'image de \(I\) dans \(\operatorname{Aut}(E_0)\) (\(E_0 = E \otimes_{\mathbf{Z}_\ell} \mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}\)) est d'ordre premier à \(p\). Mais […] […] […] \(I\) est […] limite projective des […] \(I_\alpha\), […] l'image de \(I\) dans \(\operatorname{Aut}(E_0)\) est […] l'intersection des […] […] \(I_\alpha\) […] […] […] premier à \(p\). Donc \(I' = I_t\) […] […] d'un groupe […] […] […] premier à \(p\) […]
(B) On utilise maintenant le […] de structure suivant, qui est une des variantes du lemme d'Abhyankar :
devrait […] avant l'actuel n° 2
Lemme 8.5. Soient \(A\) un anneau local noeth. régulier, \(k\) son corps résiduel, \(p\) l'exp. car. de \(k\), \((x_i)_{1 \leq i \leq n}\) une partie d'un syst. régulier
42p. 41 de l'auteur. de paramètres de \(A\), \(x = \prod x_i\), […] \(S = \operatorname{Spec} A\), \(U = \operatorname{Spec} A_x = S_x\), \(\xi\) un pt géom. de \(U\).
a) \(\xi\) définit une clôture séparable \(\bar k\) de \(k\) et on a un isom. canonique \[ (8.5.1) \qquad \pi_1(S,\xi) \simeq \pi_1(\operatorname{Spec} k, \bar k) = \operatorname{Gal}(\bar k/k). \]
b) L'hom. canonique \[ (8.5.2) \qquad \pi_1(U,\xi) \longrightarrow \pi_1(S,\xi) \simeq \operatorname{Gal}(\bar k/k) \] est surjectif, et définit donc \(\pi_1(U,\xi)\) comme extension de \(\operatorname{Gal}(\bar k/k)\) par un groupe \(I\) ; […] […] […] : \(\pi_1(\tilde S, \tilde\xi)\), où \(\tilde S\) […] le hensélisé strict \[ (8.5.3) \qquad 1 \longrightarrow I \longrightarrow \pi_1(U,\xi) \longrightarrow \operatorname{Gal}(\bar k/k) \longrightarrow 1 , \] et on a un isom. can. \[ (8.5.4) \qquad I \simeq \pi_1(\tilde U, \tilde\xi) , \] où \(\tilde S\) désigne le hensélisé strict de \(S\) relativement à \(\bar k/k\), […] \(\tilde U\) l'image inverse de \(U\) dans \(\tilde S\), et \(\tilde\xi\) un […] de \(\xi\) à \(\tilde S\).
c) Soit \(I_t\) le plus grand quotient de \(I\) qui soit […] […] premier à \(p\). Alors on a un isom. canonique \[ (8.5.5) \qquad I_t \simeq \Bigl(\prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1)\Bigr)^n , \] \[ \mathbf{Z}_\ell(1) \simeq T_\ell(k(\xi)^*) \simeq T_\ell(\bar k^*) . \] Dans la première formule, un premier membre \(\bigl(\hat{\mathbf{Z}}'(1)\bigr)^n\) est biffé et remplacé par le produit ; la seconde portait le numéro (8.5.6), biffé. Une ligne biffée suit : \(\hat{\mathbf{Z}}'(1) = \prod \mathbf{Z}_\ell(1)\).
ne sert pas dans la démonstration de 8.1. Pour un revêtement principal […] […] \(S'\) de \(S\), de groupe \(\Gamma\), la représentation correspondante \(\pi \to \Gamma\), i.e. un hom. \(I \to \Gamma\), qui se factorise par \(I_t\) si et seulement si […]
43p. 42 de l'auteur. […] la suite, s'il est modérément ramifié le long des hypersurfaces […] des \(x_i\) ⌜diviseurs \(\operatorname{div}(x_i)\)⌝.
d) L'action naturelle de \(\pi_1(U,\xi)\) sur \(I_t =\) \(\prod_{\ell \neq p} I/[I,I]^{(\ell)}\), qui se factorise […] évidemment par une action de \(\operatorname{Gal}(\bar k/k)\), s'identifie via l'isomorphisme (8.5.5) […] […] au produit de l'action naturelle de \(\operatorname{Gal}(\bar k/k)\) sur \(T_\ell(\bar k^*)\), […] i.e. les opérations de \(\operatorname{Gal}(\bar k/k)\) sur les \({}_{\ell^\infty}(\bar k^*) \subset \bar k^*\).
Démonstration laissée au lecteur —
Corollaire 8.6. Sous les conditions de 8.5, supposons qu'aucune extension finie de \(k\) ne contienne […] les racines […] de \(1\), pour tout entier \(\nu\). Alors […] […] représentation \(\ell\)-adique de \(\pi_1(U,\xi)\) ⌜modérée, i.e. telle que⌝ l'action induite de \(I\) ⌜se factorise par une action⌝ de \(I_t\), soit quasi-unipotente. cette dernière est quasi-unipotente.
Remarque 8.7. \(t = u \prod x_i^{\alpha_i}\) […] […] \(\alpha_i \geq 1\), et \(x_i \in \mathfrak{m}_V \subset \mathfrak{m} = tV\) \(u_i \in A^* \subset V^*\) Dans le cas d'application de 8.6, […] aura […] \(n = 1\) (un seul \(x_i\), soit \(x_1\)) et \(\alpha_1 = 1\). D[onc] […] le cas […], la structure du groupe \(n = 1\), et l'hom. \(I \to I'\) induit un isom. \[ I_t \xrightarrow{\ \sim\ } I'_t . \]
Remarque 8.8. La démonstration de 8.1 […] […], hyp. […] des propriétés sur \(X_K\), si […] […] sait que l'on peut […] un […] […] \(V_\alpha\) des pts géométriques \(y_\alpha\) de \(S\) […]
44p. 43 de l'auteur. au dessus duquel ⌜\(E_\alpha =\)⌝ \(R^i f_{\alpha *}(\mathbf{Z}_{\ell\, X_\alpha})\) est constant tordu. En effet, le fait que \(E\) \(R^i f_*(\mathbf{Z}_{\ell\, X_K})\), […] […] […] […] \(Y_\alpha\) \(\to\) \(Y_\alpha \to S_\alpha\) signifie que \(R^i f_{\alpha *}(\mathbf{Z}_{\ell\, X_\alpha})\) est […] […] […] […] de base \(Y_\alpha \to S_\alpha\) et \(Y \to Y_\alpha\). […] […] est trivial, par le […] […] de base […] […] […] […] […] […] […] (SGA 4 XVI 1.6). D'autre […], l'exis[…] D'autre part, l'existence d'un \(V_\alpha\) comme dessus est […] […] […] […] de la résolution des singularités ⌜(sous la forme de Hironaka)⌝ pour les schémas de type fini et de dim. […] \(\leq \dim X_K \; \ill{}\) sur \(K_\alpha\) (SGA 5 II 5.1). ⌜Cette hypothèse est vérifiée⌝ […] en particulier, par Hironaka, si \(K\) est de car. nulle, et […] […] […] […] […] […] lorsque […] par Abhyankar, si \(\dim X_K \leq 2\).
Ce qui suit, jusqu'au corollaire 8.9 inclus, est encadré et barré en croix. ([…] \(X\) de type fini sur \(X_K\).) Corollaire 8.9. Soit \(V\) comme dans 8.1, […] \(K = \ill{}\) […] […] […] nulle, ou \(\dim X_K \leq 2\). Soit \(X_K\) […] de […] sur \(K\), pour \(i \in \mathbf{Z}\), […] […] […] pour \(V_\alpha\) du résultat […] […] […] […] ([…] dans 8.2 a)) ou l'action de \(I\) dans \(H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)\) modérée (cas de 8.2 b) par exemple). Alors l'⌜action⌝ […] de \(I\) sur \(H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Z}_\ell)\) est quasi-unipotente. […] \(K\) de […]
Corollaire 8.9. Les conclusions de 8.2 restent vraies dans le cas où \(X\) est seulement supposé de t.f. sur \(K\) (cas […]), pourvu que dans le cas a), on suppose ⌜la caractéristique de \(K\) égale à \(0\),⌝ ou \(\dim X_K \leq 2\).
45p. 44 de l'auteur.
9. Réductions au cas projectif et lisse.
9.0. Nous […] […], la question de savoir, pour ⌜\(V\), \(\alpha\)⌝ une situation donnée, si le th. de monodromie 7.1. est vrai pour tout \(X_K\) de t.f. sur \(K\), de dim tel que \[ \dim X_K \leq n . \] Nous allons d'ailleurs envisager la conjecture correspondante pour les \(\pi\)-modules \[ H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \qquad (\text{pour } X_K \text{ \emph{régulier}}). \] ⌜la conjecture est vérifiée pour les dim. \(\leq n-1\).⌝ Nous supposerons que la conj. […] […]
9.1. Cas \(X\) lisse. ⌜Relation entre \(H^i\) et \(H^i_!\).⌝ Dans ce cas, […] ⌜et si \(X\) est propre,⌝ on a un isom. canonique \[ H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \simeq H^{2n-i}_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)'(-n) , \] Dans la formule, un facteur \(\otimes \mathbf{Q}_\ell(n)\) est raturé et remplacé par « \((-n)\) » ; un « \((=n)\) » reste lisible dans la rature. où \(\mathbf{Q}_\ell(n)\) désigne le twist de Tate \(\otimes_{\mathbf{Q}_\ell} \mathbf{Q}_\ell(n)\), et \('\) désigne le dual. Cet isom. est compatible avec l'action de \(\pi\) et a fortiori de \(I\). Comme \(I\) opère trivialement sur \(\mathbf{Q}_\ell(-n)\), il s'ensuit que l'action de \(I\) sur \(H^i(X_{\bar K}; \mathbf{Q}_\ell)\) est quasi-unip. (resp. unip.) ssi […] l'action sur \(H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) l'est.L'indice inférieur de ce \(H\) est surchargé ; « ! » est une lecture.
9.2. ⌜Cas […] \(H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\), \(X_K\) sép. de t.f. sur \(K\).⌝ La suite […] […] Pour Soient \(U\) un ouvert […] ⌜dense⌝ de \(X_K\), \(Y\) […] complémentaire. Alors […] […] la suite exacte \[ \cdots \to H^i_!(Y_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \to H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \to H^i_!(U_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \to H^{i+1}_!(U_{\bar K}, \ldots \] L'argument du premier terme est raturé et peu lisible ; \(Y\) est une lecture. L'ordre des termes est celui de la page. qui montre, moyennant l'hyp. de récurrence, que
46p. 45 de l'auteur. l'action de \(I\) sur \(H^i_!(X_{\bar K})\) est quasi-unipotente ssi son action sur \(H^i_!(U_{\bar K})\) l'est : […] […] birationnel de la question.
Si donc on peut trouver un […] ⌜[…] propre et lisse \(\hat U_K\)⌝ de \(U_K\), […] […] ramené au cas d'un schéma lisse et propre. Si on admet la résolution ⌜(pour […])⌝ des singularités […] ⌜pour la clôture parfaite de \(K\),⌝ pour les schémas de t.f. de dim. \(\leq n\), on […] ⌜(pourvu […] \(U\) affine)⌝ […], sous la condition que l'hypothèse de récurrence […] […] […] toute extension ⌜radicielle⌝ finie […] \(K'\) de \(K\) ([…] remplaçant la clôture […] \(V'\) de \(V\) dans \(K'\)).
Remarque 9.3. D[…] […] […] […] de 7.1, ça […] aussi pour \(H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\), si \(X\) lisse séparé. Le cas non séparé s'y ramène, par la suite spectrale de Leray d'un recouvrement fini de \(X\) par des ouverts affines.
Le bas de la page est encadré et barré de traits obliques. 9.3. Cas de \(H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) pour \(X\) ⌜séparé de t.f.⌝ quelconque. Soit […], On peut […] Si \(U\) est un ouvert […], […] \(X\) admet […], et […] […] […] un […] […] […] de \(X\) par \(U\). On peut trouver […] \(U\) tel que […] \(U\) […] […] […] soit […]. […] […] […] […] une extension ⌜finie⌝ […] radicielle \(K'\) de \(K\), telle que […] \((U_{K'})_{\mathrm{red}}\) soit lisse sur \(K'\). On […] […] […] […] […] de 9.2.
9.3. Cas de \(H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) pour \(X\) de t.f. quelconque. Ce dernier intitulé est tracé sur le cadre du passage barré ; il n'est pas certain qu'il soit conservé.
47p. 46 de l'auteur. Cela prouve :
Proposition 9.4. Pour a) [Pour] la validité du th. de monodromie ⌜(pour les \(H^i_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\))⌝, pour \(V\) fixé, et des \(X_K\) avec \(\dim X_K \leq n\), et tout \(i\), il suffit de savoir qu'il est vrai pour tout \(X_{K'}\), où \(X\) est lisse ⌜de dim. \(\leq n\)⌝ sur \(K'\) ⌜une⌝ extension finie radicielle \(K'\) de \(K\), considérée comme corps des fractions de la clôture normale \(V'\) de \(V\) dans \(K'\). […] On peut […] […] […] […] supposer les \(X_{K'}\) affines. a) b) Dans le cas où la résolution des singularités […] toute extension de t.f. et de degré de transcendance \(\leq n\) sur la clôture parfaite \(K^{p^{-\infty}}\) de \(K\) admet un modèle projectif et lisse, il suffit de supposer ⌜les⌝ \(X_{K'}\) projectifs. c) Enfin, si ces conditions préalables […] étant vérifiées, […] a) […] vérifiée, donc pour tout \(X_K\) de t.f. et lisse sur \(K\), ⌜et de dim. \(\leq n\),⌝ le th. de monodromie est vrai aussi pour les \(H^i_*(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\).
9.5. Nous allons maintenant examiner le th. de monodromie pour \(H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\), ⌜pour⌝ \(X_K\) de t.f., en supposant que les conditions de 7.1 […] […] vérifiées […] tout […]. On procède par récurrence sur \(i\), le cas \(i < 0\) étant trivial. […] prouvé pour les \(H^j(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) pour \(j < i\).
48p. 47 de l'auteur. On peut supposer […] […] \(U\) affine, donc quasi-projectif. […] On admet que la résolution des singularités sur la clôture parfaite […] de \(K\) […] dim. \(\leq n\). Alors, quitte à passer à une extension radicielle finie de \(K\), on pourra trouver un ⌜[…]⌝ morphisme surjectif ⌜birationnel⌝ et propre \[ X' \longrightarrow X , \] avec \(X'\) lisse. […] La suite spectrale de descente de Deligne donne \[ H^*(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(\alpha \longmapsto H^q((X'/X)^{\alpha+1}_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\bigr) . \] Dans Cette suite spectrale Nous supposons […] que l'[…] […] \(H^q\) pour […] \(q < i\), […] […] […] sans restriction sur la dimension de \(X\) L'hyp. de récurrence […] […] […] signifie […] \(E_2^{pq} \to E_\infty\) l'action de \(I\) sur \(E_2^{pq}\) est quasi-unipotente quand \(q < i\). Pour \(q < i\), on doit prendre Parmi ces termes \(E_2^{pq}\) […] \(p + q = i\), le seul […] […] […] […] s'il est si l'action de \(I\) […] quasi-unipotente […] […] \(E_2^{0,i} \subset H^i(X'_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\). Mais On […] […]
Le bas de la page, de la proposition 9.6 à la fin, est barré de deux grandes croix, et chaque ligne y est en outre raturée ; seuls des fragments se lisent. […] […] […] \(K^{p^{-\infty}}\) des schémas de […] dimension […]. Prop. 9.6. […] le th. de monodromie pour les […] \(X_K\) de t.f., […] […] pour \(i \leq n\), […] \(H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) […] […] […] […] \(X_K\) […] […] […] […] \(i = n\), […] \(X_{\bar K}\) […] lisse quasi-projectif, et […] […] extension radicielle \(K'\) de \(K\). Alors […] […] […] \(H^n(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) pour […] \(X\) […] […] […] […] la clôture […] \(K^{p^{-\infty}}\), admet une résolution des singularités.
49p. 48 de l'auteur. Corollaire ⌜Proposition⌝ 9.6. Supposons la résolution des singularités ⌜(ordinaire)⌝ sur \(K^{p^{-\infty}}\) en toute dimension, et que pour tout \(X\) […] projectif et lisse sur \(K\), […] l'action de \(I\) sur \(H^i_*(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) soit quasi-unipotente, et kif-kif après extension finie radicielle de \(K\). Alors […] pour tout \(X_K\) de t.f. sur \(K\), l'action de \(I\) sur les \(H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) est quasi-unipotente.
Il suffit de conjuguer […] ⌜[…] quiproquo⌝ 9.4 et 9.4 c), en procédant par récurrence sur \(n\). « 9.4 » corrige un premier renvoi raturé ; le second porte « § 9.4 c) » ou « 9.4 c) ».
[…] 9.7. Cas des \(H^i(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\), pour \(i \leq 1\).
Le cas de \(i = 0\) est trivial et laissé au lecteur (en fait, \(\pi\) y opère de façon quasi-triviale).
Pour le cas \(i = 1\), on […] peut, quitte à une extension finie de \(K\), supposer que les composantes irréductibles réduites de \(X_K\) sont géom. intègres. Supposons \(X\) réduit, […] […] […] […] […] […], \(X'\) sa normalisée, \(X'' = X' \times_X X'\), \(X''' = X' \times_X X' \times_X X'\) ⌜([…] […], voir SGA 4 VIII)⌝ : […] […] la suite spectrale de descente finie donne \[ 0 \to H^1\bigl(\alpha \mapsto H^0((X'/X)^{\alpha+1}_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\bigr) \to H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \to \operatorname{Ker}\bigl(H^1(X'_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \overset{\partial}{\rightrightarrows} H^1(X''_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\bigr) . \] Une première version de la ligne, raturée : \(0 \to \operatorname{Ker}\bigl(H^0(X''_{\bar K}) \overset{\partial}{\rightrightarrows} H^0(X'''_{\bar K})\bigr)\). Sous le premier terme, une accolade : « […] d'un sous-[…] de \(H^0(X''_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\) ». Cela nous ramène à voir que l'action de \(I\) sur […] \(H^1(X'_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\). D[onc] […] […] ramène au
50p. 49 de l'auteur. cas de \(X\) géom. normal. La suite […] […] \(\mathcal{U} \ill{} \ill{}\) On peut supposer de plus \(X\) géom. intègre ([…] […] […] les composantes connexes l'étant). Si \(U\) est un ouvert non vide de \(X\), … \(H^1(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell) \hookrightarrow H^1(U_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\), donc on peut […]
Le passage qui suit est encadré, barré de traits croisés, et chaque ligne y est en outre raturée. supposer \(X\) affine, donc quasi-projectif. Soit \(\hat X\) […] […] de \(X\), […] […] […] […] donc quasi-projectif. Quitte à faire une extension ⌜finie⌝ radicielle sur \(K\), […] \(X \subset \bar X\) […] \(\bar X\) projectif, […] […] que […] […] remplaçant \(X\) par \(U\). […] […] […] géom. normal. Notons […] […] […] […], \(U\) un […] […] […] dans […] […], […] […] \(V\) de […]. Alors […]
\(H^1(\ill{}\) […] […] […] […] […] […] \(\hat X\) […] \(U\), qui […] supposé affine. ⌜et lisse.⌝ Soit […] une clôture projective ⌜\(\hat X\)⌝ de \(U\), qui […] […] […] \(W_{K'/K}\) ([…] quitte à faire […] une extension radicielle finie) géom. normale. […] \(H^1(U, \mathbf{Z}/\ell^\nu\mathbf{Z})\) […] […] […] \(X\), […] […] […] sur \(X\), […] […] […] […] des […] de \(X - U\). Plusieurs fragments de cette zone sont des ajouts de sa main au-dessus de lignes biffées, et ont été biffés à leur tour ; l'ordre de lecture n'est pas sûr.
Une propriété d'extension transcendante pour des \(V\) « de […] géométrique » […] […] […] […] […] […] \(X\) est de dim. \(1\). Alors le calcul explicite ⌜[…] plus […]⌝ montre […] le modèle projectif régulier \(\hat X\) de \(X\) est lisse. ([…] La dualité nous ramène […] […] \(H^1_!(X_{\bar K}, \mathbf{Q}_\ell)\), la suite exacte […] […] […] […] de \(H^1_!(\hat X, \mathbf{Q}_\ell) = H^1(\hat X, \mathbf{Q}_\ell)\). […] est donc ramené au cas d'une courbe projective ⌜lisse⌝ sur \(K\). A expliciter […] […])
Proposition 9.8. … L'énoncé de la proposition 9.8 est laissé en blanc, marqué seulement de pointillés.
Exposé II. Cas d'action […] ⌜risquable⌝ du groupe fondamental
Titre de la p. 52. Au-dessous, entre parenthèses : « (Une variante du th. de monodromie) » ; un « II » est porté au-dessus de « fondamental ». La page précédente, p. 51, est blanche.
52Nous donnons dans le les actions présent exposé un résultat de nature analogue au théorème de monodromie de l'exposé précédent, […] à titre de nouvelle illustration de la méthode qui y était employée. Il ne servira plus dans la suite de ce Séminaire.
1. Énoncé du résultat, […] corollaires.
Écrivons le résultat essentiel ⌜principal du présent exposé⌝, c'est le suivant :
Théorème 1.1. Soient \(k\) un corps, \(\bar k\) une clôture algébrique, \(k\) […] […] […] […] […] […] tel que le corps des […] déduit de \(k\) […] […] […] (ou non absolu), \(X\) un schéma sur \(k\) ⌜\(S = \operatorname{Spec} k\)⌝, […] de type fini (ou non absolu), normal, localement de type fini, géométriquement connexe, \(\xi\) un point géométrique ⌜de \(X\)⌝, d'où (SGA 1 VIII) une suite exacte \[ (1.1.1) \qquad 1 \to \pi_1(\bar X, \xi) \longrightarrow \pi_1(X, \xi) \longrightarrow \pi_1(S, \xi) \longrightarrow 1 , \] avec […] \(\bar X = X \otimes_k \bar k\), \(\bar k\) étant la clôture séparable de \(k\) dans \(k(\xi)\), (et \(\xi\) désignant aussi les points géométriques de \(S\) resp. \(\bar X\) déduits canoniquement de \(\xi\)). ([…]) \(I(\ell)\) le […] […] Considérons le plus grand Soient \(\ell\) un nombre premier distinct de la caractéristique […] de \(k\), […] \(\pi\) un sous-groupe ouvert de \(\pi_1(X,\xi)\), \(\pi_0\) son image dans \(\pi_1(S,\xi)\), \(I = \pi \cap \pi_1(\bar X, \xi)\), de sorte qu'on a une suite exacte \[ (1.1.2) \qquad 1 \longrightarrow I \longrightarrow \pi \longrightarrow \pi_0 \longrightarrow 1 . \] Soit \(I(\ell)\) la composante \(\ell\)-primaire du plus grand quotient profini abélien \(I_{\mathrm{ab}}\) de \(I\), Alors d'où ⌜par passage au quotient une extension⌝ \[ (1.1.3) \qquad 1 \longrightarrow I(\ell) \longrightarrow \pi' \longrightarrow \pi_0 \longrightarrow 1 . \] Alors […] \(I(\ell)\) est un module de type fini sur \(\mathbf{Z}_\ell\), et \([\pi', I(\ell)]\) est […] est d'indice fini dans \(I(\ell)\), en d'autres termes […] le plus grand quotient profini de \(I(\ell)\) sur lequel \(\pi_0\) opère trivialement est un groupe fini. Les notations « \(\bar X\) » et « \(\bar k\) » rendent des lettres surlignées sur la page ; l'exposé lui-même est la suite du précédent, qui était l'exposé sur le théorème de monodromie.
53p. II 2 de l'auteur. Ce théorème sera démontré dans les sections suivantes.
Le passage qui suit est encadré et barré en croix. […] […] […] […] au cas où \(X\) est un ouvert d'une courbe algébrique projective et lisse sur \(k\), on peut […] […] […] […] […] l'énoncé résultant de l'hyp. de Riemann pour les courbes algébriques sur un corps fini, démontrée par A. Weil […] dans ce cas.
Nous […] dans le présent n° donnons quelques conséquences. Notons que la suite exacte (1.1) implique une suite exacte \[ (I^{\mathrm{ab}})_{\pi_0} \longrightarrow \pi^{\mathrm{ab}} \longrightarrow \pi_0^{\mathrm{ab}} \longrightarrow 1 \] […] et en passant aux composantes \(\ell\)-primaires \[ I(\ell)_{\pi_0} \longrightarrow \pi^{\mathrm{ab}}(\ell) \longrightarrow \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell) \longrightarrow 1 , \] d'où […] concluant :
Corollaire 1.2. L'homomorphisme ⌜surjectif⌝ canonique \[ \pi^{\mathrm{ab}}(\ell) \longrightarrow \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell) \] […] a un noyau fini.
Utilisant I 6.1, […] […] […] de 1.1 […]
Corollaire 1.3. Soit \[ u : \pi_1(X,\xi) \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbf{Q}_\ell}(E) \] une représentation \(\ell\)-adique […], telle que la représentation induite sur ⌜\(\pi_1(\bar X, \xi)\)⌝ […] soit abélienne ⌜essentiellement résoluble⌝, ou plus […] géométriquement […] […] de Riemann […] (i.e. qu'un sous-groupe ouvert de \(I\) dans l'action soit abélien ⌜résoluble⌝). Alors la représentation induite sur \(I\) est essentiellement unipotente, […] (donc essentiellement triviale si elle est semi-simple). Les notations \(\pi\), \(\pi_0\) et \(I\) de cette page sont celles de 1.1 ; le renvoi « (1.1) » est sur la page ; « I 6.1 » renvoie à l'exposé précédent.
54p. II 3 de l'auteur. En effet, […] l'hypothèse […] […] […] ⌜[…] […]⌝ implique qu'il existe un sous-groupe […] […] […] […] ouvert \(\pi\) de \(\pi_1(X,\xi)\) tel que la représentation induite sur \(I = \pi \cap \pi_1(\bar X, \xi)\) soit […] […] petit, […] […] supposer abélienne. Prenons \(U\) […] ([…] \(I'\)) qui […] […] […] […] […] l'image de \(I\) dans \(\operatorname{Aut}_{\mathbf{Q}_\ell}(E)\) […] un pro-\(\ell\)-groupe. Donc la représentation ⌜de \(\pi\)⌝ provient d'une représentation de \(\pi'\), […] l'extension (1.3) de \(\pi_0\) par \(I(\ell)\). On conclut par I 6.1.
Corollaire 1.4. Avec les notations de 1.3, supposons […] l'action de \(\pi_1(X,\xi)\) commutative […] ⌜essentiellement⌝ abélienne. Alors la représentation induite sur \(I\) est essentiellement triviale, […] […] […] […] […] surjectif […] ⌜i.e.⌝ il existe un sous-groupe […] ouvert […] \(X' \to X\), \(U\) de \(\pi\) tel que la restriction de la représentation ⌜[…]⌝ associée à \(\pi\) […] se factorise par […] […] \[ \pi_0 = \operatorname{Im}\bigl(\pi \to \pi_1(S,\xi)\bigr) . \] Cet résultat […] […] On prend […] d'abord \(\pi\) tel que la restriction à \(\pi\) soit abélienne, […] […] et que […] […] l'image de \(\pi\) dans \(\operatorname{Aut}_{\mathbf{Q}_\ell}(E)\) soit un pro-\(\ell\)-groupe. Alors la représentation de \(\pi\) […] représentation provient d'une représentation de \(\pi^{\mathrm{ab}}(\ell)\), et il suffit d'[…] que ⌜[…]⌝ 1.2 […] […] qu'il existe un sous-groupe ouvert \(U\) de \(\pi^{\mathrm{ab}}(\ell)\) tel que \(U \to \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell)\) soit injectif ; donc la représentation restreinte à \(U\) provient d'une représentation de son image dans \(\pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell)\). Il suffit
55p. II.4 de l'auteur. donc de considérer ⌜prendre⌝ l'image inverse \(V\) de \(U\) dans \(\pi\), la restriction de la \(u\) à \(V\) provient d'une représentation de l'image de \(V\) dans \(\pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell)\), donc d'une repr. de l'image de \(V\) dans \(\pi_0\), cqfd.
Dans la marge gauche, ce diagramme ; les flèches obliques sont tracées d'un trait plus fin, et l'on a gardé leur sens tel qu'il se lit.
LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& V \arrow[r, hook] \arrow[d] \arrow[dl] & \pi \arrow[d] \\
\operatorname{Im} V \arrow[r, hook] \arrow[dr] & U \arrow[r, hook] \arrow[d, "\wr"] \arrow[dr] & \pi^{\mathrm{ab}}(\ell) \arrow[d] \\
& U \arrow[r, hook] & \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell)
\end{tikzcd}
La flèche de \(\operatorname{Im} V\) vers le \(\pi_0\) voisin s'écrit sur la page « \(\operatorname{Im} V \hookrightarrow \pi_0\) » ; on l'a rendue par la seule flèche oblique que le dessin porte vers le \(U\) du bas. Un trait oblique joint aussi \(\pi\) à \(U\).
On va donner une application de ces résultats à la théorie des V.A.
Théorème 1.5. Soient \(k\), \(A\), ⌜\(X\), \(\xi\) comme dans 1.1,⌝ ⌜\(k\) un corps sép. clos, \(X\) schéma loc. de type fini, mais sép. clos⌝ […] […] […] […] normal et […], \(\xi\) un point géométrique de \(X\), […] \(\ell\) un nombre premier distinct de la caractéristique de \(k\), \(A\) un schéma abélien sur \(X\), ⌜géométriquement intègre⌝. Supposons que la représentation de \(\pi_1(\bar X, \xi)\) dans \(T_\ell(A_\xi)\) soit abélienne ⌜essentiellement⌝ résoluble. Alors cette représentation est essentiellement unipotente ⌜triviale⌝, donc essentiellement triviale si elle est semi-simple (*). Donc […] […] et il existe un revêtement étale fini surjectif \(X' \to X\), […] extension finie séparable \(k'\) de \(k\), […] \(X' \to \operatorname{Spec}(k')\) […] ⌜[…]⌝ un schéma abélien \(B\) sur \(k\), tel que \(A_{X'}\) […] […] radicielle et une isogénie ⌜radicielle⌝ \(B_{X'} \to A_{X'}\). qui soit […] En particulier, si \(k\) est de car. nulle, […] \(A_{X'}\) est isogène à \(B_{X'}\) (i.e. est un schéma abélien constant).
Prouvons d'abord l'assertion que la représentation de \(\pi_1(X,\xi)\) dans \(T_\ell(A_\xi)\) est ⌜ess. unipotente⌝ […] […]. Donc Soit \(U\) un voisinage […] […] […] de \(\xi\),
Au pied de la page, sous un trait, l'appel (*) : « (*) Il y a lieu de conjecturer que (sans hypothèse […]) l'action de \(\pi_1(X,\xi)\) sur \(T_\ell(A_\xi)\) est toujours semi-simple », le tout biffé. La colonne \(A\) / \(X\) / \(S\) en marge gauche figure la tour \(A \to X \to S\).
56p. II.5 de l'auteur. alors, \(X\) \(U\) étant normal, \(\pi_1(U,\xi) \to \pi_1(X,\xi)\) est surjectif, donc il est […] […] […] suffit de prouver l'assertion pour \(U,\xi\) et \(A|U\). Cela nous permet de supposer \(X\) affine, donc de t.f. sur \(k\).
En marge gauche, ce carré :
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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A_0 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & A \arrow[d, no head] \\
X_0 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X \arrow[d, no head] \\
S_0 \arrow[r, no head] & S
\end{tikzcd}
On sait alors que \(X\), \(A\) proviennent de \(S_0 = \operatorname{Spec} k_0\), \(k_0\) un sous-corps de t.f. de \(k\), \(X_0\) schéma de t.f. sur \(S_0\), \(A_0\) schéma abélien sur \(X_0\). Alors, \(\xi\) […] […] […] \(X\) \(X \to X_0\) étant fid. plat et \(X\) normal, \(X_0\) est normal. De plus, \(\xi\) définit un pt géométrique de \(X_0\), d'où par conséquent […] […] la suite exacte du type (1.1.1) \[ 1 \to \pi_1(\bar X_0, \xi) \longrightarrow \pi_1(X_0, \xi) \longrightarrow \pi_1(S_0, \xi) \to 1 . \] De plus, […] Soit si […] […] […] […] \(\bar k_0\) est la clôture séparable de \(k_0\) dans \(k\), on a \(\bar X_0 \simeq X_0 \otimes_{k_0} \bar k_0\), donc \(X_0 \simeq \bar X_0 \otimes_{\bar k_0} k\). On a un hom. \[ (1.5.1) \qquad \pi_1(X,\xi) \longrightarrow \pi_1(\bar X_0, \xi) \] qui est un homomorphisme surjectif, […] (vérif). Par ces conditions, la représentation naturelle de \(\pi_1(X,\xi)\) dans \(T_\ell(A_{0\xi})\) ⌜\(= T_\ell(\bar A_\xi)\)⌝, et la représentation induite via \(\pi_1(X,\xi) \to \pi_1(\bar X_0, \xi) \hookrightarrow \pi_1(X_0, \xi)\) […] […] autre que celle qu'il s'agit d'étudier ⌜\(A\)⌝, […] ⌜ess. résoluble⌝ (resp. […] […] […]) la surjectivité de (1.5.1), dire qu'elle ⌜est⌝ ess. unipotente signifie que elle induite sur \(\pi_1(\bar X_0, \xi)\) l'est. Donc On conclut donc par 1.3. Dans la formule \({X_0 \simeq \bar X_0 \otimes_{\bar k_0} k}\), le premier membre est bien écrit \(X_0\) sur la page, alors que l'argument semble demander \(X\).
57p. II.6 de l'auteur. Il existe donc un ss-groupe ouvert \(\pi' \hookrightarrow \pi_1(X,\xi)\) sur lequel la repr. est unipotente. Mais \(\pi'\) définit un rev. étale connexe \(X'\) de \(X\), et \(\xi\)-pointé, tel …
Le passage qui suit, jusqu'à « est triviale », est barré de traits obliques ; la phrase ci-dessus, ajoutée au-dessus de lui, semble le remplacer. Dans la marge gauche, une variante (cf. infra). Nous savons maintenant que la représentation envisagée de \(\pi_1(X,\xi)\) étant aussi semi-simple, donc, étant unipotente, elle est triviale sur un sous-groupe ⌜ouvert \(U\)⌝ […] de \(\pi_1(X,\xi)\). Ce sous-groupe définit un revêtement ⌜connexe \(\xi\)-pointé⌝ \(X'\) de \(X\), et par construction la représentation de \(\pi_1(X',\xi')\) dans \(T_\ell(A_{\xi'})\) est triviale. […] que la représentation naturelle de \(\pi_1(X',\xi') = \pi'\) dans \(T_\ell(A_{X'}(\xi'))\) soit unipotente. On […] la démonstration, […] […] déjà que \(\pi_1(X,\xi)\) opère unipotentement.
Il suffit alors d'appliquer l'adaptation suivante d'un résultat bien connu de Lang–Néron, […] utilisant Mordell–Weil (cf. I […] […] 4.4) : […] […] […]
Lemme 1.5.1. Si l'action de \(\pi_1(X,\xi)\) sur \(T_\ell(A_\xi)\) est […] unipotente, ⌜[…] […]⌝ si cette action est triviale, et \(\exists\) schéma abélien \(B\) sur \(k\), et une isogénie radicielle \(B_X \to A\).
Corollaire 1.6. Sous les hyp. Si pour un \(\ell \neq \mathrm{car}\, k\), l'action de \(\pi_1(X,\xi)\) sur \(T_\ell(A_\xi)\) est ⌜ess. résoluble⌝ […] […] […] […] (\(\Leftrightarrow\) […] essentiellement triviale) il en est de même pour tout autre \(\ell' \neq \mathrm{car}\, k\).
Corollaire 1.7. Supposons ⌜car \(k = 0\),⌝ \(A\) l'action de \(\pi_1(X,\xi)\) sur \(T_\ell(A_\xi)\) soit unipotente et semi-simple, […] ⌜entier⌝ \(n \geq 3\), […] […] […] ⌜\(\ell \neq\) car \(k\),⌝ et supposons qu'il existe un […] […] ⌜tel⌝ tel que la représentation de induite ⌜de⌝ \(\pi_1(X,\xi)\) sur \({}_nA(\xi)\) soit triviale, i.e. que \({}_nA\) soit un revêtement induit groupes triviaux de \(X\). Alors […] 1.5 […] […] […] […] […], si car \(k = 0\), \(A\) est un schéma abélien constant sur \(X\).
En effet, il ⌜la⌝ théorie de la descente […] \(\pi_1(X,\xi)\) opère […] \(T_\ell(A_\xi)\) […] l'intersection d'un groupe fini. Or un ⌜géométrique et⌝ la structure discrète de \(\operatorname{Aut}_k(B)\) impliquent que La marge porte aussi : « \(B_X \to A\) isogénie radicielle », relié par une flèche au lemme 1.5.1.
58p. II.7 de l'auteur. \(A\) est décrit par une représentation \[ \Gamma \longrightarrow \operatorname{Aut}(B) \] où \(\Gamma\) est le groupe de Galois de \(X'/X\). L'hypothèse implique que \(\Gamma\) opère trivialement sur \({}_nB(k)\), et on sait que (comme \(n \geq 3\)) cela implique que l'action de \(\Gamma\) sur \(B\) est triviale, d'où la conclusion.
Remarque 1.8. Le théorème 1.5 […] En changeant, on voit que 1.7 reste vrai […] […] tel que l'on suppose \(k\) […] ⌜séparablement⌝ clos.
L'énoncé 1.5 est de nature purement géométrique (bien que sa démonstration soit de nature arithmétique). Voici une variante arithmétique de 1.5 :
Théorème 1.9. Soit \(K\) un corps de type fini […], \(\bar K\) une clôture séparable de \(K\), \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar K / K)\), \(A_K\) un schéma abélien sur \(K\). Supposons l'action de \(\pi\) sur \(T_\ell(A(\bar K))\) abélienne ⌜essentiellement résoluble⌝. Alors il existe une extension finie ⌜\(k' \subset \bar K\)⌝ […] du corps […] […] premier \(\mathfrak{k}\), et un un schéma abélien \(B\) sur \(k'\), et une isogénie radicielle \(B_{K'} \simeq A\) \[ B \otimes_{k'} K' \simeq A \otimes_K K' , \] \(K' = K k'\). Lorsque car \(K = 0\), […] […] […] ⌜[…]⌝ et que de plus \(\ell\) … La fin de l'énoncé est récrite par-dessus ; on lit : « l'action de \(\pi\) sur \(T_\ell(A(\bar K))\) est ess. abélienne (*), ou tout au moins […] […], […] \(k'\) soit […] […] un corps de nombres, […] […] supposer que \(B\) […] […] provienne d'un schéma abélien sur \(R\) […] (l'anneau des entiers de \(k'\)). »
Au pied, sous un trait : « (*) Hypothèse toujours vérifiée […] […] […] […] ([…] […]) : […] conjecture que l'action est très ½simple ! » — le « ½ » est sa notation pour « semi- ».
59p. II.8 de l'auteur. 1.10. Démonstration. En effet, […] […] […] 1.5. ⌜Existence de \(B\).⌝ Soit \(k\) la clôture ⌜fermeture⌝ algébrique du corps premier dans \(K\), et soit \(X\) un schéma ⌜intègre⌝ de type fini affine […] \(K\) […] une extension régulière ⌜de corps des fonctions \(K\)⌝, […] sur \(k\), tel que \(A_K\) provienne d'un schéma abélien sur \(X\). Alors \(X\) est […] On peut supposer \(X\) géom. normal (car \(K\) régulier), ⌜[…]⌝ et quitte à remplacer \(k\) par une extension finie, il est loisible de supposer \(X\) géom. intègre (N.B. \(k\) est parfait, étant une extension finie du corps premier). Alors l'extension \(\bar K\) de \(K\) définit un pt géométrique \(\xi\) de \(X\), et l'hyp. sur \(A_K\) signifie aussi que la représentation de \(\pi_1(X,\xi)\) dans \(T_\ell(A_\xi)\) est ess. abélienne ⌜résoluble⌝. En vertu de 1.3, […] il …
LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
X \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & X' \arrow[d, no head] \\
k \arrow[r, no head] & k'
\end{tikzcd}
Le passage qui suit, jusqu'à « une isogénie radicielle », est encadré et barré en croix ; une version de remplacement est écrite par-dessus et autour. … il existe un revêtement étale ⌜surjectif⌝ \(X'\) de \(X\) […] […] une extension finie \(k'\) de \(k\), […] […] que \(T_\ell(A_\xi)\) […] […] […] d'une représentation de \(\pi_1(\operatorname{Spec}(k'),\xi)\), i.e. […] […] faisceau \(T_\ell(A_{X'})\) […] un faisceau localement […] […] sur \(X'\). En vertu du résultat déjà cité de Lang–Néron, il s'ensuit que […] […] […] […] \(B\) sur \(k'\) […] […] et une isogénie radicielle \[ B_{X'} \longrightarrow A_{X'} , \] ⌜[…] \(X'\) de \(X\) et […] extension finie \(k'\) […] […] radicielle : […] \(B_{k'} \otimes_{k'} X \to A_{X'}\) isogénie, … […] […] la situation.⌝ Le statut de ce dernier ajout par rapport au passage barré n'est pas sûr ; il semble pris dans le cadre.
En car. quelconque. En car. \(p > 0\), comme \(\operatorname{Gal}(\bar k'/k') \simeq \hat{\mathbf{Z}}\) est abélien, on conclut que l'action de \(\operatorname{Gal}(\bar K/K)\) sur \(T_\ell(A(\bar K))\) est […] […] […] […] fait abélienne.
Remarque 1.10. […] […] […] […] […] […] Cas de l'action supposée ess. abélienne aux pts de car. \(\neq \ell\).
1.11. Borne inférieure […] … Si \(\bar k'\) est la clôture sép. de \(k'\) dans \(\bar K\), il est […] […] … que l'on sait bien connu. Le titre « 1.11 » et la ligne qui le suit sont reliés par un trait à la note marginale ; la ligne en pointillés est de lui.
60p. II.9 de l'auteur.
LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\operatorname{Gal}(\bar K'/K') \arrow[r] \arrow[d] & \operatorname{Gal}(\bar k'/k') \\
\operatorname{Gal}(\bar K/K) &
\end{tikzcd}
est donc injectif puisque […] […] deux sous-groupes ouverts. Donc l'hyp. ⌜[…]⌝ dire que […] \(A_K\), ou \(A_{K'}\), ou \(B\) sur \(k'\), donnent lieu à des actions ess. abéliennes résolubles ⌜abéliennes⌝, revient au même (Ceci est vrai chaque fois que […] une extension de type fini…) ! On en conclut p. ex. déjà une réciproque […] de l'énoncé ⌜dans le cas d'un corps fini⌝, lorsque car \(K > 0\) : s'il existe \(B/k'\) avec \(B \otimes_{k'} K'\) isogène à \(A \otimes_K K'\), alors l'action de \(\pi_1(K/K')\) sur \(\operatorname{Gal}(\bar K/K)\) sur sur \(T_\ell(A(\bar K))\) est […] ess. abélienne : en effet, celle de […] \(\operatorname{Gal}(\bar k'/k') \simeq \hat{\mathbf{Z}}\) sur \(T_\ell(B(\bar k))\) l'est évidemment ! À la dernière ligne, un \(\hat{\mathbf{Z}}\) biffé précède \(\operatorname{Gal}(\bar k'/k')\), et l'égalité « \(\simeq \hat{\mathbf{Z}}\) » est un ajout au-dessus de la ligne.
Dans le cas car. \(K = 0\) nous ne savons montrer que […] […] […] 1.9, […] […] […] […] où […] \(K\) est déjà un corps de nombres. Dans ce cas, d'après […] le résultat est bien connu. Par […] […] […] […] […] […] […] […] et […] […] critère de Néron–⌜Ogg⌝–Šafarevič ⌜([…] […] […], cf. aussi Exp. […])⌝ on est ramené à voir que si \(R\) est l'anneau des entiers de \(K\), ⌜[…] […] idéal maximal […] de \(R\)⌝ l'action du ⌜[…] du⌝ groupe d'inertie \(I \subset \pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K)\) […], […] relativement : […] est quasi-unipotente ⌜triviale⌝ (de sorte qu'après une extension finie convenable \(K'\) de \(K\), …
décidé […] […] Le bas de la page, à partir de « Dans le cas car. \(K = 0\) », est marqué d'un long trait vertical dans la marge. La phrase est interrompue en bas de page et se poursuit au-delà de ce lot. Le crochet « [ ] » et la référence « ([[…] […] 2]) » qui précèdent « cf. aussi Exp. » sont de sa main et restent illisibles. Le nom « Šafarevič » est rendu tel qu'il se lit, « Chafarevitch » n'étant pas exclu.