Fonds Grothendieck, cote n° 34, pages 1–20

Exposé I. Généralités, le th. de monodromie par voie arithmétique

p. 1 de l'auteur. En tête : « Exposé I », suivi d'un premier titre biffé, puis du titre retenu, repris ici comme titre de section.

Exposé I ~~Actions des groupes de monodromie~~ : Généralités, le th. de monodromie par voie arithmétique.

0. Introduction

0.1. Notations. S = \operatorname{Spec} V un trait, s le pt fermé, \eta point générique, \mathfrak{m} = {}\mathfrak{r}V = tV, k = k(s), K = k(\eta) ; p = exp. car. de k(s). Le plus souvent, on supposera V hensélien, et {}={} même strictement local, i.e. k sép. clos ; ~~Soit~~ \overline{K} une clôture séparable de K, \bar\eta = \operatorname{Spec}\overline{K} ; \pi = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) . \ell nombre premier. ~~Sauf mention du contraire, dans la plus grande partie~~ Pour tout ce qui suit de l'exposé ~~L'objet de~~ \ell \neq \operatorname{car} k.

0.2. L'objet du Séminaire est l'étude de certaines représentations \ell-adiques de \pi, provenant de diverses situations géométriques. Une repr. \ell-adique de \pi est un hom. continu (*) \qquad \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E) , où E est un module de t.f. sur \mathbb{Z}_\ell. On pourra aussi regarder \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E) , E module de t.f. sur \mathbb{Q}_\ell.

Exemple 0.3. X_K schéma algébrique sur K, i entier. On suppose que H^i(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) est un groupe fini, de sorte que E = H^i(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell) \overset{\mathrm{df}}{=} \varprojlim_\nu H^i(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z}) est un module de t.f. sur \mathbb{Z}_\ell ; cette hyp. est vérifiée dans les trois cas suivants :

a)On dispose de résolution des sing. sous forme de Hironaka ( ) des schémas alg. de dim {}\leq \dim X sur \overline{K}, — p.ex. K de car. nulle ; b)X propre sur K ; c)X lisse sur K.

p. 2 de l'auteur. Comme \pi opère sur E par « transport de structure », on trouve une représentation \ell-adique (*).

Exemple 0.4. Soit A un ~~schéma~~ groupe algébrique commut. sur K. Alors on regarde E = T_\ell(A(\overline{K})) \overset{\mathrm{df}}{=} \varprojlim_\nu {}_{\ell^\nu}A(\overline{K}) . Le groupe ne change pas si on remplace A par (A^{\circ})_{\mathrm{red}} (NB. T_\ell est un foncteur exact : quand les noyaux sont finis), c'est un ~~groupe~~ module libre sur \mathbb{Z}_\ell de rang égal à : 2\alpha + \struck{\ill{}}\,\mu, où \alpha (\mu) est la dim. de la « partie abélienne » resp. ~~« torique »~~ « torique » de (A_K)^{\circ}_{\mathrm{red}}. Ici encore, \pi opère sur E par transport de structure.

Remarque 0.5. On peut regarder l'exemple 0.3 comme étant essentiellement le un cas particulier de l'exemple 0.4 pour i = 1.le chiffre du premier renvoi est surchargé ; l'ajout « pour i=1 » est appelé par un trait après « 0.4 ». De façon précise, on montre qu'il y a un isom. canonique H^1(A_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \text{\struck{\ill{}}}\ \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_\ell}(T_\ell(A(\overline{K})), \mathbb{Z}_\ell) , ou ce qui revient au même, puisque T_\ell(A_{\overline{K}}) est libre de type fini sur \mathbb{Z}_\ell : T_\ell(A(\overline{K})) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_\ell}(H^1(A_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell), \mathbb{Z}_\ell) . D'autre part, ~~dans 0.3,~~ si dans 0.3, X est propre et lisse, et i = 1, on trouve H^1(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell(1)) \simeq \varprojlim_\nu H^1(X_{\overline{K}}, \mu_{\ell^\nu}) \simeq T_\ell(\operatorname{Pic}(X_{\overline{K}})) \simeq T_\ell(\underline{\operatorname{Pic}}_{X/K}(\overline{K}))

p. 3 de l'auteur. ou si on préfère H^1(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq T_\ell(\underline{\operatorname{Pic}}_{X/K}(\overline{K})) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Z}_\ell(-1) .

0.6. Lorsque A est un schéma abélien sur K, nous verrons que la connaissance du \pi-module T_\ell(A(\overline{K})) donne des informations ~~assez~~ précises sur la structure du modèle de Néron de A [ ], et inversement la considération du mod. de Néron permet d'obtenir des renseignements complémentaires intéressants sur T_\ell(A(\overline{K})), — et partant sur tous les H^i(X_{\overline{K}})_{\uncertain{f}} comme \pi-modules D'autre part, l'étude des \pi-modules plus généraux H^i(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell) s'introduit quand on dispose d'un ~~modèle~~ schéma X sur S de fibre générique X_K = X_\eta, et qu'on désire étudier les relations entre H^i(X), H^i(X_s) et H^i(X_{\bar\eta}) ; (p.ex. dans certains cas on a H^i(X_s) \simeq H^i(X_{\bar\eta})^{\pi}). Cette ~~Deligne, utilisant~~ ~~l'étude~~ étude locale s'avère comme un outil indispensable pour l'étude cohomologique globale d'un morphisme f : X \longrightarrow S avec S régulier de dim 1. ~~Pour~~ Dans le cas où S = \mathbb{P}^1_k, et où X « est » un pinceau de sections hyperplanes d'une variété projective lisse X_0 définie sur k, on est dans la situation typique de la théorie de Lefschetz [ ]. S'inspirant d'arguments de Lefschetz, Deligne montre ainsi que si X_0 est une surface de degré {}\geq 4

p. 4 de l'auteur. dans \mathbb{P}^3_k, alors on a \mathbb{Z} \simeq \operatorname{Pic}(\mathbb{P}^3) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(X_0) , k étant un corps de car. quelconque.

2. Rappels sur la structure de \pi

la numérotation saute de 0 à 2 sur la page.

On suppose S hensélien, i.e. V hensélien.

2.1. Il y a une sous-extension \widetilde{K}_{\mathrm{nr}} de \overline{K}/K, qui est la plus grande sous-extension non ramifiée (i.e. étale) sur V.l'indice de \widetilde{K} est empâté, ici et p. 7 ; la lecture « nr » est une conjecture du transcripteur. Si \widetilde{V} est la clôture normale de V dans \widetilde{K}_{\mathrm{nr}}, \widetilde{V} = {} \overline{V} \cap \widetilde{K}_{\mathrm{nr}} la clôture normale de V dans \overline{K}, alors \widetilde{V} est un anneau de valuation discrète, ~~\mathfrak{m}(\widetilde{V}) = \mathfrak{m}\widetilde{V},~~ \widetilde{V} \otimes_V k = \bar{k} est une ~~extension~~ clôture séparable de k ; d'autres termes, \widetilde{V} est une hensélisation stricte de V p.r. à la clôture séparable \bar k de k, et \widetilde{K}_{\mathrm{nr}} est le corps des fractions de \widetilde{V}. On pose \begin{cases} \widetilde{S} = \operatorname{Spec}\widetilde{V} = \text{hensélisé strict de } S \\ \bar{s} = \operatorname{Spec}\bar{k} . \end{cases}

2.3. On a remarqué que la donnée de la clôture séparable \overline{K} de K définit canoniquement une clôture séparable \bar k de k. Si S' est un ~~Cette~~ ~~fini étale~~

2.1.1. D'où un isomorphisme canonique {}_n\bar{k}^{*} \xleftarrow{\ \sim\ } {}_n\widetilde{V}^{*} \xrightarrow{\ \sim\ } \overline{K}^{*} … \mu_n(\overline{K}) \simeq \mu_n(\bar k). compatible avec les morphismes de ce passage, numéroté 2.1.1 et précédé de « … inversible dans k, on a : », est encadré et biffé de traits obliques ; l'appel en marge (« 2.3 ») le remplace par le paragraphe 2.3 ci-dessus, écrit au-dessus.

p. 5 de l'auteur. schéma fini étale sur S, alors on a des isomorphismes \operatorname{Hom}_S(\bar{s}, S') \xleftarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_S(\text{\struck{Spec}}\ \widetilde{S}, S') \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_S(\text{\struck{Spec}}\ \bar\eta, S') , d'où un isom. canonique (2.3.1) \qquad \operatorname{Hom}_S(\bar{s}, S') \simeq \operatorname{Hom}_S(\bar\eta, S') , fonctoriel en S', liant les 2 foncteurs « fibres » sur la cat. des rev. étales de S, définis resp. par \bar k et \overline{K} (i.e. pts géom. \bar s et \bar\eta). Faisant S' = \mu_n, n entier inversible dans k, on trouve en particulier un isom. (2.3.2) \qquad \mu_n(\bar{s}) = {}_n\bar{k}^{*} \simeq \mu_n(\overline{K}) = {}_n\overline{K}^{*} , d'où par passage à la limite sur les puissances de \ell, \ell \neq \operatorname{car} k : (2.3.3) \qquad T_\ell(\bar{k}^{*}) \simeq T_\ell(\overline{K}^{*}) . ~~On notera~~ Les deux membres sont des modules libres de rang 1 sur \mathbb{Z}_\ell, ~~qui~~ ~~le premier identifié~~ qu'on désignera aussi par \mathbb{Z}_\ell(1). (2.3.5) La puiss. tensorielle n-ième \mathbb{Z}_\ell(1)^{\otimes n} (n \in \mathbb{Z}) est notée \mathbb{Z}_\ell(n). Donc (2.3.4) \qquad \mathbb{Z}_\ell(n) \simeq \varprojlim_\nu \mu_{\ell^\nu}(\bar{k}^{*})^{\otimes n} \simeq \varprojlim_\nu \mu_{\ell^\nu}(\overline{K}^{*})^{\otimes n} . Les isomorphismes ci-dessus sont compatibles aux opérations de \pi sur \mu_n(\overline{K}^{*}) et à celles de \pi_0 sur \mu_n(\bar{k}^{*}) etc.…, compte tenu de l'épimorphisme canonique \pi \to \pi_0.

p. 6 de l'auteur. Le numéro 2.2 surcharge un autre chiffre ; un trait en marge, comme en face de 2.3 p. 5, semble indiquer une insertion. 2.2. La sous-extension \widetilde{K}_{\mathrm{nr}} de \overline{K}/K est galoisienne, et son groupe de Galois est canoniquement isomorphe au groupe de Galois (2.2.1) \qquad \pi_0 = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k) . On obtient ainsi une suite exacte (2.2.2) \qquad 1 \longrightarrow I \longrightarrow \pi \longrightarrow \pi_0 \longrightarrow 1 , où I = \operatorname{Gal}(\overline{K}/\widetilde{K}) est ce qu'on appelle le groupe d'inertie. ~~c'est aussi~~ Si on se rappelle que \widetilde{K} = corps des fractions de \widetilde{V}, (\overline{K} est une clôture séparable de \widetilde{K},) on voit donc que I est le groupe de Galois qui correspond à la situation des anneaux de valuation strictement locaux \widetilde{V}. Si k est sép. clos, on aura K = \widetilde{K}, V = \widetilde{V}, I = \pi.

Le objet du séminaire est plutôt l'étude des représentations \ell-adiques du groupe d'inertie I. (Le groupe I, en tant qu'il intervient par la représentation \ell-adique envisagée, ~~provient de la~~ est parfois appelé groupe de monodromie locale.) Il revient au même de dire qu'on s'attache surtout à étudier les repr. \ell-adiques du groupe \pi, lorsque k est sép. clos. ~~Dans~~ certaines situations, cependant, on aura une représentation d'une extension

p. 7 de l'auteur. (2.2.2), et on ne se bornera pas à étudier sa restriction à I. On verra ~~toutefois~~ parfois que le fait qu'une représentation de I se prolonge à \pi impose à cette représentation des restrictions draconiennes.

2.3.

2.4. ~~Rappelons~~ La structure de I. Soit p l'exposant caractéristique de k, ~~Alors~~ et soit P le ~~plus grand~~ sous-p-groupe de Sylow de I (P = 1 si p = 1 i.e. k de car. nulle). Alors P est invariant, i.e. on a une suite exacte (2.4.1) \qquad 1 \longrightarrow P \longrightarrow I \longrightarrow I_t \longrightarrow 1 , où I_t (partie « tame » du groupe d'inertie I) est un groupe profini premier à p, d'autre part on a un isomorphisme canonique (2.4.2) \qquad I_t \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) . Le diagramme est obtenu ainsi. Le groupe P est le groupe de Galois de (2.4.3) \qquad P = \operatorname{Gal}(\overline{K}/\overline{K}_t) , où \overline{K}_t est la plus ~~grande~~ grande sous-extension modérément ramifiée de \overline{K}/K (rel. à V), i.e. aussi de \overline{K}/\widetilde{K} (rel. à \widetilde{V}). Celle-ci s'obtient, en désignant

p. 8 de l'auteur. d'une uniformisante t de V, donc de \widetilde{V}, comme la réunion des sous-extensions ~~abéliennes~~ Kummeriennes (2.4.4) \qquad K_n = \widetilde{K}(\sqrt[n]{t}) \subset \overline{K} , où n parcourt les entiers {}>0 premiers à p. Le groupe de Galois de cette extension K_n est naturellement isomorphe au groupe \mu_n(\overline{K}) = {}_n\overline{K}^{*} des racines n-ièmes de l'unité dans \overline{K}, et par passage à la limite on trouve I_t = \operatorname{Gal}\bigl((\varinjlim_n K_n)/\widetilde{K}\bigr) \simeq \varprojlim_n \operatorname{Gal}(K_n/\widetilde{K}) , le second argument du dernier \operatorname{Gal} est noirci ; on lit \widetilde{K} par analogie avec le premier membre. i.e. (2.4.2).

Remarque 2.5. On notera que par définition, le sous-groupe P de I est stable par automorphismes de I, en particulier par les automorphismes intérieurs induits par les automorph. int. de \pi. Donc \pi opère par passage au quotient sur I/P = I_t ; ~~De manière analogue, puisque~~ on dans cette opération, le sous-groupe I de \pi opère trivialement, I_t étant commutatif, donc les on trouve une opération de \pi/I \simeq \pi_0 sur I_t. ~~Comme~~ On vérifie trivialement que

p. 9 de l'auteur. cette opération, via l'isomorphisme (2.4.2), n'est autre que celle qui provient de l'opération naturelle ~~l'isomorphisme de~~ de \pi_0 sur les facteurs \mathbb{Z}_\ell(1), via l'expression (2.3.3) de \mathbb{Z}_\ell(1).

Bien entendu, pour tout \ell il existe ~~des~~ un isomorphisme \mathbb{Z}_\ell(1) \simeq \mathbb{Z}_\ell , dont le choix revient au choix d'un syst. cohérent de racines primitives \ell^\nu-ièmes de 1 dans \overline{K}. Mais on fera attention qu'il n'y a pas de façon naturelle de faire ce choix, et que c'est l'expression intrinsèque (2.4.2) qui seule ~~permet~~ tient compte des opérations naturelles de \pi_0 sur le premier membre.

p. 10 de l'auteur.

3. Comportement pour S variable

titre souligné : « Comportement pour S variable » ; un mot biffé précède « S ».

Soit (3.1) \qquad f : S' = \operatorname{Spec}(V') \longrightarrow S = \operatorname{Spec} V , un morphisme dominant de traits, ~~Alors~~ donc f(s') = s, f(\eta') = \eta. La donnée d'une clôture ~~extension~~ séparable \overline{K'} de K' en définit une \overline{K} de K, à savoir la clôture séparable de K dans l'extension \overline{K'}. Alors \widetilde{K} est contenu dans \widetilde{K'}, et \widetilde{V} dans \widetilde{V'}. L'homomorphisme d'inclusion \widetilde{V} \hookrightarrow \widetilde{V'} définit aussi un hom. \bar{k} \to \bar{k}', correspondant ; on a des diagrammes commutatifs de corps :

(3.2)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] K' \arrow[r, no head] & \widetilde{K}' \arrow[r, no head] & \overline{K'} \\ K \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \widetilde{K} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \overline{K} \arrow[u, no head] \end{tikzcd}

(3.3) \qquad (3.4)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] V' \arrow[r, no head] & \widetilde{V}' & k' \arrow[r, no head] & \bar{k}' \\ V \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \widetilde{V} \arrow[u, no head] & k \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \bar{k} \arrow[u, no head] \end{tikzcd}

le premier carré, (3.3), est numéroté à gauche, le second, (3.4), entre les deux ; les traits sont sans flèche sur la page.

On trouve ainsi un diagramme commutatif d'extensions, induit par \operatorname{Gal}(\overline{K'}/K') = \pi' \to \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) = \pi : (3.5)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 1 \arrow[r] & I' \arrow[r] \arrow[d] & \pi' \arrow[r] \arrow[d, no head] & \pi'_0 \arrow[r] \arrow[d, no head] & 1 \\ 1 \arrow[r] & I \arrow[r] & \pi \arrow[r] & \pi_0 \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

L'homomorphisme \pi'_0 \to \pi_0 n'est autre que l'hom. (3.6) \qquad \pi'_0 = \operatorname{Gal}(\bar{k}'/k') \longrightarrow \operatorname{Gal}(\bar{k}/k) = \pi_0 sur la page, \pi'_0 et \pi_0 sont écrits sous les deux groupes de Galois, reliés par « = » verticaux. déduit de (3.4). L'hom. I' \to I s'insère dans un diagramme de suites exactes (3.7)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] 1 \arrow[r] & P' \arrow[r] \arrow[d] & I' \arrow[r] \arrow[d] & I'_t \arrow[r] \arrow[d, no head] & 1 \\ 1 \arrow[r] & P \arrow[r] & I \arrow[r] & I_t \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

p. 11 de l'auteur. Il convient de déterminer l'hom. (3.8) \qquad I'_t \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) \longrightarrow \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) \simeq I_t « \simeq I_t » est écrit au-dessus du second produit. où on identifie, grâce à l'inclusion \overline{K} \subset \overline{K'}, les groupes \mathbb{Z}_\ell(1) définis à l'aide de \overline{K} et de \overline{K'} (savoir T_\ell(\overline{K}^{*}) et T_\ell(\overline{K'}^{*})).

Pour ceci, on regarde les sous-extensions (pour (n,p) = 1) (3.9) \qquad \begin{cases} K_n = \widetilde{K}(\theta_n) \subset \overline{K}_t & \text{où } \theta_n^{\,n} = t , \\ K'_n = \widetilde{K'}(\theta'_n) \subset \overline{K'}_t & \text{où } \theta'^{\,n}_n = t' \end{cases} et on regarde comment \operatorname{Gal}(K'_n/\widetilde{K'}) \simeq \mu_n(\widetilde{K'}) \xleftarrow{\ \sim\ } \mu_n(\widetilde{K}) (groupe des racines n-ièmes \varepsilon de 1 dans \widetilde{K}) opère sur K_n. Si \varepsilon_{K'} désigne l'opération sur K'_n définie par \varepsilon, donc \varepsilon_{K'_n}(\theta'_n) = \varepsilon\,\theta'_n , on trouve, si (3.10) \qquad t = u'\,t'^{\,e} \qquad (e \in \mathbb{N},\ u' \in \widetilde{V}'^{*}) la parenthèse est soulignée ; le \widetilde{V}'^{*} est surchargé et pourrait être V'^{*}. d'où : ~~\mathfrak{m}\widetilde{V} = \mathfrak{m}'^{\ldots}~~ \mathfrak{m}V = \mathfrak{m}'^{e} (encadré) que \theta_n^{\,n} = u' (\theta'^{\,e}_n)^{n} , donc, si on pose (3.11) \qquad \theta_n = \lambda\,\theta'^{\,e}_n , \qquad (\lambda \in K'_n) , le numéro (3.11) surcharge un autre ; la parenthèse « (\lambda \in K'_n) » est soulignée d'un long trait. on aura \lambda^n = u' , donc \lambda \in \widetilde{V}' d'où \varepsilon_{K'}(\lambda) = \lambda, et on trouve \varepsilon_{K'_n}(\theta_n) = \underbrace{\varepsilon_{K'_n}(\lambda)}_{=\lambda}\, \varepsilon_{K'_n}(\theta'^{\,e}_n) = \lambda (\varepsilon\theta'_n)^{e} = \varepsilon^{e}\,\theta_n un renvoi « (3.10) » est porté au-dessus du dernier signe d'égalité.

p. 12 de l'auteur. ou d'autres termes \varepsilon_{K'_n}(\theta_n) = (\varepsilon^{e})_{K_n}(\theta_n) et par suite \varepsilon_{K'_n} | K_n = (\varepsilon^{e})_{K_n} . Passant à la limite sur n, on trouve le

Proposition 3.12. Si \mathfrak{m}V' = \mathfrak{m}'^{e}, alors l'hom. can. (3.8) provenant de (3.5) s'identifie à la multiplication par e.

En particulier, si e = 1 cet hom. est l'identité, Ceci s'applique en particulier si V' = \widehat{V}. c'est un isomorphisme. En fait, …

Prop. 3.13. Supposons V' = \widehat{V}, ~~et V excellent~~ ~~(i.e. \widehat{K} sép. sur K)~~. Alors les hom. de suites exactes (3.5) et (3.7) sont des isomorphismes…

à partir d'ici, la moitié inférieure de la page (le reste de 3.13 et sa démonstration) est barrée de deux longs traits obliques, et plusieurs lignes y sont en outre biffées horizontalement ; un ajout cerclé en marge gauche, également sous les traits, se lit en partie : « de val. discrète ; \widehat{V}, \widehat{K} », avec la chaîne \widetilde{V} \subset \widetilde{\widetilde{V}} \subset \widehat{\widetilde{V}} plus bas. Ce qui se lit du texte barré :

… \pi' \to \pi est surjectif, i.e. si K_1 est une extension finie séparable de K, K_1 \otimes_K \widehat{K} … V dans \pi'_0 \to \pi_0 … I'_t \to I_t, … en fait il examiner \pi' \to \pi … I' \to I) … d'après la … solutions d'une équation algébrique … p.r. aux coefficients, qui explique que les … voisines définissent les extensions \widehat{K}. … isomorphes de \widehat{K} … (d'après le résultat …) comme I' \to I est surjectif … l'hypothèse d'excellence …

Remarque 3.14. La prop. 3.13 montre que dans le plupart des questions des séminaires, on pourrait supposer V complet. la remarque 3.14 est elle aussi sous les traits obliques, mais n'est pas biffée ligne à ligne ; on la donne en clair.

p. 13 de l'auteur. Démonstration de la prop. 3.13 (p. 13). Dém. a) Comme \pi'_0 \to \pi_0 est évidemment un isom. (car k'/k est trivial) il suffit de prouver que I' \simeq I, et comme I'_t \xrightarrow{\ \sim\ } I_t (car e = 1) il suffit de prouver que P' \xrightarrow{\ \sim\ } P.

b) On sait que \pi' \to \pi est surjectif, i.e. pour toute ext. finie sép. K_1/K, K_1 \otimes_K \widehat{K} est un corps : en effet, la clôture normale V_1 de V dans K_1 est finie, donc V_1 \otimes_V \widehat{V} \simeq \widehat{V}_1, c'est donc un anneau de val. discrète (V_1 étant local), donc K_1 \otimes_K \widehat{K} \simeq \widehat{V}_1 \otimes_V K est un corps.

~~Dans~~ ~~Il suffit de remplacer V, V' par \widetilde{V}, \widetilde{V}' et à comparer \widehat{\widetilde{V}} \simeq \widehat{\widetilde{V}}'~~ passage biffé, avec des ajouts interlinéaires eux-mêmes partiellement biffés : « … complet … sur les suites exactes ».

c) On en conclut que I' \to I est surjectif, puis P' \to P surjectif.

Il reste à prouver que P' \to P est injectif, et pour ceci que \pi' \to \pi est injectif, i.e. que toute extension séparable finie K'_1 de K' = \widehat{K} provient d'une ext. sép. finie de K. Or ceci résulte du fait (« continuité des racines p.r. aux coefficients ») que deux équations voisines, séparables à coefficients dans \widehat{K} dans K, définissent des \widehat{K}-algèbres isomorphes.

p. 14 de l'auteur. Les numéros 3.14, 3.14.1, 3.14.2 surchargent d'autres chiffres (vraisemblablement 3.15 …), la remarque 3.14 de la p. 13 étant venue s'intercaler ; on transcrit les numéros définitifs. 3.14. Soit \pi' un sous-groupe d'indice fini de \pi. Il correspond à une extension séparable finie K' de K, d'où un normalisé V' de V dans K', qui est un anneau de val. discrète hensélien. Si k' est son corps résiduel, k'/k est une extension finie, plus précisément l'image de \pi'_0 = \operatorname{Gal}(\bar{k}'/k') dans sous-groupe ouvert de \pi_0 = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k). Il vient … ~~D'autre part~~ … \pi'_0 \to \pi' est injectif, i.e. que (3.14.1) \qquad I' = I \cap \pi' . Notons que d'après le théorème général appliqué à V', les … (3.14.2) \qquad \bigl[ I'/(I',I') \bigr]^{(\ell)} \simeq \mathbb{Z}_\ell(1) \qquad (\ell \neq p) l'exposant de [\,I'/(I',I')\,] surcharge un premier exposant biffé ; « \ell \neq p » est ajouté au-dessus avec un trait de renvoi. (isomorphisme canonique). ~~D'autre part~~, l'hom. I'_t \to I_t comme dessus, s'identifie, à la multiplication par e, i.e. l'extension k'/k est séparable, ~~p.ex. si~~ ~~lorsque~~ \widetilde{V}'/\widetilde{V} triviale ~~séparable~~, ~~Alors~~ p.ex. si k est parfait, alors e un terme … peut interpréter l'indice de ramification « géométrique » comme e = [I : I'] = \operatorname{card} I/I' \quad \text{si } k'/k \text{ est \uncertain{séparable}} . ~~Sinon, il faut diviser par le facteur d'inséparabilité~~ … passage biffé d'un long trait, en partie surchargé ; on lit encore : « … lorsque … \pi'/\pi (i.e. K'/K galoisienne) … invariant dans \pi … ».

~~3.16. Il … I' invariant dans \pi …~~

3.15. Lorsque \pi' est invariant dans \pi, ~~\pi'_0 dans \pi_0, () …~~ … dans \pi ~~( galoisienne)~~, donc ~~k'/k~~ … I' = I \cap \pi' (puisque I est invariant), donc ~~\pi/\pi'~~ \pi opère sur I'/(I',I') et par suite sur

la moitié inférieure de la page est très raturée : plusieurs lignes biffées horizontalement, des ajouts interlinéaires et des renvois entremêlés ; seuls les fragments ci-dessus se lisent avec quelque assurance.

p. 15 de l'auteur. Le numéro (3.15.1) surcharge un autre. (3.15.1) \qquad I'_t = \prod_{\ell \neq p} \bigl( I'/[I',I'] \bigr)(\ell) \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) . Ceci posé, on constate … constitue … I'_{\mathrm{ab}} … Bien entendu, I' opère trivialement …, donc c'est … opération de \pi … \pi/I' qui opère sur I'_{\mathrm{ab}} et à fortiori … sur I'_t. Ceci posé … on constate que I/I' opère trivialement sur (3.16.1), et que … l'opération de \pi/I \simeq \pi_0 sur I_t ainsi … quelques lignes biffées, et recouvertes de traits ondulés, en tête de page ; elles renvoient à un « (3.16.1) » qui n'est pas celui qui suit.

l'isomorphisme (3.16.1) échange les opérations de \pi sur les deux membres, ni l'opération sur le deuxième membre se fait via \pi_0 comme expliqué déjà plus haut.

Ceci se fait géométriquement le fait que l'isom. canonique (3.15.1), est compatible avec « transport de structure ».

En particulier, on trouve que I/I' opère trivialement sur I'_t, en d'autres termes

Corollaire 3.16. Pour tout sous-groupe ouvert invariant I' de I, l'extension naturelle de I/I' par le quotient I'_t \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) de I' est une extension centrale. le numéro 3.16 surcharge un autre chiffre ; la référence « (3.16.1) » du deuxième alinéa désigne vraisemblablement (3.15.1), renumérotée.

p. 16 de l'auteur. Le chiffre 4 du titre et des numéros (4.1), (4.2), 4.3 surcharge un autre chiffre.

4. Généralités sur les représentations \ell-adiques de I (\ell \neq p)

Soit E un module de type fini sur \mathbb{Z}_\ell, donc (4.1) \qquad E = \varprojlim_\nu E_\nu , \qquad E_\nu = E \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbb{Z} , après E, sous l'accolade marquée E_\nu, un produit tensoriel est biffé et noirci. d'où (4.2) \qquad G = \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E) = \varprojlim_\nu \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbb{Z}}(E_\nu) . Par définition, on munit \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E) de la structure de groupe topologique pro-fini, limite projective des groupes finis correspondants dans (4.1). Notons le

Lemme 4.3. Le ~~groupe~~ sous-groupe de G^{1} = \operatorname{Ker}\bigl( \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E) \to \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}}(E_0) \bigr) est un sous-groupe ouvert de G, ~~qui~~ est lui-même un pro-\ell-groupe .

Dém. Le fait qu'il soit ouvert est trivial par définition. Reste à prouver le fait que pour \nu \geq 1, \operatorname{Ker}\bigl( \operatorname{Aut}(E_\nu) \to \operatorname{Aut}(E_0) \bigr) est un \ell-groupe. Or si u est tel que u \equiv \mathrm{id} \ (\ell) , ~~i.e. (u-1)(E_\nu) \subset \ell E_\nu, on constate … par récurrence … (u-1)^{i} \in \ell^{i} E_\nu, d'où pour i = \nu + 1, (u-1)^{\nu+1} E_\nu = 0, ce qui~~ lignes biffées ; l'ajout encadré qui les remplace commence ici. donc u induit l'identité sur le gradué associé de E_\nu pour la filtration \ell-adique (par les \ell^{i} E_\nu), d'où on conclut facilement par récurrence sur \nu que u^{\ell^{\nu}} induit l'identité sur le

p. 17 de l'auteur. gradué associé à la filtration \ell^{\nu}-adique (par les \ell^{\nu i} E_\nu). Faisant r = \nu + 1, on conclut.

Corollaire 4.4. Pour tout sous-groupe fermé Q de G qui est une ~~pro-p-groupe ( p \neq \ell)~~ limite projective de groupes finis d'ordre premier à \ell, l'hom. naturel Q \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}}(E_0) est injectif ; en particulier Q est fini.

Corollaire 4.5. Soit u : I \to G un hom. continu et N = \operatorname{Ker} u. Soit I' l'image inverse dans I du sous-groupe \prod_{\ell' \neq \ell, p} \mathbb{Z}_{\ell'}(1) \quad \text{de} \quad I/P \simeq \prod_{\ell'} \mathbb{Z}_{\ell'}(1) , une parenthèse « (… I comme dans 4.2) » est intercalée avant « Soit » ; le chiffre surcharge un autre. ~~Alors~~ Alors l'hom. induit I'/I' \cap N \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}}(E_0) est injectif, en particulier I'/I' \cap N est un groupe fini, i.e. I' \cap N est ouvert dans I'.

En outre, il existe un ~~extension~~ sous-groupe ouvert U dans I tel que U \cap I' \subset I' \cap N, p.ex. ~~donc le~~ U = \operatorname{Ker}\bigl(G \to \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}}(E_0)\bigr). Alors l'hom. induit U \longrightarrow G s'annule sur U \cap I', donc passe au quotient en un hom. U/U \cap I' = \operatorname{Im}\bigl(U \to \mathbb{Z}_\ell(1)\bigr) \longrightarrow \text{\struck{\ill{}}}\ G . les N de cette page surchargent une autre lettre ; dans la définition de U, c'est vraisemblablement l'image inverse dans I du noyau indiqué que l'auteur a en vue ; le but de la dernière flèche est noirci et récrit.

p. 18 de l'auteur. Le numéro 4.5 de ce corollaire répète celui de la p. 18 ; les numéros (4.7), (4.8), 4.9 surchargent d'autres chiffres. En d'autres termes :

Corollaire 4.5. Avec les notations de 4.4, quitte à remplacer I par sa restriction à un sous-groupe convenable ouvert U de \pi, la représentation donnée u : I \to G se factorise en une représentation U \longrightarrow \operatorname{Im}\bigl(U \to \mathbb{Z}_\ell(1)\bigr) \longrightarrow G d'un sous-groupe ouvert U' du facteur ~~\mathbb{Z}_\ell(1)~~ \ell-primaire \mathbb{Z}_\ell(1) de I_t.

Si \ell^{\nu} est l'indice de ce dernier, alors la multiplication par \ell^{\nu} induit un isomorphisme (4.7) \qquad \mathbb{Z}_\ell(1) \xrightarrow{\ \sim\ } U' , et on est donc ramené, pour étudier la restriction de u à U, à étudier une représentation \ell-adique du groupe \mathbb{Z}_\ell(1).

En fait, souvent on a besoin de prendre U tel que ~~K \cap U \subset K \cap~~ P \cap U \subset P \cap N , la ligne biffée porte une lettre noircie, peut-être K ou N. de sorte que la restriction de u à U se factorise en un hom. U' = \text{\struck{$\operatorname{Im}$}}\ \operatorname{Im}(U \to I_t) \longrightarrow G . Ici encore, on trouve un isom. canonique (4.8) \qquad U' \simeq I_t \simeq \prod_{\ell' \neq p} \mathbb{Z}_{\ell'}(1) la lecture du premier \simeq (« U' \simeq I_t ») est littérale ; le sens attendu est sans doute que U' est un sous-groupe ouvert de I_t, isomorphe à lui.

On retiendra en particulier que U' est commutatif.

4.9. On peut aussi exprimer ceci en disant que, quitte à faire une extension séparable finie K_1 de K, le groupe de I défini par une repr. \ell-adique la rep. \ell-adique … se factorise par sa « partie \ell-primaire » I^{(\ell)} = \mathbb{Z}_\ell(1). les deux dernières lignes de la page sont serrées et en partie surchargées ; la lecture en est incertaine.

p. 19 de l'auteur. 4.10. Parfois on arrive à considérer un vectoriel de dim. finie E sur \mathbb{Q}_\ell, et une représentation continue (4.10.1) \qquad u : \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E) . Le fait à retenir est que (\pi étant compact) il existe toujours un « réseau invariant par \pi », i.e. un sous-\mathbb{Z}_\ell-module E_{\mathbb{Z}_\ell}, ~~tel que~~ libre de type fini sur \mathbb{Z}_\ell, stable par \pi, tel que E_{\mathbb{Z}_\ell} \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell \xrightarrow{\ \sim\ } E, ~~donc~~ donc (4.10.1) se factorise en (4.10.2) \qquad u_{\mathbb{Z}_\ell} : \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E_{\mathbb{Z}_\ell}) . Il s'ensuit donc que pour tout sous-groupe Q de \pi qui est une limite projective de groupes finis d'ordre premier à \ell, u(Q) est un sous-groupe fini de G = \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E), et les cor. 4.5, et 4.6 … restent applicables.

5. Représentations quasi-unipotentes

Définition 5.1. Soit \pi un groupe profini, u : \pi \to \operatorname{Aut}_R(E) une représentation linéaire de \pi ~~dans~~ dans un vectoriel de dim. finie sur un corps R. On dit que u est quasi-unipotente si \forall g \in \pi, u(g) est un automorphisme quasi-unipotent de E, i.e. ses valeurs propres (dans une clôture alg. de R) sont toutes des racines de 1, ou encore s'il existe … des polynômes car. \det(T\,\mathrm{id} - u) … T^{n} - 1. On dit que la fin de la page est serrée et en partie illisible ; la définition se poursuit au-delà de la fin du lot.