Cote n° 34, pages 1–20

Cote n° 34 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration

Exposé I. Généralités, le th. de monodromie par voie arithmétique

2p. 1 de l'auteur. En tête : « Exposé I », suivi d'un premier titre biffé, puis du titre retenu, repris ici comme titre de section.

Exposé I Actions des groupes de monodromie : Généralités, ⌜le⌝ th. de monodromie par voie arithmétique.

0. Introduction

0.1. Notations. $S = \operatorname{Spec} V$ un trait, $s$ le pt fermé, $\eta$ point générique, $\mathfrak{m} = {}$$\mathfrak{r}V$ ⌜$= tV$⌝, $k = k(s)$, $K = k(\eta)$ ; $p$ = exp. car. de $k(s)$. Le plus souvent, on supposera ⌜[…]⌝ $V$ hensélien, et ${}={}$ même strictement local, i.e. $k$ sép. clos ; Soit $\overline{K}$ une clôture séparable de $K$, $\bar\eta = \operatorname{Spec}\overline{K}$ ; \[ \pi = \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) . \] $\ell$ nombre premier. Sauf mention du contraire, dans la plus grande partie ⌜Pour tout ce qui suit […] de l'exposé⌝ […] L'objet de $\ell \neq \operatorname{car} k$.

0.2. L'objet du Séminaire est l'étude de certaines représentations $\ell$-adiques de $\pi$, provenant de diverses situations géométriques. Une repr. $\ell$-adique de $\pi$ est un […] hom. continu \[ (*) \qquad \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E) , \] où $E$ est un module de t.f. sur $\mathbb{Z}_\ell$. On pourra aussi regarder \[ \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E) , \] $E$ module de t.f. sur $\mathbb{Q}_\ell$.

Exemple 0.3. $X_K$ schéma algébrique sur $K$, ⌜$i$ entier.⌝ On suppose que $H^i(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$ est un groupe fini, de sorte que \[ E = H^i(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell) \overset{\mathrm{df}}{=} \varprojlim_\nu H^i(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z}) \] est un module de t.f. sur $\mathbb{Z}_\ell$ ; cette hyp. […] est […] vérifiée dans les trois cas suivants :

a)On dispose de résolution des sing. ⌜sous forme de Hironaka ( )⌝ des schémas alg. de dim ${}\leq \dim X$ sur $\overline{K}$, — p.ex. $K$ de car. nulle ;
b)$X$ propre sur $K$ ;
c)$X$ lisse sur $K$.

3p. 2 de l'auteur. Comme $\pi$ opère sur […] $E$ par « transport de structure », on trouve une représentation $\ell$-adique $(*)$.

Exemple 0.4. Soit $A$ un schéma groupe algébrique ⌜commut.⌝ sur $K$. Alors on regarde \[ E = T_\ell(A(\overline{K})) \overset{\mathrm{df}}{=} \varprojlim_\nu {}_{\ell^\nu}A(\overline{K}) . \] […] Le groupe ne change pas si on remplace $A$ par $(A^{\circ})_{\mathrm{red}}$ (NB. $T_\ell$ est un foncteur exact : quand les noyaux sont finis), c'est un groupe module libre sur $\mathbb{Z}_\ell$ de rang égal à : $2\alpha + \struck{\ill{}}\,\mu$, où $\alpha$ ($\mu$) est la dim. de la « partie abélienne » resp. « torique » « torique » de $(A_K)^{\circ}_{\mathrm{red}}$. Ici encore, $\pi$ opère sur $E$ par transport de structure.

Remarque 0.5. On peut regarder l'exemple 0.3 comme étant essentiellement le un cas particulier de l'exemple 0.4 ⌜pour $i = 1$.⌝le chiffre du premier renvoi est surchargé ; l'ajout « pour $i=1$ » est appelé par un trait après « 0.4 ». De façon précise, ⌜on montre qu'⌝il y a un isom. canonique \[ H^1(A_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq \text{\struck{\ill{}}}\ \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_\ell}(T_\ell(A(\overline{K})), \mathbb{Z}_\ell) , \] ou ce qui revient au même, puisque $T_\ell(A_{\overline{K}})$ est libre de type fini sur $\mathbb{Z}_\ell$ : \[ T_\ell(A(\overline{K})) = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_\ell}(H^1(A_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell), \mathbb{Z}_\ell) . \] D'autre part, dans 0.3, si […] dans 0.3, $X$ est propre et lisse, et $i = 1$, on trouve \[ H^1(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell(1)) \simeq \varprojlim_\nu H^1(X_{\overline{K}}, \mu_{\ell^\nu}) \simeq T_\ell(\operatorname{Pic}(X_{\overline{K}})) \simeq T_\ell(\underline{\operatorname{Pic}}_{X/K}(\overline{K})) \]

4p. 3 de l'auteur. ou si on préfère \[ H^1(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell) \simeq T_\ell(\underline{\operatorname{Pic}}_{X/K}(\overline{K})) \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Z}_\ell(-1) . \]

0.6. Lorsque $A$ est un schéma abélien sur $K$, nous verrons que la connaissance du $\pi$-module $T_\ell(A(\overline{K}))$ donne des informations assez précises sur la structure du modèle de Néron de $A$ [ ], et inversement la considération du mod. de Néron permet d'obtenir des renseignements complémentaires intéressants sur $T_\ell(A(\overline{K}))$, — et partant sur tous les $H^i(X_{\overline{K}})_{\uncertain{f}}$ comme $\pi$-modules D'autre part, l'étude des $\pi$-modules plus généraux $H^i(X_{\overline{K}}, \mathbb{Z}_\ell)$ s'introduit quand on […] dispose d'un modèle ⌜schéma⌝ $X$ […] sur $S$ de fibre générique $X_K = X_\eta$, et qu'on désire […] étudier les relations entre $H^i(X)$, $H^i(X_s)$ et $H^i(X_{\bar\eta})$ ; (p.ex. dans certains cas on a $H^i(X_s) \simeq H^i(X_{\bar\eta})^{\pi}$). Cette Deligne, utilisant l'étude étude locale s'avère comme un outil indispensable pour l'étude ⌜cohomologique⌝ globale d'un morphisme \[ f : X \longrightarrow S \] avec $S$ régulier de dim 1. Pour […] Dans le cas où $S = \mathbb{P}^1_k$, et où $X$ « est » […] un pinceau de sections hyperplanes d'une variété projective lisse $X_0$ définie sur $k$, on est dans la situation typique de la théorie de Lefschetz [ ]. S'inspirant d'arguments de Lefschetz, Deligne montre ainsi […] que si $X_0$ est une surface de degré ${}\geq 4$

5p. 4 de l'auteur. dans $\mathbb{P}^3_k$, alors on a \[ \mathbb{Z} \simeq \operatorname{Pic}(\mathbb{P}^3) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Pic}(X_0) , \] $k$ étant un corps de car. quelconque.

2. Rappels sur la structure de $\pi$

la numérotation saute de 0 à 2 sur la page.

On suppose $S$ hensélien, i.e. $V$ hensélien.

2.1. Il y a une sous-extension $\widetilde{K}_{\mathrm{nr}}$ de $\overline{K}/K$, qui est la plus grande sous-extension non ramifiée (i.e. étale) sur $V$.l'indice de $\widetilde{K}$ est empâté, ici et p. 7 ; la lecture « nr » est une conjecture du transcripteur. Si […] $\widetilde{V}$ est la clôture normale de $V$ dans $\widetilde{K}_{\mathrm{nr}}$, $\widetilde{V} = {}$[…] $\overline{V} \cap \widetilde{K}_{\mathrm{nr}}$ la clôture normale de […] $V$ dans $\overline{K}$, alors $\widetilde{V}$ est un anneau de valuation discrète, $\mathfrak{m}(\widetilde{V}) = \mathfrak{m}\widetilde{V}$, \[ \widetilde{V} \otimes_V k = \bar{k} \] est une extension clôture séparable de $k$ ; d'autres termes, $\widetilde{V}$ est une hensélisation stricte de $V$ p.r. à […] la clôture séparable $\bar k$ de $k$, et $\widetilde{K}_{\mathrm{nr}}$ est le corps des fractions de $\widetilde{V}$. On pose \[ \begin{cases} \widetilde{S} = \operatorname{Spec}\widetilde{V} = \text{hensélisé strict de } S \\ \bar{s} = \operatorname{Spec}\bar{k} . \end{cases} \]

2.3. On a remarqué que la donnée de la clôture séparable $\overline{K}$ de $K$ définit canoniquement une clôture séparable $\bar k$ de $k$. ⌜Si $S'$ est un⌝ Cette […] fini étale […]

2.1.1. D'où un isomorphisme canonique ${}_n\bar{k}^{*} \xleftarrow{\ \sim\ } {}_n\widetilde{V}^{*} \xrightarrow{\ \sim\ } \overline{K}^{*}$ … $\mu_n(\overline{K}) \simeq \mu_n(\bar k)$. […] compatible avec les morphismes de […]ce passage, numéroté 2.1.1 et précédé de « … inversible dans $k$, on a : », est encadré et biffé de traits obliques ; l'appel en marge (« 2.3 ») le remplace par le paragraphe 2.3 ci-dessus, écrit au-dessus.

6p. 5 de l'auteur. schéma fini étale sur $S$, alors on a des isomorphismes \[ \operatorname{Hom}_S(\bar{s}, S') \xleftarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_S(\text{\struck{Spec}}\ \widetilde{S}, S') \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}_S(\text{\struck{Spec}}\ \bar\eta, S') , \] d'où un isom. canonique \[ (2.3.1) \qquad \operatorname{Hom}_S(\bar{s}, S') \simeq \operatorname{Hom}_S(\bar\eta, S') , \] fonctoriel en $S'$, liant les ⌜2⌝ foncteurs « fibres » sur la cat. des rev. étales de $S$, définis resp. par […] $\bar k$ et $\overline{K}$ ⌜(i.e. pts⌝ géom. $\bar s$ et $\bar\eta$). Faisant $S' = \mu_n$, $n$ ⌜entier⌝ inversible dans $k$, on trouve en particulier un isom. \[ (2.3.2) \qquad \mu_n(\bar{s}) = {}_n\bar{k}^{*} \simeq \mu_n(\overline{K}) = {}_n\overline{K}^{*} , \] d'où par passage à la limite sur les puissances de $\ell$, $\ell \neq \operatorname{car} k$ : \[ (2.3.3) \qquad T_\ell(\bar{k}^{*}) \simeq T_\ell(\overline{K}^{*}) . \] On notera Les deux membres sont des modules libres de rang 1 sur $\mathbb{Z}_\ell$, qui le premier identifié qu'on désignera aussi par $\mathbb{Z}_\ell(1)$. […] (2.3.5) ⌜La puiss. tensorielle n-ième⌝ $\mathbb{Z}_\ell(1)^{\otimes n}$ ($n \in \mathbb{Z}$) est notée $\mathbb{Z}_\ell(n)$. Donc \[ (2.3.4) \qquad \mathbb{Z}_\ell(n) \simeq \varprojlim_\nu \mu_{\ell^\nu}(\bar{k}^{*})^{\otimes n} \simeq \varprojlim_\nu \mu_{\ell^\nu}(\overline{K}^{*})^{\otimes n} . \] Les isomorphismes […] ⌜ci-dessus⌝ sont compatibles aux opérations de $\pi$ sur $\mu_n(\overline{K}^{*})$ ⌜et⌝ à celles de $\pi_0$ sur $\mu_n(\bar{k}^{*})$ etc.…, compte tenu de l'épimorphisme canonique $\pi \to \pi_0$.

7p. 6 de l'auteur. Le numéro 2.2 surcharge un autre chiffre ; un trait en marge, comme en face de 2.3 p. 5, semble indiquer une insertion. 2.2. La sous-extension $\widetilde{K}_{\mathrm{nr}}$ de $\overline{K}/K$ est galoisienne, et son groupe de Galois est canoniquement isomorphe au groupe de Galois \[ (2.2.1) \qquad \pi_0 = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k) . \] On obtient ainsi une suite exacte \[ (2.2.2) \qquad 1 \longrightarrow I \longrightarrow \pi \longrightarrow \pi_0 \longrightarrow 1 , \] où \[ I = \operatorname{Gal}(\overline{K}/\widetilde{K}) \] est ce qu'on appelle le groupe d'inertie. […] c'est aussi Si on se rappelle ⌜que⌝ $\widetilde{K}$ = corps des fractions de $\widetilde{V}$, ($\overline{K}$ est une clôture séparable de $\widetilde{K}$,) on voit donc que $I$ est le groupe de Galois qui correspond à la situation […] des anneaux de valuation strictement locaux $\widetilde{V}$. Si $k$ est sép. clos, on aura $K = \widetilde{K}$, $V = \widetilde{V}$, $I = \pi$.

Le objet du séminaire est plutôt l'étude des représentations $\ell$-adiques du groupe d'inertie $I$. (Le groupe $I$, en tant qu'il intervient par la représentation $\ell$-adique envisagée, provient de la est parfois appelé groupe de monodromie locale.) Il revient au même de dire qu'on s'attache surtout à étudier les repr. $\ell$-adiques du groupe $\pi$, lorsque $k$ est sép. clos. Dans certaines situations, cependant, on aura une représentation d'une extension

8p. 7 de l'auteur. (2.2.2), et on ne se bornera pas […] à étudier sa restriction à $I$. On verra toutefois ⌜parfois⌝ que le fait qu'une représentation de $I$ se prolonge à $\pi$ impose à cette représentation des restrictions draconiennes.

2.3.

2.4. Rappelons La structure de $I$. Soit $p$ l'exposant caractéristique de $k$, Alors et soit $P$ le plus grand sous-$p$-groupe de Sylow de $I$ ($P = 1$ si $p = 1$ i.e. $k$ de car. nulle). Alors $P$ est invariant, i.e. on a une suite exacte \[ (2.4.1) \qquad 1 \longrightarrow P \longrightarrow I \longrightarrow I_t \longrightarrow 1 , \] où $I_t$ ⌜(partie « tame » du groupe d'inertie $I$)⌝ est un groupe profini premier à $p$, d'autre part on a un isomorphisme canonique \[ (2.4.2) \qquad I_t \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) . \] Le diagramme est obtenu ainsi. Le groupe $P$ est le groupe de Galois de \[ (2.4.3) \qquad P = \operatorname{Gal}(\overline{K}/\overline{K}_t) , \] où $\overline{K}_t$ est la plus grande grande sous-extension modérément ramifiée de $\overline{K}/K$ ⌜(rel. à $V$)⌝, i.e. aussi de $\overline{K}/\widetilde{K}$ (rel. à $\widetilde{V}$). Celle-ci s'obtient, en désignant

9p. 8 de l'auteur. d'une uniformisante […] $t$ de $V$, ⌜donc de $\widetilde{V}$,⌝ comme la réunion des sous-extensions abéliennes Kummeriennes \[ (2.4.4) \qquad K_n = \widetilde{K}(\sqrt[n]{t}) \subset \overline{K} , \] où $n$ parcourt les entiers ${}>0$ premiers à $p$. Le groupe de Galois de cette extension $K_n$ est naturellement isomorphe au groupe \[ \mu_n(\overline{K}) = {}_n\overline{K}^{*} \] des racines $n$-ièmes de l'unité dans $\overline{K}$, et par passage à la limite on trouve \[ I_t = \operatorname{Gal}\bigl((\varinjlim_n K_n)/\widetilde{K}\bigr) \simeq \varprojlim_n \operatorname{Gal}(K_n/\widetilde{K}) , \] le second argument du dernier $\operatorname{Gal}$ est noirci ; on lit $\widetilde{K}$ par analogie avec le premier membre. i.e. (2.4.2).

Remarque 2.5. On notera que par définition, le sous-groupe $P$ de $I$ est stable par […] automorphismes de $I$, en particulier par les automorphismes intérieurs induits par les automorph. int. de $\pi$. Donc $\pi$ opère par passage au quotient sur $I/P = I_t$ ; De manière analogue, puisque […] on […] dans cette opération, le sous-groupe $I$ de $\pi$ opère trivialement, $I_t$ étant commutatif, donc les […] on trouve une opération de $\pi/I \simeq \pi_0$ sur $I_t$. Comme […] On vérifie trivialement que

10p. 9 de l'auteur. cette opération, via l'isomorphisme (2.4.2), […] n'est autre que celle qui provient de ⌜l'opération naturelle⌝ l'isomorphisme de de $\pi_0$ sur les facteurs $\mathbb{Z}_\ell(1)$, via l'expression (2.3.3) de $\mathbb{Z}_\ell(1)$.

Bien entendu, pour tout $\ell$ […] il existe des un isomorphisme \[ \mathbb{Z}_\ell(1) \simeq \mathbb{Z}_\ell , \] dont le choix revient au choix d'un syst. cohérent de racines ⌜primitives⌝ $\ell^\nu$-ièmes de 1 dans $\overline{K}$. Mais on fera attention qu'il n'y a pas de façon naturelle de faire ce choix, et que c'est l'expression intrinsèque (2.4.2) qui seule permet tient compte des opérations naturelles de $\pi_0$ sur le premier membre.

11p. 10 de l'auteur.

3. Comportement pour $S$ variable

titre souligné : « Comportement pour […] $S$ variable » ; un mot biffé précède « $S$ ».

Soit \[ (3.1) \qquad f : S' = \operatorname{Spec}(V') \longrightarrow S = \operatorname{Spec} V , \] un morphisme dominant de traits, Alors donc $f(s') = s$, $f(\eta') = \eta$. La donnée d'une ⌜clôture⌝ extension séparable […] $\overline{K'}$ de $K'$ en définit une $\overline{K}$ de $K$, à savoir la clôture séparable de $K$ dans l'extension $\overline{K'}$. Alors $\widetilde{K}$ est contenu dans $\widetilde{K'}$, et $\widetilde{V}$ dans $\widetilde{V'}$. L'homomorphisme d'inclusion $\widetilde{V} \hookrightarrow \widetilde{V'}$ définit aussi un hom. $\bar{k} \to \bar{k}'$, correspondant ; […] on a des diagrammes commutatifs de corps :

(3.2)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
K' \arrow[r, no head] & \widetilde{K}' \arrow[r, no head] & \overline{K'} \\
K \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \widetilde{K} \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \overline{K} \arrow[u, no head]
\end{tikzcd}

\[ (3.3) \qquad (3.4) \]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
V' \arrow[r, no head] & \widetilde{V}' & k' \arrow[r, no head] & \bar{k}' \\
V \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \widetilde{V} \arrow[u, no head] & k \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & \bar{k} \arrow[u, no head]
\end{tikzcd}

le premier carré, (3.3), est numéroté à gauche, le second, (3.4), entre les deux ; les traits sont sans flèche sur la page.

On trouve ainsi un diagramme commutatif d'extensions, induit par $\operatorname{Gal}(\overline{K'}/K') = \pi' \to \operatorname{Gal}(\overline{K}/K) = \pi$ : (3.5)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
1 \arrow[r] & I' \arrow[r] \arrow[d] & \pi' \arrow[r] \arrow[d, no head] & \pi'_0 \arrow[r] \arrow[d, no head] & 1 \\
1 \arrow[r] & I \arrow[r] & \pi \arrow[r] & \pi_0 \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

L'homomorphisme $\pi'_0 \to \pi_0$ n'est autre que l'hom. \[ (3.6) \qquad \pi'_0 = \operatorname{Gal}(\bar{k}'/k') \longrightarrow \operatorname{Gal}(\bar{k}/k) = \pi_0 \] sur la page, $\pi'_0$ et $\pi_0$ sont écrits sous les deux groupes de Galois, reliés par « $=$ » verticaux. déduit de (3.4). L'hom. $I' \to I$ s'insère dans un diagramme de suites exactes (3.7)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
1 \arrow[r] & P' \arrow[r] \arrow[d] & I' \arrow[r] \arrow[d] & I'_t \arrow[r] \arrow[d, no head] & 1 \\
1 \arrow[r] & P \arrow[r] & I \arrow[r] & I_t \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

12p. 11 de l'auteur. Il convient de déterminer l'hom. \[ (3.8) \qquad I'_t \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) \longrightarrow \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) \simeq I_t \] « $\simeq I_t$ » est écrit au-dessus du second produit. où on identifie, grâce à l'inclusion $\overline{K} \subset \overline{K'}$, les […] groupes $\mathbb{Z}_\ell(1)$ définis à l'aide de $\overline{K}$ et de $\overline{K'}$ (savoir $T_\ell(\overline{K}^{*})$ et $T_\ell(\overline{K'}^{*})$).

Pour ceci, on regarde les sous-extensions (pour $(n,p) = 1$) \[ (3.9) \qquad \begin{cases} K_n = \widetilde{K}(\theta_n) \subset \overline{K}_t & \text{où } \theta_n^{\,n} = t , \\ K'_n = \widetilde{K'}(\theta'_n) \subset \overline{K'}_t & \text{où } \theta'^{\,n}_n = t' \end{cases} \] et on regarde comment \[ \operatorname{Gal}(K'_n/\widetilde{K'}) \simeq \mu_n(\widetilde{K'}) \xleftarrow{\ \sim\ } \mu_n(\widetilde{K}) \] (groupe des racines $n$-ièmes $\varepsilon$ de 1 dans $\widetilde{K}$) opère sur $K_n$. Si $\varepsilon_{K'}$ désigne l'opération sur $K'_n$ définie par $\varepsilon$, donc \[ \varepsilon_{K'_n}(\theta'_n) = \varepsilon\,\theta'_n , \] on trouve, si \[ (3.10) \qquad t = u'\,t'^{\,e} \qquad (e \in \mathbb{N},\ u' \in \widetilde{V}'^{*}) \] la parenthèse est soulignée ; le $\widetilde{V}'^{*}$ est surchargé et pourrait être $V'^{*}$. d'où : $\mathfrak{m}\widetilde{V} = \mathfrak{m}'^{\ldots}$ $\mathfrak{m}V = \mathfrak{m}'^{e}$ (encadré) que \[ \theta_n^{\,n} = u' (\theta'^{\,e}_n)^{n} , \] donc, si on pose \[ (3.11) \qquad \theta_n = \lambda\,\theta'^{\,e}_n , \qquad (\lambda \in K'_n) , \] le numéro (3.11) surcharge un autre ; la parenthèse « $(\lambda \in K'_n)$ » est soulignée d'un long trait. on aura \[ \lambda^n = u' , \] donc […] $\lambda \in \widetilde{V}'$ […] d'où $\varepsilon_{K'}(\lambda) = \lambda$, et on trouve \[ \varepsilon_{K'_n}(\theta_n) = \underbrace{\varepsilon_{K'_n}(\lambda)}_{=\lambda}\, \varepsilon_{K'_n}(\theta'^{\,e}_n) = \lambda (\varepsilon\theta'_n)^{e} = \varepsilon^{e}\,\theta_n \] un renvoi « (3.10) » est porté au-dessus du dernier signe d'égalité.

13p. 12 de l'auteur. ou d'autres termes \[ \varepsilon_{K'_n}(\theta_n) = (\varepsilon^{e})_{K_n}(\theta_n) \] et par suite \[ \varepsilon_{K'_n} | K_n = (\varepsilon^{e})_{K_n} . \] Passant à la limite sur $n$, on trouve le

Proposition 3.12. Si $\mathfrak{m}V' = \mathfrak{m}'^{e}$, alors l'hom. ⌜can.⌝ (3.8) provenant de (3.5) s'identifie à la multiplication par $e$.

En particulier, si $e = 1$ cet hom. est l'identité, […] ⌜Ceci s'applique en particulier si $V' = \widehat{V}$.⌝ c'est un isomorphisme. ⌜En fait, …⌝

Prop. 3.13. Supposons $V' = \widehat{V}$, et $V$ excellent (i.e. $\widehat{K}$ sép. sur $K$). Alors les hom. de suites exactes (3.5) et (3.7) sont des isom[orphismes]…

à partir d'ici, la moitié inférieure de la page (le reste de 3.13 et sa démonstration) est barrée de deux longs traits obliques, et plusieurs lignes y sont en outre biffées horizontalement ; un ajout cerclé en marge gauche, également sous les traits, se lit en partie : « […] de val. discrète ; $\widehat{V}$, $\widehat{K}$ […] », avec la chaîne $\widetilde{V} \subset \widetilde{\widetilde{V}} \subset \widehat{\widetilde{V}}$ plus bas. Ce qui se lit du texte barré :

[…] … $\pi' \to \pi$ est […] surjectif, i.e. si $K_1$ est une extension finie séparable de $K$, […] $K_1 \otimes_K \widehat{K}$ […] … $V$ dans […] $\pi'_0 \to \pi_0$ […] … $I'_t \to I_t$, […] … en fait il […] examiner $\pi' \to \pi$ […] … $I' \to I$) … d'après la […] … solutions d'une équation algébrique […] … p.r. aux coefficients, qui explique que les […] … voisines définissent les extensions […] $\widehat{K}$. … isomorphes de $\widehat{K}$ … (d'après le résultat …) comme $I' \to I$ est surjectif … l'hypothèse d'excellence …

Remarque 3.14. La prop. 3.13 montre que dans le plupart des questions […] des séminaires, on pourrait supposer $V$ complet. la remarque 3.14 est elle aussi sous les traits obliques, mais n'est pas biffée ligne à ligne ; on la donne en clair.

14p. 13 de l'auteur. Démonstration de la prop. 3.13 (p. 13). Dém. a) Comme $\pi'_0 \to \pi_0$ est évidemment un isom. (car $k'/k$ est trivial) il suffit de prouver que $I' \simeq I$, et comme $I'_t \xrightarrow{\ \sim\ } I_t$ (car $e = 1$) il suffit de prouver que $P' \xrightarrow{\ \sim\ } P$.

b) On sait que $\pi' \to \pi$ est […] surjectif, i.e. pour toute ext. finie sép. $K_1/K$, $K_1 \otimes_K \widehat{K}$ est un corps : en effet, la clôture normale $V_1$ de $V$ dans $K_1$ est finie, donc $V_1 \otimes_V \widehat{V} \simeq \widehat{V}_1$, ⌜c'est donc⌝ un anneau de val. discrète ($V_1$ étant local), donc $K_1 \otimes_K \widehat{K} \simeq \widehat{V}_1 \otimes_V K$ est un corps.

Dans […] Il suffit de remplacer $V, V'$ par $\widetilde{V}, \widetilde{V}'$ et à comparer […] $\widehat{\widetilde{V}} \simeq \widehat{\widetilde{V}}'$ […] passage biffé, avec des ajouts interlinéaires eux-mêmes partiellement biffés : « … complet … sur les suites exactes ».

c) On en conclut que $I' \to I$ est surjectif, puis $P' \to P$ surjectif.

Il reste à prouver que $P' \to P$ est injectif, et pour ceci que $\pi' \to \pi$ est injectif, i.e. que toute extension séparable finie $K'_1$ de $K' = \widehat{K}$ provient d'une ext. sép. finie de $K$. Or ceci résulte du fait (« continuité des racines p.r. aux coefficients ») que deux équations voisines, séparables à coefficients dans $\widehat{K}$ ⌜dans $K$⌝, définissent des […] $\widehat{K}$-algèbres isomorphes.

15p. 14 de l'auteur. Les numéros 3.14, 3.14.1, 3.14.2 surchargent d'autres chiffres (vraisemblablement 3.15 …), la remarque 3.14 de la p. 13 étant venue s'intercaler ; on transcrit les numéros définitifs. 3.14. Soit $\pi'$ un sous-groupe d'indice fini de $\pi$. Il correspond à une extension séparable finie $K'$ de $K$, d'où un normalisé $V'$ de $V$ dans $K'$, qui est un anneau de val. discrète hensélien. Si $k'$ est son corps résiduel, $k'/k$ est une extension finie, plus précisément […] ⌜l'image⌝ de $\pi'_0 = \operatorname{Gal}(\bar{k}'/k')$ ⌜dans⌝ […] sous-groupe ouvert de $\pi_0 = \operatorname{Gal}(\bar{k}/k)$. ⌜Il vient …⌝ D'autre part … $\pi'_0 \to \pi'$ est injectif, i.e. que \[ (3.14.1) \qquad I' = I \cap \pi' . \] Notons que d'après le théorème général appliqué à $V'$, ⌜les …⌝ \[ (3.14.2) \qquad \bigl[ I'/(I',I') \bigr]^{(\ell)} \simeq \mathbb{Z}_\ell(1) \qquad (\ell \neq p) \] l'exposant de $[\,I'/(I',I')\,]$ surcharge un premier exposant biffé ; « $\ell \neq p$ » est ajouté au-dessus avec un trait de renvoi. (isomorphisme canonique). D'autre part, l'hom. $I'_t \to I_t$ ⌜comme dessus⌝, s'identifie, à la multiplication par $e$, i.e. l'extension $k'/k$ est séparable, p.ex. si lorsque $\widetilde{V}'/\widetilde{V}$ ⌜triviale⌝ séparable, Alors p.ex. si $k$ est parfait, alors $e$ un terme … peut interpréter l'indice de ramification « géométrique » comme \[ e = [I : I'] = \operatorname{card} I/I' \quad \text{si } k'/k \text{ est \uncertain{séparable}} . \] Sinon, il faut diviser par le facteur d'inséparabilité … passage biffé d'un long trait, en partie surchargé ; on lit encore : « … lorsque … $\pi'/\pi$ (i.e. $K'/K$ galoisienne) … invariant dans $\pi$ … ».

3.16. Il … $I'$ invariant dans $\pi$ … […]

3.15. Lorsque $\pi'$ est invariant dans $\pi$, $\pi'_0$ dans $\pi_0$, […] ([…]) … ⌜… dans $\pi$⌝ ([…] galoisienne), ⌜donc⌝ $k'/k$ … \[ I' = I \cap \pi' \] (puisque $I$ est invariant), ⌜donc⌝ $\pi/\pi'$ […] $\pi$ opère sur $I'/(I',I')$ et par suite sur

la moitié inférieure de la page est très raturée : plusieurs lignes biffées horizontalement, des ajouts interlinéaires et des renvois entremêlés ; seuls les fragments ci-dessus se lisent avec quelque assurance.

16p. 15 de l'auteur. Le numéro (3.15.1) surcharge un autre. \[ (3.15.1) \qquad I'_t = \prod_{\ell \neq p} \bigl( I'/[I',I'] \bigr)(\ell) \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1) . \] Ceci posé, on constate … constitue […] … $I'_{\mathrm{ab}}$ … Bien entendu, $I'$ opère trivialement …, donc c'est … opération de $\pi$ … $\pi/I'$ qui opère sur $I'_{\mathrm{ab}}$ et à fortiori … sur $I'_t$. Ceci posé … on constate que $I/I'$ opère trivialement sur (3.16.1), et que … l'opération de $\pi/I \simeq \pi_0$ sur $I_t$ ainsi … quelques lignes biffées, et recouvertes de traits ondulés, en tête de page ; elles renvoient à un « (3.16.1) » qui n'est pas celui qui suit.

[…] l'isomorphisme […] (3.16.1) échange les opérations de $\pi$ sur les deux membres, ni l'opération […] sur le deuxième membre […] se fait via $\pi_0$ comme expliqué déjà plus haut.

Ceci se fait géométriquement le fait que l'isom. canonique (3.15.1), est compatible avec « transport de structure ».

En particulier, on trouve que $I/I'$ opère trivialement sur $I'_t$, en d'autres termes

Corollaire 3.16. Pour tout sous-groupe ⌜ouvert⌝ invariant $I'$ […] de $I$, l'extension naturelle de $I/I'$ par le quotient $I'_t \simeq \prod_{\ell \neq p} \mathbb{Z}_\ell(1)$ de $I'$ est une extension centrale. le numéro 3.16 surcharge un autre chiffre ; la référence « (3.16.1) » du deuxième alinéa désigne vraisemblablement (3.15.1), renumérotée.

17p. 16 de l'auteur. Le chiffre 4 du titre et des numéros (4.1), (4.2), 4.3 surcharge un autre chiffre.

4. Généralités sur les représentations $\ell$-adiques de $I$ ($\ell \neq p$)

Soit $E$ un module de type fini sur $\mathbb{Z}_\ell$, donc \[ (4.1) \qquad E = \varprojlim_\nu E_\nu , \qquad E_\nu = E \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbb{Z} , \] après $E$, sous l'accolade marquée $E_\nu$, un produit tensoriel est biffé et noirci. d'où \[ (4.2) \qquad G = \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E) = \varprojlim_\nu \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbb{Z}}(E_\nu) . \] Par définition, on munit $\operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E)$ de la structure de groupe topologique pro-fini, limite projective des groupes finis correspondants dans (4.1). Notons le

Lemme 4.3. Le groupe sous-groupe de \[ G^{1} = \operatorname{Ker}\bigl( \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E) \to \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}}(E_0) \bigr) \] est un sous-groupe ouvert de $G$, qui est lui-même un pro-$\ell$-groupe […].

Dém. Le fait qu'il soit ouvert est trivial par définition. Reste à prouver le fait que pour $\nu \geq 1$, \[ \operatorname{Ker}\bigl( \operatorname{Aut}(E_\nu) \to \operatorname{Aut}(E_0) \bigr) \] est un $\ell$-groupe. Or si $u$ est tel que \[ u \equiv \mathrm{id} \ (\ell) , \] i.e. $(u-1)(E_\nu) \subset \ell E_\nu$, on constate … par récurrence … $(u-1)^{i} \in \ell^{i} E_\nu$, d'où pour $i = \nu + 1$, $(u-1)^{\nu+1} E_\nu = 0$, ce qui lignes biffées ; l'ajout encadré qui les remplace commence ici. donc $u$ induit l'identité sur le gradué associé de $E_\nu$ pour la filtration $\ell$-adique (par les $\ell^{i} E_\nu$), d'où on conclut facilement par récurrence sur $\nu$ que $u^{\ell^{\nu}}$ induit l'identité sur le

18p. 17 de l'auteur. gradué associé à la filtration $\ell^{\nu}$-adique (par les $\ell^{\nu i} E_\nu$). Faisant $r = \nu + 1$, on conclut.

Corollaire 4.4. Pour tout […] sous-groupe […] fermé $Q$ de $G$ qui est une pro-$p$-groupe ([…] $p \neq \ell$) ⌜limite projective de⌝ ⌜groupes finis⌝ d'ordre premier à $\ell$, l'hom. naturel \[ Q \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}}(E_0) \] est injectif ; en particulier $Q$ est fini.

Corollaire 4.5. Soit $u : I \to G$ un […] ⌜hom. continu⌝ et $N = \operatorname{Ker} u$. ⌜Soit⌝ $I'$ l'image inverse dans $I$ du sous-groupe \[ \prod_{\ell' \neq \ell, p} \mathbb{Z}_{\ell'}(1) \quad \text{de} \quad I/P \simeq \prod_{\ell'} \mathbb{Z}_{\ell'}(1) , \] une parenthèse « (… $I$ comme dans 4.2) » est intercalée avant « Soit » ; le chiffre surcharge un autre. Alors Alors l'hom. induit \[ I'/I' \cap N \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}}(E_0) \] est injectif, en particulier $I'/I' \cap N$ est un groupe fini, i.e. $I' \cap N$ est ouvert dans $I'$.

En outre, il existe un extension sous-groupe ouvert $U$ dans $I$ tel que $U \cap I' \subset I' \cap N$, p.ex. donc le $U = \operatorname{Ker}\bigl(G \to \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}}(E_0)\bigr)$. Alors l'hom. induit \[ U \longrightarrow G \] s'annule sur $U \cap I'$, donc passe au quotient en un hom. \[ U/U \cap I' = \operatorname{Im}\bigl(U \to \mathbb{Z}_\ell(1)\bigr) \longrightarrow \text{\struck{\ill{}}}\ G . \] les $N$ de cette page surchargent une autre lettre ; dans la définition de $U$, c'est vraisemblablement l'image inverse dans $I$ du noyau indiqué que l'auteur a en vue ; le but de la dernière flèche est noirci et récrit.

19p. 18 de l'auteur. Le numéro 4.5 de ce corollaire répète celui de la p. 18 ; les numéros (4.7), (4.8), 4.9 surchargent d'autres chiffres. En d'autres termes :

Corollaire 4.5. Avec les notations de 4.4, quitte à remplacer $I$ par sa restriction à un sous-groupe ⌜convenable⌝ ouvert $U$ de $\pi$, la représentation donnée $u : I \to G$ se factorise en une représentation \[ U \longrightarrow \operatorname{Im}\bigl(U \to \mathbb{Z}_\ell(1)\bigr) \longrightarrow G \] d'un sous-groupe ouvert ⌜$U'$ […]⌝ […] du facteur $\mathbb{Z}_\ell(1)$ $\ell$-primaire $\mathbb{Z}_\ell(1)$ de $I_t$.

Si $\ell^{\nu}$ est l'indice de ce dernier, alors la multiplication par $\ell^{\nu}$ induit un isomorphisme \[ (4.7) \qquad \mathbb{Z}_\ell(1) \xrightarrow{\ \sim\ } U' , \] et on est donc ramené, pour étudier la restriction de $u$ à $U$, à étudier une représentation $\ell$-adique du groupe $\mathbb{Z}_\ell(1)$.

En fait, souvent on a besoin de prendre $U$ tel que $K \cap U \subset K \cap$ \[ P \cap U \subset P \cap N , \] la ligne biffée porte une lettre noircie, peut-être $K$ ou $N$. de sorte que la restriction de $u$ à $U$ se factorise en un hom. \[ U' = \text{\struck{$\operatorname{Im}$}}\ \operatorname{Im}(U \to I_t) \longrightarrow G . \] Ici encore, on trouve un isom. canonique \[ (4.8) \qquad U' \simeq I_t \simeq \prod_{\ell' \neq p} \mathbb{Z}_{\ell'}(1) \] la lecture du premier $\simeq$ (« $U' \simeq I_t$ ») est littérale ; le sens attendu est sans doute que $U'$ est un sous-groupe ouvert de $I_t$, isomorphe à lui.

On retiendra en particulier que $U'$ est commutatif.

4.9. On peut aussi exprimer ceci en disant que, quitte à faire une extension séparable finie $K_1$ de $K$, […] le groupe de $I$ défini par une repr. $\ell$-adique la rep. $\ell$-adique … se factorise par sa « partie $\ell$-primaire » $I^{(\ell)} = \mathbb{Z}_\ell(1)$. les deux dernières lignes de la page sont serrées et en partie surchargées ; la lecture en est incertaine.

20p. 19 de l'auteur. 4.10. Parfois on arrive à considérer un vectoriel de dim. finie $E$ sur $\mathbb{Q}_\ell$, et une représentation continue \[ (4.10.1) \qquad u : \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E) . \] Le fait à retenir est que ($\pi$ étant compact) il existe toujours un « réseau invariant par $\pi$ », i.e. un sous-$\mathbb{Z}_\ell$-module $E_{\mathbb{Z}_\ell}$, tel que libre de type fini sur $\mathbb{Z}_\ell$, stable par $\pi$, tel que $E_{\mathbb{Z}_\ell} \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell \xrightarrow{\ \sim\ } E$, donc ⌜donc (4.10.1)⌝ se factorise ⌜en⌝ \[ (4.10.2) \qquad u_{\mathbb{Z}_\ell} : \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_\ell}(E_{\mathbb{Z}_\ell}) . \] Il s'ensuit ⌜donc⌝ que pour tout sous-groupe $Q$ de $\pi$ qui est une limite projective de groupes finis d'ordre premier à $\ell$, $u(Q)$ est un sous-groupe fini de $G = \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_\ell}(E)$, et les cor. 4.5, et 4.6 … restent applicables.

5. Représentations quasi-unipotentes

Définition 5.1. Soit $\pi$ un groupe profini, $u : \pi \to \operatorname{Aut}_R(E)$ une représentation linéaire de $\pi$ dans ⌜dans un⌝ vectoriel de dim. finie sur un corps $R$. On dit que $u$ est […] quasi-unipotente si $\forall g \in \pi$, $u(g)$ est un automorphisme quasi-unipotent de $E$, i.e. ses valeurs propres (dans une clôture alg. de $R$) sont toutes des racines de 1, ou encore s'il existe … des polynômes car. $\det(T\,\mathrm{id} - u)$ … $T^{n} - 1$. On dit que la fin de la page est serrée et en partie illisible ; la définition se poursuit au-delà de la fin du lot.

Exposé I. Généralités, le th. de monodromie par voie arithmétique

0. Introduction

2. Rappels sur la structure de \(\pi\)

3. Comportement pour \(S\) variable

4. Généralités sur les représentations \(\ell\)-adiques de \(I\) (\(\ell \neq p\))

5. Représentations quasi-unipotentes