Cote n° 34 · pages 1–209 · Lecture modernisée · SGA 7 : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1967-1973]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les stations

Le dossier n'a pas de pagination continue de l'auteur ; il en a six, une par rédaction. On les donne ici avec les pages du fonds, qui sont les seules qu'emploie la suite.

• Pages 2 à 50 — Exposé I, « Généralités, le théorème de monodromie par voie arithmétique » (sa pagination 1 à 49). La structure du groupe d'inertie, les représentations quasi-unipotentes, l'énoncé du théorème de monodromie, sa démonstration arithmétique, et les réductions au cas projectif et lisse.
• Pages 52 à 81 — Exposé II, « Une variante du théorème de monodromie » (sa pagination II.1 à II.30). Ce n'est plus l'inertie d'un corps local qui agit, mais le groupe de Galois d'un corps de type fini sur le groupe fondamental géométrique ; applications aux schémas abéliens et à la multiplication complexe.
• Pages 83 à 127 — Exposé III, « Le théorème de monodromie par voie géométrique » (sa pagination 1 à 43). Les cycles évanescents, le calcul local au voisinage d'un diviseur à croisements normaux, la démonstration géométrique.
• Pages 129 à 161 — un chapitre titré IV, « Propriétés générales des faisceaux de cycles évanescents », mais paginé V.1 à V.34 (et dont une note marginale dit « dans Exp. V »). Fibres des cycles évanescents, bornes de Lefschetz, cinq schémas, point singulier isolé.
• Pages 163 à 180 — Exposé VI, « Groupe de monodromie et groupe fondamental » (sa pagination 1 à 16).
• Pages 182 à 198 — le § 6 de l'exposé II, paginé II.31 à II.47 : il prolonge la pagination de l'exposé II, que la page 81 avait arrêtée à II.30. Groupes de Lie, groupes pro-algébriques et algèbres de Lie associés aux représentations \(\ell\)-adiques ; groupe fondamental arithmétique.
• Pages 199 à 208 — un appendice titré « SGA 7 [IX ?] appendice. Applications des conjectures standard sur les cycles algébriques » : les poids.

Les pages impaires 201 à 209 sont des feuillets d'une dactylographie anglaise d'une autre main, sur les actions de groupes réductifs, intercalés dans l'appendice ; la transcription les note sans les transcrire, et cette lecture fait de même.

Ce qui a paru, et ce qui n'a pas paru

La comparaison qui suit porte sur la table des matières des deux volumes imprimés et sur ce qu'on sait de leur contenu ; elle n'est pas une collation ligne à ligne, que cette lecture n'a pas faite.

SGA 7 I (Lecture Notes in Mathematics 288, 1972), dirigé par Grothendieck, comprend les exposés I, II, VI, VII, VIII et IX. L'exposé I est un « Résumé des premiers exposés de A. Grothendieck », rédigé par P. Deligne : c'est là que le théorème de monodromie et ses deux démonstrations ont paru, et ces feuillets sont, selon toute vraisemblance, le texte de ces premiers exposés. L'exposé II imprimé, de M. Raynaud, porte sur les propriétés de finitude du groupe fondamental — non sur la « variante » que le brouillon appelle exposé II. L'exposé VI imprimé, de D. S. Rim, est consacré en anglais à la théorie formelle des déformations, l'outil que l'exposé VI du brouillon renvoie à un exposé ultérieur. L'exposé IX, de Grothendieck, « Modèles de Néron et monodromie », contient le théorème de réduction semi-stable des variétés abéliennes que le brouillon invoque, page 66, comme devant être « prouvé ultérieurement ».

SGA 7 II (Lecture Notes in Mathematics 340, 1973), dirigé par Deligne et Katz, commence à l'exposé X. Son exposé XIII, « Le formalisme des cycles évanescents », de Deligne, donne aux cycles évanescents la forme qui est restée — deux foncteurs entre catégories dérivées, reliés par un triangle — et son exposé XIX, « Le théorème de Noether », de Deligne, démontre l'énoncé que la page 5 attribue déjà à Deligne.

Aucun des deux volumes ne contient d'exposés III, IV ou V. La démonstration géométrique a paru dans le résumé de Deligne ; le reste — le principe de localisation des pages 83 à 95, les bornes de Lefschetz des pages 133 à 141, les cinq schémas et le point singulier isolé des pages 143 à 161, l'action de l'inertie sur le groupe fondamental des pages 163 à 180, les groupes de Lie des pages 182 à 198 — ne figure pas, à notre connaissance, sous cette forme dans SGA 7. Plusieurs de ces énoncés sont devenus des théorèmes ailleurs ; on le signale à leur place, avec la prudence qui convient.

Conventions, valables pour tout le dossier

\(S = \operatorname{Spec} V\) est un trait (spectre d'un anneau de valuation discrète), le plus souvent hensélien, de point fermé \(s\) et de point générique \(\eta\) ; \(k = k(s)\), \(K = k(\eta)\), \(p\) l'exposant caractéristique de \(k\), et \(\ell\) un nombre premier différent de \(p\). On fixe une clôture séparable \(\overline K\), d'où \(\bar\eta\), une clôture séparable \(\bar k\) et \(\bar s\). On note \[ \pi = \operatorname{Gal}(\overline K / K), \qquad \pi_0 = \operatorname{Gal}(\bar k / k), \qquad 1 \to I \to \pi \to \pi_0 \to 1 , \] \(I\) le groupe d'inertie, \(P\) son \(p\)-sous-groupe de Sylow (l'inertie sauvage), et \(I_t = I/P\) l'inertie modérée. On écrit \(\mathbf{Z}_\ell(1) = \varprojlim_\nu \mu_{\ell^\nu}\), \(\mathbf{Z}_\ell(n) = \mathbf{Z}_\ell(1)^{\otimes n}\), et \(\Lambda_\nu = \mathbf{Z}/\ell^{\nu+1}\mathbf{Z}\) — c'est la convention du dossier, décalée d'un cran par rapport à l'usage courant \(\mathbf{Z}/\ell^\nu\).

Une représentation d'un groupe \(G\) sur un espace \(E\) est unipotente d'échelon \(\leq r\) si \(E\) admet une filtration stable à \(r\) crans au plus, sur les quotients de laquelle \(G\) agit trivialement ; de façon équivalente, \((g-1)^r = 0\) pour tout \(g\) quand \(G\) est monogène. Essentiellement unipotente (resp. triviale, abélienne, résoluble) veut dire : unipotente (resp. …) sur un sous-groupe ouvert.

Les cycles évanescents. Le dossier emploie deux familles de faisceaux sur la fibre spéciale, et il faut les fixer une fois pour toutes, parce que l'usage imprimé (SGA 7 XIII) en a fait autre chose. On note \(\underline\Psi^q_\nu\) le faisceau \(R^q \bar g_* (\Lambda_\nu)\) restreint à la fibre spéciale, où \(\bar g\) envoie la fibre générique géométrique dans le schéma total : c'est exactement le \(R^q\Psi(\Lambda_\nu)\) de Deligne, la cohomologie des « cycles proches ». Le dossier note \(\underline\Phi^q_\nu\) les faisceaux de cohomologie locale à supports dans la fibre spéciale ; ils sont reliés aux précédents (page 93) par \[ \underline\Phi^q_\nu = \underline\Psi^{q-1}_\nu \quad (q \geq 2), \qquad 0 \to \underline\Phi^0_\nu \to \Lambda_\nu \to \underline\Psi^0_\nu \to \underline\Phi^1_\nu \to 0 , \] de sorte que le \(\underline\Phi^q_\nu\) du dossier est le \(R^{q-1}\Phi\) de Deligne : décalé d'un degré. On garde ce décalage, parce que les suites exactes du dossier sont écrites avec lui ; il suffit de s'en souvenir en comparant avec la littérature. L'indice \(\mathrm{t}\) désigne les versions modérées (le dossier écrit « mod » ou « tame »).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

La proposition 9.8 de l'exposé I (page 50) est un numéro suivi de pointillés. La démonstration du théorème II 1.9 s'arrête, page 68, sur « Choisissons alors \(\ell\) tel que ». Le lemme d'Abhyankar I 8.5 est énoncé avec « Démonstration laissée au lecteur », le lemme V 5.3.3 avec « Donner démonstration ! », les compatibilités de V 6.3 avec « laissée au rédacteur en forme ! ». Le lemme clef VI 3.1 est renvoyé à un exposé VII, la construction de modèles réguliers à un « exposé ultérieur », la forme explicite des automorphismes de VI 3.2.1 à Deligne « par voie transcendante ». Chacune de ces absences est signalée à sa place, et aucune n'est comblée par cette lecture au-delà de ce qu'elle dit.

2–5

Exposé I. Généralités ; le théorème de monodromie par voie arithmétique (pages 2 à 50)

Les représentations à étudier (pages 2 à 5)

L'objet du séminaire est l'étude de certaines représentations \(\ell\)-adiques de \(\pi\) provenant de la géométrie, c'est-à-dire d'homomorphismes continus \[ \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbf{Z}_\ell}(E) \qquad\text{ou}\qquad \pi \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbf{Q}_\ell}(E), \] \(E\) de type fini sur \(\mathbf{Z}_\ell\) (resp. de dimension finie sur \(\mathbf{Q}_\ell\)).¹ Les deux sources sont les suivantes.

La cohomologie (exemple 0.3). Si \(X_K\) est un schéma algébrique sur \(K\) et \(i\) un entier tels que \(H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Z}/\ell)\) soit fini, alors \(E = H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell) = \varprojlim_\nu H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Z}/\ell^\nu)\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}_\ell\), et \(\pi\) y agit par transport de structure. La finitude est acquise dans trois cas : (a) si l'on dispose de la résolution des singularités au sens de Hironaka en dimension \(\leq \dim X\) — par exemple en caractéristique nulle ; (b) si \(X_K\) est propre ; (c) si \(X_K\) est lisse.²

Les modules de Tate (exemple 0.4). Si \(A\) est un groupe algébrique commutatif sur \(K\), \(E = T_\ell(A) = \varprojlim_\nu {}_{\ell^\nu}A(\overline K)\) ne change pas quand on remplace \(A\) par \((A^\circ)_{\mathrm{red}}\) ; c'est un \(\mathbf{Z}_\ell\)-module libre de rang \(2\alpha + \mu\), où \(\alpha\) et \(\mu\) sont les dimensions des parties abélienne et torique de \((A_{\overline K})^\circ_{\mathrm{red}}\), la partie unipotente ne contribuant pas.

Les deux sources se rejoignent en degré \(1\) (remarque 0.5). Pour une variété abélienne \(A\), \(H^1(A_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell) \simeq \operatorname{Hom}(T_\ell A, \mathbf{Z}_\ell)\) ; et pour \(X_K\) propre, lisse et géométriquement connexe, la suite de Kummer donne \[ H^1(X_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell(1)) \simeq T_\ell\bigl(\underline{\operatorname{Pic}}_{X/K}(\overline K)\bigr), \qquad\text{soit}\qquad H^1(X_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell) \simeq T_\ell(\underline{\operatorname{Pic}}_{X/K}) \otimes \mathbf{Z}_\ell(-1). \] ³

Pourquoi ces représentations ? Pour les variétés abéliennes, la connaissance du \(\pi\)-module \(T_\ell(A)\) renseigne sur le modèle de Néron de \(A\), et réciproquement (0.6). Et pour un schéma \(X\) sur \(S\) de fibre générique \(X_K\), la comparaison de \(H^i(X)\), \(H^i(X_s)\) et \(H^i(X_{\bar\eta})\) passe par l'action de \(\pi\) — on a parfois \(H^i(X_s) \simeq H^i(X_{\bar\eta})^\pi\). Cette étude locale est l'outil de l'étude globale d'un morphisme \(X \to S\) de base une courbe : quand \(S = \mathbf{P}^1_k\) et que \(X\) est un pinceau de sections hyperplanes d'une variété projective lisse, c'est la théorie de Lefschetz. Par cette voie, écrit la page 4, Deligne montre que pour une surface \(X_0 \subset \mathbf{P}^3_k\) de degré \(\geq 4\), en caractéristique quelconque, \(\mathbf{Z} \simeq \operatorname{Pic}(\mathbf{P}^3) \to \operatorname{Pic}(X_0)\) est un isomorphisme.⁴

5–10

La structure du groupe d'inertie (pages 5 à 10)

On suppose \(V\) hensélien.⁵ La plus grande sous-extension \(\widetilde K\) de \(\overline K / K\) non ramifiée sur \(V\) a pour anneau des entiers un hensélisé strict \(\widetilde V\) de \(V\), de corps résiduel \(\bar k\) ; on pose \(\widetilde S = \operatorname{Spec}\widetilde V\). L'extension \(\widetilde K/K\) est galoisienne de groupe \(\pi_0 = \operatorname{Gal}(\bar k/k)\), d'où la suite exacte \[ 1 \to I \to \pi \to \pi_0 \to 1, \qquad I = \operatorname{Gal}(\overline K/\widetilde K). \] ⁶ Si \(k\) est séparablement clos, \(I = \pi\). L'objet du séminaire, précise la page 7, est plutôt l'étude des représentations \(\ell\)-adiques du groupe d'inertie \(I\), qu'on appelle aussi dans ce rôle groupe de monodromie locale ; mais on verra que le fait qu'une représentation de \(I\) se prolonge à \(\pi\) lui impose des restrictions « draconiennes » — c'est tout le ressort de la démonstration arithmétique.

Le choix de \(\overline K\) détermine \(\bar k\), et pour tout revêtement étale \(S' \to S\) on a des bijections canoniques \(\operatorname{Hom}_S(\bar s, S') \simeq \operatorname{Hom}_S(\widetilde S, S') \simeq \operatorname{Hom}_S(\bar\eta, S')\) (2.3.1). Appliquées à \(S' = \mu_n\), \(n\) inversible sur \(k\), elles identifient \(\mu_n(\bar k)\) et \(\mu_n(\overline K)\), d'où, à la limite, une identification \(T_\ell(\bar k^*) \simeq T_\ell(\overline K^*)\) : c'est le module libre de rang \(1\) noté \(\mathbf{Z}_\ell(1)\), compatible aux actions de \(\pi\) et de \(\pi_0\).

L'inertie sauvage \(P\) est le \(p\)-sous-groupe de Sylow de \(I\) (\(P = 1\) si \(p = 1\)) ; il est distingué, et \(I_t = I/P\) est le groupe de Galois de la plus grande sous-extension modérément ramifiée \(\overline K_t\), réunion des extensions kummériennes \(K_n = \widetilde K(t^{1/n})\), \(n\) premier à \(p\), \(t\) une uniformisante. La théorie de Kummer donne un isomorphisme canonique \[ I_t \;\simeq\; \varprojlim_{(n,p)=1} \mu_n(\overline K) \;=\; \prod_{\ell \neq p}\mathbf{Z}_\ell(1), \qquad \sigma \longmapsto \bigl(\sigma(t^{1/n})/t^{1/n}\bigr)_n , \] indépendant du choix de \(t\) (2.4.2). Comme \(P\) est caractéristique dans \(I\), \(\pi\) agit par conjugaison sur \(I_t\) ; \(I\) y agit trivialement puisque \(I_t\) est commutatif, d'où une action de \(\pi_0\), et l'on vérifie qu'elle est l'action naturelle de \(\pi_0\) sur les racines de l'unité (remarque 2.5) : \[ g\,\sigma\,g^{-1} = \sigma^{\chi(g)} \qquad (g \in \pi,\ \sigma \in I_t), \] \(\chi\) le caractère cyclotomique. Cette formule est la seule arithmétique dont la première démonstration ait besoin. La page 10 met en garde : un isomorphisme \(\mathbf{Z}_\ell(1) \simeq \mathbf{Z}_\ell\) revient au choix d'un système de racines primitives \(\ell^\nu\)-ièmes de l'unité, qui n'est pas naturel ; seule l'écriture intrinsèque tient compte de l'action de \(\pi_0\).

11–16

Changement de trait (pages 11 à 16)

Soit \(f : S' = \operatorname{Spec} V' \to S\) un morphisme dominant de traits. Une clôture séparable \(\overline{K'}\) de \(K'\) en définit une \(\overline K\) de \(K\), d'où un morphisme d'extensions \((I' \to \pi' \to \pi'_0) \to (I \to \pi \to \pi_0)\), compatible aux inerties sauvages, et un homomorphisme \(I'_t \to I_t\) entre deux produits de \(\mathbf{Z}_\ell(1)\), ceux-ci étant identifiés grâce à \(\overline K \subset \overline{K'}\).

Proposition 3.12. Si \(\mathfrak{m}V' = \mathfrak{m}'^{\,e}\), l'homomorphisme \(I'_t \to I_t\) est la multiplication par \(e\).

Le calcul est celui qu'on attend : si \(t = u' t'^{\,e}\) avec \(u'\) une unité de \(\widetilde V'\), alors \(\theta_n = t^{1/n}\) s'écrit \(\lambda\,\theta_n'^{\,e}\) avec \(\lambda^n = u'\), donc \(\lambda \in \widetilde V'\) est fixe, et \(\varepsilon \in \mu_n\) agissant par \(\theta'_n \mapsto \varepsilon\theta'_n\) agit sur \(\theta_n\) par \(\varepsilon^e\).

Proposition 3.13. Si \(V' = \widehat V\) est le complété, les deux morphismes d'extensions sont des isomorphismes. En effet \(\pi'_0 \to \pi_0\) est un isomorphisme (\(k' = k\)) et \(I'_t \to I_t\) aussi (\(e = 1\)) ; \(\pi' \to \pi\) est surjectif parce que, \(V\) étant hensélien, \(K_1 \otimes_K \widehat K\) est un corps pour toute extension finie séparable \(K_1\) ; et il est injectif par la « continuité des racines » — deux polynômes séparables assez voisins à coefficients dans \(\widehat K\) définissent des \(\widehat K\)-algèbres isomorphes, de sorte que toute extension finie séparable de \(\widehat K\) provient d'une extension de \(K\).⁷ Conséquence (remarque 3.14) : dans la plupart des questions du séminaire, on peut supposer \(V\) complet.

Si \(\pi' \subset \pi\) est ouvert, correspondant à une extension finie séparable \(K'/K\), de normalisé \(V'\), on a \(I' = I \cap \pi'\), et l'indice \([I : I']\) s'interprète comme l'indice de ramification « géométrique » : il vaut \(e\) quand l'extension résiduelle est séparable.⁸ Lorsque \(\pi'\) est distingué dans \(\pi\), \(\pi\) agit sur \(I'_t \simeq \prod_{\ell\neq p} \mathbf{Z}_\ell(1)\), et cette action passe par \(\pi_0\) comme plus haut ; comme \(I\) agit trivialement sur les racines de l'unité :

Corollaire 3.16. Pour tout sous-groupe ouvert distingué \(I'\) de \(I\), l'extension naturelle de \(I/I'\) par le quotient modéré \(I'_t\) de \(I'\) est centrale.

17–20

Représentations \(\ell\)-adiques de \(I\) (pages 17 à 20)

Pour \(E\) de type fini sur \(\mathbf{Z}_\ell\), \(G = \operatorname{Aut}(E) = \varprojlim_\nu \operatorname{Aut}(E \otimes \Lambda_\nu)\) est profini.

Lemme 4.3. Le noyau \(G^1\) de \(G \to \operatorname{Aut}(E/\ell E)\) est un sous-groupe ouvert, et c'est un pro-\(\ell\)-groupe. (Un \(u \equiv 1 \bmod \ell\) induit l'identité sur le gradué de la filtration \(\ell\)-adique, et une récurrence montre que \(u^{\ell^\nu}\) est l'identité sur \(E \otimes \Lambda_\nu\).)

Corollaire 4.4. Tout sous-groupe fermé \(Q\) de \(G\) qui est limite projective de groupes finis d'ordre premier à \(\ell\) s'injecte dans \(\operatorname{Aut}(E/\ell E)\) ; en particulier \(Q\) est fini.

Corollaire 4.5. Soit \(u : I \to G\) continu. Le noyau \(I^{(\ell')}\) de \(I \to \mathbf{Z}_\ell(1)\) (image inverse de \(\prod_{\ell'\neq\ell,p} \mathbf{Z}_{\ell'}(1)\)) est d'ordre premier à \(\ell\), donc a une image finie ; sur le sous-groupe ouvert \(U = u^{-1}(G^1)\), l'image de \(U \cap I^{(\ell')}\) est à la fois pro-\(\ell\) et d'ordre premier à \(\ell\), donc triviale, et \(u|_U\) se factorise par l'image de \(U\) dans \(\mathbf{Z}_\ell(1)\), sous-groupe ouvert \(\ell^\nu\mathbf{Z}_\ell(1) \simeq \mathbf{Z}_\ell(1)\). Quitte à passer à un sous-groupe ouvert, une représentation \(\ell\)-adique de \(I\) est une représentation de \(\mathbf{Z}_\ell(1)\). Si l'on prend \(U\) assez petit pour que \(u(U \cap P) = 1\), \(u|_U\) se factorise par l'image de \(U\) dans \(I_t\), qui est un sous-groupe ouvert de \(I_t\) — en particulier commutatif.⁹

Enfin (4.10), une représentation continue de \(\pi\) sur un \(\mathbf{Q}_\ell\)-espace \(E\) de dimension finie laisse stable un réseau, \(\pi\) étant compact : tout ce qui précède s'y applique.

20–28

Représentations quasi-unipotentes (pages 20 à 28)

Définition 5.1. Un automorphisme est quasi-unipotent si ses valeurs propres sont des racines de l'unité. Une représentation \(u\) d'un groupe profini \(\pi\) sur un espace de dimension finie est quasi-unipotente s'il existe un sous-groupe ouvert \(U\) de \(\pi\) tel que \(u|_U\) soit unipotente.¹⁰

Soit \(G\) le groupe algébrique engendré par \(u(\pi)\) — l'adhérence de Zariski de \(u(\pi)\) dans \(\operatorname{GL}(E)\) — et \(G^0\) sa composante neutre. Pour \(R\) un corps topologique et \(u\) continue :

5.3. \(u\) est quasi-unipotente si et seulement si \(G^0\) est unipotent. Si \(G^0\) est unipotent, \(U = u^{-1}(G^0(R))\) est fermé d'indice fini, donc ouvert, et agit de façon unipotente. Réciproquement, si \(U\) ouvert agit de façon unipotente, l'adhérence \(H\) de \(u(U)\) est d'indice fini dans \(G\), donc contient \(G^0\), qui est donc unipotent.

5.4–5.5. En caractéristique nulle, un élément unipotent de \(G(R)\) est dans \(G^0(R)\) (il est sur un sous-groupe à un paramètre). Donc \(U = u^{-1}(G^0(R))\) est le plus grand sous-groupe de \(\pi\) qui agisse de façon unipotente ; il est ouvert et distingué, et \(\pi/U \simeq G(R)/G^0(R)\). Pour tout sous-groupe ouvert \(U' \subset U\), on a \(E^{U'} = E^U = E^{G^0}\) : un groupe fini qui agit de façon unipotente en caractéristique nulle agit trivialement. Si de plus \(G^0\) est unipotent, l'extension \(G\) de \(\Gamma = G/G^0\) par \(G^0\) est scindée, de façon unique à conjugaison près : \(G \simeq \Gamma \ltimes G^0\), parce qu'un groupe unipotent de caractéristique nulle est filtré par des groupes vectoriels, uniquement divisibles, dont la cohomologie sous un groupe fini est nulle en degrés \(>0\).¹¹

5.6. Si \(R = \mathbf{Q}_\ell\) et \(G^0\) commutatif, alors \(G^0 \simeq \mathbf{G}_a^d\), et l'image de \(U\) dans \(G^0(\mathbf{Q}_\ell) \simeq \mathbf{Q}_\ell^d\) est un sous-\(\mathbf{Z}_\ell\)-module compact, donc libre de rang \(d' \leq d\), et \(d' = d\) parce qu'elle engendre \(G^0\). Si \(N\) est le noyau de \(u\), \(U/N \simeq \mathbf{Z}_\ell^d\), et \(G(\mathbf{Q}_\ell)\) est déterminé par \(\pi/U\), \(U/N\) et l'extension de l'un par l'autre, poussée par \(U/N \to U/N \otimes \mathbf{Q}_\ell\).

5.7. Le cas de l'inertie. Prenons \(\pi = I\) (\(k\) séparablement clos). Par le corollaire 4.5, \(u|_U\) se factorise par \(U^{\mathrm{ab}}(\ell) \simeq \mathbf{Z}_\ell(1)\), donc \(G^0\), unipotent et engendré par l'image d'un groupe procyclique, est de dimension \(\leq 1\) et commutatif. Et le groupe fini \(\Gamma = I/U\) agit trivialement sur \(U^{\mathrm{ab}}(\ell)\) (corollaire 3.16), donc centralise \(G^0\) : le produit semi-direct est direct, \[ G \simeq G^0 \times \Gamma, \qquad G(\mathbf{Q}_\ell) \simeq \begin{cases} \Gamma & \text{si $U$ agit trivialement,}\\ \mathbf{Q}_\ell(1) \times \Gamma & \text{sinon.}\end{cases} \] ¹² En termes d'aujourd'hui : sur un sous-groupe ouvert, \(u(\sigma) = \exp\bigl(t_\ell(\sigma)\,N\bigr)\) pour un endomorphisme nilpotent \(N\) et le caractère \(t_\ell : I \to \mathbf{Z}_\ell(1)\) — c'est le logarithme de la monodromie. Un passage barré de la page 28, avec sa note marginale, entrevoit l'étape suivante : les représentations quasi-unipotentes de \(I\) forment une catégorie tensorielle équivalente à celle des représentations algébriques d'un système projectif de groupes \(\Gamma_i \times \mathbf{G}_a(1)\). C'est, à peu de chose près, la forme que Deligne donnera aux représentations de Weil–Deligne.¹³

28–32

Corps résiduel de type fini (pages 28 à 32)

Une première rédaction, « Cas d'un corps résiduel fini », est barrée à la page 28 ; elle n'allait pas plus loin que l'identification \(\pi_0 \simeq \widehat{\mathbf{Z}}\) par le Frobenius \(\lambda \mapsto \lambda^q\), qui agit sur \(I_t\) par élévation à la puissance \(q\). La page 29 reprend sous le titre « Cas d'un corps résiduel de type fini », et la page 31 récrit encore la proposition principale. On en donne l'énoncé juste, puis l'argument qui suffit au théorème de monodromie.

Proposition 6.1. Soit \(1 \to I \to \pi \to \pi_0 \to 1\) une extension de groupes profinis telle que, pour tout sous-groupe ouvert \(\pi'\) de \(\pi\) et \(I' = I \cap \pi'\), le plus grand quotient de \(I'^{\mathrm{ab}}(\ell)\) sur lequel \(\pi'_0 = \pi'/I'\) agit trivialement soit fini. Soit \(u\) une représentation \(\ell\)-adique de \(\pi\), \(G\) et \(H\) les groupes algébriques engendrés par \(u(\pi)\) et \(u(I)\). Alors \(H\) est distingué dans \(G\), et le radical de \(H^0\) est unipotent. En particulier, si \(u(I)\) est essentiellement résoluble, \(u|_I\) est quasi-unipotente.¹⁴

Dans le cas qui sert, celui où \(I\) agit à travers \(\mathbf{Z}_\ell(1)\) (corollaire 4.5), l'argument se réduit à quelques lignes, et c'est sous cette forme qu'il est passé à la postérité. Soit \(\sigma\) un générateur topologique de l'image de \(I\) dans \(\mathbf{Z}_\ell(1)\). Pour \(g \in \pi\), la formule de la remarque 2.5 donne \[ u(g)\,u(\sigma)\,u(g)^{-1} = u(\sigma)^{\chi(g)} , \] de sorte que l'ensemble fini des valeurs propres de \(u(\sigma)\) est stable par \(\lambda \mapsto \lambda^{\chi(g)}\). Si \(\chi(\pi)\) est infini, un \(a = \chi(g)\) d'ordre infini permute cet ensemble, donc une puissance \(a^m \neq 1\) le fixe point par point : \(\lambda^{a^m - 1} = 1\) avec \(a^m - 1 \neq 0\) dans \(\mathbf{Z}_\ell\), et \(\lambda\) est une racine de l'unité.¹⁵

Proposition 6.2. Si l'extension de \(k\) engendrée par les racines \(\ell^\nu\)-ièmes de l'unité (\(\nu \in \mathbf{N}\)) est infinie — autrement dit si aucune extension finie de \(k\) ne les contient toutes — toute représentation \(\ell\)-adique de \(\pi\) induit sur \(I\) une représentation quasi-unipotente. ¹⁶ C'est le cas si \(k\) est fini, ou de type fini sur son corps premier.

Le corollaire 6.3 de la page 30, très abrégé, conclut que toute représentation \(\ell\)-adique continue de \(\pi\) induit sur \(I\) une représentation essentiellement unipotente — la transcription lit « unipotente triviale », avec doute —, et ajoute « Cf. II 1.12, qu'il y aurait lieu de reprendre ici » : c'est le lemme 1.12 de l'exposé II, page 61, qui en est la version « abélienne ». La seconde rédaction s'achève, page 32, sur un titre sans contenu : « Prop. 6.3. Application aux groupes de monodromie … ».

33–35

Le théorème de monodromie : l'énoncé (pages 33 à 35)

Conjecture 7.1 (que la page attribue à Serre et Tate). Sous les conditions de l'exemple 0.3, et pour \(\ell \neq p\), la représentation du groupe d'inertie \[ I \longrightarrow \operatorname{Aut}_{\mathbf{Z}_\ell}\bigl(H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)\bigr) \] est quasi-unipotente : il existe un sous-groupe d'indice fini \(U\) de \(I\) dont l'image est formée d'automorphismes unipotents.¹⁷

La suite du dossier en donne deux démonstrations « relatives », qui utilisent l'une et l'autre la résolution des singularités, et d'où il résulte qu'elle est vraie (7.2) : (a) si \(K\) est de caractéristique nulle ; (b) si \(i = 1\) ; (c) si \(S\) est le hensélisé, ou le hensélisé strict, de l'anneau local d'un point d'un schéma de type fini sur un corps ou sur \(\mathbf{Z}\), et si \(X_K\) est propre ou \(K\) de caractéristique nulle. La démonstration arithmétique, dans le présent exposé, couvre (a) et (c) ; la démonstration géométrique, dans l'exposé suivant, couvre (a) et (b) et précise la conclusion.¹⁸

Les pages 34 et 35 esquissent, à travers des lignes très surchargées, deux raffinements conjecturaux. D'abord (7.3) l'indépendance de \(\ell\) : pour \(g \in I\) (et même \(g \in \pi\)), la trace de \(g\) sur \(H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Q}_\ell)\) devrait être un entier indépendant de \(\ell \neq p\) — ce qu'on prouvera pour \(i = 1\) « dans les conditions de Néron ». Ensuite (7.4), pour \(k\) fini, la forme de Serre–Tate : la même conclusion pour les \(g \in \pi\) dont l'image dans \(\operatorname{Gal}(\bar k/k) \simeq \widehat{\mathbf{Z}}\) tombe dans \(\mathbf{Z}\), avec une note marginale sur les valeurs propres, entiers algébriques de valeur absolue \(q^{w/2}\), \(0 \leq w \leq 2i\). Enfin le souhait que les groupes algébriques engendrés par ces représentations proviennent de groupes définis sur \(\mathbf{Q}\), indépendamment de \(\ell\).¹⁹

36–44

La démonstration arithmétique (pages 36 à 44)

Théorème 8.1. Supposons que \(V\) soit limite inductive filtrante de sous-anneaux locaux \(V_\alpha\), d'idéaux maximaux \(\mathfrak{m} \cap V_\alpha\), contenant l'uniformisante \(t\), tels que :

• (a)\(V_\alpha\) et \(V_\alpha / tV_\alpha\) sont réguliers ;
• (b)aucune extension finie du corps résiduel \(k_\alpha\) ne contient toutes les racines \(\ell^\nu\)-ièmes de l'unité.

Alors pour tout \(X_K\) propre sur \(K\), l'action de \(I\) sur \(H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Q}_\ell)\) est quasi-unipotente.²⁰

Corollaire 8.2. Le théorème vaut pour \(X_K\) propre : (a) si \(V\) est le hensélisé (ou hensélisé strict) de l'anneau local d'un point d'un schéma de type fini sur un corps ou sur \(\mathbf{Z}\) ; (b) si \(K\) est de caractéristique nulle.

Démonstration de 8.2. (a) Si le schéma est de type fini sur un corps premier ou sur \(\mathbf{Z}\), les corps résiduels sont de type fini et vérifient (b). Sur un corps \(k_0\) quelconque, on écrit \(k_0\) comme réunion de sous-corps \(k_\alpha\) de type fini, le schéma et son point descendant à \(k_\alpha\) pour \(\alpha\) grand ; par platitude, \(\dim \mathcal{O}_{S_\alpha, x_\alpha} \leq 1\), et pour \(\alpha\) grand c'est un anneau de valuation discrète dont \(t\) est une uniformisante ; on passe aux hensélisés. (b) Si \(K\) est de caractéristique nulle, \(V\) est réunion de sous-\(\mathbf{Q}\)-algèbres locales \(V_\alpha\) essentiellement de type fini ; par Hironaka, une modification propre régulière \(S'_\alpha \to \operatorname{Spec} V_\alpha\) rend \(\operatorname{div}(t)\) à croisements normaux, et le point de \(S'_\alpha\) dominé par \(V\) donne un anneau local régulier où \(t\) est un monôme ; les \(V'_\alpha\) de cette espèce sont cofinaux, et l'on se ramène, comme l'indique la note de la page 38, au cas où \(t\) fait partie d'un système régulier de paramètres.²¹

Remarque 8.3. La démonstration du cas (b) vaudrait sans restriction sur \(V\) si l'on disposait de la résolution des singularités au sens de Hironaka pour les schémas de type fini sur \(\mathbf{Z}\) ; il suffirait même de l'uniformisation locale.

Démonstration de 8.1. On peut supposer les \(V_\alpha\) henséliens. Pour \(\alpha\) grand, \(X_K\) provient d'un schéma propre \(X_\alpha\) sur \(U_\alpha = \operatorname{Spec}(V_\alpha)_t\), et \(R^i f_{\alpha *}\mathbf{Z}_\ell\) est constructible (SGA 5 VI) ; quitte à agrandir \(\alpha\), il est lisse sur \(U_\alpha\) tout entier, de sorte que, par le changement de base propre et lisse, la représentation de \(\pi\) sur \(H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)\) provient d'une représentation de \(\pi_1(U_\alpha)\) par \(\pi \to \pi_1(U_\alpha)\).²² On quotiente par la torsion ; l'image de l'inertie sauvage est finie (corollaire 4.5), et l'on peut donc supposer que l'action de l'inertie de \(\pi_1(U_\alpha)\) se fait à travers sa partie modérée.²³ On applique alors le lemme de structure suivant.

Lemme 8.5 (une variante du lemme d'Abhyankar). Soient \(A\) un anneau local noethérien régulier hensélien, de corps résiduel \(k\), \((x_i)_{1 \leq i \leq n}\) une partie d'un système régulier de paramètres, \(x = \prod x_i\), \(S = \operatorname{Spec} A\), \(U = S_x\), \(\xi\) un point géométrique de \(U\).

• (a)\(\pi_1(S, \xi) \simeq \operatorname{Gal}(\bar k / k)\).
• (b)\(\pi_1(U,\xi) \to \pi_1(S,\xi)\) est surjectif, de noyau \(I \simeq \pi_1(\widetilde U, \tilde\xi)\), où \(\widetilde U\) est l'image inverse de \(U\) dans le hensélisé strict.
• (c)Le plus grand quotient \(I_t\) de \(I\) d'ordre premier à \(p\) est canoniquement isomorphe à \(\bigl(\prod_{\ell\neq p}\mathbf{Z}_\ell(1)\bigr)^n\) ; un revêtement correspond à une représentation qui se factorise par \(I_t\) si et seulement s'il est modérément ramifié le long des \(\operatorname{div}(x_i)\).
• (d)L'action de \(\pi_1(U,\xi)\) sur \(\prod_{\ell \neq p} I^{\mathrm{ab}}(\ell)\) passe par \(\operatorname{Gal}(\bar k/k)\) et s'identifie, facteur par facteur, à l'action naturelle sur les \(\mathbf{Z}_\ell(1)\).

²⁴

Corollaire 8.6. Sous les conditions de 8.5, si aucune extension finie de \(k\) ne contient toutes les racines \(\ell^\nu\)-ièmes de l'unité, toute représentation \(\ell\)-adique modérée de \(\pi_1(U,\xi)\) (celle où \(I\) agit à travers \(I_t\)) est quasi-unipotente sur \(I\). — C'est l'argument des pages 28 à 32, appliqué à chaque facteur \(\mathbf{Z}_\ell(1)\).

Dans l'application (remarque 8.7), \(n = 1\), \(x_1 = t\), et l'homomorphisme \(I \to I'\) de l'inertie de \(V\) vers celle de \(V_\alpha\) induit un isomorphisme \(I_t \simeq I'_t\) (proposition 3.12 avec \(e = 1\)) : la quasi-unipotence sur l'inertie de \(V_\alpha\) donne celle sur \(I\).

Remarque 8.8 et corollaire 8.9. La propreté n'a servi qu'à rendre \(R^i f_{\alpha *}\) localement constant au voisinage du point générique ; la résolution des singularités au sens de Hironaka, en dimension \(\leq \dim X_K\) (SGA 5 II), suffit à le garantir, et elle est connue en caractéristique nulle et, par Abhyankar, en dimension \(\leq 2\). Donc les conclusions de 8.2 restent vraies pour \(X_K\) seulement de type fini, pourvu que dans le cas (a) \(K\) soit de caractéristique nulle ou que \(\dim X_K \leq 2\).²⁵

45–50

Réductions au cas projectif et lisse (pages 45 à 50)

Le § 9 fait voir que le théorème, pour tout \(X_K\) de type fini, se ramène au cas projectif et lisse, moyennant la résolution des singularités. On raisonne par récurrence sur \(n = \dim X_K\), en supposant le théorème connu en dimension \(\leq n - 1\), et l'on traite aussi la cohomologie à supports propres \(H^i_c\) — que la page note \(H^i_!\).

9.1. \(X_K\) lisse. La dualité de Poincaré donne, pour \(X_K\) lisse purement de dimension \(n\), un isomorphisme \(\pi\)-équivariant \[ H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Q}_\ell) \simeq H^{2n-i}_c(X_{\overline K}, \mathbf{Q}_\ell)^\vee(-n) ; \] \(I\) agissant trivialement sur \(\mathbf{Q}_\ell(-n)\), l'action sur \(H^i\) est quasi-unipotente (resp. unipotente) si et seulement si l'action sur \(H^{2n-i}_c\) l'est.²⁶

9.2. \(H_c\), et nature birationnelle de la question. Pour \(U\) ouvert dense de \(X_K\) de complémentaire \(Y\), la suite exacte \[ \cdots \to H^i_c(U_{\overline K}) \to H^i_c(X_{\overline K}) \to H^i_c(Y_{\overline K}) \to H^{i+1}_c(U_{\overline K}) \to \cdots \] et l'hypothèse de récurrence, appliquée à \(Y\), montrent que la quasi-unipotence sur \(H^i_c(X)\) équivaut à la quasi-unipotence sur \(H^i_c(U)\), la propriété étant stable par extensions, sous-objets et quotients.²⁷ La question est donc birationnelle : on peut remplacer \(X_K\) par un ouvert affine lisse (après une extension radicielle finie), puis, si l'on dispose de la résolution des singularités sur la clôture parfaite de \(K\), par un modèle projectif et lisse.

Proposition 9.4. (a) Pour \(V\) fixé, la validité du théorème pour les \(H^i_c\) des \(X_K\) de dimension \(\leq n\) résulte de sa validité pour les \(X_{K'}\) lisses (et l'on peut les supposer affines), \(K'\) parcourant les extensions radicielles finies de \(K\), munies de la clôture normale \(V'\) de \(V\). (b) Si toute extension de type fini de degré de transcendance \(\leq n\) de \(K^{p^{-\infty}}\) a un modèle projectif et lisse, il suffit de traiter les \(X_{K'}\) projectifs et lisses. (c) Ces conditions étant remplies, le théorème vaut aussi pour les \(H^i\) des \(X_K\) lisses de dimension \(\leq n\) (par 9.1).

9.5–9.6. \(H^i\) pour \(X_K\) quelconque. Par récurrence sur \(i\) : après une extension radicielle, une modification propre surjective \(X' \to X\) avec \(X'\) lisse donne la suite spectrale de descente cohomologique \[ E_2^{pq} = H^p\bigl(\alpha \mapsto H^q((X'/X)^{\alpha+1}_{\overline K}, \mathbf{Q}_\ell)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(X_{\overline K}, \mathbf{Q}_\ell), \] où \((X'/X)^{\alpha+1}\) est le produit fibré itéré ; un morphisme propre surjectif est de descente cohomologique universelle, et c'est ce qui rend la suite légitime.²⁸ Pour \(p + q = i\) et \(q < i\), l'hypothèse de récurrence sur \(i\) (sans restriction de dimension) s'applique ; reste \(E_2^{0,i} \subset H^i(X'_{\overline K})\), couvert par le cas lisse.

Proposition 9.6. Si l'on dispose de la résolution des singularités ordinaire sur \(K^{p^{-\infty}}\) en toute dimension, et si l'action de \(I\) sur les \(H^i_c\) des \(X_K\) projectifs et lisses est quasi-unipotente — et le reste après toute extension radicielle finie —, alors elle l'est sur les \(H^i(X_{\overline K}, \mathbf{Q}_\ell)\) de tout \(X_K\) de type fini.

Remarque 9.3 : le cas d'un \(X\) lisse non séparé se ramène au cas séparé par la suite spectrale de Leray d'un recouvrement fini par des ouverts affines.

9.7. Les degrés \(0\) et \(1\). En degré \(0\), \(\pi\) agit à travers un quotient fini (l'action est « quasi-triviale »). En degré \(1\), après extension finie de \(K\), on suppose les composantes irréductibles de \(X_{\mathrm{red}}\) géométriquement intègres ; avec \(X'\) le normalisé de \(X\), \(X'' = X' \times_X X'\), la suite spectrale de descente donne \[ 0 \to H^1\bigl(\alpha \mapsto H^0((X'/X)^{\alpha+1}_{\overline K})\bigr) \to H^1(X_{\overline K}) \to \operatorname{Ker}\bigl(H^1(X'_{\overline K}) \rightrightarrows H^1(X''_{\overline K})\bigr), \] dont le premier terme est quasi-trivial : on est ramené à \(X\) géométriquement normal et intègre, puis, puisque \(H^1(X) \hookrightarrow H^1(U)\) pour \(U\) ouvert dense, à un ouvert, puis — par un argument que la page 50 n'achève pas — à une courbe lisse.

Proposition 9.8. La page porte ce numéro suivi de pointillés : l'énoncé n'a pas été écrit.²⁹

52–55

Exposé II. Une variante du théorème de monodromie (pages 52 à 81)

L'énoncé et ses premiers corollaires (pages 52 à 55)

L'exposé, dit la page 52, donne « un résultat de nature analogue au théorème de monodromie de l'exposé précédent, à titre de nouvelle illustration de la méthode qui y était employée », et précise qu'il ne servira plus dans la suite du séminaire. Le rôle de \(I \subset \pi\) y est tenu par le groupe fondamental géométrique à l'intérieur du groupe fondamental arithmétique.

Théorème 1.1. Soient \(k\) un corps de type fini sur son corps premier, \(X\) un \(k\)-schéma normal, géométriquement connexe, localement de type fini, \(\xi\) un point géométrique de \(X\), et \(\bar k\) la clôture séparable de \(k\) dans \(k(\xi)\), d'où la suite exacte (SGA 1 IX) \[ 1 \to \pi_1(\bar X, \xi) \to \pi_1(X, \xi) \to \operatorname{Gal}(\bar k/k) \to 1, \qquad \bar X = X \otimes_k \bar k . \] Soient \(\ell \neq \operatorname{car} k\), \(\pi\) un sous-groupe ouvert de \(\pi_1(X,\xi)\), \(\pi_0\) son image dans \(\operatorname{Gal}(\bar k/k)\), \(I = \pi \cap \pi_1(\bar X, \xi)\), et \(I(\ell)\) la composante \(\ell\)-primaire de \(I^{\mathrm{ab}}\). Alors \(I(\ell)\) est un \(\mathbf{Z}_\ell\)-module de type fini, et le plus grand quotient de \(I(\ell)\) sur lequel \(\pi_0\) agit trivialement est fini.³⁰

En termes de cohomologie (page 71), l'énoncé dit que \(H^1(\bar X, \mathbf{Z}_\ell)^{\pi_0} = 0\) ; c'est la forme sous laquelle il est démontré. Aujourd'hui on le lit sur les poids : la cohomologie \(H^1(\bar X, \mathbf{Q}_\ell)\) d'une variété sur un corps de type fini est de poids \(1\) et \(2\), jamais \(0\), de sorte que le Frobenius n'y a pas la valeur propre \(1\).³¹

Corollaire 1.2. De la suite exacte \((I^{\mathrm{ab}})_{\pi_0} \to \pi^{\mathrm{ab}} \to \pi_0^{\mathrm{ab}} \to 1\), prise en composantes \(\ell\)-primaires : l'homomorphisme surjectif \(\pi^{\mathrm{ab}}(\ell) \to \pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell)\) a un noyau fini.

Corollaire 1.3. Soit \(u : \pi_1(X,\xi) \to \operatorname{Aut}_{\mathbf{Q}_\ell}(E)\) une représentation \(\ell\)-adique dont la restriction à \(\pi_1(\bar X,\xi)\) est essentiellement résoluble. Alors cette restriction est essentiellement unipotente (donc essentiellement triviale si elle est semi-simple). On prend \(\pi\) ouvert tel que l'image de \(I\) soit un pro-\(\ell\)-groupe résoluble ; elle se factorise alors par l'extension de \(\pi_0\) par \(I(\ell)\), et la proposition I 6.1 conclut.³²

Corollaire 1.4. Si la représentation de \(\pi_1(X,\xi)\) elle-même est essentiellement abélienne, sa restriction à \(\pi_1(\bar X,\xi)\) est essentiellement triviale : il existe un sous-groupe ouvert \(V\) de \(\pi\) tel que \(u|_V\) se factorise par l'image de \(V\) dans \(\pi_0\). On prend \(\pi\) tel que \(u(\pi)\) soit un pro-\(\ell\)-groupe abélien ; \(u|_\pi\) se factorise par \(\pi^{\mathrm{ab}}(\ell)\), et par 1.2 un sous-groupe ouvert de \(\pi^{\mathrm{ab}}(\ell)\) s'injecte dans \(\pi_0^{\mathrm{ab}}(\ell)\).

55–63

Schémas abéliens (pages 55 à 63)

Théorème 1.5. Soient \(k\) séparablement clos, \(X\) normal, connexe, localement de type fini sur \(k\), \(\xi\) un point géométrique, \(\ell \neq \operatorname{car} k\), \(A\) un schéma abélien sur \(X\). Si la représentation de \(\pi_1(X,\xi)\) sur \(T_\ell(A_\xi)\) est essentiellement résoluble, elle est essentiellement triviale, et il existe un revêtement étale fini surjectif \(X' \to X\), un schéma abélien \(B\) sur \(k\) et une isogénie radicielle \(B_{X'} \to A_{X'}\). En caractéristique nulle, \(A\) devient donc constant, à isogénie près, sur un revêtement étale fini.

Démonstration. Un ouvert non vide \(U\) de \(X\) normal a un \(\pi_1\) qui se surjecte sur celui de \(X\) : on peut supposer \(X\) affine, donc de type fini. Tout descend alors à un sous-corps \(k_0\) de type fini, en \(A_0 \to X_0 \to \operatorname{Spec} k_0\), et \(\pi_1(X,\xi) \to \pi_1(\bar X_0, \xi)\) est surjectif ; le corollaire 1.3, appliqué à \(X_0\) sur \(k_0\), donne que la représentation est essentiellement unipotente. On conclut par le

Lemme 1.5.1 (adaptation d'un résultat de Lang–Néron, qui utilise Mordell–Weil). Si l'action de \(\pi_1(X,\xi)\) sur \(T_\ell(A_\xi)\) est unipotente, elle est triviale, et il existe \(B\) sur \(k\) et une isogénie radicielle \(B_X \to A\).³³

Corollaire 1.6. Si pour un \(\ell \neq \operatorname{car} k\) l'action sur \(T_\ell(A_\xi)\) est essentiellement résoluble — ce qui équivaut à essentiellement triviale —, il en est de même pour tout autre \(\ell'\). (L'isotrivialité, à isogénie radicielle près, ne dépend pas de \(\ell\).)

Corollaire 1.7. En caractéristique nulle, si de plus le \(n\)-torsion \({}_nA\) est un revêtement trivial de \(X\) pour un \(n \geq 3\), \(A\) est un schéma abélien constant. La descente le décrit en effet par une représentation du groupe de Galois \(\Gamma\) de \(X'/X\) dans le groupe discret \(\operatorname{Aut}_k(B)\), triviale sur \({}_nB(k)\), donc triviale puisque \(n \geq 3\). Remarque 1.8 : il suffit que \(k\) soit séparablement clos.

L'énoncé 1.5 est purement géométrique, sa démonstration arithmétique. En voici la variante arithmétique.

Théorème 1.9. Soient \(K\) un corps de type fini sur son corps premier \(\mathfrak{k}\), \(A_K\) un schéma abélien sur \(K\) dont l'action de \(\operatorname{Gal}(\overline K / K)\) sur \(T_\ell(A(\overline K))\) est essentiellement résoluble. Alors il existe une extension finie \(k' \subset \overline K\) de \(\mathfrak{k}\), un schéma abélien \(B\) sur \(k'\), et une isogénie radicielle entre \(B \otimes_{k'} K'\) et \(A \otimes_K K'\), où \(K' = Kk'\). En caractéristique nulle, on veut de plus que \(B\) provienne d'un schéma abélien sur l'anneau des entiers du corps de nombres \(k'\) — bonne réduction partout.

1.10. Existence de \(B\). Soit \(k\) la fermeture algébrique du corps premier dans \(K\) — un corps fini ou un corps de nombres, parfait — et \(X\) un \(k\)-schéma affine intègre, normal, de corps des fonctions \(K\), sur lequel \(A\) s'étend ; après extension finie de \(k\), \(X\) est géométriquement intègre. Le corollaire 1.3, puis Lang–Néron sur un revêtement étale \(X'\), donnent \(B\) sur une extension finie \(k'\) et une isogénie radicielle \(B_{X'} \to A_{X'}\). En caractéristique \(p > 0\), \(\operatorname{Gal}(\bar k'/k') \simeq \widehat{\mathbf{Z}}\) étant abélien, on en conclut que l'action de \(\operatorname{Gal}(\overline K/K)\) est en fait essentiellement abélienne ; et réciproquement (page 60), l'existence de \(B\) sur un corps fini entraîne une action essentiellement abélienne. En caractéristique nulle, par le critère de Néron–Ogg–Šafarevič, on est ramené à voir que pour tout idéal maximal de l'anneau des entiers, l'inertie agit de façon quasi-triviale.³⁴

Lemme 1.12. Si \(V\) est un anneau de valuation discrète dont le corps résiduel vérifie l'hypothèse de I 6.2, toute représentation \(\ell\)-adique continue abélienne de \(\pi = \operatorname{Gal}(\overline K / K)\) est essentiellement triviale sur \(I(\ell)\). — Il se déduit de I 6.2 comme 1.4 de 1.1 par 1.2.

Remarque 1.13. Le seul exemple connu d'action abélienne et semi-simple du groupe de Galois sur \(T_\ell(A)\) est celui des variétés « de type CM » au sens de Shimura et Taniyama ; une telle variété devient, sur une extension finie séparable, radiciellement isogène à un schéma abélien défini sur un corps fini (caractéristique \(p\)), resp. sur l'anneau des entiers d'un corps de nombres (caractéristique nulle). Et la page 62 conjecture : en caractéristique nulle, une variété abélienne sur un corps de type fini dont l'action galoisienne est essentiellement abélienne — ou seulement essentiellement résoluble — est de type CM.³⁵

1.14–1.16. Au-delà des schémas abéliens. Certains arguments dépassent les schémas abéliens et s'appliqueront à des « motifs » de poids quelconque, « une fois la théorie des motifs assise sur des bases solides ». Ainsi :

Théorème 1.15. Soient \(k\) algébriquement clos, \(Y\) normal, connexe, localement de type fini sur \(k\), \(\xi\) un point géométrique, \(f : X \to Y\) propre, \(i\) un entier tel que \(R^i f_*\mathbf{Z}_\ell\) soit lisse ; soit \(G\) le groupe algébrique engendré par l'image de \(\pi_1(Y, \xi)\) dans \(\operatorname{GL}\bigl(H^i(X_\xi, \mathbf{Q}_\ell)\bigr)\). Alors le radical de \(G^0\) est unipotent. En particulier, si la représentation est essentiellement résoluble, elle est essentiellement unipotente ; si elle est de plus semi-simple, elle est essentiellement triviale.³⁶ La propreté (1.16) n'a servi qu'à rendre \(R^i f_*\) constructible près du point générique ; la résolution des singularités en dimension \(\leq \dim X_y\) y suffit, ce qui couvre la caractéristique nulle et \(\dim X_y \leq 2\) ; et pour \(i = 1\) la conclusion vaut sans propreté, par les réductions du § 5. Une remarque barrée (1.17) envisageait d'étendre 1.1 aux quotients pro-\(\ell\) résolubles de \(I\) « comme 1.1 résulte de l'hypothèse de Riemann–Weil en dimension 1 ».

64–68

Fin de la démonstration de 1.9 (pages 64 à 68)

Lemme. Si \(A\) est un schéma abélien sur un corps fini, les relèvements du Frobenius agissent de façon semi-simple sur \(T_\ell(A) \otimes \mathbf{Q}_\ell\). Le Frobenius est dans le centre de \(\operatorname{End}(A) \otimes \mathbf{Q}\), algèbre semi-simple (Weil) dont le centre est une algèbre étale ; il agit donc de façon semi-simple.

Corollaires 1 et 2. Pour \(A\) abélien sur \(S\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\), les Frobenius des points fermés agissent de façon semi-simple ; et si l'action de \(\pi_1(S,\xi)\) est essentiellement nilpotente, elle est semi-simple et essentiellement abélienne. En effet, après un revêtement étale, \(G = G^0 = T \times U\) ; les Frobenius sont denses dans \(\pi_1\) (Čebotarev), donc leurs images engendrent \(G\) comme groupe algébrique ; elles sont semi-simples, donc dans \(T\) ; donc \(U = 1\).

Il reste, en caractéristique nulle, à obtenir la bonne réduction potentielle aux places de caractéristique résiduelle \(\ell\). La page 66 la ramène à un lemme « signalé par Serre » :

Lemme. Soient \(V\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), \(\ell \neq \operatorname{car} K\) (mais peut-être égal à la caractéristique résiduelle), \(A\) abélien sur \(K\). Si l'inertie agit de façon semi-simple sur \(T_\ell(A) \otimes \mathbf{Q}_\ell\), \(A\) a potentiellement bonne réduction.

Si la caractéristique résiduelle est \(\neq \ell\), c'est immédiat : l'action est essentiellement unipotente et semi-simple, donc essentiellement triviale. Si elle vaut \(\ell\), on invoque le théorème de réduction semi-stable — « qui se prouve ultérieurement » : après extension finie, la composante neutre de la fibre spéciale du modèle de Néron est extension d'une variété abélienne par un tore de dimension \(r\), et la semi-simplicité force \(r = 0\).³⁷

Remarque de Serre. Si l'on savait qu'en caractéristique nulle une action résoluble est essentiellement abélienne, on en conclurait qu'une telle variété abélienne est de type CM après extension finie (voir la note de la remarque 1.13).

On est ainsi ramené à un schéma abélien sur l'anneau des entiers \(R\) d'un corps de nombres, avec une action abélienne de \(\pi_1(\operatorname{Spec} R)\) sur \(V_\ell\) ; une telle représentation est « localement algébrique » et « rationnelle » (polynômes caractéristiques des Frobenius à coefficients rationnels), et deux représentations \(V_\ell\), \(V_{\ell'}\) ayant mêmes polynômes de Frobenius presque partout, l'une semi-simple abélienne, ont même semi-simplifiée. La page 68 s'arrête sur « Choisissons alors \(\ell\) tel que » : la démonstration de 1.9 en caractéristique nulle n'est pas achevée.³⁸

69–73

Démonstration de 1.1 pour une courbe (pages 69 à 73)

2.1–2.3. Réductions. Pour \(U\) ouvert affine de \(X\) normal, \(\pi_1(U) \to \pi_1(X)\) est surjectif (SGA 1 V), donc aussi \(\pi_1(\bar U) \to \pi_1(\bar X)\), et la conclusion pour \(U\) entraîne celle pour \(X\) : on peut supposer \(X\) affine. Remplacer \(k\) par une extension finie revient à remplacer \(\pi\) par un sous-groupe ouvert : c'est permis (2.2). On plonge \(X\) comme ouvert dense d'un \(X'\) projectif normal ; après une extension radicielle finie (EGA IV 17.15.14.2), le normalisé de \(X' \otimes k_1\) est géométriquement normal, et comme il est géométriquement unibranche, le passage ne change pas les \(\pi_1\) géométriques. On est ramené à \(X'\) géométriquement normal.

2.4. Forme cohomologique. \(V = \pi_1(\bar X)^{\mathrm{ab}}(\ell)\) est de type fini sur \(\mathbf{Z}_\ell\), ce qui revient à la finitude de \(H^1(\bar X, \mathbf{Z}/\ell)\) (vraie pour \(X\) de type fini sur un corps séparablement clos, et démontrée au § 3 par réduction aux courbes). La finitude de \(V_{\pi_0}\) équivaut à \((V \otimes \mathbf{Q}_\ell)_{\pi_0} = 0\), donc par dualité à \((\check V)^{\pi_0} = 0\), et comme \(\check V \simeq \operatorname{Hom}(\pi_1(\bar X), \mathbf{Z}_\ell) = H^1(\bar X, \mathbf{Z}_\ell)\) : \[ H^1(\bar X, \mathbf{Z}_\ell)^{\pi_0} = 0 . \tag{2.4.1} \] Une note encadrée prescrit de se ramener d'abord à \(\pi = \pi_1(X,\xi)\) en passant au revêtement étale fini \(X'\) qui correspond à \(\pi\).

2.5. Le cas d'une courbe. Soit \(X'\) une courbe projective lisse, \(X\) un ouvert, et — après extension finie — les points \(x_1, \ldots, x_n\) de \(X' - X\) rationnels sur \(k\). La suite de localisation \[ 0 \to H^1(\bar X', \mathbf{Z}_\ell) \to H^1(\bar X, \mathbf{Z}_\ell) \to \bigoplus_{i=1}^n H^2_{x_i}(\bar X', \mathbf{Z}_\ell) \to H^2(\bar X', \mathbf{Z}_\ell) \to 0 , \] avec \(H^2_{x_i} \simeq \mathbf{Z}_\ell(-1) \simeq H^2(\bar X')\) et la dernière flèche la somme, montre que \(H^1(\bar X)\) est extension de \(\mathbf{Z}_\ell(-1)^{n-1}\) par \(H^1(\bar X')\).³⁹ Comme \(k\) est de type fini, le caractère cyclotomique a une image infinie et \(\mathbf{Z}_\ell(-1)^{\pi_0} = 0\) ; d'où \(H^1(\bar X)^{\pi_0} = H^1(\bar X')^{\pi_0}\), et il reste \[ H^1(\bar X', \mathbf{Z}_\ell)^{\pi_0} = 0 , \tag{2.5.5} \] « conséquence connue de l'hypothèse de Riemann–Weil, prouvée en dimension 1 ». Pour la démontrer, on étale \(X'\) en une courbe propre et lisse \(C \to S\), \(S\) normal de type fini sur \(\mathbf{Z}\) : la relation s'écrit \(H^0(S, R^1 f_*\mathbf{Z}_\ell) = 0\), ne change pas quand on rétrécit \(S\), et se ramène donc à la fibre en un point fermé, c'est-à-dire au cas d'un corps fini. Là, l'argument de Weil (les valeurs propres du Frobenius sur \(H^1\) sont de valeur absolue \(q^{1/2} \neq 1\)) est barré au profit d'un argument plus élémentaire, écrit dans la marge : \(H^1(\bar C, \mathbf{Z}_\ell) \simeq T_\ell(J)^\vee\), \(J\) la jacobienne ; le noyau de \(1 - f\) sur le dual est nul si et seulement si celui de \(1 - f\) sur \(T_\ell(J)\) l'est, c'est-à-dire si le groupe \(J(k)\) a une partie \(\ell\)-primaire finie, ce qui est trivial puisque \(J(k)\) est fini.⁴⁰

Remarque 2.6 (marge). On a utilisé deux propriétés du corps : (a) l'extension engendrée par les racines \(\ell^\nu\)-ièmes de l'unité est infinie ; (b) pour tout schéma abélien \(A\) sur une extension finie, les coinvariants de \(T_\ell(A)\) sont finis. Ni l'une ni l'autre ne vaut pour \(K = \mathbf{R}\).

74–77

Réduction à la dimension 1 par une section linéaire générique (pages 74 à 77)

3.1. Soient \(X'\) projectif, intègre, normal, géométriquement connexe sur \(k\), plongé dans \(\mathbf{P}^r_k\), de dimension \(n\), \(X\) un ouvert dense. Soient \(T\) la grassmannienne des sous-espaces linéaires de codimension \(n-1\), \(t\) son point générique, \(K = k(t)\) — extension transcendante pure de \(k\) —, \(L_t\) le sous-espace « générique », et \[ C' = L_t \cap X'_K , \qquad C = C' \cap X_K ; \] \(C'\) est une courbe géométriquement normale et géométriquement connexe sur \(K\). On choisit \(\xi_1\) au-dessus de \(\xi\) et l'on obtient un morphisme de suites exactes \[ \begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & \pi_1(\bar C, \xi_1) & \to & \pi_1(C, \xi_1) & \to & \operatorname{Gal}(\overline K/K) & \to & 1 \\ & & \downarrow{\scriptstyle\alpha} & & \downarrow{\scriptstyle\beta} & & \downarrow{\scriptstyle\gamma} & & \\ 1 & \to & \pi_1(\bar X, \xi) & \to & \pi_1(X, \xi) & \to & \operatorname{Gal}(\bar k/k) & \to & 1 . \end{array} \]

Lemme 3.2. Les trois flèches verticales sont surjectives. Pour \(\gamma\), parce que \(k\) est algébriquement fermé dans \(K = k(t)\). Pour \(\alpha\), on peut supposer \(k\) séparablement clos ; il s'agit de voir que l'image inverse dans \(C\) d'un revêtement étale connexe \(X_1\) de \(X\) est géométriquement connexe ; or \(X_1\) se prolonge en un revêtement normal intègre \(X'_1 \to X'\), et par le théorème de Bertini l'image inverse de \(L_t\) dans \(X'_1\) est géométriquement irréductible.⁴¹

3.3. Donc si \(C\) sur \(K\) satisfait aux conclusions de 1.1, \(X\) sur \(k\) aussi ; et \(K\) est de type fini dès que \(k\) l'est. Avec les réductions de 2.3, 1.1 est ramené au cas d'une courbe, traité au § 2.

Remarque 3.4. La page en tire que, pour \(X\) de type fini sur un corps séparablement clos de caractéristique \(p \geq 0\), le plus grand quotient premier à \(p\) de \(\pi_1(X,\xi)\) est de présentation finie, en se ramenant par descente au cas normal, puis par 3.2 à une courbe. Mais le lemme 3.2 ne donne qu'une surjection : l'argument établit la génération topologique finie, non la présentation finie.⁴²

78–81

Un complément, et la réduction pour \(H^1\) (pages 78 à 81)

Proposition 4.1. Sous les conditions de 1.1, pour presque tout \(\ell\), \(\overline{[\pi', I(\ell)]} = I(\ell)\) : le plus grand quotient de \(I(\ell)\) sur lequel \(\pi_0\) agit trivialement est nul. Par dualité, c'est le

Corollaire 4.2. Pour presque tout \(\ell\), \(H^1(\bar X, \mathbf{Z}/\ell)^{\pi_0} = 0\).

On se ramène comme plus haut à une courbe projective lisse \(X'\) privée de points rationnels \(x_i\), et la suite de localisation mod \(\ell\) fait de \(H^1(\bar X, \mathbf{Z}/\ell)\) une extension de \(\bigl(\mu_\ell^{\otimes -1}\bigr)^{n-1}\) par \(H^1(\bar X', \mathbf{Z}/\ell)\). Si \(N\) est le nombre de racines de l'unité dans \(k\) (fini, \(k\) étant de type fini), pour \(\ell \nmid N\) le groupe \(\pi_0\) agit non trivialement sur la droite \(\mu_\ell^{\otimes -1}\), sans invariants, d'où \(H^1(\bar X)^{\pi_0} \subset H^1(\bar X')^{\pi_0}\). On se ramène à \(k\) fini ; avec \(f\) le Frobenius et \({}_\ell J(\bar k)\) fini, noyau et conoyau de \(1 - f\) ont même cardinal, et l'annulation équivaut à \({}_\ell J(k) = 0\), vrai pour \(\ell \nmid N' = \operatorname{card} J(k)\). Donc pour \(\ell \nmid NN'\), c'est fini.

Corollaire 4.3. Si \(X\) est normal, géométriquement intègre, de type fini sur \(\mathbf{F}_q\), alors pour tout \(\ell \neq p\) l'homomorphisme \(\pi_1(X,\xi)^{\mathrm{ab}}(\ell) \to \operatorname{Gal}(\bar{\mathbf{F}}_q / \mathbf{F}_q)(\ell) \simeq \mathbf{Z}_\ell\) a un noyau fini, et c'est un isomorphisme pour presque tout \(\ell\).⁴³

§ 5. Réduction du théorème de monodromie pour \(H^1\) au cas d'une courbe projective lisse. Revenons au trait \(S\) de l'exposé I. La suite spectrale de descente pour un morphisme fini ramène à \(X\) normal (5.1) ; une extension finie, à un ouvert d'un projectif géométriquement connexe et géométriquement unibranche (5.2) ; le lemme 3.2 — qui rend \(H^1(\bar X) \to H^1(\bar C)\) injectif —, à une courbe projective lisse, en choisissant un anneau de valuation de \(K(t)\) qui domine \(V\), de sorte que l'inertie nouvelle s'envoie sur un sous-groupe d'indice fini de l'ancienne (5.3). Les points à l'infini étant rationnels, l'inertie agit trivialement sur les \(H^2_x \simeq \mathbf{Z}_\ell(-1)\), et il suffit de prouver la quasi-unipotence sur le \(H^1\) de la courbe complète.⁴⁴

Remarque 5.4. L'exposé III prouvera que, pour \(X_K\) courbe lisse séparée, l'inertie agit sur \(H^1(X_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)\) de façon essentiellement unipotente d'échelon \(2\) ; on en déduit alors, par 5.1 à 5.3, que pour \(X_K\) de type fini l'action est essentiellement unipotente d'échelon \(3\), et d'échelon \(2\) si \(X\) est normal.

Bibliographie (page 81). [1] A. Grothendieck, « Un théorème sur les homomorphismes de schémas abéliens », Invent. Math. 2 (1966), 59–78. [2] S. Lang — entrée inachevée. [3] J.-P. Serre et J. Tate, « Good reduction of abelian varieties ». [4] G. Shimura et Y. Taniyama, Complex multiplication of abelian varieties, Publ. Math. Soc. Japan 6 (1961).

83–91

Exposé III. Le théorème de monodromie par voie géométrique (pages 83 à 127)

La suite exacte des cycles évanescents (pages 83 à 91)

On garde les notations de l'exposé I, et l'on se donne \(X\) propre sur \(S\). Il s'agit de relier \(H^i(X_{\bar s})\) et \(H^i(X_{\bar\eta})\), à coefficients \(\Lambda_\nu\) ou \(\mathbf{Z}_\ell\) — question « liée intimement » à celle de l'action de \(\pi\) sur \(H^i(X_{\bar\eta})\). Quitte à remplacer \(S\) par \(\widetilde S\), on le suppose strictement local.

Écrivons \(\overline K = \varinjlim K_\alpha\) (\(K_\alpha\) finies sur \(K\)), \(S_\alpha\) le normalisé de \(S\) dans \(K_\alpha\) — encore strictement local, de point fermé \(s_\alpha\) de corps résiduel radiciel sur \(k\) —, et \(X_\alpha = X \times_S S_\alpha\). Le passage de \(X_s\) à \(X_{\alpha, s_\alpha}\) est un homéomorphisme universel, donc \(H^*(X_s) \simeq H^*(X_{\alpha,s_\alpha})\) ; et par le changement de base propre, \(H^*(X) \simeq H^*(X_s)\) et \(H^*(X_\alpha) \simeq H^*(X_{\alpha,s_\alpha})\). Les suites de cohomologie relative de \(X_\alpha\) modulo l'ouvert \(X_{\eta_\alpha}\), passées à la limite, donnent la suite exacte des cycles évanescents \[ \cdots \to \Phi^i_\nu \to H^i(X_s, \Lambda_\nu) \to H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \to \Phi^{i+1}_\nu \to \cdots, \qquad \Phi^i_\nu = \varinjlim_\alpha H^i_{X_{\alpha,s}}(X_\alpha, \Lambda_\nu) . \tag{1.9} \] 1.11. \(\Phi^i_\nu\) est le groupe des cycles évanescents en dimension \(i\) : il mesure « l'écart » entre la cohomologie des fibres géométriques spéciale et générale. Les groupes étant finis, on passe à la limite sur \(\nu\) et l'on obtient la même suite à coefficients \(\mathbf{Z}_\ell\), avec \(\Phi^i = \varprojlim_\nu \Phi^i_\nu\).⁴⁵

1.12. Du local au global. Les suites spectrales de cohomologie locale, pour \(\alpha\) variable, donnent à la limite — les sites étales des \(X_{\alpha,s}\) s'identifiant à celui de \(X_0 = X_s\) — \[ E_2^{pq} = H^p(X_0, \underline\Phi^q_\nu) \Longrightarrow \Phi^{p+q}_\nu, \qquad \underline\Phi^q_\nu = \varinjlim_\alpha \underline H^q_{X_{\alpha,s}}(\Lambda_{\nu, X_\alpha}) , \tag{1.14} \] où les \(\underline\Phi^q_\nu\) sont des faisceaux sur \(X_0\) dont le calcul est de nature locale sur \(X\).⁴⁶

1.16. Le cas lisse. Si \(X \to S\) est lisse et \(\ell \neq p\), la pureté donne \(\underline H^q_{X_{\alpha,s}}(\Lambda_\nu) = 0\) pour \(q \neq 2\) et \(\simeq \Lambda_\nu(-1)\) pour \(q = 2\) ; dans la limite, la flèche de transition de \(S_\alpha\) à \(S_\beta\) est la multiplication par l'indice de ramification \(e_{\alpha\beta}\), et comme ces indices deviennent divisibles par toute puissance de \(\ell\), la limite est nulle.⁴⁷ Donc \(\underline\Phi^q_\nu = 0\) pour tout \(q\), et \[ H^i(X_s, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \sim\ } H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \] pour \(X\) propre et lisse sur \(S\) : c'est le théorème de spécialisation (SGA 4 XVI).

Proposition 1.17. Les faisceaux \(\underline\Phi^q_\nu\) sont à support dans l'ensemble \(T\) des points de \(X_0\) où \(f\) n'est pas lisse (\(\ell \neq p\)). Si \(T\) est fini (1.18), la suite (1.14) dégénère et \(\Phi^i_\nu = \bigoplus_{t \in T} (\underline\Phi^i_\nu)_t\) : les cycles évanescents sont une somme de termes purement locaux.

1.20. L'action de l'inertie. Par construction, \(I\) agit sur les \(\underline\Phi^q_\nu\) ; (1.14) est une suite spectrale de \(I\)-modules et (1.9) une suite exacte de \(I\)-modules, \(I\) agissant trivialement sur \(H^*(X_s, \Lambda_\nu)\). On pourrait donc prouver le théorème de monodromie en montrant qu'un sous-groupe ouvert de \(I\) agit trivialement sur tous les \(\underline\Phi^q_\nu\) : un énoncé purement local, accessible au calcul.

1.21. Un ouvert de la fibre générique. Pour \(U\) ouvert de \(X_\eta\) et \(Y = X - U \supset X_0\), on a de même \(\Phi^i_\nu = \varinjlim_\alpha H^i_{Y_\alpha}(X_\alpha, \Lambda_\nu)\), \(Y_\alpha\) l'image inverse de \(Y\), la suite \(\cdots \to \Phi^i_\nu \to H^i(X_s) \to H^i(U_{\bar\eta}) \to \Phi^{i+1}_\nu \to \cdots\), et les faisceaux \(\underline\Phi^q_\nu = \varinjlim_\alpha \underline H^q_{Y_\alpha}(\Lambda_\nu)|X_{\alpha,0}\).

1.26. La partie modérée. Le calcul local n'est souvent possible qu'en se bornant aux extensions modérées \(K(n) = K(t^{1/n})\), \((n,p) = 1\), dont la réunion est \(\overline K_t\). Comme \(P\) est un pro-\(p\)-groupe et les coefficients de \(\ell\)-torsion, la suite de Hochschild–Serre donne \[ H^*(U_{\overline K_t}, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \sim\ } H^*(U_{\overline K}, \Lambda_\nu)^P , \] d'où une suite exacte \(\cdots \to \Phi^i_{\nu,\mathrm{t}} \to H^i(X_s) \to H^i(U_{\bar\eta})^P \to \Phi^{i+1}_{\nu,\mathrm{t}} \to \cdots\), des faisceaux \(\underline\Phi^q_{\nu,\mathrm{t}} = \varinjlim_{(n,p)=1} \underline H^q_{Y(n)}(\Lambda_\nu)|X(n)_0\), et une suite spectrale de localisation. Elle sert surtout quand \(P\) agit trivialement sur \(H^*(U_{\bar\eta}, \mathbf{Z}_\ell)\), ce qui est le cas après extension finie (corollaire I 4.5).

1.33. Tout cela vaut pour n'importe quel sous-groupe fermé distingué \(Q\) de \(I\) d'ordre premier à \(\ell\) — par exemple le noyau de \(I \to \mathbf{Z}_\ell(1)\), ce qui revient à ne prendre que les \(K(\ell^r)\). ⁴⁸

92–95

La suite spectrale de Leray (pages 92 à 95)

2.1. Plutôt que la cohomologie relative, on utilise désormais la suite spectrale de Leray du morphisme \(g : \bar U \to \widetilde X\) (avec \(\bar U = U_{\bar\eta}\), \(\widetilde X = X \times_S \widetilde S\)), et l'on ne suppose pas \(X\) lisse : \[ E_2^{pq} = H^p(\widetilde X_0, \underline\Psi^q_\nu) \Longrightarrow H^{p+q}(\bar U, \Lambda_\nu), \qquad \underline\Psi^q_\nu = R^q g_*(\Lambda_\nu)\,|\,\widetilde X_0 = \varinjlim_\alpha R^q g_{\alpha *}(\Lambda_\nu)\,|\,\widetilde X_0 , \tag{2.5} \] la restriction à la fibre spéciale étant légitime par le changement de base propre. Le groupe \(\pi\) agit sur la situation, \(I\) par \(\bar X\)-automorphismes, et (2.5) est une suite spectrale de \(\pi\)-modules (2.9).

2.7–2.8. Le calcul des \(\underline\Psi^q_\nu\) est local sur \(\widetilde X\), et ils sont reliés aux \(\underline\Phi^q_\nu\) du n° 1 par \[ \underline\Phi^q_\nu = \underline\Psi^{q-1}_\nu \ (q \geq 2), \qquad 0 \to \underline\Phi^0_\nu \to \Lambda_{\nu, X_0} \to \underline\Psi^0_\nu \to \underline\Phi^1_\nu \to 0 : \] au décalage près, ce sont les faisceaux de cycles évanescents — ceux qu'on appelle aujourd'hui les cycles proches, \(R^q\Psi\).

2.10. Variante modérée, en remplaçant \(\overline K\) par \(\overline K_t\) : \(E_2^{pq} = H^p(\widetilde X_0, \underline\Psi^q_{\nu,\mathrm{t}}) \Rightarrow H^{p+q}(\bar U, \Lambda_\nu)^P\), avec \(\underline\Psi^q_{\nu,\mathrm{t}} = \varinjlim_{(n,p)=1} R^q g_{n*}(\Lambda_\nu)|\widetilde X_0\), \(g_n : U_{K(n)} \to \widetilde X\).⁴⁹

Remarque 2.8 (page 95). Il semble plausible, ajoute une demi-feuille d'une encre plus pâle, qu'on puisse montrer, avec la résolution des singularités, que les \(\underline\Psi^q_\nu\) sont constructibles et forment un système \(\ell\)-adique constructible, d'où des suites spectrales \(\ell\)-adiques ; le n° 5 le fera dans un cas typique.⁵⁰

96–100

Le théorème principal (pages 96 à 100)

On suppose \(\ell \neq p\), \(X\) régulier, et \(Y = X - U\) un diviseur à croisements normaux (contenant \(X_0\)), et l'on suppose que \(X\) satisfait au théorème de pureté cohomologique (défini au § 4).⁵¹

Théorème 3.2. Sous ces hypothèses, \(H^i(U_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)\) est de type fini, et l'action de \(I\) sur \(E = H^i(U_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)^P\) est essentiellement unipotente. Plus précisément, soit \(X_0 = \sum_\lambda m_\lambda X_0^{(\lambda)}\) la fibre spéciale comme diviseur, \(m\) le ppcm des \(m_\lambda\), \(m'\) sa partie première à \(p\), et \(I'\) le sous-groupe ouvert d'indice \(m'\) de \(I\) (image inverse de \(m'I_t\)). Alors \(I'\) agit sur \(E\) de façon unipotente d'échelon \(\leq i+1\) : si \(g\) engendre topologiquement \(I_t\), \[ (1 - g_E^{\,m'})^{i+1} = 0 . \tag{3.3} \] ⁵² La borne \(i+1\) est celle que donne la suite spectrale : la filtration de l'aboutissement en degré \(i\) a \(i+1\) crans.

Remarque 3.4. (a) La démonstration vaut, mutatis mutandis, dans le cas analytique complexe, pour \(f : X \to S\) avec \(S\) régulier de dimension \(1\) — sans \(P\) ; la page attribue l'énoncé, dans ce cas, à P. A. Griffiths.⁵³ (b) La démonstration fournit une filtration canonique de \(E\), invariante par \(\pi\) tout entier.

Corollaire 3.5. Fixons \(n \geq 0\) et supposons : (i) que pour toute extension finie \(K'\) de \(K\), de normalisé \(S'\), la résolution forte des singularités soit possible pour les schémas de type fini de dimension relative \(\leq n\) sur \(\widehat{S'}\) ; (ii) que pour tout tel \(X'\) régulier et tout diviseur régulier \(Y'\), le couple \((X', Y')\) satisfasse au théorème de pureté cohomologique pour \(\ell\). Alors pour \(U\) lisse et quasi-projectif sur \(K\), de dimension \(n\), l'action de \(I\) sur \(H^i(U_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)\) est essentiellement unipotente d'échelon \(i+1\).⁵⁴ On se ramène à \(S\) complet (I 3.13), on prend pour \(X\) l'adhérence schématique de \(U\) dans un projectif sur \(S\) — plat et réduit —, on fait agir \(P\) trivialement sur \(E\) par une extension finie (corollaire I 4.5), on résout par (i) jusqu'à \(X\) régulier et \(Y\) à croisements normaux, et l'on applique 3.2 grâce à (ii).

Remarque 3.6 et corollaire 3.7. Avec le résultat de Hironaka, on peut se dispenser de la quasi-projectivité ; et par les réductions de l'exposé I, § 9, pour tout \(U\) de type fini sur \(K\), \(H^i(U_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)\) est de type fini et l'inertie y agit de façon essentiellement unipotente — de même pour \(H^i_c\) si \(U\) est séparé.

Remarques 3.8. (a) Pour l'instant, 3.5 et 3.7 ne s'appliquent qu'en caractéristique nulle, par Hironaka et par le théorème de pureté d'Artin (SGA 4 XIX) ; et en égale caractéristique, si l'on dispose de la résolution pour les schémas de type fini sur un corps, par SGA 4 XVI, pour \(S\) hensélisé strict d'un schéma de type fini. (b) Pour \(n = 1\), la condition (i) est satisfaite (Abhyankar). La démonstration du § 5 montre d'ailleurs que la pureté pour les couples de dimension \(\leq i\) suffit pour \(H^i\) ; pour \(i = 1\), c'est la pureté de Zariski–Nagata (SGA 1, SGA 2). D'où :

Corollaire 3.9. Pour \(X_K\) une courbe lisse sur \(K\), l'inertie agit sur \(H^1(X_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)\) de façon essentiellement unipotente d'échelon \(2\).

Corollaire 3.10. Pour \(X_K\) de type fini sur \(K\), \(E = H^1(X_{\overline K}, \mathbf{Z}_\ell)\) est de type fini et l'inertie y agit de façon essentiellement unipotente d'échelon \(3\), et même \(2\) si \(X\) est normal (par la réduction de la remarque II 5.4).

101–105

Pureté cohomologique et classe de cycle (pages 101 à 105)

Définition 4.1. Un schéma régulier \(X\) satisfait au théorème de pureté cohomologique si, pour tout \(X'\) étale sur \(X\), tout sous-schéma régulier \(Y\) de \(X'\), tout sous-schéma régulier \(Z\) de \(Y\) purement de codimension \(1\), et tout entier \(n\) inversible sur \(Z\), on a, avec \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\), \[ \underline H^i_Z(\Lambda_Y) = 0 \quad (i \neq 2) , \qquad\text{ou encore}\qquad R^i f_*(\Lambda_{Y - Z}) = 0 \quad (i \neq 0, 1), \] \(f : Y - Z \to Y\) l'inclusion ; en dimension \(\leq r\) si cela vaut pour \(i \leq r\). La condition est locale pour la topologie étale, et stable par localisation étale et passage à un sous-schéma régulier ; elle est triviale en dimension \(\leq 1\) (4.2 b).⁵⁵

4.2 c). On conjecture que tout schéma régulier y satisfait (SGA 4 XVI). C'est démontré pour \(X\) lisse sur un corps (SGA 4 XVI) et pour \(X\) excellent de caractéristique nulle (SGA 4 XIX), et en caractéristique donnée si l'on dispose de la résolution des singularités ; en inégale caractéristique et dimension \(\geq 2\), ce n'est pas prouvé « à l'heure actuelle ».⁵⁶

Proposition 4.2. Si \(X\) satisfait au théorème de pureté et si \(Y \subset X\) est régulier, purement de codimension \(d\), alors pour \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\) (\(n\) inversible) \[ \underline H^i_Y(\Lambda_X) = 0 \quad (i \neq 2d), \qquad \underline H^{2d}_Y(\Lambda_X) \simeq \Lambda_Y(-d) . \] Par récurrence sur \(d\) : pour \(d = 1\), c'est Kummer et le lemme d'Abhyankar absolu (SGA 4 XIX 1.3) ; pour \(d > 1\), on choisit localement un diviseur régulier \(Z \supset Y\), et la suite spectrale \(\underline H^p_Y(\underline H^q_Z(\Lambda_X)) \Rightarrow \underline H^{p+q}_Y(\Lambda_X)\) n'a qu'un terme, en \(p = 2(d-1)\), \(q = 2\).⁵⁷

Corollaire 4.3 (suite de Gysin). Sous ces hypothèses, pour \(F\) localement constant annulé par \(n\) et \(F(d) = F \otimes \mu_n^{\otimes d}\), on a une suite exacte \[ \cdots \to H^{i-2d}(Y, F(-d)) \xrightarrow{\ \alpha\ } H^i(X, F) \xrightarrow{\ \beta\ } H^i(X - Y, F) \xrightarrow{\ \gamma\ } H^{i-2d+1}(Y, F(-d)) \to \cdots \] — la suite de cohomologie relative, compte tenu de \(H^i_Y(X,F) \simeq H^{i-2d}(Y, F(-d))\) —, et le composé \(H^{i-2d}(X, F(-d)) \to H^{i-2d}(Y, F(-d)) \xrightarrow{\alpha} H^i(X, F)\) est le cup-produit par la classe de cycle \(\operatorname{cl}(Y) \in H^{2d}(X, \Lambda(d))\), image de la section unité. Pour \(d = 1\), c'est la première classe de Chern de \(\mathcal{O}_X(Y)\), image de sa classe dans \(\operatorname{Pic}(X) = H^1(X, \mathbf{G}_m)\) par le cobord de la suite de Kummer.⁵⁸

106–112

Le complémentaire d'un diviseur à croisements normaux (pages 106 à 112)

4.4–4.5. Soient \(X\) régulier, \(D = \sum_{i=1}^r D_i\) un diviseur à croisements normaux à composantes \(D_i\) régulières, \(U = X - \bigcup D_i\), \(f : U \to X\) l'inclusion, \(n\) inversible, \(\Lambda = \mathbf{Z}/n\). Si \(X\) satisfait au théorème de pureté : \[ R^1 f_*(\Lambda_U) \simeq \bigoplus_{i=1}^r \Lambda_{D_i}(-1), \qquad \textstyle\bigwedge^p R^1 f_*(\Lambda_U) \xrightarrow{\ \sim\ } R^p f_*(\Lambda_U), \] \[ R^p f_*(\Lambda_U) \simeq \bigoplus_{i_1 < \cdots < i_p} \Lambda_{D_{i_1} \cap \cdots \cap D_{i_p}}(-p) . \] Le premier isomorphisme vient des \(R^1 f_{i*} \simeq \underline H^2_{D_i} \simeq \Lambda_{D_i}(-1)\), \(f_i : X - D_i \to X\), et se vérifie fibre par fibre : pour \(X\) strictement local, \(H^1(U, \mu_n) \simeq \Lambda^r\), ce qui résulte de la détermination du groupe fondamental modéré de \(U\).⁵⁹ Le second, par récurrence sur \(r\) : avec \(U' = X - \bigcup_{i < r} D_i\) et \(D'_r = U' \cap D_r\), la suite de Gysin \[ \cdots \to H^{i-2}(D'_r, \Lambda(-1)) \xrightarrow{\ \alpha_i\ } H^i(U', \Lambda) \to H^i(U, \Lambda) \to H^{i-1}(D'_r, \Lambda(-1)) \to \cdots \] a ses flèches \(\alpha_i\) nulles : la restriction \(H^*(U') \to H^*(D'_r)\) étant surjective par l'hypothèse de récurrence, il suffit de voir que le composé \(H^{i-2}(U', \Lambda(-1)) \to H^i(U', \Lambda)\) l'est ; c'est le cup-produit par la classe de \(D'_r\), restriction de celle de \(D_r\), nulle puisque \(D_r\) est principal sur \(X\) strictement local. La suite se coupe en suites exactes courtes \(0 \to H^i(U') \to H^i(U) \to H^{i-1}(D'_r)(-1) \to 0\), qu'on compare par cup-produit à la décomposition \(\bigwedge^i H^1(U) \simeq \bigwedge^i H^1(U') \oplus \bigwedge^{i-1}H^1(U') \otimes \Lambda(-1)\) ; les flèches extrêmes étant bijectives, celle du milieu l'est.⁶⁰

113–120

La tour de Kummer (pages 113 à 120)

4.6–4.7. Si \(D_i = V(a_i)\) et \(m\) est inversible, le revêtement \(X' = \operatorname{Spec}\mathcal{O}_X[T_1, \ldots, T_r]/(T_i^m - a_i)\) est régulier, les \(\Delta_i = V(T_i)\) forment un diviseur à croisements normaux, \(p^*D_i = m\Delta_i\), \(U' = p^{-1}(U)\), et sur les identifications précédentes le changement de base \(p^*R^1 f_* \to R^1 f'_*\) est la multiplication par \(m\), donc \(p^* R^q f_* \to R^q f'_*\) la multiplication par \(m^q\). D'où : pour \(X\) strictement local satisfaisant à la pureté et \(n \mid m\), \(H^*(U, \Lambda) \to H^*(U', \Lambda)\) est nul en degrés \(> 0\).

4.8–4.9. Pour \(X = \operatorname{Spec} A\) strictement local régulier, \((a_i)\) une partie d'un système régulier de paramètres, les \(U(m) = U \times_X \operatorname{Spec} A[T_i]/(T_i^m - a_i)\) forment un système projectif de revêtements principaux, de limite \(U(\infty)\), principal de groupe \[ G = \varprojlim_m \mu_m(X)^r = \textstyle\prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1)^r . \] Si \(X\) et les \(X(m)\) satisfont à la pureté, les transitions sont nulles en degrés \(>0\) dès que \(nm \mid m'\), d'où : \[ H^i(U(\infty), \Lambda) = 0 \quad (i \neq 0), \qquad H^0(U(\infty), \Lambda) \simeq \Lambda . \] Autrement dit, pour des coefficients premiers à \(p\), \(U\) se comporte comme un espace d'Eilenberg–MacLane de groupe \(G\) : \(H^*(U, \Lambda) \simeq H^*(G, \Lambda)\).⁶¹

4.10–4.11. Pour un homomorphisme \(\varphi : G \to \Gamma\) de noyau \(H\) et d'image \(K\), le revêtement \(U' = U(\infty) \times^G \Gamma\) est réunion de copies de \(U(\infty)/H\) indexées par \(\Gamma/K\), et Hochschild–Serre avec 4.9 donne un isomorphisme d'anneaux gradués à opérateurs \(\Gamma\) \[ H^*(U', \Lambda) \simeq \operatorname{Ind}_K^\Gamma H^*(H, \Lambda), \] \(K\) agissant trivialement sur \(H^*(H, \Lambda)\) parce que \(G\) est commutatif. Donc le sous-groupe des éléments de \(\Gamma\) qui agissent trivialement sur \(H^*(U', \Lambda)\) est l'image \(K = \varphi(G)\).⁶² Pour \(\Lambda = \mathbf{Z}/\ell^{\nu+1}\), \(H(\ell)\) est libre de rang \(s \leq r\), et \(H^*(H, \Lambda) \simeq \bigwedge^* \Lambda^s\) (4.13).

4.14–4.15. Le cas qui sert. Donnons des entiers \(m_i \geq 0\) et \(t = a_1^{m_1} \cdots a_r^{m_r}\) ; les \(U'(m) = U \times_X \operatorname{Spec} A[T]/(T^m - t)\) forment une tour de limite \(U'\), principale de groupe \(\Gamma = \prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1)\), et \[ U' = U(\infty) \times^G \Gamma, \qquad \varphi(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) = \textstyle\sum_i m_i \lambda_i . \] C'est la situation locale de la monodromie : \(t\) est l'uniformisante de la base, \(U'\) est la fibre générique au-dessus de \(\overline K_t\), et \(\Gamma = I_t\).

121–123

L'action locale de l'inertie modérée (pages 121 à 123)

Corollaire 4.15. Soient \(m\) le pgcd des \(m_i\) et \(m'\) sa partie première à \(p\). Le sous-groupe des éléments de \(\Gamma\) qui agissent trivialement sur \(H^*(U', \Lambda)\) est \(\Gamma' = m'\Gamma\), d'indice \(m'\), et ne dépend pas de \(n\).

4.16–4.17. Forme globale. Soient \(X\) régulier, \(D\) à croisements normaux, \(t \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) inversible sur \(U = X - D\), \(X_0 = V(t)\) de caractéristique \(p\), et \(f : U' = \varprojlim U'(n) \to X\), où \(U'(n) = U \times_X \operatorname{Spec}\mathcal{O}_X[T]/(T^n - t)\). Pour \(x \in X_0\), soit \(m_x\) le pgcd des multiplicités dans \(\operatorname{div}(t)\) des composantes de \(D\) qui passent par \(x\), et soit \(m\) le ppcm des \(m_x\) — il divise le ppcm des multiplicités des composantes de \(X_0\). Soit \(m'\) sa partie première à \(p\). Si les localisés stricts de \(X\) et leurs revêtements kummériens satisfont à la pureté, le sous-groupe \(m'G\) agit trivialement sur les faisceaux \(R^*f_*(\Lambda_{U'})|X_0\) — qui sont les \(\underline\Psi^*_{\nu,\mathrm{t}}\). C'est 4.15 par localisation stricte. ⁶³ Un paragraphe 4.18, qui voulait préciser la structure d'anneau gradué de ces faisceaux, est barré.

124–124

La démonstration du théorème 3.2 (page 124)

On utilise la suite spectrale modérée (2.5 bis) pour \(\nu\) variable. Les \(\underline\Psi^q_{\nu,\mathrm{t}}\) sont constructibles par les calculs du § 4, les \(E_2^{pq}\) sont finis, et l'on passe à la limite : \[ E_2^{pq} = \varprojlim_\nu H^p(\widetilde X_0, \underline\Psi^q_{\nu,\mathrm{t}}) \Longrightarrow H^{p+q}(\bar U, \mathbf{Z}_\ell)^P , \] suite compatible à l'action de \(I_t\). Par 4.17, le sous-groupe d'indice \(m'\) de \(I_t\) agit trivialement sur les faisceaux \(\underline\Psi^q_{\nu,\mathrm{t}}\), donc sur tous les \(E_2^{pq}\), donc sur le gradué de l'aboutissement ; en degré \(i\), ce gradué a au plus \(i+1\) crans. « On a gagné. »

125–127

Application aux faisceaux de cycles évanescents (pages 125 à 127)

6.1. Soient \(X\) de type fini sur le trait strictement local \(S\), \(U\) un ouvert régulier de \(X_\eta\), \(Y = X - U\), et supposons qu'il existe \(p : X' \to X\) propre avec \(X'\) régulier, \(p^{-1}(Y)\) à croisements normaux, et \(p^{-1}(U) \simeq U\) — ce qu'assure Hironaka si \(S\) est excellent de caractéristique nulle, et qui est « plausible » pour \(S\) excellent quelconque ; l'hypothèse d'excellence est anodine, puisqu'on peut passer au complété.

Théorème 6.2. (i) Les \(\underline\Psi^q_{\nu,\mathrm{t}} = (\underline\Psi^q_\nu)^P\) sont constructibles et forment un système AR-\(\ell\)-adique (SGA 5 V), donc définissent un faisceau \(\ell\)-adique constructible \(\underline\Psi^q_{\mathrm{t}}\). (ii) Il existe un sous-groupe ouvert \(I'\) de \(I\) qui agit sur tous les \(\underline\Psi^q_{\nu,\mathrm{t}}\), et sur \(\underline\Psi^q_{\mathrm{t}}\), de façon unipotente d'échelon \(\leq q + 1\).

Démonstration. Avec \(g' : U_{\overline K_t} \to X'\) et \(g = p g'\), la suite spectrale de Leray \[ E_2^{ab}(\nu) = R^a p_*\bigl(R^b g'_*\Lambda_\nu\bigr) \Longrightarrow R^{a+b} g_*\Lambda_\nu = \underline\Psi^{a+b}_{\nu,\mathrm{t}} \] a ses termes sur lesquels \(I'\) agit trivialement (§ 4 sur \(X'\)) ; en degré total \(q\), elle a \(q+1\) termes, d'où l'échelon.⁶⁴ La constructibilité et la condition AR-\(\ell\)-adique passent de \(R^b g'_*\), explicitement calculés, aux \(R^a p_*\) par le changement de base propre et SGA 5 VI 2.2, V 5.2.

Remarque 6.3. On peut prendre pour \(I'\) le sous-groupe d'indice \(m'\), \(m'\) défini comme en 3.2 à partir des multiplicités sur \(X'\).

6.4. Deux questions. Il serait plus raisonnable de démontrer 6.2 sans supposer \(U\) régulier, et pour les \(\underline\Psi^q_\nu\) eux-mêmes au lieu de leurs invariants sous \(P\). Pour le second point, il faudrait d'abord répondre par l'affirmative à la question : les composantes réduites de \(X_0\) étant lisses et les multiplicités premières à \(p\), \(P\) agit-il trivialement sur les \(\underline\Psi^q_\nu\) ? Cela impliquerait que \(P\) agit trivialement sur \(H^i(U_{\bar\eta}, \Lambda_\nu)\) pour \(X\) propre — ce qui n'est pas prouvé « à l'heure actuelle », sauf pour \(i = 1\), qui sera démontré dans un exposé ultérieur.⁶⁵

129–132

« IV ». Propriétés générales des faisceaux de cycles évanescents (pages 129 à 161)

Le chapitre porte le numéro IV, écrit sur un titre corrigé d'une autre encre — le premier titre était « Cas des points singuliers isolés de la fibre spéciale » —, mais ses feuillets sont paginés V.1 à V.34, et une note marginale de la page 130 dit « dans Exp. V ». On le désigne par son titre. Une note de la page 129 fixe une convention qu'on adopte : omettre l'indice \(\nu\) de \(\Lambda_\nu\) quand il n'y a pas de confusion, et écrire \(H^*(X)\) pour \(H^*(X, \Lambda)\).

La fibre des cycles proches (pages 129 à 132)

1.1. Soient \(\bar x\) un point géométrique de \(\widetilde X_0\), \(X'\) le localisé strict de \(\widetilde X\) en \(\bar x\), \(f' : X' \to \widetilde S\), et \(U'\) l'image inverse de \(U\), ouvert de la fibre générique de \(f'\). Le calcul habituel des fibres des \(R^q g_*\) (SGA 4 VII) donne une « interprétation frappante » : \[ (\underline\Psi^q_\nu)_{\bar x} \simeq H^q(U' \otimes_{\widetilde K} \overline K, \Lambda_\nu), \qquad\text{et pour } U = X_\eta :\quad (\underline\Psi^q_\nu)_{\bar x} \simeq H^q(X' \times_{\widetilde S} \bar\eta, \Lambda_\nu) . \] La fibre en \(\bar x\) des cycles proches est la cohomologie de la fibre générique géométrique du localisé strict de \(X\) en \(\bar x\). C'est ce qu'on appelle aujourd'hui la fibre de Milnor en \(\bar x\) ; une note marginale de la page 131 le dit à sa façon : les relations globales entre les deux fibres géométriques se lisent sur les cycles évanescents.⁶⁶ De même pour la partie modérée, avec \(\overline K_t\) au lieu de \(\overline K\) (papillon collé de la page 131).

1.4. Comme \(X'\) est limite d'étales affines \(X_\alpha\) sur \(X\), \[ (\underline\Psi^i_\nu)_{\bar x} \simeq \varinjlim_\alpha H^i\bigl((X_\alpha \times_X U)_{\bar\eta}, \Lambda\bigr), \] et les \((X_\alpha \times_X U)_{\bar\eta}\) sont des schémas algébriques quasi-affines sur \(\bar\eta\) — affines si \(U = X_\eta\), et plus généralement si \(U \to X_\eta\) est affine.

133–138

Le théorème de Lefschetz affine et la dimension des supports (pages 133 à 138)

2.1. Supposons \(U \to X_\eta\) affine, et soit \(n_x\) le maximum des dimensions des fibres génériques des composantes de \(X\) qui passent par \(x\). Les schémas de 1.4 sont affines de dimension \(\leq n_x\), et le théorème de Lefschetz affine (SGA 4 XIV) donne \[ (\underline\Psi^i_\nu)_{\bar x} = 0 \qquad (i > n_x) . \tag{2.1.1} \]

Théorème 2.3. Plus précisément, \[ (\underline\Psi^q_\nu)_{\bar x} = 0 \qquad \bigl(q > n_x - \dim \overline{\{x\}}\bigr), \] en particulier pour \(q > \dim \mathcal{O}_{X_0, x}\) quand \(n_x = \dim_x X_0\) (par exemple si \(X\) est plat sur \(S\)). De façon équivalente, \((\underline\Phi^q_\nu)_{\bar x} = 0\) pour \(q > n_x + 1 - \dim \overline{\{x\}}\), \(q \geq 1\).

Démonstration. On peut supposer \(X\) affine, \(n = n_x = \dim X_\eta\), et l'on pose \(r = \deg\operatorname{tr} k(x)/k\). Des \(t_1, \ldots, t_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) relevant une base de transcendance de \(k(x)\) définissent \(h : X \to Y = \mathbf{A}^r_S\) ; \(y = h(x)\) est le point générique de la fibre spéciale \(\mathbf{A}^r_k\), \(x\) est fermé dans sa fibre, et quitte à restreindre \(X\), les fibres de \(h\) sont de dimension \(\leq n - r\). Soit \(S_1\) le localisé strict de \(Y\) en un point géométrique au-dessus de \(y\) : c'est un trait strictement hensélien, dont \(t\) est encore une uniformisante, de corps des fractions \(L\) séparable sur \(K\). Par (2.1.1) appliqué à \(X_1 = X \times_Y S_1\) sur \(S_1\), de dimension relative \(\leq n - r\), les fibres géométriques de \(\varphi : U'_{\bar\eta} \to S_1 \times_S \bar\eta\) ont une cohomologie nulle au-delà de \(n - r\). Or \(S_1 \times_S \bar\eta\) est le spectre d'un corps de \(\ell\)-dimension cohomologique nulle : son groupe de Galois est l'inertie de \(S_1\) privée de sa partie modérée, puisque \(\overline K\) contient déjà toutes les racines \(t^{1/n}\), \((n,p) = 1\). La suite spectrale de Leray de \(\varphi\) dégénère donc en \(H^i(U'_{\bar\eta}) \simeq H^0(R^i\varphi_*)\), nul pour \(i > n - r\).⁶⁷ Le théorème est, dans le langage d'aujourd'hui, la condition de support de la perversité de \(R\Psi\Lambda[n]\) pour \(X\) plat de dimension relative \(n\).⁶⁸

Corollaire 2.4. \(\underline\Psi^q_\nu = 0\) pour \(q > \dim X_\eta\), et \(\underline\Phi^q_\nu = 0\) pour \(q > \dim X_\eta + 1\).

2.5. Conséquence globale. Soit \(Z\) le fermé de \(X_0\) où \(f\) n'est pas lisse, \(d = \dim Z\), \(n = \dim X_{\bar\eta}\), et supposons \(d \leq n + 1\) (par exemple \(X\) plat). Les \(\underline\Phi^q_\nu\) sont portés par \(Z\), de support de dimension \(\leq n + 1 - q\) ; comme la dimension cohomologique d'un schéma de dimension \(\delta\) est \(2\delta\) (SGA 4 X), \(H^p(X_0, \underline\Phi^q_\nu) \neq 0\) entraîne \(p \leq 2\min(d, n+1-q)\), d'où dans tous les cas \(p + q \leq n + d + 1\). Donc, si \(X\) est propre :

Corollaire 2.5. Les groupes de cycles évanescents \(\Phi^i_\nu\) sont nuls pour \(i > n + d + 1\) ; autrement dit \(H^i(X_0, \Lambda_\nu) \to H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu)\) est un isomorphisme pour \(i > n + d + 1\), un épimorphisme pour \(i = n + d + 1\), et l'inertie agit trivialement sur \(H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu)\) pour \(i \geq n + d + 1\).

Corollaire 2.6. Si de plus \(X_\eta\) est lisse sur \(\eta\), la dualité de Poincaré donne : l'inertie agit trivialement sur \(H^i(X_{\bar\eta}, \Lambda_\nu)\) pour \(i \notin [n - d, n + d]\). En particulier, si \(f\) n'a qu'un nombre fini de points non lisses (\(d = 0\)), elle agit trivialement sauf en degré \(n\).⁶⁹

Remarque 2.7. Pour \(f\) projectif, une démonstration plus simple : une section plane générique \(Y\) de codimension \(d+1\) évite \(Z\), donc est lisse sur \(S\), et le théorème de Lefschetz affine rend l'homomorphisme de Gysin \(H^i(Y_{\bar\eta}) \to H^{i+2(d+1)}(X_{\bar\eta})(d+1)\) surjectif pour \(i \geq n - d - 1\) et bijectif pour \(i > n - d - 1\) ; le carré de Gysin entre fibres spéciale et générique, où la flèche relative à \(Y\) est bijective (spécialisation lisse), conclut.

Remarque 2.8. Une conjecture : pour \(X = \operatorname{Spec} A\) strictement local de dimension \(n\), \(t \in A\), \(U = X - V(t)\) et \(U(\infty)\) la tour des \(U(m) = U \times_X \operatorname{Spec} A[T]/(T^m - t)\), la dimension cohomologique de \(U(\infty)\), pour des coefficients premiers à \(p\), est-elle \(\leq n - 1\) ? — alors que la conjecture « standard » de SGA 4 XIV ne donne que \(\leq n\) pour chaque \(U(m)\).⁷⁰

139–142

Le théorème de Lefschetz global (pages 139 à 142)

3.1. Supposons \(X\) projectif et plat sur \(S\), et que les fibres \(X_s\) et \(X_{\bar\eta}\) soient de profondeur étale \(\geq m\) (SGA 2 XIV) au sens où \(\operatorname{prof\,ét}_x + \dim \overline{\{x\}} \geq m\) en tout point. Avec \(Y\) comme en 2.7, le théorème de Lefschetz global (SGA 2 XIV 4.6), appliqué aux deux fibres, rend \(H^i(X_?) \to H^i(Y_?)\) bijectif pour \(i < m - d - 1\) et injectif pour \(i = m - d - 1\) ; comme la spécialisation est bijective pour \(Y\), elle l'est pour \(X\) dans le même domaine, autrement dit \[ \Phi^i_\nu = 0 \qquad (i \leq m - d - 1) . \tag{3.1.3} \]

Remarque 3.2. (a) Si \(X_s\) est localement d'intersection complète, purement de dimension \(n\), il en est de même de \(X_{\bar\eta}\), et l'on peut prendre \(m = n\) ; on verra au § 5 qu'on peut alors améliorer (3.1.3) en \(i \leq n - d\). (b) Sans intersection complète, on ne peut pas : soit \(X'\) la réunion disjointe de deux \(\mathbf{P}^1_S\), et \(X\) obtenu en identifiant deux points rationnels de \(X'_s\) situés sur les deux composantes. Les hypothèses valent avec \(m = n = 1\) et \(d = 0\), mais \(X_0\) est connexe et \(X_{\bar\eta}\) ne l'est pas : \(H^0(X_0) \to H^0(X_{\bar\eta})\) n'est pas surjectif, et \(\Phi^1 \neq 0\).⁷¹

3.3. La suite donnera des résultats locaux analogues, avec la profondeur locale (SGA 2 XIV 4.5) au lieu de la profondeur globale. La page 142, d'une écriture rapide et en partie illisible, en dit les limites : ces résultats supposent la résolution des singularités et le théorème de profondeur affine locale, acquis en caractéristique nulle ; en caractéristique inégale, seulement sous des restrictions dimensionnelles « draconiennes » (\(\dim X_\eta \leq 2\)).

143–147

Les cinq schémas (pages 143 à 147)

4.1. Soient \(x \in X_0\), \(\bar x\) au-dessus, \(X'\) le localisé strict de \(X\) en \(\bar x\), et \[ V = X' - \{\bar x\}, \quad V_s = V \times_S s, \quad V_\eta = V - V_s, \quad V_{\bar\eta} = V_\eta \times_\eta \bar\eta, \quad \bar V = V \times_S \bar S , \] où \(\bar S = \varprojlim S_\alpha\) est le normalisé de \(S\) dans \(\overline K\). La fibre générique de \(\bar V\) est \(V_{\bar\eta}\) et sa fibre fermée \(V_{\bar s} = V_s \otimes_k k(\bar s)\), qu'on identifie à \(V_s\), l'extension résiduelle étant radicielle. On a deux carrés cartésiens :

\begin{tikzcd}
V_s \arrow[r, hook, "i"] & V & V_\eta \arrow[l, hook', "j"'] \\
V_{\bar s} \arrow[u, "\wr"] \arrow[r, hook, "\bar i"] & \bar V \arrow[u, "h"] & V_{\bar\eta} \arrow[l, hook', "\bar j"'] \arrow[u]
\end{tikzcd}

4.2. Les rôles. « Du point de vue topologique », ces cinq schémas jouent des rôles bien distincts : \(V_s\) porte la structure locale de la fibre \(X_0\) en \(x\) ; \(V\) celle du schéma ambiant ; \(V_\eta = V - V_s\) relie les deux ; \(V_{\bar\eta}\) porte les cycles évanescents en \(x\) — \[ (\underline\Phi^i_\nu)_{\bar x} \simeq H^{i-1}(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \ (i \geq 2), \qquad 0 \to (\underline\Phi^0_\nu)_{\bar x} \to \Lambda_\nu \to H^0(V_{\bar\eta}) \to (\underline\Phi^1_\nu)_{\bar x} \to 0 \] (note marginale) — ; et \(\bar V\) met en relation \(V_s \simeq V_{\bar s}\) et \(V_{\bar\eta}\). Les rôles de \(V_\eta\) et de \(\bar V\) sont auxiliaires : l'étude topologique de \(f\) au voisinage de \(x\) est pour l'essentiel celle de \(V_s\), \(V\), \(V_{\bar\eta}\). Le groupe \(I\) agit sur \(\bar V\) par \(S\)-automorphismes, à travers son action sur \(\bar S\), trivialement sur \(V_{\bar s}\) et de la façon évidente sur \(V_{\bar\eta}\) (4.3).

4.4. Premier triangle. On note \(R\Gamma_I(\bar V, \Lambda_\nu)\) la cohomologie de \(\bar V\) prise dans la catégorie dérivée des \(\Lambda_\nu\)-modules à action continue de \(I\).⁷² Le triangle de cohomologie à supports \[ R\Gamma_I\bigl(V_{\bar s}, \underline\Phi^\bullet\bigr) \to R\Gamma_I(\bar V, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \bar j^*\ } R\Gamma_I(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \to , \qquad \underline\Phi^\bullet = R\underline\Gamma_{V_{\bar s}}(\Lambda_{\nu, \bar V}), \tag{A} \] où \(\underline\Phi^\bullet\) est la restriction à \(V_s\) du complexe de cycles évanescents du n° III 1. Si \((\underline\Phi^i_\nu)_{\bar x'} = 0\) pour \(i < m\) aux points de \(V_s\), alors \(H^i(V_s, \underline\Phi^\bullet) = 0\) pour \(i < m\), et \(H^i(\bar V) \to H^i(V_{\bar\eta})\) est injectif pour \(i \leq m - 1\), bijectif pour \(i \leq m - 2\). Si c'est vrai pour \(m = \infty\) — si \(f\) est localement acyclique en les points de \(V_s\) —, \(\bar j^*\) est un isomorphisme, et les cinq schémas se réduisent à quatre : « on est débarrassé du seul \(\bar V\) des cinq schémas qui n'est pas noethérien ! »

4.5. Second triangle. L'inclusion \(V_{\bar s} \hookrightarrow \bar V\) donne \(R\Gamma_I(\bar V, \bar j_!\Lambda_\nu) \to R\Gamma_I(\bar V, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\bar i^*} R\Gamma(V_s, \Lambda_\nu)^{\mathrm{triv}} \to\) (B), où l'exposant \(\mathrm{triv}\) signale l'action triviale.

148–155

Les théorèmes de profondeur locale (pages 148 à 155)

5.1. Soient \(f : X \to S\) localement de type fini, \(S\) strictement local, \(x \in X_0\), et supposons \((\underline\Phi^i_\nu)_{\bar x'} = 0\) pour \(i \leq m'\) aux points voisins de \(x\) dans \(X_0\), distincts de \(x\). Alors \[ (\underline\Phi^i_\nu)_{\bar x} = H^i_x(\bar X', \Lambda_\nu) = \varinjlim_h H^i_x(X(h), \Lambda_\nu) \qquad (i \leq m'), \] \(X(h)\) les changements de base finis, et la nullité en \(x\) résulterait de \(\operatorname{prof}_x X(h) \geq m' + 1\) pour tout \(h\). Par récurrence sur \(\dim \mathcal{O}_{X_0,x}\) :

Théorème 5.2. Soit \(Z \subset X_0\). Si (a) en toute générisation \(x'\) de \(x\) dans \(X_0 - Z\), \((\underline\Phi^i_\nu)_{\bar x'} = 0\) pour \(i \leq m'\) — par exemple si \(Z\) contient les points où \(f\) n'est pas lisse —, et (b) en toute générisation \(x'\) de \(x\) dans \(Z\), \(\operatorname{prof}_{\bar x'} X(h) \geq m'+1\) pour tout \(h\), alors \((\underline\Phi^i_\nu)_{\bar x} = 0\) pour \(i \leq m'\) : \(f\) est localement \((m'+1)\)-acyclique en \(x\). Si \(f\) est propre, \(H^i(X_0) \to H^i(X_{\bar\eta})\) est alors un isomorphisme pour \(i < m'\) et un monomorphisme pour \(i = m'\).

Corollaire 5.3. Soit \(d\) le maximum des \(\dim\overline{\{x'\}}\), \(x'\) générisation de \(x\) dans \(Z\). La condition (b) est satisfaite dans chacun des cas : Cas I, si les profondeurs étales de \(X_0\) aux points de \(Z\), et de \(X_{\bar\eta}\), sont assez grandes — par exemple \(\geq m\) et \(\geq m - 1\), avec \(m' = m - d - 1\) ; Cas II, si \(f\) est plat en \(x\) et \(m' = \operatorname{prof\,géom}^*_x(X_0) - d\), la profondeur géométrique (SGA 2 XIV 5.3) étant augmentée de \(\dim\overline{\{x\}}\). Le cas I se ramène, par le théorème de profondeur locale (SGA 2 XIV 4.5), à la bijectivité de \(H^i(V) \to H^i(V_s)\) en bas degrés ; le cas II, à l'inégalité \(\operatorname{prof\,ét} \geq \operatorname{prof\,géom}\) et au

Lemme 5.3.3. (i) Pour \(A\) local noethérien et \(\mathfrak{p}\) premier, \(\operatorname{prof\,géom} A_{\mathfrak{p}} \geq \operatorname{prof\,géom} A - \dim A/\mathfrak{p}\). (ii) Pour \(A \to B\) local et plat, sous une hypothèse d'existence d'un anneau formellement lisse sur \(k\) de corps résiduel celui de \(B\), \(\operatorname{prof\,géom} B \geq \operatorname{prof\,géom} A + \operatorname{prof\,géom}(B \otimes_A k)\).

La page 152 conclut : « Donner démonstration ! » ; le lemme n'est pas démontré dans le dossier.⁷³

Corollaire 5.4. Si \(X\) est plat sur \(S\) et \(X_0\) localement d'intersection complète, purement de dimension \(n\), alors \(\underline\Phi^i_\nu = 0\) pour \(i \notin [n - d + 1, n + d + 1]\), \(d = \dim Z\). Si \(d = 0\), \(\underline\Phi^i_\nu = 0\) pour \(i \neq n + 1\) : la spécialisation \(H^i(X_0) \to H^i(X_{\bar\eta})\) est un isomorphisme pour \(i \neq n, n+1\), un monomorphisme pour \(i = n\), un épimorphisme pour \(i = n+1\), et l'inertie agit trivialement sur \(H^i(X_{\bar\eta})\) pour \(i \neq n\).⁷⁴

5.5–5.6. La version non commutative. Supposant \(f\) localement 1-acyclique en les générisations strictes de \(x\), on a \(H^i(\bar V, G) \simeq H^i(V_{\bar\eta}, G)\) pour \(i \leq 1\) et \(G\) fini d'ordre premier à \(p\) ; la locale 1-asphéricité en \(x\) résulte donc de \(H^i(V(h), G) = 0\) pour \(i \leq 1\), vrai si les \(X(h)\) sont des intersections complètes de dimension \(\geq 3\) en \(x\) (pureté de Grothendieck, SGA 2) — ce qui, pour \(f\) plat, revient à \(X_0\) intersection complète de dimension \(\geq 2\) en \(x\).

Théorème 5.6. Si \(f\) est plat, si l'ensemble \(Z\) des points non lisses de \(X_0\) est de codimension \(\geq 2\) dans \(X_0\), et si \(X_0\) est localement d'intersection complète, alors \(f\) est localement 1-asphérique pour les nombres premiers \(\neq p\). En particulier, si \(f\) est propre, la spécialisation \(H^1(X_0, G) \to H^1(X_{\bar\eta}, G)\) est un isomorphisme pour tout groupe fini \(G\) d'ordre premier à \(p\).

Remarque 5.7. (a) La page « doute » qu'on puisse remplacer l'hypothèse d'intersection complète par \(\operatorname{prof\,géom}_x X_0 \geq 2\) sur \(Z\). (b) Conjecture : pour \(f : X \to S\) plat entre schémas strictement locaux noethériens (excellents), le lieu singulier de la fibre fermée étant de dimension \(\leq d\) après toute extension finie et \(m = \operatorname{prof\,géom} B\), \(f\) serait localement \((m-d-1)\)-acyclique pour les premiers \(\neq p\), et localement 1-asphérique si \(m - d \geq 2\) ; ce serait « démontrable » à partir de la conjecture de SGA 2 XIV 6.3 et de la résolution des singularités.

156–161

Un point non lisse isolé (pages 156 à 161)

6.1. Supposons \(\underline\Phi^i_\nu|_V = 0\) pour tout \(i\) — c'est le cas si \(x\) est un point maximal de l'ensemble des points non lisses. Alors (4.4) les cinq schémas se réduisent à quatre : \(R\Gamma_I(\bar V) \xrightarrow{\sim} R\Gamma_I(V_{\bar\eta})\). Le groupe \(\pi\) qui agit est désormais \(I\).

6.2. La donnée fondamentale. L'inclusion \(V_{\bar s} \to \bar V \simeq V_{\bar\eta}\) donne une flèche \[ u : K^\bullet = R\Gamma_I(V_{\bar\eta}, \Lambda_\nu) \longrightarrow (L^\bullet)^{\mathrm{triv}}, \qquad L^\bullet = R\Gamma(V_s, \Lambda_\nu), \] qui, dit la page 157, « domine la structure cohomologique des quatre schémas » : elle permet de retrouver formellement leurs cohomologies. En oubliant l'action, c'est la flèche \(R\Gamma(V_{\bar\eta}) \to R\Gamma(V_s)\) ; en prenant les invariants dérivés, et puisque l'inertie modérée est de dimension cohomologique \(1\) pour \(\ell\), \[ R\Gamma(I, \Lambda_\nu) \simeq \Lambda_\nu \oplus \Lambda_\nu(-1)[-1], \qquad R\Gamma^I(K^\bullet) \simeq R\Gamma(V_\eta, \Lambda_\nu), \] on obtient \(R\Gamma^I(u) = (\alpha, \beta) : R\Gamma(V_\eta) \to R\Gamma(V_s) \oplus R\Gamma(V_s)(-1)[-1]\), où \(\alpha\) est la restriction et \(\beta\) un morphisme de degré \(1\).

Proposition 6.3. (a) \(\underline H^i_{V_s}(\Lambda_{\nu,V}) = 0\) pour \(i \neq 2\) et \(\simeq \Lambda_{\nu,V_s}(-1)\) pour \(i = 2\) : on a la pureté pour \(V_s \subset V\), d'où \(R\Gamma_{V_s}(V, \Lambda_\nu) \simeq R\Gamma(V_s, \Lambda_\nu)(-1)[-2]\). (b) Dans le triangle de Gysin \[ R\Gamma(V_s, \Lambda_\nu)(-1)[-2] \to R\Gamma(V, \Lambda_\nu) \to R\Gamma(V_\eta, \Lambda_\nu) \xrightarrow{\ \partial\ } , \] le bord \(\partial\) s'identifie à \(\beta\) ; donc (corollaire 6.4) le triangle est, à des signes et décalages près, celui du cône de \(\beta\), et \(R\Gamma(V)\) se calcule à partir de la seule donnée \(u\).

Pour (a), la démonstration (page 159) est le calcul \[ i^* Rj_*\Lambda_{V_\eta} \simeq R\Gamma^I\, i^* Rg_*\Lambda_{\bar V} \simeq R\Gamma^I(\Lambda_{V_s})^{\mathrm{triv}} \simeq \Lambda_{V_s} \oplus \Lambda_{V_s}(-1)[-1], \] qui utilise \(\Lambda_{\bar V} \simeq R\bar j_*\Lambda_{V_{\bar\eta}}\) — c'est exactement l'acyclicité locale supposée en 6.1 —, puis les relations habituelles entre \(\underline H^i_{V_s}\) et \(R^i j_*\). Pour (b) : « Compatibilité laissée au rédacteur en forme ! »⁷⁵

6.5. Avec \(n = \dim \mathcal{O}_{X_0,x}\), le théorème 2.3 donne \(H^i(V_{\bar\eta}) = 0\) pour \(i > n\). La suite de Hochschild–Serre \[ 0 \to H^{i-1}(V_{\bar\eta})_I(-1) \to H^i(V_\eta) \to H^i(V_{\bar\eta})^I \to 0 \] en tire \(H^i(V_\eta) = 0\) pour \(i > n+1\), et la suite de Gysin \(\cdots \to H^{i-2}(V_s)(-1) \to H^i(V) \to H^i(V_\eta) \to H^{i-1}(V_s)(-1) \to \cdots\) montre que \(H^{i-2}(V_s)(-1) \to H^i(V)\) est un isomorphisme pour \(i \geq n+3\) et un épimorphisme pour \(i = n + 2\).⁷⁶

6.6–6.7. Le cas d'une intersection complète. Si \(X\) est équidimensionnel de dimension \(n + 1\) et intersection complète en \(x\), on a \[ \begin{cases} H^i(V_s) = 0 & (0 < i \leq n - 2),\\ H^i(V) = 0 & (0 < i \leq n - 1),\\ H^i(V_{\bar\eta}) = 0 & (i \neq 0, n),\\ H^i(V_\eta) = 0 & (i \neq 0, 1, n, n+1), \end{cases} \] et \(H^i(V) \to H^i(V_{\bar\eta}) \to H^i(V_s)\) sont des isomorphismes pour \(i \leq n - 2\), des monomorphismes pour \(i = n - 1\).⁷⁷ Si de plus \(x\) est isolé parmi les points non lisses de \(f\) dans \(X\), \(V_s\) et \(V\) ont la dualité de Poincaré en dimensions \(2n-1\) et \(2n+1\) — ce sont les « entrelacs » de la singularité dans \(X_0\) et dans \(X\) —, d'où \[ H^i(V_s) = 0 \ (i \neq 0, n-1, n, 2n-1), \qquad H^i(V) = 0 \ (i \neq 0, n, n+1, 2n+1), \] avec \(H^{2n-1}(V_s) \simeq \Lambda(-n)\) pour \(n \geq 2\) et \(H^{2n+1}(V) \simeq \Lambda(-n-1)\) pour \(n \geq 1\). C'est sur ces formules que s'arrête le chapitre.

163–168

Exposé VI. Groupe de monodromie et groupe fondamental (pages 163 à 180)

Les énoncés (pages 163 à 167)

Les exposés précédents étudiaient l'action de l'inertie sur les invariants cohomologiques de \(X_{\overline K}\) ; celui-ci étudie son action sur le groupe fondamental. Une note marginale précise qu'il « n'est pas nécessaire pour la compréhension des autres exposés du séminaire ». On suppose \(V\) strictement local, de sorte que \(\pi = I\).

1.1. Pour un groupe profini \(\pi\), \(\pi^{(p')}\) désigne son plus grand quotient premier à \(p\) — le quotient par le sous-groupe engendré par les \(p\)-sous-groupes de Sylow ; sa formation est fonctorielle et induit \(\operatorname{Out}(\pi) \to \operatorname{Out}(\pi^{(p')})\).⁷⁸ Pour \(X_K\) de type fini, géométriquement connexe, muni d'un point géométrique \(\xi\), la suite exacte \(1 \to \pi_1(X_{\overline K}, \xi) \to \pi_1(X_K, \xi) \to I \to 1\) (SGA 1 IX 6.1) définit une action extérieure \[ I \longrightarrow \operatorname{Out}\bigl(\pi_1^{(p')}(X_{\overline K}, \xi)\bigr) . \] Un point rationnel scinde la suite et relève l'action en une vraie action (1.2). Par la suite exacte \(1 \to \pi/Z \to \operatorname{Aut}\pi \to \operatorname{Out}\pi \to 1\), où \(Z\) est le centre :

Lemme 1.2.6. L'image de \(I\) dans \(\operatorname{Aut} \pi_1^{(p')}(X_{\overline K})\) est d'ordre premier à \(p\) si et seulement si son image dans \(\operatorname{Out}\) l'est. On dit alors que \(I\) agit modérément ; la condition ne dépend pas du point rationnel choisi.

Théorème 1.3 (« de l'action essentiellement modérée du groupe de monodromie locale »). Pour \(X_K\) de type fini, \(\pi_1^{(p')}(X_{\overline K}, \xi)\) est topologiquement de type fini, et un sous-groupe ouvert \(I'\) de \(I\) agit modérément sur lui.⁷⁹

Remarque 1.3.1. Un argument de J. P. Murre, utilisant le théorème précédent et la résolution des singularités dans le cas non propre, montre que pour \(X\) de type fini sur un corps séparablement clos, \(\pi_1^{(p')}(X, \xi)\) est de présentation finie comme pro-\(p'\)-groupe.

Théorème 1.4 (« de l'action modérée du groupe de monodromie locale »). Soient \(S\) strictement local, \(\bar X\) projectif et plat de présentation finie sur \(S\), \(Y \subset \bar X\) fermé, \(X = \bar X - Y\), \(U\) un ouvert de \(S\) (resp. \(y\) un point de \(S\)), \(\xi\) un point géométrique de \(X|_U\) (resp. de \(X_y\)). On suppose (a) \(\bar X\), \(Y\) projectifs ; (b) \(Y_s\) rare dans \(\bar X_s\) ; (c) \(\bar X_{\bar s}\) à croisements normaux hors d'une partie de codimension \(\geq 2\) ; (d) \(\bar X|_U\) lisse et \(Y|_U\) diviseur à croisements normaux relatif (resp. \(\bar X_y\) à lieu non lisse de codimension \(\geq 2\)). Alors l'image de \(I = \pi_1(U, \xi)\) (resp. \(\pi_1(y, \xi)\)) dans \(\operatorname{Out}\, \pi_1^{(p')}(X_{\bar y}, \xi)\) — et dans \(\operatorname{Aut}\) quand une section de \(\bar X\) la relève — est un groupe abélien premier à \(p\) ; en dimension relative \(1\), de rang \(\leq \nu\), le nombre de points singuliers de \(X_{\bar s}\).⁸⁰

169–177

Réductions (pages 169 à 177)

2.1. Au cas géométriquement normal. Remplacer \(K\) par une extension finie est permis. Après une extension radicielle, le normalisé \(X_0\) de \(X_{\mathrm{red}}\) est géométriquement normal ; avec \(X_1\), \(X_2\) ses produits fibrés sur \(X\), la méthode de Van Kampen (SGA 1 IX 5) présente \(\pi_1(X_{\overline K})\) par les \(\pi_1\) des composantes de \(X_0\) et des générateurs indexés par les composantes de \(X_1\), une fois choisis des « chemins de descente » entre points rationnels. Ces chemins forment un torseur sous \(\pi_1\), à opérateurs \(I\), qui n'a pas en général de point fixe ; mais après passage au quotient premier à \(p\), sa restriction au \(p\)-groupe \(P\) a une classe nulle dans \(H^1(P, \pi_1^{(p')})\), un pro-\(p\)-groupe n'ayant pas de cohomologie non commutative à coefficients dans un groupe premier à \(p\). On choisit donc des chemins invariants par \(P\) — un « lemme 2.1.1 » qui voulait l'énoncer en général est barré en croix au bas de la page 171 —, et si \(P\) agit trivialement sur les \(\pi_1^{(p')}\) des composantes de \(X_0\), il agit trivialement sur \(\pi_1^{(p')}(X_{\overline K})\).⁸¹

2.2. Au cas affine lisse de dimension 1. Pour \(U_K\) ouvert affine dense, \(\pi_1(U_{\overline K}) \to \pi_1(X_{\overline K})\) est surjectif et \(I\)-équivariant ; puis des sections hyperplanes génériques, comme en II 3, ramènent à la dimension \(1\).

2.3. À la situation 1.4. Pour \(X_K\) courbe, soit \(\bar X_K\) son modèle complet, lisse après extension radicielle. « Une théorie non triviale, qui sera faite dans un exposé ultérieur », fournit, après extension finie, un modèle projectif \(\bar X\) sur \(S\), régulier, dont la fibre spéciale est un diviseur à croisements normaux ; les points à l'infini étant rationnels, ils sont donnés par des sections \(g_i\), et quitte à éclater des points fermés de la fibre spéciale, \(X_s + \sum g_i(S)\) est à croisements normaux. Les \(g_i(S)\) sont alors deux à deux disjoints — trois branches ne peuvent se croiser normalement en dimension \(2\) — et, \(\bar X\) étant régulier, contenus dans l'ouvert de lissité.⁸²

2.4. Réduction de 1.4 à la dimension relative 1. Par récurrence : on plonge \(\bar X\) dans \(\mathbf{P}^r_S\), on remplace \(S\) par le localisé strict \(S'\) de \(S[t_1, \ldots, t_r]\) au point maximal de la fibre spéciale, et l'on coupe par l'hyperplan « générique » de coordonnées \((0, t_1, \ldots, t_r)\). La section \((\bar X^{(1)}, Y^{(1)})\) satisfait encore (a), (b), (c), et (d) au-dessus d'un ouvert \(U'\) de \(S'|_U\) qui se surjecte sur \(U\) ; \(I' \to I\) est surjectif, les \(\pi_1^{(p')}\) des fibres sont invariants (SGA 1 XIII), et par Bertini \(\pi_1^{(p')}(X^{(1)}_{\bar y}) \to \pi_1^{(p')}(X_{\bar y})\) est surjectif. ⁸³

178–180

La dimension relative 1 : torsions autour des points doubles (pages 178 à 180)

On choisit un anneau de Cohen \(W\) de corps résiduel \(k\) et \(W \to A\) (\(S = \operatorname{Spec} A\)) induisant l'identité sur \(k\).

Lemme 3.1 (« qui sera prouvé dans l'exposé VII à l'aide de la théorie de Schlessinger »). Sous les conditions (a), (b), (c) de 1.4, en dimension relative \(1\), il existe \(A_0 \simeq W[[t_1, \ldots, t_N]]\), un couple \((\bar X_0, Y_0)\) sur \(S_0 = \operatorname{Spec} A_0\) satisfaisant à (a), (b), (c) — une courbe projective plate dont la fibre fermée n'a que des points doubles ordinaires, munie de sections —, et \(f : S \to S_0\), tels que : (i) les points singuliers \(x_1, \ldots, x_\nu\) de la fibre fermée correspondent à des diviseurs \(D_i = \operatorname{div}(t_i)\) de \(S_0\), et \(\operatorname{div}(p) + \sum D_i\) est à croisements normaux ; (ii) \(U_0 = S_0 - \bigcup D_i\) est le plus grand ouvert au-dessus duquel \(\bar X_0\) est lisse ; (iii) \((\bar X, Y)\) se déduit de \((\bar X_0, Y_0)\) par \(f\).⁸⁴

3.2. Démonstration de 1.4. \(f\) envoie \(U\) dans \(U_0\), et par l'invariance des \(\pi_1^{(p')}\) (SGA 1 XIII) on se ramène à la situation universelle. Là, par les variantes du lemme d'Abhyankar, le groupe fondamental modéré de \(U_0\), complémentaire d'un diviseur à croisements normaux dans un régulier local, est abélien premier à \(p\) : \[ \pi_1^{\mathrm{t}}(U_0, \xi) \simeq \widehat{\mathbf{Z}}'(1)^{\nu}, \qquad \widehat{\mathbf{Z}}'(1) = \textstyle\prod_{\ell \neq p} \mathbf{Z}_\ell(1), \] un facteur par point double (3.2.1). L'action de \(\pi_1(U_0)\) est donc déterminée par \(\nu\) automorphismes extérieurs \(h_1, \ldots, h_\nu\) de \(\pi_1^{(p')}(X_{\overline K})\) qui commutent, un par point double — ceux qu'on appelle aujourd'hui les torsions de Dehn autour des cercles évanescents. Comme la structure de \(\pi_1^{(p')}\) d'une courbe est connue (SGA 1 XIII), « le problème de déterminer la forme des \(h_i\) devient assez concret. Cela sera fait par Deligne par voie transcendante dans un exposé ultérieur ».

Quand \(S\) est lui-même un trait, l'action extérieure de \(I_t \simeq \widehat{\mathbf{Z}}'(1)\) est donnée par l'homomorphisme \(I_t \to \pi_1^{\mathrm{t}}(U_0) \simeq \widehat{\mathbf{Z}}'(1)^\nu\), qui est \(\lambda \mapsto (n_i\lambda)_i\), avec \(n_i = \operatorname{long}(V/\mathfrak{m}_iV)\) la multiplicité de l'image inverse de \(D_i\) — localement, le point double \(x_i\) a pour équation \(xy = t^{n_i}\). Le générateur agit donc par \[ h = h_1^{n_1} \cdots h_\nu^{n_\nu} . \] « L'entier \(n_i\) mesure, heuristiquement, la vitesse avec laquelle disparaît la singularité \(x_i\) en passant de la fibre spéciale à la fibre générique. » C'est sur cette formule que s'arrête l'exposé.⁸⁵

182–189

Exposé II, § 6. Groupes et algèbres de Lie associés aux représentations \(\ell\)-adiques (pages 182 à 198)

Ces feuillets prolongent la pagination de l'exposé II (II.31 à II.47) ; le mot « Appendice » est biffé dans le titre, et une note marginale ajoute à « Groupes » les mots « analytiques ou algébriques ». On fixe \(\ell\), et les représentations sont sur \(\mathbf{Q}_\ell\).

Le groupe analytique et le groupe algébrique (pages 182 à 189)

6.1–6.3. Une structure de groupe analytique \(\ell\)-adique sur un groupe topologique est essentiellement unique ; tout homomorphisme continu entre tels groupes est analytique, et tout sous-groupe fermé est analytique (Cartan). Pour un groupe profini \(\Pi\), les quotients analytiques forment un système projectif \(\Pi^{\mathrm{an}} = (G_\alpha)\) — deux quotients analytiques en dominent un troisième, sous-groupe fermé de leur produit. Une représentation \(\ell\)-adique de \(\Pi\) a pour image un groupe analytique : la catégorie des représentations de \(\Pi\) est la limite inductive de celles des \(G_\alpha\).

6.4. D'où un système projectif d'algèbres de Lie \(\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}^{\mathrm{an}}(\Pi) = (\mathfrak{g}_\alpha)\) et un foncteur fidèle, non pleinement fidèle, \(\operatorname{Rep}(\Pi) \to \operatorname{Rep}(\mathfrak{g})\). Comme un sous-groupe ouvert a la même algèbre de Lie, on obtient \[ \varinjlim_{U \subset \Pi \text{ ouvert}} \operatorname{Rep}_{\mathbf{Q}_\ell}(U) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Rep}(\mathfrak{g}), \] et c'est une équivalence : toute représentation de dimension finie d'une algèbre de Lie \(\ell\)-adique s'intègre sur un sous-groupe ouvert assez petit, et les morphismes se lisent sur les germes. La catégorie \(\operatorname{Rep}(\Pi)\), même munie du produit tensoriel, ne permet pas de retrouver \(\Pi\) ni \(\mathfrak{g}\), déjà pour \(\Pi = \widehat{\mathbf{Z}}\) (6.5).

6.6. Le groupe pro-algébrique. Pour chaque représentation \(E\), soit \(\widetilde G_E\) le groupe algébrique engendré dans \(\operatorname{GL}(E)\) par l'image de \(\pi\) — son enveloppe algébrique. Les épimorphismes \(E \to F\) donnent des épimorphismes \(\widetilde G_E \to \widetilde G_F\), et \(\pi^{\mathrm{alg}} = (\widetilde G_E)\) est un pro-groupe algébrique affine sur \(\mathbf{Q}_\ell\), avec \[ \operatorname{Rep}_{\mathbf{Q}_\ell}(\pi) \simeq \operatorname{Rep}(\pi^{\mathrm{alg}}), \qquad \pi^{\mathrm{alg}} / (\pi^{\mathrm{alg}})^0 \simeq \pi . \] C'est, en termes d'aujourd'hui, le groupe tannakien de la catégorie \(\operatorname{Rep}_{\mathbf{Q}_\ell}(\pi)\) ; la seconde égalité vient de ce que tout quotient fini de \(\pi\) apparaît, par sa représentation régulière, comme un groupe de composantes.⁸⁶ Avec \(\widetilde{\mathfrak{g}} = \operatorname{Lie}(\pi^{\mathrm{alg}})\), on a \(\varinjlim_U \operatorname{Rep}(U) \simeq \operatorname{Rep}(\widetilde G^0) \to \operatorname{Rep}(\widetilde{\mathfrak{g}})\), la première flèche étant une équivalence — passer à un sous-groupe ouvert revient à passer à la composante neutre — et la seconde seulement pleinement fidèle.

6.6.1–6.6.3. L'homomorphisme canonique \(\pi^{\mathrm{an}} \to \pi^{\mathrm{alg}}\) envoie l'image \(G_E\) de \(\pi\) dans son enveloppe algébrique \(\widetilde G_E\) ; il est « dense », et induit \(\mathfrak{g} \to \widetilde{\mathfrak{g}}\), isomorphisme si et seulement si les algèbres de Lie \(\operatorname{Lie}(G_E)\) sont algébriques, c'est-à-dire si les \(G_E\) sont ouverts dans les \(\widetilde G_E(\mathbf{Q}_\ell)\). Les remarques 6.7 et 6.8 — marquées « laissons tomber » — expliquent pourquoi l'équivalence avec les représentations de \(\widetilde{\mathfrak{g}}\) ne contredit pas l'existence de groupes semi-simples non simplement connexes (leurs revêtements simplement connexes, au sens de Chevalley, apparaissent plus haut dans le système), et attachent à la situation une classe dans \(H^2(\pi, Z'(\mathbf{Q}_\ell))\), \(Z'\) le centre du revêtement simplement connexe.⁸⁷

190–198

Fonctorialité, pro-objets, et le groupe fondamental arithmétique (pages 190 à 198)

6.9. Un homomorphisme \(u : \pi \to \pi'\) induit des flèches compatibles entre les \(\pi^{\mathrm{an}}\), \(\pi^{\mathrm{alg}}\) et leurs algèbres de Lie ; si \(u\) est surjectif, ces flèches le sont ; si l'image de \(u\) est d'indice fini, \(G^0 \to G'^0\), \(\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}'\) et \(\widetilde{\mathfrak{g}} \to \widetilde{\mathfrak{g}}'\) sont surjectifs.⁸⁸

6.10–6.12. Pour un système projectif \(\Pi = (\pi_\lambda)\) de groupes profinis, on forme les systèmes \(\Pi^{\mathrm{an}}\), \(\Pi^{\mathrm{alg}}\), et \(\operatorname{Rep}(\Pi) \simeq \operatorname{Rep}(\Pi^{\mathrm{alg}}) \simeq \varinjlim_\lambda \operatorname{Rep}(\pi_\lambda)\). Attention : \(\Pi^{\mathrm{an}}\) n'est pas \((\varprojlim \pi_\lambda)^{\mathrm{an}}\). Si les \(\pi_\lambda\) sont finis et que la limite est un groupe analytique de dimension \(>0\), \(\Pi^{\mathrm{an}}\) est formé de groupes discrets, « plus petit » (exemple 6.10.1) ; si les \(\pi_\lambda\) sont les sous-groupes d'indice fini d'un \(\pi\) (exemple 6.10.2), la limite est triviale mais \(\Pi^{\mathrm{alg}} = (\pi^{\mathrm{alg}})^0\), « plus grand ». Quand les transitions sont quasi-surjectives (d'image d'indice fini), il en va de même de celles de \(\Pi^{\mathrm{an}}\) et \(\Pi^{\mathrm{alg}}\), et les systèmes d'algèbres de Lie sont stricts.

6.13. Le groupe fondamental arithmétique. Soit \(X = \varprojlim X_\lambda\), limite d'un système filtrant à transitions affines — le cas intéressant est celui où les \(X_\lambda\) sont de type fini sur \(\mathbf{Z}\), le pro-objet étant alors déterminé par \(X\), par exemple pour \(X\) de présentation finie sur un corps. Le pro-groupe \(\Pi = (\pi_1(X_\lambda, \xi))_\lambda\) « mérite d'être appelé le pro-groupe fondamental arithmétique de \(X\) », \(\pi_1^{\mathrm{arith}}(X, \xi)\) ; ses représentations \(\ell\)-adiques sont la limite inductive des \(\mathbf{Q}_\ell\)-faisceaux lisses sur les \(X_\lambda\). On a \(\pi_1(X, \xi) \simeq \varprojlim \Pi\), mais \(\pi_1(X,\xi)\) ne détermine pas \(\Pi\) : pour le spectre d'un corps algébriquement clos, \(\pi_1\) est trivial et \(\Pi\) ne l'est jamais.

6.14–6.15. Pour \(X\) intègre et normal, les transitions sont quasi-surjectives. Et si \(\ell\) est inversible sur \(X\), \(\Pi\) n'est jamais « discret » : \(\dim \mathfrak{g} > 0\). En caractéristique \(p\), \(X \to \operatorname{Spec}\mathbf{F}_p\) induit une quasi-surjection sur \(\widehat{\mathbf{Z}}\), dont l'enveloppe \(\widehat{\mathbf{Z}}^{\mathrm{alg}}\) est de dimension infinie ; en caractéristique nulle, on remplace \(\widehat{\mathbf{Z}}\) par le plus grand quotient abélien \(\mathbf{Z}_\ell^*\) de \(\pi_1(\operatorname{Spec}\mathbf{Z}[1/\ell])\).

6.16. Pourquoi ce pro-groupe. Tous les faisceaux \(\ell\)-adiques lisses qui interviennent en pratique sont « de nature arithmétique » : ils proviennent d'un \(X_\lambda\), et de façon unique à passage à un \(X_\mu\) près. Exemples : les \(R^i f_*\mathbf{Q}_\ell\) d'un morphisme propre et lisse, avec les morphismes définis par des correspondances algébriques ; les modules de Tate d'un schéma abélien \(A\) sur \(X\), avec \[ \operatorname{End}(A) \otimes \mathbf{Q}_\ell \hookrightarrow \operatorname{End}_\Pi\bigl(T_\ell(A_\xi) \otimes \mathbf{Q}_\ell\bigr). \tag{6.15.1} \]

Remarque 6.16. Une des conséquences des conjectures de Tate est que (6.15.1) est bijectif pour \(X\) normal intègre ; on se ramène au cas du spectre d'un corps algébriquement clos, ce qui « montre à quel point (même dans un cas réputé "géométrique") l'opération de \(\Pi\) est loin d'être triviale ». C'est prouvé par Tate pour un corps fini.⁸⁹

Remarque 6.17. « On s'est rendu compte que \(\Pi\) lui-même, ou \(G = \Pi^{\mathrm{an}}\), \(\widetilde G = \Pi^{\mathrm{alg}}\), \(\mathfrak{g}\), \(\widetilde{\mathfrak{g}}\), sont démesurément grands et ils échappent pratiquement à notre contrôle. Leur rôle est surtout théorique, via leurs représentations \(\ell\)-adiques. » Dans chaque problème, on n'examine que les représentations qui se factorisent par un \(\widetilde G_E\) fixé, enveloppe algébrique de l'image d'un \(\pi_1(X_\lambda)\), et le second membre de (6.15.1) s'écrit \(\operatorname{End}_{G_E}(E) = \operatorname{End}_{\widetilde G_E}(E)\) — et, quand le \(\pi_1\) arithmétique de \(X\) est trivial, \(\operatorname{End}_{\mathfrak{g}_E}(E)\). La rédaction s'arrête au milieu de la page 198.

199–209

Appendice. Les poids (pages 199 à 208)

Une feuille de titre (page 199) porte, de sa main : « SGA 7 [IX ?] appendice. Applications des conjectures standard sur les cycles algébriques ».⁹⁰ Les feuillets qui suivent appliquent les poids — les valeurs absolues des valeurs propres du Frobenius, entiers de Weil — à trois présentations de la cohomologie. Ce qui y est conjectural, à la date, est la pureté de la cohomologie des variétés projectives et lisses, qu'on tire des conjectures standard ; elle est devenue un théorème avec la démonstration des conjectures de Weil par Deligne (1974). Les feuillets supposent implicitement un corps de base fini, ou un trait à corps résiduel fini, pour que le Frobenius ait un sens.⁹¹

1) Un diviseur à croisements normaux. Pour \(Y = \bigcup Y_\alpha\) propre, à composantes et intersections \(Y_\sigma\) projectives et lisses, la suite spectrale de Mayer–Vietoris \[ E_2^{pq} = H^p\bigl(\sigma \mapsto H^q(Y_\sigma, \mathbf{Q}_\ell)\bigr) \Longrightarrow H^{p+q}(Y, \mathbf{Q}_\ell) \] a son terme \(E_2^{pq}\) pur de poids \(q\) ; les \(d_r\), \(r \geq 2\), joignant des poids différents, sont nuls, et \(H^i(Y)\) est filtré par les \(E_2^{p,i-p}\), de poids \(0, 1, \ldots, i\).⁹² Une note marginale : avec les conjectures standard, les dimensions des \(E_2^{pq}\) sont indépendantes de \(\ell\).

2) Un schéma lisse non propre. Soit \(X = X' - Y\), \(X'\) projectif et lisse, \(Y\) à croisements normaux à composantes lisses. (a) Dans la suite \[ \cdots \to H^{i-1}(Y) \to H^i_c(X) \to H^i(X') \to H^i(Y) \to H^{i+1}_c(X) \to \cdots, \] où \(H^{i-1}(Y)\) est de poids \(\leq i-1\) et \(H^i(X')\) pur de poids \(i\), le noyau de \(H^i_c(X) \to H^i(X')\) est la partie de poids \(\leq i - 1\) de \(H^i_c(X)\) ; il ne dépend donc pas de la compactification choisie, non plus que le noyau et le conoyau de \(\varphi^i : H^i(X') \to H^i(Y)\). La filtration par les poids de \(H^i(Y)\) induit sur \(\operatorname{Coker}\varphi^i\) une filtration dont les quotients sont les défauts d'exactitude de \(H^i(X') \to \prod H^i(Y_\alpha) \to \prod H^i(Y_{\alpha\beta})\) et les \(E_2^{p,q}\), \(p \geq 1\) ; elle aussi est indépendante de la résolution, et c'est la filtration par les poids.⁹³ (b) Par dualité, la suite spectrale de cohomologie locale le long de \(Y\), \[ E_2^{pq} = H^p\bigl(Y, \underline H^q_Y(\mathbf{Q}_{\ell, X'})\bigr), \qquad \underline H^q_Y(\mathbf{Q}_\ell) \simeq \bigoplus_{\alpha_1 < \cdots < \alpha_{q-1}} \mathbf{Q}_{\ell, Y_{\alpha_1 \cdots \alpha_{q-1}}}(-(q-1)) \quad (q \geq 2), \] a des termes de poids \(p + 2q - 2\), d'où \(d_r = 0\) pour \(r \geq 3\) ; et son \(E_3\) est, à twist près, dual de l'\(E_2\) de (a).⁹⁴ (c) La suite spectrale de Leray de \(g : X \hookrightarrow X'\), \[ E_2^{pq} = H^p(X', R^q g_*\mathbf{Q}_\ell) = \bigoplus_{\alpha_1 < \cdots < \alpha_q} H^p(Y_{\alpha_1 \cdots \alpha_q})(-q) \ (q \geq 1), \qquad E_2^{p0} = H^p(X'), \] — par la formule \(R^q g_* \simeq \bigwedge^q \bigoplus_\alpha \mathbf{Q}_\ell(-1)_{Y_\alpha}\) de III 4.5 — a des termes purs de poids \(p + 2q\), d'où encore \(d_r = 0\) pour \(r \geq 3\) ; il reste à calculer \(E_3 = E_\infty\), c'est-à-dire les \(d_2\), qui sont des morphismes de Gysin, duaux des restrictions. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui la suite spectrale des poids.⁹⁵

3) Sur un trait (pages 206 et 208). Soient \(X\) régulier propre sur \(S\), \(Y \supset X_0\) à croisements normaux, \(U = X - Y\), \(g : U \to X\) ; pour simplifier \(Y = X_0\), \(U = X_\eta\). La suite spectrale de Leray \[ E_2^{pq} = H^p(X_0, R^q g_*\mathbf{Q}_\ell|_{X_0}) \Longrightarrow H^{p+q}(X_\eta), \] \[ E_2^{pq} = \bigoplus_{\alpha_1 < \cdots < \alpha_q} H^p(Y_{\alpha_1 \cdots \alpha_q})(-q) \ (q \geq 1), \qquad E_2^{p0} = H^p(X_0), \] a des termes de poids \(p + 2q\) pour \(q \geq 1\), et \(\leq p\) pour \(q = 0\). Pour \(d_r : E_r^{pq} \to E_r^{p+r, q-r+1}\) : si \(q - r + 1 \neq 0\), les poids \(p + 2q\) et \(p + 2q - r + 2\) diffèrent dès que \(r \neq 2\) ; si \(q - r + 1 = 0\), il faut \(p + 2q \leq p + r = p + q + 1\), soit \(q \leq 1\), donc \(r \leq 2\). Donc \(d_r = 0\) pour \(r \geq 3\), et \(H^i\) est filtré par \(E^{i,0}, E^{i-1,1}, \ldots, E^{0,i}\), de poids \(i, i+1, \ldots, 2i\).⁹⁶

Modulo l'identification des \(d_2\) à des morphismes canoniques « de nature motivique » — « compatibilité à vérifier » —, la dimension des \(E_\infty^{pq}\) serait indépendante de \(\ell\), et les polynômes caractéristiques du Frobenius inverse à coefficients entiers indépendants de \(\ell\). Par la suite exacte \[ 0 \to H^{i-1}(X_{\bar\eta})_I(-1) \to H^i(X_\eta) \to H^i(X_{\bar\eta})^I \to 0, \] on en tirerait les mêmes informations sur les invariants et les coinvariants de l'inertie — dimensions indépendantes de \(\ell\), polynômes caractéristiques entiers indépendants de \(\ell\) — par récurrence sur \(i\). La page 208 s'arrête sur « et l'hyp. de récurrence… ».⁹⁷