Fonds Grothendieck, cote n° 33, pages 161–180

la page continue un argument commencé avant ce lot : les classes \overline{\alpha^{0}}, \overline{\beta^{0}}, les correspondances T, T' et l'accouplement \langle \xi^{0}, \eta^{0}\rangle sont introduits plus haut, hors du lot.

en marge gauche, le diagramme T \times_{Z} T' \to T, T' \to X \times_{S} Y = Z :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & T \times_{Z} T' \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ T \arrow[dr] & & T' \arrow[dl] \\ & X \times_{S} Y = Z & \end{tikzcd}

À vrai dire, si \overline{T} est l'image de T dans Z = X \times_{S} Y, on veut que \overline{\alpha^{0}} « vive » dans ~~l'image~~ R^{0}\Gamma_{\overline{T}}\bigl(R\mathcal{H}om(\mathrm{pr}_{1}^{*}(F), \mathrm{pr}_{2}^{!}(G))\bigr) = R^{0}\Gamma_{X \times_{S} Y}\bigl(R\underline{\Gamma}_{\overline{T}}\, R\mathcal{H}om( \ , \ )\bigr) et de même que \overline{\beta^{0}} « vive » ~~dans l'image~~ dans R^{0}\Gamma_{\overline{T'}}\bigl(R\mathcal{H}om(\mathrm{pr}_{2}^{*}(G), \mathrm{pr}_{1}^{!}(F))\bigr) = R^{0}\Gamma_{X \times_{S} Y}\bigl(R\underline{\Gamma}_{\overline{T'}}, R\mathcal{H}om \ldots\bigr)

Ainsi, on peut définir leur cup-produit \overline{\alpha^{0}} \cup \overline{\beta^{0}} \in R^{0}\Gamma_{\overline{T} \cap \overline{T'}}\, \underline{K}^{\bullet}_{X \times_{S} Y} \simeq R^{0}\Gamma_{\overline{T} \cap \overline{T'}}\, K^{\bullet}_{\overline{T} \times_{S} \overline{T'}} l'indice du dernier K^{\bullet} se lit \overline{T} \times_{S} \overline{T'} ; la lecture de l'indice S est incertaine.

Cela permet donc de définir, si \overline{T} \cap \overline{T'} = \bigcup_{\alpha} S_{\alpha} ~~réunion~~ les S_{\alpha} ouverts deux à deux disjoints (en nb fini), de définir des composantes canoniques (\overline{\alpha^{0}} \cup \overline{\beta^{0}})_{\alpha} et de même \langle \xi^{0}, \eta^{0}\rangle_{S_{\alpha}} telles que \langle \xi^{0}, \eta^{0}\rangle = \sum_{\alpha} \langle \xi^{0}, \eta^{0}\rangle_{S_{\alpha}} .

Exemple. Supposons \overline{T} \cap \overline{T'} = \emptyset. Alors le nb de Lefschetz est nul.

Compléments dualité

titre pris de la page 163, une couverture qui ne porte que ces mots, de sa main, en haut à droite.

en haut à droite, au crayon : codim inj F \leq 2 \dim \operatorname{Supp} F + \operatorname{Sup}_{x \in X} \dim \operatorname{inj} F_{\bar{x}}

Appendices possibles

(1) Majoration de la codim. inj. via la dim. inj. des fibres. Dim. coh. stricte d'un préschéma (en particulier d'un pr. alg.)

(Consulter notes de Verdier) au crayon, sous la ligne : \text{c-dim-inj}(F) \leq \operatorname{Sup}_{x \in X,\, F_{\bar{x}} \neq 0} \bigl[2 \dim \mathcal{O}_{X,x} + \dim \operatorname{inj} F_{\bar{x}}\bigr]

(2) Cas d'un Anneau A de torsion loc. ct et premier aux car. résiduelles, et R^{\bullet}_{X} complexe de faisceaux de A_{X}-modules loc. cts, dualisant fibre par fibre (sur X régulier …)

NB. On peut globaliser, et considérer des schémas relatifs sur (X_{\text{ét}}, (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_{X}) …

~~(3) Applications aux ths. de Lefschetz cohomologiques locaux et globaux [Pourrait donner un article séparé …]~~ l'alinéa (3) est barré de traits obliques.

Sujets de recherches

a)\Lambda^{i} dans catégories dérivées, \lambda-anneaux et structures annexes b)Dualité analytique c)Descente cohomologique et applications (finitude analytique et …) d)Künneth pour complexes quasi-cohérents e)Dualité pour les complexes d'op. différentiels, et site stratifiant … f)~~Profondeurs cohomologiques et homotopiques, et ths de Lefschetz locaux et globaux.~~

une accolade réunit b) et c), une autre d) et e) ; f), sous un trait horizontal, est barré de traits obliques.

Validité des théorèmes de dualité

1) Dualité globale \operatorname{Hom}(F_{\bullet}, R^{!}f(G^{\bullet})) \xleftarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(R_{!}f(F_{\bullet}), G^{\bullet}) f \colon (X, A_{X}) \to (Y, A_{Y}) morphisme compactifiable et lissifiable de préschémas, annelés par A_{X} et A_{Y}, faisceaux d'anneaux ~~de torsion~~ tels que pour tt pt géom. \bar{y} de Y, \exists\, n_{\bar{y}} tel que n_{\bar{y}} A_{Y,\bar{y}} = 0 ~~et un anneau~~ a n_{\bar{y}} premier à \operatorname{car} k(\bar{y}).

2) Dualité locale F_{\bullet} \xrightarrow{\ \sim\ } D_{X} D_{X}(F_{\bullet}) isom., D_{X}(F_{\bullet}) à coh. constructible,

X préschéma ~~loc~~ noeth. régulier, annelé par A_{X} faisceau d'anneaux loc. ct à fibres ~~noethériens~~ des anneaux de torsion noethériens, premiers aux car. résiduelles, R^{\bullet}_{X} un complexe de faisceaux de A_{X}-Modules loc. constants, et dualisant sur les fibres ~~géométriques~~ D_{X}(F_{\bullet}) = R\mathcal{H}om(F_{\bullet}, A_{X}), \qquad F_{\bullet} \in \operatorname{Ob} D^{b}(X) dans un cadre en bas à droite : + résolution et pureté sur X …

Énoncés plausibles (sur préschéma excellent de dim finie). D_{X} \ \begin{cases} D_{c}(X)^{\circ} \xrightarrow{\ \approx\ } D_{c}(X) \\ D_{c}^{-}(X)^{\circ} \xrightarrow{\ \approx\ } D_{c}^{+}(X) \\ D_{c}^{+}(X)^{\circ} \xrightarrow{\ \approx\ } D_{c}^{-}(X) \\ D_{c}^{b}(X) \xrightarrow{\ \approx\ } D_{c}^{b}(X) \end{cases}

F_{\bullet} \in \operatorname{Ob} D_{c}^{-}(X), G^{\bullet} = D_{X}(F_{\bullet}) \in \operatorname{Ob} D_{c}^{+}(X) je dis que

(*) F_{\bullet} de Tor-dim finie \Longleftrightarrow G^{\bullet} de pseudo-dim. inj. finie [i.e. \exists\, N tel que pour tt G P ~~\in \operatorname{Ob} D_{c}~~ parfait constructible, \mathcal{E}xt^{i}(P, G^{\bullet}) = 0 pour i > N]

(**) \Longleftrightarrow fibres G^{\bullet}_{\bar{x}} sont de dim. inj. finie (sur les A-Modules)

N.B. Si X est de dim. coh. finie, on sait que G^{\bullet} donné ; G^{\bullet} pseudo-dim. inj. finie \Longleftrightarrow G^{\bullet} de dim. injective finie. un trait vertical au crayon borde ce N.B. à gauche.

Dém. de (*). L'implication \Rightarrow formelle, en utilisant que R^{\bullet}_{X} est de pseudo-dim. injective finie, et R\mathcal{H}om(P_{\bullet}, D_{X}(F_{\bullet})) \simeq R\mathcal{H}om(P_{\bullet}, R\mathcal{H}om(F_{\bullet}, R^{\bullet}_{X})) \simeq R\mathcal{H}om(P_{\bullet} \overset{L}{\otimes} F_{\bullet}, R^{\bullet}_{X}) Pour l'implication inverse, on utilise la bidualité pour F_{\bullet} \overset{L}{\otimes} P …

N.B. Si les fibres A_{\bar{x}} sont Gorenstein, alors en admettant l'équivalence (**), on veut que si F_{\bullet} \in \operatorname{Ob} D_{c}(X), Tor-dim finie \Longleftrightarrow pseudo-dim inj. finie, et D_{X} induit une anti-autoéquivalence dans la catégorie desdits complexes …

en diagonale, en haut à gauche : Généraliser : aux faisceaux d'anneaux finis

à vérifier !

Théorème. Soit X lisse de type fini sur le corps k, \dim X \leq n, A = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}, N premier à car. k, A F et G deux A- Modules. Supposons que F soit plat = G : fibres injectives (= plates, dans le cas particulier envisagé !). Alors

(i) Si F constructible, alors \operatorname{Ext}^{i}(F, G) = 0 pour i > 2n.

(ii) Si k est séparablement clos, alors ~~pareillement~~ \operatorname{Ext}^{i}(\cdot\,, G) = 0 \quad \text{pour } i > n, \qquad \operatorname{Ext}^{i}(F, G) = 0 \quad \text{pour } i > 2n . le premier argument du premier \operatorname{Ext}^{i} est surchargé (un X ou un A corrigé) ; la borne « i > n » est d'une lecture incertaine.

Dém. (i) se ramène par passage à la limite à (ii). Dans (ii) on peut supposer k alg. clos, et ~~un argument général~~ il suffit de prouver supposons d'abord G : fibres injectives. la première relation. Un argument général de récurrence sur la formule longueur F et : on simplifie , partant d'un générateur de la forme i_{!}(A_{X'}), où X' affine et X' \to X étale, on d'un ouvert affine U de X. Car on se ramène au cas où X = U est aussi affine [car on peut remplacer X par U, G par G|U] l'ordre des insertions interlinéaires de ce paragraphe, séparées du texte par deux traits obliques, est incertain ; la page 173 en donne la suite.

suite de la page 171 (la page 172 est le verso d'un tapuscrit étranger). et F constructible. De plus, par passage à la limite, on peut supposer G constructible [Attention, est-il vrai que G est limite ind. filtrante des faisceaux const. à fibres injectives ??]. un « ? » en marge devant « filtrante »

page de calculs épars sur des suites spectrales ; on transcrit les formules dans l'ordre de la page et on décrit les figures. \mathcal{E}xt^{p}(F, G) \operatorname{Ext}^{n}(i_{!}(F), G) \simeq \operatorname{Ext}^{n}(F, Ri^{!}(G)) \operatorname{Ext}^{*}(F, Ri^{!}(G)) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = \operatorname{Ext}^{p}(F, R^{q}i^{!}(G)) Y \hookrightarrow X \operatorname{Ext}^{p}(F, \underline{R^{q}i^{!}G}) un triangle rectangle, l'hypoténuse redoublée.

\mathcal{E}xt^{p}, avec au-dessus les indices 2d, 2d-1, 2d-2, …, 0 : \mathcal{E}xt^{0}, \mathcal{E}xt^{1}\ \mathcal{E}xt^{2} \,/\, \mathcal{E}xt^{3}\ \mathcal{E}xt^{4} \,/ \quad \cdots \quad /\, \mathcal{E}xt^{2d-1}, \mathcal{E}xt^{2d} H^{p}(X, \mathcal{E}xt^{q}) \qquad \text{\struck{$H^{q}$}}\ \underline{H}^{n}(X, \mathcal{E}xt^{0}),\ H^{n-1}\mathcal{E}xt^{1}, p \leq n \leq 2d \qquad n-1 \leq 2(d-1) \qquad n-3 \leq 2(d-2) \text{\struck{$n-1 \leq 2d-1$}} \qquad n-2 \leq 2(d-1) \qquad n-4 \leq 2(d-2) \qquad \underline{2d-1} deux axes, le long de l'axe horizontal un segment de 0 à 2d marqué de points ; puis un triangle sous une droite de pente -1, strié de traits horizontaux, l'abscisse 2d marquée. \text{\struck{$\operatorname{Ext}^{*}(F, G) \simeq$}} R\mathcal{H}om(F, \text{\struck{$D$}}G) \simeq R\mathcal{H}om(F \otimes DG, K_{X}) \operatorname{Ext}^{n}(X; F, G) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = \operatorname{Ext}^{p}(X; \mathcal{E}xt^{q}(X; G, A_{X}), A_{X}) \operatorname{Ext}^{2d}(X; F, G) un rectangle dont le coin supérieur droit est marqué 2d ; deux axes (p, q), des points sur l'axe horizontal jusqu'à 2d. \operatorname{Ext}^{*}(X; F, A_{X}) \Longleftarrow H^{p}(X, \mathcal{E}xt^{q}(F, A_{X})) \qquad 2d H^{2d}(X, un segment marqué 2d à son extrémité droite.

nouvelle page de calculs, de la même facture que la page 175. \mathcal{E}xt^{i}(F, G) \qquad \text{\struck{$F$}}\ DG R\mathcal{H}om(F, G) \simeq R\mathcal{H}om(F, DDG) \simeq R\mathcal{H}om(F \overset{L}{\otimes} DG, R^{\bullet}_{X}) F \otimes DG \qquad -2d \longrightarrow 0 \qquad -2d \longrightarrow 0 \mathcal{E}xt^{i} \mathcal{H}_{i}(F \otimes DG) de dim \leq i D(F \overset{L}{\otimes} DG \qquad \mathcal{E}xt^{i}(F, G) Encadré : \mathcal{E}xt^{*}(F, G) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = \mathcal{E}xt^{p}(F \otimes \mathcal{E}xt^{q}(G, A_{X}), A_{X}) l'indice inférieur de E^{pq} se lit mal (1 ou 2) ; l'exposant de \mathcal{E}xt^{p} porte une rature, et celui de \mathcal{E}xt^{q} semble surchargé en -q.

axes (p, q) ; un rectangle de sommets 0 et 2d, sa diagonale fortement tracée, la droite p + q = 0 prolongée au-delà ; au-dessus, une courte inscription biffée, q^{4} = q \geq q.

F \otimes \mathcal{E}xt^{2d}(G, A) ~~\mathcal{E}xt^{p}(~~

supp \mathcal{E}xt^{-q}(G, A_{X}) de codim. \geq -q ~~de dim. \leq~~, donc \mathcal{E}xt^{p}( \ , A_{X}) = 0 si p < -q, i.e. p + q < 0. \text{\struck{$\mathcal{E}xt^{*}$}}\ \mathcal{E}xt^{2d}(F, G) \simeq \mathcal{E}xt^{2d}(F \otimes \mathcal{H}om(G, A_{X}), A_{X})

page de calculs ; la suite exacte de cohomologie locale et sa duale sont mises en regard, terme à terme, par des croix. \cdots \to R^{i}\Gamma_{x}(F) \to R^{i}\Gamma_{X}(F) \to R^{i}\Gamma_{U}(F) \to R^{i+1}\Gamma_{x}(F) \to \cdots R^{-i}\Gamma_{X}(DF) \leftarrow R^{-i}\Gamma_{x}DF \leftarrow R^{-i-1}\Gamma_{U}(DF) \leftarrow R^{-i-1}\Gamma_{x}DF \leftarrow \cdots sous trois des termes de la seconde ligne, des flèches verticales vers A ; sous la première, l'annotation « dualité parfaite triviale (via pureté …) » ; sous les deux autres, réunies par des arcs, « dualité parfaite ?? ».

f^{!}R\mathcal{H}om(F^{\bullet}, G^{\bullet}) f^{!}D = Df^{*}

R\mathcal{H}om(F, G) \qquad D(F \otimes DG) \qquad R\mathcal{H}om(G, DF) \simeq D(G \overset{L}{\otimes} F) R\mathcal{H}om(F, D(DG)) \qquad D(F \otimes DG) \simeq DR\mathcal{H}om(F, G) dans la dernière formule, un D est ajouté sous G ; la lecture de cette correction est incertaine. D(\mathcal{H}^{i}_{x}(F)) \longrightarrow \text{\struck{$D$}}\ \mathcal{H}^{-i}_{x}(DF)_{x} \qquad F \to DDF \text{\struck{$\mathcal{H}^{i}_{x}(F) \to$}} \qquad \mathcal{H}^{i}(F)_{x} \longrightarrow D_{x}\,\underline{\mathcal{H}^{-i}_{x}(DF)} \qquad D_{x} \text{\struck{$\mathcal{H}$}}\, D_{x}(\mathcal{H}^{i}(F)_{x}) des intervalles ]\ \ [ et ]\!-\!-\!-\![ ; un axe portant M, 0, N ; une barre de longueur -2n ; en marge gauche F \otimes DG, -2n, 0.

Tor-dim. F_{\bullet} concentrée dans [N, M] \Updownarrow loc. inj.-dim. D(F_{\bullet}) concentrée dans [-2n + N, M]

Inj.-dim. F concentrée dans [P, Q] \Updownarrow Tor-dim. DF concentrée dans [P - 2n, Q] DF \overset{L}{\otimes} G \simeq DR\mathcal{H}om(G, F), \text{\struck{$DF \otimes DDG \simeq D(F \otimes D$}} \qquad [P, Q] les bornes [-2n + N, M] et [P - 2n, Q] sont transcrites telles qu'écrites ; l'asymétrie entre les deux équivalences n'est pas commentée sur la page.