Fonds Grothendieck, cote n° 33, pages 141–160 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-10-03
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)33
SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Pages 141 à 160 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 8 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.1965-[vers 1971]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/33.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
la page commence au milieu d'un argument venu des pages précédentes (majoration de l'amplitude cohomologique de R_!f), qui ne figure pas dans ce lot.
R_!f(L_\bullet) est de tor-dim. majorée par [N-2d, M]. (utilisant déjà finitude !)
Résultat formel de Künneth : .
R_!f(L_\bullet)\overset{L}{\otimes} L'_\bullet \;\simeq\; R_!f\bigl(L_\bullet \overset{L}{\otimes} Lf^*(L'_\bullet)\bigr) \qquad 2.entre \overset{L}{\otimes} et L'_\bullet, un symbole biffé.
L'_\bullet est de tor-dim. majorée par [N', M'], Lf^*(L'_\bullet) itou, L_\bullet\overset{L}{\otimes} Lf^*(L'_\bullet) est à coh. de degrés majorés par [N+N', M+M'], donc R_!f(\;\;) est à coh. de degrés bornés par (conditionhomologique !) [N+N'-2d, M+M'], ce qui est la relation qu'on voulait prouver.
suivent trois lignes biffées d'un trait et d'une boucle, en partie illisibles ; on y lit encore supposons, conditions pour simplifier, et, dans un cadre, Conditions.
(32) Formule de Lefschetz-Verdier
le titre et le numéro cerclé 32 sont de sa main, en tête de page.
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X\times_S Y \arrow[dl, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[dr, "\mathrm{pr}_2"] \arrow[dd, "h"] & \\
F_\bullet\;\; X \arrow[dr, "f"'] & & Y\;\; G_\bullet \arrow[dl, "g"] \\
& S &
\end{tikzcd}
(a)
\struck{\text{Ext}}\;\mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \simeq R\Gamma_{X\times_S Y}\,\mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr)\begin{aligned}
&\wr\;\; \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(\mathrm{pr}_{2!}\,\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), G_\bullet\bigr)\\
&\wr\;\; \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(g^*f_!(F_\bullet), G_\bullet\bigr)\\
&\wr\;\; \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(f_!(F_\bullet), g_*(G_\bullet)\bigr)
\end{aligned}correspondances cohomologiques de degré 0 de (X,F_\bullet) dans (Y,G_\bullet) sur S …
Supposons que f et g soient propres, alors les deux expressions précédentes s'accouplent dans \mathrm{Hom}^{\circ}\,Rf_*\mathrm{Hom}^{\circ}(f_*(F_\bullet), f_!(F_\bullet)) et dans \mathrm{Hom}^{\circ}(g_*(G_\bullet), g_!(G_\bullet)) (si S discret, et F_\bullet et G_\bulletde tor-dim. finie) , donc dans A_S (par « nombresdeLefschetz » ou « traces »).
les lignes qui suivent sont barrées de longs traits obliques ; elles restent lisibles en partie.
Cet accouplement est induitd'un accouplement de nature locale(par le faitquef et gsoient propres)
l'indice de \tau_{\mathcal{L}_\bullet} surcharge un premier indice biffé.
Cet accouplement induit un homomorphisme \mathcal{H}^{0}\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet)\bigr) \longrightarrow A_X
qui s'explicite, lorsque \mathcal{L}_\bullet est platloc. libre de type fini en chaque degré, comme
\varphi \longmapsto \sum (-1)^i\, \mathrm{Tr}\, \varphi_i
où \varphi = (\varphi_i) est un homomorphisme de complexes \mathcal{L}_\bullet \to \mathcal{L}_\bullet. [Regardons en effet
Supposons maintenant que \mathcal{L}_\bullet, \mathcal{M}_\bulletsoient de Tor-dimension finie et pseudo-cohérents, considérons les couplages évidents
\begin{aligned}
\mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{M}_\bullet) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{M}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) &\xrightarrow{\;\varphi_{\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{M}_\bullet}\;} \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) & (u,v)&\mapsto vu\\
\mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{M}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) &\longrightarrow \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{M}_\bullet, \mathcal{M}_\bullet) & (u,v)&\mapsto uv
\end{aligned}au second facteur de la deuxième ligne, la page porte bien (\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet), là où l'on attend (\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{M}_\bullet).
alors les on a
\tau_{\mathcal{L}_\bullet}\,\varphi_{\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{M}_\bullet} = \tau_{\mathcal{M}_\bullet}\,\varphi_{\mathcal{M}_\bullet,\mathcal{L}_\bullet}^{\,\mathrm{sym}}
et ses accouplements induisent des\mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{M}_\bullet) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{M}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) \longrightarrow A_X
identifient chacun des deux faisceauxP_\bullet, Q_\bullet au premiermembre au « dual » de l'autre
P_\bullet \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om(Q_\bullet, A_X), \qquad Q_\bullet \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om(P_\bullet, A_X^\bullet)
Du point de vue valeurs, si u^{(i)} : \mathcal{L}_\bullet \to \mathcal{M}_\bullet[i], v^{(-i)} : \mathcal{M}_\bullet \to \mathcal{L}_\bullet[-i], donc v^{(-i)}u^{(i)} : \mathcal{L}_\bullet \to \mathcal{M}_\bullet.
sic : on attend \mathcal{L}_\bullet \to \mathcal{L}_\bullet.
et
\langle u^{(i)}, v^{(-i)}\rangle = \sum \mathrm{Tr}\,(uv)^{\varepsilon}_i\,(-1)^i
(c) Dans le cas où, f et g propres, supposons que S est de dimension finie discret, F_\bullet, G_\bullet à coh. constructible à Tor-dim. finie, donc finie, j'ai dit
que \mathrm{Hom}^{\circ}(Rf_*(F_\bullet), Rg_*(G_\bullet)) et \mathrm{Hom}^{\circ}(Rg_*(G_\bullet), Rf_*(F_\bullet))ou \mathbb{R}\mathrm{Hom}(-,\cdot)\times\mathbb{R}\mathrm{Hom}(\cdot,-) sont duals l'un de l'autre, etjedis que cette dualité est induite par un
accouplement
\begin{aligned}
&\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr)\\
&\qquad\longrightarrow K^\bullet_{X\times_S Y} = h^!(A_S)
\end{aligned}
qu'on définit ainsi (sans hyp. de propreté sur f, g !) On a, si Z = X\times_S Y
\mathrm{pr}_2^!(G_\bullet) \longrightarrow D_Z\,\mathrm{pr}_2^*(D_Y G_\bullet)au-dessus de \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet), une accolade porte D_Y(D_Y(G_\bullet)) ; sous la flèche : « iso si D_Y(G_\bullet) à coh. constr. ». Le G_\bullet surcharge un F_\bullet biffé ; devant D_Z, un symbole biffé illisible.
Il suffit de décrire maintenant
D_Z\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y(G_\bullet))\bigr) \longrightarrow D_Z\,\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*G_\bullet, \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr)
i.e. un morphisme\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) \longrightarrow \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y(G_\bullet))
Or le premier membre s'envoie , comme , dans
D_Z\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_1^*(D_X F_\bullet)\bigr) il faut définirD_Z\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_1^* D_X(F_\bullet)\bigr) \longrightarrow \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y(G_\bullet))sous cette flèche, une flèche courbe en retour, de droite à gauche., définissons.
Pour ceci, , et
isomorphisme ! les deux lignes précédentes sont soulignées d'un double trait.
On isomorphismedéfinition
(\ast)\quad \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^* D_Y G_\bullet \overset{L}{\otimes} \mathrm{pr}_2^* G_\bullet \overset{L}{\otimes} \mathrm{pr}_1^* D_X(F_\bullet) \longrightarrow K^\bullet_Zle signe (\ast) est cerclé ; il renvoie à la marge. Devant K^\bullet_Z, un symbole biffé illisible.
Il faut voirquedeuxdansK^\bullet_Z\begin{aligned}
\mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathrm{pr}_1^*F_\bullet, \mathrm{pr}_2^!G_\bullet) &\to D_Z\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y G_\bullet)\bigr)\\
\mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathrm{pr}_2^*G_\bullet, \mathrm{pr}_1^!F_\bullet) &\to D_Z\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_1^*(D_X F_\bullet)\bigr)
\end{aligned}Plus. (Note écrite le long du bord gauche, avec un signe (\ast) cerclé.)
On a\begin{aligned}
\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\otimes\mathrm{pr}_1^*(D_X F_\bullet) &\longrightarrow \mathrm{pr}_1^*(R^\bullet_X)\\
\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet)\otimes\mathrm{pr}_2^* D_Y G_\bullet &\longrightarrow \mathrm{pr}_2^*(R^\bullet_Y)
\end{aligned}d'oùlepremiermembre de (\ast). .
dans
\mathrm{pr}_1^*(R^\bullet_X)\otimes\mathrm{pr}_2^*(R^\bullet_Y)
il faut l'envoyer canoniquement ( dans) R^\bullet_Z. Ceci devraitpareffet, p. ex.s'iltrivialsiX ou Ylisse/k.
[, . Que \to \sim K^\bullet_Z ]. Cet définit bien l'accouplement voulu, d'où un
Même si X ou Ylisse sur k, desrésolutionsdessingularités !
Formulecruciale.
(\ast\ast)\quad \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\otimes\mathrm{pr}_2^*(D_Y G_\bullet) \longrightarrow D_Z\bigl(\mathrm{pr}_2^* G_\bullet\otimes\mathrm{pr}_1^* D_X(F_\bullet)\bigr)le signe (\ast\ast) est cerclé, et surcharge peut-être autre chose.
Le théorème fondamental de Verdier : Cethomomorphismeest un isomorphisme.
au bas de la page, un réseau de lignes obliques entrecroisées (une rangée de losanges) sur lequel il a écrit en travers : « Dire », « X, Ylisses », « F_\bullet, G_\bullet », « revientàdire … d'habitude », « i_!(A_U), j_!(A_V) », « i : U\to X, j : V\to X », « U, V », « ». Le dessin et l'écriture paraissent superposés ; l'ordre de lecture n'est pas sûr.
L'existence d'un homom. dans ce cas généraldonc.
(1)\quad R'_X \overset{L}{\boxtimes} R'_Y \xrightarrow{\;\sim\;} R'_{X\times Y}
et du fait que l'accouplement de Verdier donne un isomorphisme
(2)\quad F_\bullet \overset{L}{\boxtimes} D_Y G_\bullet \xrightarrow{\;\sim\;} D_Z\bigl(D_X F_\bullet \overset{L}{\boxtimes} G_\bullet\bigr)dans (2), un symbole biffé devant F_\bullet et un autre devant D_X F_\bullet.
résulte delaformule générale cohomologiquesuivante :
« Künneth local »
\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(F_\bullet \overset{L}{\boxtimes} G_\bullet,\, P_\bullet \overset{L}{\boxtimes} Q_\bullet\bigr) \xleftarrow{\;\simeq\;} \mathbb{R}\mathcal{H}om(F_\bullet, P_\bullet) \overset{L}{\boxtimes} \mathbb{R}\mathcal{H}om(G_\bullet, Q_\bullet)R(f\times g)^!\bigl(P_\bullet \overset{L}{\boxtimes} Q_\bullet\bigr) \simeq Rf^!(P_\bullet) \overset{L}{\boxtimes} Rg^!(Q_\bullet)la première formule est encadrée ; deux traits obliques la relient à la seconde. Dans la seconde, la place des signes ! n'est pas sûre.
valable si F_\bullet, G_\bullet sont deTor-dim.finie\in \mathrm{Ob}\,D^{-} à coh. constructible, et P_\bullet, Q_\bullettor-dim. (A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, n premier à car. k),
finiefaudrait valable si onpassepar les schémas U, V (la résolution des singularités, et aux précédentssur eux, étant possible : O.K. en car. 0, eten car. pquelc. si U, V de dim.
\leq 2). N.B. Dans la démonstration de (1), onseramène au cas oùU, Vdes schémas lisses
qui contiennent X, Y — ce qui introduit des
dimensions parasites, qui peuvent compliquer les questions de résolution. Il serait préférable (si X, Y ne sont pas eux-mêmes lisses) de pouvoir utiliser localement des finishomomorphismesX\to X', Y\to Y', avec X' (Y') lisse de dimension égaleà\dim X (\leq \dim Y)
et des morphismesquigarantissentl'interprétation de \varphi^!, \psi^!despardesmorphismes finis \varphi, \psi,
en marge gauche :
X \xrightarrow{\;\varphi\;} X', Y \xrightarrow{\;\psi\;} Y' (flèches verticales).
on a bien
(\varphi\times\psi)^!\;\text{\struck{$\varphi^!$}}\;\bigl(P_\bullet \boxtimes Q_\bullet\bigr) \simeq \varphi^!(P_\bullet)\boxtimes\psi^!(Q_\bullet)ce qui montre\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(F_\bullet\boxtimes G_\bullet,\, P_\bullet\boxtimes Q_\bullet\bigr) \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om(F_\bullet, P_\bullet)\overset{L}{\boxtimes}\mathbb{R}\mathcal{H}om(G_\bullet, Q_\bullet)pourF_\bullet = \varphi_*(A_X), G_\bullet = \psi_*(A_Y) —-
(d) Cela posé
On a donc trouvé un accouplement (dorénavant : la restriction)
\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) \longrightarrow K^\bullet_{X\times_S Y}D'où, pour\xi^\circ \in \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}(\ldots)et\eta^\circ \in \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}(\ldots)un élément\xi^\circ\cup\eta^\circ \in \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}(K^\bullet_{X\times_S Y})dans la ligne biffée, deux traits courbes renvoient les parenthèses vides aux deux facteurs de l'accouplement ci-dessus.
à la deuxième ligne, f_* et g_* surchargent des \mathrm{pr} biffés ; à droite, le \mathbb{R} devant K^\bullet est peut-être biffé. Le signe \wr est écrit au-dessus de chacun des deux facteurs.
qui ne doit être autre que l'accouplement déjà connu relatif à P_\bullet \simeq \mathrm{pr}_{1*}(F_\bullet) et Q_\bullet \simeq \mathrm{pr}_{2*}(G_\bullet).
En particulier, si
\begin{aligned}
\xi^\circ &\in \mathbb{R}^0\mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) = \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}\,\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr)\\
\eta^\circ &\in \mathbb{R}^0\mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) = \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}\,\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr)
\end{aligned}
alors
\xi^\circ\cup\eta^\circ \in \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}\bigl(K^\bullet_{X\times_S Y}\bigr) \xrightarrow{\;\mathrm{Tr}_h\;} A.
et on aura
\boxed{\;\mathrm{Tr}(\xi^\circ\cup\eta^\circ) = \langle \xi^\circ, \eta^\circ\rangle\;}
\qquad \Bigl(= \sum_i \mathrm{Tr}\bigl((\xi^\circ)^{(i)}(\eta^\circ)^{(-i)}\bigr)(-1)^i\Bigr)si on représente f(F_\bullet), g(G_\bullet) par des complexes plats de type fini en chaque degré.
En particulier, si X = Y, F_\bullet = G_\bullet, prenant \eta^\circ =\delta_{X,F}ontrouve\boxed{\;\mathrm{Tr}\bigl(\xi^\circ\cup\delta^\bullet_{X,F}\bigr) = \sum (-1)^i\,\mathrm{Tr}\,[\xi^\circ]^i\;}sous la formule encadrée, deux petites marques indistinctes.
C'est la formule de Lefschetz-Verdier.
(e) sous le (e) cerclé, un petit « 2 ».
Considérons un morphisme
u : T \longrightarrow X\times_S Y
explicité par deux morphismes
u_1 : T\to X, \qquad u_2 : \text{\struck{$T$}}\;T\to Y
On a alors un morphisme évident
\mathbb{R}u_*\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(u_1^*(F_\bullet), u_2^!(G_\bullet))\bigr) \longrightarrow \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr)
Car u_i = \mathrm{pr}_i u, donc le premier membre est
dans le premier terme, u^* surcharge un \mathrm{pr} biffé. Le signe vertical de la colonne de gauche est un \wr incliné ; on le donne tel quel.
Donc tout élément \mathrm{Corr}^\circ(X,F)\alpha^\circ \in \mathbb{R}\mathrm{Hom}^\circ\bigl(u_1^*(F_\bullet), u_2^!(G_\bullet)\bigr) = \mathbb{R}^0\Gamma_T\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(u_1^*(F_\bullet), u_2^!(G_\bullet))\bigr)
définit un élément
\overline{\alpha^\circ} \in \mathrm{Corr}(X,F;\, Y,G)
De même, un élément \beta^\circ de \mathbb{R}\mathcal{H}om^\circ(u_1^*(F_\bullet), u_2^!(G_\bullet)) définit un élément
\overline{\beta^\circ} \in \mathrm{Corr}(Y,G;\, X,F).pour \beta^\circ la page répète les mêmes arguments que pour \alpha^\circ (les indices de u ne sont pas sûrs) ; on attendrait (u_2^*(G_\bullet), u_1^!(F_\bullet)). L'argument se poursuit au-delà de ce lot.