Cote n° 33, pages 141–160

Cote n° 33 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

141la page commence au milieu d'un argument venu des pages précédentes (majoration de l'amplitude cohomologique de $R_!f$), qui ne figure pas dans ce lot.

$R_!f(L_\bullet)$ est de tor-dim. majorée par $[N-2d, M]$ […]. (utilisant […] […] déjà finitude !)

Résultat formel de Künneth : […]. \[ R_!f(L_\bullet)\overset{L}{\otimes} L'_\bullet \;\simeq\; R_!f\bigl(L_\bullet \overset{L}{\otimes} Lf^*(L'_\bullet)\bigr) \qquad 2. \] entre $\overset{L}{\otimes}$ et $L'_\bullet$, un symbole biffé.

$L'_\bullet$ est de ⌜tor-⌝dim. majorée par $[N', M']$, $Lf^*(L'_\bullet)$ itou, $L_\bullet\overset{L}{\otimes} Lf^*(L'_\bullet)$ est à coh. de degrés majorés par $[N+N', M+M']$, donc $R_!f(\;\;)$ est à coh. de degrés bornés par (condition homologique !) $[N+N'-2d, M+M']$, ce qui est la relation qu'on voulait prouver.

[…] suivent trois lignes biffées d'un trait et d'une boucle, en partie illisibles ; on y lit encore supposons, conditions pour simplifier, et, dans un cadre, Conditions.

143

(32) Formule de Lefschetz-Verdier

le titre et le numéro cerclé 32 sont de sa main, en tête de page.

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X\times_S Y \arrow[dl, "\mathrm{pr}_1"'] \arrow[dr, "\mathrm{pr}_2"] \arrow[dd, "h"] & \\
F_\bullet\;\; X \arrow[dr, "f"'] & & Y\;\; G_\bullet \arrow[dl, "g"] \\
 & S &
\end{tikzcd}

(a) \[ \struck{\text{Ext}}\;\mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \simeq R\Gamma_{X\times_S Y}\,\mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \] \[ \begin{aligned} &\wr\;\; \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(\mathrm{pr}_{2!}\,\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), G_\bullet\bigr)\\ &\wr\;\; \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(g^*f_!(F_\bullet), G_\bullet\bigr)\\ &\wr\;\; \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(f_!(F_\bullet), g_*(G_\bullet)\bigr) \end{aligned} \] correspondances cohomologiques de degré 0 de $(X,F_\bullet)$ dans $(Y,G_\bullet)$ sur $S$ …

\[ \begin{aligned} \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) &\simeq \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(f_!(F_\bullet), g_*(G_\bullet)\bigr)\\ \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) &\simeq \mathrm{Hom}^{\circ}\bigl(g_!(G_\bullet), f_*(F_\bullet)\bigr) \end{aligned} \]

Supposons que $f$ et $g$ soient propres, alors les deux expressions précédentes s'accouplent dans $\mathrm{Hom}^{\circ}\,Rf_*$ $\mathrm{Hom}^{\circ}(f_*(F_\bullet), f_!(F_\bullet))$ et dans $\mathrm{Hom}^{\circ}(g_*(G_\bullet), g_!(G_\bullet))$ (si $S$ discret, ⌜et $F_\bullet$ et $G_\bullet$ de tor-dim. finie⌝) […], donc […] dans $A_S$ (par « nombres de Lefschetz » ou « traces »).

les lignes qui suivent sont barrées de longs traits obliques ; elles restent lisibles en partie.

Cet accouplement est induit d'un accouplement de nature locale (par le fait que $f$ et $g$ soient propres)

\[ \text{\struck{par}}\quad \mathbb{R}\mathcal{H}om^{\bullet}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) \longrightarrow h^!(A_S) \] qu'on définit ainsi […]

le passage depuis « Cet accouplement » est encadré, et l'encadré est en partie biffé ; la définition annoncée est reprise p. 147.

145(b) $\mathcal{L}_\bullet$ un complexe pseudo-cohérent de Tor-dimension finie. Alors

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\begin{tikzcd}
A_X \arrow[r, "\varepsilon"] \arrow[drr, "\tau_{\mathcal{L}_\bullet}"'] & \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) & \check{\mathcal{L}}_\bullet \overset{L}{\otimes} \mathcal{L}_\bullet \arrow[l, "\simeq"'] \arrow[d, "\tau"] \\
 & & A_X
\end{tikzcd}

l'indice de $\tau_{\mathcal{L}_\bullet}$ surcharge un premier indice biffé.

Cet accouplement induit un homomorphisme […] \[ \mathcal{H}^{0}\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet)\bigr) \longrightarrow A_X \] qui s'explicite, lorsque $\mathcal{L}_\bullet$ est plat ⌜loc. libre de type fini⌝ […] en chaque degré, comme \[ \varphi \longmapsto \sum (-1)^i\, \mathrm{Tr}\, \varphi_i \] où $\varphi = (\varphi_i)$ est […] un homomorphisme de complexes $\mathcal{L}_\bullet \to \mathcal{L}_\bullet$. [Regardons en effet

$\varphi_i \in \check{\mathcal{L}}_i\otimes\mathcal{L}_i$, on doit les accoupler

Supposons maintenant que $\mathcal{L}_\bullet$, $\mathcal{M}_\bullet$ ⌜soient⌝ de Tor-dimension finie et pseudo-cohérents, considérons les couplages évidents \[ \begin{aligned} \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{M}_\bullet) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{M}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) &\xrightarrow{\;\varphi_{\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{M}_\bullet}\;} \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) & (u,v)&\mapsto vu\\ \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{M}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) &\longrightarrow \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{M}_\bullet, \mathcal{M}_\bullet) & (u,v)&\mapsto uv \end{aligned} \] au second facteur de la deuxième ligne, la page porte bien $(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet)$, là où l'on attend $(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{M}_\bullet)$.

alors les […] on a \[ \tau_{\mathcal{L}_\bullet}\,\varphi_{\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{M}_\bullet} = \tau_{\mathcal{M}_\bullet}\,\varphi_{\mathcal{M}_\bullet,\mathcal{L}_\bullet}^{\,\mathrm{sym}} \]

147et ses accouplements induisent des […] \[ \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{L}_\bullet, \mathcal{M}_\bullet) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathcal{M}_\bullet, \mathcal{L}_\bullet) \longrightarrow A_X \] identifient chacun des deux faisceaux $P_\bullet$, $Q_\bullet$ au premier membre au « dual » de l'autre \[ P_\bullet \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om(Q_\bullet, A_X), \qquad Q_\bullet \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om(P_\bullet, A_X^\bullet) \]

Du point de vue valeurs, si $u^{(i)} : \mathcal{L}_\bullet \to \mathcal{M}_\bullet[i]$, $v^{(-i)} : \mathcal{M}_\bullet \to \mathcal{L}_\bullet[-i]$, donc […] $v^{(-i)}u^{(i)} : \mathcal{L}_\bullet \to \mathcal{M}_\bullet$. sic : on attend $\mathcal{L}_\bullet \to \mathcal{L}_\bullet$. et \[ \langle u^{(i)}, v^{(-i)}\rangle = \sum \mathrm{Tr}\,(uv)^{\varepsilon}_i\,(-1)^i \]

(c) Dans le cas où, ⌜$f$ et $g$ propres⌝, supposons que $S$ est de dimension finie discret, $F_\bullet$, $G_\bullet$ à coh. constructible ⌜à Tor-dim. finie⌝ […], ⌜donc […] finie⌝, j'ai dit que $\mathrm{Hom}^{\circ}(Rf_*(F_\bullet), Rg_*(G_\bullet))$ et $\mathrm{Hom}^{\circ}(Rg_*(G_\bullet), Rf_*(F_\bullet))$ ⌜ou $\mathbb{R}\mathrm{Hom}(-,\cdot)\times\mathbb{R}\mathrm{Hom}(\cdot,-)$ […]⌝ sont duals l'un de l'autre, et je dis que cette dualité est induite par un

accouplement \[ \begin{aligned} &\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr)\\ &\qquad\longrightarrow K^\bullet_{X\times_S Y} = h^!(A_S) \end{aligned} \] qu'on définit ainsi (sans hyp. de propreté sur $f$, $g$ !) On a, si $Z = X\times_S Y$

149\[ \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet) \longrightarrow D_Z\,\mathrm{pr}_2^*(D_Y G_\bullet) \] au-dessus de $\mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)$, une accolade porte $D_Y(D_Y(G_\bullet))$ ; sous la flèche : « iso si $D_Y(G_\bullet)$ à coh. constr. ». Le $G_\bullet$ surcharge un $F_\bullet$ biffé ; devant $D_Z$, un symbole biffé illisible.

d'où \[ \begin{aligned} \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) &\longrightarrow \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), D_Z\,\mathrm{pr}_2^*(D_Y G_\bullet)\bigr)\\ &\;\wr\;\; D_Z\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y G_\bullet)\bigr) \end{aligned} \]

Il suffit de décrire maintenant \[ D_Z\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y(G_\bullet))\bigr) \longrightarrow D_Z\,\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*G_\bullet, \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) \] i.e. un morphisme […] \[ \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) \longrightarrow \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y(G_\bullet)) \] Or le premier membre s'envoie […], comme […] […], dans \[ D_Z\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_1^*(D_X F_\bullet)\bigr) \] […] il faut définir \[ D_Z\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_1^* D_X(F_\bullet)\bigr) \longrightarrow \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y(G_\bullet)) \] sous cette flèche, une flèche courbe en retour, de droite à gauche. […], définissons […] […].

Pour ceci, […], […] et […] […]

[…] isomorphisme […] […] ! les deux lignes précédentes sont soulignées d'un double trait.

On […] ⌜[…]⌝ […] […] isomorphisme […] définition

[…] […] […]

\[ (\ast)\quad \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^* D_Y G_\bullet \overset{L}{\otimes} \mathrm{pr}_2^* G_\bullet \overset{L}{\otimes} \mathrm{pr}_1^* D_X(F_\bullet) \longrightarrow K^\bullet_Z \] le signe $(\ast)$ est cerclé ; il renvoie à la marge. Devant $K^\bullet_Z$, un symbole biffé illisible.

Il faut voir que […] deux […] dans $K^\bullet_Z$ […] \[ \begin{aligned} \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathrm{pr}_1^*F_\bullet, \mathrm{pr}_2^!G_\bullet) &\to D_Z\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_2^*(D_Y G_\bullet)\bigr)\\ \mathbb{R}\mathcal{H}om(\mathrm{pr}_2^*G_\bullet, \mathrm{pr}_1^!F_\bullet) &\to D_Z\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet)\overset{L}{\otimes}\mathrm{pr}_1^*(D_X F_\bullet)\bigr) \end{aligned} \] Plus […]. (Note écrite le long du bord gauche, avec un signe $(\ast)$ cerclé.)

151On a […] \[ \begin{aligned} \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\otimes\mathrm{pr}_1^*(D_X F_\bullet) &\longrightarrow \mathrm{pr}_1^*(R^\bullet_X)\\ \mathrm{pr}_2^*(G_\bullet)\otimes\mathrm{pr}_2^* D_Y G_\bullet &\longrightarrow \mathrm{pr}_2^*(R^\bullet_Y) \end{aligned} \] d'où le premier membre de $(\ast)$. […] […].

[…] dans \[ \mathrm{pr}_1^*(R^\bullet_X)\otimes\mathrm{pr}_2^*(R^\bullet_Y) \] il faut l'envoyer ⌜canoniquement⌝ ([…] dans) $R^\bullet_Z$. Ceci devrait par effet […] […] […] […], p. ex. s'il […] trivial si $X$ ou $Y$ lisse$/k$.

[[…] […], […] […]. Que […] […] […] $\to \sim K^\bullet_Z$ ]. Cet […] définit bien l'accouplement voulu, d'où un […]

Même si $X$ ou $Y$ lisse sur $k$, […] […] […] des résolutions des singularités […] !

Formule cruciale. \[ (\ast\ast)\quad \mathrm{pr}_1^*(F_\bullet)\otimes\mathrm{pr}_2^*(D_Y G_\bullet) \longrightarrow D_Z\bigl(\mathrm{pr}_2^* G_\bullet\otimes\mathrm{pr}_1^* D_X(F_\bullet)\bigr) \] le signe $(\ast\ast)$ est cerclé, et surcharge peut-être autre chose.

Le théorème fondamental de Verdier : Cet homomorphisme est un isomorphisme.

au bas de la page, un réseau de lignes obliques entrecroisées (une rangée de losanges) sur lequel il a écrit en travers : « Dire », « $X$, $Y$ lisses », « $F_\bullet$, $G_\bullet$ », « revient à dire … d'habitude », « $i_!(A_U)$, $j_!(A_V)$ », « $i : U\to X$, $j : V\to X$ », « $U$, $V$ », « […] ». Le dessin et l'écriture paraissent superposés ; l'ordre de lecture n'est pas sûr.

153L'existence d'un homom. dans ce cas général donc. \[ (1)\quad R'_X \overset{L}{\boxtimes} R'_Y \xrightarrow{\;\sim\;} R'_{X\times Y} \] et du fait que l'accouplement de Verdier donne un isomorphisme \[ (2)\quad F_\bullet \overset{L}{\boxtimes} D_Y G_\bullet \xrightarrow{\;\sim\;} D_Z\bigl(D_X F_\bullet \overset{L}{\boxtimes} G_\bullet\bigr) \] dans (2), un symbole biffé devant $F_\bullet$ et un autre devant $D_X F_\bullet$. résulte de la formule générale cohomologique suivante :

« Künneth local »

\[ \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(F_\bullet \overset{L}{\boxtimes} G_\bullet,\, P_\bullet \overset{L}{\boxtimes} Q_\bullet\bigr) \xleftarrow{\;\simeq\;} \mathbb{R}\mathcal{H}om(F_\bullet, P_\bullet) \overset{L}{\boxtimes} \mathbb{R}\mathcal{H}om(G_\bullet, Q_\bullet) \] \[ R(f\times g)^!\bigl(P_\bullet \overset{L}{\boxtimes} Q_\bullet\bigr) \simeq Rf^!(P_\bullet) \overset{L}{\boxtimes} Rg^!(Q_\bullet) \] la première formule est encadrée ; deux traits obliques la relient à la seconde. Dans la seconde, la place des signes $!$ n'est pas sûre.

valable si $F_\bullet$, $G_\bullet$ sont de Tor-dim. finie ⌜$\in \mathrm{Ob}\,D^{-}$⌝ […] à coh. constructible, et $P_\bullet$, $Q_\bullet$ tor-dim. ($A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $n$ premier à car. $k$), finie faudrait valable si on passe par les schémas $U$, $V$ (la résolution des singularités, et aux précédents sur eux, […] étant possible : O.K. en car. 0, et en car. $p$ quelc. si $U$, $V$ de dim. $\leq 2$). N.B. Dans la démonstration de (1), on se ramène au cas où $U$, $V$ des schémas lisses qui contiennent $X$, $Y$ — ce qui introduit des

155dimensions parasites, qui peuvent compliquer les questions de résolution. Il serait préférable […] (si $X$, $Y$ ne sont pas eux-mêmes lisses) de […] ⌜pouvoir⌝ utiliser localement des ⌜finis⌝ homomorphismes $X\to X'$, $Y\to Y'$, avec $X'$ ($Y'$) lisse de dimension […] égale à $\dim X$ ($\leq \dim Y$) et des morphismes qui garantissent l'interprétation de $\varphi^!$, $\psi^!$ des par des morphismes finis $\varphi$, $\psi$,

en marge gauche : $X \xrightarrow{\;\varphi\;} X'$, $Y \xrightarrow{\;\psi\;} Y'$ (flèches verticales).

on a bien \[ (\varphi\times\psi)^!\;\text{\struck{$\varphi^!$}}\;\bigl(P_\bullet \boxtimes Q_\bullet\bigr) \simeq \varphi^!(P_\bullet)\boxtimes\psi^!(Q_\bullet) \] ce qui montre \[ \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(F_\bullet\boxtimes G_\bullet,\, P_\bullet\boxtimes Q_\bullet\bigr) \simeq \mathbb{R}\mathcal{H}om(F_\bullet, P_\bullet)\overset{L}{\boxtimes}\mathbb{R}\mathcal{H}om(G_\bullet, Q_\bullet) \] pour $F_\bullet = \varphi_*(A_X)$, $G_\bullet = \psi_*(A_Y)$ —-

157(d) Cela posé

On a donc trouvé un accouplement (dorénavant : la restriction […] […] […]) \[ \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \times \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) \longrightarrow K^\bullet_{X\times_S Y} \] D'où, pour $\xi^\circ \in \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}(\ldots)$ et $\eta^\circ \in \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}(\ldots)$ un élément $\xi^\circ\cup\eta^\circ \in \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}(K^\bullet_{X\times_S Y})$ dans la ligne biffée, deux traits courbes renvoient les parenthèses vides aux deux facteurs de l'accouplement ci-dessus.

Appliquant $\mathbb{R}\Gamma_{X\times_S Y}$, on trouve un accouplement

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \times \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & \mathbb{R}K^\bullet_{X\times_S Y} \arrow[d] \\
\mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}\bigl(f_*(F_\bullet), g_*(G_\bullet)\bigr) \times \mathbb{R}\mathrm{Hom}^{\bullet}\bigl(g_*(G_\bullet), f_*(F_\bullet)\bigr) \arrow[r] & A_S
\end{tikzcd}

à la deuxième ligne, $f_*$ et $g_*$ surchargent des $\mathrm{pr}$ biffés ; à droite, le $\mathbb{R}$ devant $K^\bullet$ est peut-être biffé. Le signe $\wr$ est écrit au-dessus de chacun des deux facteurs.

qui ne doit être autre que l'accouplement déjà connu relatif à $P_\bullet \simeq \mathrm{pr}_{1*}(F_\bullet)$ et $Q_\bullet \simeq \mathrm{pr}_{2*}(G_\bullet)$.

En particulier, si \[ \begin{aligned} \xi^\circ &\in \mathbb{R}^0\mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) = \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}\,\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr)\\ \eta^\circ &\in \mathbb{R}^0\mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) = \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}\,\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_2^*(G_\bullet), \mathrm{pr}_1^!(F_\bullet)\bigr) \end{aligned} \] alors \[ \xi^\circ\cup\eta^\circ \in \mathbb{R}^0\Gamma_{X\times_S Y}\bigl(K^\bullet_{X\times_S Y}\bigr) \xrightarrow{\;\mathrm{Tr}_h\;} A. \] et on aura \[ \boxed{\;\mathrm{Tr}(\xi^\circ\cup\eta^\circ) = \langle \xi^\circ, \eta^\circ\rangle\;} \qquad \Bigl(= \sum_i \mathrm{Tr}\bigl((\xi^\circ)^{(i)}(\eta^\circ)^{(-i)}\bigr)(-1)^i\Bigr) \] si on représente […] $f(F_\bullet)$, $g(G_\bullet)$ par des complexes plats de type fini en chaque degré.

159En particulier, si $X = Y$, $F_\bullet = G_\bullet$, prenant $\eta^\circ = $ […] $\delta_{X,F}$ on trouve \[ \boxed{\;\mathrm{Tr}\bigl(\xi^\circ\cup\delta^\bullet_{X,F}\bigr) = \sum (-1)^i\,\mathrm{Tr}\,[\xi^\circ]^i\;} \] sous la formule encadrée, deux petites marques indistinctes.

C'est la formule de Lefschetz-Verdier.

(e) […] sous le (e) cerclé, un petit « 2 ».

Considérons un morphisme \[ u : T \longrightarrow X\times_S Y \] explicité par deux morphismes \[ u_1 : T\to X, \qquad u_2 : \text{\struck{$T$}}\;T\to Y \] On a alors un morphisme évident \[ \mathbb{R}u_*\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(u_1^*(F_\bullet), u_2^!(G_\bullet))\bigr) \longrightarrow \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \] Car $u_i = \mathrm{pr}_i u$, donc le premier membre est

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\mathbb{R}u_*\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(u^*\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), u^!(\mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)))\bigr) \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, no head, "\wr"] & \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), u_*u^!(\mathrm{pr}_2^!(G_\bullet))\bigr) \arrow[d, "\varepsilon"] \\
\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(u_*u^*\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr) \arrow[r] & \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathrm{pr}_1^*(F_\bullet), \mathrm{pr}_2^!(G_\bullet)\bigr)
\end{tikzcd}

dans le premier terme, $u^*$ surcharge un $\mathrm{pr}$ biffé. Le signe vertical de la colonne de gauche est un $\wr$ incliné ; on le donne tel quel.

Donc tout élément $\mathrm{Corr}^\circ(X,F)$ \[ \alpha^\circ \in \mathbb{R}\mathrm{Hom}^\circ\bigl(u_1^*(F_\bullet), u_2^!(G_\bullet)\bigr) = \mathbb{R}^0\Gamma_T\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(u_1^*(F_\bullet), u_2^!(G_\bullet))\bigr) \] définit un élément \[ \overline{\alpha^\circ} \in \mathrm{Corr}(X,F;\, Y,G) \] De même, un élément $\beta^\circ$ de $\mathbb{R}\mathcal{H}om^\circ(u_1^*(F_\bullet), u_2^!(G_\bullet))$ définit un élément \[ \overline{\beta^\circ} \in \mathrm{Corr}(Y,G;\, X,F). \] pour $\beta^\circ$ la page répète les mêmes arguments que pour $\alpha^\circ$ (les indices de $u$ ne sont pas sûrs) ; on attendrait $(u_2^*(G_\bullet), u_1^!(F_\bullet))$. L'argument se poursuit au-delà de ce lot.