(3) Nous en savons assez (formules de Künneth, dualité globale) pour faire la
Lefschetz « cuite et pressée », en redescendant sur terre. Il semble
que pour les courbes, on récupère par des arguments élémentaires
(sans utiliser les singularités) des Lefschetz plus , par
faisceaux d'irrégularités \rightsquigarrow rationalité
des fonctions L.
(30) Généralités sur Lefschetz.
Lefschetz Lefschetz-Verdier
Préliminaires à la formule de
Classiquement, on a une variété compacte X, un endomorphisme f,
d'où ( k) des
endomorphismes des f^{(i)} des H^i(X), et la formule dit
\sum (-1)^i \operatorname{Tr} f^{(i)} = \text{nb des pts fixes de } f
avec grains de sel pour la dernière notion (si les pts fixes ne
sont pas isolés, il faut une multiplicité ).
Walters
En fait, les généralisations et passages à la
formule interprétant le X
), et Verdier a par
une méthode et les un
faisceau généralisé des
coefficients \pm quelconques (
interprétés). Les très simples dans des cas
— maintenant un
« élémentaire » (variété, coefficients
localement constants), résultant de la
dualité de Poincaré
de la . Dans le cadre des
schémas (utilisant des outils un peu plus
profonds) Verdier sans autres , et nous donnerons
nous donnerons en détail le
« cas élémentaire », qui nous permettra ensuite
des limites de cas élémentaires de coefficients non constants
algébriques, en demandant seulement
explicitement les faisceaux locaux.
Une difficulté technique préliminaire dans la de
tous les , est que pour
coefficient A = \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, p. ex. A =
\mathbb{Z}/\ell^2\mathbb{Z} qui des
limites . [Je ne saurais pas
tel : dès que n'est pas
\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, on ne sait pas des résultats plus précis
que « le nb des pts fixes mod \ell » — ainsi pour le cas
il suffirait de cohom. des
faisceaux cst !].
On a alors les H^i(X, F) ne sont plus libres sur
A, et les \operatorname{Tr} f^{(i)} ne sont pas définis.
Une méthode, rédigée dans (exposé
Bourbaki) de tourner la difficulté, est de
projection
des faisceaux comme
\mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z} ( ) en
passage de coefficients tels
\mathbb{Z}_\ell,
sont que en termes d'ensembles finis les modules
de type fini sur le dit A définis — et la formule de
Lefschetz (formules de calcul de ) de
la sous
exacte : Cependant, que formule
par la conjugaison la
limite, formules de Lefschetz par les
écrites par diagrammes des de coeff.
\mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z}.
Comme l'a souligné , pour écrire une
(pour un A = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} donné) il y a lieu
de remplacer les H^i(X, A_X) (disons) par le
système des \mathbf{R}\Gamma_X(A_X) qui lui
donne naissance, et les systèmes des f^{(i)} par
l'endomorphisme \mathbf{R}\Gamma_X(f) complexe
défini par « ».
Pour ceci, considérons le formalisme général suivant
: un complexe L_\bullet sur un anneau commutatif A
(pas nécessairement noethérien). Nous supposons
L_\bullet \in \operatorname{ob} D^-(A), et disons que L_\bullet est
« pseudo-cohérent » s'il est isomorphe dans D^-(A) à un complexe qui est
d'A-modules, ce qui équivaut au
fait que les H_i(L_\bullet) de type fini de type fini
en tout degré ; ( ) «
dimension finie » s'il est isomorphe
plat qui
\otimes. [Dans les complexes
Variante des
catégories triangulées]. Les complexes
pseudo-cohérents de Tor-dimension finie sont ceux qui sont
isomorphes par ex. dans D^b(A) à des complexes qui
sont projectifs de type fini en chaque degré, et nuls en
presque tous degrés.
Si u est un endomorphisme d'un tel L_\bullet, on peut lui
associer une trace
dite
\operatorname{Tr}_* u \in A
de telle façon que α) si L_\bullet est projectif de type
fini en chaque degré, et nul
, alors
\operatorname{Tr}_* u = \sum (-1)^i \operatorname{Tr} u_i ,
β) \operatorname{Tr}_* u est « stable par
isomorphismes » dans D(A).
D'ailleurs, on peut être aussi
explicite par l'ensemble des conditions
les deux lettres sont permutées sur la page par une flèche : le b)
écrit en premier est renvoyé après le a).
b) « additivité » pour une suite exacte
;
a) si L_\bullet est réduit au degré 0
, alors \operatorname{Tr}_* u = \operatorname{Tr} u.
Linéarité D'autres propriétés formelles,
en outre :
c) \operatorname{Tr} uv = \operatorname{Tr} vu,
d) \operatorname{Tr}\bigl(u \overset{\mathbf{L}}{\otimes} v\bigr)
= (\operatorname{Tr} u)(\operatorname{Tr} v),
qui se ramènent aux formules correspondantes
connues par ailleurs.
L'unicité d'une fonction \operatorname{Tr} satisfaisant aux
conditions α) et β) est claire. L'existence
stable par isomorphismes, — qui semble
(et l'additivité et par l'additivité habituelle)
des pseudo-cohérents) se vérifie
l'additivité
tensoriel
trivialement.
Pour usage ultérieur, on peut présenter aussi la
définition de \operatorname{Tr}_* u comme suit,
termes . Si L_\bullet est
ps. coh. et de Tor-dim. finie, alors
\check{L}_\bullet \simeq \mathbf{R}\mathcal{H}om(L_\bullet, A),
posons — ;
\check{L}_\bullet est aussi ps.
\operatorname{ob} D^-(A), pseudo-cohérent
et de Tor-dim. finie isomorphisme
\mathbf{R}\mathcal{H}om^\bullet(M_\bullet, L_\bullet) \simeq
\check{M}_\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} L_\bullet ,
et l'on voit que \mathbf{R}\mathcal{H}om(M_\bullet, L_\bullet) et
\mathbf{R}\mathcal{H}om(L_\bullet, M_\bullet) sont « duals »
l'un de l'autre au sens de {}^\vee, en particulier
ils sont
Que Le calcul
donne l'explicitation
\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle
= \sum (-1)^i \operatorname{Tr}(vu)^i = \sum (-1)^i \operatorname{Tr}(uv)^i
deux lettres sont surchargées dans la première somme ; on lit (vu)
puis (uv) sans certitude.
si L_\bullet, M_\bullet sont qui
chaque degré,
L_\bullet = M_\bullet. pour
u \in \operatorname{Hom}_{D(A)}(L_\bullet, L_\bullet) :
\sum (-1)^i \operatorname{Tr} u^i = \langle u, \mathrm{id}_{L_\bullet}
\rangle = \langle \mathrm{id}_{L_\bullet}, u \rangle ,
ce qui fournit bien une expression de \sum (-1)^i \operatorname{Tr} u^i
en termes intrinsèques.
b) Faire intervenir des
soit plus général …
Bien entendu, pour pouvoir appliquer
la notion \operatorname{Tr}_* u dans le
contexte cadre de la formule de
Lefschetz, il faut savoir que
\mathbf{R}\Gamma_X(A_X) est ps. coh. et
de Tor-dimension finie.
les standard
Remarques finales : 1° Le formalisme des
\operatorname{Tr}^* (et des « traces partielles »)
marche sur un espace annelé, avec
hypothèse pseudo-cohérente
(31) Complexes de Tor-dimension finie sur un préschéma
X préschéma, L_\bullet \in \operatorname{ob} D^-(X). On dit que
X L_\bullet est de Tor-dimension finie si pour tout
faisceau Module F sur X, on a
\mathcal{T}or_i(F, L_\bullet) = 0
(complexes , par lui-même !)
pour Cela posé,
On voit que ceci équivaut à dire que pour tout pt géom. \bar{x} de X,
le complexe L_{\bar{x}} est de Tor-dim. bornée par
[N, M].
Cela signifie aussi que si L'_\bullet \in \operatorname{ob} D^b a sa
Remarques. a) Ces notions sont valables pour un faisceau
d'anneaux quelconque sur X.
b) On voit facilement que L_\bullet de Tor-dim. majorée par [N, N']
\Longleftrightarrow plat en chaque degré, et
L'_i = 0 si i \notin [N, N']. D'ailleurs, , et
L_\bullet est à cohomologie bornée par [N, N'] ssi
L_\bullet est
Proposition (Ici, il faut que l'Anneau de base soit de
torsion). Soit f \colon X \to Y compactifiable à fibres de
dim. \leq d. Si F_\bullet \in \operatorname{ob} D^b(X) est de
Tor-dim. majorée par [N, M], alors
l'énoncé de la proposition se poursuit au-delà de ce lot.