Cote n° 33 · batch 7 · pages 121–140 · Transcription · SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

121la page s'ouvre sur un point numéroté (3) : l'énumération commence avant ce lot.

(3) Nous en savons assez (formules de Künneth, dualité globale) pour faire la Lefschetz « cuite et pressée », en redescendant sur terre. Il semble que pour les courbes, on récupère par des arguments élémentaires (sans utiliser les singularités) des Lefschetz plus […], par faisceaux d'irrégularités \(\rightsquigarrow\) rationalité des fonctions \(L\).

Nous pouvons aussi, au lieu de cela, continuer en généralisant les foncteurs, en l'occurrence : formule de dualité (= dualité locale), Th. de bidualité, Lefschetz-[…], […] ⌜et⌝ utilisant les fonctions \(L\) […] est nouveau pavé.

Étant parti dans un formulaire de dualité général, je préfère en compléter les lignes essentielles avant de me fig me mettre aux applications de détail.

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(30) Généralités sur Lefschetz. Lefschetz Lefschetz-Verdier

Préliminaires à la formule de […] Lefschetz.

Classiquement, on a une variété compacte \(X\), un endomorphisme \(f\), d'où ([…] […] […] […] \(k\)) des endomorphismes des \(f^{(i)}\) des \(H^i(X)\), et la formule dit \[ \sum (-1)^i \operatorname{Tr} f^{(i)} = \text{nb des pts fixes de } f \] avec grains de sel pour la dernière notion (si les pts fixes ne sont pas isolés, il faut une multiplicité […] […]). Walters

En fait, les généralisations ⌜et passages à la formule⌝ interprétant le […] […] […] […] \(X\) […] […] […] […] […] […]), et Verdier a […] ⌜par une méthode et les […] […] […]⌝ […] […] […] […] un faisceau généralisé […] […] […] […] des […] coefficients \(\pm\) quelconques ([…] […] […] interprétés). Les […] […] très simples dans des cas […] […] […] […] […] […] […] […] — maintenant un […] […] « élémentaire » (variété, coefficients localement constants), […] résultant de la dualité de Poincaré […] […] […] […] […] […] de la […] […] […] […] […]. Dans le cadre des schémas ⌜(utilisant des outils un peu plus profonds)⌝ […] Verdier […] sans autres […], et nous donnerons nous donnerons […] en détail […] le « cas élémentaire », qui nous permettra ensuite

125des limites de cas élémentaires de coefficients non constants algébriques, en demandant seulement explicitement les faisceaux locaux.

Une difficulté ⌜technique⌝ préliminaire dans la […] […] […] de tous les […], […] est que pour […] […] […] coefficient \(A = \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\), ⌜p. ex. \(A = \mathbb{Z}/\ell^2\mathbb{Z}\)⌝ qui […] […] […] […] […] des limites […] […]. [Je ne saurais pas […] […] ⌜tel⌝ : dès que […] n'est pas \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\), on ne sait pas […] des résultats plus précis que « le nb des pts fixes mod \(\ell\) » — ainsi pour le cas […] il suffirait […] […] de […] […] cohom. des faisceaux cst !].

On a alors les \(H^i(X, F)\) ne sont plus libres sur \(A\), et les \(\operatorname{Tr} f^{(i)}\) ne sont pas définis.

Une méthode, rédigée dans […] […] (exposé Bourbaki) de tourner la difficulté, est de […] […] […] […] projection […] […] […] […] […] […] des faisceaux […] […] comme \(\mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z}\) ([…] […] […]) en passage […] […] […] […] de coefficients tels […] \(\mathbb{Z}_\ell\), […] qui sont […] des anneaux intègres. Cette […] […] […] fonction \(\mathbb{Q}_\ell\) de car. \(0\) !) — […]

127sont que en termes d'ensembles finis […] les modules de type fini sur le dit \(A\) […] définis — et la formule de Lefschetz ⌜(formules de calcul de […])⌝ […] de la […] […] […] […] sous […] exacte : Cependant, […] […] […] que […] formule […] par la conjugaison […] […] […] la limite, […] […] formules de Lefschetz par les […] écrites par diagrammes ⌜des⌝ […] […] de coeff. \(\mathbb{Z}/\ell^\nu\mathbb{Z}\).

Comme l'a souligné […], pour écrire une […] […] (pour un \(A = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\) donné) il y a lieu de remplacer les \(H^i(X, A_X)\) (disons) par le système ⌜des⌝ \(\mathbf{R}\Gamma_X(A_X)\) ⌜qui lui donne naissance⌝, et les systèmes des \(f^{(i)}\) par l'endomorphisme \(\mathbf{R}\Gamma_X(f)\) […] […] […] complexe défini par « […] ».

Pour ceci, considérons le formalisme général suivant : un complexe \(L_\bullet\) sur un anneau commutatif \(A\)

129(pas nécessairement noethérien). Nous supposons \(L_\bullet \in \operatorname{ob} D^-(A)\), et disons que \(L_\bullet\) est « pseudo-cohérent » s'il est isomorphe dans \(D^-(A)\) à un complexe qui est ⌜d'\(A\)-modules, ce qui équivaut au fait que les \(H_i(L_\bullet)\) de type fini⌝ […] de type fini en tout degré ; ⌜([…] […] […] […])⌝ « […] dimension finie » s'il est isomorphe […] […] à un complexe plat qui […] […] […] \(\otimes\). [Dans les complexes […] […] […] […] […] […] […] […] Variante des […] […] […] catégories triangulées]. Les complexes pseudo-cohérents de Tor-dimension finie sont ceux qui sont isomorphes ⌜par ex.⌝ dans \(D^b(A)\) à des complexes qui sont projectifs de type fini en chaque degré, et nuls en presque tous degrés.

Si \(u\) est un endomorphisme d'un tel \(L_\bullet\), on peut lui associer une trace

131dite \[ \operatorname{Tr}_* u \in A \] de telle façon que α) si \(L_\bullet\) est projectif de type fini en chaque degré, et nul […] […], alors \[ \operatorname{Tr}_* u = \sum (-1)^i \operatorname{Tr} u_i , \] […] β) \(\operatorname{Tr}_* u\) est « stable par isomorphismes » dans \(D(A)\).

D'ailleurs, on peut être aussi explicite par l'ensemble des conditions les deux lettres sont permutées sur la page par une flèche : le b) écrit en premier est renvoyé après le a).

b) « additivité » pour une suite exacte […] […] […] ;

a) si \(L_\bullet\) est réduit au degré \(0\) […] […], alors \(\operatorname{Tr}_* u = \operatorname{Tr} u\).

Linéarité D'autres propriétés formelles, en outre […] : c) \(\operatorname{Tr} uv = \operatorname{Tr} vu\),

d) \(\operatorname{Tr}\bigl(u \overset{\mathbf{L}}{\otimes} v\bigr) = (\operatorname{Tr} u)(\operatorname{Tr} v)\),

qui se ramènent aux formules correspondantes connues par ailleurs.

L'unicité d'une fonction \(\operatorname{Tr}\) satisfaisant aux conditions α) et β) est claire. L'existence […] se ramène à prouver que l'expression α) est

133stable par isomorphismes, — qui semble ⌜(et l'additivité et par l'additivité habituelle)⌝ des pseudo-cohérents) se vérifie […] […] […] […] […] […] […] l'additivité […] […] […] […] […] tensoriel […] trivialement.

Pour usage ultérieur, on peut présenter aussi la définition de \(\operatorname{Tr}_* u\) comme suit, […] […] […] termes […]. Si \(L_\bullet\) est ps. coh. et de Tor-dim. finie, alors \[ \check{L}_\bullet \simeq \mathbf{R}\mathcal{H}om(L_\bullet, A), \] posons — […] […] […] ; \(\check{L}_\bullet\) est aussi ⌜ps.⌝ […] […] […] \(\operatorname{ob} D^-(A)\), ⌜pseudo-cohérent et de Tor-dim. finie⌝ isomorphisme […] […], et le morphisme canonique \[ L_\bullet \to \check{\check{L}}_\bullet \] est un isomorphisme. D'ailleurs \[ \bigl(L_\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} L'_\bullet\bigr)^{\vee} \simeq \check{L}_\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} \check{L}'_\bullet . \] Enfin pour \(M_\bullet \in \operatorname{ob} D^+(A)\), […] […] […] isomorphisme canonique \[ \mathbf{R}\mathcal{H}om^\bullet(L_\bullet, M_\bullet) \simeq \check{L}_\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} M_\bullet , \] et si \(M_\bullet\) satisfait aux mêmes conditions que \(L_\bullet\), de même

135\[ \mathbf{R}\mathcal{H}om^\bullet(M_\bullet, L_\bullet) \simeq \check{M}_\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} L_\bullet , \] et l'on voit que \(\mathbf{R}\mathcal{H}om(M_\bullet, L_\bullet)\) et \(\mathbf{R}\mathcal{H}om(L_\bullet, M_\bullet)\) sont « duals » l'un de l'autre au sens de \({}^\vee\), en particulier ils sont […] : chacun […] […] \(A\). En particulier, […] […] complexes résultats […] : si \[ u \in H^0\bigl(\mathbf{R}\mathcal{H}om^\bullet(L_\bullet, M_\bullet)\bigr) = \operatorname{Hom}_{D(A)}(L_\bullet, M_\bullet) , \] \[ v \in H^0\bigl(\mathbf{R}\mathcal{H}om(M_\bullet, L_\bullet)\bigr) = \operatorname{Hom}_{D(A)}(M_\bullet, L_\bullet) , \] […] accouplement produit \[ \langle u, v \rangle = H^0(A) = A . \]

Que […] Le calcul donne l'explicitation \[ \langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle = \sum (-1)^i \operatorname{Tr}(vu)^i = \sum (-1)^i \operatorname{Tr}(uv)^i \] deux lettres sont surchargées dans la première somme ; on lit \((vu)\) puis \((uv)\) sans certitude. si \(L_\bullet\), \(M_\bullet\) sont […] ⌜projectifs⌝ de type fini ⌜en chaque degré⌝ de type […] constants (dans \(K(A)\) !) ⌜\(u\), \(v\) désignant […] […] […]⌝ qui […] […] […] […] […] chaque degré, […] […] […] \(L_\bullet = M_\bullet\). […] pour \(u \in \operatorname{Hom}_{D(A)}(L_\bullet, L_\bullet)\) : \[ \sum (-1)^i \operatorname{Tr} u^i = \langle u, \mathrm{id}_{L_\bullet} \rangle = \langle \mathrm{id}_{L_\bullet}, u \rangle , \] ce qui fournit bien une expression de \(\sum (-1)^i \operatorname{Tr} u^i\) en termes intrinsèques. b) Faire intervenir […] […] des […] soit plus général […] […] …

Bien entendu, pour pouvoir appliquer la notion \(\operatorname{Tr}_* u\) dans le contexte cadre de la formule de Lefschetz, il faut savoir que \(\mathbf{R}\Gamma_X(A_X)\) est ⌜ps. coh. et⌝ de Tor-dimension finie. […] […] […] […] […] les standard

137Remarques finales : 1° Le formalisme des \(\operatorname{Tr}^*\) (et des « traces partielles ») marche sur un espace annelé, avec hypothèse pseudo-cohérente […]

(31) Complexes de Tor-dimension finie sur un préschéma

\(X\) préschéma, \(L_\bullet \in \operatorname{ob} D^-(X)\). On dit que \(X\) \(L_\bullet\) est de Tor-dimension finie si pour tout faisceau ⌜Module⌝ \(F\) sur \(X\), on a \[ \mathcal{T}or_i(F, L_\bullet) = 0 \] ⌜(complexes […] […], par lui-même !)⌝ pour […] \(i\) grand. De façon précise, on dit que \(L_\bullet\) est de […] Tor-dimension bornée par \([N, M]\), […] \(N, M \in \mathbb{Z}\), si \[ \mathcal{T}or_i(F, L_\bullet) = 0 \quad \text{pour } i \notin [N, M] . \] Cela posé,

On voit que ceci équivaut à dire que pour tout pt géom. \(\bar{x}\) de \(X\), le complexe \(L_{\bar{x}}\) est de Tor-dim. bornée par \([N, M]\).

[…] suit un bloc d'une dizaine de lignes, encadré et barré de traits obliques, qui commençait par « Cela signifie également » et énonçait sous a) une condition sur \(L'_\bullet\) ; il n'est pas lu.

Cela signifie aussi que si \(L'_\bullet \in \operatorname{ob} D^b\) a sa […] cohomologie bornée par \([N', M']\), alors \(L_\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} L'_\bullet\) a sa cohomologie bornée par

139[…] \([N + N', M + M']\). Sous cette forme, il est évident que si \(L_\bullet\) est de Tor-dim. majorée par \([N, M]\), et \(L'_\bullet\) de Tor-dim. majorée par \([N', M']\), alors \(L_\bullet \overset{\mathbf{L}}{\otimes} L'_\bullet\) est de Tor-dimension majorée par \([N + N', M + M']\). ⌜On voit de même que si \(f \colon X \to Y\), et \(L_\bullet\) sur \(Y\) est de Tor-dim. majorée par \([N, M]\), alors \(\mathbf{L}f^*(L_\bullet)\) itou …⌝

Remarques. a) Ces notions sont valables pour un faisceau d'anneaux quelconque sur \(X\).

b) On voit facilement que \(L_\bullet\) de Tor-dim. majorée par \([N, N']\) \(\Longleftrightarrow\) […] \(\exists\, L'_\bullet \to L_\bullet\) quasi-isom., avec \(L'_\bullet\) plat en chaque degré, et \(L'_i = 0\) si \(i \notin [N, N']\). D'ailleurs, […], et \(L_\bullet\) est à cohomologie bornée par \([N, N']\) ssi \(L_\bullet\) est […] isomorphe dans \(D(X)\) à \(L'_\bullet\), […] avec \(L'_i = 0\) si \(i \notin [N, N']\) (\(L'_\bullet\) non plat !). Les assertions de stabilité plus haut en résultent formellement.

Proposition ⌜(Ici, il faut que l'Anneau de base soit de torsion)⌝. Soit \(f \colon X \to Y\) compactifiable à fibres de dim. \(\leq d\). Si \(F_\bullet \in \operatorname{ob} D^b(X)\) est de Tor-dim. majorée par \([N, M]\), alors l'énoncé de la proposition se poursuit au-delà de ce lot.