Fonds Grothendieck, cote n° 33, pages 81–100

la page commence au milieu d'un argument venu des feuillets précédents (homomorphismes de Gysin pour un morphisme f lissifiable au-dessus d'une base) ; les notations h, g, d_{X/Y}, T_{X/Y} y sont définies.

Donc on trouve (sans condition de finitude sur f) des homomorphismes de Gysin \mathbb{R}_!h\bigl(\mathbb{L}h^{*}F^{\cdot}\otimes T_{X/Y}[2d_{X/Y}]\bigr)\longrightarrow\mathbb{R}_!g\bigl(\mathbb{L}g^{*}(F^{\cdot})\bigr) dans l'indice de T, un Z est biffé et remplacé par Y. en particulier \mathbb{R}_!^{\,i+2d_{X/Y}}h\bigl(\mathbb{L}h^{*}(F^{\cdot})\bigr)\otimes T_{X/Y}\longrightarrow\mathbb{R}_!^{\,i}g\bigl(\mathbb{L}g^{*}(F^{\cdot})\bigr) après T_{X/Y}, un crochet [2d_{X/Y}] est biffé. et si f est propre, globalement \mathbb{H}^{i+2d_{X/Y}}\bigl(X,\mathbb{L}h^{*}(F^{\cdot})\bigr)\otimes T_{X/Y}\longrightarrow\mathbb{H}^{i}\bigl(Y,\mathbb{L}g^{*}(F^{\cdot})\bigr) même biffure du décalage [2d_{X/Y}] dans cette formule.

Nous admettrons que satisfont (figurant dans le contexte 1°, et « » dans le contexte 3°) à la condition de transitivité qui s'impose .

24 Transitivités pour \mathbb{R}^!f, et homomorphismes de Gysin

1°) L'homomorphisme de Gysin, trace, pour un morphisme f\colon X\to Y localement compactifiable, et et un G^{\cdot}\in\operatorname{Ob}D^{+}(Y), on a l'homomorphisme naturel (*)\qquad \mathbb{R}_!f\,\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\longrightarrow G^{\cdot} d'où homomorphismes qui s'en déduisent, \begin{cases} \mathbb{R}^{i}_!f\bigl(\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\bigr)\longrightarrow\mathcal{H}^{i}(G^{\cdot})\\ \mathbb{H}^{i}_{\Phi(f)}\bigl(X,\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\bigr)\longrightarrow\mathbb{H}^{i}(Y,G^{\cdot}) \end{cases} devant la seconde ligne, un premier début (\mathbb{R}^i_! ?) est biffé ; l'indice de supports se lit \Phi(f) sans certitude. et aussi, pour f propre, on a aussi un \mathbb{H}^{i}\bigl(X,\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\bigr)\longrightarrow\mathbb{H}^{i}(Y,G^{\cdot})

Variante : si X, Y sont sur Z, donc on trouve, en utilisant \mathbb{R}_!g : ,

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "f"] \arrow[dr, "h"'] & Y \arrow[d, "g"] \\ & Z \end{tikzcd}

\text{d'où}\quad \begin{cases} \mathbb{R}_!h\bigl(\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\bigr)\longrightarrow\mathbb{R}_!g(G^{\cdot})\\ \mathbb{H}^{i}_{\Phi(h)}\bigl(X,\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\bigr)\longrightarrow\mathbb{H}^{i}_{\Phi(g)}(Y,G^{\cdot}) \end{cases} devant la seconde ligne, un \mathbb{R}^i est biffé.

25 ~~homomorphismes de~~ Formulaire de \mathbb{R}_!f, \mathbb{R}f_{*}, … \mathbb{R}^!f, \mathbb{L}f^{*} le numéro est récrit, un 6 corrigé en 5 ; au-dessus du titre biffé, un mot lui-même biffé ; sous le titre, un mot biffé (). et \overset{\mathbb{L}}{\otimes} et \mathbb{R}\mathcal{H}om sous l'accolade qui réunit \mathbb{R}_!f,\dots,\mathbb{L}f^{*} : opérations entre catégories (opérations internes).

\mathbb{R}_!f, \mathbb{R}^!f définis seulement si f compactifiable, resp. lissifiable (strictement, i.e. pas de problèmes relatifs de dim. bornée).

1°) Transitivités \text{Trans.}*\ \begin{cases} \mathbb{R}(gf)_{*}\simeq\mathbb{R}g_{*}\,\mathbb{R}f_{*}\\ \mathbb{L}(gf)^{*}\simeq\mathbb{L}f^{*}\,\mathbb{L}g^{*} \end{cases} \qquad \text{Trans.}!\ \begin{cases} \mathbb{R}_!(gf)\simeq\mathbb{R}_!g\,(\mathbb{R}_!f)\\ \mathbb{R}^!(gf)\simeq(\mathbb{R}^!f)(\mathbb{R}^!g) \end{cases} les étiquettes à gauche sont récrites sur des mots biffés.

Formules de type universel. Formules de droite déjà vues pour \mathbb{R}_!. Pour \mathbb{R}^!, cela résulte « immédiatement » par adjonction. Une démonstration indépendante lorsque l'on suppose que Y se plonge dans Y' lisse sur Z, de façon que X soit Y'-lissifiable [par

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d] & X'_{Y} \arrow[r, hook] \arrow[dl] & X' \arrow[dl] \\ Y \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y' \arrow[dl, "\text{lisse}"] & \\ Z & & \end{tikzcd}

stable par toutes les opérations, de base . S admettant un faisceau inversible , propriétés sur S ; donc pour tout X\to Y, X se plonge dans un \mathbb{P}^{r}_{Y} …] peut-on démontrer dans la formulation

L'isomorphisme de transitivité se décompose donc en trois isomorphismes de transitivité particuliers : a) deux morphismes lisses, b) Deux morphismes dont l'un immersion, c) commutativité des images inverses dans le cas (?). Les cas a) b) sont triviaux, le cas c) est essentiellement le th. de changement de base lisse.

NB. Dans tous ces isomorphismes de transitivité, il faudrait vérifier que quand il y en a trois composés, on a la compatibilité habituelle. — Nous l'admettrons.

2°) Formules d'adjonction

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] & F^{\cdot} \\ Y & G^{\cdot} \end{tikzcd}

\boxed{\operatorname{Hom}\bigl(\mathbb{R}_!f(F_{\cdot}),G^{\cdot}\bigr)\simeq\operatorname{Hom}\bigl(F_{\cdot},\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\bigr)} [F_{\cdot}\in\operatorname{Ob}D^{b}(X),\ G^{\cdot}\in\operatorname{Ob}D^{+}(Y)] \boxed{\operatorname{Hom}\bigl(\mathbb{L}f^{*}(G_{\cdot}),F^{\cdot}\bigr)\simeq\operatorname{Hom}\bigl(G_{\cdot},\mathbb{R}f_{*}(F^{\cdot})\bigr)} [F^{\cdot}\in\operatorname{Ob}D^{+}(X),\ G^{\cdot}\in\operatorname{Ob}D^{b}(Y)]

Rem. La deuxième formule est triviale, (f plat qui simplifie …) ~~résulte~~ \begin{align*} \operatorname{Hom}\bigl(G^{\cdot},\mathbb{R}f_{*}(F^{\cdot})\bigr) &\simeq H^{0}\Bigl(\operatorname{Hom}^{\cdot}\bigl(G^{\cdot},f_{*}(C^{\cdot}(F^{\cdot}))\bigr)\Bigr)\\ &\simeq H^{0}\Bigl(\operatorname{Hom}^{\cdot}\bigl(f^{*}G^{\cdot},C^{\cdot}(F^{\cdot})\bigr)\Bigr)\\ &\simeq\operatorname{Hom}\bigl(\mathbb{L}f^{*}G^{\cdot},F\bigr) \end{align*}

3°) Formules de projection \boxed{\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathbb{R}_!f(F_{\cdot}),G^{\cdot}\bigr)\simeq\mathbb{R}f_{*}\Bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathbb{R}^!f(F_{\cdot}),G^{\cdot}\bigr)\Bigr)} ainsi sur la page : à droite on attendrait \mathbb{R}\mathcal{H}om(F_{\cdot},\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})). \boxed{\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(G_{\cdot},\mathbb{R}f_{*}(F^{\cdot})\bigr)\simeq\mathbb{R}f_{*}\Bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathbb{L}f^{*}(G_{\cdot}),F^{\cdot}\bigr)\Bigr)} \boxed{G_{\cdot}\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\mathbb{R}f_{*}(F_{\cdot})\simeq\mathbb{R}f_{*}\bigl(G_{\cdot}\overset{\mathbb{L}}{\otimes}F_{\cdot}\bigr)} dans cette troisième formule, des ! et * sont surchargés et en partie biffés ; la lecture \mathbb{R}f_{*} des deux côtés est incertaine. ~~i.e. pour \mathbb{R}_{*}f(F_{\cdot})~~ si G_{\cdot} loc. libre (peut se généraliser : G_{\cdot} loc. constant 2°, 3°)

NB Les isom. formules des homomorphismes canoniques \begin{align*} \operatorname{Tr}_{f}(G^{\cdot})&\colon\ \mathbb{R}_!f\,\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\longrightarrow G^{\cdot}\\ \tau_{f}(G^{\cdot})&\colon\ G_{\cdot}\longrightarrow\mathbb{R}f_{*}\bigl(\mathbb{L}f^{*}(G_{\cdot})\bigr) \end{align*}

On a des énoncés de compatibilité entre les isom. en 2° ou 3°, i.e. entre les homom. \operatorname{Tr}_{f} et \tau_{f}, dans la marge gauche, sous un hachurage de crayon, quelques mots tournés (« pour … ») ne se lisent pas.

et les isom. de transitivité de 1° ….

4°) Formules de changement de base (analogues après 1°)

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] & X' \arrow[l, "g'"'] \arrow[d, "f'"] \\ Y & Y' \arrow[l, "g"] \end{tikzcd}

\boxed{\mathbb{L}g^{*}\,\mathbb{R}_!f\xrightarrow{\ \sim\ }\mathbb{R}_!f'\,\mathbb{L}g'^{*}} changement de base pour morphisme propre \begin{cases} \mathbb{L}g^{*}\,\mathbb{R}f_{*}\xrightarrow{\ \sim\ }\mathbb{R}f'_{*}\,\mathbb{L}g'^{*} & \text{si $f$ propre [ou $g$ lisse]}\\ \mathbb{R}^!f'\,\mathbb{L}g^{*}\xleftarrow{\ \sim\ }\mathbb{L}g'^{*}\,\mathbb{R}^!f & \text{si $f$ ou $g$ lisse} \end{cases} accolade reliée à « g quelconque » dans la marge ; dans la seconde ligne, les accents et les * sont surchargés, et la place des primes sur f est incertaine.

\text{\struck{$\mathbb{R}^!g\,\mathbb{R}_!f\Rightarrow\mathbb{R}_!f'\,\mathbb{R}^!g'$}} encadré biffé d'un trait ondulé ; à droite : « si f ». \boxed{\mathbb{R}^!g\,\mathbb{R}f_{*}\simeq\mathbb{R}f'_{*}\,\mathbb{R}^!g'} g lissifiable … est une conséquence du précédent une flèche va de « g lissifiable » à l'encadré, une autre de l'encadré à « est une conséquence du précédent ».

si f propre [ou g lisse] ; si f ou g lisse \to changement de base lisse ; (se décompose en cas lisse = changement de base lisse, et cas d'une immersion, trivial)

5°) Formules d'induction

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"] & \\ Y & F,G \end{tikzcd}

\boxed{\mathbb{R}^!f\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(F_{\cdot},G^{\cdot})\bigr)\simeq\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathbb{L}f^{*}(F_{\cdot}),\mathbb{R}^!f(G^{\cdot})\bigr)} \boxed{\mathbb{L}f^{*}\bigl(F_{\cdot}\overset{\mathbb{L}}{\otimes}G_{\cdot}\bigr)\simeq\mathbb{L}f^{*}(F_{\cdot})\overset{\mathbb{L}}{\otimes}\mathbb{L}f^{*}(G_{\cdot})} formules pour topos annelés quelconques …

Établissons la première formule d'induction. On distingue les cas f lisse, et f une immersion fermée.

a) Cas f lisse. La formule équivaut à : \mathbb{L}f^{*}\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(F_{\cdot},G^{\cdot})\bigr)\simeq\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathbb{L}f^{*}F_{\cdot},\mathbb{L}f^{*}G^{\cdot}\bigr) i.e. au fait que si f est lisse, \mathbb{L}f^{*} commute aux \mathcal{E}xt^{i} locaux, (si ) ~~et cohomologique constructible~~. On a en tout cas un flèche évidente \to, à prouver que c'est un isomorphisme.

C'est local, pour supposer Y, X affines, F_{\cdot} réduit degré 0, G^{\cdot} et injectif. Alors F admet une filtration des F' loc. constant sur Y' , Y'\to Y immersion, On peut supposer que F=\mathbb{R}_!i(F') On a une résolution de F Y'\to Y (\mathbb{R}_!i(A_{Y'})) tout ce passage, de « C'est local » à la fin de la page, est biffé de grandes croix et partiellement encadré ; on n'en donne que ce qui se lit. Au milieu, sous la biffure, « G^{\cdot} tous et injectif » est récrit.

\begin{tikzcd} X' \arrow[r, hook, "j"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\ Y' \arrow[r, hook, "i"'] & Y \end{tikzcd}

F' f^{*}(F)=j_!\bigl(f'^{*}(F')\bigr), où f'^{*}(F')=F'_{X'}.

\begin{align*} \mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathbb{R}i_!(F'),G^{\cdot}\bigr)&\simeq\mathbb{R}i_{*}\Bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(F',\mathbb{R}i^!(G^{\cdot})\bigr)\Bigr) &&\text{(dualité pour $i$)}\\ \mathbb{L}f^{*}(\ \cdots\ )&\simeq\mathbb{L}f^{*}\,\mathbb{R}i_{*}(\ \cdots\ )\\ &\simeq\mathbb{R}j_{*}\,\mathbb{L}f'^{*}\Bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(F',\mathbb{R}i^!(G^{\cdot})\bigr)\Bigr) &&\text{(chang.\ de base lisse)}\\ &\simeq\mathbb{R}j_{*}\Bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(f'^{*}(F'),f'^{*}(\mathbb{R}i^!(G^{\cdot}))\bigr)\Bigr)\\ &\simeq\mathbb{R}j_{*}\Bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(F'_{X'},\mathbb{R}j^!G^{\cdot}_{X}\bigr)\Bigr)\\ &\simeq\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(j_!(F'_{X'}),G^{\cdot}_{X}\bigr) &&\text{(dualité pour $j$)}\\ &\simeq\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(f^{*}(F_{X}),f^{*}(G)\bigr) \end{align*} commentaires de la page aux deux premières étapes de la chaîne : sous l'accolade de \mathbb{R}\mathcal{H}om(F',\mathbb{R}i^!(G^{\cdot})), « supposition instant : le th. vrai pour f'\colon X'\to Y' et F', \mathbb{R}i^!G » ; sous f'^{*}(\mathbb{R}i^!(G^{\cdot})), « \simeq — th. de changement de base lisse : \mathbb{R}j^!(f'^{*}(G^{\cdot})) » ; sous j_!(F'_{X'}), l'accolade porte f^{*}(F_{X}). Un mot à droite de la dernière ligne est biffé.

On est ramené donc au cas où F est loc. constant. On peut donc (le th. étant local)

supposer F constant, puis (le th. additif en A_{Y}^{n}) F=A_{Y}, mais alors le th. est trivial.

b) Cas f une immersion. Alors le th. est essentiellement trivial, sans hypothèse de finitude, ramené au cas d'une immersion fermée. Alors \begin{align*} \mathbb{R}^!f\bigl(\mathbb{R}\mathcal{H}om(F_{\cdot},G^{\cdot})\bigr)&\simeq f^!\,\mathcal{H}om^{\cdot}\bigl(F_{\cdot},C^{\cdot}(G^{\cdot})\bigr)\\ &\simeq\mathcal{H}om^{\cdot}\bigl(f^{*}F_{\cdot},f^!C^{\cdot}(G^{\cdot})\bigr)\simeq\mathbb{R}\mathcal{H}om\bigl(\mathbb{L}f^{*}(F_{\cdot}),\mathbb{R}f^!(G^{\cdot})\bigr) \end{align*} sous \mathcal{H}om^{\cdot}(F_{\cdot},C^{\cdot}(G^{\cdot})) : « N.B. c'est flasque, pour f^! quelconque » ; sous f^!C^{\cdot}(G^{\cdot}) : « N.B. c'est injectif ». Dans la première ligne, un \mathbb{R} est surchargé (\mathbb{R}^! récrit sur \mathbb{R} ?), et après f^! quelques lettres sont biffées.

Les formules de projection, d'induction s'interprètent comme des formules de d'échange \begin{cases} \mathbb{R}f_{*}\,D_{X}\simeq D_{Y}\,\mathbb{R}_!f\\ \mathbb{R}^!f\,D_{Y}\simeq D_{X}\,\mathbb{L}f^{*} \end{cases} i.e. D « échange » \mathbb{R}f_{*} et \mathbb{R}_!f, \mathbb{L}f^{*} et \mathbb{R}^!f.

(26) Formulaire faisant intervenir \overset{\mathbb{L}}{\otimes} et D^{-}

(1) Généralités valables sur tout topos annelé.

Module plat F : F\otimes\cdot est exact

F plat \Longleftrightarrow Pour tout injectif I, \mathcal{H}om(F,I) est injectif NB Dans le cas actuel, il suffit de vérifier sur les fibres.

Tout Module F ~~admet des~~ est quotient d'un plat, donc admet des résolutions plates : on prend les A_{U} (U\in\operatorname{Ob}X_{\text{ét}}). Il s'ensuit formellement que pour tout L_{\cdot}\in\operatorname{Ob}D^{-}(X), existe homom. L'_{\cdot}\to L_{\cdot}, avec L'_{\cdot} plat en tout degré, qui est un quasi-isomorphisme. De ceci résulte formellement que D^{-}(X) équivaut à la catégorie obtenue en prenant (dans la catégorie K^{-}(X)^{\text{plat}} des complexes L_{\cdot} bornés supérieurement à degrés plats) en prenant un quotient par la famille ~~relation~~ des quasi-isomorphismes.

Ceci va nous permettre de prendre des « foncteurs dérivés gauches » du foncteur \otimes, en prenant dans C^{-}(X)^{\text{plat}} le \otimes ordinaire, qui passe au quotient par quasi-isomorphismes. Donc si L_{\cdot}, M_{\cdot} sont deux complexes ordinaires \in\operatorname{Ob}D^{-}(X), on ~~définit~~ calcule L_{\cdot}\overset{\mathbb{L}}{\otimes}M_{\cdot} en prenant des résolutions plates L'_{\cdot}\to L_{\cdot}, M'_{\cdot}\to M_{\cdot}, et prenant L'_{\cdot}\otimes M'_{\cdot}. l'exposé du § 26 se poursuit au-delà de ce lot.