Cote n° 33 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

41l'argument court sans doute depuis les pages qui précèdent le lot ; cette page s'ouvre sur une définition sans préambule.

Définition des \(\mathbb{R}_! f_*(F^\cdot)\), (\(f\) […]).

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook, "i"] \arrow[d, "f"'] & \overline{X} \arrow[dl, "\overline{f}"] \\
Y &
\end{tikzcd}

\[ \mathbb{R}_! f_* : D^+(X) \longrightarrow D^+(Y), \qquad \mathcal{H}^i(\mathbb{R}_! f_*) = \mathbb{R}^i_! f_* . \]

Reformulation de propriétés connues :

(i) \(\mathbb{R}_!(gf)_* = (\mathbb{R}_! g_*)(\mathbb{R}_! f_*)\) si \(f\), \(g\) […] compactifiables […] compatibles.

(ii) Compatibilité avec extension de la base.

Remarque. En fait, si \(f\) […] […] ⌜\(Y\) est quasi-compact⌝, on peut définir \[ \mathbb{R}_! f_* : D(X) \longrightarrow D(Y) \] induisant \[ D^-(X) \longrightarrow D^-(Y), \quad D^+(X) \to D^+(Y), \quad D^b(X) \longrightarrow D^b(Y). \] Cela résulte du fait que \(f_*\), si \(f\) […] de dimension bornée, est de dimension finie.

43Ici, prenons les top. étales sur les préschémas, et les faisceaux de \(A_X\) (\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = A\)), […] […] […] […] de type […] […] […] […] plats.

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[l, "h"'] \arrow[d, "{f'}"] \\
Y & Y' \arrow[l, "g"]
\end{tikzcd}

Si \(f\) quelconque, on définit, pour \(F^\cdot \in \mathrm{Ob}\, D^+(X)\), un homomorphisme […] dans \(D^+(Y')\) : \[ \text{\struck{$\mathbb{R} f'_*(h^*(F^\cdot)) \longleftarrow$}} \qquad \boxed{\,g^*(\mathbb{R} f_*(F^\cdot)) \longrightarrow \mathbb{R} f'_*(h^*(F^\cdot))\,} \] le symbole sous \(h^*\), dans la formule encadrée, est surchargé ; le premier membre barré est raturé en entier.

Passant aux faisceaux de coh., cela redonne \[ (*_i) \qquad g^* \mathbb{R}^i f_*(F) \longrightarrow \mathbb{R}^i f'_*(h^*(F)). \] Lorsque \(f\) est propre, […] \((*)\) […] […] […] les \((*_i)\) […] […].

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§ (9) Le th. de dualité globale : énoncé général pour un morphisme lisse compactifiable

titre souligné de sa main ; la page ne porte rien d'autre.

4720) Exemple […] avec un corps \(k\) base, alg. clos. \[ H^i_!(X, F)^\vee \simeq H^{-i}(X, DF). \] Si \(F\) loc. ct. \[ H^i_!(X, F)^\vee \simeq H^{2d-i}(X, \underline{\mathrm{Hom}}(F, \mu_{n,X}^{\otimes d})). \] l'exposant \(2d-i\) est lu d'après la formule semblable plus bas ; ici le trait pourrait aussi se lire \(2n-i\). On retrouve le th. de finitude de Artin.

Si \(S\) quelconque, […] […] […] […] […] loc. constant (p. ex. \(f\) propre lisse !) \(R^i_! f_*(F)\) […] […] : \[ \underline{\mathrm{Hom}}(R^i_! f_*(F), (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X) \simeq R^{-i} f_*(D(F)) \] sous \(R^{-i}\), ici et dans la formule suivante, un petit signe surchargé, peut-être un \({}_!\) biffé. (ce qui implique que \(R^{-i}_! f_*(DF)\) […] loc. constants) et plus spécialement, si \(F\) est loc. constant : \[ \underline{\mathrm{Hom}}(R^i_! f_*(F), (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X) \simeq R^{2d-i} f_*(\underline{\mathrm{Hom}}(F, \mu_{n,X}^{\otimes d})). \]

Donc dans ce cas, […] dualité […] […] ⌜constructibilité⌝ finitude des \(R\)[…] \(\underline{\mathrm{Hom}}\) […] (\(G = DF\) …).

On peut généraliser […] en supposant que l'hyp. […] satisfaite que pour \(i \le i_0\), la conclusion […] vaut pour \(j \ge 2d - i_0\) …

49Le domaine […] […] étale

21. L'homom. de dualité pour une immersion

Soit \(i : Y \to X\) […], […] […]. Alors \(i_!\) est exact (en fait, identique à \(i_*\) si \(i\) est une immersion fermée), donc \(\mathbb{R} i_!\) est le foncteur trivial \[ \mathbb{R} i_! = i_! : D^+(Y) \longrightarrow D^+(X) \] (inutile ici de prendre des résolutions injectives).

D'autre part, on définit un foncteur \[ i^! : C(Y) \longrightarrow C(X) \] le sens de la flèche est celui de la page ; \(i^!\) va de \(X\) vers \(Y\) d'après la formule qui suit. de la façon suivante : on factorise \(i\) en un composé \(Y \xrightarrow{i'} \mathcal{U} \xrightarrow{j} X\), avec \(i'\) une immersion fermée, \(j\) une immersion ouverte, et on pose \[ i^!(F) = \text{\struck{$\mathbb{R}$}}\; i'^* \underline{\Gamma}_Y(j^*(F)). \] Le foncteur ne dépend pas, à iso. unique près, du choix de la factorisation choisie, comme il résulte par ex. […] de la formule d'adjonction \[ \mathrm{Hom}_Y(G, i^!(F)) \simeq \mathrm{Hom}_X(i_!(G), F) \] qui dit que \(i^!\) […] est adjoint à droite de \(i_!\). Comme \(i_!\) est exact, […] […] injectifs. Compte tenu de cette […] […] […] […] l'isomorphisme […] \(j_!\) et \(j^*\) (fait la phrase se poursuit en tête de la p. 51.

51général pour les topos et […] d'iceux), […] […] […] cas. \[ i_! = (j i')_! = j_! i'_! , \qquad i^! = i'^! j^! = i'^! j^* . \] On revient à définir […] […] […] \(i^!\) comme foncteur adjoint de \(i_!\), […] au cas où \(i\) est une imm. fermée, […] […] […] […] fait général […] pour les topos et […] d'iceux, cf Exp IV. […] Comme \(i_!\) est exact, […] […] […] adjoint à droite […] \(i^!\), […] […] injectifs, donc […] […] injectif, […] […] […] \[ \mathbb{R} i^! : D^+(X) \longrightarrow D^+(Y). \] […] […] […] […] […], […] […] que le foncteur […] […] \(\mathcal{U}\) ([…] […] cat. dérivées). […]

[…] un passage de trois lignes, encadré et biffé de traits ondulés, se termine sur \(\mathbb{R}\underline{\Gamma}_Y\) ; on n'en lit pas davantage.

Notons, […] \(i\) est une imm. fermée, \[ (\mathbb{R}_! i_*)(\mathbb{R} i^!) \simeq \mathbb{R} \underline{\Gamma}_Y \] le facteur de gauche est surchargé : un \({}^*\) récrit en \({}_*\), entre parenthèses ajoutées. […] […], […] […] […] […], d'où […] si \(F \in C(X)\), […] […] \[ \underline{H}^q(\mathbb{R} i^!(F)) \simeq i^*(\underline{H}^q_Y(F)). \]

53Du fait que \(i^!\) est l'adjoint à droite commutant aux produits d'un foncteur exact […] (\(i_!\)) […] la formule de dualité pour les immersions : \[ \boxed{\,\mathrm{Hom}(G^\cdot ; \mathbb{R} i^!(F^\cdot)) \simeq \mathrm{Hom}(\mathbb{R}_! i_*(G^\cdot), F^\cdot)\,} \] (isom. bifonctoriel).

\[\begin{align*} \mathrm{Hom}(G^\cdot ; \mathbb{R} i^!(F^\cdot)) &= \mathrm{Hom}(G^\cdot ; i^!(C^\cdot(F^\cdot))) \\ &= H^0(\mathrm{Hom}^\bullet(G^\cdot ; i^!(C^\cdot(F^\cdot)))) = H^0(\mathrm{Hom}(i_!(G^\cdot), C^\cdot(F^\cdot))) \\ &\text{\struck{$= \mathrm{Hom}(i_!(G^\cdot), \ldots)$}} \\ &= \mathrm{Hom}(\mathbb{R} i_!(G^\cdot), C^\cdot(F^\cdot)) \end{align*}\] le \(H^0\) de la deuxième égalité de la deuxième ligne est ajouté au-dessus de « Hom ».

Quand on explicite la flèche \(\to\), on trouve que l'[…] morphisme […] un homom. can. \[ \mathrm{Tr}_i(F^\cdot) : \mathbb{R}_! i_* \mathbb{R} i^!(F^\cdot) \longrightarrow F^\cdot \] de la même façon que dans le cas du th. de dualité globale pour un morphisme lisse.

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22. Th. de pureté relative comme conséquence du th. de dualité globale

dans le titre, un mot biffé et encadré est remplacé par « relative », de sa main.

\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, hook, "i"] \arrow[dr, "g"'] & X \arrow[d, "f"] \\
& S
\end{tikzcd}

Supposons que [[…] \(i\) une immersion fermée] […] \(g\) soit […] […] […], alors la formule de dualité […] […] : \[ \mathbb{R}_! f_*\bigl(\mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(A_Y, \mathbb{R}^! f(G^\cdot))\bigr) \simeq \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{R}_! g(A_Y), G^\cdot) \] une accolade sous le terme \(\mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(A_Y, \mathbb{R}^! f(G^\cdot))\) le renvoie à \(\mathbb{R} i_* \mathbb{R} i^!(\mathbb{R}^! f(G^\cdot))\), écrit dessous. s'écrit \[ g_*\bigl(\mathbb{R} i^!(\mathbb{R}^! f(G^\cdot))\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } G^\cdot , \] […] […] \(G^\cdot\) […] […] […] […] \[ \begin{cases} \underline{H}^i_Y(f^*(G)) = 0 & \text{si } i \neq 2d \\ \underline{H}^{2d}_Y(f^*(G)) = g^*(G) \otimes T^{-1}_{Y/X} & \end{cases} \] […] […].

[…] […], […] […] […] maintenant \(Y \subset X\) […] […] […] : […] […] que \(Y\), \(X\) […] […] […] […] \(d\) […] […] […] […] […], \(X\) quelconque, […] […] […] \(\Rightarrow\) […] […] […] […] […] […] flèches […] […] […] […] […] […] \(X\) […] […] […] question […], […] […], […] […] considérons […] […] :

\begin{tikzcd}
Y \arrow[r, hook] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
Y' \arrow[r] \arrow[dr, "{g'}"'] & X' = S[t_1, \ldots, t_d] \arrow[d, "{f'}"] \\
& S
\end{tikzcd}

et […] avec \(X \to X'\) lisse, la phrase se poursuit en tête de la p. 57.

57(N.B. \(Y'\) est la « section nulle » de \(S[t_1, \ldots, t_d]\)) et compte tenu du th. de changement de base lisse, on est ramené au cas précédent.

Th. de changement de base lisse comme conséquence du th. de dualité globale (d'après Verdier). […] facilement, […] la formule (compte tenu du changement de base propre) […] […] […] d'un ouvert \(\mathcal{U} \to X\), […] et […] […] […] […] \(X' \to X\), […] […] […] […] ; […] […] […], […] […] \(Y = X - \mathcal{U}\)) dans la marge gauche, à hauteur de ces lignes, une flèche verticale griffonnée, sans lettre lisible.

\begin{tikzcd}
Y \arrow[d, "i"'] & Y' \arrow[l, "g"'] \arrow[d, "{i'}"] \\
X & X' \arrow[l, "f"]
\end{tikzcd}

\[ g^*(\mathbb{R} i^!) \longrightarrow (\mathbb{R} i'^!) f^* \] \(T_{Y'/Y}\) […]. […] […] […] […], […] […] […] […].

[…] […] […] naturel \[ (\mathbb{R}^! g^*)(\mathbb{R} i^!) \longrightarrow (\mathbb{R} i'^!)(\mathbb{R}^! f) \] […] […] […] un isom. […] […] dualité […] essentiellement que pour \(f\), \(g\) […], […] […] […] […] « adjoints » de \((\mathbb{R}_! i_*)(\mathbb{R}_! g)\) et de \((\mathbb{R}_! f)(\mathbb{R}_! i')\), […] sont évidemment isomorphes. Il faut évidemment prouver que l'[…] iso. […] précédent est bien l'« adjoint » de l'[…] \((*)\), ce que je n'ai pas fait. Je […] […] […] […] de […], car il faudrait savoir, lorsque […] […] […] argument \(F \in \mathrm{Ob}\, C(X)\) la phrase se poursuit en tête de la p. 59.

59en tête, un « 4 » isolé. […] […] […] […] […] […] cette première ligne est cerclée et renvoyée par un trait à la suivante. […] les deux […] […] […] […] […] \(F\), […] bien […] bornés, […] général), ce qui me semble nullement clair. Mais […] […] […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] \(X\) […] […] type fini […] \(\mathbb{Z}\). et […] […] […] […] \(S[t_1, \ldots, t_n]\).

Alors le th. de […] […] […] […] […] […] […] […] \(\mathbb{R} f_*\), […] […] […] […] […] […] […]

[…] trois lignes, un mot et une formule surchargés, sont biffées d'un trait ondulé, avec des points d'interrogation en fin de ligne.

Ref exposé d'Artin. la note s'arrête ici, sur un renvoi ; la suite de l'argument, s'il y en a une, est au-delà du lot.