le numéro « 15 », cerclé, est de sa main, en tête de la page ; l'exposé numéroté qui précède se trouve avant ce lot.

On fixe un entier n premier aux car. résiduelles.

Classe fondamentale locale

Supposons Y \hookrightarrow X « intersection complète de dim. relative 1 » et supposons d'abord Y = V(\varphi), \varphi section régulière de \mathcal{O}_X. Alors si i : X - Y = U \to X, alors i_*(\mathcal{O}_U) \simeq \mathcal{O}_X[1/\varphi], i_*(\mathcal{O}_U^*) \to \varphi \in \Gamma\bigl(i_*(\mathbb{G}_{m,U})\bigr) \to\ \in \Gamma(i_*(\mathbb{G}_{m,U}^*))

Donc D'ailleurs \varphi est déterminé mod multiplication par un \in \Gamma(X, i_*(\mathbb{G}_{m,X})), donc \varphi définit une section canonique de i_*(\mathcal{O}_U^*)/ i_*(\mathbb{G}_{m,U})/\mathbb{G}_{m,X}. Or on a la suite exacte canonique 0 \to \underline{H}^0_Y(\mathbb{G}_{m,X}) \to \mathbb{G}_{m,X} \to i_*(\mathbb{G}_{m,U}) \xrightarrow{\ d\ } \underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X}) \to 0 sous \underline{H}^0_Y(\mathbb{G}_{m,X}) il écrit « = 0 » verticalement, et le 0 final est placé sous \underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X}), au bout d'une flèche verticale.

qui donne ici \underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X}) \xrightarrow{\ \sim\ } i_*(\mathbb{G}_{m,U})/\mathbb{G}_{m,X} et montre que d\varphi est une section canonique de \underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X}), que nous noterons \beta_{Y/X}. D'autre part, on a la suite exacte de Kummer 0 \to \mu_{n,X} \to \mathbb{G}_{m,X} \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{G}_{m,X} \to 0

On fixe un entier n > 0, et on Soit f : X \to Y morphisme morphismes faisceaux de n-torsion (i.e. Modules sur A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), et les premiers à les préschémas où n est inversible, i.e. tels que n \cdot 1_{\mathcal{O}_X} est inversible dans \mathcal{O}_X.

Si f : X \to Y est un morphisme lisse, de dim. relative d, ou disons qu'il est purement de dim. d disons dans les fibres , T^{(n)}_{X/Y} \quad\text{ou simplement}\quad T_{X/Y} confusion possible, le faisceau \mu_{n,X}^{\otimes d}. [Si f est lisse de dim. relative quelconque, alors on a T_{X/Y} .]

Nous regardons par la suite des morphismes lisses compactifiables purement de dim. d f : X \to Y. Pour un tel morphisme, on peut définir un homom. canonique

les étiquettes (d), (r), (r+d) notent les codimension et dimensions relatives ; l'étiquette (r) est surchargée.

T_{Y/X} \otimes T_{Y/S} \simeq T_{X/S}|Y, T_{Y/S} \simeq \underline{H}^{2d}_Y(T_{X/S}), R^{2r}_{!} f(T_{Y/S}) \simeq , T_{Y/S} \simeq ces formules, encadrées, sont barrées de longs traits obliques ; elles sont transcrites telles qu'on les lit.

\left\{ \begin{aligned} \underline{H}^i_Y(T_{X/S}) &\simeq 0 \quad\text{si } i \neq 2d\\ \underline{H}^{2d}_Y(T_{X/S}) &\simeq T_{Y/S} \end{aligned} \right. \Longrightarrow\quad \left\{ \begin{aligned} R^{i}_{!} g_{*Y}(T_{X/S}) &= 0 \quad\text{si } i < 2d\\ R^{2r}_{!} g_{*Y}(T_{X/S}) &\simeq R^{2r} g_{*Y}\bigl(\underline{H}^{2d}_Y(T_{X/S})\bigr) \end{aligned} \right. R^{2r} g_{*Y}\bigl(\underline{H}^{2d}_Y(T_{X/S})\bigr) \simeq R^{2r+2d}_{\substack{\text{supports propres}/S\\ \text{dans } Y}} f_{*}(T_{X/S}) dans la première accolade de droite, un exposant raturé avant i ; dans la seconde ligne, des surcharges sur l'exposant 2r et, sous le \simeq, un signe raturé.

la flèche oblique de la page part de la ligne R^{2r+2d}_{!} g_{*X}(T_{X/S}) vers (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_S ; le \mathbb{Z} y est écrit sur un premier signe raturé. Les indices g_{*Y}, g_{*X} sont lus tels quels.

Compatibilité avec les deux traces … S'exprime plus aisément quand on dispose de la catégorie dérivée, et ils nous donnent une forme plus complète.

18) Catégories dérivées ; application aux R_{!} f_{*}.

19) Th. de dualité globale.

ces deux derniers titres annoncent la suite ; le 18) est repris à la page suivante.

Les foncteurs entre cat. triangulées commutent aux foncteurs translation et transforment triangles distingués en triang. dist. itou …

D(C), D^-(C), D^b(C) importants sans qu'il y ait assez de projectifs.

Lf^* : D(Y) \longrightarrow D(X) \quad\text{quand on a } f : X \to Y D^+(Y) \to D^+(X) \quad \text{morphismes plats} D^-(Y) \to D^-(X) \quad \text{à topos annelés} D^+(Y) \to D^+(X) \quad \text{définition directe via résolutions injectives} ou définition indirecte par « passage au quotient ».

[Pour calculer Lf^*(K), pas besoin de remplacer K par une résolution injective] lecture de la phrase entre crochets très incertaine ; seuls « calculer », « Lf^*(K) » et « résolution » sont sûrs.

NB. Si f n'est pas plat, on ne peut f^* : D^+(Y) \to D^+(X) ( bonnes propriétés). Mais dans la suite de Verdier, explique comment construire un « dérivé gauche » de f^*, Lf^* : D^-(Y) \to D^-(X), en utilisant projectives mais des résolutions plates. On que si f est de « Tor-dim. finie » on définit D^+(Y) \to D^+(X), \qquad D^b(Y) \to D^b(X) . Rien n'empêche de construire un adjoint à droite, \mathbb{R}f^{\times}, mais il n'a pas la variance intuitive.