Cote n° 33 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration

15) Classe fondamentale locale

21le numéro « 15 », cerclé, est de sa main, en tête de la page ; l'exposé numéroté qui précède se trouve avant ce lot.

On fixe un entier \(n\) premier aux car. résiduelles.

Classe fondamentale locale

Supposons \(Y \hookrightarrow X\) « intersection complète de dim. relative \(1\) » et supposons d'abord \(Y = V(\varphi)\), \(\varphi\) section régulière de \(\mathcal{O}_X\). Alors si \(i : X - Y = U \to X\), alors \(i_*(\mathcal{O}_U) \simeq \mathcal{O}_X[1/\varphi]\), \(i_*(\mathcal{O}_U^*) \to\) \[ \varphi \in \Gamma\bigl(i_*(\mathbb{G}_{m,U})\bigr) \] \(\to\ \in \Gamma(i_*(\mathbb{G}_{m,U}^*))\)

Donc D'ailleurs \(\varphi\) est déterminé mod multiplication par un […] \(\in \Gamma(X, i_*(\mathbb{G}_{m,X}))\), donc \(\varphi\) définit une section […] canonique de \(i_*(\mathcal{O}_U^*)/\) \(i_*(\mathbb{G}_{m,U})/\mathbb{G}_{m,X}\). Or on a la suite exacte canonique \[ 0 \to \underline{H}^0_Y(\mathbb{G}_{m,X}) \to \mathbb{G}_{m,X} \to i_*(\mathbb{G}_{m,U}) \xrightarrow{\ d\ } \underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X}) \to 0 \] sous \(\underline{H}^0_Y(\mathbb{G}_{m,X})\) il écrit « \(= 0\) » verticalement, et le \(0\) final est placé sous \(\underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X})\), au bout d'une flèche verticale.

qui donne ici […] \[ \underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X}) \xrightarrow{\ \sim\ } i_*(\mathbb{G}_{m,U})/\mathbb{G}_{m,X} \] et montre que \(d\varphi\) est une section canonique de \(\underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X})\), que nous noterons […] \(\beta_{Y/X}\). D'autre part, on a la suite exacte de Kummer \[ 0 \to \mu_{n,X} \to \mathbb{G}_{m,X} \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{G}_{m,X} \to 0 \]

23d'où \[ \partial_n : \underline{H}^1_Y(\mathbb{G}_{m,X}) \longrightarrow \underline{H}^2_Y(\mu_{n,X}) \] et nous pouvons […] poser \[ \gamma^{(n)}_{Y/X} = \partial_n(\beta_{Y/X}) \in \Gamma\bigl(X, \underline{H}^2_Y(\mu_{n,X})\bigr) \] le \(X\) de \(\Gamma(X, \dots)\) paraît surchargé ; la lecture \(Y\) n'est pas exclue.

en laissant tomber les exposants \(n\) […] […] […] […] […] la définition de Cette section satisfait […] […] : la définition au Zariski […] \(=\) […] […] […] base […] \(X' \to X\) tel que \(Y'\) soit une « int. complète » (i.e. \(\varphi'\) section régulière) et que […] […]

pour […] définir \(\gamma^{(n)}_{Y/X}\) en général ⌜maintenant⌝ (sans répétition […]). Si \(Y\) intersection complète de codim. \(d\), […] localement \(Y\) […] […] de la forme \[ Y = Y_1 \cap \dots \cap Y_d \] et on pose \[ \gamma_{Y/X} = \gamma_{Y_1/X} \cdot \ldots \cdot \gamma_{Y_d/X} \in \Gamma\bigl(Y, \underline{H}^{2d}_Y(\mu_n^{\otimes d})\bigr) \] au-dessus du premier point de produit, un signe biffé (peut-être « cup »).

(cup-produit), et on prouve que cela ne dépend pas du choix des \(Y_i\), donc se définit globalement.

Propriétés formelles :

25propriétés caractéristiques la note marginale, écrite en biais, embrasse d'une accolade les propriétés (i) à (iii).

(i) Compatibilité avec chgt de base ⌜admissible⌝.

(ii) Si \(Y = V(\varphi)\), \(\gamma^{(n)}_{Y/X} = d(\beta^{(n)}_{Y/X})\) comme ⌜dessus⌝.

(iii) \(\gamma^{(n)}_{Y.Y'/X} = \gamma^{(n)}_{Y/X} \cdot \gamma^{(n)}_{Y'/X}\) si \(Y\), \(Y'\) « sans comp. excédentaire ».

(iv) Compatibilité par excision.

(NB Le « bon » dieu se trouve dans \(\Gamma(Y, \underline{H}^{2d}_Y(\mathbb{Z}_\ell(d)))\), il y a un […] pour tt \(\ell\) premier aux car. résiduelles de \(Y\)).

Application à la construction de classes de cohom. associées à certains cycles.

Supposons \[ \underline{H}^i_Y\bigl((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_X\bigr) = 0 \quad\text{pour } i < 2d \] d'où également \[ \underline{H}^i_Y(\mu_{n,X}^{\otimes d}) = 0 \quad\text{pour } i < 2d . \] C'est la situation du th. de pureté, vrai

1. (i)\(X\), \(Y\) lisses sur une base \(S\)
2. (ii)\(Y\), \(X\) réguliers, \(X\) excellent, car. nulle
3. (iii)\(d = 1\), \(X\) normal.

27Alors la suite spectrale implique \[ H^i_Y(X, \mu_{n,X}^{\otimes d}) = 0 \quad\text{si } i < 2d \] \[ H^{2d}_Y(X, \mu_{n,X}^{\otimes d}) \simeq \Gamma\bigl(Y, \underline{H}^{2d}_Y(\mu_{n,X}^{\otimes d})\bigr) \] dans le dernier membre, un \(\mathbb{Z}/n\) biffé précède \(\mu_{n,X}^{\otimes d}\).

d'où un bon cocycle ⌜élément⌝ canonique \[ \gamma^{(n)}_{Y/X} \in H^{2d}_Y(X, \mu_{n,X}^{\otimes d}) \] [qu'on peut maintenant spécialiser dans \(H^{2d}(X, \mu_{n,X}^{\otimes d})\), ou si \(X\) est propre sur un \(S\) dans \(H^{2d}_{\Phi_{Y/X}}(X, \mu_{n,X})\).] l'indice \(\Phi_{Y/X}\) du dernier groupe est glosé par une flèche : « famille de supports » ; il est écrit sous un \(H^{2d}\) dont la lecture de l'indice reste incertaine.

N.B. (\(\beta_{Y/X} \in H^1_Y(X, \mathbb{G}_{m,X})\) et \(\gamma^{(n)}_{Y/X} = \partial_n(\beta_{Y/X})\), en particulier […] […] \(H^2_Y(X, \mathbb{G}_{m,X})\) est nulle).

Exemple 1. \(X\) lisse sur \(k\) ⌜sép. clos⌝, \(x\) pt dim relative \(d\), ⌜\(x\) pt rat. de \(X\) sur \(k\), d'où⌝ il résulte des […] […] th. de […] \[ \gamma_{x/X} \in H^{2d}_{!}(X, \mu_{n,X}^{\otimes d}) . \] Je vais résulter de […] le théorème qui […] […] que […] cet élément ne dépend pas de \(x\) si \(X\) est géom. connexe, d'où un élément de \(H^{2d}_{!}(X, \mu_{n,X}^{\otimes d})\) et un dépend pas du choix de \(x\). ce passage est souligné par lui depuis « d'où un élément » jusqu'à « choix de \(x\) » ; la syntaxe de la fin de phrase n'est pas sûre.

C'est ce qu'on avait vérifié directement dans le cas où \(d = 1\), ⌜nous ramenant⌝ au cas de \(C\) en la courbe […] […] complète où on dispose déjà

29(par le th. de Kummer global) d'un isom. canonique \[ t : H^2(X, \mu_{n,X}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} . \] On avait vérifié simplement \[ t(\gamma_{x/X}) = 1 . \]

Exemple 2. \(X\) et \(Y\) lisses sur \(S\), \(Y\) de codim. \(d\) dans \(X\) en chaque pt. Alors on est dans les conditions favorables, qui impliquent ⌜non⌝ aussi […]

\begin{tikzcd}[column sep=small]
  \Gamma\bigl(Y, \underline{H}^{2d}_Y(\mu_{n,X}^{\otimes d})\bigr) \arrow[d, "\wr"] & \\
  H^{2d}_Y(X, \mu_{n,X}^{\otimes d}) \arrow[r] & \Gamma\bigl(S, R^{2d}_{!} f_{*}(\mu_{n,X}^{\otimes d})\bigr)
\end{tikzcd}

à la première ligne, une flèche biffée menait de \(\Gamma(Y, \dots)\) à \(H^0(S, R^{2d}_{!} f_{*}(\mu\dots\), abandonné ; au début du second terme de la seconde ligne, un signe raturé.

16) Classes fondamentales globales

31On fixe un entier \(n > 0\), et on […] Soit \(f : X \to Y\) morphisme ⌜morphismes⌝ […] faisceaux de \(n\)-torsion (i.e. Modules sur \(A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)), et les […] premiers à […] […] les préschémas où \(n\) est inversible, i.e. tels que \(n \cdot 1_{\mathcal{O}_X}\) est inversible dans \(\mathcal{O}_X\).

Si \(f : X \to Y\) est un morphisme lisse, de dim. relative \(d\), ou disons qu'il est ⌜purement⌝ ⌜de⌝ dim. \(d\) ⌜disons⌝ dans les fibres […] […] […], \[ T^{(n)}_{X/Y} \quad\text{ou simplement}\quad T_{X/Y} \] […] confusion possible, le faisceau \(\mu_{n,X}^{\otimes d}\). [Si \(f\) est lisse de dim. ⌜relative⌝ […] quelconque, alors on a […] […] […] […] […] \(T_{X/Y}\) […] […] […] […] […] […].]

Nous regardons par la suite des morphismes lisses compactifiables purement de dim. \(d\) \(f : X \to Y\). Pour un tel morphisme, on peut définir un […] ⌜homom.⌝ canonique

33\[ \mathrm{Tr}_f : R^{2d}_{!} f_{*}(T_{X/Y}) \longrightarrow A_Y \] l'\(A\) de \(A_Y\) est écrit sur un premier \(A\) raturé.

Tel que les propriétés suivantes :

(i) Exact. de base […]

(ii) Transitivité pour un […] ⌜composé⌝ \(gf\) [NB. \(R^{2(d+d')}_{!}(gf)_{*} = (R^{2d}_{!} g)(R^{2d'}_{!} f)\)] l'exposant du premier membre a été retouché.

(iii) Cas où \(f\) est un isom.

(iv) […] Cas de \(\mathbb{P}^1_S \to S\) [avec \(S\) spectre d'un corps […] […] sép. clos] le diviseur l'isom. canonique fourni par le théorème de Kummer.

Les conditions caractérisent la donnée \(\mathrm{Tr}_f\). De plus

(v) Si \(f\) est à fibres connexes non vides, \(\mathrm{Tr}_f\) est un isom.

(vi) Compatibilité par la dualité.

[…]

17) Relations entre classes fond. locales et classes fondamentales globales

35

\begin{tikzcd}
  Y \arrow[r, hook, "i", "(d)"'] \arrow[d, "g"', "(r)"] & X \arrow[dl, "f", "(r+d)"'] \\
  S &
\end{tikzcd}

les étiquettes \((d)\), \((r)\), \((r+d)\) notent les codimension et dimensions relatives ; l'étiquette \((r)\) est surchargée.

\(T_{Y/X} \otimes T_{Y/S} \simeq T_{X/S}|Y\), \(T_{Y/S} \simeq \underline{H}^{2d}_Y(T_{X/S})\), \(R^{2r}_{!} f(T_{Y/S}) \simeq\) […], \(T_{Y/S} \simeq\) […] ces formules, encadrées, sont barrées de longs traits obliques ; elles sont transcrites telles qu'on les lit.

\[ \left\{ \begin{aligned} \underline{H}^i_Y(T_{X/S}) &\simeq 0 \quad\text{si } i \neq 2d\\ \underline{H}^{2d}_Y(T_{X/S}) &\simeq T_{Y/S} \end{aligned} \right. \] \[ \Longrightarrow\quad \left\{ \begin{aligned} R^{i}_{!} g_{*Y}(T_{X/S}) &= 0 \quad\text{si } i < 2d\\ R^{2r}_{!} g_{*Y}(T_{X/S}) &\simeq R^{2r} g_{*Y}\bigl(\underline{H}^{2d}_Y(T_{X/S})\bigr) \end{aligned} \right. \] \[ R^{2r} g_{*Y}\bigl(\underline{H}^{2d}_Y(T_{X/S})\bigr) \simeq R^{2r+2d}_{\substack{\text{supports propres}/S\\ \text{dans } Y}} f_{*}(T_{X/S}) \] dans la première accolade de droite, un exposant raturé avant \(i\) ; dans la seconde ligne, des surcharges sur l'exposant \(2r\) et, sous le \(\simeq\), un signe raturé.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  & R^{2r+2d}_{\text{supp.\ propres}/S,\ \subset Y} f_{*}(T_{X/S}) \arrow[d] \\
  (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_S & R^{2r+2d}_{!} g_{*X}(T_{X/S}) \arrow[l]
\end{tikzcd}

la flèche oblique de la page part de la ligne \(R^{2r+2d}_{!} g_{*X}(T_{X/S})\) vers \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_S\) ; le \(\mathbb{Z}\) y est écrit sur un premier signe raturé. Les indices \(g_{*Y}\), \(g_{*X}\) sont lus tels quels.

Compatibilité avec les deux traces … S'exprime plus aisément quand on dispose ⌜de la⌝ catégorie ⌜dérivée⌝, et ils nous […] donnent une forme plus ⌜complète⌝.

18) Catégories dérivées ; application aux \(R_{!} f_{*}\).

19) Th. de dualité globale.

ces deux derniers titres annoncent la suite ; le 18) est repris à la page suivante.

18) Catégories dérivées

37Les foncteurs entre cat. triangulées […] ⌜commutent⌝ aux foncteurs translation et transforment triangles distingués en ⌜triang. dist.⌝ […] itou …

\(D(C)\), \(D^-(C)\), \(D^b(C)\) importants […] sans qu'il y ait assez de projectifs.

\[ Lf^* : D(Y) \longrightarrow D(X) \quad\text{quand on a } f : X \to Y \] \[ D^+(Y) \to D^+(X) \quad \text{morphismes plats} \] \[ D^-(Y) \to D^-(X) \quad \text{à topos annelés} \] \[ D^+(Y) \to D^+(X) \quad \text{définition directe via résolutions injectives} \] ou définition indirecte par « passage au quotient ».

[Pour calculer \(Lf^*(K)\), pas besoin de remplacer \(K\) par une résolution injective] lecture de la phrase entre crochets très incertaine ; seuls « calculer », « \(Lf^*(K)\) » et « résolution » sont sûrs.

NB. Si \(f\) n'est pas plat, […] on ne peut […] \[ f^* : D^+(Y) \to D^+(X) \] ([…] […] […] […] […] bonnes propriétés). Mais dans la suite de Verdier, […] explique comment construire un « dérivé gauche » de \(f^*\), \[ Lf^* : D^-(Y) \to D^-(X), \] en utilisant […] […] […] projectives mais des résolutions plates. On […] que si \(f\) est de « Tor-dim. finie » on définit \[ D^+(Y) \to D^+(X), \qquad D^b(Y) \to D^b(X) . \] Rien n'empêche de construire un adjoint à droite, \(\mathbb{R}f^{\times}\), mais il n'a pas la variance intuitive.

39Définition de \[ \mathbb{R}\mathrm{Hom}(F^{\bullet}, G^{\bullet}) = \mathrm{Hom}^*\bigl(F^{\bullet}, C^{\bullet}(G^{\bullet})\bigr) . \] […] Si […] […] des Modules sur un Topos, \[ \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(F^{\bullet}, G^{\bullet}) \] lié au précédent par \[ \boxed{\ \mathbb{R}\mathrm{Hom}(F^{\bullet}, G^{\bullet}) = \mathbb{R}\Gamma_X\, \mathbb{R}\underline{\mathrm{Hom}}(F^{\bullet}, G^{\bullet})\ } \] \[ \left\{ \begin{aligned} &\mathrm{Hom}(F^{\bullet}, C^{\bullet}) \text{ est aussi noté } \mathrm{Ext}^0(F^{\bullet}, C^{\bullet})\\ &\mathrm{Hom}(F^{\bullet}, C^{\bullet}(i)) \simeq \mathrm{Hom}(F(-i), C^{\bullet}) = \mathrm{Ext}^i(F^{\bullet}, C^{\bullet}) \end{aligned} \right. \] Notation \(\underline{\mathrm{Ext}}^i(F^{\bullet}; C^{\bullet})\) faisceaux. \[ \mathrm{Ext}^*(F^{\bullet}; C^{\bullet}) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^p\bigl(X, \underline{\mathrm{Ext}}^q(F^{\bullet}; C^{\bullet})\bigr) \] \[ {}'E_2^{pq} = H^p\bigl(X, \mathrm{Ext}^q(F^*, C^*)\bigr) \] pris terme à terme la note marginale renvoie par deux traits à \(F^*\) et \(C^*\) ; l'argument se poursuit vraisemblablement au-delà de ce lot.