Cote n° 33 · pages 1–180 · Lecture modernisée · SGA 1965. MS [Manuscrit] brouillon : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1965-[vers 1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier est une suite d'articles numérotés de sa main, de 1° à (32), suivie d'une couverture. Seules les pages impaires portent son écriture, à quelques exceptions près : la page 2 (une feuille de croquis), et, dans la dernière liasse, les pages 164, 165, 166, 169, 171, 173, 175, 177 et 179 ; les autres sont les versos dactylographiés de textes étrangers à ces notes. Les stations de l'argument sont les suivantes.

• Pages 1 à 19 — le programme (articles 1° à 14) : site étale, points géométriques, localisation stricte, les grands théorèmes (changement de base propre, comparaison, dimension cohomologique, pureté, finitude), et la définition de \(Rf_{!}\).
• Pages 21 à 35 — les classes fondamentales (15 à 17) : classe locale d'un sous-schéma par la suite de Kummer, trace d'un morphisme lisse, compatibilité des deux.
• Pages 37 à 59 — passage aux catégories dérivées et dualité (18 à 22) : \(Lf^{*}\), \(R\mathcal{H}om\), \(Rf_{!}\) sur les complexes, l'énoncé annoncé de la dualité globale (un titre seul, page 45), la dualité pour une immersion, la pureté relative.
• Pages 61 à 83 — le foncteur \(Rf^{!}\) (23, 23 bis, 24) : sa définition pour un morphisme qui se plonge dans un morphisme lisse, l'indépendance de la factorisation, les morphismes de Gysin.
• Pages 85 à 119 — le formulaire (25 et 26) : tableau des relations entre les six opérations, puis produit tensoriel dérivé, formule de projection pour \(Rf_{!}\), formule de Künneth.
• Pages 121 à 161 — Lefschetz ((3), (30) à (32)) : la page où il choisit sa route ; trace d'un endomorphisme de complexe parfait ; complexes de Tor-dimension finie ; formule de Lefschetz–Verdier et termes locaux.
• Pages 163 à 179 — « Compléments dualité » : listes et énoncés à vérifier.

La numérotation a des trous qui sont des faits du dossier. Les articles 18) et 19) sont annoncés page 35, le 19) (« Th. de dualité globale ») ne reçoit page 45 qu'un titre, numéroté « § (9) » ; les articles 27 à 29 manquent, et la page 121 s'ouvre sur un point « (3) » dont les deux premiers sont absents. Ce que le dossier annonce sans l'établir est relevé à sa place et rassemblé en tête du fichier.

Conventions, valables pour tout le dossier

• On fixe un entier \(n \geq 1\) et l'on pose \(\Lambda = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (il l'appelle \(A\)). Sauf mention contraire, \(n\) est inversible sur tous les schémas considérés — « premier aux caractéristiques résiduelles ». Les faisceaux sont des faisceaux étales de \(\Lambda\)-modules, et \(D(X)\), \(D^{+}(X)\), \(D^{-}(X)\), \(D^{b}(X)\) désignent les catégories dérivées correspondantes.
• Les opérations reçoivent leurs noms d'aujourd'hui : \(Rf_{*}\), \(f^{*}\), \(Rf_{!}\), \(Rf^{!}\), \(R\mathcal{H}om\), \(\overset{L}{\otimes}\).¹
• Pour un entier \(d\), \(\Lambda(d) = \mu_{n}^{\otimes d}\) (torsion de Tate). Quand \(d\) est une dimension relative, on garde son nom : pour \(f : X \to S\) lisse purement de dimension relative \(d\), \(T_{X/S} = \Lambda(d)\) ; pour une immersion fermée \(Y \hookrightarrow X\) de sous-schémas lisses sur une même base, de codimension \(c\), \(T_{Y/X} = \Lambda(c)\), de sorte que \(T_{X/S}|_{Y} \simeq T_{Y/X} \otimes T_{Y/S}\).
• \(K_{X}\) désigne le complexe dualisant de \(X\) relatif à la base fixée (\(K_{X} = Ra^{!}\Lambda\) pour \(a : X \to S\)), et \(D_{X} = R\mathcal{H}om(-, K_{X})\).²
• Les degrés sont cohomologiques partout, y compris à l'article (31), où la page indexe homologiquement ; la conversion est signalée sur place.

1–19

Le programme (pages 1 à 19)

La première page annonce trois parties : (a) poursuivre l'étude de la cohomologie étale à coefficients de torsion, en développant le formalisme de dualité et des formules de Künneth et de Lefschetz ; (b) étendre le formalisme aux coefficients \(\ell\)-adiques ; (c) appliquer le tout aux fonctions \(L\). Le dossier est presque entièrement consacré à (a). Suit une liste numérotée, que nous restituons en énoncés.

1–3

Site, topos, points (articles 1° à 6°, pages 1 à 3)

Le site étale \(X_{\text{ét}}\) d'un schéma \(X\), ses faisceaux, sa cohomologie. Pour \(X = \operatorname{Spec}(k)\), le topos étale est équivalent à la catégorie des ensembles discrets munis d'une action continue du groupe profini \(\pi = \operatorname{Gal}(k^{s}/k)\).³ Un morphisme \(f : X \to Y\) définit un morphisme de topos, avec \(f^{*}\) exact (il commute aux limites inductives quelconques et aux limites projectives finies) et \(f_{*}\) commutant aux limites projectives ; d'où la transitivité et la suite spectrale de Leray.

Un point géométrique \(\xi \to X\) définit un foncteur fibre \(F \mapsto F_{\xi} = \varinjlim F(X')\), la limite portant sur les voisinages étales de \(\xi\) ; la famille de ces foncteurs est conservative. L'anneau \(\mathcal{O}_{X,\xi} = \varinjlim \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\) est le hensélisé strict de \(X\) en \(\xi\) — hensélien à corps résiduel séparablement clos — et, si \(\overline{X} = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_{X,\xi}\), on a \(F_{\xi} = \Gamma(\overline{X}, F|_{\overline{X}})\). Application (6°) : les fibres de \(R^{q}f_{*}F\), pour \(f\) quasi-compact et quasi-séparé, sont la cohomologie des images inverses sur les hensélisés stricts. Une note de marge remarque que 5° et 6° n'ont pas de véritable analogue dans les espaces topologiques ordinaires.

3–13

Les grands théorèmes (articles 7° à 12, pages 3 à 13)

Changement de base propre. Si \(f : X \to Y\) est propre et \(F\) de torsion sur \(X\), la formation des \(R^{q}f_{*}F\) commute à tout changement de base \(Y' \to Y\) ; en particulier \((R^{q}f_{*}F)_{\bar y} \simeq H^{q}(X_{\bar y}, F)\), et, pour \(X\) propre sur un corps séparablement clos \(k\) et \(K \supset k\) séparablement clos, \(H^{i}(X,F) \simeq H^{i}(X_{K}, F)\). Le même énoncé vaut sans propreté si \(Y' \to Y\) est lisse, \(f\) quasi-compact et quasi-séparé et \(F\) de torsion première aux caractéristiques résiduelles de \(Y\) (changement de base lisse) ; et l'invariance par extension du corps séparablement clos vaut sans propreté pour \(F\) de torsion première à la caractéristique.

Comparaison. Pour \(X\) de type fini sur \(\mathbb{C}\) et \(F\) de torsion constructible, \(H^{i}(X, F) \to H^{i}(X^{\mathrm{an}}, F^{\mathrm{an}})\) est un isomorphisme ; de même pour les \(R^{i}f_{*}\) d'un morphisme de type fini.⁴ Il propose, comme énoncé à prouver, une version relative au-dessus d'un espace analytique \(Y\) : pour \(f : X \to Y\) de type fini et \(F\) constructible de torsion, les flèches \(H^{q}(X,F) \to H^{q}(X^{\mathrm{an}}, F^{\mathrm{an}})\) et \((R^{q}f_{*}F)^{\mathrm{an}} \to R^{q}f^{\mathrm{an}}_{*}F^{\mathrm{an}}\) devraient être des isomorphismes, d'où, par passage à la limite sur les voisinages d'un point \(y\), une comparaison entre la cohomologie du schéma \(X \times_{Y} \operatorname{Spec}\mathcal{O}_{Y,y}\) et la limite des cohomologies analytiques des \((f^{\mathrm{an}})^{-1}(U)\). Une marge ajoute : « Devrait aussi se généraliser au contexte rigide-analytique … ».⁵

Spécialisation (9°). Si \(f : X \to Y\) est propre et lisse et \(F\) localement constant constructible de torsion première aux caractéristiques résiduelles, les \(R^{q}f_{*}F\) sont localement constants constructibles.⁶

Dimension cohomologique (10°). Si \(X\) est de type fini sur un corps séparablement clos, de dimension \(n\), et \(F\) de torsion, \(H^{i}(X,F) = 0\) pour \(i > 2n\) ; si \(X\) est affine, déjà pour \(i > n\) (théorème de type Lefschetz, aujourd'hui « théorème d'annulation d'Artin »). Il commente : la dimension « topologique » d'une variété est le double de sa dimension de Krull, et l'abaissement dans le cas affine « peut donner des idées fausses ». La page suivante renvoie à Artin, Woods Hole.

Supports (11). Les sous-faisceaux du faisceau final sont les ouverts de \(X\). Si \(U\) est ouvert, de fermé complémentaire \(Y\), les faisceaux qui sont le faisceau final sur \(U\) forment une catégorie équivalente à celle des faisceaux sur \(Y\), par l'image directe ; en particulier les faisceaux abéliens sur \(X\) nuls sur \(U\) « sont » les faisceaux abéliens sur \(Y\). On définit \(\Gamma_{Y}(F) \subset \Gamma(X,F)\), le faisceau \(\underline{\Gamma}_{Y}(F) \subset F\) des sections à support dans \(Y\), et leurs dérivés : \[ H^{i}_{Y}(X, F) \simeq \operatorname{Ext}^{i}(\mathbb{Z}_{Y}, F), \qquad \underline{H}^{i}_{Y}(F) \simeq \mathcal{E}xt^{i}(\mathbb{Z}_{Y}, F) \simeq R^{i-1}u_{*}(F|_{U}) \quad (i \geq 2), \] où \(\mathbb{Z}_{Y}\) est le faisceau constant de \(Y\) prolongé par zéro et \(u : U \to X\) l'inclusion ; pour \(i = 0, 1\), ce sont le noyau et le conoyau de \(F \to u_{*}(F|_{U})\).⁷

Pureté (12). Si \(Y \subset X\) sont lisses sur un corps \(k\), \(Y\) de codimension \(p\) en chaque point, alors pour \(n\) inversible \[ \underline{H}^{i}_{Y}(\Lambda_{X}) = 0 \quad (i \neq 2p), \qquad \underline{H}^{2p}_{Y}(\Lambda_{X}) \simeq \Lambda_{Y}(-p) = \mu_{n}^{\otimes(-p)}. \] Le faisceau \(\mu_{n}\), noyau de l'élévation à la puissance \(n\) dans \(\mathbb{G}_{m}\), est un schéma en groupes fini et plat ; si \(n\) est inversible il est étale, localement isomorphe à \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), « et il ne faut surtout pas les confondre » : le choix d'une racine primitive \(\zeta\) fournit un isomorphisme \(\mu_{n}^{\otimes d} \simeq \Lambda\), qui est multiplié par \(\lambda^{d}\) si l'on remplace \(\zeta\) par \(\zeta^{\lambda}\). La pureté se démontre « immédiatement » par changement de base lisse. Il pose le problème d'une pureté absolue, où la lissité est remplacée par la régularité, et note qu'elle dépend de la résolution des singularités.⁸ Une remarque de marge demande d'expliquer la classe fondamentale — c'est l'objet de l'article 15.

13–19

Constructibilité et supports propres (articles 13 et 14, pages 13 à 19)

Constructibilité. Un faisceau est constructible s'il existe une partition finie de \(X\) en parties localement fermées sur chacune desquelles il est localement constant, à fibres de type fini. Théorème : si \(f : X \to Y\) est propre et \(Y\) localement noethérien, les \(R^{i}f_{*}F\) d'un faisceau de torsion constructible sont constructibles ; corollaire : pour \(X\) propre sur un corps séparablement clos, les \(H^{i}(X, F)\) sont finis. Il demande l'extension à \(f\) de type fini, qui « se ramène au cas d'une immersion » puis, par résolution des singularités et pureté, ou plutôt par des « bons modèles ».⁹

Supports propres. Soit \(f : X \to Y\) compactifiable, c'est-à-dire composé \(X \xrightarrow{\,i\,} \overline{X} \xrightarrow{\,\bar f\,} Y\) d'une immersion ouverte et d'un morphisme propre (c'est le cas, dit-il, si \(f\) est quasi-projectif et \(Y\) quasi-compact).¹⁰ Pour \(F\) de torsion sur \(X\), on pose \[ R^{q}f_{!}F = R^{q}\bar f_{*}(i_{!}F), \] \(i_{!}\) désignant le prolongement par zéro ; c'est un foncteur cohomologique en \(F\), indépendant, à isomorphisme canonique près, de la compactification choisie.¹¹ Les propriétés sont « identiques à celles des \(R^{q}f_{*}\) quand \(f\) est propre » : comparaison avec le cas classique sur \(\mathbb{C}\), changement de base, finitude, suite spectrale de Leray ; si \(f\) est quasi-fini, \(R^{i}f_{!}F = 0\) pour \(i > 0\) ; enfin, si \(f\) est étale, il y a un homomorphisme trace canonique \[ \operatorname{Tr}_{f}(F) : f_{!}f^{*}F \longrightarrow F, \] d'où, pour \(f : X' \to X\) étale au-dessus de \(Y\) et \(g' = gf\), une flèche covariante \(R^{q}g'_{!}(f^{*}F) = R^{q}g_{!}(f_{!}f^{*}F) \to R^{q}g_{!}(F)\) .¹²

Classes fondamentales (pages 21 à 35)

21–29

La classe locale (article 15, pages 21 à 29)

Soit \(Y \hookrightarrow X\) un fermé et \(j : U = X - Y \to X\) l'ouvert complémentaire. Supposons d'abord \(Y = V(\varphi)\), où \(\varphi\) est une section régulière (non diviseur de zéro) de \(\mathcal{O}_{X}\). Alors \(\varphi\) est une section de \(j_{*}\mathbb{G}_{m,U}\), déterminée à une unité de \(X\) près, donc une section canonique de \(j_{*}\mathbb{G}_{m,U}/\mathbb{G}_{m,X}\). La suite exacte de cohomologie locale \[ 0 \to \underline{H}^{0}_{Y}(\mathbb{G}_{m,X}) \to \mathbb{G}_{m,X} \to j_{*}\mathbb{G}_{m,U} \xrightarrow{\ d\ } \underline{H}^{1}_{Y}(\mathbb{G}_{m,X}) \to 0, \] où le premier terme est nul parce que \(U\) est schématiquement dense, identifie \(\underline{H}^{1}_{Y}(\mathbb{G}_{m,X})\) à \(j_{*}\mathbb{G}_{m,U} / \mathbb{G}_{m,X}\) ; on pose \(\beta_{Y/X} = d\varphi\).¹³ La suite de Kummer \(0 \to \mu_{n} \to \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{n} \mathbb{G}_{m} \to 0\) (\(n\) inversible) donne un cobord \(\partial_{n} : \underline{H}^{1}_{Y}(\mathbb{G}_{m}) \to \underline{H}^{2}_{Y}(\mu_{n})\), et \[ \gamma_{Y/X} = \partial_{n}(\beta_{Y/X}) \in \Gamma\bigl(X, \underline{H}^{2}_{Y}(\mu_{n,X})\bigr). \] La définition est locale, compatible aux changements de base qui conservent l'hypothèse ; si \(Y\) est localement intersection complète de codimension \(d\), localement \(Y = Y_{1} \cap \dots \cap Y_{d}\) avec des \(Y_{k}\) comme ci-dessus, et l'on pose \(\gamma_{Y/X} = \gamma_{Y_{1}/X} \cup \dots \cup \gamma_{Y_{d}/X} \in \Gamma(X, \underline{H}^{2d}_{Y}(\mu_{n}^{\otimes d}))\), ce qui ne dépend pas du choix des \(Y_{k}\) et se recolle.¹⁴ Propriétés caractéristiques : (i) compatibilité aux changements de base admissibles ; (ii) le cas d'un diviseur \(V(\varphi)\) ; (iii) multiplicativité \(\gamma_{Y \cdot Y'/X} = \gamma_{Y/X}\cdot\gamma_{Y'/X}\) pour \(Y\), \(Y'\) sans composante excédentaire ; (iv) compatibilité à l'excision. La « bonne » classe, note-t-il, vit dans \(\Gamma(Y, \underline{H}^{2d}_{Y}(\mathbb{Z}_{\ell}(d)))\), pour tout \(\ell\) premier aux caractéristiques résiduelles.¹⁵

Classes de cycles. Supposons \(\underline{H}^{i}_{Y}(\Lambda_{X}) = 0\) pour \(i < 2d\) — situation de pureté, vraie (i) si \(X\) et \(Y\) sont lisses sur une base, (ii) si \(X\) et \(Y\) sont réguliers, \(X\) excellent de caractéristique nulle,¹⁶ (iii) si \(d = 1\) et \(X\) est normal. La suite spectrale \(H^{p}(X, \underline{H}^{q}_{Y}) \Rightarrow H^{p+q}_{Y}(X, -)\) donne alors \(H^{i}_{Y}(X, \Lambda(d)) = 0\) pour \(i < 2d\) et \[ H^{2d}_{Y}(X, \Lambda(d)) \simeq \Gamma\bigl(Y, \underline{H}^{2d}_{Y}(\Lambda(d))\bigr), \] d'où un élément canonique \(\gamma_{Y/X} \in H^{2d}_{Y}(X, \Lambda(d))\), qu'on peut envoyer dans \(H^{2d}(X, \Lambda(d))\) ou, si \(Y\) est propre sur une base \(S\), dans la cohomologie de \(X\) à supports propres sur \(S\).¹⁷

Exemple 1. Si \(X\) est lisse de dimension \(d\) sur un corps séparablement clos et \(x\) un point rationnel, \(\gamma_{x/X} \in H^{2d}_{c}(X, \Lambda(d))\) ; il annonce que cet élément ne dépend pas de \(x\) si \(X\) est connexe — ce qu'on avait vérifié directement pour \(d=1\) : sur une courbe propre lisse connexe, la théorie de Kummer globale fournit \(t : H^{2}(X, \mu_{n}) \xrightarrow{\sim} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), et \(t(\gamma_{x/X}) = 1\).¹⁸

Exemple 2. Si \(X\) et \(Y\) sont lisses sur \(S\), \(Y\) de codimension \(d\) et propre sur \(S\), on a \(\Gamma(Y, \underline{H}^{2d}_{Y}(\Lambda(d))) \simeq H^{2d}_{Y}(X, \Lambda(d)) \to \Gamma(S, R^{2d}f_{!}\Lambda(d))\).¹⁹

31–33

La classe globale : la trace (article 16, pages 31 et 33)

Pour \(f : X \to Y\) lisse, compactifiable, purement de dimension relative \(d\), il y a un homomorphisme canonique \[ \operatorname{Tr}_{f} : R^{2d}f_{!}(T_{X/Y}) \longrightarrow \Lambda_{Y}, \] caractérisé par : (i) la compatibilité aux changements de base ; (ii) la transitivité pour un composé — si \(g\) est lisse de dimension relative \(d'\), \(R^{2(d+d')}(gf)_{!} = R^{2d'}g_{!} \circ R^{2d}f_{!}\) en degré maximal ;²⁰ (iii) le cas d'un isomorphisme ; (iv) le cas de \(\mathbb{P}^{1}_{S} \to S\), \(S\) spectre d'un corps séparablement clos, où c'est l'isomorphisme de Kummer. De plus (v) si les fibres de \(f\) sont connexes et non vides, \(\operatorname{Tr}_{f}\) est un isomorphisme, et (vi) il est compatible à la dualité. C'est la trace du théorème de dualité de Poincaré.

35–35

Compatibilité des deux classes (article 17, page 35)

Soit \(i : Y \hookrightarrow X\) une immersion fermée de \(S\)-schémas lisses, \(g : Y \to S\) de dimension relative \(r\), \(f : X \to S\) de dimension relative \(r + d\). La pureté s'écrit \(\underline{H}^{q}_{Y}(T_{X/S}) = 0\) pour \(q \neq 2d\) et \(\underline{H}^{2d}_{Y}(T_{X/S}) \simeq T_{Y/S}\) (sur \(Y\)). Notons \(R^{q}_{Y}f_{!}\) la cohomologie à supports propres sur \(S\) et contenus dans \(Y\). La suite spectrale de cohomologie locale donne \(R^{q}_{Y}f_{!}(T_{X/S}) = 0\) pour \(q < 2d\) et \[ R^{2r+2d}_{Y}f_{!}(T_{X/S}) \simeq R^{2r}g_{!}(T_{Y/S}), \] et la compatibilité annoncée est la commutativité de \[ R^{2r}g_{!}(T_{Y/S}) \simeq R^{2r+2d}_{Y}f_{!}(T_{X/S}) \longrightarrow R^{2r+2d}f_{!}(T_{X/S}) \xrightarrow{\ \operatorname{Tr}_{f}\ } \Lambda_{S}, \] dont le composé doit être \(\operatorname{Tr}_{g}\).²¹ La compatibilité « s'exprime plus aisément quand on dispose de la catégorie dérivée » : d'où les deux titres qui suivent, 18) catégories dérivées, 19) théorème de dualité globale.

Catégories dérivées et dualité (pages 37 à 59)

37–39

Catégories dérivées (article 18, pages 37 et 39)

Les foncteurs entre catégories triangulées commutent à la translation et préservent les triangles distingués ; \(D\), \(D^{-}\), \(D^{b}\) sont utiles même sans assez de projectifs. Pour un morphisme de topos annelés, l'image inverse se dérive à gauche, sur \(D^{-}\), au moyen de résolutions plates — c'est la construction qu'il attribue à la « suite de Verdier » — et s'étend à \(D^{+}\) et \(D^{b}\) quand \(f\) est de Tor-dimension finie ; pour \(f\) plat, \(f^{*}\) est exact et passe directement aux \(D^{+}\).²²

Pour des complexes \(F\), \(G\), on définit \(R\operatorname{Hom}(F, G) = \operatorname{Hom}^{\bullet}(F, C(G))\), où \(C(G)\) est une résolution injective, et le faisceau \(R\mathcal{H}om(F, G)\), liés par \[ R\operatorname{Hom}(F, G) = R\Gamma\bigl(X, R\mathcal{H}om(F, G)\bigr) ; \] \(\operatorname{Ext}^{i}(F, G) = \operatorname{Hom}(F, G[i])\), les \(\mathcal{E}xt^{i}\) sont les faisceaux correspondants, et la suite spectrale \(E_{2}^{pq} = H^{p}(X, \mathcal{E}xt^{q}(F, G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}(F, G)\) relie les deux.²³

41–43

L'image directe à supports propres sur les complexes (pages 41 et 43)

Pour \(f\) compactifiable comme plus haut, \(Rf_{!} = R\bar f_{*} \circ i_{!} : D^{+}(X) \to D^{+}(Y)\), avec \(\mathcal{H}^{i}(Rf_{!}) = R^{i}f_{!}\). Il vérifie \(R(gf)_{!} \simeq Rg_{!}Rf_{!}\) et la compatibilité à l'extension de la base. Si \(Y\) est quasi-compact, \(\bar f_{*}\) est de dimension cohomologique finie (les fibres étant de dimension bornée), et \(Rf_{!}\) se prolonge à \(D(X) \to D(Y)\), en respectant \(D^{-}\), \(D^{+}\), \(D^{b}\).

Pour un carré cartésien, \(h : X' \to X\), \(g : Y' \to Y\), \(f' : X' \to Y'\), on définit pour tout \(f\) et tout \(F \in D^{+}(X)\) la flèche de changement de base \[ g^{*}Rf_{*}F \longrightarrow Rf'_{*}h^{*}F, \] qui redonne en cohomologie les \(g^{*}R^{i}f_{*}F \to R^{i}f'_{*}h^{*}F\) ; c'est un isomorphisme quand \(f\) est propre (changement de base propre).

45–47

La dualité globale, et un exemple (pages 45 et 47)

La page 45 ne porte qu'un titre : « Le th. de dualité globale : énoncé général pour un morphisme lisse compactifiable ».²⁴ La page 47 en donne l'exemple (article 20) : sur un corps \(k\) algébriquement clos, pour \(X\) de dimension \(d\), \(H^{i}_{c}(X, F)^{\vee} \simeq H^{-i}(X, D_{X}F)\), où \((-)^{\vee} = \operatorname{Hom}(-, \Lambda)\) ; si \(X\) est lisse et \(F\) localement constant constructible, \[ H^{i}_{c}(X, F)^{\vee} \simeq H^{2d-i}\bigl(X, \mathcal{H}om(F, \Lambda(d))\bigr), \] la dualité de Poincaré. « On retrouve le th. de finitude d'Artin. » Au-dessus d'une base \(S\) quelconque, pour \(f : X \to S\) lisse de dimension relative \(d\), si tous les \(R^{j}f_{!}F\) sont localement constants constructibles (par exemple \(f\) propre et lisse, \(F\) localement constant constructible), on a \[ \mathcal{H}om\bigl(R^{i}f_{!}F, \Lambda_{S}\bigr) \simeq \mathcal{H}^{-i}\bigl(Rf_{*}D_{X}F\bigr), \] et, pour \(F\) localement constant, \(\simeq R^{2d-i}f_{*}\mathcal{H}om(F, \Lambda(d))\).²⁵

49–53

La dualité pour une immersion (article 21, pages 49 à 53)

Soit \(i : Y \to X\) une immersion. Le foncteur \(i_{!}\) est exact (égal à \(i_{*}\) si \(i\) est fermée), donc \(Ri_{!} = i_{!}\). On définit \(i^{!}\), des complexes de \(X\) vers ceux de \(Y\),²⁶ en factorisant \(i\) en une immersion fermée \(i' : Y \to \mathcal{U}\) suivie d'une immersion ouverte \(j : \mathcal{U} \to X\), et en posant \(i^{!}F = i'^{*}\underline{\Gamma}_{Y}(j^{*}F)\). Il ne dépend pas de la factorisation, car il est adjoint à droite de \(i_{!}\) : \[ \operatorname{Hom}_{Y}(G, i^{!}F) \simeq \operatorname{Hom}_{X}(i_{!}G, F). \] Comme \(i_{!}\) est exact, \(i^{!}\) transforme injectifs en injectifs, d'où \(Ri^{!} : D^{+}(X) \to D^{+}(Y)\) et la formule de dualité pour les immersions, isomorphisme bifonctoriel \[ \operatorname{Hom}(G, Ri^{!}F) \simeq \operatorname{Hom}(i_{!}G, F), \] qui se vérifie en remplaçant \(F\) par une résolution injective. Si \(i\) est fermée, \(i_{*}Ri^{!} \simeq R\underline{\Gamma}_{Y}\) et \(\mathcal{H}^{q}(Ri^{!}F) \simeq i^{*}\underline{H}^{q}_{Y}(F)\). La co-unité de l'adjonction est l'homomorphisme trace \(\operatorname{Tr}_{i}(F) : i_{!}Ri^{!}F \to F\), « de la même façon que dans le cas du th. de dualité globale pour un morphisme lisse ».²⁷

55–59

La pureté relative comme conséquence de la dualité (article 22, pages 55 à 59)

Soit \(i : Y \hookrightarrow X\) une immersion fermée de \(S\)-schémas lisses, de codimension \(d\), \(f : X \to S\), \(g = fi\). Puisque \(Rg_{!} = Rf_{!}i_{!}\), l'unicité des adjoints donne \(Rg^{!} \simeq Ri^{!}Rf^{!}\). Avec \(Rf^{!}G = f^{*}G \otimes T_{X/S}[2\dim(X/S)]\) et la même formule pour \(g\), il vient \[ Ri^{!}(f^{*}G) \simeq g^{*}G \otimes T_{Y/X}^{-1}[-2d], \] c'est-à-dire \(\underline{H}^{q}_{Y}(f^{*}G) = 0\) pour \(q \neq 2d\) et \(\underline{H}^{2d}_{Y}(f^{*}G) \simeq g^{*}G \otimes T_{Y/X}^{-1}\) : le théorème de pureté relatif, pour tout faisceau \(G\) de la base.²⁸ Pour un \(Y\) plus général (ligne illisible), il se ramène, localement, au cas où \(X = \mathbb{A}^{d}_{S}\) et \(Y\) est sa section nulle — au moyen d'équations \(t_{1}, \dots, t_{d}\) de \(Y\), qui définissent un morphisme lisse \(X \to \mathbb{A}^{d}_{S}\) au voisinage de \(Y\) — par le changement de base lisse.

Le changement de base lisse comme conséquence de la dualité (« d'après Verdier »). Pour une immersion \(i : Y \to X\) et un morphisme lisse \(X' \to X\), de changé \(Y' \to Y\), il veut un isomorphisme \(g^{*}Ri^{!} \to Ri'^{!}f^{*}\), et l'obtient par adjonction : les adjoints de \(Rf_{!}Ri'_{!}\) et de \(Ri_{!}Rg_{!}\) sont « évidemment isomorphes ». Mais il faut prouver que l'isomorphisme ainsi obtenu est bien l'« adjoint » de la flèche de changement de base, « ce que je n'ai pas fait », et qui demanderait de savoir des choses sur des arguments non bornés — « ce qui me semble nullement clair ». La note s'arrête sur « Ref exposé d'Artin ».²⁹

Le foncteur \(Rf^{!}\) (pages 61 à 83)

61–71

Morphismes lissement compactifiables (article 23, pages 61 à 71)

Un morphisme \(f : X \to Y\) est lissement compactifiable s'il se factorise en une immersion \(i : X \to X'\) suivie d'un morphisme lisse (et projectif) \(f' : X' \to Y\) — par exemple si \(f\) est quasi-projectif (et \(Y\) convenable), via \(X \hookrightarrow \mathbb{P}^{r}_{Y}\). On pose \[ Rf^{!} = Ri^{!} \circ Rf'^{!} : D^{+}(Y) \to D^{+}(X), \qquad Rf'^{!}G = f'^{*}G \otimes T_{X'/Y}[2\dim(X'/Y)], \] et la dualité pour \(f'\) et pour \(i\) donne l'isomorphisme fonctoriel \[ \operatorname{Hom}(F, Rf^{!}G) \simeq \operatorname{Hom}(Rf_{!}F, G) \qquad (F \in D^{b}(X),\ G \in D^{+}(Y)). \] Quand \(f\) est lui-même lisse, cette définition doit coïncider avec la définition directe : c'est, dit-il, essentiellement le théorème de pureté relatif, avec la transitivité des degrés.³⁰

Indépendance de la factorisation. L'argument, dit-il, est dû à Hartshorne pour la dualité des faisceaux cohérents. Deux factorisations par \(X'\) et \(X''\) se comparent à la troisième, par \(X''' = X' \times_{Y} X''\) ; on est ramené à deux factorisations dont l'une domine l'autre, \(i' = g\,i''\) avec \(g : X'' \to X'\) lisse, puis, par la transitivité \(Rf''^{!} \simeq Rg^{!}Rf'^{!}\) des morphismes lisses, au cas \(X' = Y\). Changeant de notations : on a un morphisme lisse \(g : X \to Y\), une immersion \(i : Y' \to Y\), et une immersion de \(Y'\) dans \(X\) au-dessus de \(Y\), c'est-à-dire une section \(\sigma\) de \(g' : X' = X \times_{Y} Y' \to Y'\) ; soit \(j : X' \to X\) la projection, immersion déduite de \(i\). Il s'agit de prouver \[ Ri^{!} \simeq R(j\sigma)^{!}\,Rg^{!} \] (et une compatibilité des traces). Elle résulte de deux isomorphismes : \[ \text{(a)}\ \ Rg'^{!}\,Ri^{!} \simeq Rj^{!}\,Rg^{!}, \qquad \text{(b)}\ \ \mathrm{id} \simeq R\sigma^{!}\,Rg'^{!}, \] car alors \(Ri^{!} \simeq R\sigma^{!}Rg'^{!}Ri^{!} \simeq R\sigma^{!}Rj^{!}Rg^{!} \simeq R(j\sigma)^{!}Rg^{!}\).³¹ L'isomorphisme (b) relève des classes fondamentales locales et globales (pureté pour une section d'un morphisme lisse) ; (a), qui s'écrit après décalage et torsion \(g'^{*}Ri^{!} \simeq Rj^{!}g^{*}\), est le changement de base lisse.³² La compatibilité aux traces, qui reste à vérifier, est laissée.

Deux remarques : la fonctorialité de \(Rf^{!}\) et les compatibilités aux transitivités sont renvoyées au « formulaire » (article 25) ; et l'hypothèse « lissement compactifiable » devrait pouvoir être affaiblie, la définition de \(Rf^{!}\) par recollement valant pour \(f\) localement de type fini. Il note enfin la flèche trace \(\operatorname{Tr}_{f} : Rf_{!}Rf^{!} \to \mathrm{id}\), co-unité de l'adjonction.³³

73–81

Sous-schéma lisse d'un schéma lisse ; Gysin (article 23 bis, pages 73 à 81)

Soit \(i : Y \hookrightarrow X\) une immersion fermée de \(S\)-schémas lisses, de codimension \(d\), \(f : X \to S\) de dimension relative \(r\), \(g : Y \to S\) de dimension relative \(r - d\). La pureté donne \(Ri^{!}(T_{X/S}) \simeq T_{Y/S}[-2d]\), et la trace de \(i\) un homomorphisme \(i_{*}T_{Y/S}[-2d] \to T_{X/S}\) ; en appliquant \(Rf_{!}\), \[ Rg_{!}(T_{Y/S})[-2d] \longrightarrow Rf_{!}(T_{X/S}), \qquad R^{q-2d}g_{!}(T_{Y/S}) \longrightarrow R^{q}f_{!}(T_{X/S}), \] et pour \(q = 2r\), \(R^{2(r-d)}g_{!}(T_{Y/S}) \to R^{2r}f_{!}(T_{X/S})\), qui (a) est compatible aux traces : composé avec \(\operatorname{Tr}_{f}\), il donne \(\operatorname{Tr}_{g}\).³⁴ (b) Plus généralement, pour tout \(G\) sur \(S\), \(Rg^{!}G \simeq Ri^{!}Rf^{!}G\), ce qui « généralise le th. de pureté relatif » et « devrait être explicité dans SGAA » ; on en tire \(\underline{H}^{q}_{Y}(f^{*}G) = 0\) pour \(q \neq 2d\), \(\simeq g^{*}G \otimes T_{Y/X}^{-1}\) pour \(q = 2d\), et l'homomorphisme canonique \(i_{*}Rg^{!}G \to Rf^{!}G\) rend commutatif le triangle \[ \operatorname{Tr}_{f} \circ Rf_{!}\bigl(i_{*}Rg^{!}G \to Rf^{!}G\bigr) = \operatorname{Tr}_{g} : Rg_{!}Rg^{!}G \to G. \] Il en conclut que l'isomorphisme de dualité \(\Theta_{g}\) est « induit » par \(\Theta_{f}\), au moyen de l'isomorphisme de dualité (trivial) \(\Theta_{i}\) et de l'isomorphisme de transitivité : pour \(F\) sur \(Y\), le carré \[ \operatorname{Ext}^{q}_{Y}(F, Rg^{!}G) \xrightarrow{\Theta_{g}} \operatorname{Ext}^{q}_{S}(Rg_{!}F, G), \qquad \operatorname{Ext}^{q}_{X}(i_{*}F, Rf^{!}G) \xrightarrow{\Theta_{f}} \operatorname{Ext}^{q}_{S}(Rf_{!}i_{*}F, G) \] commute, les flèches verticales étant \(\Theta_{i}\) et la transitivité.

Il enchaîne sur deux points : 2°) la transitivité \(R(gf)^{!} \simeq Rf^{!}Rg^{!}\) ; 3°) le cas de deux \(Z\)-schémas lisses. Soient \(g : Y \to Z\) lisse de dimension relative \(d\), \(h : X \to Z\) lisse de dimension relative \(d'\), et \(f : X \to Y\) un \(Z\)-morphisme quelconque (compactifiable). Pour \(F\) sur \(Z\), \(g^{*}F = g^{!}F \otimes T_{Y/Z}^{-1}[-2d]\), d'où \[ Rf^{!}(g^{*}F) \simeq h^{!}F \otimes T_{Y/Z}^{-1}[-2d] \simeq h^{*}F \otimes T_{X/Y}[2d_{X/Y}], \qquad T_{X/Y} = T_{X/Z} \otimes T_{Y/Z}^{-1},\quad d_{X/Y} = d' - d. \] Entre schémas lisses sur une même base, tout morphisme se comporte donc, pour \(Rf^{!}\), comme un morphisme lisse de « dimension relative » \(d_{X/Y}\), éventuellement négative — ce qu'on appelle aujourd'hui la dimension relative virtuelle.³⁵

Page 81, les morphismes de Gysin qui en résultent, sans condition de finitude sur \(f\) : en appliquant \(Rg_{!}\) à la trace \(Rf_{!}Rf^{!}(g^{*}F) \to g^{*}F\), \[ Rh_{!}\bigl(h^{*}F \otimes T_{X/Y}[2d_{X/Y}]\bigr) \longrightarrow Rg_{!}(g^{*}F), \qquad R^{q+2d_{X/Y}}h_{!}(h^{*}F)(d_{X/Y}) \longrightarrow R^{q}g_{!}(g^{*}F), \] et, si \(f\) est propre et \(Z\) le spectre d'un corps, \(H^{q+2d_{X/Y}}(X, h^{*}F)(d_{X/Y}) \to H^{q}(Y, g^{*}F)\). Pour une immersion fermée de codimension \(c\), \(d_{X/Y} = -c\) et l'on retrouve le Gysin qui élève le degré de \(2c\). Il admet que ces morphismes satisfont la transitivité qui s'impose.³⁶

83–83

Trace et Gysin en général (article 24, page 83)

Pour \(f : X \to Y\) localement compactifiable et \(G \in D^{+}(Y)\), la co-unité \(Rf_{!}Rf^{!}G \to G\) donne \(R^{q}f_{!}(Rf^{!}G) \to \mathcal{H}^{q}(G)\) et \(H^{q}_{\Phi(f)}(X, Rf^{!}G) \to H^{q}(Y, G)\), \(\Phi(f)\) désignant la famille des supports propres sur \(Y\) ; pour \(f\) propre, \(H^{q}(X, Rf^{!}G) \to H^{q}(Y, G)\). Variante au-dessus d'une base \(Z\), avec \(h = gf\) : \(Rh_{!}(Rf^{!}G) \to Rg_{!}G\), et \(H^{q}_{\Phi(h)}(X, Rf^{!}G) \to H^{q}_{\Phi(g)}(Y, G)\).

Le formulaire (pages 85 à 119)

85–97

Les six opérations (article 25, pages 85 à 97)

Le titre annonce un « formulaire de \(Rf_{!}\), \(Rf_{*}\), \(Rf^{!}\), \(f^{*}\), et \(\overset{L}{\otimes}\) et \(R\mathcal{H}om\) » — quatre opérations entre catégories et deux opérations internes : ce sont les six opérations. \(Rf_{!}\) est défini pour \(f\) compactifiable, \(Rf^{!}\) pour \(f\) « lissifiable » au sens de l'article 23.

1° Transitivités. \[ R(gf)_{*} \simeq Rg_{*}Rf_{*}, \quad (gf)^{*} \simeq f^{*}g^{*}, \quad R(gf)_{!} \simeq Rg_{!}Rf_{!}, \quad R(gf)^{!} \simeq Rf^{!}Rg^{!}. \] Pour \(Rf^{!}\) cela résulte « immédiatement » par adjonction. Une démonstration directe se décompose en trois cas : deux morphismes lisses, deux morphismes dont l'un est une immersion (triviaux), et la commutation des images inverses, qui est le changement de base lisse. Il faudrait vérifier que pour trois composés les isomorphismes de transitivité satisfont la compatibilité habituelle : « Nous l'admettrons. »

2° Adjonctions. \[ \operatorname{Hom}(Rf_{!}F, G) \simeq \operatorname{Hom}(F, Rf^{!}G), \qquad \operatorname{Hom}(f^{*}G, F) \simeq \operatorname{Hom}(G, Rf_{*}F), \] la seconde étant triviale (on remplace \(F\) par une résolution injective).

3° Formules de projection (sous forme interne) : \[ R\mathcal{H}om(Rf_{!}F, G) \simeq Rf_{*}R\mathcal{H}om(F, Rf^{!}G), \qquad R\mathcal{H}om(G, Rf_{*}F) \simeq Rf_{*}R\mathcal{H}om(f^{*}G, F), \] la première étant la forme faisceautique de la dualité de Verdier ;³⁷ et, pour la forme tensorielle, \(G \overset{L}{\otimes} Rf_{*}F \simeq Rf_{*}(f^{*}G \overset{L}{\otimes} F)\) si \(G\) est localement libre de type fini, ce qui « peut se généraliser » à \(G\) localement constant.³⁸ Les isomorphismes 2° et 3° s'expriment à l'aide de la trace \(\operatorname{Tr}_{f} : Rf_{!}Rf^{!} \to \mathrm{id}\) et de l'unité \(\tau_{f} : \mathrm{id} \to Rf_{*}f^{*}\), et il y a des compatibilités entre eux et les transitivités de 1°.

4° Changement de base. Pour un carré cartésien de flèches \(g : Y' \to Y\), \(g' : X' \to X\), \(f\), \(f'\) : \[ g^{*}Rf_{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_{!}g'^{*} \quad (\text{toujours}), \qquad g^{*}Rf_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_{*}g'^{*} \quad (f \text{ propre, ou } g \text{ lisse}), \] \[ g'^{*}Rf^{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'^{!}g^{*} \quad (f \text{ ou } g \text{ lisse}), \qquad Rg^{!}Rf_{*} \simeq Rf'_{*}Rg'^{!} \quad (\text{toujours}). \] La dernière, note-t-il, est conséquence de la première par adjonction.³⁹

5° Formules d'induction. \[ Rf^{!}R\mathcal{H}om(F, G) \simeq R\mathcal{H}om(f^{*}F, Rf^{!}G), \qquad f^{*}(F \overset{L}{\otimes} G) \simeq f^{*}F \overset{L}{\otimes} f^{*}G. \] La première vaut pour tous \(F \in D^{-}(Y)\), \(G \in D^{+}(Y)\) : par adjonction et formule de projection pour \(Rf_{!}\), les deux membres représentent le même foncteur \(K \mapsto \operatorname{Hom}(Rf_{!}K \overset{L}{\otimes} F, G)\). La page la démontre autrement, en distinguant deux cas.⁴⁰ (a) \(f\) lisse : la formule équivaut, puisque \(Rf^{!} = f^{*}(d)[2d]\), à la commutation de \(f^{*}\) aux \(\mathcal{E}xt\) locaux ; on se ramène à \(F = i_{!}F'\), \(i : Y' \to Y\) immersion, \(F'\) localement constant, et la chaîne \[\begin{align*} f^{*}R\mathcal{H}om(i_{!}F', G) &\simeq f^{*}Ri_{*}R\mathcal{H}om(F', Ri^{!}G) \simeq Rj_{*}R\mathcal{H}om(f'^{*}F', Rj^{!}f^{*}G) \\ &\simeq R\mathcal{H}om(j_{!}f'^{*}F', f^{*}G) \end{align*}\] — dualité pour \(i\), changement de base lisse, hypothèse de récurrence pour \(f' : X' \to Y'\), dualité pour \(j : X' \to X\) — ramène au cas \(F\) localement constant, puis constant, puis \(F = \Lambda_{Y}\), trivial. (b) \(f\) immersion fermée : avec \(G\) injectif, \(\mathcal{H}om^{\bullet}(F, G)\) est flasque et \(f^{!}G\) injectif, et \(f^{!}\mathcal{H}om^{\bullet}(F, G) \simeq \mathcal{H}om^{\bullet}(f^{*}F, f^{!}G)\).

Les formules de projection et d'induction s'interprètent comme des formules d'échange par la dualité \(D\) : \[ Rf_{*}D_{X} \simeq D_{Y}Rf_{!}, \qquad Rf^{!}D_{Y} \simeq D_{X}f^{*} : \] \(D\) échange \(Rf_{*}\) et \(Rf_{!}\), \(f^{*}\) et \(Rf^{!}\).

99–107

Produit tensoriel dérivé (article 26, pages 99 à 107)

Généralités, valables sur tout topos annelé. Un Module \(F\) est plat si \(F \otimes -\) est exact, ce qui équivaut à : \(\mathcal{H}om(F, I)\) injectif pour tout injectif \(I\), et se vérifie ici sur les fibres. Tout Module est quotient d'un plat (une somme de \(\Lambda_{U}\), \(U\) étale sur \(X\), prolongés par zéro) ; tout \(L \in D^{-}(X)\) admet donc une résolution plate, et \(D^{-}(X)\) est équivalente à la catégorie des complexes plats bornés supérieurement, localisée par les quasi-isomorphismes. On calcule \(L \overset{L}{\otimes} M\) en résolvant \(L\) et \(M\) par des plats. Ses faisceaux de cohomologie sont les hypertor \(\mathcal{T}or_{i}(L, M)\) ; tout triangle en l'un des arguments donne la suite exacte longue habituelle. La formation de \(L \overset{L}{\otimes} M\) commute aux images inverses, en particulier au passage aux fibres. Variante globale : \(R\Gamma(X, L \overset{L}{\otimes} M)\).⁴¹

Lois formelles : associativité ; commutativité (« attention aux signes ! ») ; adjonction \[ R\mathcal{H}om(L \overset{L}{\otimes} M, K) \simeq R\mathcal{H}om\bigl(L, R\mathcal{H}om(M, K)\bigr), \] et ses variantes \(R\operatorname{Hom}\) et \(\operatorname{Hom}\) globales, pour \(K \in D^{+}\). Pour un morphisme de topos annelés, \(Lf^{*} : D^{-}(Y) \to D^{-}(X)\) se définit par les complexes plats et vérifie \(Lf^{*}(L \overset{L}{\otimes} M) \simeq Lf^{*}L \overset{L}{\otimes} Lf^{*}M\) et \(L(gf)^{*} \simeq Lf^{*}Lg^{*}\). Notation : pour \(L\) sur \(X\) et \(M\) sur \(Y\), \(L \overset{L}{\otimes}_{Y} M = L \overset{L}{\otimes} Lf^{*}M\).

Adjonction et projection. \(\operatorname{Hom}(Lf^{*}L, K) \simeq \operatorname{Hom}(L, Rf_{*}K)\), et, sous forme interne, \(Rf_{*}R\mathcal{H}om(Lf^{*}L, K) \simeq R\mathcal{H}om(L, Rf_{*}K)\), d'où la forme globale en appliquant \(R\Gamma(Y, -)\) ; la vérification se ramène à \(L = \Lambda_{Y'}\) pour \(Y' \to Y\) étale, où c'est le fait que \(R\Gamma(Y', Rf'_{*}-) = R\Gamma(X', -)\).

Il précise, page 107, s'être borné aux formules générales valables sans condition de régularité (pseudo-cohérence, quasi-cohérence), et aux cas « naturels » d'existence des opérations, sans examiner les variantes d'hypothèse de Tor-dimension ou d'Ext-dimension finie.

107–111

Domaines de définition (pages 107 à 111)

Pour Künneth, on est obligé de travailler sur \(\Lambda = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), qui n'est pas de dimension globale finie,⁴² donc dans les \(D^{-}\), et il faut savoir définir \(Rf_{*}\) et \(Rf_{!}\) hors de \(D^{+}\). Pour \(Rf_{*}\), c'est possible dès que \(f_{*}\) est de dimension cohomologique finie : peut-être dès que \(Y\) est noethérien, en tout cas, par la finitude de la dimension cohomologique des corps de type fini, pour \(f\) de type fini et \(Y\) de type fini sur un corps ou sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\).⁴³ Pour \(Rf_{!}\), par le changement de base propre, dès que \(Y\) est quasi-compact : \(Rf_{!}\) envoie \(D\), \(D^{+}\), \(D^{-}\), \(D^{b}\) dans les catégories correspondantes si \(Y\) est quasi-compact et \(f\) compactifiable ; \(Rf_{*}\) de même sous les hypothèses précédentes ; \(f^{*}\) toujours ; \(Rf^{!}\) si \(f\) est compactifiable de type fini, \(Y\) de type fini sur un corps ou sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\). En revanche \(\overset{L}{\otimes}\) et \(R\mathcal{H}om\) n'ont aucune raison d'être de dimension cohomologique finie.

111–119

Formule de projection et formule de Künneth (pages 111 à 119)

Théorème (formule de projection). Soit \(f : X \to Y\) compactifiable, \(Y\) quasi-compact, \(L \in D^{-}(X)\), \(M \in D^{-}(Y)\). Il existe un isomorphisme canonique bifonctoriel \[ Rf_{!}L \overset{L}{\otimes} M \simeq Rf_{!}(L \overset{L}{\otimes} f^{*}M). \] On se ramène à \(f\) propre, \(L\) à termes \(f_{*}\)-acycliques, \(M\) à termes plats ; la flèche vient de \(M \to \mathcal{H}om^{\bullet}(f_{*}L, f_{*}(L \otimes M))\), composé avec une résolution \(f_{*}\)-acyclique de \(L \otimes M\). Pour voir que c'est un isomorphisme, on se ramène à \(M = i_{!}\Lambda_{Y'}\), \(i : Y' \to Y\) étale ; avec \(i_{!}Q \otimes P \simeq i_{!}(Q \otimes i^{*}P)\) et le carré cartésien \(j : X' \to X\), \(f' : X' \to Y'\), \[ i_{!}\Lambda_{Y'} \otimes Rf_{!}L \simeq i_{!}i^{*}Rf_{!}L \simeq i_{!}Rf'_{!}j^{*}L \simeq Rf_{!}j_{!}j^{*}L \simeq Rf_{!}\bigl(f^{*}i_{!} \Lambda_{Y'} \otimes L\bigr). \] « O.K. »⁴⁴

Juste avant, une proposition de la même encre plus foncée affirme la formule analogue pour \(Rf_{*}\), \(Rf_{*}L \overset{L}{\otimes} M \simeq Rf_{*}(L \overset{L}{\otimes} f^{*}M)\), quand \(M\) est à cohomologie localement constante constructible, ou quand \(f\) est quasi-compact quasi-séparé et \(M\) à cohomologie localement constante — « sans réserve de dimension cohomologique finie ».⁴⁵ La page 119 donne la raison de cette restriction : pour \(Rf_{*}\), la formule de projection est fausse en général, l'exemple, pour autant qu'il se lise, étant celui d'une immersion ouverte et de \(M\) le prolongement par zéro du faisceau constant d'un ouvert.

Corollaire (formule de Künneth). Soient \(f : X \to S\), \(g : Y \to S\) compactifiables, \(S\) quasi-compact, \(Z = X \times_{S} Y\) avec ses projections \(p_{1} : Z \to X\), \(p_{2} : Z \to Y\) et \(h : Z \to S\) ; pour \(L \in D^{-}(X)\), \(M \in D^{-}(Y)\), \[ Rh_{!}\bigl(p_{1}^{*}L \overset{L}{\otimes} p_{2}^{*}M\bigr) \simeq Rf_{!}L \overset{L}{\otimes} Rg_{!}M, \] par deux applications de la formule de projection.⁴⁶ Cas particulier : si \(F\) est plat et tous les \(R^{i}f_{!}F\) plats (ou de même du côté de \(G\)),⁴⁷ \[ R^{m}h_{!}\bigl(p_{1}^{*}F \otimes p_{2}^{*}G\bigr) \simeq \bigoplus_{i+j=m} R^{i}f_{!}F \otimes R^{j}g_{!}G. \] On ne peut espérer mieux, même sur un corps algébriquement clos : il faut s'attendre à des termes \(\mathcal{T}or\).

Pour la cohomologie à supports quelconques, la formule de Künneth est fausse à coefficients \(\mathbb{Z}/p\) en caractéristique \(p\). Elle vaut si l'un des deux morphismes est propre et la base un corps séparablement clos : \[ R(f \times g)_{*}(L \boxtimes M) \simeq Rf_{*}L \overset{L}{\otimes} Rg_{*}M, \] par la formule de projection pour le changé propre de \(f\), le changement de base propre, puis la formule de projection pour \(g\) — qui exige que \(Rf_{*}L\) soit à cohomologie localement constante, « !!! », ce qui est le cas sur un corps séparablement clos. Sans propreté, il faudrait des coefficients premiers à la caractéristique et la dualité locale.⁴⁸ Il note enfin que ces résultats ne dépendent pas de la dualité, et que la formule de Künneth propre avait déjà été établie par Verdier au moyen du théorème de dualité globale.

Lefschetz (pages 121 à 161)

121–121

Un choix de route (page 121)

« Nous en savons assez (formules de Künneth, dualité globale) pour faire la Lefschetz “cuite et pressée”, en redescendant sur terre. » Pour les courbes, on récupérerait par des arguments élémentaires, sans résolution des singularités, des formules de Lefschetz menant à la rationalité des fonctions \(L\). Il pourrait aussi continuer à généraliser : dualité locale, théorème de bidualité, Lefschetz–Verdier. Il choisit la seconde voie : « Étant parti dans un formulaire de dualité général, je préfère en compléter les lignes essentielles avant de me mettre aux applications de détail. »⁴⁹

123–137

Trace d'un endomorphisme de complexe parfait (article 30, pages 123 à 137)

Classiquement, pour un endomorphisme \(f\) d'une variété compacte \(X\), \(\sum(-1)^{i}\operatorname{Tr}(f \mid H^{i}(X))\) est le nombre de points fixes, comptés avec multiplicité. Verdier a établi une version à coefficients quelconques, de nature locale ; le cas « élémentaire » (variété, coefficients localement constants) résulte de la dualité de Poincaré, et l'auteur veut le donner en détail dans le cadre des schémas.⁵⁰

Une difficulté préliminaire : à coefficients \(\Lambda = \mathbb{Z}/\ell^{2}\) les \(H^{i}(X, F)\) ne sont plus libres et les traces des \(f^{(i)}\) ne sont pas définies ; une méthode exposée ailleurs passe aux coefficients \(\mathbb{Z}_{\ell}\) intègres.⁵¹ La sienne est de remplacer les \(H^{i}(X, \Lambda)\) par le complexe \(R\Gamma(X, \Lambda)\) qui leur donne naissance, et les \(f^{(i)}\) par l'endomorphisme \(R\Gamma(f)\).

Le formalisme. Soit \(A\) un anneau commutatif, non nécessairement noethérien, et \(L \in D^{-}(A)\). \(L\) est pseudo-cohérent s'il est isomorphe à un complexe de modules de type fini en chaque degré, et de Tor-dimension finie s'il est isomorphe à un complexe plat borné. Les complexes pseudo-cohérents de Tor-dimension finie sont ceux qui sont isomorphes dans \(D(A)\) à un complexe borné de modules projectifs de type fini : ce sont les complexes parfaits. Pour un endomorphisme \(u\) d'un tel \(L\) (dans \(D(A)\)), on définit \(\operatorname{Tr}_{*}u \in A\) par : (\(\alpha\)) si \(L\) est un complexe borné de projectifs de type fini et \(u\) un morphisme de complexes, \(\operatorname{Tr}_{*}u = \sum(-1)^{i}\operatorname{Tr}u_{i}\) ; (\(\beta\)) \(\operatorname{Tr}_{*}\) est invariant par isomorphisme dans \(D(A)\). L'unicité est claire ; l'existence revient à l'invariance de (\(\alpha\)) par homotopie. Propriétés : (a) en degré \(0\), c'est la trace ordinaire ; (b) additivité pour une suite exacte courte de complexes munie d'endomorphismes compatibles ;⁵² (c) \(\operatorname{Tr}_{*}(uv) = \operatorname{Tr}_{*}(vu)\) ; (d) \(\operatorname{Tr}_{*}(u \overset{L}{\otimes} v) = \operatorname{Tr}_{*}(u)\operatorname{Tr}_{*}(v)\).

Forme intrinsèque. Pour \(L\) parfait, \(L^{\vee} = R\operatorname{Hom}(L, A)\) est parfait, \(L \to L^{\vee\vee}\) est un isomorphisme, \((L \overset{L}{\otimes} L')^{\vee} \simeq L^{\vee} \overset{L}{\otimes} L'^{\vee}\), et pour tout \(M\), \(R\operatorname{Hom}(L, M) \simeq L^{\vee} \overset{L}{\otimes} M\). Si \(L\) et \(M\) sont parfaits, \(R\operatorname{Hom}(L, M)\) et \(R\operatorname{Hom}(M, L)\) sont duaux l'un de l'autre, par l'accouplement qui à \(u \in \operatorname{Hom}_{D(A)}(L, M)\) et \(v \in \operatorname{Hom}_{D(A)}(M, L)\) associe \[ \langle u, v \rangle = \operatorname{Tr}_{*}(vu) = \operatorname{Tr}_{*}(uv) \in A, \] qui vaut \(\sum(-1)^{i}\operatorname{Tr}(v_{i}u_{i})\) quand \(L\), \(M\) sont des complexes bornés de projectifs de type fini et \(u\), \(v\) des morphismes de complexes. En particulier \(\sum(-1)^{i}\operatorname{Tr}u_{i} = \langle u, \mathrm{id}_{L}\rangle\) : une expression intrinsèque de la trace alternée.⁵³ Pour appliquer cela à Lefschetz, il faut savoir que \(R\Gamma(X, \Lambda)\) est parfait ; une marge note que le formalisme vaut sur un espace annelé sous hypothèse de pseudo-cohérence.

137–141

Complexes de Tor-dimension finie sur un schéma (article 31, pages 137 à 141)

Soit \(L \in D^{-}(X)\). On dit que \(L\) est de Tor-amplitude contenue dans \([a, b]\) si, pour tout Module \(F\), \(\mathcal{H}^{q}(F \overset{L}{\otimes} L) = 0\) hors de \([a, b]\) ; c'est une condition sur les fibres aux points géométriques. Si \(L\) est de Tor-amplitude \([a, b]\) et \(L' \in D^{b}\) à cohomologie dans \([a', b']\), \(L \overset{L}{\otimes} L'\) a sa cohomologie dans \([a + a', b + b']\) ; d'où la stabilité de la Tor-amplitude par produit tensoriel (les bornes s'ajoutent) et par image inverse. Remarques : ces notions valent pour un faisceau d'anneaux quelconque ; \(L\) est de Tor-amplitude \([a, b]\) si et seulement s'il est quasi-isomorphe à un complexe plat nul hors de \([a, b]\).⁵⁴

Proposition (anneau de base de torsion). Soit \(f : X \to Y\) compactifiable à fibres de dimension \(\leq d\). Si \(L \in D^{b}(X)\) est de Tor-amplitude \([a, b]\), \(Rf_{!}L\) est de Tor-amplitude \([a, b + 2d]\). En effet, pour \(L'\) sur \(Y\) de Tor-amplitude \([a', b']\), la formule de projection donne \(Rf_{!}L \overset{L}{\otimes} L' \simeq Rf_{!}(L \overset{L}{\otimes} f^{*}L')\) ; le complexe \(L \overset{L}{\otimes} f^{*}L'\) a sa cohomologie dans \([a + a', b + b']\), et \(Rf_{!}\), de dimension cohomologique \(\leq 2d\), la place dans \([a + a', b + b' + 2d]\).⁵⁵ Joint à la finitude, cela assure que \(Rf_{!}\) d'un complexe constructible de Tor-dimension finie est parfait sur un corps séparablement clos — ce dont l'article 30 avait besoin.

143–161

La formule de Lefschetz–Verdier (article 32, pages 143 à 161)

Soient \(f : X \to S\), \(g : Y \to S\), \(Z = X \times_{S} Y\), \(p_{1}\), \(p_{2}\) les projections, \(h : Z \to S\), \(F\) sur \(X\), \(G\) sur \(Y\). Une correspondance cohomologique de \((X, F)\) vers \((Y, G)\) est un élément de \[\begin{align*} \operatorname{Corr}(X, F; Y, G) &= \operatorname{Hom}(p_{1}^{*}F, Rp_{2}^{!}G) \simeq \operatorname{Hom}(Rp_{2!}p_{1}^{*}F, G) \\ &\simeq \operatorname{Hom}(g^{*}Rf_{!}F, G) \simeq \operatorname{Hom}(Rf_{!}F, Rg_{*}G), \end{align*}\] par adjonction, changement de base propre, adjonction. De même \(\operatorname{Hom}(p_{2}^{*}G, Rp_{1}^{!}F) \simeq \operatorname{Hom}(Rg_{!}G, Rf_{*}F)\). Si \(f\) et \(g\) sont propres, \(S\) le spectre d'un corps séparablement clos et \(F\), \(G\) constructibles de Tor-dimension finie, \(Rf_{*}F\) et \(Rg_{*}G\) sont parfaits, et les deux groupes s'accouplent à valeurs dans \(\Lambda\) par l'accouplement \(\langle u, v\rangle = \operatorname{Tr}_{*}(vu)\) de l'article 30 — des « nombres de Lefschetz ».

L'accouplement local. Sur \(X\), pour \(\mathcal{L}\) parfait, la trace est le composé \(R\mathcal{H}om(\mathcal{L}, \mathcal{L}) \simeq \mathcal{L}^{\vee} \overset{L}{\otimes} \mathcal{L} \to \Lambda_{X}\), qui sur \(\mathcal{H}^{0}\) s'écrit \(\varphi \mapsto \sum(-1)^{i}\operatorname{Tr} \varphi_{i}\) quand \(\mathcal{L}\) est localement libre de type fini en chaque degré. Pour \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{M}\) parfaits, les compositions \((u, v) \mapsto vu \in R\mathcal{H}om(\mathcal{L}, \mathcal{L})\) et \((u, v) \mapsto uv \in R\mathcal{H}om(\mathcal{M}, \mathcal{M})\) ont même trace, et l'accouplement \(R\mathcal{H}om(\mathcal{L}, \mathcal{M}) \otimes R\mathcal{H}om(\mathcal{M}, \mathcal{L}) \to \Lambda_{X}\) identifie chacun des deux facteurs au dual de l'autre.⁵⁶

L'accouplement sur \(Z\) (sans hypothèse de propreté). On veut un accouplement \[ R\mathcal{H}om(p_{1}^{*}F, Rp_{2}^{!}G) \otimes R\mathcal{H}om(p_{2}^{*}G, Rp_{1}^{!}F) \longrightarrow K_{Z} = Rh^{!}\Lambda_{S}. \] On a \(Rp_{2}^{!}G \to Rp_{2}^{!}D_{Y}D_{Y}G = D_{Z}p_{2}^{*}D_{Y}G\) (isomorphisme si \(G\) est constructible), d'où \[ R\mathcal{H}om(p_{1}^{*}F, Rp_{2}^{!}G) \to D_{Z}\bigl(p_{1}^{*}F \overset{L}{\otimes} p_{2}^{*}D_{Y}G\bigr), \] et de même \(R\mathcal{H}om(p_{2}^{*}G, Rp_{1}^{!}F) \to D_{Z}(p_{2}^{*}G \overset{L}{\otimes} p_{1}^{*}D_{X}F)\). Les accouplements d'évaluation \(F \otimes D_{X}F \to K_{X}\), \(G \otimes D_{Y}G \to K_{Y}\) et la flèche \(K_{X} \boxtimes K_{Y} \to K_{Z}\) donnent \[ (\ast\ast)\qquad p_{1}^{*}F \overset{L}{\otimes} p_{2}^{*}D_{Y}G \longrightarrow D_{Z}\bigl(p_{2}^{*}G \overset{L}{\otimes} p_{1}^{*}D_{X}F\bigr), \] la « formule cruciale ». Le théorème fondamental de Verdier est que \((\ast\ast)\) est un isomorphisme ; l'accouplement cherché est alors la composition de \(R\mathcal{H}om(p_{2}^{*}G, Rp_{1}^{!}F) \to D_{Z}(p_{2}^{*}G \otimes p_{1}^{*}D_{X}F) \simeq p_{1}^{*}F \otimes p_{2}^{*}D_{Y}G\) avec l'évaluation sur \(D_{Z}(p_{1}^{*}F \otimes p_{2}^{*}D_{Y}G)\).⁵⁷

Ce théorème résulte de deux isomorphismes, (1) \(K_{X} \boxtimes K_{Y} \xrightarrow{\sim} K_{X \times Y}\) et (2) \(F \boxtimes D_{Y}G \xrightarrow{\sim} D_{Z}(D_{X}F \boxtimes G)\), qui découlent d'une formule de « Künneth local » : \[ R\mathcal{H}om(F \boxtimes G, P \boxtimes Q) \simeq R\mathcal{H}om(F, P) \boxtimes R\mathcal{H}om(G, Q), \qquad R(f \times g)^{!}(P \boxtimes Q) \simeq Rf^{!}P \boxtimes Rg^{!}Q, \] valables pour \(F\), \(G\) constructibles de Tor-dimension finie, sur un corps \(k\), \(n\) premier à sa caractéristique. Sa démonstration passe par des plongements dans des schémas lisses et la résolution des singularités — acquise en caractéristique nulle, et en caractéristique \(p\) en dimension \(\leq 2\) —, ce qui introduit des « dimensions parasites » ; il préférerait des morphismes finis \(X \to X'\) vers des schémas lisses de même dimension, pour lesquels \((\varphi \times \psi)^{!}(P \boxtimes Q) \simeq \varphi^{!}P \boxtimes \psi^{!}Q\).⁵⁸

La formule. En appliquant \(R\Gamma(Z, -)\) à l'accouplement local et en composant avec la trace \(\operatorname{Tr}_{h} : R\Gamma(Z, K_{Z}) \to \Lambda\) (\(f\) et \(g\) propres, \(S\) spectre d'un corps séparablement clos), on obtient un accouplement \[ \operatorname{Hom}(p_{1}^{*}F, Rp_{2}^{!}G) \times \operatorname{Hom}(p_{2}^{*}G, Rp_{1}^{!}F) \to \Lambda, \qquad (\xi, \eta) \mapsto \operatorname{Tr}_{h}(\xi \cup \eta), \] qui doit coïncider avec l'accouplement \(\langle\ ,\ \rangle\) des complexes parfaits \(Rf_{*}F\) et \(Rg_{*}G\) : \[ \operatorname{Tr}_{h}(\xi \cup \eta) = \langle \xi, \eta\rangle. \] En particulier, pour \(X = Y\), \(F = G\) et \(\eta = \delta\) la correspondance identique, portée par la diagonale : \[ \operatorname{Tr}_{h}(\xi \cup \delta) = \operatorname{Tr}_{*}\bigl(\xi \mid R\Gamma(X, F)\bigr) = \sum_{i}(-1)^{i}\operatorname{Tr}\bigl(\xi \mid H^{i}(X, F)\bigr). \] « C'est la formule de Lefschetz–Verdier. »⁵⁹

Correspondances portées par un schéma, termes locaux. Soit \(u = (u_{1}, u_{2}) : T \to X \times_{S} Y\) un morphisme propre. Tout \(\alpha \in \operatorname{Hom}(u_{1}^{*}F, Ru_{2}^{!}G)\) définit \(\bar\alpha \in \operatorname{Corr}(X, F; Y, G)\), par \[ Ru_{*}R\mathcal{H}om(u^{*}p_{1}^{*}F, Ru^{!}Rp_{2}^{!}G) \simeq R\mathcal{H}om(p_{1}^{*}F, Ru_{*}Ru^{!}Rp_{2}^{!}G) \to R\mathcal{H}om(p_{1}^{*}F, Rp_{2}^{!}G), \] la dernière flèche étant la co-unité \(Ru_{*}Ru^{!} = Ru_{!}Ru^{!} \to \mathrm{id}\).⁶⁰ De même une correspondance \(\beta\) portée par \(u' : T' \to X \times_{S} Y\) définit \(\bar\beta \in \operatorname{Corr}(Y, G; X, F)\). Si \(\overline{T}\), \(\overline{T'}\) sont les images de \(T\), \(T'\), \(\bar\alpha\) vit dans la cohomologie de \(Z\) à supports dans \(\overline{T}\), \(\bar\beta\) à supports dans \(\overline{T'}\), et leur cup-produit dans \(H^{0}_{\overline{T} \cap \overline{T'}}(Z, K_{Z})\).⁶¹ Si \(\overline{T} \cap \overline{T'}\) est réunion disjointe d'un nombre fini de parties ouvertes et fermées \(S_{\alpha}\), on obtient des composantes canoniques, et \[ \langle \xi, \eta \rangle = \sum_{\alpha} \langle \xi, \eta \rangle_{S_{\alpha}} . \] Ce sont les termes locaux de la formule. Exemple : si \(\overline{T} \cap \overline{T'} = \emptyset\), le nombre de Lefschetz est nul.⁶²

164–179

Compléments dualité (pages 163 à 179)

La couverture de la page 163 ne porte que ces deux mots.⁶³

Appendices possibles (page 164) : (1) majorer la codimension injective par la dimension injective des fibres — une note au crayon propose \(\operatorname{codim\,inj}(F) \leq \sup_{F_{\bar x} \neq 0}[2\dim \mathcal{O}_{X,x} + \dim\operatorname{inj}F_{\bar x}]\) — et la dimension cohomologique stricte d'un schéma (« consulter notes de Verdier ») ; (2) le cas d'un anneau de coefficients localement constant, de torsion première aux caractéristiques résiduelles, avec un complexe dualisant localement constant, « dualisant fibre par fibre », sur \(X\) régulier. Un troisième appendice, « applications aux théorèmes de Lefschetz cohomologiques locaux et globaux », est barré.

Sujets de recherche (page 165) : puissances extérieures dans les catégories dérivées, \(\lambda\)-anneaux ; dualité analytique ; descente cohomologique et applications ; Künneth pour les complexes quasi-cohérents ; dualité pour les complexes d'opérateurs différentiels, « site stratifiant ». Un dernier sujet, profondeurs cohomologiques et homotopiques et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux, est barré.

Validité des théorèmes de dualité (page 166). (1) La dualité globale \(\operatorname{Hom}(Rf_{!}F, G) \simeq \operatorname{Hom}(F, Rf^{!}G)\) vaut pour \(f\) compactifiable et lissifiable entre schémas annelés par des faisceaux d'anneaux \(\Lambda_{X}\), \(\Lambda_{Y}\) tels qu'en tout point géométrique \(\bar y\) un entier \(n_{\bar y}\) premier à la caractéristique de \(k(\bar y)\) annule \(\Lambda_{Y,\bar y}\). (2) La dualité locale — la bidualité \(F \xrightarrow{\sim} D_{X}D_{X}F\), avec \(D_{X}F\) constructible, pour \(F \in D^{b}_{c}(X)\) — vaut sur \(X\) noethérien régulier, annelé par un faisceau d'anneaux localement constant de torsion noethériens premiers aux caractéristiques résiduelles, avec un complexe dualisant localement constant sur les fibres, « + résolution et pureté sur \(X\) ».⁶⁴

Énoncés plausibles (page 169), sur un schéma excellent de dimension finie : \(D_{X}\) induit des anti-équivalences \(D_{c}(X)^{\mathrm{op}} \simeq D_{c}(X)\), \(D^{-}_{c}(X)^{\mathrm{op}} \simeq D^{+}_{c}(X)\), \(D^{+}_{c}(X)^{\mathrm{op}} \simeq D^{-}_{c}(X)\), \(D^{b}_{c}(X)^{\mathrm{op}} \simeq D^{b}_{c}(X)\).⁶⁵ Pour \(F \in D^{-}_{c}(X)\) et \(G = D_{X}F\) : (\(\ast\)) \(F\) est de Tor-dimension finie si et seulement si \(G\) est de « pseudo-dimension injective finie » (il existe \(N\) tel que \(\mathcal{E}xt^{i}(P, G) = 0\) pour \(i > N\) et tout \(P\) parfait constructible) ; (\(\ast\ast\)) si et seulement si les fibres \(G_{\bar x}\) sont de dimension injective finie. Si \(X\) est de dimension cohomologique finie, pseudo-dimension et dimension injectives finies coïncident. Le sens direct de (\(\ast\)) est formel, par \(R\mathcal{H}om(P, D_{X}F) \simeq D_{X}(P \overset{L}{\otimes} F)\) ; la réciproque utilise la bidualité pour \(F \overset{L}{\otimes} P\). Si les anneaux \(\Lambda_{\bar x}\) sont de Gorenstein — c'est le cas de \(\mathbb{Z}/n\) —, Tor-dimension finie et pseudo-dimension injective finie devraient coïncider dans \(D_{c}\), et \(D_{X}\) induire une anti-autoéquivalence de la catégorie de ces complexes.

Un théorème « à vérifier ! » (pages 171 et 173). Soit \(X\) lisse de type fini sur un corps \(k\), de dimension \(\leq n\), \(\Lambda = \mathbb{Z}/N\) avec \(N\) premier à la caractéristique, \(F\) un faisceau plat et \(G\) un faisceau à fibres injectives — c'est-à-dire plates, \(\Lambda\) étant auto-injectif. Si \(k\) est séparablement clos et \(F\) constructible, \(\operatorname{Ext}^{i}(F, G) = 0\) pour \(i > 2n\).⁶⁶ L'esquisse de démonstration se ramène à \(k\) algébriquement clos, puis, par récurrence sur la longueur de \(F\) et au moyen des générateurs \(i_{!}\Lambda_{X'}\) (\(X'\) affine étale sur \(X\)), à \(X\) affine et \(F\) constructible ; puis veut, par passage à la limite, supposer \(G\) constructible — et bute sur une question qu'il laisse ouverte : « est-il vrai que \(G\) est limite inductive filtrante de faisceaux constructibles à fibres injectives ?? ».

Calculs (pages 175 à 179). Trois pages de calculs épars accompagnent cet énoncé : la suite spectrale \(E_{2}^{pq} = H^{p}(X, \mathcal{E}xt^{q}(F, G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}(F, G)\) et le dénombrement, sur un diagramme, des termes qui peuvent contribuer en degré \(> 2d\) ; l'identité \(\operatorname{Ext}^{m}(i_{!}F, G) \simeq \operatorname{Ext}^{m}(F, Ri^{!}G)\) ; l'écriture \(R\mathcal{H}om(F, G) \simeq R\mathcal{H}om(F, D_{X}D_{X}G) \simeq D_{X}(F \overset{L}{\otimes} D_{X}G)\), qui ramène la majoration des \(\mathcal{E}xt^{i}(F, G)\) à des conditions de dimension du support des \(\mathcal{E}xt^{-q}(G, \Lambda)\) ; et, page 179, la suite exacte de cohomologie locale en un point mise en regard, terme à terme, de sa duale, avec les annotations « dualité parfaite triviale (via pureté) » et « dualité parfaite ?? ». La page se clôt sur deux équivalences entre Tor-amplitude de \(F\) et amplitude injective de \(D_{X}F\), et inversement, dont les bornes, telles qu'écrites, ne sont pas symétriques ; la page ne fixe pas ses conventions de degré, et nous ne les donnons pas comme énoncés.⁶⁷ Le dossier s'arrête là.