Fonds Grothendieck, cote n° 32, pages 41–47 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-24)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-25
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)32
Corrections (références, rajouts) [dont SGA 4] : tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Pages 41 à 47 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 3 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1963-1977]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/32.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Le texte est à l'encre bleue ; certains numéros de paragraphe et de
renvoi y sont repassés ou corrigés à l'encre verte ou noire, et l'on donne le
numéro qui se lit en dernier. Des annotations au crayon, d'une écriture
distincte du corps, entourent des passages, posent des questions et
proposent des insertions : on les donne en marginal quand elles sont
en marge, en ajout quand elles s'insèrent dans le texte, en le
signalant. Les nombreux soulignements à l'encre bleue (mots d'un énoncé,
références) ne sont pas reproduits. Dans ce lot, f_!^{\bullet} désigne le
foncteur au niveau des complexes (un point en exposant sur la page) et
f_!^{i} ses composantes ; la page distingue les deux, et on les distingue
comme elle.
À quoi sert cette section 3.1.14, ? qu'y fait-on ?au crayon, en haut de la marge de gauche.
3.1.14. Appliquons les considérations qui précèdent à un morphisme
compactifiable de schémas f : X \to S.
D'après les démonstrations de 3.1.3 et 3.1.4, si
f = \bar f j est une compactification de f et si les fibres de f sont
de dimension \leqslant d, le foncteur Rf^! se construit par le procédé de
3.1.10, pour
K(U) = \bar f_{*}\, \tau^{*}_{\leqslant d}\, C_{\ell}^{*} \mathcal{A}_U
= f_!^{\bullet}(\mathcal{A}_U) .où A_U …« où A_U … » est écrit au crayon sous la formule, et laissé en
suspens. Le « 4 » de 3.1.14 et le « 1 » de 3.1.10 sont repassés à l'encre
noire ; dans 3.1.3, un chiffre est noirci avant le « 3 ». L'astérisque
au-dessus de \tau est appuyé, et \tau^{*}_{\leqslant d} est entouré au
crayon.3.1.10\tau''_{\leqslant 2d} ?dire qui est A_Utrois annotations au crayon, chacune entourée, dans la marge de gauche
en regard de la formule.
Le corollaire 3.1.12 va permettre de donner d'autres procédés de calcul du
foncteur Rf^!. Supposons que n\mathcal{A} = 0. On a alors
(XVII 5.2)
Rf_!\, \mathcal{A}_U \simeq \mathcal{A} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} Rf_!(\mathbb{Z}/n)_U .le « 2 » de 3.1.12 est à l'encre verte, sur un autre chiffre. Au
crayon, un signe d'insertion suit « 5.2 », et un signe semblable est porté
dans la marge, sans texte.
En fait, f_!^{\bullet}((\mathbb{Z}/n)_U) est un complexe de faisceaux plats :
il suffit de le voir pour nde la forme\ell^kprimaire ;
la platitude d'un faisceau \underline{F} de \mathbb{Z}/\ell^k-modules signifie que pour i < k,
\underline{F}/\ell \underline{F} \xrightarrow{\ \sim\ } \ell^{i}\underline{F}/\ell^{i+1}\underline{F} ,
et ceci résulte pour les faisceaux f_!^{i}(\mathbb{Z}/n)_U de l'exactitude
de f_!^{i} et de la platitude (\mathbb{Z}/n)_U.
« de la forme » est ajouté au crayon, qui biffe aussi « primaire » et
souligne « plats ». Le mot biffé devant (\mathbb{Z}/n)_U est une notation
en f_! recouverte d'encre.On a donc un quasi-isomorphisme La flèche canonique\struck{f_!^{\bullet}(\mathbb{Z}/n)_U \xrightarrow{\ \sim\ }}f_!^{\bullet}(\mathbb{Z}/n)_U \otimes \mathcal{A} \xrightarrow{\ \sim\ } f_!^{\bullet}(\mathcal{A}_U)
est donc un quasi-isomorphisme et on peut aussi bien décrire (3.1.12)
« canonique » est au crayon. Le « 2 » de (3.1.12) est à l'encre verte.
le foncteur Rf^! comme fourni par la donnée 3.1.10
U \longmapsto f_!^{\bullet}((\mathbb{Z}/n)_U)le « 0 » de 3.1.10 est à l'encre verte ; la formule est entourée au
crayon et reliée à la note de marge qui suit.\otimes\mathcal{A} ? \mathbb{Z}/nsinon, expliciter
le nouveau\mathcal{A}, \mathcal{B}
Rappelons que la résolution plate canonique L_{\bullet}(\underline{F})
d'un Module \underline{F} s'obtient en représentant \underline{F} comme
quotient du Module engendré par le faisceau d'ensembles \underline{F} :
\varepsilon : L_0(\underline{F}) \to F, en appliquant ensuite cette
construction à \mathrm{Ker}(\varepsilon), et en itérant le procédé.
réf ?« L_{\bullet}(\underline{F}) » est ajouté à l'encre au-dessus de la
ligne ; « résolution plate canonique » est souligné au crayon, et un signe
d'insertion au crayon après « Rappelons » est relié à « réf ? ».
Le foncteur Rf^! est encore fourni, par la méthode de 3.1.10, par la
donnée
U \longmapsto \add{K_0(U) \overset{\mathrm{df}}{=}}\; L_{\bullet}(f_!^{\bullet}(\mathbb{Z}/n)_U)\; \struck{= K_0(U)} .les deux ajouts sont au crayon : « par la méthode de 3.1.10 » au-dessus
de la ligne, et « K_0(U) \overset{\mathrm{df}}{=} » devant la formule, dont
la fin « = K_0(U) », à l'encre, est biffée au crayon.
Si maintenant \underline{G} est un complexe de \mathcal{A}-Modules
acycliques ( ), on a
K_0^{!}(\underline{G}) \xrightarrow{\ \sim\ } RK_0^{!}(\underline{G})la parenthèse après « acycliques » est laissée en blanc ;
« acycliques, » est entouré au crayon, qui porte « ?? » dans la marge.
On en déduitretrouve que le faisceau d'anneaux \mathcal{A}
ne joue qu'un rôle bidon dans la construction de RK_0^{!}Rf^!, on« retrouve » est à l'encre verte.
une bande de papier étroite, de deux lignes ; « cette construction »
renvoie vraisemblablement à celle de la page 42.
Je n'ai pas vérifié que cette construction coïncide avec celle de 3.1.9.
3.1.15. On peut encore décrire Rf^! par le procédé de 3.1.13.
Soit en effet un morphisme compactifiable f :
\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook, "j"'] \arrow[d, "f"'] & \bar X \arrow[dl, "\bar f"] \\
S &
\end{tikzcd}
et \mathcal{A} un faisceau d'anneaux sur S tel que n\mathcal{A} = 0
(n \geqslant 1). Pour W = (U, V, \varphi) \in \mathrm{Ob}\, X_f
(notation de 3.1.13), soit
(3.1.15.1) \qquad K(W) = \bar f_{V *}\, \tau_{\leqslant 2d}\, C^{*}_{\ell, \bar X_V}(\mathcal{A}_U)
(résolution calculée sur \bar X_V = \bar X \times_S V).
On a un quasi-isomorphismele « 5 » de 3.1.15 est à l'encre verte sur un « 3 », et le « 5 » de
(3.1.15.1) repassé à l'encre noire ; le dernier chiffre de « 3.1.13 », dans
les deux renvois, est lui aussi repassé. Au crayon : \tau_{\leqslant 2d} est
entouré et relié à « \tau'' ? » dans la marge de gauche, et
\mathcal{A}_U est entouré et relié à « signification pas claire » dans la
marge de droite.\tau'' ?signification pas claire
Pour jinclusionmorphisme structurel de V dans S, on a
un quasi-isomorphisme
\struck{j_! K(W)}j_!\, K(W) \xrightarrow{\ \sim\ } \bar f_{*}\, \tau_{\leqslant 2d}\, C^{*}_{\ell, \bar X}(\mathcal{A}_U)
(XVII 5.2). D'après 3.1.9, le système (3.1.13) des K(W) permet donc de
calculer Rf^!. Ceci donne un sens à la « formule d'induction »« morphisme structurel » est ajouté à l'encre au-dessus de
« inclusion » biffé. Dans (3.1.13), les parenthèses et le dernier chiffre
sont à l'encre verte. Au crayon : \bar f_{*} et \tau_{\leqslant 2d} sont
entourés, et \bar f_{*} relié à « (j\bar f_V)_{*} ? » dans la marge ;
« ref » est porté devant (XVII 5.2), avec un signe d'insertion ; « 3.1.9 » et
« (3.1.13) » sont entourés, chacun avec un « ? », et reliés à « pas clair »
dans la marge de droite.(j\bar f_V)_{*} ?refpas clair
dans la marge de gauche, au crayon, un diagramme des schémas en jeu. Les
deux traits verticaux qui joignent X à \bar X et X_V à \bar X_V n'ont
pas de pointe lisible ; les deux arcs portent leur pointe en bas.
\begin{tikzcd}
\bar X \arrow[d, no head] \arrow[dd, bend right=50, "\bar f"'] & \bar X_V \arrow[d, no head] \arrow[dd, bend right=50, "\bar f_V"'] & \\
X \arrow[d, "f"'] & X_V \arrow[l] \arrow[d, "f_V"] & U \arrow[l] \\
S & V \arrow[l, "j"] &
\end{tikzcd}
Proposition 3.1.12. Le morphisune seule ligne, en haut du feuillet ; le reste est blanc.
3.1.16. L'isomorphisme d'inductiond'adjonction s'écrit
(3.1.16.1) \qquad \mathrm{Hom}(Rf_!\, K, L) \simeq \mathrm{Hom}(K, Rf^! L)avec\{K \in \mathrm{Ob}\, D(X, f^{*}\mathcal{A}) et
L \in \mathrm{Ob}\, D^{+}(S, \mathcal{A}).\} Pour
K \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(X, f^{*}\mathcal{A}) et
L \in \mathrm{Ob}\, D^{+}(S, f^{*}\mathcal{A})et
isomorphe complexe d'injectifs, cet isomorphisme s'écrit, au
niveau des complexes,
\mathrm{Hom}^{\bullet}(f_!^{\bullet} K, L) \simeq \mathrm{Hom}^{\bullet}(K, f^{!}_{\bullet} L) .« d'adjonction » est écrit au-dessus de « d'induction » biffé ;
« avec » est à l'encre dans la marge. La seconde fois, la page écrit bien
D^{+}(S, f^{*}\mathcal{A}). Au crayon : « 3.1.16. » est entouré et relié à
la première note de marge ; « complexe d'injectifs » est entouré, et une
astérisque avant le mot biffé renvoie à la seconde ; la formule au niveau des
complexes est soulignée.remarque en cor. à 3.1.4 ?L, ou K et L ?
Pour tout V \in \mathrm{Ob}\, S_{\text{et}}j : V \to S dans S_{\text{et}}, on dispose de
\mathrm{Hom}^{*}_{\uncertain{/V}}(K, f^{!}_{\bullet} L)
= \mathrm{Hom}^{\bullet}(j'_! j'^{*} K, f^{!}_{\bullet} L)
\xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}^{\bullet}(f_!^{\bullet}(j'_! j'^{*} K), L) \longrightarrow\struck{\longrightarrow \mathrm{Hom}\ \mathrm{Hom}}\longrightarrow \mathrm{Hom}(j_! j^{*}(f_!^{\bullet} K), L) = \mathrm{Hom}_{V}(f_!^{\bullet} K, L)
d'où un morphisme
(3.1.16.2) \qquad Rf_{*}\, R\underline{\mathrm{Hom}}(K, Rf^! L) \xrightarrow{\ \sim\ } R\underline{\mathrm{Hom}}(Rf_!\, K, L)
que par localisation de 3.1.16.1 on vérifie être un isomorphisme.
l'indice du premier \mathrm{Hom} et le petit signe écrit devant
l'indice V du dernier ne se lisent pas sûrement. Un trait vertical au crayon
court en marge le long du calcul, avec la note qui suit.devrait remonter en cor. 3.1.4.8 à 3.1.4
(conséquence triviale de 3.1.4.7)
3.1.17. Exemple : Soit X un schéma compactifiable sur le spectre
d'un corps algébriquement clos k, x un point fermé de X
et n un entier \geqslant 1 inversible dans k. La formule (3.1.11.1)
fournit, puisque \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} est un \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}-module
injectif, Pour U(x) parcourant les voisinages étales de x\underline{H}^{-i}(Rf^! \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_x \simeq \varinjlim_{U(x)}
\mathrm{Hom}\bigl(\struck{\ill{}}\, H^{i}_{c}(U, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\bigr) ,où U(x) est la catégorie des voisinages étales de x dans X.
Il résulte vraisemblablement du théorème de bidualité (SGA 5 I )
(qui dépend de la résolution des singularités)
le point après « dans k » est à l'encre verte, et le « L » de « La »
au crayon ; le membre biffé « Pour U(x) parcourant les voisinages étales de
x » déborde dans la marge de gauche, et il est biffé à l'encre verte. La
ligne « où U(x) est la catégorie… » est serrée entre deux lignes, d'un
trait plus pâle. Le numéro d'exposé après « SGA 5 I » est laissé en blanc.
Au crayon : « 3.1.17 » est entouré et relié à une note de marge, un « en » est
entouré au-dessus de « Soit », « vraisemblablement » est entouré, et un « ? »
est porté sous la parenthèse de la référence.(, on en faisant venir d'une ligne) pas W(x), W ?
que la flèche
H^{i}_{x}(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \longrightarrow \struck{\ill{}}\;
\underset{U(x)}{\underset{\longleftarrow}{\text{“lim”}}}\; H^{i}_{c}(U, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})
est un isomorphisme de pro-objets, le second membre étant représenté par le
premier. On aurait alors un isomorphisme
\underline{H}^{-i}(Rf^! \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_x \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}_{x}(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\vee}un trait vertical au crayon borde en marge tout ce passage, depuis le
bas de la page 46.
La propriété de « finitude » suivante résulte aussitôt Prode la construction de ce que des foncteurs f^{!}_{i}
(3.1.4.5) et du fait qu'ils transforment injectifs en injectifs.
« de la construction » est ajouté à l'encre ; « et du fait qu'ils »
est au crayon.
Proposition 3.1.18. (i) SiSupposons le morphisme
compactifiable f : X \to S est de dimension relative \leqslant d,
si , et soitL \in D^{+}(S, \mathcal{A}), tel quesi\underline{H}^{i}(L) = 0 pour i \geqslant k, alors
\underline{H}^{i}(L) = 0 pour i \geqslant k - 2d.
(ii) Si \dim\mathrm{inj}(L) \leqslant k, alors
\dim\mathrm{inj}(Rf^! L) \leqslant k.
(ii) \dim\mathrm{inj}(Rf^! L) \leqslant \dim\mathrm{inj}(L).
« Supposons », « et soit » et « tel que » sont au crayon, par-dessus ou
au-dessus des mots biffés. Dans la conclusion de (i), le second
\underline{H}^{i} porte sur L, comme le premier : c'est ce que la page
écrit.devrait remonter avant 3.1.5 ! + immédiat aprèsau crayon, entouré, en regard de la proposition ; un « ok »
à l'encre rouge est écrit par-dessus, comme sur les deux notes de marge qui
suivent.
3.1.19. Lorsque f est quasi-fini et si on fait d = 0 dans la construction
3.1.4 du foncteur Rf^!, on trouve par 3.1.3 que le foncteur f_!
admet un adjoint à droite f^!, dont Rf^! est le dérivé. En particulier si
f est une immersion f : X \hookrightarrow S, on trouve que Rf^! est le
dérivé du foncteur « sections à support dans X ». En particulier
(3.1.19.1) \qquad R^{i} f^{!} L = \underline{H}^{i}_{X}(L)« par 3.1.3 » est au crayon, entouré, avec « trouve que » ; un petit
signe au crayon est porté sous le f de (3.1.19.1).remonter également avant 3.1.6. bref( dans qui ?)
Dire aussi que si f est étale, Rf^! = f^{*} ;
corollaire : « nature locale » de Rf^!
Le plan de 3.1 semble flou après 3.1.4. On pourrait prendre
a) Propriétés formelles de Rf^! pour f fixé : 3.1.5, 3.1.18, 3.1.19,
3.1.8, 3.1.9 ;
b) Propriétés formelles pour f variable : 3.1.6 + [chgt de base par
morphisme lisse (univ. loc. acyclique)] ;
c) Sorites sur construction locale de Rf^! : 3.1.10 à 3.1.13.
(?)tout le bas de la page est au crayon, sous un trait tiré en travers.
Le chiffre qui précède « 3.1.5 » dans a) est biffé. La mention entre crochets
de b) est encadrée, et une flèche y monte depuis « à ne pas oublier ! »,
souligné, écrit en bas à droite.à ne pas oublier !
au pied de la page, toujours au crayon, un petit diagramme et un calcul
en une ligne. Le premier \simeq du calcul est précédé d'un f en trop ;
entre \Delta^{*}(p_2^{!} f^{*}) et la suite, quelques signes sont gommés ;
le * de f^{*}[2d](d) est écrit sur un « ! », et l'exposant du dernier f
ne se lit pas sûrement.
\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] & X \times_S X \arrow[l, "p_1"'] \arrow[d, "p_2"] & X \arrow[l, "\Delta"'] \\
S & X \arrow[l, no head, "f"] &
\end{tikzcd}
f^{!} \simeq (p_1 \Delta)^{*} f^{!} \simeq \Delta^{*}(p_1^{*} f^{!})
\underset{\text{chgt de base par lisse}}{\simeq} \Delta^{*}(p_2^{!} f^{*})
\underset{\text{pureté relative ??}}{\simeq} \Delta^{!} p_2^{!} f^{*}[2d](d)
\simeq f^{\uncertain{*}}[2d](d)