Cote n° 32 · batch 3 · pages 41–47 · Transcription · Corrections (références, rajouts) [dont SGA 4] : tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1977]
Édition de démonstration

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Le texte est à l'encre bleue ; certains numéros de paragraphe et de renvoi y sont repassés ou corrigés à l'encre verte ou noire, et l'on donne le numéro qui se lit en dernier. Des annotations au crayon, d'une écriture distincte du corps, entourent des passages, posent des questions et proposent des insertions : on les donne en marginal quand elles sont en marge, en ajout quand elles s'insèrent dans le texte, en le signalant. Les nombreux soulignements à l'encre bleue (mots d'un énoncé, références) ne sont pas reproduits. Dans ce lot, \(f_!^{\bullet}\) désigne le foncteur au niveau des complexes (un point en exposant sur la page) et \(f_!^{i}\) ses composantes ; la page distingue les deux, et on les distingue comme elle.

À quoi sert cette section 3.1.14, ? qu'y fait-on ? au crayon, en haut de la marge de gauche.

3.1.14. Appliquons les considérations qui précèdent à un morphisme compactifiable de schémas \(f : X \to S\).

D'après les démonstrations de 3.1.[…]3 et 3.1.4, si \(f = \bar f j\) est une compactification de \(f\) et si les fibres de \(f\) sont de dimension \(\leqslant d\), le foncteur \(Rf^!\) se construit par le procédé de 3.1.10, pour \[ K(U) = \bar f_{*}\, \tau^{*}_{\leqslant d}\, C_{\ell}^{*} \mathcal{A}_U = f_!^{\bullet}(\mathcal{A}_U) . \] [où \(A_U\) …] « où \(A_U\) … » est écrit au crayon sous la formule, et laissé en suspens. Le « 4 » de 3.1.14 et le « 1 » de 3.1.10 sont repassés à l'encre noire ; dans 3.1.3, un chiffre est noirci avant le « 3 ». L'astérisque au-dessus de \(\tau\) est appuyé, et \(\tau^{*}_{\leqslant d}\) est entouré au crayon. 3.1.10 \(\tau''_{\leqslant 2d}\) ? dire qui est \(A_U\) trois annotations au crayon, chacune entourée, dans la marge de gauche en regard de la formule.

Le corollaire 3.1.12 va permettre de donner d'autres procédés de calcul du foncteur \(Rf^!\). Supposons que \(n\mathcal{A} = 0\). On a alors (XVII 5.2) \[ Rf_!\, \mathcal{A}_U \simeq \mathcal{A} \overset{\mathbb{L}}{\otimes} Rf_!(\mathbb{Z}/n)_U . \] le « 2 » de 3.1.12 est à l'encre verte, sur un autre chiffre. Au crayon, un signe d'insertion suit « 5.2 », et un signe semblable est porté dans la marge, sans texte.

En fait, \(f_!^{\bullet}((\mathbb{Z}/n)_U)\) est un complexe de faisceaux plats : il suffit de le voir pour \(n\) [de la forme] \(\ell^k\) primaire ; […] la platitude […] d'un faisceau \(\underline{F}\) […] de \(\mathbb{Z}/\ell^k\)-modules signifie que pour \(i < k\), \[ \underline{F}/\ell \underline{F} \xrightarrow{\ \sim\ } \ell^{i}\underline{F}/\ell^{i+1}\underline{F} , \] et ceci résulte pour les faisceaux \(f_!^{i}(\mathbb{Z}/n)_U\) de l'exactitude de \(f_!^{i}\) et de la platitude […] \((\mathbb{Z}/n)_U\). « de la forme » est ajouté au crayon, qui biffe aussi « primaire » et souligne « plats ». Le mot biffé devant \((\mathbb{Z}/n)_U\) est une notation en \(f_!\) recouverte d'encre. On a donc un quasi-isomorphisme La flèche [canonique] \[ \struck{f_!^{\bullet}(\mathbb{Z}/n)_U \xrightarrow{\ \sim\ }} \] \[ f_!^{\bullet}(\mathbb{Z}/n)_U \otimes \mathcal{A} \xrightarrow{\ \sim\ } f_!^{\bullet}(\mathcal{A}_U) \] est donc un quasi-isomorphisme et on peut aussi bien décrire (3.1.12) « canonique » est au crayon. Le « 2 » de (3.1.12) est à l'encre verte.

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le foncteur \(Rf^!\) comme fourni par la […] donnée 3.1.10 \[ U \longmapsto f_!^{\bullet}((\mathbb{Z}/n)_U) \] le « 0 » de 3.1.10 est à l'encre verte ; la formule est entourée au crayon et reliée à la note de marge qui suit. \(\otimes\mathcal{A}\) ? \(\mathbb{Z}/n\) sinon, expliciter le nouveau \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\)

Rappelons que la résolution plate canonique [\(L_{\bullet}(\underline{F})\)] d'un Module \(\underline{F}\) s'obtient en représentant \(\underline{F}\) comme quotient du Module engendré par le faisceau d'ensembles \(\underline{F}\) : \(\varepsilon : L_0(\underline{F}) \to F\), en appliquant ensuite cette construction à \(\mathrm{Ker}(\varepsilon)\), et en itérant le procédé. réf ? « \(L_{\bullet}(\underline{F})\) » est ajouté à l'encre au-dessus de la ligne ; « résolution plate canonique » est souligné au crayon, et un signe d'insertion au crayon après « Rappelons » est relié à « réf ? ».

Le foncteur \(Rf^!\) est encore fourni, [par la méthode de 3.1.10,] par la donnée \[ U \longmapsto \add{K_0(U) \overset{\mathrm{df}}{=}}\; L_{\bullet}(f_!^{\bullet}(\mathbb{Z}/n)_U)\; \struck{= K_0(U)} . \] les deux ajouts sont au crayon : « par la méthode de 3.1.10 » au-dessus de la ligne, et « \(K_0(U) \overset{\mathrm{df}}{=}\) » devant la formule, dont la fin « \(= K_0(U)\) », à l'encre, est biffée au crayon.

Si maintenant \(\underline{G}\) est un complexe de \(\mathcal{A}\)-Modules acycliques ( ), on a \[ K_0^{!}(\underline{G}) \xrightarrow{\ \sim\ } RK_0^{!}(\underline{G}) \] la parenthèse après « acycliques » est laissée en blanc ; « acycliques, » est entouré au crayon, qui porte « ?? » dans la marge.

On en déduit [retrouve] que le faisceau d'anneaux \(\mathcal{A}\) ne joue qu'un rôle bidon dans la construction de \(RK_0^{!}\) \(Rf^!\), on « retrouve » est à l'encre verte.

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une bande de papier étroite, de deux lignes ; « cette construction » renvoie vraisemblablement à celle de la page 42.

Je n'ai pas vérifié que cette construction coïncide avec celle de 3.1.9.

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3.1.15. On peut encore décrire \(Rf^!\) par le procédé de 3.1.13. […] Soit en effet un morphisme compactifiable \(f\) :

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, hook, "j"'] \arrow[d, "f"'] & \bar X \arrow[dl, "\bar f"] \\
S &
\end{tikzcd}

et \(\mathcal{A}\) un faisceau d'anneaux sur \(S\) tel que \(n\mathcal{A} = 0\) (\(n \geqslant 1\)). Pour \(W = (U, V, \varphi) \in \mathrm{Ob}\, X_f\) (notation de 3.1.13), soit \[ (3.1.15.1) \qquad K(W) = \bar f_{V *}\, \tau_{\leqslant 2d}\, C^{*}_{\ell, \bar X_V}(\mathcal{A}_U) \] (résolution calculée sur \(\bar X_V = \bar X \times_S V\)). On a un quasi-isomorphisme le « 5 » de 3.1.15 est à l'encre verte sur un « 3 », et le « 5 » de (3.1.15.1) repassé à l'encre noire ; le dernier chiffre de « 3.1.13 », dans les deux renvois, est lui aussi repassé. Au crayon : \(\tau_{\leqslant 2d}\) est entouré et relié à « \(\tau''\) ? » dans la marge de gauche, et \(\mathcal{A}_U\) est entouré et relié à « signification pas claire » dans la marge de droite. \(\tau''\) ? signification pas claire

Pour \(j\) inclusion [morphisme structurel] de \(V\) dans \(S\), on a un quasi-isomorphisme \[ \struck{j_! K(W)} \] \[ j_!\, K(W) \xrightarrow{\ \sim\ } \bar f_{*}\, \tau_{\leqslant 2d}\, C^{*}_{\ell, \bar X}(\mathcal{A}_U) \] (XVII 5.2). D'après 3.1.9, le système (3.1.13) des \(K(W)\) permet donc de calculer \(Rf^!\). Ceci donne un sens à la « formule d'induction » « morphisme structurel » est ajouté à l'encre au-dessus de « inclusion » biffé. Dans (3.1.13), les parenthèses et le dernier chiffre sont à l'encre verte. Au crayon : \(\bar f_{*}\) et \(\tau_{\leqslant 2d}\) sont entourés, et \(\bar f_{*}\) relié à « \((j\bar f_V)_{*}\) ? » dans la marge ; « ref » est porté devant (XVII 5.2), avec un signe d'insertion ; « 3.1.9 » et « (3.1.13) » sont entourés, chacun avec un « ? », et reliés à « pas clair » dans la marge de droite. \((j\bar f_V)_{*}\) ? ref pas clair

dans la marge de gauche, au crayon, un diagramme des schémas en jeu. Les deux traits verticaux qui joignent \(X\) à \(\bar X\) et \(X_V\) à \(\bar X_V\) n'ont pas de pointe lisible ; les deux arcs portent leur pointe en bas.

\begin{tikzcd}
\bar X \arrow[d, no head] \arrow[dd, bend right=50, "\bar f"'] & \bar X_V \arrow[d, no head] \arrow[dd, bend right=50, "\bar f_V"'] & \\
X \arrow[d, "f"'] & X_V \arrow[l] \arrow[d, "f_V"] & U \arrow[l] \\
S & V \arrow[l, "j"] &
\end{tikzcd}

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Proposition 3.1.12. Le morphis une seule ligne, en haut du feuillet ; le reste est blanc.

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3.1.16. L'isomorphisme d'induction [d'adjonction] s'écrit \[ (3.1.16.1) \qquad \mathrm{Hom}(Rf_!\, K, L) \simeq \mathrm{Hom}(K, Rf^! L) \] [avec] \(\{\)\(K \in \mathrm{Ob}\, D(X, f^{*}\mathcal{A})\) et \(L \in \mathrm{Ob}\, D^{+}(S, \mathcal{A})\).\(\}\) Pour \(K \in \mathrm{Ob}\, D^{-}(X, f^{*}\mathcal{A})\) et \(L \in \mathrm{Ob}\, D^{+}(S, f^{*}\mathcal{A})\) et isomorphe complexe d'injectifs, cet isomorphisme s'écrit, au niveau des complexes, \[ \mathrm{Hom}^{\bullet}(f_!^{\bullet} K, L) \simeq \mathrm{Hom}^{\bullet}(K, f^{!}_{\bullet} L) . \] « d'adjonction » est écrit au-dessus de « d'induction » biffé ; « avec » est à l'encre dans la marge. La seconde fois, la page écrit bien \(D^{+}(S, f^{*}\mathcal{A})\). Au crayon : « 3.1.16. » est entouré et relié à la première note de marge ; « complexe d'injectifs » est entouré, et une astérisque avant le mot biffé renvoie à la seconde ; la formule au niveau des complexes est soulignée. remarque en cor. à 3.1.4 ? \(L\), ou \(K\) et \(L\) ?

Pour tout \(V \in \mathrm{Ob}\, S_{\text{et}}\) [\(j : V \to S\) dans \(S_{\text{et}}\)], on dispose de \[ \mathrm{Hom}^{*}_{\uncertain{/V}}(K, f^{!}_{\bullet} L) = \mathrm{Hom}^{\bullet}(j'_! j'^{*} K, f^{!}_{\bullet} L) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}^{\bullet}(f_!^{\bullet}(j'_! j'^{*} K), L) \longrightarrow \] \[ \struck{\longrightarrow \mathrm{Hom}\ \mathrm{Hom}} \] \[ \longrightarrow \mathrm{Hom}(j_! j^{*}(f_!^{\bullet} K), L) = \mathrm{Hom}_{V}(f_!^{\bullet} K, L) \] d'où un morphisme \[ (3.1.16.2) \qquad Rf_{*}\, R\underline{\mathrm{Hom}}(K, Rf^! L) \xrightarrow{\ \sim\ } R\underline{\mathrm{Hom}}(Rf_!\, K, L) \] que par localisation de 3.1.16.1 on vérifie être un isomorphisme. l'indice du premier \(\mathrm{Hom}\) et le petit signe écrit devant l'indice \(V\) du dernier ne se lisent pas sûrement. Un trait vertical au crayon court en marge le long du calcul, avec la note qui suit. devrait remonter en cor. 3.1.4.8 à 3.1.4 (conséquence triviale de 3.1.4.7)

3.1.17. Exemple : Soit \(X\) un schéma compactifiable sur le spectre d'un corps algébriquement clos \(k\) […], \(x\) un point fermé de \(X\) et \(n\) un entier \(\geqslant 1\) inversible dans \(k\). La formule (3.1.11.1) fournit, puisque \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)-module injectif, Pour \(U(x)\) parcourant les voisinages étales de \(x\) \[ \underline{H}^{-i}(Rf^! \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_x \simeq \varinjlim_{U(x)} \mathrm{Hom}\bigl(\struck{\ill{}}\, H^{i}_{c}(U, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\bigr) , \] [où \(U(x)\) est la catégorie des voisinages étales de \(x\) dans \(X\).] Il résulte vraisemblablement du théorème de bidualité (SGA 5 I ) (qui dépend de la résolution des singularités) le point après « dans \(k\) » est à l'encre verte, et le « L » de « La » au crayon ; le membre biffé « Pour \(U(x)\) parcourant les voisinages étales de \(x\) » déborde dans la marge de gauche, et il est biffé à l'encre verte. La ligne « où \(U(x)\) est la catégorie… » est serrée entre deux lignes, d'un trait plus pâle. Le numéro d'exposé après « SGA 5 I » est laissé en blanc. Au crayon : « 3.1.17 » est entouré et relié à une note de marge, un « en » est entouré au-dessus de « Soit », « vraisemblablement » est entouré, et un « ? » est porté sous la parenthèse de la référence. ([…], on […] en faisant venir […] d'une ligne) […] pas \(W(x)\), \(W\) ?

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que la flèche \[ H^{i}_{x}(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \longrightarrow \struck{\ill{}}\; \underset{U(x)}{\underset{\longleftarrow}{\text{“lim”}}}\; H^{i}_{c}(U, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \] est un isomorphisme de pro-objets, le second membre étant représenté par le premier. On aurait alors un isomorphisme \[ \underline{H}^{-i}(Rf^! \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_x \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}_{x}(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\vee} \] un trait vertical au crayon borde en marge tout ce passage, depuis le bas de la page 46.

La propriété de « finitude » suivante résulte aussitôt Pro [de la construction] de ce que des foncteurs \(f^{!}_{i}\) (3.1.4.5) [et du fait qu'ils] transforment injectifs en injectifs. « de la construction » est ajouté à l'encre ; « et du fait qu'ils » est au crayon.

Proposition 3.1.18. (i) Si [Supposons] le morphisme compactifiable \(f : X \to S\) est de dimension relative \(\leqslant d\), si […], […] [et soit] \(L \in D^{+}(S, \mathcal{A})\), […] [tel que] si \(\underline{H}^{i}(L) = 0\) pour \(i \geqslant k\), alors \(\underline{H}^{i}(L) = 0\) pour \(i \geqslant k - 2d\).

(ii) Si \(\dim\mathrm{inj}(L) \leqslant k\), alors \(\dim\mathrm{inj}(Rf^! L) \leqslant k\)[…].

(ii) \(\dim\mathrm{inj}(Rf^! L) \leqslant \dim\mathrm{inj}(L)\). « Supposons », « et soit » et « tel que » sont au crayon, par-dessus ou au-dessus des mots biffés. Dans la conclusion de (i), le second \(\underline{H}^{i}\) porte sur \(L\), comme le premier : c'est ce que la page écrit. devrait remonter avant 3.1.5 ! + immédiat après au crayon, entouré, en regard de la proposition ; un « ok » à l'encre rouge est écrit par-dessus, comme sur les deux notes de marge qui suivent.

3.1.19. Lorsque \(f\) est quasi-fini et si on fait \(d = 0\) dans la construction 3.1.4 du foncteur \(Rf^!\), on trouve [par 3.1.3] que le foncteur \(f_!\) admet un adjoint à droite \(f^!\), dont \(Rf^!\) est le dérivé. En particulier si \(f\) est une immersion \(f : X \hookrightarrow S\), on trouve que \(Rf^!\) est le dérivé du foncteur « sections à support dans \(X\) ». En particulier \[ (3.1.19.1) \qquad R^{i} f^{!} L = \underline{H}^{i}_{X}(L) \] « par 3.1.3 » est au crayon, entouré, avec « trouve que » ; un petit signe au crayon est porté sous le \(f\) de (3.1.19.1). remonter également avant 3.1.6. bref ([…] dans qui ?)

Dire aussi que si \(f\) est étale, \(Rf^! = f^{*}\) ; corollaire : « nature locale » de \(Rf^!\)

Le plan de 3.1 semble flou après 3.1.4. On pourrait prendre a) Propriétés formelles de \(Rf^!\) pour \(f\) fixé : 3.1.5, 3.1.18, 3.1.19, 3.1.8, 3.1.9 ; b) Propriétés formelles pour \(f\) variable : 3.1.6 + [chgt de base par morphisme lisse (univ. loc. acyclique)] ; c) Sorites sur construction locale de \(Rf^!\) : 3.1.10 à 3.1.13. (?) tout le bas de la page est au crayon, sous un trait tiré en travers. Le chiffre qui précède « 3.1.5 » dans a) est biffé. La mention entre crochets de b) est encadrée, et une flèche y monte depuis « à ne pas oublier ! », souligné, écrit en bas à droite. à ne pas oublier !

au pied de la page, toujours au crayon, un petit diagramme et un calcul en une ligne. Le premier \(\simeq\) du calcul est précédé d'un \(f\) en trop ; entre \(\Delta^{*}(p_2^{!} f^{*})\) et la suite, quelques signes sont gommés ; le \(*\) de \(f^{*}[2d](d)\) est écrit sur un « ! », et l'exposant du dernier \(f\) ne se lit pas sûrement.

\begin{tikzcd}
X \arrow[d, "f"'] & X \times_S X \arrow[l, "p_1"'] \arrow[d, "p_2"] & X \arrow[l, "\Delta"'] \\
S & X \arrow[l, no head, "f"] &
\end{tikzcd}

\[ f^{!} \simeq (p_1 \Delta)^{*} f^{!} \simeq \Delta^{*}(p_1^{*} f^{!}) \underset{\text{chgt de base par lisse}}{\simeq} \Delta^{*}(p_2^{!} f^{*}) \underset{\text{pureté relative ??}}{\simeq} \Delta^{!} p_2^{!} f^{*}[2d](d) \simeq f^{\uncertain{*}}[2d](d) \]