Fiche au crayon, du même type que celles des pages 15 à 20 (lot 1). En tête « XVII – 1.2 », avec un « 4 » cerclé à droite ; la dernière ligne, à l'encre bleue, dit XVIII.

XVII – 1.2 (4)

(\ell. 9) du haut

cf. (1.2.2.4)

mettre (1.2.4.1) « ok » dans la marge, d'une autre écriture.

stop p. 4. XVIII.1-2. Cette ligne est à l'encre bleue, sous un trait bleu.

Feuillet à l'encre noire, sur papier uni ; en tête « XVIII – 1.2 », souligné deux fois. p : P(E) \to S est le fibré projectif, et (1.2.1.1) le foncteur des G-torseurs sur S vers ceux sur P(E) dont il est question dans les feuillets qui suivent.

la flèche de I.a ne porte pas de tilde sur la page ; celle de I.b en porte un.

Remarques 1 : disparaît moyennant (I.a) et l'hypothèse d'une section on a une suite exacte 0 \to H^1(S, G) \to H^1(P(E), G) \xrightarrow{\ \theta\ } \Gamma(S, R^1 p_{*} G) \to 0

Remarque 2 : La pleine fidélité de (1.2.1.1) est locale sur la base et moyennant la pleine fidélité, la surjectivité essentielle est locale sur la base.

Remarque 3 : I.b (et I.a) entraîne que \underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_m, G) \to H^1(P(E), G) est injectif.

I) \Rightarrow II) pleine fidélité : on se ramène au cas où il y a une section.

I \Rightarrow II. pleine fidélité : si K(\kappa_0, \varphi) = K(\kappa'_0, \varphi') alors \varphi = \varphi'. Alors \kappa_0 = \kappa'_0 et I.a entraîne la pleine fidélité.

essentielle surjectivité : Soit K \in H^1(P(E), G) ; \theta(K) = \varphi(\mathcal{O}(1)) pour un certain \varphi et \theta(K) - \varphi(\mathcal{O}(1)) \in H^1(S, G). tel qu'écrit : c'est sans doute la différence de K et du torseur défini par \varphi(\mathcal{O}(1)) qui est visée, \theta étant à valeurs dans \Gamma(S, R^1 p_{*} G).

II) \Rightarrow I) I-a) résulte de la pleine fidélité.

I.b) \underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_m, G) \to trivial vu ce qui précède.

Encre bleue, sur papier quadrillé, d'une écriture soignée ; les insertions sont à la même encre, une flèche et une accolade à l'encre verte. Feuillet sans numéro ; les pages 26 et 27 portent « XVIII 1.2 » et les folios 8 et 12.

Lemme 1.2.79. Soient S un schéma local artinien, \bar s un point géométrique de S, f : X \to S un morphisme propre et lisse , et G un schéma en groupes commutatif lisse de type fini sur S. Si H^0(X_{\bar s}, \mathcal{O}) = k(\bar s) et \operatorname{Pic}^{\tau} X_{\bar s} = 0, et alors le foncteur si G_{\bar s} ne contient pas de sous-groupe \mathbb{G}_m, alors le le foncteur f^{*} de la catégorie des G-torseurs sur S dans celle des f^{*}G-torseurs sur X est une équivalence. le numéro du lemme est corrigé : un chiffre biffé, lu 7, puis 9. Le passage biffé après « propre » (deux ou trois mots) est illisible sous les ratures ; « \bar s un point géométrique de S » et « et lisse » sont ajoutés au-dessus de la ligne.

b. Si S est le spectre d'un corps séparablement clos et si A est une variété abélienne, alors H^1(X, A) est de torsion (Raynaud [1, XIII 2.6]), donc réunion des images des groupes H^1(X, {}_nA) ; ceux-ci sont nuls par 1.2.2.7. Si G est extension d'une variété abélienne A par un groupe affine G_0, H^1(X,G) est donc une flèche verte part de l'alinéa a. ci-dessous et pointe vers « b. » : l'ordre des deux alinéas est sans doute à inverser.

a. Le problème posé est local sur S pour la topologie étale ; on se ramène donc au cas S strictement hensélien, donc au cas où l'on peut donc supposer que X/S admet une section ; le foncteur f^{*} est alors pleinement fidèle d'après 1.2.2.4. 1.2.3 et (1.2.4.2) l'alinéa a. est tenu, dans la marge, par une accolade verte.

Encre bleue sur papier quadrillé jauni, tête-bêche par rapport au feuillet ; la page est barrée au crayon de longues diagonales et se lit sous elles. Notes brèves, disposées en colonnes ; l'ordre suivi est celui de la page, de haut en bas et de gauche à droite.

D : (

\mathbb{R}^2, \omega str. complexe (V_0, J)

i.e. V_0 V = V_0 \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} et \omega^{-1}, \omega > 0 ?

Gras. \mathbb{C}.

0 \to \omega \to V \to \omega^{-1} \to 0 attaché à D

(D, V) ; V_0, \nabla, 0 \to \omega \to V \to \omega^{-1} \to 0, str. réelle.encadré. Aut : SL_2(\mathbb{R})

« disque orienté ».

\operatorname{Aut}(V_0) : SL_2(\mathbb{R})/\pm 1 un grand trait oblique suit « \pm 1 », comme pour le biffer.

en part torseur sous PSL_2(\mathbb{R}) (plat) sur disque abst.

\to torseur plat sous PSL_2(\mathbb{R}) sur tt courbeencadré.

(azumaya \operatorname{Aut}(V))

a/ se relève-t-il à SL_2(\mathbb{R}) ?

\| fibré en dr. \pi < (parties principales ?)cerclé.

\mathbb{P}(P^1(X)) la formule encadrée est barrée de traits obliques ; lecture douteuse.

\tilde{g} ok \Rightarrow k \tilde{g} ok ; \Leftrightarrow pour k impair. sous « g » et « k\,g » un trait vertical descend sur un X : ce sont des revêtements de X ; le tilde est notre transcription de cette disposition. Le « g » de gauche est surchargé. En dessous, cerclé : « g-1 ».

Aut(rév. univ. en x)

obstruction H^2(X, \mathbb{Z}/2) [ou 0, ou g-1

choix H^1(X, \mathbb{Z}/2)

Aut H^0(X, \mathbb{Z}/2)

\Gamma de PSL_2 peut-il se relever à SL_2

x_1, \ldots, x_{2g} avec (x_1 x_2) \cdots (x_{2g-1} x_{2g}) = e relever x_i ; Rel = \pm 1 ! les (x_i x_{i+1}) sont des commutateurs ; le produit est souligné d'une accolade.

(x_1 x_2)(x_3 x_4) = \pm 1

Crayon, sur papier quadrillé.

SGA 4 XVII

Vérifier réf : « F premier aux car rés. de X » XVII 0.13

Ajouter : X \to S, F sur X premier aux car de S

: ? \forall s \in S, F \mid X \times_S \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{S,s}) tel que p_s inv.

Ajouter : 1.2.9 : plat / lisse par Illusie –

Encre bleue sur papier quadrillé ; « L 4 » en haut à droite. La lettre, signée « P. Deligne », accompagne un envoi de pièces sur l'exposé XVIII et le § 3.1 sur Rf^{!}.

Manque : a Gysin b g^{*} Rf^{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'^{!} g^{*} si …

c Un grand nombre de compatibilités idiotes

d Compatibilité aux classes fondamentales locales.

Je n'ai pas l'intention de combler ces manques dans un temps prévisible. Je me sens toutefois une obligation morale de combler 3.1.10.3, et de donner les compatibilités requises pour identifier Rf^{!} à f^{*}(\ )[\ ] (i.e., telle flèche définie en 3.1 est telle flèche). Ce risque de faire une vingtaine de pages illisibles et autant de jours de travail idiot pour moi – Peut-être le ferais-je avant que SGA 4 ne devienne un livre – ce passage, de « de combler 3.1.10.3 » à « un livre », est marqué dans la marge gauche d'un crochet au crayon.

Je ne me sens pas d'obligations morales pour le reste, moins emmerdant. Le début de d est sans doute à remonter en 1.1.

Ci-joint : tes lettres et notes sur les jacobiennes – une lettre à Serre – ta note sur Gysin –

de tes commentaires anciens et nouveaux

une photocopie d'une liste de référence dans XVII.

une liste incomplète de compatibilités manquantes.

une ancienne version, avec tes commentaires, de 3.1.

Bien à toi

P. Deligne

Encre bleue sur papier quadrillé, de la même main que la page 30 : c'est vraisemblablement la « liste incomplète de compatibilités manquantes » que la lettre annonce.

Liste de compatibilités manquantes

a) comp. de « ch base » avec Rf_{!} \to Rf_{*}. comp

b) comp de « ch base » avec f^{*}(d)[2d] \to Rf^{!}

c) comp. de induction avec f^{*}(d)[2d] \to Rf^{!}

d) comp. de cl. fond. loc. avec Rj^{!} Rf^{!} = R(fj)^{!}

e) classe de correspondance

f) Th de comparaison, sur \mathbb{C}

g) comparaison avec la dualité des courbes par autodualité des jacobiennes

h) morphisme de Gysin et la requête de Jouanolou.

i) ch de base : transp de ( Rf_{!}\, Rg'_{*} \to Rg_{*}\, Rf'_{!}

en R'f^{!} g^{*} \longleftarrow g'^{*} Rf^{!} ; cas où f est lisse. la première flèche de i) est biffée d'un trait noir puis d'un trait vert. « R'f^{!} » est écrit ainsi ; on attend Rf'^{!}.

Fiche à l'encre noire sur papier quadrillé, écrite dans les deux sens. En haut, à l'encre rouge et soulignée d'un trait rouge : « ETAT Avant Illusie ». On donne d'abord la moitié écrite à l'endroit, puis l'autre, retournée.

H^1(H^0) \to H^0(H^1)

X H^1(H^0) \to H^1 \to H^0 H^1 \to H^2 H^0

sous H^1(H^0) est écrit « (0) ». Plus bas, en face d'un « S », un H^1 d'où partent une flèche verticale vers le H^1 de la ligne et une flèche double, oblique, vers H^0 H^1 : c'est la suite exacte des termes de bas degré d'une suite spectrale de Leray pour X \to S, écrite sans indices ni coefficients.

Moitié retournée.

\langle \mathcal{L}, \mathcal{M} \rangle = \uncertain{N}_{E/S}(\mathcal{M}) si \mathcal{L} = \mathcal{O}(E)

Tout F(\mathcal{L}) vient d'un \mathcal{M}. ces deux lignes sont réunies par une accolade.

\mathcal{O}(E) \mathcal{O}(F) \mathcal{O}

0 \to \mathcal{O}(-F) \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}_F \to 0

\langle \mathcal{O}(E), \mathcal{O}(-F) \rangle = N_{E/}(\mathcal{O}(-F))\, N_{E/}(\ )^{-1}

\det(\ )\det(\ ) = \det(Rf_{*}(\mathcal{O}_E \otimes^{L} \mathcal{O}_F))^{-1} sous le \otimes, un indice peu lisible, lu L.

\| \langle \mathcal{O}(E), \mathcal{O}(F) \rangle = \det Rf_{*}(\mathcal{O}_E \otimes \mathcal{O}_F)^{-1} « \| » est un double trait vertical dans la marge.

\langle 2\ 1 \rangle — \langle 1\ 1 \rangle

\langle \mathcal{O}_X \otimes \mathcal{O}_Y \rangle \overset{\langle f, f^{-1} \rangle}{\longrightarrow} \langle \mathcal{O}_Y \otimes \mathcal{O}_X \rangle les deux lignes sont reliées par des traits verticaux qui descendent chacun sur un « 0 » ; « \langle f, f^{-1} \rangle » est souligné deux fois et tient lieu de flèche ; la lecture « \otimes » dans les crochets de gauche est incertaine (on lit plutôt « \times »).

Encre rouge, en haut d'un feuillet quadrillé ; le reste porte au crayon des traces effacées, illisibles.

ETAT PRIMITIF.

contient : ? compatibilité commutation de 6. le dernier signe est un 6 ou un G.

Encre bleue sur papier quadrillé ; toute la page est barrée de trois longues diagonales brunes. Ce sont des schémas plus que des phrases : on en donne les formules et on décrit les figures.

Cat \mathcal{A}^{*} \mathcal{B}^{*} \mathcal{C}^{*} \mathcal{D}^{*} quatre catégories dans deux cadres, \mathcal{A}, \mathcal{B} en haut, \mathcal{C}, \mathcal{D} en bas, chacune marquée d'une astérisque ; à gauche une flèche descendante f^{\bullet}_{!}, au milieu « ok » cerclé, à droite une flèche montante suivie de « ? ». Dessous, un carré dont les sommets sont des astérisques, la flèche verticale gauche marquée de « ! » ; les deux lignes du bas sont indicées 0 et 1.

\operatorname{Hom}(f^{*}F, G) \operatorname{Hom}(\ {}_{!}\ \ {}^{!}\ ) ou \operatorname{Hom}(f_{!}F, G) \operatorname{Hom}(F, f^{!}G) \operatorname{Hom}(f^{*}G, F) deux carrés de flèches entre croix : dans le premier, le côté du haut est \operatorname{Hom}(f^{*}F, G) et les côtés verticaux montent, celui de droite marqué \operatorname{Hom}(\ {}_{!}\ \ {}^{!}\ ) ; dans le second, les flèches horizontales vont vers la gauche, le côté gauche est \operatorname{Hom}(f_{!}F, G) (de F vers G), le côté droit \operatorname{Hom}(F, f^{!}G), et sous le côté du bas \operatorname{Hom}(f^{*}G, F).

les deux carrés sont dans un même cadre, à droite duquel on lit « dém : fib + cofib » ; dans chacun une petite flèche courbe (une 2-flèche) va d'un sommet à l'autre. Au-dessous : « \to ch base : 2 dessins ».

adj \operatorname{Hom}(f_{!}K, L) \sim \operatorname{Hom}(K, f^{!}L) /X

\downarrow \downarrow \sim préf

\operatorname{Hom}_{\vee}(f^{\vee}_{!}K, L) \sim \operatorname{Hom}(K, f^{!}_{\vee}L) /V

Rf_{*} R\operatorname{Hom}(f_{!}K, L) \sim la ligne s'arrête là.

Encre bleue sur papier quadrillé, d'une écriture soignée ; les annotations au crayon, dans les marges et entre les lignes, sont données comme notes marginales. Ce feuillet et les suivants appartiennent à un § 3.1 sur le foncteur Rf^{!}, que continue le lot 3.

Pour tout carré cartésien de schémas

avec f compactifiable, \mathcal{E} et tout faisceau d'anneaux de torsion \mathcal{A} sur S, l'isomorphisme de changement de base XVII 5.2 g^{*} Rf_{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_{!}\, g'^{*} entre foncteurs de D(X, f^{*}\mathcal{A}) dans D(S', g^{*}\mathcal{A}) se transpose en un isomorphisme (3.1.6.3)\qquad Rg'_{*}\, Rf'^{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf^{!}\, Rg_{*} entre foncteurs de D^{+}(S', g^{*}\mathcal{A}) dans D^{+}(X, f^{*}\mathcal{A}). dans « 3.1.6.3 » et « 3.1.6.4 », le 6 est surchargé.

On obtient ainsi quatre « flèches de changement de base » : (3.1.6.4)\qquad \begin{array}{ll} g^{*} Rf_{*} \longrightarrow Rf'_{*}\, g'^{*} & \qquad g^{*} Rf_{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_{!}\, g'^{*} \\[1ex] Rg^{!} Rf_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_{*}\, Rg'^{!} & \qquad Rg^{!} Rf_{!} \longleftarrow Rf'_{!}\, Rg'^{!} \end{array} dans les deux flèches marquées \sim une pointe a été ajoutée ou surchargée à l'autre bout, de sorte qu'elles paraissent à double sens ; on les donne dans le sens de 3.1.6.3 et de XVII 5.2. Au crayon, une accolade court le long de la colonne de gauche, avec une flèche qui en part et une qui y revient.

Les flèches de la diagonale principale sont autoadjointes, et définies pour tout carré commutatif dès que leurs sources et buts ont un sens (et en tous cas quand on considère les foncteurs dérivés, comme définis sur )des catégories D^{+}, ; les isomorphismes de la seconde diagonale sont adjoints l'un de l'autre, et définis pour un carré commutatif cartésien de schémas, avec f (resp. g) compactifiable. Chacun de les flèches vérifient de deux compatibilités du type XII 4.4 pour f ou g composé de deux morphismes. Peut-on dire la raison ?

g'^{*} Rf^{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'^{!} g^{*} dû sous hyp. de lissité (Rf^{!} pour f lisse ) g (loc.) acyclique (p. ex. lisse) ces deux dernières annotations sont au crayon, au bas du feuillet ; la seconde est très effacée.

Qui sont \mathcal{A}, \mathcal{B} ? 3.1.7. Pour \underline{F} complexe un des f^{*}\mathcal{B}-Modules à droite sur X et \underline{G} le complexe un \mathcal{A},\mathcal{B}-Bimodule à gauche sur S, on dispose de (3.1.7.1)\qquad f^{\bullet}_{!}\underline{F} \otimes_{\mathcal{B}} \underline{G} \longrightarrow f^{\bullet}_{!}(\underline{F} \otimes_{\mathcal{B}} f^{*}\underline{G}). Pour \underline{H} faisceau de \mathcal{A}-modules sur S, cette flèche se transpose en (3.1.7.2)\qquad \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}\underline{G}, f^{!}_{\bullet}\underline{H}) \longrightarrow f^{!}_{\bullet}\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(\underline{G}, \underline{H}). Cette flèche se dérive en une flèche d'induction (3.1.7.3)\qquad R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}L, Rf^{!}M) \xrightarrow{\ \sim\ } Rf^{!} R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, M), (L \in \operatorname{ob} ?, M \in \operatorname{ob} ?), appelée homomorphisme d'induction, dont on va vérifier que c'est un isomorphisme. Je qui rend commutatif le diagramme suivant, pour K \in D^{-}(X, f^{*}\mathcal{B}), L \in D^{-}(S, \mathcal{A}, \mathcal{B}) Réf. ? \operatorname{Hom}(Rf_{!}K, R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}L, Rf^{!}M)) et M \in D^{+}(S, \mathcal{A}).

sur la page, (1) et (2) sont cerclés.

terminologie Dans ce diagramme, (2) (déduit de la flèche de changement de base projection) est un isomorphisme (XVII 5.2). La flèche (1) est donc un isomorphisme quel que soit K. On vérifie facilement que ceci implique que (3.1.7.3) est un isomorphisme. On a obtenu

Préciser données (f comp. X \to S, \mathcal{A}, \mathcal{B} ) Proposition 3.1.8. La flèche 3.1.7.3 est un isomorphisme : on a la « formule d'induction » : R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}L, Rf^{!}M) \xrightarrow{\ \sim\ } Rf^{!} R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, M). pour L \in \operatorname{ob} , M \in \operatorname{ob} .