Cote n° 32 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Corrections (références, rajouts) [dont SGA 4] : tapuscrit (s.d.), notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1963-1977]
Édition de démonstration

Fiches de corrections à XVIII 1.2, suite (pages 21 à 23)

21Fiche au crayon, du même type que celles des pages 15 à 20 (lot 1). En tête « XVII – 1.2 », avec un « 4 » cerclé à droite ; la dernière ligne, à l'encre bleue, dit XVIII.

XVII – 1.2 (4)

(\(\ell\). 9) du haut

cf. (1.2.2.4)

mettre (1.2.4.1) « ok » dans la marge, d'une autre écriture.

stop p. 4. XVIII.1-2. Cette ligne est à l'encre bleue, sous un trait bleu.

22XVIII.1.2 (7

à préciser \(R^1 f_{*}(\mathbb{G}_m)\) les deux premières lignes sont à l'encre bleue ; le reste de la fiche est au crayon, sous un trait.

ligne 0 du bas le chiffre est un petit cercle : 0 ou 6.

remplacer 1.2.2.1 par (1.2.3) et (1.2.4.2)

23XVIII. 1.2 6

p. 1.2.3

\(\ell\). 4 du bas « ok » dans la marge.

remplacer 1.2.2.1 par (1.2.3)

\(\operatorname{Lie} \operatorname{Pic}_X = H^1(X, \mathcal{O}_X)\) ? cette ligne, isolée entre deux traits, est barrée d'un trait ondulé.

XVIII 1.2 : torseurs sur \(P(E)\) (page 24)

24Feuillet à l'encre noire, sur papier uni ; en tête « XVIII – 1.2 », souligné deux fois. \(p : P(E) \to S\) est le fibré projectif, et (1.2.1.1) le foncteur des \(G\)-torseurs sur \(S\) vers ceux sur \(P(E)\) dont il est question dans les feuillets qui suivent.

la flèche de I.a ne porte pas de tilde sur la page ; celle de I.b en porte un.

Remarques 1 : disparaît moyennant (I.a) et l'hypothèse d'une section on a une suite exacte \[ 0 \to H^1(S, G) \to H^1(P(E), G) \xrightarrow{\ \theta\ } \Gamma(S, R^1 p_{*} G) \to 0 \]

Remarque 2 : La pleine fidélité de (1.2.1.1) est locale sur la base et moyennant la pleine fidélité, la surjectivité essentielle est locale sur la base.

Remarque 3 : I.b (et I.a) entraîne que \(\underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_m, G) \to H^1(P(E), G)\) est injectif.

I) \(\Rightarrow\) II) pleine fidélité : on se ramène au cas où il y a une section.

I \(\Rightarrow\) II. pleine fidélité : si \(K(\kappa_0, \varphi) = K(\kappa'_0, \varphi')\) alors \(\varphi = \varphi'\). Alors \(\kappa_0 = \kappa'_0\) et I.a entraîne la pleine fidélité.

essentielle surjectivité : Soit \(K \in H^1(P(E), G)\) ; \(\theta(K) = \varphi(\mathcal{O}(1))\) pour un certain \(\varphi\) et \(\theta(K) - \varphi(\mathcal{O}(1)) \in H^1(S, G)\). tel qu'écrit : c'est sans doute la différence de \(K\) et du torseur défini par \(\varphi(\mathcal{O}(1))\) qui est visée, \(\theta\) étant à valeurs dans \(\Gamma(S, R^1 p_{*} G)\).

II) \(\Rightarrow\) I) I-a) résulte de la pleine fidélité.

I.b) \(\underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_m, G) \to\) trivial vu ce qui précède.

XVIII 1.2 : feuillets d'une rédaction (pages 25 à 27)

25Encre bleue, sur papier quadrillé, d'une écriture soignée ; les insertions sont à la même encre, une flèche et une accolade à l'encre verte. Feuillet sans numéro ; les pages 26 et 27 portent « XVIII 1.2 » et les folios 8 et 12.

Lemme 1.2.79. Soient \(S\) un schéma local artinien, [\(\bar s\) un point géométrique de \(S\)], \(f : X \to S\) un morphisme propre [et lisse] […], […] et \(G\) un schéma en groupes commutatif lisse de type fini sur \(S\). Si \(H^0(X_{\bar s}, \mathcal{O}) = k(\bar s)\) et \(\operatorname{Pic}^{\tau} X_{\bar s} = 0\), [et] alors le foncteur si \(G_{\bar s}\) ne contient pas de sous-groupe \(\mathbb{G}_m\), alors le le foncteur \(f^{*}\) de la catégorie des \(G\)-torseurs sur \(S\) dans celle des \(f^{*}G\)-torseurs sur \(X\) est une équivalence. le numéro du lemme est corrigé : un chiffre biffé, lu 7, puis 9. Le passage biffé après « propre » (deux ou trois mots) est illisible sous les ratures ; « \(\bar s\) un point géométrique de \(S\) » et « et lisse » sont ajoutés au-dessus de la ligne.

b. Si \(S\) est le spectre d'un corps séparablement clos et si \(A\) [est] une variété abélienne, alors \(H^1(X, A)\) est de torsion (Raynaud [1, XIII 2.6]), donc réunion des images des groupes \(H^1(X, {}_nA)\) ; ceux-ci sont nuls par 1.2.2.7. Si \(G\) est extension d'une variété abélienne \(A\) par un groupe […] affine \(G_0\), \(H^1(X,G)\) est donc une flèche verte part de l'alinéa a. ci-dessous et pointe vers « b. » : l'ordre des deux alinéas est sans doute à inverser.

a. Le problème posé est local sur \(S\) pour la topologie étale ; on se ramène donc au cas \(S\) strictement hensélien, donc au cas où l'on peut donc supposer que \(X/S\) admet une section ; le foncteur \(f^{*}\) est alors pleinement fidèle d'après 1.2.2.4. 1.2.3 et (1.2.4.2) l'alinéa a. est tenu, dans la marge, par une accolade verte.

26Folio 8 et « XVIII 1.2 » à l'encre rouge. Suite de l'alinéa b. de la page précédente.

et si \(G^n\) est l'image réciproque de \({}_nA\), le groupe \(H^1(X, G)\) est réunion des groupes \(H^1(X, G^n)\). Les groupes \(G^n\) sont affines (non nécessairement lisse) et, sous l'hypothèse faite, l'assertion résulte de 1.2.78. le 8 est à l'encre noire.

c. Pour \(S\) strictement hensélien et \(G\) lisse, on a \(H^1(S, G) = 0\). Il nous faut donc vérifier que \(H^1(X, G) = 0\). Supposons que ce soit déjà établi après le changement de base \(i : S_0 \to S\), où \(S_0\) est défini par un idéal de carré nul [et de longueur 1] \(I\) de de \(\mathcal{O}_S\). Les \(G\)-torseurs sur \(X\) sont alors des déformations du \(G\)-torseur trivial sur \(X_0 = X \times_S S_0\). Si \(L = e^{*} \Omega^1_{G/S}\) (\(e\) section neutre) ces déformations sont classifiées par \[ \struck{H^1(S_0} \] \[ H^1(X_{\struck{s}}, f^{*} \underline{\operatorname{Hom}}(L, I)) = 0, \] et ceci prouve 12.79.

27Folio 12, « XVIII 1.2 ». Toute la page est barrée de deux grandes diagonales au crayon ; elle se lit entièrement sous elles.

Pour \(S\) artinien, on a (1) \(\Rightarrow\) (1') : si \(G\) vérifie (1), donc est fini localement libre, soient \(G'\) son dual de Cartier, et \(A(G)\) le schéma en groupe [(lisse)] des éléments inversibles de l'algèbre affine de \(G'\) ; \(G \simeq G''\) s'identifie au sous-groupe de \(A(G)\) formé des caractères de \(G'\). Soit donc une suite exacte \[ 0 \to G \to G_1 \to G_2 \to 0 \] avec \(G_1\) et \(G_2\) lisses. La suite exacte longue de cohomologie fournit, par 1.2.3 et 1.2.2 appliqué à \(G_1\) et \(G_2\) \[ 0 \to R^1 p_{*} G \to \underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_m, G_1) \to \underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_m, G_2) \] de sorte que \(\underline{\operatorname{Hom}}(\mathbb{G}_m, G) \xrightarrow{\ \sim\ } \struck{\operatorname{Hom}} R^1 p_{*} G\).

Dans le cas (iii), le problème est local sur \(S\) (1.2.4).

Quitte à étendre \(k\), on peut supposer l'existence d'une suite exacte \[ 0 \to \mathbb{G}_m^n \to G_0 \to H \to 0 \] telle que \(H\) ne contienne pas de tore. On applique alors 1.2.3 et 1.2.8 à la suite exacte longue de cohomologie.

Structures complexes sur le disque et torseurs sous \(PSL_2(\mathbb{R})\) (page 28)

28Encre bleue sur papier quadrillé jauni, tête-bêche par rapport au feuillet ; la page est barrée au crayon de longues diagonales et se lit sous elles. Notes brèves, disposées en colonnes ; l'ordre suivi est celui de la page, de haut en bas et de gauche à droite.

\(D\) : ([…]

\(\mathbb{R}^2\), \(\omega\) str. complexe \((V_0, J)\)

i.e. \(V_0\) \(V = V_0 \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}\) et \(\omega^{-1}\), \(\omega > 0\) ?

Gras. \(\mathbb{C}\).

\(0 \to \omega \to V \to \omega^{-1} \to 0\) attaché à \(D\)

\((D, V)\) ; \(V_0\), \(\nabla\), \(0 \to \omega \to V \to \omega^{-1} \to 0\), str. réelle.encadré. Aut : \(SL_2(\mathbb{R})\)

« disque orienté ».

\(\operatorname{Aut}(V_0)\) : \(SL_2(\mathbb{R})/\pm 1\) un grand trait oblique suit « \(\pm 1\) », comme pour le biffer.

en part torseur sous \(PSL_2(\mathbb{R})\) (plat) sur disque abst.

\(\to\) torseur plat sous \(PSL_2(\mathbb{R})\) sur tt courbeencadré.

(azumaya \(\operatorname{Aut}(V)\))

a/ se relève-t-il à \(SL_2(\mathbb{R})\) ?

\(\|\) fibré en dr. \(\pi\) \(<\) (parties principales ?)cerclé.

\(\mathbb{P}(P^1(X))\) la formule encadrée est barrée de traits obliques ; lecture douteuse.

\(\tilde{g}\) ok \(\Rightarrow\) \(k \tilde{g}\) ok ; \(\Leftrightarrow\) pour \(k\) impair. sous « \(g\) » et « \(k\,g\) » un trait vertical descend sur un \(X\) : ce sont des revêtements de \(X\) ; le tilde est notre transcription de cette disposition. Le « \(g\) » de gauche est surchargé. En dessous, cerclé : « \(g-1\) ».

Aut(rév. univ. en \(x\))

obstruction \(H^2(X, \mathbb{Z}/2)\) [ou \(0\), ou \(g-1\)

choix \(H^1(X, \mathbb{Z}/2)\)

Aut \(H^0(X, \mathbb{Z}/2)\)

\(\Gamma\) de \(PSL_2\) peut-il se relever à \(SL_2\)

\(x_1, \ldots, x_{2g}\) avec \((x_1 x_2) \cdots (x_{2g-1} x_{2g}) = e\) relever \(x_i\) ; Rel \(= \pm 1\) ! les \((x_i x_{i+1})\) sont des commutateurs ; le produit est souligné d'une accolade.

\((x_1 x_2)(x_3 x_4) = \pm 1\)

SGA 4 XVII : références à vérifier (page 29)

29Crayon, sur papier quadrillé.

SGA 4 XVII

Vérifier réf : « \(F\) premier aux car rés. de \(X\) » XVII 0.13

Ajouter : \(X \to S\), \(F\) sur \(X\) premier aux car de […] \(S\)

: ? \(\forall s \in S\), \(F \mid X \times_S \operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{S,s})\) tel que \(p_s\) inv.

Ajouter : 1.2.9 : plat / lisse par Illusie –

Une lettre signée P. Deligne (page 30)

30Encre bleue sur papier quadrillé ; « L 4 » en haut à droite. La lettre, signée « P. Deligne », accompagne un envoi de pièces sur l'exposé XVIII et le § 3.1 sur \(Rf^{!}\).

Manque : a Gysin b \(g^{*} Rf^{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'^{!} g^{*}\) si …

c Un grand nombre de compatibilités idiotes

d Compatibilité aux classes fondamentales locales.

Je n'ai pas l'intention de combler ces manques dans un temps prévisible. Je me sens toutefois une obligation morale de combler 3.1.10.3, et de donner les compatibilités requises pour identifier \(Rf^{!}\) à \(f^{*}(\ )[\ ]\) (i.e., telle flèche définie en 3.1 est telle flèche). Ce risque de faire une vingtaine de pages illisibles et autant de jours de travail idiot pour moi – Peut-être le ferais-je avant que SGA 4 ne devienne un livre – ce passage, de « de combler 3.1.10.3 » à « un livre », est marqué dans la marge gauche d'un crochet au crayon.

Je ne me sens pas d'obligations morales pour le reste, moins emmerdant. Le début de d est sans doute à remonter en 1.1.

Ci-joint : tes lettres et notes sur les jacobiennes – une lettre à Serre – ta note sur Gysin –

de tes commentaires anciens et nouveaux

une photocopie d'une liste de référence dans XVII.

une liste incomplète de compatibilités manquantes.

une ancienne version, avec tes commentaires, de 3.1.

Bien à toi

P. Deligne

Liste de compatibilités manquantes (page 31)

31Encre bleue sur papier quadrillé, de la même main que la page 30 : c'est vraisemblablement la « liste incomplète de compatibilités manquantes » que la lettre annonce.

Liste de compatibilités manquantes

a) comp. de « ch base » avec \(Rf_{!} \to Rf_{*}\). comp

b) comp de « ch base » avec \(f^{*}(d)[2d] \to Rf^{!}\)

c) comp. de induction avec \(f^{*}(d)[2d] \to Rf^{!}\)

d) comp. de cl. fond. loc. avec \(Rj^{!} Rf^{!} = R(fj)^{!}\)

e) classe de correspondance

f) Th de comparaison, sur \(\mathbb{C}\)

g) comparaison avec la dualité des courbes par autodualité des jacobiennes

h) morphisme de Gysin et la requête de Jouanolou.

i) ch de base : transp de ([…] \(Rf_{!}\, Rg'_{*} \to Rg_{*}\, Rf'_{!}\)

[en] \(R'f^{!} g^{*} \longleftarrow g'^{*} Rf^{!}\) ; cas où \(f\) est lisse. la première flèche de i) est biffée d'un trait noir puis d'un trait vert. « \(R'f^{!}\) » est écrit ainsi ; on attend \(Rf'^{!}\).

« État avant Illusie » : deux fiches de calcul (pages 32 et 33)

32Fiche à l'encre noire sur papier quadrillé, écrite dans les deux sens. En haut, à l'encre rouge et soulignée d'un trait rouge : « ETAT Avant Illusie ». On donne d'abord la moitié écrite à l'endroit, puis l'autre, retournée.

\(H^1(H^0) \to H^0(H^1)\)

\(X\) \(H^1(H^0) \to H^1 \to H^0 H^1 \to H^2 H^0\)

sous \(H^1(H^0)\) est écrit « (0) ». Plus bas, en face d'un « \(S\) », un \(H^1\) d'où partent une flèche verticale vers le \(H^1\) de la ligne et une flèche double, oblique, vers \(H^0 H^1\) : c'est la suite exacte des termes de bas degré d'une suite spectrale de Leray pour \(X \to S\), écrite sans indices ni coefficients.

Moitié retournée.

\(\langle \mathcal{L}, \mathcal{M} \rangle = \uncertain{N}_{E/S}(\mathcal{M})\) si \(\mathcal{L} = \mathcal{O}(E)\)

Tout \(F(\mathcal{L})\) vient d'un \(\mathcal{M}\). ces deux lignes sont réunies par une accolade.

\(\mathcal{O}(E)\) \(\mathcal{O}(F)\) \(\mathcal{O}\)

\(0 \to \mathcal{O}(-F) \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}_F \to 0\)

\(\langle \mathcal{O}(E), \mathcal{O}(-F) \rangle = N_{E/}(\mathcal{O}(-F))\, N_{E/}(\ )^{-1}\)

\(\det(\ )\det(\ ) = \det(Rf_{*}(\mathcal{O}_E \otimes^{L} \mathcal{O}_F))^{-1}\) sous le \(\otimes\), un indice peu lisible, lu \(L\).

\(\| \langle \mathcal{O}(E), \mathcal{O}(F) \rangle = \det Rf_{*}(\mathcal{O}_E \otimes \mathcal{O}_F)^{-1}\) « \(\|\) » est un double trait vertical dans la marge.

\(\langle 2\ 1 \rangle\) — \(\langle 1\ 1 \rangle\)

\(\langle \mathcal{O}_X \otimes \mathcal{O}_Y \rangle \overset{\langle f, f^{-1} \rangle}{\longrightarrow} \langle \mathcal{O}_Y \otimes \mathcal{O}_X \rangle\) les deux lignes sont reliées par des traits verticaux qui descendent chacun sur un « \(0\) » ; « \(\langle f, f^{-1} \rangle\) » est souligné deux fois et tient lieu de flèche ; la lecture « \(\otimes\) » dans les crochets de gauche est incertaine (on lit plutôt « \(\times\) »).

33Fiche à l'encre noire et rouge sur papier quadrillé. Les notations noires sont des diviseurs et un symbole modéré, les rouges des présentations et de la descente ; on les donne dans cet ordre.

\(X_1\ Y_1\) \(X_1\ T\)

\(X_2\ Y_2\)

\(X_1 \cup Y_2\) \((-1)^{v_x f\, v_x g}\,(g^{v_x f}/f^{v_x g})\)

\(X_1 \cup T\) \((-1)^{v_x f\, v_x g}\ g^{v_x}\)

\(X_{\uncertain{1}} \cup Y_2\)

\(X_1 \cup T\) \(T\) \(\cup\, Y_2\) ces deux derniers sont reliés par un trait en zigzag.

\(X_1\ Y_1\) \(X_1\ T\) \(X_3\ Y_3\) \(X_2\ Y_2\)

\(X_1\ Y_3 \mid X_3\ Y_2\)

Encre rouge.

\(\operatorname{Sym} T'' \quad \operatorname{Sym} T' \quad \operatorname{Sym} T\) (\(\operatorname{Sym} T' \to \operatorname{Sym} T\))

\(T'' \rightrightarrows T' \to T\), \(T \to S\) le premier terme est écrit \(T^{1}\) ou \(T''\) ; le dernier \(T\) est surchargé.

desc. el. desc. finie.

\(A_x \to A\) \(\equiv h.\)

\(M_2 \quad M_1 \quad M_0\)

\(A_2 \Rrightarrow A_1 \rightrightarrows A_0 \to A\) avec, sous les flèches, des flèches en sens inverse (dégénérescences).

ops : \(A_0 \leftarrow A\) \(\overset{?}{\Longrightarrow}\) ops \(A_0 = A\)

État primitif (page 34)

34Encre rouge, en haut d'un feuillet quadrillé ; le reste porte au crayon des traces effacées, illisibles.

ETAT PRIMITIF.

contient : ? compatibilité commutation de 6. le dernier signe est un 6 ou un \(G\).

Changement de base et adjonction : esquisses (page 35)

35Encre bleue sur papier quadrillé ; toute la page est barrée de trois longues diagonales brunes. Ce sont des schémas plus que des phrases : on en donne les formules et on décrit les figures.

Cat \(\mathcal{A}^{*}\) \(\mathcal{B}^{*}\) \(\mathcal{C}^{*}\) \(\mathcal{D}^{*}\) quatre catégories dans deux cadres, \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) en haut, \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) en bas, chacune marquée d'une astérisque ; à gauche une flèche descendante \(f^{\bullet}_{!}\), au milieu « ok » cerclé, à droite une flèche montante suivie de « ? ». Dessous, un carré dont les sommets sont des astérisques, la flèche verticale gauche marquée de « ! » ; les deux lignes du bas sont indicées 0 et 1.

\(\operatorname{Hom}(f^{*}F, G)\) \(\operatorname{Hom}(\ {}_{!}\ \ {}^{!}\ )\) ou \(\operatorname{Hom}(f_{!}F, G)\) \(\operatorname{Hom}(F, f^{!}G)\) \(\operatorname{Hom}(f^{*}G, F)\) deux carrés de flèches entre croix : dans le premier, le côté du haut est \(\operatorname{Hom}(f^{*}F, G)\) et les côtés verticaux montent, celui de droite marqué \(\operatorname{Hom}(\ {}_{!}\ \ {}^{!}\ )\) ; dans le second, les flèches horizontales vont vers la gauche, le côté gauche est \(\operatorname{Hom}(f_{!}F, G)\) (de \(F\) vers \(G\)), le côté droit \(\operatorname{Hom}(F, f^{!}G)\), et sous le côté du bas \(\operatorname{Hom}(f^{*}G, F)\).

LaTeX source
\begin{tikzcd}
\bullet \arrow[d, "f_{!}"'] & \circledcirc \arrow[l, "g^{*}"'] \arrow[d, "f_{!}"] & \bullet \arrow[r, "g_{*}"] & \bullet \\
\circledcirc & \bullet \arrow[l, "g^{*}"] & \bullet \arrow[u, "f^{!}"] \arrow[r, "g_{*}"'] & \bullet \arrow[u, "f^{!}"']
\end{tikzcd}

les deux carrés sont dans un même cadre, à droite duquel on lit « dém : fib + cofib » ; dans chacun une petite flèche courbe (une 2-flèche) va d'un sommet à l'autre. Au-dessous : « \(\to\) ch base : 2 dessins ».

adj \(\operatorname{Hom}(f_{!}K, L) \sim \operatorname{Hom}(K, f^{!}L)\) \(/X\)

\(\downarrow\) \(\downarrow\) \(\sim\) préf

\(\operatorname{Hom}_{\vee}(f^{\vee}_{!}K, L) \sim \operatorname{Hom}(K, f^{!}_{\vee}L)\) \(/V\)

\(Rf_{*} R\operatorname{Hom}(f_{!}K, L) \sim\) la ligne s'arrête là.

3.1.6, fin : les quatre flèches de changement de base (page 36)

36Encre bleue sur papier quadrillé, d'une écriture soignée ; les annotations au crayon, dans les marges et entre les lignes, sont données comme notes marginales. Ce feuillet et les suivants appartiennent à un § 3.1 sur le foncteur \(Rf^{!}\), que continue le lot 3.

Pour tout carré cartésien de schémas

LaTeX source
\begin{tikzcd}
X' \arrow[r, "g'"] \arrow[d, "f'"'] & X \arrow[d, "f"] \\
S' \arrow[r, "g"] & S
\end{tikzcd}

avec \(f\) compactifiable, \(\mathcal{E}\) et tout faisceau [d'anneaux] de torsion \(\mathcal{A}\) sur \(S\), l'isomorphisme de changement de base XVII 5.2 \[ g^{*} Rf_{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_{!}\, g'^{*} \] entre foncteurs de \(D(X, f^{*}\mathcal{A})\) dans \(D(S', g^{*}\mathcal{A})\) se transpose en un isomorphisme \[ (3.1.6.3)\qquad Rg'_{*}\, Rf'^{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf^{!}\, Rg_{*} \] entre foncteurs de \(D^{+}(S', g^{*}\mathcal{A})\) dans \(D^{+}(X, f^{*}\mathcal{A})\). dans « 3.1.6.3 » et « 3.1.6.4 », le 6 est surchargé.

On obtient ainsi quatre « flèches de changement de base » : \[ (3.1.6.4)\qquad \begin{array}{ll} g^{*} Rf_{*} \longrightarrow Rf'_{*}\, g'^{*} & \qquad g^{*} Rf_{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_{!}\, g'^{*} \\[1ex] Rg^{!} Rf_{*} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'_{*}\, Rg'^{!} & \qquad Rg^{!} Rf_{!} \longleftarrow Rf'_{!}\, Rg'^{!} \end{array} \] dans les deux flèches marquées \(\sim\) une pointe a été ajoutée ou surchargée à l'autre bout, de sorte qu'elles paraissent à double sens ; on les donne dans le sens de 3.1.6.3 et de XVII 5.2. Au crayon, une accolade court le long de la colonne de gauche, avec une flèche qui en part et une qui y revient.

Les flèches de la diagonale principale sont autoadjointes, et définies pour tout carré commutatif dès que leurs sources et buts ont un sens (et en tous cas quand on considère les foncteurs dérivés, comme définis sur […])des catégories \(D^{+}\), ; les isomorphismes de la seconde diagonale sont adjoints l'un de l'autre, et définis pour un carré commutatif [cartésien] de […]schémas, avec \(f\) (resp. \(g\)) compactifiable. Chacun de les flèches vérifient […] de [deux] compatibilités du type XII 4.4 pour \(f\) ou \(g\) composé de deux morphismes. Peut-on dire la raison ?

\(g'^{*} Rf^{!} \xrightarrow{\ \sim\ } Rf'^{!} g^{*}\) dû […] sous hyp. de lissité (\(Rf^{!}\) […] pour \(f\) lisse […]) […] \(g\) (loc.) acyclique (p. ex. lisse) ces deux dernières annotations sont au crayon, au bas du feuillet ; la seconde est très effacée.

373.1.3 Constructions du foncteur \(Rf^{!}\) seule ligne du feuillet, biffée, au-dessus d'un trait.

3.1.7 à 3.1.9 : la formule d'induction (pages 38 à 40)

38Qui sont \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) ? 3.1.7. Pour \(\underline{F}\) complexe [un] des \(f^{*}\mathcal{B}\)-Modules à droite sur \(X\) et \(\underline{G}\) le complexe un \(\mathcal{A},\mathcal{B}\)-Bimodule à gauche [sur \(S\)], on dispose de \[ (3.1.7.1)\qquad f^{\bullet}_{!}\underline{F} \otimes_{\mathcal{B}} \underline{G} \longrightarrow f^{\bullet}_{!}(\underline{F} \otimes_{\mathcal{B}} f^{*}\underline{G}). \] Pour \(\underline{H}\) faisceau de \(\mathcal{A}\)-modules sur \(S\), cette flèche se transpose en \[ (3.1.7.2)\qquad \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}\underline{G}, f^{!}_{\bullet}\underline{H}) \longrightarrow f^{!}_{\bullet}\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(\underline{G}, \underline{H}). \] Cette flèche se dérive en une flèche d'induction \[ (3.1.7.3)\qquad R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}L, Rf^{!}M) \xrightarrow{\ \sim\ } Rf^{!} R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, M), \] (\(L \in \operatorname{ob}\) ?, \(M \in \operatorname{ob}\) ?), appelée homomorphisme d'induction, dont on va vérifier que c'est un isomorphisme. Je qui rend commutatif le diagramme suivant, pour \(K \in D^{-}(X, f^{*}\mathcal{B})\), \(L \in D^{-}(S, \mathcal{A}, \mathcal{B})\) Réf. ? \(\operatorname{Hom}(Rf_{!}K, R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}L, Rf^{!}M))\) et \(M \in D^{+}(S, \mathcal{A})\).

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
\operatorname{Hom}(K, R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}L, Rf^{!}M)) \arrow[r, "(1)"] \arrow[d, leftrightarrow, "\wr"'] & \operatorname{Hom}(K, Rf^{!}R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, M)) \arrow[r, leftrightarrow, "\sim\ \mathrm{adj.}"] & \operatorname{Hom}(Rf_{!}K, R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, M)) \arrow[d, leftrightarrow, "\wr"] \\
\operatorname{Hom}(K \otimes^{L}_{\mathcal{B}} f^{*}L, Rf^{!}M) \arrow[r, leftrightarrow, "\sim\ \mathrm{adj}"'] & \operatorname{Hom}(Rf_{!}(K \otimes^{L} f^{*}L), M) \arrow[r, "(2)"'] & \operatorname{Hom}(Rf_{!}K \otimes^{L} L, M)
\end{tikzcd}

sur la page, (1) et (2) sont cerclés.

terminologie Dans ce diagramme, (2) (déduit de la flèche de changement de base [projection]) est un isomorphisme (XVII 5.2). La flèche (1) est donc un isomorphisme quel que soit \(K\). On vérifie facilement que ceci implique que (3.1.7.3) est un isomorphisme. On a obtenu

Préciser données (\(f\) comp. \(X \to S\), \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{B}\) […]) Proposition 3.1.8. La flèche 3.1.7.3 est un isomorphisme : on a la « formule d'induction » : \[ R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(f^{*}L, Rf^{!}M) \xrightarrow{\ \sim\ } Rf^{!} R\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, M). \] pour \(L \in \operatorname{ob}\) , \(M \in \operatorname{ob}\) .

393.1.9 Soient \(\mathcal{A}\) et \(\mathcal{B}\) d'un deux faisceaux d'anneaux de torsion sur \(S\) et soit \(u : \mathcal{B} \to \mathcal{A}\) un homomorphisme. Prenons dans 3.1.8, pour \(L\), le complexe de \(\mathcal{A},\mathcal{B}\)-bimodules \(\mathcal{B}\) réduit à \(\mathcal{A}\) placé en degré 0. Le foncteur \[ \struck{E}\ \operatorname{Mod}(S, \mathcal{A}) \to \operatorname{Mod}(S, \mathcal{B}) : \underline{F} \mapsto \underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{A}}(L, \underline{F}), \] est le foncteur de restriction des scalaires [\(u.\)] de \(\mathcal{A}\) à \(\mathcal{B}\). La flèche d'adjonction, est ici un isomorphisme de foncteurs rendant commutatif le diagramme suivant.

LaTeX source
\begin{tikzcd}
D^{+}(X, f^{*}\mathcal{A}) \arrow[r, "u."] & D^{+}(X, f^{*}\mathcal{B}) \\
D^{+}(S, \mathcal{A}) \arrow[r, "u."] \arrow[u, "Rf^{!}"] & D^{+}(S, \mathcal{B}) \arrow[u, "Rf^{!}"']
\end{tikzcd}

après chaque \(D^{+}\) un mot biffé à l'encre bleue et verte, vraisemblablement « Mod ».

On voit que le faisceau \(\mathcal{A}\) ne joue qu'un rôle bidon dans la définition de \(Rf^{!}\). dans la marge gauche, des mots au crayon presque effacés, illisibles.

40Prenons Soit \(\mathcal{B}\) seule ligne du feuillet, biffée.