Fonds Grothendieck, cote n° 32, pages 1–20

SGA 4 IX : lignes à corriger (page 2)

Feuillet à l'encre, seul en haut à gauche d'une page par ailleurs vierge : un relevé de pages et de lignes de l'exposé IX de SGA 4, sans le texte des corrections. « \ell.\,-4 » compte depuis le bas de la page.

SGA 4 IX « IX » est encadré.

p. 2\ell.\,-4 3\ell.\,1, \ell.\,8, \ell.\,11 60\ell.\,9, \ell.\,12 61\ell.\,\struck{1}\,4 63\ell.\,12 80\ell.\,5, \ell.\,6, \ell.\,9 91\ell.\,-5

~~Notes et lettres~~ XVII 5.5 (page 4)

Le titre est celui de la chemise orange qui précède (page 3), de sa main : « ~~Notes et lettres~~ » biffé, puis « XVII » encadré, et au crayon un numéro qu'on lit « 5.5 » sans certitude. La page 4, au crayon, porte sur les foncteurs dérivés LT d'un foncteur non additif T (puissances divisées, extérieures, symétriques) via Dold–Puppe.

\Gamma^n, \Lambda^n, \mathrm{Sym}^n, \overset{\sim}{\otimes} le dernier symbole est un \otimes surmonté d'un signe qu'on lit comme un tilde, sans certitude

D^{\leqslant 0} : commutation aux \varinjlim [par passage du complexe plat donné par Dold–Puppe ; il vaut fibre par fibre, et O.K. aux \varinjlim]

D^{b,\,\mathrm{tor}\leqslant 0} \longrightarrow D^{\leqslant 0} : mes ingrédients

Si \operatorname{tordim} K < -d, alors H^i(LT(K)) = 0 si i < d. cette ligne est séparée de la suivante par un trait ; le d de « -d » est surchargé

Si degré T \leqslant n, alors si H^i(K) = 0 si i > d, H^i(LT(K)) = 0 \ \text{si}\ i \geqslant nd .

Si \operatorname{tordim} K < -d, \Rightarrow \operatorname{tordim} LT(K) < -d si T transforme plats en plats.

Si K dans intervalle [p, q] , degré T \leqslant n, T(0) = 0 : N T N^{-1} K \quad \begin{cases} \text{si } 0 \leqslant p \leqslant q, & K \text{ dans } [p, nq]\\ \text{si } p \leqslant q \leqslant 0, & K \text{ dans } [np, q] \end{cases} \quad \text{comme complexes.} au second membre, c'est NTN^{-1}K, et non K, qui est dans l'intervalle indiqué ; la page écrit « K ».

Si T conserve propriété P stable par facteurs directs, , alors si les comp. de K sont P, idem NTN^{-1}K …

Ajouter remarque formulaire.

Notes ~~Bibliographie~~ (pages 6 à 14)

Le titre est celui de la chemise qui précède (page 5), de sa main : « Notes », entouré, et « Bibliographie » biffé. Les pages 6 à 14 sont un tapuscrit : les paragraphes 4 (Homomorphisme de Gysin) et 5 (Classe fondamentale locale) d'un texte sur la dualité et les classes fondamentales, où l'auteur s'adresse au rédacteur (« je suggère », « Je pense que », « Remords ») ; il cite SGA 2, SGA 5 IV, « XVI 3.7 », et Jouanolou. Les corrections à l'encre sont de sa main : on les donne comme ajouts et biffures ; les fautes de frappe corrigées sur la machine (xxx) ne sont pas relevées, sauf quand le mot biffé se lit et compte.

4. Homomorphisme de Gysin.

Considérons un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} X \arrow[rr, "f"] \arrow[dr, "p"'] & & Y \arrow[dl, "q"] \\ & S & \end{tikzcd}

(4.1), avec p et q compactifiables, p plat de prés. finie, q lisse, S étant muni d'un Anneau de torsion A premier aux car. résiduelles. Pour un complexe de A-modules F sur S, on définit alors un homomorphisme canonique \text{(4.2)}\qquad \add{\mathrm{Tr}_f \text{ ou }} f_{*}\colon\; Rf_{!}(F_X) \longrightarrow F_Y(d'-d)[2(d'-d)] , en supposant p, q de dimensions relatives d, d' en tout point (il suffit que p soit de dim rel \leqslant d en tout point). Si p est également lisse et de dim. rel. exactement d partout, alors l'homomorphisme précédent s'identifie à l'homomorphisme d'adjonction pour Rf_{!}, Rf^{!} relatif au deuxième membre. En tous cas, l'homomorphisme en question s'appelle homomorphisme de Gysin (relatif à f, F), ou homomorphisme trace (parfois noté \mathrm{Tr}_f). On appelle encore par le même nom, et on note de même, tout homomorphisme déduit de (4.2) par application d'un foncteur quelconque (le ~~cas échéant~~ plus souvent, en transformant encore la flèche obtenue en appliquant des isomorphismes canoniques, tels des isomorphismes de transitivité …, utilisés communément comme morphismes d'identification …). Par exemple on a les homomorphismes \text{(4.2.1)}\qquad H^i(f_{*}) \text{ ou } f_{*}\colon\; R^i f_{!}(F_X) \longrightarrow \underline{H}^{i\add{+2(d'-d)}}(F_Y)(d'-d)\,\struck{[2(d'-d)]} , de faisceaux sur Y, déduits de (4.2.1) en appliquant \underline{H}^i, ou la page renvoie à « (4.2.1) » dans la définition même de (4.2.1) ; il s'agit sans doute de (4.2) \text{(4.2.2)}\qquad Rq_{!}(f_{*}) \text{ ou } f_{*}\colon\; Rp_{!}(F_X) \longrightarrow Rq_{!}(F_Y)(d'-d)[2(d'-d)] , déduit de (4.2) en appliquant Rq_{!}, ou plus généralement, pour tout morphisme compactifiable g\colon Y \longrightarrow Z

\text{(4.2.3)}\qquad R(gf)_{!}(F_X) \longrightarrow Rg_{!}(F_Y)(d'-d)[2(d'-d)] , déduit de (4.2) en appliquant Rg_{!}. De même, appliquant Rg_{*}, on trouve \text{(4.2.4)}\qquad Rg_{*}Rf_{!}(F_X) \overset{\mathrm{dfn}}{=} R(gf)_{c(f)}(F_X) \longrightarrow Rg_{*}(F_Y)(d'-d)[2(d'-d)] (où la ~~première~~ source est « l'image directe à supports propres sur Y »). ~~Prenant en particulier~~ Pour définir cette dernière flèche, quitte à faire rentrer le (d'-d) dans la parenthèse, il suffisait de disposer d'un morphisme de ~~sites~~ topos Y_{\text{ét}} \to Z, et prenant alors pour Z le topos final, on trouve l'exemple important d'homomorphisme de Gysin : \text{(4.2.5)}\qquad R\Gamma_X(Rf_{!}(F_X)) \overset{\mathrm{dfn}}{=} R\Gamma_{X,\,c(f)}(F_X) \longrightarrow R\Gamma_Y(F_Y(d'-d))[2(d'-d)] . Dans le cas où f est propre, (4.2) devient \text{(4.2.6)}\qquad Rf_{*}(F_X) \longrightarrow F_Y(d'-d)[2(d'-d)] , et (4.2.4) et (4.2.5) s'écrivent respectivement \begin{aligned} &\text{(4.2.7)}\qquad R(gf)_{*}(F_X) \longrightarrow Rg_{*}(F_Y)(d'-d)[2(d'-d)] ,\\ &\text{(4.2.8)}\qquad R\Gamma_X(F_X) \longrightarrow R\Gamma_Y(F_Y(d'-d))[2(d'-d)] . \end{aligned} dans (4.2.4) et (4.2.5), l'indice « ! » tapé d'abord est biffé et remplacé par « c(f) » ; au premier membre de (4.2.5) le tapuscrit porte R\Gamma_X là où, Rf_{!}(F_X) vivant sur Y, on attendrait R\Gamma_Y.

~~Dans (4.2.5), (4.2.8), il y aurait lieu de remplacer F_X par un F_X(i)~~ On a également à définir des homomorphismes de Gysin pour des coéfficients sur Y plus généraux que ceux de la forme F_Y et ceux qu'on en déduit par twist et shift. De façon générale, soit G un complexe de A-Modules (NB je ne précise pas ici ni ailleurs les hypothèses de degré) sur Y, et appliquons à (4.2) le foncteur \overset{L}{\otimes}\, G, on trouve un homomorphisme canonique, qui est d'ailleurs le même que si on partait de F' = A_S sur S, et qu'on tensorise l'homomorphisme de Gysin correspendant par F_Y \otimes G. Donc, autant oublier F et dire que pour tout G sur Y, on a un homomorphisme canonique (dit encore de Gysin) \text{(4.3)}\qquad \boxed{\,Rf_{!}(f^{*}(G)) \longrightarrow G(d'-d)[2(d'-d)]\,} , ou, au choix Question : a-t-on besoin d'un A sur S, ne suffit-il d'avoir un Anneau A_Y sur Y de torsion, premier à \ell ?

\text{(4.3 bis)}\qquad Rf_{!}(f^{*}G(d-d')) \longrightarrow G[2(d'-d)] . Arrivé à ce point, je constate que c'est par cette flèche (4.3) (plus raisonnable que (4.2)) qu'il aurait fallu commencer, en ajoutant encore que si p est également lisse et est de dim. rel. d partout, et si G est localement (sur Y_{\text{ét}}) isomorphe à l'image inverse d'un complexe sur S, alors (4.3) s'identifie à l'homomorphisme d'adjonction qu'on pense. Il y aurait lieu alors de donner les exemples (4.2.1) à (4.2.8) en partant de (4.3) plutôt que de (4.2). On peut laisser tomber (4.2.1), et se borner à dire que les homomorphismes déduits des homomorphismes envisagés par application des foncteurs H^i sont également affublés du nom « Gysin » ou « trace ».

Une perplexité : dans le contexte actuel, la notation f_{*}, qui dénote à la fois un foncteur (image directe) et un homomorphisme de foncteurs (Gysin) ne semble pas bien fameux. Je propose de donner la préférence ici à la notation \mathrm{Tr}_f, en le disant au moment ou on signale également la notation f_{*}.

Etant donné le nombre d'exemples parmi les variantes à Gysin, il est clair qu'il ne sera pas possible de donner un formulaire qui donnerait, ~~immédiatement~~ sans déductions du tout, tous les cas qu'on rencontrera. Il faudra se borner à donner un formulaire directement en termes des homomorphismes de Gysin fondamentaux sous la forme (4.3), et se borner à donner comme exemple la forme que prend ce formulaire « après application d'un foncteur Rg_{*} » dans le cas f propre, disons.

Voici des points qui doivent certainement figurer au formulaire :

descend d) Compatibilité avec la formule de projection : Si on a un complexe de modules G' sur Y et si on tensorise (4.3) par G', en utilisant la formule de projection de XVII …, on trouve Gysin pour G \overset{L}{\otimes} G'. Ceci ~~montre~~ entraîne en particulier que, via la formule de projection, les lettres des articles de cette liste sont récrites à l'encre sur celles du tapuscrit ; on donne les lettres à l'encre. La formule de projection, d'abord en tête, devient d) ; le mot « descend » dans la marge et un trait tiré sous l'article c) à la page suivante marquent où elle doit aller.

(4.3) est connu pour tout G par la seule connaissance de \text{(4.4)}\qquad Rf_{!}(A_X(d-d')[2(d-d')]) \longrightarrow A_Y . Ceci devrait bien donner la formule de projection au niveau des classes de cohomologie (qu'il faut bien entendu expliciter, soit ici, soit (mieux) à la fin du formulaire, en reprenant ce formulaire dans le cas particulier recommandé, parmi les variantes possibles).

a) Si d = d' et si f est quasi-fini (et alors automatiquement plat, supposant que la dimension relative de p est partout d), alors on retrouve l'homomorphisme trace de XVII …

b) Si f est lisse, on retrouve l'homomorphisme trace du par. 2.

c) Transitivité pour un composé gf (g\colon Y \to Z, avec Z lisse et compactifiable sur S). sous cet article, un trait à l'encre venu de la marge : c'est ici que doit venir l'article d) de la page 8.

f) Compatibilité avec Künneth, quand on regarde g_1 \times_S g_2\colon X_1 \times_S X_2 \to Y_1 \times_S Y_2. Compatibilité avec changement de base S' \to S.

e) Compatibilité avec changement d'Anneau A \to A' (qui montre qu'il suffit de connaitre (4.4) pour les A = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})_S pour l'avoir pour tout A).

g) Indépendance par rapport à S (si on se donne S \to T lisse, de sorte que l'on peut regarder X et Y comme étant sur T …).

h) Formule d'échange, relatif au cas où on a un diagramme cartésien

\begin{tikzcd} X \arrow[d, "f"'] & X' \arrow[l, "h"'] \arrow[d, "f'"] \\ Y & Y' \arrow[l, "g"] \end{tikzcd}

de schémas sur S : appliquant g^{*} à \mathrm{Tr}_f, et appliquant l'isomorphisme de changement de base pour Rf_{!} et g^{*}, on doit trouver \mathrm{Tr}_{f'}. On supposera bien sûr Y et Y' lisses sur S, X plat sur S, et pour que X' soit plat sur S, il faut évidemment une hypothèse genre Tor-indépendance de X et Y' sur Y. Cela doit marcher en tous cas si X est également lisse sur S, et si f et g sont transversaux (EGA IV 17 …). le carré est entouré au crayon d'un trait fermé.

Calcul au crayon dans la moitié inférieure d'une page par ailleurs vierge, sans lien écrit avec le tapuscrit : le degré d'un morphisme fini f lu sur la cohomologie, f_{*}f^{*} = N, à partir des points x_i de la fibre et de leurs adhérences Z_i.

Z_i = \overline{x_i} X_y \ni x_i y \deg(x_i/y) = n_i \textstyle\sum d_i n_i = N

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "f"] & Y \\ Z_i \arrow[u, "u_i"] \arrow[ur, "f_i"'] & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd} H^r(X) \arrow[dr, "u_i^{*}"'] & & H^r(Y) \arrow[ll, "f^{*}"'] \\ & H^r(Z_i) \arrow[ur, "f_{i*}"'] & \end{tikzcd}

\Bigl(\sum d_i\, f_{i*} u_i^{*}\Bigr) f^{*} = \sum d_i\, f_{i*} u_i^{*} f^{*} = \sum d_i\, (f_{i*} f_i^{*}) = \sum d_i\, n_i\, \mathrm{id} le libellé de la flèche H^r(Y) \to H^r(X) est surchargé ; on le lit f^{*}. Dans la dernière égalité, la page écrit « \sum d_i (f_{i*}f_i^{*}) n_i\, \mathrm{id} », le facteur n_i venant après la parenthèse entourée.

i) Formule de ~~adjonction~~ transposition ou d'adjonction, disant que Gysin sur la cohomologie à supports propres est transposé de l'homomorphisme image inverse. J'ai un sentiment que cela résulte tautologiquement de la définition, ~~et n'a guère de sens que dans~~

j) Formules de linéarité (notamment pour f une immersion de schémas relatifs lisses), nécessaire pour Jouanolou ; regarder aussi la formule de linéarité pour variétés éclatées déduites de cette situation. Si possible, donner formulation commune ?

Comme plan possible du par. 4, je vois

4.1.Définition et notations. 4.2.Formulaire général. 4.3.Formulaire spécial, pour classes de cohomologie.

Du point de vue notations, je suggère, pour ne pas trainer indéfiniment des d-d' dans les notations, de travailler systématiquement avec la dimension virtuelle d(f) = d-d' de f ; c'est elle qui mérite une lettre simple, telle que d.

Dans 4.3, inclure le cas f propre, d = d' ; dire que dans ce ~~5. Classes fondamentales locales~~ cas on a \mathrm{Tr}_f(1_X) = N\, 1_Y où N est une fonction entière localement constante sur Y, appelée degré de f, et qu'on peut caractériser comme étant égale, sur le plus grand ouvert de Y sur lequel f soit fini localement libre, comme égale au degré habituel. Conclure que \operatorname{Ker}(f^{*}\colon H^{*}(Y, G) \to H^{*}(X, G_X)) est annulé par N, donc f^{*} est injectif (et même inversible à gauche) si N = 1. [Si S = \operatorname{Spec} k et si Y est irréductible, de point générique \eta, (d et d' quelconques) et si N est le pgcd des degrés des 0-cycles de X_{\eta} \neq \varnothing, on peut de même trouver un homomorphisme, fonctoriel en G, H^{*}(X, G_X) \to H^{*}(Y, G) dont le composé avec l'homomorphisme image inverse est N.\mathrm{id}.] les crochets, et un long trait de crayon qui court dans la marge gauche depuis « \mathrm{Tr}_f(1_X) = N\,1_Y », sont de sa main. Le calcul de la page 10 est celui qui justifie ce dernier énoncé.

5. Classe fondamentale locale.

Reprenons l'homomorphisme de Gysin général (4.3), et notons que par la formule d'adjonction, sa connaissance équivaut à celle d'un homomorphisme \text{(4.4)}\qquad f^{*}(G)(d-d')[2(d-d')] \longrightarrow Rf^{!}G , autre nom ? [On l'appelle l'homomorphisme classe fondamentale locale (?)] Il est fonctoriel en G, et, comme nous avons vu au par. 4, il suffit de le connaitre pour G = A_Y pour le connaitre pour tout G. Dans ce cas, on peut l'interpréter comme un homomorphisme \text{(4.5)}\qquad \varphi_f\colon A_X \longrightarrow Rf^{!}(A_Y)(d'-d)\ 2(d'-d)\add{)} ,\quad \add{\text{i.e. } \varphi_f \in H^{2(d-d')}(Y, Rf^{!}(A_Y)(d-d'))} et il définit par suite une section, notée de même \text{(4.6)}\qquad \begin{aligned} &\struck{\varphi_f \in H^0(Y, \underline{H}^0 Rf^{!}(A_Y)(d'-d)\ 2(d'-d))}\\ &\add{\varphi_f} \in H^0(Y, \underline{R}^{2(d'-d)} f^{!}(A_Y))(d'-d)) , \end{aligned} qu'on appelera également (et peut-être à meilleur escient) la classe fondamentale locale pour f. On notera que pour la connaitre pour tout A, il suffit de la connaitre pour les \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} (du moins si on se borne aux A qui sont annulés par un même entier n \geqslant 1 premier aux car. résiduelles de S) : ~~La connaissance de (4.6) permet de reconstituer~~ plus précisément, la formation des classes \varphi_f de (4.5) et de (4.6) est fonctoriel en l'Anneau A_S (voire, en A_Y). (4.4) porte ici le numéro déjà pris au par. 4, et la suite du par. 5 le garde. Dans (4.5) et (4.6) le tapuscrit n'a pas les crochets du décalage ; la parenthèse fermante après « 2(d'-d) » de (4.5) est ajoutée à l'encre, et l'ajout « i.e. … » qui suit, surchargeant une ligne biffée, porte 2(d-d') et (d-d') avec les signes inverses de ceux de la ligne tapée. Au premier membre de l'ajout de (4.6), le symbole est le \varphi de sa main ; dans le tapuscrit c'est un \emptyset barré.

Lorsqu'on dispose d'une « formule de pureté » \text{(4.7)}\qquad R^i f^{!}(A_Y) = 0 \quad \text{pour } i \neq 2(d-d') , la connaissance de (4.6) équivaut même à celle de (4.5), ce dernier \varphi_f méritant le nom de classe fondamentale globale de X sur Y. dans (4.7), le signe entre i et 2(d-d') est surchargé à l'encre ; on lit \neq, sans certitude.

Nous allons nous intéresser par la suite au cas où f\colon X \to Y est une immersion fermée. On sait alors que les formules de pureté (4.7)

sont vérifiées. (Lorsque X est également lisse, c'est contenu dans XVI 3.7 ; le cas général — sans même supposer Y plat sur S, d'ailleurs — s'en déduit par dévissage facile, et il est traité d'ailleurs dans SGA 2 XIV 1, conjonction de 1.10 et de 1.18.) La classe \varphi_f de (4.5) peut alors s'interpréter aussi comme un élément \text{(4.8)}\qquad \add{\gamma_{X/Y}} \in H^{2(d-d')}_{\add{X}}(Y, A_Y(d-d')) . Cette classe s'appelle la classe de cohomologie à supports dans X de X dans Y, et son image \text{(4.9)}\qquad \add{\gamma_{X/Y}} \in H^{2(d-d')}(Y, A_Y(d-d')) la classe de cohomologie (sous-entendue : à supports quelconques) de X dans Y. Le formalisme des classes de cohomologie (4.8), (4.9) ainsi ~~associées~~ obtenues (une fois la définition étendue par linéarité à des cycles algébriques relatifs sur Y) sera étudié systématiquement dans SGA 5 IV. Notre propos ici est de donner les propriétés les plus élémentaires de la classe locale (4.6), en attachant notre attention surtout au cas où X est également lisse sur S. dans (4.8), le tapuscrit portait \varphi_f et H^{2(d-d')}(Y, \ldots) ; \gamma_{X/Y} et l'indice X sont de sa main, écrits par-dessus. Dans (4.9), \gamma_{X/Y} est de même à l'encre.

Voici une liste de propriétés à expliciter qui me semble raisonnable (où on pose p c = d-d') : la lettre p du tapuscrit est récrite à l'encre ici et aux articles b) et c) par un signe bouclé qu'on lit c (la codimension), sans certitude.

a) Si X est lisse sur S, et si G est localement (ét) sur Y isomorphe à l'image inverse d'un complexe sur S, p. ex. G = (A)_Y, alors (4.4) est un isomorphisme. (C'est essentiellement contenu dans XVI 3.7).

b) Si c = 0 i.e. f un isomorphisme, (4.4) est l'identité i.e. \varphi_f = 1 dans (4.5) ou (4.6).

c) Si c = 1, de sorte que X est un diviseur relatif sur Y/S, alors \varphi_f de (4.5) i.e. (4.8), et a fortiori de (4.6) ou (4.9), est donné par la théorie de Kummer comme d'habitude. la lettre « c) » est entourée au crayon.

d) Compatibilité de \varphi_f avec transitivité et intersections (ces deux formules sont essentiellement identiques), dans le cas lisse

et transversal.

e) Compatibilité avec changement de base S' \to S, avec produits cartésiens Y_1 \times_S Y_2 sur S.

g) Indépendance par rapport à S. (S \to T)

f) Compatibilité avec changement d'anneau. la lettre g) surcharge une autre lettre tapée ; une flèche au crayon dans la marge fait passer l'article g) après f).

h) Relation avec Gysin : Les classes (4.8), (4.9) s'interprètent comme l'image de 1_X par Gysin. Le transformé de (4.4) par Rf_{!}, suivi de l'homomorphisme d'adjonction, est l'homomorphisme de Gysin. un trait de crayon part d'ici, descend le long de la marge gauche et aboutit à l'article « i) » du « Remords » plus bas : c'est là qu'il doit venir, à la suite de h).

Je pense que, compte tenu du formulaire du par. 4, le formulaire proposé ici pour les classes fondamentales \pm locales est pratiquement trivial à partir des définitions. On peut, pour finir, récupérer un énoncé qui donne la caractérisation des classes fondamentales locales dans le cas d'un couple lisse, par les propriétés suivantes 1) Nature locale (pour Zar suffit) 2) cas p = 0 3) cas p = 1, quand X est défini par une équation 4) propriété de cup-produit d) (où il suffit de prendre un des deux facteurs de codimension 1). Signaler en remarque que cet énoncé (existence et unicité d'une théorie des cl. fond. loc.) peut se démontrer sans difficulté indépendamment de la théorie de dualité et de celle de l'homomorphisme trace, et avait été donnée dans le séminaire oral avant la dualité.

Remords : il serait prudent d'adjoindre au formulaire un

i) On a commutativité dans le diagramme suivant

\begin{tikzcd}[column sep=large] f^{*}(G)(\add{-}p)[\add{-}2p] \arrow[r] \arrow[dr, bend right=20] & Rf^{!}(G) \\ & Rf^{!}(A_Y) \overset{L}{\otimes} f^{*}(G) \arrow[u] \end{tikzcd}

où la flèche horizontale est (4.4), la flèche oblique est déduite par \overset{L}{\otimes}\, G de (4.5), et le flèche verticale est l'homomorphisme canonique qu'on devine, analogue à celui de changement de base pour les {}^{!}, et qui manque dans 3.1 (tout comme ce dernier). On s'y intéressera sans doute surtout si G est localement libre, donc l'homomorphisme en question est un isomorphisme. les signes « - » du premier terme du diagramme sont ajoutés à l'encre ; ici la lettre p du tapuscrit n'est pas récrite.

Corrections à l'exposé XVIII (pages 15 à 20)

Six fiches de format irrégulier, à l'encre bleue ou au crayon, chacune en tête d'un renvoi « XVIII » (souligné ou encadré) suivi d'un numéro de paragraphe ; les renvois de pages et de lignes (« \ell.\,9 du bas ») visent un tapuscrit de l'exposé XVIII qui n'est pas ici. Le vocabulaire (images directes, catégories dérivées, \mathrm{pch}(K), R^1p_{*}) est celui des champs de Picard et de la cohomologie des fibrés projectifs. Dans la marge gauche de chaque article, une autre main a écrit au crayon noir « ok » ou un signe raturé ; on les donne en note.

XVIII 1-1 « XVIII » est encadré, ici et à la page 17.

p. 2.

\ell. 2 du haut « ok » dans la marge

à la commutant aux images directes. ~~ce qui appliquer les catégories dérivées.~~ les deux dernières lignes sont biffées d'un gribouillis au crayon.

\ell. 9 des bas dans la marge, un signe raturé et un « ! »

pourquoi supposer X cohérente à présent ?

p. 3, \ell. 7-8 du haut « ok » dans la marge

embrouillé —

1.4. 14

\ell. 4 du bas

Peut-être par le faisceau \underline{\mathrm{Aut}}'(x) ?

des automorphismes de x qui sont dans \mathrm{pch}(K) : en haut à droite, « 1.4. » et, souligné, un « 14 » qu'on lit sans certitude ; le x de \mathrm{Aut}'(x) est surchargé.

XVIII — 1-2

\ell. 7 : K_0 mais G « ok » dans la marge, ici et aux deux articles suivants K(K_0, \varphi) = p^{*}(K_0) + p^{*}(\varphi)[\mathcal{O}(1)]

lig. 1 du bas

peut-être mettre R^1 p_{*} p^{*} G

1.2.2.1 : j'ai eu du mal à comprendre d'abord lire le dernier

on pourrait faire remarquer \Gamma(S, R^1 p_{*} G) = \frac{H^1(P(E), G)}{H^1(S, G)} qu'il y a une section cette fiche est au crayon, très pâle ; les lignes de prose ne sont lues qu'en partie.

1-4

\ell. 9, 10, 11, 12 du bas ? « ok ? » dans la marge ; les quatre numéros de lignes sont réunis par une accolade, et le point d'interrogation est à droite d'un trait vertical.

XVIII — (1.4) // 2

\ell. 1 du haut

on peut peut-être mettre une réf.

Mac-Lane

XVIII — 1 2

p. 8

\ell. 4 du haut « ok » dans la marge

réf 1.2.1 annulé